I

SADRŽAJ

Predgovor III

Pregled oznaka IV

1 Uvod - Matematsko modeliranje i numeričko rješenje 1

1.1 Uvod 1

1.2 Prednosti i nedostaci numeričkog rješenje 2

1.3 Metod konačnih elemenata u analizi naprezanja 8

2 Matematski modeli linearne teorije elastičnosti

9 2.1 Vektor napona 10

2.2 Glavni naponi 12

2.3 Pomjeranje i deformacije 13

2.4 Konstitutivne jednačine za linearno elastično tijelo 16

2.5 Diferencijalne jednačine ravnoteže 21

2.6 Principi o deformacionoj energiji 23

2.6.1 Castiglianova teorema 23

2.6.2 Princip o minimumu ukupne potencijalne energije sistema

26

2.7 Matematski modeli dvodimenzionalne elastičnosti 31

2.7.1 Ravno naponsko stanje 31

2.7.2 Ravno deformaciono stanje 32

2.7.3 Osnosimetričan problem 33

2.8 Matematsko modeliranje naprezanja u konstrukciji 34

3 MKE u analizi štapova i rešetki 43

3.1 Naponi i deformacije štapa 45

3.2 Matrica krutosti konačnog elementa štapa 51

3.3 Primjena Castiglianove teoreme u analizi rešetki 59

3.4 Globalna matrica krutosti sistema 68

3.5 Granični uslovi za slučaj diskretizacije KE štapa 71

3.6 Primjena KE štapa 73

II

4 MKE u analizi greda i ramova

77

4.1 Sile u poprečnom presjeku grede 78

4.2 Euler-Bernoullijev matematski model grede 80

4.2.1 Normalni napon u gredi 81

4.2.2 Smičući naponi u gredi 84

4.2.3 Elastična linija grede 88

4.3 Matrica krutosti konačnog elementa grede 92

4.4 Matrica krutosti konačnog elementa grede u globalnom

koordinatnom sistemu i matrica krustosti sistema 109

4.5 Granični uslovi za slučaj diskretizacije KE grede 122

4.6 Konačni element grede izložene uvijanju 127

4.7 Konačni element grede u prostoru 129

5 MKE za dvodimenzionalnu i trodimenzionalnu elastičnost

131

5.1 Matrica krutosti pravougaonog KE sa četiri čvora 131

5.2 Matrični koncept MKE 142

5.3 Ravanski četverougaoni linearni KE 145

5.4 Ravanski konačni elementi višeg reda 148

5.5 Osnosimetrični konačni elementi 151

5.6 Trodimenzionalni konačni elementi 154

5.7 Kriteriji konvergencije MKE rješenja 156

6 Modeliranje metodom konačnih elemenata

159

6.1 Struktura kompjuterskih softvera za analizu napona i

deformacija 159

6.2 Izbor konačnih elemenata za diskretizaciju konstrukcije 160

6.3 Konvergentnost numeričkog rješenja 161

6.4 Primjeri 164

7 Strukturna optimizacija 171

7.1 Problem strukturne optimizacije definisan kao problem

linearnog programiranja 173

7.2 Problem strukturne optimizacije definisan kao problem

nelinearnog programiranja 175

Dodatak 1 185 Literatura 205

III

Predgovor

Teško je bilo imati motiv pisati knjigu iz metoda konačnih elemenata, jer već postoje brojne i veoma

dobre knjige koje se bave metodom konačnih elemenata. S druge strane, veoma je malo knjiga koje

se bave matematskim modeliranjem naprezanja u konstrukcijama, odnosno strukturnom analizom.

Ova knjiga ima za cilj da osigura uvid u proces matematskog modeliranja naprezanja u

konstrukcijama, kao i u osnovna znanja o metodu konačnih elemenata kao moćnom numeričkom

metodu za rješavanje matematskih modela.

Glava 1, koja se bavi vezom između matematskog modela i njegovog numeričkog rješenja, i glava 2,

koja prezentira osnovne matematske modele linearne teorije elastičnosti, mogu se vidjeti kao

nezavisne od numeričkog metoda kojim su rješavani matematski modeli. U glavi 2 date su najkraće

moguće osnove teorije elastičnosti kako bi se mogao pratiti tekst u narednim glavama i ne može biti

zamjena za knjige koje se bave ovom oblasti. Čitalac koji ima potrebno predznanje iz teorije

elastičnosti čitanje ove glave može preskočiti, izuzev posljednjeg poglavlja koje se bavi matematskim

modeliranjem konstrukcija i koje može biti veoma korisno.

U glavama 3, 4, i 5 opisana je primjena metoda konačnih elemenata u analizi štapova i rešetki, greda i

ramova, kao i dvodimenzionalnoj i trodimenzionalnoj elastičnosti. Glava 6 sadrži opis kompjuterskih

softvera za analizu naprezanja u konstrukcija, izbor konačnih elemenata kojim se diskretizuje

geometrija konstrukcije, kao i primjere analize naprezanja stvarnih konstrukcija. Između više

formulacija metoda konačnih elemenata, u knjizi su korištene samo direktna formulacija i

varijaciona formulacija sa minimiziranjem ukupne potencijalne energije sistema s ciljem da se zadrži

pažnja čitaoca na cjelokupan proces modeliranja, od formulacije matematskog modela, njegovog

numeričkog rješavanja, kao i analize rezultata.

Iskustvo u radu sa studentima, ali i kontakti sa inžinjerima koji se bave analizom naprezanja

konstrukcija, govori da su najčešće greške vezane za nerazumijevanje matematskog modela, odnosno

uslova pod kojim vrijede određeni matematski modeli. Iz tog razloga, iako u ovoj knjizi nisu date

kompletne teorije štapa, grede, dvodimenzionalne ili trodimenzionalne elastičnosti, posebno je dat

naglasak na domenu primjenjivosti pojedinih teorija. Učinjen je i napor da se kroz knjigu naglasi da

uspjeh analize naprezanja konstrukcije leži na matematskom modelu, a da je zadatak numeričkog

metoda samo da rješi taj matematski model, što se nerijetko zaboravlja.

Posebno bih skrenuo pažnju na glavu 7 koja se bavi strukturnom optimizacijom konstrukcija.

Optimizacijske metoda u strukturnom dizajnu imaju veliki potencijal, a skoro su nepoznate našim

studentima. Iako ove metode već nalaze mjesto u savremenim softverskim paketima vjerovatno će

proći mnogo vremena da bi postale sastavni dio naših nastavnih programa, kao što je to bio slučaj i sa

metodom konačnih elemenata.

Na kraju, želim da naglasim da mi je posebno zadovoljstvo što su prof. dr. Alija Pičuga i prof. dr. Dunja

Martinović bili recenzenti ove knjige i iskreno im zahvaljujem na recenziji.

IV

Pregled oznaka

koeficijenti interpolacione funkcije

površina

integracione konstante

modul elastičnosti materijala

glavni vektor sila

matrica vektor kolona komponenti sila u čvorovima konačnog elementa

komponente vektora zapreminskih sila po jedinici zapremine u pravcu osa

Descarteovog koordinatnog sistema

matrica vektor kolona komponenti vektora generalisanih sila u čvorovima konačnog

elementa u lokalnom koordinatnom sistemu

intenzitet sile

intenzitet aksijalne sile u poprečnom presjeku grede

intenzitet transferzalne sile u poprečnom presjeku grede

matrica vektor kolona komponenti vektora generalisanih sila u čvorovima konačnog

elementa u globalnom koordinatnom sistemu

Vektor sile

intenzitet ubrzanja zemljine teže

modul klizanja materijala

polarni moment inercije površine poprečnog presjeka grede

glavni aksijalni centralni momenti inercije poprečnog presjeka grede

aksijalni moment inercije površine za osu

Jacobijeva matrica

krutost opruge

matrica krutosti konačnog elementa u lokalnom koordinatnom sistemu

V

matrica krutosti konačnog elementa u globalnom koordinatnom sistemu

proširena matrica krutosti konačnog elementa štapa u lokalnom koordinatnom sistemu

globalna matrica krutosti sistema

dužina

masa

moment savijanja u poprečnom presjeku grede

moment uvijanja

komponente jediničnog vektora normale površine u pravcu osa Descarteovog

koordinatnog sistema

interpolacioni polinom

koordinate u lokalnom koordinatnom sistemu

generalisane sile u čvorovima konačnog elementa grede

statički moment površine za težišnu osu .

omponente vektora napona u pravcu osa Descarteovog koordinatnog sistema

matrica transformacija

komponenete vektora pomjeranja u pravcu osa Descarteovog koordinatnog

sistema

matrica vektor kolona stepeni slobode čvorova konačnog elementa u lokalnom koordinatnom

sistemu

matrica vektor kolona stepeni slobode čvorova konačnog elementa u globalnom koordinatnom

sistemu

potencijalna energija deformacije (deformacioni rad)

generalisani stepeni slobode u čvorovima konačnog elementa grede

komponente vektora pomjeranja u pravcu osa cilindričnog koordinatnog sistema

, komponenete vektora pomjeranja u pravcu osa lokalnog Descarteovog

koordinatnog sistema

vektor pomjeranja

vektor brzine

VI

zapremina

rad sile

potencijal vanjskog opterećenja

koordinate u globalnom Descarteovom koordinatnom sistemu

koordinate u lokalnom Descarteovom koordinatnom sistemu

ugao

glavne dilatacije

komponentne deformacije u cilindričnom koordinatnom sistemu

komponentne deformacije u Descarteovom koordinatnom sistemu

ugao rotacije poprečnog presjeka grede

Lam ovi parametri

Poissonov koeficijent

prirodne koordinate

gustina materijala; poluprečnik krivine elastične linije grede

glavni normalni naponi

normalni napon u ravni određenom vektorom vanjske normale

komponentni naponi u cilindričnom koordinatnom sistemu

srednji napon na poprečnom presjeku

komponentni naponi u Descarteovom koordinatnom sistemu

tangencijalni napon u ravni određenom vektorom vanjske normale

glavni tangencijalni naponi

ugao uvijanja