Sadrˇzaj - u: n: t: z. b: apmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/ETF/M2/...te su onda one funkcije viˇse varijabli. Naprimjer, zapremina kruˇznog cilindra je veliˇcina ovisna o polupreˇcniku

Sadrzaj

1 Funkcije vise promjenljivih 1

1.1 Pojam funkcije vise promjenljivih . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Graficko predstavljanje funkcija . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Granicna vrijednost funkcije n varijabli . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Pojam granicne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Simultana i uzastopna granicna vrijednost . . . . . . . 18

1.3 Neprekidnost funkcije n varijabli . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2 Diferencijabilnost funkcije n varijabli 27

2.1 Izvod u pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal . . . . . . . . . . . . . 29

2.3 Gradijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih . . . . . . . . . 38

2.5 Pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Izvodi viseg reda, Hesseova matrica . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7 Diferencijali viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8 Ekstremumi funkcija vise promjenljivih . . . . . . . . . . . . . 60

2.8.1 Nalazenje lokalnog ekstrema . . . . . . . . . . . . . . . 61

2.8.2 Nalazenje globalnog ekstrema . . . . . . . . . . . . . . 67

2.8.3 Uslovni ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

i

Poglavlje 1

Funkcije vise promjenljivih

1.1 Pojam funkcije vise promjenljivih . . . . . . . . 2

1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja . . . . . . . . . . . 3

1.1.2 Graficko predstavljanje funkcija . . . . . . . . . . . 5

1.2 Granicna vrijednost funkcije n varijabli . . . . . 11

1.2.1 Pojam granicne vrijednosti . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2 Simultana i uzastopna granicna vrijednost . . . . . 18

1.3 Neprekidnost funkcije n varijabli . . . . . . . . . 21

Notacija y = f(x), gdje je f : R → R, sluzila nam je za iskazati daje varijabla y zavisna od jedne varijable x, tojest reci da je y funkcija odx. Domen ovakve funkcije f bio je skup realnih brojeva (ili neki njegovpodskup). Mnoge velicine mogu se posmatrati u zavisnosti o vise varijabli,te su onda one funkcije vise varijabli. Naprimjer, zapremina kruznog cilindraje velicina ovisna o poluprecniku osnove cilindra (r) i njegove visine (H), tj.V = πr2H, pa kazemo da je V funkcija dvije varijable r i H. Izaberemo linotaciju za ovu funkciju sa f , tada je V = f(r,H), te imamo da je

f(r,H) = πr2H , ( r > 0 , H > 0 ) .

Pri tome su ogranicenja na poluprecnik osnove (r > 0) i visinu (H > 0)prirodni uslovi jer te velicine ne mogu biti negativne, a ni nule jer takavcilindar onda ne postoji.

H

R

Snaga (u wattima) turbine na vjetar se opisuje jednacinom

P =1

2· 4940

πr2v3 ,

gdje je r krak turbine izlozen vjetru (u metrima), v brzina vjetra (u ms), a

konstanta 4940 predtsvlja gustinu suhog zraka na 15 ◦C na nultoj nadmorskoj

viasini (u kgm3 ). Dakle, snaga (P ) je funkcija ovisna o r i v, tojest P = f(r, v).

Svaka dva tijela u univerzumu djeluju jedno na drugo silom, direktnoproporcionalno njihovim masama i obrnuto proporcionalno kvadratu njiho-vog rastojanja (Newtonov zakon univerzalne gravitacije). Dakle, intenzitetgravitacionog privlacenja (F ) izmedu tijela mase m1 i tijela mase m2, kojase nalaze na rastojanju r, je funkcija tri varijable,

F = F (m1,m2, r) =Gm1m2

r2, m1,m2, r > 0 ,

gdje je G univerzalna gravitaciona konstanta.

F = Gm1m2

r2

rm1 m2

1

1.1. Pojam funkcije vise promjenljivih

1.1 Pojam funkcije vise promjenljivih

Definicija 1.1.1

Neka su X i Y proizvoljni vektorski prostori. Ako svakoj tacki x ∈ X

po nekom zakonu ili pravilu f dodijelimo tacno jednu tacku y ∈ Y ,kazemo da je sa f definisano preslikavanje ili funkcija sa X u Y , stozapisujemo sa f : X → Y .Skup X nazivamo domen preslikavanja, a skup f(X) ⊆ Y nazivamokodomen preslikavanja.

S obzirom na domen i kodomen ovako definisanog preslikavanja, razlikujemonekoliko vrsta preslikavanja koja su za nas od interesa u ovom kursu ma-tematike. U daljem tekstu podrazumijevamo da su R

n i Rm (m,n ∈ N)konacnodimenzionalni Euklidski prostori i posmatramo preslikavanja f :X → Y , gdje je X ⊆ R

n i Y ⊆ Rm.

U zavisnosti od m,n ∈ N, razlikujemo sljedece:

• Ako su n = m = 1 imamo preslikavanje f : R → R, koju nazivamorealna funkcija realne promjenljive. Ovo znaci da je ulazna velicinafunkcije (nezavisna varijabla) realan broj i da je izlazna velicina (za-visna varijabla) realan broj.

• Za n = 1 i m > 1 imamo preslikavanje f : R → Rm, koje je vektorska

funkcija realne promjenljive. Dakle, ulazna velicina je realan broj, aizlazna velicina je m-dimenzionalni vektor.

• Za n > 1 i m = 1 imamo preslikavanje f : Rn → R, za koje kazemoda je realna funkcija vektorske promjenljive. Dakle, ulazna velicina jen-dimenzionalni vektor, a izlazna velicina je realan broj.

• Ako su m,n > 1 tada je f : Rn → Rm i kazemo da je to vektorskafunkcija vektorske promjenljive. Ulazna velicina je n-dimenzionalnivektor i izlazna velicina je m-dimenzionalni vektor.

Primjer 1 : Obim kruga je zavisan samo o poluprecniku. To znaci da je O(r) = 2rπ, i pred-

stavlja realnu funkciju realne promjenljive. Za konkretan realan broj r, dobijeniobim O(r) je takode realan broj.

Primjer 2 : Pomatrajmo let aviona na nekoj ruti u realnom vremenu. Zelimo da znamo

poziciju aviona u nekom vremenskom trenutku. To znaci da je ulazni podatakvrijeme (realan broj), a izlazni podatak je trokomponentni vektor (x, y, z), gdjesu x geografska sirina, y geografska duzina i z visina leta. Dakle, u pitanju je

2


vektorska funkcija realne promjenljive,

Poz(t) = (x(t), y(t), z(t)) .

Primjer 3 : Zapremina cilindra visine h i poluprecnika osnove r je data sa V = r2πh, te je

ona funkcija dvije varijable, V (r, h). Za konkretne r i h zapremina je realan broj,te dakle V : R2 → R i predstavlja realnu funkciju vektorske promjenljive.

Primjer 4 : Posmatramo li magnetno polje u trodimenzionalnom prostoru, svakoj tacki pros-

tora (X(x, y, z)) pridruzujemo jacinu magnetnog polja u toj tacki i smjer djelo-vanja polja, dakle dvokomponentnu velicinu. Prema tome, ovo pridruzivanjepredstavlja vektorsku funkciju vektorske promjenljive.

1.1.1 Osnovni elementi preslikavanja

U ovom dijelu mi cemo se bazirati na posmatranje realnih funkcija vektorskepromjenljive.

U izrazu f : Df → R, skup Df ⊆ Rn nazivamo domenom funkcije f i

kao i kod funkcije jedne varijable, podrazumijevamo da je to ”najsiri” skuptacaka X(x1, x2, ..., xn) ∈ R

n za koje izraz f(x1, x2, ...xn) ima smisla, tojestda je to neki realan broj. Velicine x1, x2, ..., xn nazivamo nezavisne varijabe,argumenti ili promjenljive funkcije f .Za funkciju f : R

2 → R, zadatu sa z = f(x, y), kazemo da je funkcijadviju nezavisnih varijabli x i y, pri cemu je z zavisna varijabla. Za funkcijug : R3 → R, gdje je w = g(x, y, z) kazemo da je funkcija tri varijable, gdjeje w zavisna varijabla, a x, y, z su nezavisne varijable funkcije.

Domen funkcije n varijabli je proizvoljan podskup prostora Rn. On moze

biti otvoren ili zatvoren skup i u principu se sastoji od unutrasnjih i rubnihtacaka.

b

(x, y)

unutrasnja tacka

D

(a)

rubna tackab

(x, y)

D

(b)

Slika 1.1: Unutrasnja i rubna tacka oblasti. Unutrasnja tacka je obavezno tackaskupa D, dok to za rubnu tacku ne mora biti slucaj.

Tacka X je unutrasnja tacka skupa D ako oko nje mozemo opisati kuglukoja komletno lezi unutar skupa D (B(X, r) ⊆ D). Ako se skup D sastojisamo od unutrasnjih tacaka, onda je on otvoren skup.Tacka X je rubna tacka skupa D ako svaka kugla opisana oko nje sadrzi i

3


tacke van tog skupa. Skup rubnih tacaka skupa D uobicajeno oznacavamosa ∂D. Rubne tacke nisu obavezno elementi skupa. Ako skup D sadrzi svesvoje rubne tacke, onda je on zatvoren skup.

b

10

(a) Otvorena jedinicna kugla,

{(x, y) | x2 + y2 < 1}

b

10

(b) Rub jedinicne kugle,

{(x, y) | x2 + y2 = 1} (kruznica)

10

(c) Zatvorena jedinicna ku-

gla, {(x, y) | x2 + y2 ≤ 1}

Slika 1.2: Unutrasnje i rubne tacke jedinicne kugle u ravni.

Slicno intervalima na realnoj pravoj koji mogu biti otvoreni ((a, b)), za-tvoreni ([a, b]) ili ni otvoreni ni zatvoreni ((a, b] ili [a, b)), i oblast u visedimenzio-nalnom prostoru ne mora biti ni otvorena ni zatvorena. Na slici 1.2 je pri-kazana situacija da ako otvorenoj kugli (a) ”dodamo” sve tacke ruba (b),dobijamo zatvorenu kuglu (c). Naravno, ako otvorenom skupu dodamo samoneke tacke ruba (ne sve), takav skup ne bi bio ni otvoren ni zatvoren.

Dio prostora je ogranicen ako lezi unutar neke kugle fiksnog radijusa, usuprotnom kazemo da je on neogranicen. Dakle, skup D ⊂ R

n je ogranicen

D

B(O, r)

O

ako postoji kugla B(X, r) (X ∈ Rn, r > 0), takva da je D ⊆ B(X, r).

Primjeri ogranicenih skupova u R2 i R3 su: segment, trougao, pravougaonik,

unutrasnjost kruga, elipsoid i sl. Neograniceni skupovi su npr. prava linija,kvadranti, poluravni, oktanti i sl.

Primjer 5 : Za funkciju f : Df → R,

f(x, y) =√

1− x2 − y2 ,

x i y su nezavisne varijable, a domen je

Df = {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ 1} .

Domen je ogranicen i zatvoren skup.

unutrasnjost domena

rub domena

Df

Primjer 6 : Za funkciju f : Df → R,

f(x, y) = log (y − x2) ,

x i y su nezavisne varijable, a domen je

Df = {(x, y) ∈ R2 | y > x2} .

4


Domen je neogranicen skup i u ovom primjeru on se sastoji samo od unutrasnjihtacaka.

unutrasnjost domena

rub domena

Df

Kodomen funkcija vise varijabli je dio realne prave i naravno diktiran jesamom funkcijom. Primjere nekih funkcija sa njihovim domenima i kodo-menima dajemo u narednoj tabeli.

Funkcija Domen Kodomen

f(x, y) = x+ y R2

R

f(x, y) =1

x2 + y2 + 1R2 (0, 1)

z =√

y − x2 y ≥ x2 [0,+∞)

z = log(1− x2 − y2) x2 + y2 < 1 (−∞,+∞)

z =1

xyxy 6= 0 (−∞, 0) ∪ (0,+∞)

w =z2

x2 + y2x2 + y2 6= 0 [0,+∞)

1.1.2 Graficko predstavljanje funkcija

U grafickom predstavljanju funkcija vise varijabli uobicajena su dva nacina,pomocu nivo linija i pomocu grafa.

Definicija 1.1.2

Za datu funkciju f : Rn → R i realan broj c, skup

L = {(x1, x2, ..., xn) ∈ Rn| f(x1, x2, ..., xn) = c}

nazivamo nivo skup funkcije f za nivo c. Za n = 2, L nazivamo nivokriva funkcije f , a za n = 3, kazemo da je L nivo povrs funkcije f . Cr-tanje koje prikazuje nivo skupove za razlicite nivoe nazivamo konturnocrtanje funkcije.

xy

z

Konturna linija

Nivo linija

z = c

(a) Presjek sa ravni z = c

x

yz

(b) Pogled sa z-ose

xy

z

(c) Nekoliko presjeka

Slika 1.3: Konturna linija grafa i njoj odgovarajuca nivo linija.

5


Naprimjer, kod funkcije dvije promjenljive z = f(x, y), drzeci z fiksnim,tj. stavljajuci f(x, y) = c, geometrijski to tumacimo kao presjecanje povrsif(x, y) sa ravni z = c (Slika 1.3 (a)). U presjeku (crvena linija) dobijamosve tacke povrsi f(x, y) cija je vrijednost (vrijednost zavisne promjenljivez) jednaka c i datu liniju nazivamo konturna linija (kriva). Projektova-njem konturne linije u xOy ravan dobijamo liniju koju nazivamo nivo linija(kriva). Ovo mozemo zamisliti kao da figuru na slici (1.3) gledamo iz neke”daleke” tacke na z-osi, sto vidimo na slici (1.3.(b)). Radeci ovaj postupakza razne c, dobijamo konturnu sliku grafa.

Primjer 7 : Neka je f : R2 → R, zadata sa f(x, y) = 4 − 2x2 − y2. Za zadato c ∈ R,

skup tacaka koje zadovoljavaju jednakost 4− 2x2 − y2 = c predstavlja nivo skupfunkcije f . Jasno, ako je c > 4, taj skup je prazan jer bi u tom slucaju imali daje −2x2− y2 > 0, sto ocigledno nije moguce niti za jedno (x, y) ∈ R

2; za c = 4 onse sastoji samo od jedne tacke, (0, 0) (rjesenje jednacine −2x2 − y2 = 0 je samojedna tacka (x, y) = (0, 0)); za c < 4 taj skup je elipsa sa centrom u koordinatnompocetku, tj. za svako c < 4 nivo linija je predstavljena elipsom, sto je prikazanaona donjoj slici (slika 1.4 desno) za nekoliko razlicitih nivoa (izborom vrijednostikonstante c = −2, c = −1, c = 0 i c = 1).

x y

z

(a) Pogled sa z-ose

c = 1

c = 0

c = −1

c = −2

b

(b) Nivo linije funkcije f(x, y) = 4− 2x2− y2.

Slika 1.4: Formiranje konturne slike.

Primjer 8 : Neka je f : R2 → R, zadata sa

f(x, y) =sin√

x2 + y2√

x2 + y2.

Za proizvoljnu tacku (x, y) na centralnoj kruznici x2 + y2 = r2, poluprecnika r >

0, funkcija f(x, y) ima konstantnu vrijednost sin rr

, pa ce nivo linije ove funkcije,kao sto je prikazano na slici sa strane, biti koncentricni krugovi sa centrom ukoordinatnom pocetku.

1

−1

−2

1−1−2

6


Primjer 9 : Posmatrajmo funkciju f : R3 → R, zadatu sa f(x, y, z) = x2 + 2y2 + 3z2.

Jedna nivo povrs ove funkcije zadata je jednacinom x2 + 2y2 + 3z2 = 1, stopredstavlja jednacinu elipsoida. Primjetimo da ako u gornjoj jednacini fiksiramoz = z0, dobijamo jednacinu x2 + 2y2 = 1 − 3z20 , a to su elipse u xOy ravni,sto opravdava cinjenicu da su nivo povrsi funkcije f elipsoidi (slicno smo moglifiksirati i varijable x i y i dobiti da su projekcije u yOz ravan i u xOz ravan takodeelipse). Generalno, nivo povrsi date funkcije su elipsoidi x2 +2y2 +3z2 = c, gdjeje c ∈ R proizvoljna konstanta.

x

y

z

Primjer nivo linija imamo u kartografiji. Naime, kada na karti, koja jedvodimenzionalni prikaz trodimenzionalnog terena, zelimo prikazati planinu,onda to upravo cinimo prikazom punom linijom onih tacaka te planine kojesu na istoj nadmorskoj visini. To je prikazano na slici 1.5, gdje se ”uvecanje”nivo linija (nadmorske visine) dobija uvecanjem nadmorske visine za 100metara. Ovim nacinom takode predstavljamo izobare (podrucja sa istimpritiskom), izoterme (podrucja sa istom temperaturom) i sl.

100

200

300

300

400

500

400

500

600

653

Slika 1.5: Prikazivanje nadmorskih visina pomocu nivo linija.

Kod proucavanja funkcije jedne promjenljive, y = f(x), svakom smoparu (x, y) pridruzivali jednu tacku M(x, y) u realnoj ravni. Skup svih tak-vih tacaka M , cinio je grafik funkcije f i on je bio predstavljen kao kriva linijau ravni. U slucaju kada posmatramo funkciju dvije promjenljive z = f(x, y),grafik funkcije ce biti izrazen tackama M(x, y, z), dakle u trodimenzional-nom prostoru. Pri tome vrijedi

1◦ Svaka tacka grafika, M(x, y, z), ima apscisu (po x-osi) i ordinatu (po y-osi) koje predstavljaju koordinate neke tacke X(x, y) iz domena funk-cije, i aplikatu (po z-osi) koja je jednaka vrijednosti funkcije u tackiX(x, y).

2◦ Svaka tacka M(x, y, z) prostora za koju tacka X(x, y) pripada domenufunkcije, a aplikata z je jednaka vrijednosti funkcije u tacki X, pripadagrafiku funkcije.

b

b

b

b

b

X

M

z

y

x

apscisa ordinata

aplikata

Na osnovu recenog zakljucujemo da je grafik funkcije slika njene oblastidefinisanosti. Ako je z = f(x, y) definisana u oblasti D ⊆ R

2, njen grafikpredstavlja povrs u prostoru R

3, cija je projekcija na xy-ravan oblast D.

7


Definicija 1.1.3

Neka je f : Df → R, Df ⊆ Rn. Skup

G ={

(x1, x2, ..., xn, xn+1) ∈ Rn+1| xn+1 = f(x1, x2, ..., xn)

}

,

nazivamo graf funkcije f .

Primjetimo da je graf G funkcije f : Rn → R u prostoru R

n+1, pa kaoposljedicu toga imamo da smo u mogucnosti geometrijski predstavljati samoslucajeve kada je n = 1 i tada imamo krivu koja predstavlja funkciju jednevarijable, i kada je n = 2 u kom slucaju je graf povrs u trodimenzionalnomprostoru. Sta bi bila geometrijska interpretacija grafika funkcije 3 i visepromjenljivih za sada nam je nemoguce reci, s obzirom da nemamo nacinda prikazemo uredene cetvorke, petorke itd.

Primjer 10 : Graf funkcije f(x, y) = 2x2 + y2, f : R2 → R, prestavlja skup uredenih trojki

(x, y, z) ∈ R3, koje zadovoljavaju jednakost z = 2x2 + y2. Da bi smo predstavili

graf ove funkcije u R3, koristimo ideju da predstavljamo dijelove tog grafa koji

leze iznad mreze linija paralelnih osama u xy-ravni. Npr., za jedno fiksiranox = x0, skup tacaka koje zadovoljavaju jednacinu

z = 2x20 + y2 ,

predstavlja parabolu koja lezi iznad linije x = x0 u xy-ravni. Na isti nacin,ako fiksiramo y = y0, skup tacaka koje zadovoljavaju jednacinu z = 2x2 + y20 ,je parabola koja lezi iznad linije y = y0. Ako istovremeno nacrtamo vise tihparabola za razne x = x0 i y = y0, dobijamo mreznu predstavu te povrsi (grafa)i u ovom slucaju ta povrs je paraboloid (Slika 1.6).

x y

z

x0 y0

x y

z

Slika 1.6: Paraboloid; Graf funkcije z = 2x2 + y2.

8


Primjer 11 : Mada se za grafove mnogih funkcija mozemo posluziti idejom mreze, izlozenom

u gornjem primjeru, za vecinu funkcija dobra slika njihovih grafova zahtjeva upo-trebu racunarske grafike ili eventualno mnogo umjetnicke vjestine. Tako napri-mjer, za predstavljanje grafa funkcije

f(x, y) =sin√

x2 + y2√

x2 + y2,

mozemo se posluziti konturnim crtanjem i zakljuciti da graf funkcije oscilujeukoliko se pomjeramo od koordinatnog pocetka u bilo kom pravcu, tacnije da

nivo krugovi iz konturnog crtanja rastu i opadaju sa oscilacijomsin r

r, gdje je

r =√

x2 + y2. Ekvivalentno, dijelovi grafa funkcije f iznad proizvoljne linije uxy-ravni koja prolazi kroz koordinatni pocetak, predstavljeni su funkcijom

z =sin r

r.

Ovo zaista jeste dobra ideja za predstavljanje grafa funkcije f , ali iskreno govorecimnogi ne bi bili u stanju produkovati sliku tog grafa koja je prikazana na slici(1.7). Primjetimo takode da nasa funkcija nije definisana u tacki (0, 0) ali da onatezi ka vrijednosti 1, kada tacka (x, y) tezi ka (0, 0), sto je opravdano cinjenicom

limr→0

sin r

r= 1 .

x y

z

Slika 1.7: Graf funkcije f(x, y) =sin

√x2+y2√

x2+y2.

Ovdje treba otkloniti i nedoumicu oko funkcija oblika z = sinx (Slika 1.8lijevo) ili z = y2 (Slika 1.8 desno). Naime, u oba slucaja podrazumijevamoda je z = z(x, y) pa grafici predstavljaju povrsi u prostoru, a nepojavljivanjeneke od varijabli znaci njenu proizvoljnost u definisanosti funkcije.

Narednim slikama su prikazane neke povrsi (funkcije dvije varijable) za-jedno sa svojim konturnim grafovima.

9


x

y

z

x

y

z

Slika 1.8: (lijevo) z = sinx, (desno) z = y2.

-4 -2 0 2 4

-4

-2

0

2

4

(a)

-5

0

5-5

0

5

-2

0

2

(b)

Slika 1.9: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f(x, y) =x2y

x2 + y2

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

(a)

-5

0

5

-5

0

5

-0.5

0.0

0.5

(b)

Slika 1.10: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f(x, y) =xy

x3 + y3

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

(a)

-5

0

5

-5

0

5

-2

-1

0

1

2

(b)

Slika 1.11: Nivo linije (a) i graf (b) funkcije f(x, y) = sinx+ cos y

10

1.2. Granicna vrijednost funkcije n varijabli

1.2 Granicna vrijednost funkcije n varijabli

1.2.1 Pojam granicne vrijednosti

Neka je data funkcija y = f(x1, x2, ..., xn) i A(a1, a2, ..., an) ∈ Rn. Sa UA

oznacimo proizvoljnu okolinu tacke A i neka je L ∈ R i UL okolina tacke L.

Definicija 1.2.1

Funkcija n nezavisnih projenljivih, f(x1, x2, ..., xn) = f(X), ima u tackiA(a1, a2, ..., an) granicnu vrijednost jednaku L, ako vrijedi,

1◦ tacka A je tacka nagomilavanja domena funkcije f ,

2◦ za proizvoljnu okolinu UL, postoji okolina UA, tako da se vrijed-nost funkcije f(X) nalazi u okolini UL za svaku tacku X 6= A

koja se nalazi u UA.

Cinjenicu da funkcija f ima u tacki A granicnu vrijednost jednaku L,simbolicki zapisujemo sa

limX→A

f(X) = lim(x1,...,xn)→(a1,..,an)

f(X) = limx1→a1,...,xn→an

f(x1, x2, ..., xn) = L .

Posmatrani limes nazivamo simultani limes, a odgovarajucu granicnuvrijednost nazivamo simultana granicna vrijednost.

Istaknimo da za postojanje granicne vrijednosti, sama tacka A ne morapripadati domenu funkcije f , sto isticemo prvim zahtjevom u gornjoj defi-niciji. Ako se za okoline UA koriste sferne okoline, onda gornju definicijumozemo iskazati na sljedeci nacin.

Definicija 1.2.2

Funkcija f u tacki A ∈ Rn ima granicnu vrijednost jednaku L ako

vrijedi,


2◦ za proizvoljno ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, takav da za sve X za

koje je 0 < d(X,A) < δ ⇔ 0 <

(

n∑

i=1

(xi − ai)2

)1

2

< δ, vrijedi

|f(X)− L| < ε.

Ukoliko koristimo kubne okoline, Definicija 1.2.1 izgleda ovako.

11


Definicija 1.2.3

Funkcija f u tacki A ∈ Rn ima granicnu vrijednost jednaku L ako

vrijedi,


2◦ za proizvoljno ε > 0, postoji δ = δ(ε) > 0, takav da za sve X zakoje je 0 < d(X,A) < δ ⇔ 0 < |xi − ai| < δ, i = 1, 2, ..., n,vrijedi |f(X)− L| < ε.

Posmatrajmo neke slucajeve granicnog procesa za funkciju dvije pro-mjenljive.

Primjer 12 : Naprimjer, slucaj

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = limx → a

y → b

f(x, y) = L , (1.1)

tumacimo na sljedeci nacin:Ako fiksiramo ε > 0, onda postoji δ = δ(ε) > 0 tako da vazi

|f(x, y)− L| < ε ,

kad god su x i y takvi da vazi |x − a| < δ i |y − b| < δ (kubna okolina), ili√

(x− a)2 + (y − b)2 < δ (sferna okolina). Pri tome je okolina tacke A(a, b), uzavisnosti od metrike data na slici,

AbbX

b b

b

b

b

a− δ a a+ δ

b− δ

b

b+ δ

z

L

()f

Slika 1.12: Kugla sa metrikom d∞

AbbX

b b

b

b

a− δ a a+ δ

b− δ

b

b+ δ

f

Slika 1.13: Kugla sa metrikom d2Sada nam granicni proces (1.1) govori da je slika svakogX iz odgovarajuce okolinetacke A, u nekoj okolini broja L na z-osi.

Primjer 13 : Granicni proces

limx → +∞

y → b

f(x, y) = L ,

tumacimo na sljedeci nacin: Za proizvoljno ε > 0, postoje δ = δ(ε) > 0 i M(ε) >0 takvi da vazi |f(x, y)−L| < ε, kad god su x i y takvi da je x > M i |y− b| < δ.Pri tome je okolina tacke A beskonacni pravougaoni pojas prikazan na slici

12


bb

b

b

M

b− δ

b

b+ δX b

z

Lb

()f

Kao i u prethodnom primjeru, za svako X iz pravougaonog pojasa (formalnookolina tacke A(x → ∞, b)), vrijednost f(X) ce lezati u okolini broja L na z-osi.

Sljedece osobine granicnih vrijednosti funkcija vise varijabli, analogon sui iskazom i dokazom odgovarajucih tvrdnji za funkcije jedne varijable.

Teorem 1.2.1

Neka su f, g : Rn → R i neka postoje

limX→A

f(X) = F i limX→A

g(X) = G .

Tada postoje i granicne vrijednosti funkcija f(X)± g(X), f(X) · g(X),f(X)g(X) (g(X) 6= 0) i kf(X) (k ∈ R) i pri tome vrijedi,

1. limX→A

(f(X)± g(X)) = F ±G ,

2. limX→A

(f(X)g(X)) = F ·G ,

3. limX→A

f(X)

g(X)=

F

G,

4. limX→A

kf(X) = kF .

Gornju tvrdnju treba shvatiti kao pravila izracunavanja limesa funkcijavise varijabli. Tako naprimjer, tvrdnju pod 1. treba shvatiti da limes zbiraili razlike funkcija racunamo kao zbir ili razliku limesa funkcija, tj.

limX→A

(f(X)± g(X)) = limX→A

f(X)± limX→A

g(X) ,

naravno pod pretpostavkom da limesi pojedinacnih funkcija postoje.

Primjer 14 : Neka je f : Rn → R zadata sa

f(x1, x2, ..., xn) = xk , k ∈ {1, 2, ..., n} .

Ukoliko sada posmatramo granicni proces kada X → A, tj. X(x1, x2, ..., xn) →A(a1, a2, ..., an), sto u stvari znaci da za proizvoljno i = 1, 2, ..., n vrijedi xi → ai,

13


tada imamo

limX→A

f(x1, x2, ...xn) = lim(x1,...,xn)→(a1,...,an)

xk = ak .

Specijalno, ako posmatramo funkciju f(x, y) = x, onda imamo

lim(x,y)→(a,b)

f(x, y) = lim(x,y)→(a,b)

x = a .

Primjer 15 : Neka je sada f : R3 → R, zadata sa f(x, y, z) = xyz. Koristeci Teorem 1.2.1 i

gornji primjer, imamo

lim(x,y,z)→(a,b,c)

f(x, y, z) = lim(x,y,z)→(a,b,c)

xyz

=

(


x

)(


y

)(


z

)

= abc .

Dakle, ako imamo da je A(1, 2, 1), tada je

lim(x,y,z)→(1,2,1)

xyz = 1 · 2 · 1 = 2 .

Primjer 16 : Kombinujuci prethodno, sada racunamo

lim(x,y)→(−1,2)

(x2 + y2 − 3xy) =

(

lim(x,y)→(−1,2)

x

)(

lim(x,y)→(−1,2)

x

)

+

(

lim(x,y)→(−1,2)

y

)(

lim(x,y)→(−1,2)

y

)

− 3

(

lim(x,y)→(−1,2)

x

)(

lim(x,y)→(−1,2)

y

)

= (−1)(−1) + 2 · 2− 3(−1)2 = 11 .

Sva tri gornja primjera predstavljaju primjere granicnih procesa posebnegrupe funkcija vise varijabli. Naime, funkciju f : Rn → R, oblika

f(x1, x2, ..., xn) = cxk11 xk22 · · · xknn ,

gdje je c skalar, a ki (i = 1, 2, ..., n) nenegativni cijeli brojevi, nazivamo mo-nomom ili monomijalna funkcija. Funkciju koja predstavlja sumu monomanazivamo polinom ili polinomijalna funkcija.

Za nesto slozenije funkcije trebat ce nam i dodatni alat. Sljedeci rezultatnam govori o granicnom procesu kompozicije funkcije vise varijabli i funkcijejedne varijable.

Teorem 1.2.2

14


Neka je f : Rn → R i h : R → R. Ako postoji granicna vrijednost

limX→A

f(X) = F

i ako je h neprekidna funkcija, tada vrijedi

limX→A

h(f(X)) = h(F ) .

Primjer 17 : Koristeci Teorem 1.2.2 i gornje razmatranje za polinomijalne funkcije, lagano

racunamo i granicne procese slozenijih funkcija.Neka je f : Rn → R, zadata sa

f(x1, x2, ..., xn) =√

x21 + x2

2 + · · ·x2n .

Kako je korjena funkcija neprekidna, sada imamo

lim(x1,x2,...,xn)→(a1,a2,...,an)

f(x1, x2, ..., xn) =√

lim(x1,...,xn)→(a1,...,an)

(x21 + x2

2 + · · ·x2n)

=√

a21 + a22 + · · · a2n .

Ili

lim(x,y)→(1,1)

e(x3−y2+3x2y) = e(lim(x,y)→(1,1)(x

3−y2+3x2y))

= e3 .

U oba primjera podrazumijevamo da je tacka A iz domena funkcije f .

Pored polinomijalnih, cesto su u upotrebi i funkcije oblika

f(X) =g(X)

h(X),

gdje su g i h polinomijalne funkcije. Takvu funkciju nazivamo racionalnafunkcija. I ovdje, ukoliko je tacka granicnog procesa A iz domena funkcije,limes racunamo jednostavno. Naime vrijedi,

limX→A

f(X) =limX→A g(X)

limX→A h(X).

15


Primjer 18 : Neka je f(x, y, z) =x2y + 5xyz

2x2 + 3z2.

lim(x,y,z)→(1,−1,2)

f(x, y, z) = lim(x,y,z)→(1,−1,2)

x2y + 5xyz

2x2 + 3z2

=12(−1) + 5 · 1 · (−1) · 2

2 · 12 + 3 · 22

=−6

14= −3

7.

Primjer 19 :

lim(x,y)→(1,2)

ln

(

xy

2x2 + y2

)

= ln

(

lim(x,y)→(1,2)

xy

2x2 + y2

)

= ln

(

2

6

)

= − ln 3 .

Napomenimo jos jednom bitnost pretpostavke da je granicna tacka usvim gornjim primjerima granicnih procesa, bila tacka oblasti definisanostiposmatrane funkcije. Medutim, u definiciji granicne vrijednosti funkcije visevarijabli, zahtjevalimo smo u 1◦ da je A tacka nagomilavanja domena funk-cije, sto znaci da granicne vrijednosti mozemo racunati i u nekim ”drugim”tackama. Tako naprimjer, za funkciju

f(x, y) =x2y

x2 + y2,

tacka A(0, 0) nije iz domena, ali jeste tacka nagomilavanja domena funkcije.Iako je nasa funkcija racionalna, ne bismo mogli primjeniti raniji postupakizracunavanja limesa ove funkcije u tacki A jer bi to dovelo do neodredenogoblika 0

0 .Ipak, ako izaberemo tacku X dovoljno blisku tacki A, tj. neka je

0 < d(X,A) =√

x2 + y2 < δ = ε ,

za proizvoljno ε > 0, tada cemo imati

|f(x, y)− 0| =∣

∣

∣

∣

x2y

x2 + y2

∣

∣

∣

∣

=|x|2|y|

|x2 + y2| ≤d(X,A)2d(X,A)

d(X,A)2= d(X,A) < ε .

Ovo na osnovu Definicije 1.2.2 znaci da vrijedi

lim(x,y)→(0,0)

f(x, y) = 0 .

Za utvrdivanje egzistencije granicne vrijednosti funkcije vise varijablinaredna tvrdnja moze biti od velike koristi.

16


Teorem 1.2.3

Neka je f : Rn → R i neka postoji

limX→A

f(X) = F .

Tada za proizvoljan niz (Xn)n∈N, takav da Xn → A (n → ∞), vrijedi

limn→∞

f(Xn) = F .

Ovu tvrdnju mozemo sada primjeniti na maloprije uradeni primjer. Na-

ime, utvrdili smo da postoji limes funkcije f(x, y) =x2y

x2 + y2u tacki A(0, 0).

Na osnovu posljednje tvrdnje, posmatramo li proizvoljan niz tacaka (X(xn, yn))n∈Nkoji konvergira ka tacki A(0, 0) mora vrijediti

limX→A

f(X) = limn→∞

f(Xn) .

Posmatrajmo niz (xn, yn) = ( 1n, 1n) (n ∈ N). Jasno je da vrijedi ( 1

n, 1n) →

(0, 0) kada n → ∞. Sada imamo

lim(x,y)→(0,0)

x2y

x2 + y2= lim

n→∞

1n2

1n

1n2 + 1

n2

= limn→∞

1

2n2= 0 .

Kako gornja tvrdnja daje samo potrebne, a ne i dovoljne uslove egzisten-cije granicne vrijednosti mnogo ju je bolje koristiti u kontrapoziciji. Naime,ako postoje nizovi (X ′n)n∈N i (X ′′n)n∈N takvi da X ′n → A i X ′′n → A kadan → ∞, za koje je

limn→∞

f(X ′n) 6= limn→∞

f(X ′′n) ,

tada ne postoji limes limX→A f(X).

Primjer 20 : Ispitajmo postojanje granicne vrijednosti funkcije f(x, y) =xy

x2 + y2u tacki

A(0, 0).Posmatrajmo nizove tacaka

(

1n, 1n

)

n∈Ni(

1n,− 1

n

)

n∈N. Ocigledno oba niza konver-

giraju ka tacki A(0, 0). Medutim

limn→∞

1n

1n

1n2 + 1

n2

= limn→∞

1n2

2n2

=1

2,

limn→∞

1n

(

− 1n

)

1n2 + 1

n2

= limn→∞

− 1n2

2n2

= −1

2.

17


Dakle, granicna vrijednost posmatrane funkcije u tacki A(0, 0) ne postoji.

1.2.2 Simultana i uzastopna granicna vrijednost

Prisjetimo se da smo za funkciju f : R → R, postojanje granicne vrijednosti

limx→a

f(x) = L ,

opravdavali postojanjem i jednakoscu lijeve i desne granicne vrijednosti utacki a, tj. uslovom

limx→a−

f(x) = L = limx→a+

f(x) .

Ukoliko jedna od ovih granicnih vrijednosti u tacki a ne postoji, tada ne pos-toji ni granicna vrijednost funkcije u toj tacki. Slicno razmisljanje mozemoprimjeniti i za funkciju vise varijabli, ali razlika lezi u cinjenici sto ce sadapostojati beskonacno mnogo krivih po kojima se tacka X moze priblizavatinekoj tacki A u prostoru R

n, za razliku od samo dvije mogucnosti u prostoruR.

b

a

x→ a− a+← x

x

y

z

b

Slika 1.14: Prilaz tacki na pravoj (lijevo) i u ravni (desno)

Granicnu vrijednost L, definisanu u Definiciji 1.2.1, nazivamo simultanagranicna vrijednost funkcije f(x1, x2, ..., xn). To je bio slucaj kada tackaX(x1, x2, ..., xn) tezi ka tacki A(a1, a2, ..., an) tako da sve koordinate xi tackeX istovremeno teze ka odgovarajucim koordinatama ai tacke A. Medutim,granicni proces mozemo posmatrati i tako da pustamo prvo jednu koor-dinatu da tezi odgovarajucoj fiksnoj vrijednosti, a ostale drzimo fiksnim.Zatim pustamo neku drugu koordinatu da tezi fiksnoj vrijednosti, a preos-tale drzimo fiksnim i tako do posljednje koordinate. Na taj nacin bi smoposmatrali granicni proces u obliku

limxn→a1

limxn−1→an−1

· · · limx2→a2

limx1→a1

f(x1, x2, ..., xn) ,

i posmatrani proces nazivamo uzastopni ili sukcesivni limes funkcije.Posmatrajmo sada funkciju dvije promjenljive f(x, y). Pored simultane

granicne vrijednosti, prema gore recenom, od interesa je posmatrati jos dvijegranicne vrijednosti, a to su

L12 = limx→a

limy→b

f(x, y) , L21 = limy→b

limx→a

f(x, y) ,

18


b

(a, b)

b (x, y)a← x

y→

b

b

(a, b)

b(x, y)

y→

b

a← x

Slika 1.15: Uzastopni limesi: L12 = limx→a

limy→b

i L21 = limy→b

limx→a

koje nazivamo uzastopne granicne vrijednosti (slika 1.15). Pri tome podra-zumijevamo sljedece,

L12 = limx→a

(

limy→b

f(x, y)

)

, L21 = limy→b

(

limx→a

f(x, y))

,

odnosno, u izracunavanju limesa L12 prvo racunamo limy→b

f(x, y), drzeci x

fiksnim, a zatim od dobijenog rezultata racunamo limes, pustajuci da x → a.Kod L21 princip je obrnut, prvo racunamo lim

x→af(x, y), drzeci y fiksnim, a

onda od dobijenog posmatramo granicni proces kada y → b.

Primjer 21 : Izracunati uzastopne limese funkcije f(x, y) = x−yx2+y2 u tacki A(2, 1).

L12 = limx→2

(

limy→1

x− y

x2 + y2

)

= limx→2

x− 1

x2 + 1=

1

5.

L21 = limy→1

(

limx→2

x− y

x2 + y2

)

= limy→1

2− y

4 + y2=

1

5.

Veza simultane i uzastopnih granicnih vrijednosti data je nerednim tvrdenjem.

Teorem 1.2.4

Ako postoji simultana granicna vrijednost

L = limx → a

y → b

f(x, y)

i ako za svako y postoji granicna vrijednost limx→a

f(x, y), tada postoji i

uzastopna granicna vrijednost

L21 = limy→b

limx→a

f(x, y) ,

19


i vrijedi L = L21.

Dokaz : Ako postoji simultana granicna vrijednost L, to znaci da za svakoε > 0, postoji δ > 0 tako da vrijedi

|f(x, y)− L| < ε ,

kad god je |x− a| < δ i |y− b| < δ. Ako fiksiramo y0 tako da je |y0 − b| < δ,prema pretpostavci teorema, postoji

limx→a

f(x, y0) .

Kako je fiksirano y0 bilo proizvoljno, postojat ce i granicna vrijednost

limy→b

limx→a

f(x, y) ,

pa je L granicna vrijednost funkcije F (y) = limx→a f(x, y) kada y → b, cimeje dokaz zavrsen. ♣

Formulaciju gornje teoreme mozemo iskazati potpuno analogno koristecii granicnu vrijednost L12. Posljedice ove teoreme su:

1) Ako postoje simultana i uzastopne granicne vrijednosti tada vrijedi

L = L12 = L21 .

2) Ako je L12 6= L21, onda simultana granicna vrijednost L ne postoji.

Primjer 22 : Posmatrajmo funkciju f(x, y) =x− y

x+ yu tacki O(0, 0).

L12 = limx→0

limy→0

x− y

x+ y= lim

x→0

x

x= 1 .

L21 = limy→0

limx→0

x− y

x+ y= lim

y→0

−y

y= −1 .

L12 6= L21 pa dakle L ne postoji.

Primjer 23 : f(x, y) = x cos y, x → 0 i y → +∞.

Zbog ogranicenosti funkcije kosinus vrijedi

L = limx → 0

y → +∞

x cos y = 0 .

L21 = limy→+∞

limx→0

x cos y = 0 .

L12 ne postoji jer ne postoji granicna vrijednost funkcije cos y kada y → +∞.

20

1.3. Neprekidnost funkcije n varijabli

Primjer 24 : f(x, y) =xy

x2 + y2, x → 0 i y → 0.

L12 = limx→0

limy→0

xy

x2 + y2= 0 = lim

y→0limx→0

xy

x2 + y2= L21 .

Simultani limes ne postoji! Zaista, ako se tacki O(0, 0) priblizavamo po pravojy = x (tj. ako posmatramo tacke oblika X(x, x), a to onda znaci da ako X → O,onda mora x → 0), tada je

L = limx→0

x2

2x2=

1

2,

a ako se ka tacki O(0, 0) priblizavamo po pravoj y = −x, tj. posmatramo tackeoblika X(x,−x), imamo

L = limx→0

−x2

2x2= −1

2,

iz cega je jasno da L ne postoji.

b X(x, y)

O←X

y=x

y=−x

-2

-1

0

1

2-2

-1

0

1

2

-0.5

0.0

0.5

Slika 1.16: Graf funkcije f(x, y) = xy

x2+y2 .

Sa gornjim primjerima smo pokazali neke od mogucnosti ali i problemekod odredivanja granicnih procesa funkcija vise varijabli.

1.3 Neprekidnost funkcije n varijabli

Kao i kod funkcije jedne varijable, neprekidnost funkcije vise varijabli defini-sana je direktno u vezi sa limesom funkcije. Pri tome, pricati o neprekidnostipreslikavanja ima smisla samo o tackama u kojima je preslikavanje defini-sano.

Definicija 1.3.1

21


Neka je funkcija f : Rn → R definisana u okolini tacke A(a1, a2, ..., an).Funkcija tacke f je neprekidna u tacki A ako vrijedi

limX→A

f(X) = f(A) .

Iz gornje definicije vidimo da bi funkcija f bila neprekidna u tacki A trebabiti zadovoljeno:

1◦ da postoji granicna vrijednost funkcije kada X → A,

2◦ da funkcija bude definisana u tacki A,

3◦ da granicna vrijednost funkcije u tacki A bude jednaka vrijednostifunkcije u tacki A.

Definicija 1.3.2

Funkcija f je neprekidna u tacki A ako se za svako ε > 0 moze odreditiδ = δ(ε) > 0, tako da je za sve X takve da je 0 ≤ d(X,A) < δ,zadovoljeno

|f(X)− f(A)| < ε .

Funkcija je neprekidna u oblasti D ako je neprekidna u svakoj tacki teoblasti.

Naravno da gornju definiciju mozemo posmatrati bilo sa sfernom bilo sakubnom okolinom tacke A.

Iz razmatranja u prethodnoj sekciji, vezana za polinomijalne i racionalnefunkcije imamo sljedeca tvrdenja.

Teorem 1.3.1

Neka je f : Rn → R polinomijalna funkcija. Tada za svako A ∈ Rn

vrijedilimX→A

f(X) = f(A) ,

tj. polinomijalna funkcija je neprekidna u svakoj tacki A ∈ Rn.

Primjer 25 : Za polinomijalnu funkciju f(x, y) = 3x3 + 2xy − x + y posmatrajmo granicni

proces kada (x, y) → (0,−1).

lim(x,y)→(0,−1)

f(x, y) = lim(x,y)→(0,−1)

(3x3 + 2xy − x+ y) = −1 = f(0,−1) .

22


Generalno, ako (x, y) → (x0, y0) zbog neprekidnosti polinomijalne funkcije imamo,

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = 3x30 + 2x0y0 − x0 + y0 = f(x0, y0) .

Teorem 1.3.2

Ako je racionalna funkcija f definisana u tacki A, tada vrijedi

limX→A

f(X) = f(A) ,

tj. racionalna funkcija je neprekidna u svakoj tacki svog domena.

Primjer 26 : Za funkciju f(x, y) = x+yx2+y2 posmatrajmo granicni proces kada (x, y) → (1, 1).

lim(x,y)→(1,1)

f(x, y) = lim(x,y)→(1,1)

x+ y

x2 + y2=

1 + 1

12 + 12= 1 = f(1, 1) .

Kako je Df = R2\(0, 0), tackaX(1, 1) ∈ Df , te je racionalna funkcija neprekidna

u toj tacki. Generalno, ako tackaX(x0, y0) ∈ Df , tada zbog neprekidnosti vrijedi

lim(x,y)→(x0,y0)

f(x, y) = lim(x,y)→(x0,y0)

x+ y

x2 + y2=

x0 + y0

x20 + y20

= f(x0, y0) .

Teorem 1.3.3

Neka su funkcije f, g : Rn → R neprekidne u tacki A ∈ Rn. Tada su

u toj tacki neprekidne i funkcije f ± g, f · g, f

g(g(A) 6= 0) i kf (k

proizvoljan skalar iz R).

Teorem 1.3.4

Neka je f : Rn → R neprekidna funkcija u tacki A i ako je g : R → R

neprekidna funkcija, tada je i g ◦ f neprekidna funkcija u tacki A.

Primjer 27 : Kako je funkcija g(t) = sin t neprekidna za proizvoljno t iz R i kako je funkcija

f(x, y, z) =√

x2 + y2 + z2

neprekidna za sve tacke (x, y, z) ∈ R3, onda je i funkcija

h(x, y, z) = sin(√

x2 + y2 + z2)

23


neprekidna u svim tackama iz R3.

Primjer 28 : Prema prethodnom primjeru (samo za funkciju dvije varijable), funkcija

h(x, y) = sin(√

x2 + y2)

je neprekidna za sve (x, y) ∈ R2. Takode je neprekidna i funkcija

g(x, y) =√

x2 + y2

za sve (x, y) ∈ R2. Zakljucujemo onda da je i funkcija

f(x, y) =sin(

√

x2 + y2)√

x2 + y2,

neprekidna u svakoj tacki iz R2, razlicitoj od tacke A(0, 0). Medutim,

limX→A

f(x, y) = lim(x,y)→(0,0)

sin(√

x2 + y2)√

x2 + y2= lim

(x,y)→(0,0)

sin(d(X,A))

d(X,A)= lim

t→0

sin t

t= 1 .

Dakle, prekid funkcije u tacki A(0, 0) je otklonjiv, tj. ako definisemo novu funk-ciju

F (x, y) =

sin(√

x2+y2)√x2+y2

; (x, y) 6= (0, 0)

1 ; (x, y) = (0, 0),

onda je ona neprekidna u svim tackama (x, y) ∈ R2.

Definicija 1.3.3

Linija ili povrs koja predstavlja skup tacaka prekida funkcije f nazivase linijom ili povrsinom prekida funkcije.

Ako je funkcija f neprekidna u oblasti D, ona je neprekidna po svakojliniji i po svakoj povrsi koja lezi u toj oblasti. Ako specijalno posmatramoprave paralelne koordinatnim osama, to onda znaci da je funkcija neprekidnapo svakoj varijabli posebno. Medutim obrat ne vazi, tj. funkcija moze bitineprekidna po svakoj varijabli posebno ali da ipak ima prekide. Na primjer,funkcija

f(x, y) =xy

x2 + y2

je u tacki O(0, 0) neprekidna po svakoj varijabli, ali granicna vrijednost (si-multana) u tacki O ne postoji, tj. funkcija ima prekid u tacki O.

24


Primjer 29 : f(x, y) =ex + ey

x2 + y2 − 1.

Linija prekida ove funkcije je kruznica x2 + y2 = 1.

Primjer 30 : f(x, y, z) =1

ln (4 − x2 − y2 − z2).

Povrs prekida funkcije je sfera x2 + y2 + z2 = 4.

Dio o neprekidnosti zavrsimo sa dva vazna stava, koji opet predstavljajuanalogone odgovarajucih tvrdenja za funkcije jedne varijable.

Teorem 1.3.5

Svaka funkcija n promjenljivih koja je neprekidna u zatvorenoj i ogranice-noj oblasti je ogranicena u toj oblasti.

Teorem 1.3.6

Ako je f neprekidna u proizvoljnoj oblasti i ako za X1 6= X2 iz te oblastivrijedi f(X1) 6= f(X2), tada za proizvoljno C izmedu f(X1) i f(X2),postoji tacka X u toj oblasti takva da je f(X) = C.

25


26

Poglavlje 2

Diferencijabilnost funkcije n

varijabli

2.1 Izvod u pravcu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal . . . . . 29

2.3 Gradijent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.4 Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih . . 38

2.5 Pravila diferenciranja . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.6 Izvodi viseg reda, Hesseova matrica . . . . . . . 49

2.7 Diferencijali viseg reda . . . . . . . . . . . . . . . 59

2.8 Ekstremumi funkcija vise promjenljivih . . . . . 60

2.8.1 Nalazenje lokalnog ekstrema . . . . . . . . . . . . . 61

2.8.2 Nalazenje globalnog ekstrema . . . . . . . . . . . . 67

2.8.3 Uslovni ekstrem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

U ovoj glavi govorit cemo o drugoj vaznoj osobini proizvoljnog preslika-vanja, o diferencijabilnosti. Ovdje cemo pretpostavljati uvijek ako drugacijenije naglaseno, da svaka tacka domena Df posmatranog preslikavanja, pri-pada tom skupu zajedno sa nekom svojom okolinom, tj. pretpostavljat cemoda je skup Df otvoren. U nekim razmatranjima bit ce neophodna i osobinapovezanosti (koneksnosti) tog skupa. Za takav skup (otvoren i povezan) recicemo da je oblast u prostoru R

n.

2.1 Izvod u pravcu

Za funkciju φ : R → R, izvod u tacki x0 ∈ Dφ definisali smo sa

φ′(x0) = limh→0

φ(x0 + h)− φ(x0)

h, (2.1)

i geometrijski, predstavljao je nagib tangente (tj. najbolju linearnu aproksi-maciju) na krivu φ u tacki (x0, φ(x0)) ili trenutnu mjeru promjene funkcijeφ(x) u odnosu na varijablu x, kada je x = x0. Kao uvod za nalazenje ovakve”najbolje linearne aproksimacije” za funkciju f : Rn → R, pokusat cemoiskoristiti, tj. generalizovati (2.1) da bi realizovali ideju ”nagiba” i ”mjerepromjene” za ovakvo preslikavanje.

27

2.1. Izvod u pravcu

Posmatrajmo funkciju f : R2 → R, definisanu sa

f(x, y) = 4− 2x2 − y2 ,

ciji je graf prikazan na slici (na margini). Ukoliko zelimo da vizualiziramokretanje po ovom grafu (povrsi), nagib puta po kome se krecemo ovisi odpolazne tacke ali i od pravca naseg kretanja. Naprimjer, neka je startnatacka P (1, 1, 1) na povrsi i neka je pravac kretanja odreden vektorom ~v′ =(−1,−1, 3). Ovo ce uzrokovati kretanje direktno ka vrhu grafa i jasno jeda je ”mjera promjene” rastuca. Medutim, ako se iz iste tacke krecemou pravcu vektora −~v′, onda ”silazimo niz graf”, tj. ”mjera promjene” jeopadajuca. Obje ove mogucnosti naznacene su na slici crvenom bojom.Ako iz iste tacke krenemo u pravcu vektora ~w′ = (−1, 2, 0), vidimo da jeputanja kretanja po elipsi

2x2 + y2 = 3 ,

tj. ”obilazimo” oko grafa, pa je ”nagib” bez promjene, a time i ”mjera pro-mjene” je 0. Ova mogucnost kretanja je na slici prikazana zelenom bojom.Dakle, govoriti o ”nagibu” na graf funkcije f u tacki, zahtijeva specificiratipravac kretanja.

x

y

z

b

~v′

~w′

X

~v

~w

Kretanju na grafu iz tacke P (1, 1, 1), u pravcu vektora ~v′, odgovara kreta-nje u domenu funkcije, iz tacke X u pravcu vektora ~v = (−1,−1). Analogno,kretanju u pravcu vektora ~w′, odgovara kretanje iz X u pravcu ~w = (−1, 2).Dakle, ukoliko se krecemo iz tacke X(1, 1) u pravcu vektora

~u =~v

||~v|| = − 1√2(1, 1) ,

(normiranje vektora vrsimo iz prostog razloga sto se time pravac i smjer vek-tora ne mijenjaju, pa cemo ”velicinu” pomjeranja u pravcu takvog vektoradiktirati sa velicinom h) tada izraz

f(X + h~u)− f(X)

h,

za proizvoljno h, ce predstavljati aproksimaciju nagiba na graf funkcije f utacki X, u pravcu ~u. Uradimo malo racuna.

f(X + h~u)− f(X) = f

(

1− h√2, 1− h√

2

)

− f(1, 1)

= 4− 2

(

1− h√2

)2

−(

1− h√2

)2

− 1

= 3− 3

(

1−√2h+

h2

2

)

= 3√2h− 3h2

2= h

(

3√2− 3h

2

)

.

28

2.2. Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal

Kao sto smo to radili sa funkcijama jedne varijable, pustajuci sada da h tezika 0, dobili bi smo egzaktan nagib na graf, u tacki A, u pravcu ~u. Iz gornjegonda imamo

limh→0

f(X + h~u)− f(X)

h= lim

h→0

(

3√2− 3h

2

)

= 3√2 .

Dakle, nas graf ima nagib od 3√2 (naravno da ova velicina izrazava tangens

ugla pod kojim se krecemo) ukoliko startujemo iz tacke X(1, 1), u pravcuvektora ~u. Slicnim racunom bi dobili da je u pravcu −~u nagib −3

√2, od-

nosno u pravcu vektora

~w

||~w|| =1√5(−1, 2) ,

nagib je 0.

Definicija 2.1.1

Neka je funkcija f : Rn → R definisana u nekoj otvorenoj kugli okotacke X. Za dati vektor ~u, izraz

Duf(X) = limh→0

f(X + h~u)− f(X)

h, (2.2)

ukoliko limes postoji, nazivamo izvod u pravcu, funkcije f , u pravcuvektora ~u, u tacki X.

Primjer 31 : Prema gornjem razmatranju, za funkciju f(x, y) = 4− 2x2 − y2 je

Duf(1, 1) = 3√2 , D−uf(1, 1) = −3

√2 , Dwf(1, 1) = 0 .

2.2 Parcijalni izvod i parcijalni diferencijal

Kao sto smo vidjeli iz gornjeg, za funkciju vise varijabli ne mozemo jed-nostavno govoriti o izvodu te funkcije, tj. mozemo govoriti o izvodu alipri tome moramo znati pravac kretanja, i tada ustvari govorimo o izvoduu pravcu. Pravac u kome nalazimo izvod funkcije vise varijabli moze bitiproizvoljan, ali pravci odredeni baznim vektorima prostora domena su odposebne vaznosti. Neka su e1, e2, ..., en standardni vektori baze prostora R

n,

e1 = (1, 0, 0, ..., 0) , e2 = (0, 1, 0, ..., 0) · · · en = (0, 0, 0, ..., 1) .

Posmatrajmo funkciju f : Rn → R

f(X) = f(x1, x2, ..., xn) ,

29


koja je definisana u nekoj okolini UA tacke A(a1, a2, ..., an) ∈ Rn. Razmo-

trimo za trenutak funkciju g : R → R, uvedenu na sljedeci nacin

g(t) = f(t, x2, x3, ..., xn) ,

tj. definisemo je preko funkcije f , tako sto pocev od druge, sve varija-ble drzimo fiksnim (ne mjenjamo ih), a samo prvu shvatimo kao varijablu.Dakle, tada je g funkcija jedne varijable pa na nju mozemo primjeniti jed-nakost (2.1),

g′(x) = limh→0

g(x+ h)− g(x)

h.

Ali tada imamo

g′(x1) = limh→0

g(x1 + h)− g(x1)

h

= limh→0

f(x1 + h, x2, ..., xn)− f(x1, x2, ..., xn)

h

= limh→0

f((x1, x2, ..., xn) + (h, 0, ..., 0)) − f(x1, x2, ..., xn)

h

= limh→0

f(X + he1)− f(X)

h= De1f(X) .

Vidimo da je izvod funkcije g u tacki x1 u stvari izvod u pravcu, funkcije f

u tacki X, u pravcu vektora e1.Na isti nacin smo mogli fiksirati proizvoljnu k-tu promjenljivu (k = 1, 2, ..., n)funkcije f , tj. staviti da je g(t) = f(x1, x2, ..., xk−1, t, xk+1, ..., xn) i zakljucitida bi vrijedilo

g′(xk) = Dekf(X) .

Definicija 2.2.1

Neka je funkcija f : Rn → R definisana u nekoj okolini tacke A i nekaje ek (k ∈ {1, 2, ..., n}) k-ti vektor standardne baze u R

n. Ukolikopostoji, izvod u pravcu Dekf(A) nazivamo parcijalni izvod funkcije f

po promjenljivoj xk, u tacki A.

Naravno da smo pojam parcijalnog izvoda mogli uvesti i na mnogo formalnijinacin, uvodeci pojmove prirastaja.

Definicija 2.2.2

Neka je UA ⊆ Rn okolina tacke A(a1, a2, ..., an) i X(x1, x2, ..., xn) ∈ UA

proizvoljna. Razliku

△xk = xk − ak ; k = 1, 2, ..., n

30


nazivamo prirastajem varijable xk, a razliku

△xkf(X) = f(x1, ..., xk +△xk, ..., xn)− f(x1, ..., xn)

nazivamo parcijalnim prirastajem funkcije f po promjenljivoj xk, utacki X.

Primjecujemo da parcijalni prirastaj funkcije n promjenljivih dobijamo takosto vrsimo promjenu samo jedne varijable dok ostale varijable drzimo fiks-nim. Za funkciju dvije varijable imamli bi parcijalne prirastaje,

△xf(x, y) = f(x+△x, y)− f(x, y) i △yf(x, y) = f(x, y +△y)− f(x, y) ,

pri cemu posmatramo promjenu funkcije f samo u pravcu x-ose, odnosnosamo u pravcu y-ose.

Definicija 2.2.3

Granicna vrijednost

lim△xk→0

△xkf(A)

△xk= lim

xk→ak

f(a1, ..., xk, ..., an)− f(a1, ..., an)

xk − ak,

naziva se parcijalnim izvodom funkcije f po promjenljivoj xk u tackiA.

Na analogan nacin definisemo parcijalni izvod u proizvoljnoj tacki

lim△xk→0

△xkf(X)

△xk= lim△xk→0

f(x1, ..., xk +△xk, ..., xn)− f(x1, ..., xn)

△xk.

U razlicitim knjigama matematicke analize nalazimo razne oznake za parci-jalne izvode, kao npr.

f ′xk; fxk

;∂f

∂xki sl. .

Mi cemo najcesce koristiti oznaku ∂f∂xk

, zato primjetimo da ovdje nismo koris-tili oznacavanje koje smo imali kod funkcije jedne promjenljive, tj. oznakudfdx. Razlog za to je cinjenica da izraz ∂f

∂xkni u kom slucaju ne mozemo

shvatiti kao dijeljenje (∂f sa ∂x) sto je bio slucaj sa dfdx

(df = f ′(x)dx).Tehnika odredivanja parcijalnog izvoda se ni u cemu ne razlikuje od teh-

nike izracunavanja izvoda funkcije jedne promjenljive. Pri nalazenju par-cijalnog izvoda po promjenljivoj xk, sve ostale promjenljive shvatamo kaokonstante, a nalazimo izvod po xk, koristeci pravila i tablicu izvoda funkcijajedne promjenljive.

31


Primjer 32 : Za funkciju f : R2 → R, zadatu sa f(x, y) = xy, parcijalni izvodi su

∂f

∂x(x, y) = lim

∆x→0

f(x+∆x, y)− f(x, y)

∆x= lim

∆x→0

(x+∆x)y − xy

∆x= y .

∂f

∂y(x, y) = lim

∆y→0

f(x, y +∆y)− f(x, y)

∆y= lim

∆y→0

x(y +∆y)− xy

∆y= x .

Primjer 33 : f(x, y) =x

y.

∂f

∂x=

y ∂∂x

x− x ∂∂x

y

y2=

y − 0

y2=

1

y,

∂f

∂y=

y ∂∂y

x− x ∂∂y

y

y2=

0− x

y2= − x

y2.

Kod funkcije jedne varijable y = f(x), ako je x = g(t), imali smo praviloizvoda slozene funkcije (pravilo kompozicijeili lancano pravilo) y = f(g(t)),koje glasi

df

dt=

df

dx

dx

dt.

Pravilo kompozicije moramo takode imati i kod funkcija vise varijabli. Pokaza-cemo to pravilo za funkciju dvije varijable, a ono se lahko prenosi na funk-cije sa n varijabli. Kao prvo razmotrimo slucaj kada je f funkcija dvijuvarijabli i g funkcija jedne varijable, tojest posmatrajmo slucaj kompozi-cije z = g(f(x, y)). z je ovisna o dvije varijable pa njene parcijalne izvoderacunamo po pravilu:

∂z

∂x=

dg

df· ∂f∂x

,∂z

∂y=

dg

df· ∂f∂y

.

Primjer 34 : f(x, y) = sin(xy − y).

∂f

∂x(x, y) =

∂

∂xsin(xy − y)

= cos(xy − y)∂

∂x(xy − y)

= cos(xy − y)

(

∂

∂x(xy)− ∂

∂xy

)

= y cos(xy − y) .

32


∂f

∂y(x, y) =

∂

∂ysin(xy − y)

= cos(xy − y)∂

∂y(xy − y)

= cos(xy − y)

(

∂

∂y(xy)− ∂

∂yy

)

= (x− 1) cos(xy − y) .

Primjer 35 : Neka je f(x, y) =√

x2 + y2. Ona je kompozicija polinomijalne funkcije (x2+y2)

i korijene funkcije (funkcija jedne varijable).

∂f

∂x=

1

2√

x2 + y2· 2x =

x√

x2 + y2,∂f

∂y=

1

2√

x2 + y2· 2y =

y√

x2 + y2.

Primjer 36 : Posmatrajmo funkciju f : R3 → R, f(x, y, z) = ln(x+ yz).

∂f

∂x(x, y, z) =

∂

∂xln(x+ zy) =

1

x+ zy

∂

∂x(x+ zy) =

1

x+ yz,

∂f

∂y(x, y, z) =

∂

∂yln(x+ yz) =

1

x+ yz

∂

∂y(x+ yz) =

z

x+ yz,

∂f

∂z(x, y, z) =

∂

∂zln(x+ yz) =

1

x+ yz

∂

∂z(x + yz) =

y

x+ yz.

Parcijalni izvodi u konkretnoj tacki, npr. A(1, 1, 2) bili bi

∂f

∂x(1, 1, 2) =

1

3,∂f

∂y(1, 1, 2) =

2

3,∂f

∂z(1, 1, 2) =

1

3.

Primjer 37 : Pravilo kompozicije mozemo primjenjivati i u drugim situacijama. Npr. posma-

trajmo semu otpornika u paralelnoj vezi.

R3

R2

R1

U

Ukupan otpor kola dat je sa

1

R=

1

R1+

1

R2+

1

R3. (2.3)

Dakle, ukupan otpor je funkcija tri varijable, R = R(R1, R2, R3). Akosada zelimo naci parcijalne izvode po Ri (i = 1, 2, 3), onda to mozemo uraditi

33


izracunavajuci otpor R eksplicitno iz formule (2.3)

R =R1R2R3

R1R2 +R1R3 +R2R3.

Medutim, ako lijevu stranu u (2.3) shvatimo kao kompoziciju racionalne funkcije( 1R) i nase funkcije R, onda direktno imamo

d 1R

dR

∂R

∂R1=

∂ 1R1

∂R1+

∂ 1R2

∂R1+

∂ 1R3

∂R1,

odakle je

− 1

R2

∂R

∂R1= − 1

R21

,

tj.∂R

∂R1=

R2

R21

.

Analogno nalazimo parcijalne izvode po ostalim promjenljivima.

Neka je z = f(x, y) i neka su i x i y funkcije nekog parametra t, tj.x = x(t) i y = y(t). Tada je funkcija z = f(x(t), y(t)), ustvari funkcija jednevarijable (t) i pri tome imamo: Ako su funkcije x(t) i y(t) diferencijabilne ut i ako je funkcija f diferencijabilna u tacki (x(t), y(t)), tada vrijedi

z

x y

t

∂z∂x

∂z∂y

dxdt

dydt

dz

dt=

∂z

∂x

dx

dt+

∂z

∂y

dy

dt.

Primjer 38 : Neka je f(x, y) = sinx + cos(xy) i neka su x = t2 i y = t3. Tada prema pravilu

kompozicije imamo

df

dt=

∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt

= (cosx− sin(xy)y)2t+ (− sin(xy)x)3t2

= (cos t2 − t3 sin t5)2t− 3t4 sin t5 .

Primjer 39 : Pravougaonik ima duzinu 6 m i sirinu 4 m. U svakoj sekundi duzina se poveca

za 3 m, a sirina za 2 m. Odrediti promjenu povrsine pravougaonika u jednoj

34


sekundi.

6m

4m P

3m

2m

x - duzina pravougaonika

y - sirina pravougaonika

P - povrsina pravougaonika

t - vrijeme

Duzina i sirina pravougaonika su funkcije vremena, x = x(t) i y = y(t).Promjena duzine u jedinici vremena je dx

dt= 3, a promjena sirine u jedinici

vremena je dydt

= 2.Povrsina pravougaonika je P (x, y) = x · y, a zbog zavisnosti duzine i sirine odvremena imamo P (x(t), y(t)) = x(t) · y(t). Izracunajmo zavisnost povrsine ovremenu.

dP

dt=

∂P

∂x

dx

dt+

∂P

∂y

dy

dt= y

dx

dt+ x

dy

dt.

Stepen promjene povrsine u datom momentu je

dP

dt(6, 4) = 4 · 3 + 6 · 2 = 24

m2

s.

Ukoliko su x i y zavisne od dvije varijable, tj. x = x(t, s) i y = y(t, s),tada pravilo kompozicije glasi:Ako funkcije x i y imaju parcijalne izvode prvog reda u tacki (t, s) i ako jefunkcija z = f(x, y) diferencijabilna u tacki (x(t, s), y(t, s)), tada vrijedi

z

x y

t s

∂z∂x

∂z∂y

∂x∂t

∂x∂s

∂y∂t

∂y∂s

∂z

∂t=

∂z

∂x

∂x

∂t+

∂z

∂y

∂y

∂t,

∂z

∂s=

∂z

∂x

∂x

∂s+

∂z

∂y

∂y

∂s.

Primjer 40 : Zadata je funkcija z = f(x, y) = x2 − y2 i pri tome je x = ρ cosφ, y = ρ sinφ.

Odrediti parcijalne izvode funkcije f po promjenljivima ρ i φ.

35

2.3. Gradijent

∂f

∂ρ=

∂f

∂x· ∂x∂ρ

+∂f

∂y· ∂y∂ρ

= 2x cosφ− 2y sinφ

= 2ρ(cos2 φ− sin2 φ) = 2ρ cos 2φ ,

∂f

∂φ=

∂f

∂x· ∂x∂φ

+∂f

∂y· ∂y∂φ

= 2x(−ρ sinφ)− 2yρ cosφ

= −4ρ2 cosφ sinφ = −2ρsin2φ .

2.3 Gradijent

Mnoge fizikalne velicine imaju razlicite vrijednosti u razlicitim tackamaprostora. Na primjer, temperatura u nekoj prostoriji nije jednaka u svimtackama: zimi je visoka kraj izvora toplote, a niska pored otvorenog prozora.Elektricno polje oko tackastog naboja veliko je pored naboja i smanjuje sekako se udaljavamo od naboja. Slicno, gravitacijska sila koja djeluje na nekisatelit zavisi od udaljenosti satelita od Zemlje. Brzina toka vode u nekompotoku velika je u uskim kanalima, a mala tamo gdje je potok sirok.U svim ovim primjerima postoji neko podrucje prostora koje nam je posebnozanimljivo za problem koji rjesavamo; u svakoj tacki prostora neka fizikalnavelicina ima svoju vrijednost. Izraz polje znaci cesto i podrucje i vrijednostfizikalne velicine u tom podrucju (npr. elekticno polje, gravitacijsko polje).Ako je fizikalna velicina koju promatramo skalar (npr. temperatura), tadagovorimo o skalarnom polju. Ako je fizikalna velicina vektor (npr. elektricnopolje, brzina, sila) tada govorimo o vektorskom polju.Jedna od velicina koja karakterise termin polja jeste pojam gradijenta.

Definicija 2.3.1

Neka je funkcija f : Rn → R definisana u okolini UA tacke A i nekapostoje ∂f

∂xk(A) za sve k = 1, 2, ..., n. Vektor

∇f(A) =

(

∂f

∂x1(A),

∂f

∂x2(A), ...,

∂f

∂xn(A)

)

,

nazivamo gradijent funkcije f u tacki A.

U gornjoj definiciji posmatramo funkciju cije su vrijednosti skalari, za kojuu primjenama kazemo da je skalarno polje, a definisana velicina bi ondaimala naziv gradijent skalarnog polja. Korisno je primjetiti to da za funkcijuf : Rn → R, njen gradijent je funkcija ∇f : Rn → R

n, tj. gradijent jefunkcija ciji je ulaz n-dimenzionalna velicina (vektor), a izlazna je takode n-dimenzionalni vektor. Ovakve funkcije uobicajeno nazivamo vektorsko polje,

36

2.3. Gradijent

a sa cime cemo se susresti u narednim matematickim izucavanjima.

Vektorski operator∇ (nabla) se u dekartovom pravouglom koordinatnomsistemu (3D) definise sa

∇ ≡(

∂

∂x,∂

∂y,∂

∂z

)

=−→i

∂

∂x+−→j

∂

∂y+

−→k

∂

∂z.

Kazemo da je to vektorski operator jer on funkciji f dodjeljuje velicinu∇f , po principu

∇f =−→i∂f

∂x+

−→j∂f

∂y+

−→k∂f

∂z.

Primjer 41 : Na osnovu Primjera 32, gradijent funkcije f(x, y) = xy je

∇f(x, y) = (y, x) ,

odnosno u konkretnoj tacki je, npr. ∇f(−2, 7) = (7,−2) = −2−→i + 7

−→j .

Primjer 42 : Iz Primjera 36 imamo

∇f(1, 1, 2) =

(

1

3,2

3,1

3

)

=1

3

−→i +

2

3

−→j +

1

3

−→k .

Primjer 43 : Za funkciju f(x, y) = 4− 2x2 − y2 imamo ∂f∂x

(x, y) = −4x , ∂f∂y

(x, y) = −2y, pa

je gradijent dat sa

∇f(x, y) =

(

∂f

∂x(x, y),

∂f

∂y(x, y)

)

= (−4x, 2y) .

Konkretno u tacki O(0, 0) je ∇f(0, 0) = (0, 0) .

Nije tesko pokazati da za gradijent vrijede sljedeca pravila:

1. ∇(kf) = k∇f , (k = const. ).

2. ∇(f ± g) = ∇f ±∇g.

3. ∇(fg) = g∇f + f∇g.

4. ∇(

f

g

)

=g∇f − f∇g

g2.

Gradijent skalarnog polja iznimno je vazan u fizici gdje izrazava vezuizmedu polja i potencijala (gravitacijska polja), odnosno sile i potencijalneenergije (elektricna polja). Ako se neko polje E moze u cijelosti opisatikonkretnom funkcijom f(X) tako da je E = −∇f(X), odnosno simbolicki,

37

2.4. Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih

polje = −∇(potencijal) ,

tada skalarnu funkciju f nazivamo njegovim potencijalom. Specijalno, akose neka sila F moze napisati kao negativni gradijent neke funkcije V , tadaskalarnu funkciju V nazivamo potencijalnom energijom.

2.4 Diferencijabilnost funkcija vise promjenljivih

Neka je f : Rn → R definisana u nekoj okolini UA tacke A(a1, a2, ..., an).Samo postojanje parcijalnih izvoda ne obezbjeduje neke bitne osobine po-smatrane funkcije, sto vidimo iz sljedeceg primjera.

Primjer 44 : Posmatrajmo funkciju f : R2 → R, zadatu sa

f(x, y) =

{ xyx2+y2 ; (x, y) 6= (0, 0)

0 ; (x, y) = (0, 0)

Nije tesko pokazati da je f prekidna funkcija u tacki (0, 0). S druge strane onaima oba parcijalna izvoda u tacki (0, 0):

∂f

∂x(0, 0) = lim

h→0

f(h, 0)− f(0, 0)

h= lim

h→0

0

h= 0 ,

∂f

∂y(0, 0) = lim

k→0

f(0, k)− f(0, 0)

k= lim

k→0

0

k= 0 .

Dakle, parcijalni izvodi postoje u tacki (0, 0). a funkcija ima prekid u toj tacki.

Jasno je dakle, da za razliku od funkcija jedne promjenljive gdje je postoja-nje izvoda znacilo neprekidnost funkcije, postojanje parcijalnih izvoda kodfunkcije vise varijabli ne moze garantovati odredene ”lijepe” osobine funk-cije, nego moramo posmatrati neka svojstva koja uzimaju u obzir ponasanjefunkcije u citavoj okolini posmatrane tacke.

Definicija 2.4.1

Razlika△f(A) = f(X)− f(A) ; (X ∈ UA) ,

naziva se totalni prirastaj funkcije f u tacki A.

Totalni prirastaj funkcije u tacki X(x1, x2, ..., xn) izrazavamo preko prirastajanezavisnih promjenljivih, tj.

△f(X) = f(X +△X)− f(X) = f(x1 +△x1, ..., xn +△xn)− f(x1, ..., xn) .

Za razliku od parcijalnog prirastaja gdje jednu varijablu mijenjamo, a svedruge ”drzimo” fiksnim, kod totalnog prirastaja sve varijable istovremeno”dozivljavaju” neku promjenu.

38


Definicija 2.4.2

Za funkciju f(X) = f(x1, ..., xn) definisanu u okolini tacke A ∈ Rn,

kazemo da je diferencijabilna u toj tacki ako vrijedi

△f(A) = L(X) + ω(X)d(X,A) , (2.4)

gdje je

L(X) =

n∑

k=1

pk(xk − ak) =

n∑

k=1

pk△xk , (2.5)

linearna funkcija prirastaja nezavisnih promjenljivih, pk (k = 1, 2, ..., n)su realni koeficijenti, ω(X) neprekidna funkcija u tacki A takva da je

limX→A

ω(X) = ω(A) = 0

i

d(X,A) =

(

n∑

k=1

(xk − ak)2

)1

2

,

rastojanje tacke X od tacke A.

Definicija 2.4.3

Linearnu funkciju L(X) iz (2.5) nazivamo totalni diferencijal funkcijef(X) u tacki A i oznacavamo ga sa

L(X) = df(X) =n∑

k=1

pk△xk =n∑

k=1

pkdxk .

Teorem 2.4.1: (Potrebni uslovi diferencijabilnosti)

Neka je funkcija f(X) diferencijabilna u tacki A. Tada vrijedi:

1. Postoji parcijalni izvod po svakoj promjenljivoj u tacki A.

2. Koeficijenti pk (k = 1, 2, ..., n) u izrazu za totalni diferencijal suparcijalni izvodi funkcije, tj.

pk =∂f

∂xk(A) ; k = 1, 2, ..., n .

39


Dokaz : Ako je funkcija f diferencijabilna u tacki A, tada po Definiciji 2.4.2vrijedi

△f(A) = f(x1, x2, ..., xn)− f(a1, a2, ..., an) =

n∑

k=1

pk△xk + ω(X)d(X,A) .

Ako fiksiramo n− 1 promjenljivih

x1 = a1, ..., xk−1 = ak−1, xk+1 = ak+1, ..., xn = an ,

imamo

△f(A) = f(a1, ..., ak−1, xk, ak+1, ..., an)−f(a1, ..., ak, ..., an) = pk△xk+ω(X)|xk−ak| ,

odakle je

limxk→ak

△f(A)

△xk= pk + sgn(xk − ak) lim

xk→akω(a1, ..., ak−1, xk, ak+1, ..., an) .

Odavde vidimo da za proizvoljno k ∈ {1, 2, ..., n} vrijedi

pk =∂f

∂xk(A) ,

iz cega opet vidimo da parcijalni izvodi postoje i da su oni upravo koeficijentipk (k = 1, 2, ..., n). ♣

Na osnovu gornje teoreme vidimo da totalni diferencijal diferencijabilnefunkcije f(X) ima oblik

df(X) =∂f

∂x1(X)dx1 +

∂f

∂x2(X)dx2 + ...+

∂f

∂xn(X)dxn , (2.6)

ili izrazeno vektorski

df(X) =

(

∂f

∂x1(X),

∂f

∂x2(X), ...,

∂f

∂xn(X)

)

·(dx1, dx2, ..., dxn) = ∇f(X)·dX ,

gdje je dX = (dx1, dx2, ..., dxn), vektor prirastaja nezavisnih varijabli. Gor-nja veza nam vec pokazuje vaznost gradijenta funkcije, tj. diferencijal funk-cije se moze prikazati kao skalarni produkt gradijenta funkcije i vektoraprirastaja argumenata. U analogiji sa funkcijom jedne varijable (df(x) =f ′(x)dx) vidimo da ulogu izvoda funkcije preuzima gradijent.

Primjer 45 : Za funkciju f(x, y) = 4−2x2−y2, totalni diferencijal u proizvoljnoj tackiX(x, y)

racunamo tako sto prvo odredimo parcijalne izvode

∂f

∂x= −4x ,

∂f

∂y= −2y ,

40


a zatim iskoristimo (2.6)

df(X) =∂f

∂x(X)dx+

∂f

∂y(X)dy = −4xdx− 2ydy .

U konkretnoj tacki A(−1, 2), totalni diferencijal glasi df(A) = 4dx− 4dy.

S obzirom na uvedeno u gornjim definicijama, ako je f : Rn → R di-ferencijabilna u tacki A ∈ Df , prirastaj funkcije u tacki A zbog (2.4) jeoblika

△f(A) = f(X)− f(A) = df(X) + ω(X)d(X,A) .

Ako se tacka X ”priblizava” sve vise tacki A, zbog limX→A

ω(X) = 0, vidimo

da je prirastaj funkcije △f sve bolje aproksimiran diferencijalom funkcijedf , tojest u blizini tacke A vrijedi △f(A) ≈ df(A), a to onda znaci dase vrijednost funkcije u tacki koja je blizu tacke A moze aproksimativnoizracunati sa

f(X) ≈ f(A) + df(A) ,

sto nazivamo lokalnom aproksimacijom funkcije u tacki.

Primjer 46 : Koristeci lokalnu aproksimaciju izracunati vrijednost funkcije f(x, y) =√

x2 + y2

u tacki X0(3.04, 3.98).Za zadatu funkciju njeni parcijalni izvodi su

∂f

∂x=

x√

x2 + y2,

∂f

∂y=

y√

x2 + y2.

Iz cinjenice da je △f(X0) ≈ df(X0) i △f(X0) = f(X)− f(X0) za tacku X blizutacki X0 imamo

√

x2 + y2 ≈√

x20 + y20 +

x0√

x20 + y20

(x− x0) +y0

√

x20 + y20

(y − y0) .

Uzmimo da je tacka X0(3, 4) i da je X(3.04, 3.98). Tada imamo

√

(3.04)2 + (3.98)2 ≈ 5 +3

5· 0.04 + 4

5· (−0.02) = 5.008 .

Teorem 2.4.2

Ako je funkcija f(x1, ..., xn) diferencijabilna u tacki A, ona je i nepre-kidna u toj tacki.

Dokaz : Iz diferencijabilnosti funkcije imamo

△f(A) = f(X)− f(A) = L(X) + ω(X)d(X,A) ,

a odavde onda imamo

limX→A

(f(X)− f(A)) = limX→A

L(X) + limX→A

ω(X)d(X,A) = 0

41


(jer je L(A) = 0). Ovo ne znaci nista drugo do

limX→A

f(X) = f(A) ,

tj. neprekidnost funkcije f u tacki A. ♣

Da neprekidnost ne povlaci diferencijabilnost, vidimo iz sljedeceg pri-mjera.

Primjer 47 : Posmatrajmo funkciju f : R2 → R, zadatu sa

f(x, y) =

{

xy2

x2+y2 ; (x, y) 6= (0, 0)

0 ; (x, y) = (0, 0)

Data funkcija je neprekidna u tacki (0, 0) (sto je ostavljeno citaocu za vjezbu) iima parcijalne izvode ∂f

∂x(0, 0) = ∂f

∂y(0, 0) = 0. Medutim, f nije diferencijabilna

u tacki (0, 0). Zaista, ako bi bila diferencijabilna imali bi smo

∆f(0, 0) = f(∆x,∆y)−f(0, 0) =∂f

∂x(0, 0)∆x+

∂f

∂y(0, 0)∆y+ω(∆x,∆y)d(X,O) ,

odnosno, odavde je zbog d(X,O) =√

∆x2 +∆y2,

ω(∆x,∆y) =∆x∆y2

(∆x2 +∆y2)32

.

Zbog osobine funkcije ω, moralo bi biti limX→O

ω(X) = 0, tj.

lim∆x→0,∆y→0

∆x∆y2

(∆x2 +∆y2)32

= 0 ,

sto nije tacno jer za ∆x = ∆y > 0 je

∆x∆y2

(∆x2 +∆y2)32

=1

2√29 0 , ∆x,∆y → 0 .

Uslov diferencijabilnosti u gornjoj teoremi mozemo zamijeniti nesto sla-bijim uslovima. Naime vrjedi,

Teorem 2.4.3

Ako funkcija f(X) u nekoj oblasti D ima ogranicene parcijalne izvodepo svakoj promjenljivoj, tada je ona neprekidna u toj oblasti.

Sta vise, sa jos blizim informacijama o parcijalnim izvodima mozemo imatijos preciznije informacije o funkciji. Tako specijalno vrijedi

42


Teorem 2.4.4

Ako funkcija f(X) u oblasti D ima parcijalne izvode po svakoj pro-mjenljivoj jednake nuli, onda je funkcija u toj oblasti konstanta.

Ovo je analogon cinjenici za funkciju jedne varijable, da ako je f ′(x) = 0 zax ∈ A, da je tada f konstantna na A.

Sljedeci teorem je analogon Lagrangeovoj teoremi za funkcije jedne pro-mjenljive (Za diferencijabilnu funkciju na intervalu (a, b), za proizvoljan[x, y] ⊂ (a, b), postoji c ∈ (x, y), tako da je f(y) − f(x) = f ′(c)(y −x)).

Teorem 2.4.5: (Lagrangeov teorem)

Ako funkcija f(X) u okolini UA tacke A ima konacne ili beskonacneparcijalne izvode po svakoj promjenljivoj, tada za proizvoljno X ∈ UA

postoje tacke X1,X2, ...,Xn ∈ UA, takve da je

f(X)− f(A) =

n∑

k=1

∂f

∂xk(Xk)dxk .

Iskazimo sada i dovoljne uslove diferencijabilnosti.

Teorem 2.4.6: (Dovoljni uslovi diferencijabilnosti)

Ako funkcija f(X) ima u okolini tacke A parcijalne izvode po svakojpromjenljivoj i ako su ti parcijalni izvodi neprekidni u tacki A, tada jefunkcija f(X) diferencijabilna u tacki A.

Dokaz : Dokaz cemo jednostavnosti zapisa radi, dati za funkciju dvije pro-mjenljive i on se lahko moze prenijeti na funkcije sa n promjenljivih.Na osnovu Lagrangeovog teorema, prirastaj funkcije f(x, y) ima oblik

f(x, y)− f(a, b) =∂f

∂x(X1)(x− a) +

∂f

∂y(X2)(y − b) , (2.7)

gdje su tacke X(x, y),X1(ξ1, b) i X2(a, ξ2) iz okoline UA tacke A. Zbogpretpostavljene neprekidnosti parcijalnih izvoda, tj. neprekidnost funkcija∂f∂x

(x, y) i ∂f∂y(x, y) u tacki A(a, b), iz (2.7) imamo da vrijedi

limx → a

y → b

f(x, y) = f(a, b) ,

pa vazi

∂f

∂x(X1) =

∂f

∂x(A) + ε1(X) ,

∂f

∂y(X2) =

∂f

∂y(A) + ε2(X) ,

43


gdje ε1 → 0 i ε2 → 0, kada X → A.Ako posljednje dvije jednakosti pomnozimo sa x − a i y − b respektivno, itako dobijene jednakosti saberemo, dobijamo

f(x, y)− f(a, b) =∂f

∂x(X1)(x− a) +

∂f

∂y(X2)(y − b)

=∂f

∂x(A)(x − a) +

∂f

∂y(A)(y − b) + ε1(X)(x − a) + ε2(X)(y − b) ,

odnosno△f = df + ε1(X)(x− a) + ε2(X)(y − b) ,

iz cega se, na osnovu Definicije 2.4.2, vidi da je funkcija f diferencijabilna utacki A. ♣

Za funkciju koja u nekoj tacki ima neprekidne parcijalne izvode, recicemo da je neprekidno diferencijabilna u toj tacki. Ako funkcija f zadovo-ljava taj uslov u svim tackama nekog skupa D, onda kazemo da je f nepre-kidno diferencijabilna na D. Skup neprekidno diferencijabilnih funkcija nanekom skupu D oznacavamo sa C1(D).

Posmatrajmo sada f : R2 → R i neka je f neprekidno diferencijabilnafunkcija u nekoj okolini UA tacke A(a1, a2) ∈ R

2. Neka je u = (u1, u2)proizvoljan jedinicni vektor i nadimo izvod u pravcu Duf(A). Na osnovudefinicije izvoda u pravcu imamo

Duf(A) = limh→0

f(A+ hu)− f(A)

h

= limh→0

f(a1 + hu1, a2 + hu2)− f(a1, a2)

h

= limh→0

f(a1 + hu1, a2 + hu2)− f(a1 + hu1, a2) + f(a1 + hu1, a2)− f(a1, a2)

h

= limh→0

(

f(a1 + hu1, a2 + hu2)− f(a1 + hu1, a2)

h+

f(a1 + hu1, a2)− f(a1, a2)

h

)

.

Za fiksno h 6= 0, definisimo sada funkciju φ : R → R, sa

φ(t) = f(a1 + hu1, a2 + t) .

Pretpostavka o diferencijabilnosti funkcije f daje nam diferencijabilnostfunkcije φ, te imamo

φ′(t) = lims→0

φ(t+ s)− φ(t)

s

= lims→0

f(a1 + hu1, a2 + t+ s)− f(a1 + hu1, a2 + t)

s

=∂f

∂y(a1 + hu1, a2 + t) .

44


Neka je sada α : R → R, definisana sa

α(t) = φ(u2t) = f(a1 + hu1, a2 + tu2) . (2.8)

α je diferencijabilna i na osnovu izvoda slozene funkcije imamo

α′(t) = u2φ′(tu2) = u2

∂f

∂y(a1 + hu1, a2 + tu2) . (2.9)

Na osnovu teorema o srednjoj vrijednosti funkcije jedne varijable, postojiξ ∈ (0, h), takav da vrijedi

α(h) − α(0)

h= α′(ξ) .

Stavljajuci sada (2.8) i (2.9) u gornju jednakost, dobijamo

f(a1 + hu1, a2 + hu2)− f(a1 + hu1, a2)

h= u2

∂f

∂y(a1 + hu1, a2 + ξu2) .

(2.10)Na isti nacin, posmatrajuci funkciju β : R → R, zadatu sa β(t) = f(a1 +tu1, a2), imamo da vrijedi

β′(t) = u1∂f

∂x(a1 + tu1, a2) ,

i opet koristeci teorem o srdnjoj vrijednosti, zakljucili bi da postoji η ∈ (0, h),tako da je

f(a1 + hu1, a2)− f(a1, a2)

h=

β(h) − β(0)

h= β′(η) = u1

∂f

∂x(a1 + ηu1, a2) .

(2.11)Stavljajuci sada (2.10) i (2.11) u izraz za Duf(A), imamo

Duf(A) = limh→0

(

u2∂f

∂y(a1 + hu1, a2 + ξu2) + u1

∂f

∂x(a1 + ηu1, a2)

)

. (2.12)

Kako su ξ, η ∈ (0, h), kada h → 0, to onda i ξ, η → 0. Iskoristivsi definitivnoi pretpostavku o neprekidnosti parcijalnih izvoda ∂f

∂xi ∂f

∂y, racunajuci limes

u (2.12), dobijamo

Duf(A) = u1∂f

∂x(a1, a2) + u2

∂f

∂y(a1, a2) . (2.13)

Generalizaciju tvrdnje iskazane u (2.13) iskazujemo za funkciju f : Rn → R

sljedecom teoremom.

45


Teorem 2.4.7

Neka je f : Rn → R neprekidno diferencijabilna u nekoj okolini tackeA ∈ R

n. Tada za proizvoljan jedinicni vektor u, postojiDuf(A) i vrijedi

Duf(A) = ∇f(A) · u .

Primjer 48 : Neka je f : R2 → R, zadata sa f(x, y) = 4− 2x2 − y2.

∇f(x, y) = (−4x,−2y), pa za vektor u =(

− 1√2,− 1√

2

)

imamo

Duf(1, 1) = ∇f(1, 1) · u = (−4,−2) ·(

− 1√2,− 1√

2

)

= 3√2 ,

sto mozemo potvrditi sa ranije uradenim primjerom. Sada jednostavno racunamoi

D−uf(1, 1) = ∇f(1, 1) · (−u) = (−4,−2) ·(

1√2,1√2

)

= −3√2 .

Za vektor v =(

− 1√5, 2√

5

)

imamo

Dvf(1, 1) = (−4,−2) ·(

− 1√5,2√5

)

= 0 .

Neka je sada u proizvoljan jedinicni vektor, f : Rn → R i neka je A ∈ Rn.

Koristeci Cauchy-Schwarzovu nejednakost, mozemo zakljuciti sljedece,

|Duf(A)| = |∇f(A) · u| ≤ ||∇f(A)|| ||u|| = ||∇f(A)|| . (2.14)

Ovo nam govori, bukvalno citajuci, da je apsolutna vrijednost izvoda funk-cije u pravcu u u tacki A, manja ili jednaka intenzitetu vektora gradijentafunkcije u toj tacki. Nesto konkretnije, ovo znaci da velicina promjene rastafunkcije u nekoj tacki u proizvoljnom pravcu nikad ne prelazi duzinu vek-tora gradijenta u toj tacki. Sta vise, znajuci osobine Cauchy-Schwarzovenejednakosti, jednakost u (2.14) ce se postici upravo u slucaju kada je vek-tor u kolinearan vektoru ∇f(A). Zaista, ako je ∇f(A) 6= 0, onda za vektor

u = ∇f(A)||∇f(A)|| imamo,

Duf(A) = ∇f(A) · u =∇f(A) · ∇f(A)

||∇f(A)|| =||∇f(A)||2||∇f(A)|| = ||∇f(A)|| .

Sta vise, vrijedi D−uf(A) = −||∇f(A)||. Gornju tvrdnju iskazujemo sa,

46


Teorem 2.4.8

Neka je f : Rn → R neprekidno diferencijabilna funkcija u nekoj otvore-noj kugli koja sadrzi tacku A. TadaDuf(A) ima maksimalnu vrijednost||∇f(A)|| kada je vektor u ort vektor vektora ∇f(A), a minimalnu vri-jednost, −||∇f(A)||, kada je vektor u ort vektora −∇f(A).

Dakle, gradijentni vektor pokazuje pravac i smjer maksimalne promjenerasta funkcije, odnosno negativni gradijentni vektor pokazuje pravac i smjermaksimalne promjene opadanja funkcije. Sta vise, intenzitet gradijentnogvektora nam govori o velicini rasta u smjeru maksimalnog rasta, odnosnonjegova negativna vrijednos govori o velicini opadanja funkcije u smjerumaksimalnog opadanja.

Primjer 49 : Posmatrajmo ponovo funkciju f : R2 → R zadatu sa

f(x, y) = 4− 2x2 − y2 ,

za koju je∇f(x, y) = (−4x,−2y) .

Ukoliko se nalazimo u tacki A(1, 1) (na grafu u tacki (1, 1, 1)) i zelimo krenuti usmjeru najveceg rasta funkcije f , na osnovu gornje teoreme, trebamo krenuti upravcu vektora

u =∇f(1, 1)

||∇f(1, 1)|| =(

− 2√5,− 1√

5

)

.

Ako trazimo pravac najbrzeg opadanja funkcije, onda ce to biti u pravcu vektora

−u =

(

2√5,1√5

)

.

Sta vise, velicina promjene rasta u pravcu tog vektora je

Duf(1, 1) = ||∇f(1, 1)|| =√20 ,

a velicina opadanja je

D−uf(1, 1) = −||∇f(1, 1)|| = −√20 .

Razmotrimo jos jedan vazan fakat vezan za gradijent funkcije. Po-kazacemo ga za funkciju dvije varijable, a isto rezonovanje imamo za pro-izvoljnu funkciju f : Rn → R.

Dakle, neka je data funkcija z = f(x, y) ciji je graf povrsG u prostoru R3.

Posmatrajmo poizvoljnu tacku P (x0, y0, f(x0, y0)) na grafu G i neka je l nivolinija na grafu G koja prolazi kroz tacku P . Kako je za tu liniju zadovoljenof(x, y) = k, za neko fiksno k ∈ R, i kako je ona jednodimenzionalan objekatu prostoru, mozemo je parametrizovati, tj. svaku tacku linije l mozemo

47

2.5. Pravila diferenciranja

posmatrati kao vektorsku funkciju ~r(t) = (x(t), y(t)) za t ∈ [α, β]. Neka jet0 ona vrijednost parametra koja odgovara tacki P . Kako je nivo linija l napovrsi G, mora biti zadovoljena jednacina

f(x(t), y(t)) = k , za svako t ∈ [α, β] .

Diferenciranjem ove jednakosti po t, primjenom pravila kompozicije, imamo

∂f

∂x

dx

dt+

∂f

∂y

dy

dt= 0 . (2.15)

Nije tesko vidjeti da se jednakost (2.15) moze zapisati u vektorskoj notaciji,(

∂f

∂x,∂f

∂y

)

·(

dx

dt,dy

dt

)

= ∇f · ~r = 0 .

Gornje ce vrijediti u proizvoljnoj tacki nivo linije l, tj.

∇f(x0, y0) · ~r(t0) = 0 .

Dakle, vrijedi vrdnja,

Teorem 2.4.9

Gradijentni vektor funkcije z = f(x1, x2, ..., xn) u svakoj tacki nivo linijef(x1, x2, ..., xn) = k, ortogonalan je na tu liniju.

Na sljedecoj slici prikazano je nekoliko funkcija konturnim grafom (pomocunivo linija) i odgovarajucim ”vektorskim poljem” (”strelice” na slici pred-stavljaju gradijentne vektore date funkcije u raznim tackama). ”Strelice”su usmjerene u pravcu najbrzeg rasta funkcije, a velicina strelica odrazavabrzinu promjene funkcije u tom pravcu. Takode uocavamo ortogonalnostgradijentnih vektora na odgovarajuce nivo linije.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

f(x, y) = x2 + y2 f(x, y) = 1− x2− y2 f(x, y) =

√

x2 + y2 f(x, y) = x2− y2

2.5 Pravila diferenciranja

Kao sto smo vec mogli primjetiti, pravila nalazenja diferencijala funkcijavise varijabli nece se razlikovati od tih pravila kod funkcije jedne varijabe.

48

2.6. Izvodi viseg reda, Hesseova matrica

Teorem 2.5.1

Neka su funkcije f, g : D → R (D ⊆ Rn) diferencijabilne u tacki A ∈ D

i neka su a, b ∈ R proizvoljni. Tada je i funkcija af + bg diferencijabilnau tacki A i vrijedi

d(af + bg)(A) = adf(A) + bdg(A) .

Teorem 2.5.2

Neka su funkcije f, g : D → R (D ⊆ Rn) diferencijabilne u tacki A ∈ D.

Tada su i funkcije f ·g i fg(posljednja uz uslov g(A) 6= 0) diferencijabilne

u tacki A i vrijedi

d(fg)(A) = g(A)df(A) + f(A)dg(A) ,

d

(

f

g

)

(A) =g(A)df(A) − f(A)dg(A)

(g(A))2.

2.6 Izvodi viseg reda, Hesseova matrica

Ukoliko funkcija f : Rn → R ima parcijalne izvode koji postoje na nekomotvorenom skupu U , tada za svako i ∈ {1, 2, ..., n}, ∂f

∂xije takode funkcija

sama za sebe, tj. ∂f∂xi

: Rn → R. Parcijalni izvodi funkcije ∂f∂xi

, ukolikopostoje, nazivaju se parcijalni izvodi drugog reda funkcije f .

Kao i za prve parcijalne izvode i za druge parcijalne izvode postoje razne

oznake kao naprimjer: ∂2f∂xi∂xj

, f ′′xixj, Dxixj

f ili jednostavno fxixj. Mi cemo

se sluziti uglavnom prvom navedenom notacijom, ali po potrebi skracivanjazapisa, cesto cemo upotrebljavati i posljednju navedenu notaciju. Tako zafunkciju z = f(x, y) imamo sljedece parcijalne izvode drugog reda, zapisanei sa prvom i sa posljednjom notacijom:

fxx =∂

∂x

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂x2; fyy =

∂

∂y

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂y2

fxy =∂

∂y

(

∂f

∂x

)

=∂2f

∂x∂y; fyx =

∂

∂x

(

∂f

∂y

)

=∂2f

∂y∂x

Tehnika nalazenja parcijalnih izvoda drugog reda sadrzana je u sim-bolickom zapisivanju tih izvoda. Naprimjer, fxy znaci da od izvoda f ′x (prvis lijeva indeks nam govori od koga pravimo parcijalni izvod) nalazimo par-cijalni izvod po y (drugi indeks s lijeva nam govori po cemu radimo drugiparcijalni izvod).

49


Primjer 50 : Odredimo parcijalne izvode drugog reda funkcije z = x2y.

Prvo odredimo parcijalne izvode prvog reda:

∂z

∂x= 2xy ;

∂z

∂y= x2 .

Odredimo sada parcijalne izvode drugog reda, koristeci gornje objasnjenje. Zanalazenje fxx, uzimamo ∂z

∂xi od njega trazimo parcijalni izvod po x. Tako dobi-

jamofxx = (2xy)′x = 2y .

Analogno, za fxy uzimamo prvi parcijalni izvod po x, pa od njega trazimo izvodpo y

fxy = (2xy)′x = 2x .

Istu logiku koristimo kod nalazenja ostala dva parcijalna izvoda drugog reda,

fyx = 2x ; fyy = 0 .

Primjer 51 : z = ex2+y2

fx = 2xex2+y2

; fy = 2yex2+y2

.

fxx = 2ex2+y2

+2x2xex2+y2

= 2ex2+y2

(1+2x2) ; fxy = 2x2yex2+y2

= 4xyex2+y2

;

fyx = 2y2xex2+y2

= 4xyex2+y2

; fyy = 2ex2+y2

+2y2yex2+y2

= 2ex2+y2

(1+2y2) .

Za funkciju f : Rn → R, parcijalne izvode fxixji fxjxi

(i 6= j), nazivamomjesoviti parcijalni izvodi i na osnovu opisanog postupka, jasna nam je raz-lika istaknuta poretkom indeksa.U pokazana dva primjera primijecujemo da su mjesoviti parcijalni izvodijednaki, fxy = fyx. Postavlja se pitanje da li je to tako u opstem slucaju?Kao sto cemo kasnije vidjeti taj uslov je veoma bitan, a ovdje cemo datiuslove pod kojima su ti parcijalni izvodi jednaki za funkciju dvije pro-mjenljive. Prije toga, odgovor na postavljeno pitanje nam daje sljedeciprimjer.

Primjer 52 : Posmatrajmo funkciju f : R2 → R zadatu sa

f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2; (x, y) 6= (0, 0)

0 ; (x, y) = (0, 0)

Tada je

∂f

∂x(x, y) = y

x4 − y4 + 4x2y2

(x2 + y2)2, (x, y) 6= (0, 0) ;

∂f

∂x(0, 0) = 0 .

50


Onda je

∂2f

∂x∂y(0, 0) = lim

h→0

1

h

(

∂f

∂x(0, h)− ∂f

∂x(0, 0)

)

= limh→0

−h

h= −1 .

Na slican nacin odredujuci, imamo da je

∂2f

∂y∂x(0, 0) = 1 ,

pa ocigledno u opstem slucaju mjesoviti izvodi nisu jednaki.

Definicija 2.6.1

Za funkciju f : Rn → R kazemo da je dva puta neprekidno diferen-cijabilna na otvorenom skupu U ⊆ R

n, i pisemo f ∈ C2(U), ako sufunkcije fxixj

neprekidne na U , za sve i, j ∈ {1, 2, ..., n}.

Pod odredenim uslovima koji su dati u narednoj teoremi, mjesoviti izvodice biti jednaki.

Teorem 2.6.1

Neka je U ⊆ Rn otvoren skup koji sadrzi tacku A i neka je funkcija

f ∈ C2(U). Tada vrijedi

∂2f

∂xi∂xj(A) =

∂2f

∂xj∂xi(A) ,

za sve i, j ∈ {1, 2, ..., n}.

Gornje rezonovanje o parcijalnim izvodima drugog reda sada mozemoprosiriti na parcijalne izvode treceg, cetvrtog i viseg reda, kao i na funkcijetri, cetiri i vise promjenljivih. Za funkciju dvije varijable, vidjeli smo, pos-toje cetiri parcijalna izvoda drugog reda. Praveci od njih ponovo parcijalneizvode, dobijamo parcijalne izvode treceg reda, kojih ce tada biti osam. Zafunkciju tri varijable, parcijalnih izvoda drugog reda ima devet, a trecegreda 27.

U opstem slucaju, funkcija f : Rn → R ima n2 parcijalnih izvoda drugogreda, od kojih onda mozemo formirati kvadratnu matricu reda n× n.

Definicija 2.6.2

Neka svi parcijalni izvodi drugog reda funkcije f : Rn → R postoje u

51


tacki c ∈ Rn. Matricu reda n× n

Hf(c) =

∂2f

∂x21

(c) ∂2f∂x2∂x1

(c) ∂2f∂x3∂x1

(c) · · · ∂2f∂xn∂x1

(c)

∂2f∂x1∂x2

(c) ∂2f

∂x22

(c) ∂2f∂x3∂x2

(c) · · · ∂2f∂xn∂x2

(c)

∂2f∂x1∂x3

(c) ∂2f∂x2∂x3

(c) ∂2f

∂x23

(c) · · · ∂2f∂xn∂x3

(c)

......

.... . .

...∂2f

∂x1∂xn(c) ∂2f

∂x2∂xn(c) ∂2f

∂x3∂xn(c) · · · ∂2f

∂x2n(c)

(2.16)nazivamo Hesseova matrica ili Hessijan funkcije f u tacki c.

Primjetimo da je i-ta kolona Hesseove matrice, gradijent funkcije ∂f∂xi

, tj.∇f ′xi

(c).

Primjer 53 : Neka je f(x, y) = x2y − xy2. Tada je

Hf(x, y) =

[

fxx(x, y) fyx(x, y)fxy(x, y) fyy(x, y)

]

=

[

2y 2x− 2y2x− 2y −2x

]

.

Sada naprimjer, u tacki A(2, 1), Hessijan glasi

Hf(2, 1) =

[

2 22 −4

]

.

Neka je sada f : R2 → R dva puta neprekidno diferencijabilna na nekojotvorenoj kugli B(A, r) ⊆ R

2 i neka je h = (h1, h2) vektor, takav da je||h|| < r. Definisimo novu funkciju ϕ : R → R, na sljedeci nacin

ϕ(t) = f(A+ th) .

(Velicinu A+ th shvatamo tako da se iz tacke A pomjerimo u pravcu vektorah, za duzinu t||h||) Funkcija ϕ je funkcija jedne varijable i pri tome je npr.ϕ(0) = f(A) i ϕ(1) = f(A + h). Na osnovu Taylorove teoreme za funkcijujedne varijable sada imamo

ϕ(1) = ϕ(0) + ϕ′(0) +1

2ϕ′′(ξ) , (2.17)

gdje je ξ ∈ (0, 1). Kako je dϕ = df , koristeci pravilo izvoda kompozicije,imamo

ϕ′(t) = ∇f(A+th)· ddt(A+th) = ∇f(A+th)·h = fx(A+th)h1+fy(A+th)h2 .

(2.18)(jasno, u izrazu ∇f(A+ th) · h imamo skalarno mnozenje). Analogno nala-

52


zimo i drugi izvod

ϕ′′(t) = ∇ (h1fx(A+ th) + h2fy(A+ th)) · h= (h1∇fx(A+ th) + h2∇fy(A+ th)) · (h1, h2)

= [h1 h2]

[

fxx(A+ th) fxy(A+ th)fyx(A+ th) fyy(A+ th)

] [

h1h2

]

.

(Zadnji zapis dobijamo nakon jednostavnog matricnog racuna). Koristecisada oznake

h =

[

h1h2

]

ihT = [h1 h2] ,

posljednje mozemo zapisati sa

ϕ′′(t) = hTHf(A+ th)h . (2.19)

Stavljajuci (2.18) i (2.19) u izraz (2.17), dobijamo sljedecu vezu

f(A+ h) = ϕ(1) = f(A) +∇f(A) · h+1

2hTHf(A+ ξh)h .

Ovaj rezultat predstavlja verziju Taylorove teoreme za funkcije vise varijabli,koga generalizujemo sljedecom teoremom

Teorem 2.6.2

Neka je f : Rn → R i neka je f ∈ C2(B(A, r)) (r > 0). Neka je h

vektor, takav da je ||h|| < r. Tada postoji realan broj ξ ∈ (0, 1), takavda vrijedi

f(A+ h) = f(A) +∇f(A) · h+1

2hTHf(A+ ξh)h . (2.20)

Uvedemo li oznake X = A + h i izracunamo li Hessijan u tacki A, izraz(2.20) predstavlja polinomijalnu aproksimaciju funkcije f .

Definicija 2.6.3

Neka je f : Rn → R dva puta neprekidno diferencijabilna na nekojotvorenoj kugli oko tacke A. Funkciju

P2(X) = f(A) +∇f(A)(X −A) +1

2(X −A)THf(A)(X −A) ,

nazivamo Taylorov polinom drugog reda, funkcije f u tacki A.

53


Primjer 54 : Odredimo Taylorov polinom drugog reda za funkciju f(x, y) = e−2x+y, u tacki

(0, 0).Kao prvo, nalazimo

∇f(x, y) =(

−2e−2x+y, e−2x+y)

i Hf(x, y) =

[

4e−2x+y −2e−2x+y

−2e−2x+y e−2x+y

]

,

odnosno

∇f(0, 0) = (−2, 1) , Hf(0, 0) =

[

4 −2−2 1

]

.

Sada imamo

P2(x, y) = f(0, 0) +∇f(0, 0) · (x, y) + 1

2[x y]Hf(0, 0)

[

x

y

]

= 1 + (−2, 1) · (x, y) + 1

2[x y]

[

4 −2−2 1

] [

x

y

]

= 1− 2x+ y +1

2[x y]

[

4x− 2y−2x+ y

]

= 1− 2x+ y +1

2(4x2 − 2xy − 2xy + y2)

= 2x2 +1

2y2 − 2xy − 2x+ y + 1 .

Svrha Taylorovog polinoma je da se funkcija njime dovoljno dobro aproksimirau okolini neke tacke. Na slici (2.1) dat je prikaz te aproksimacije iz dva uglaposmatranja, da bi se bolje uocila istaknuta aproksimacija u tacki (0,0).

x y

z

x

y

z

Slika 2.1: Aproksimacija funkcije f(x, y) = e−2x+y (zelena) u tacki (0,0), Tayloro-vim polinomom P2(x, y) = 2x2 + 1

2y2 − 2xy − 2y + y + 1 (crvena)

U dijelu linearne algebre, koga smo izucavali ranije, upoznali smo pojam

54


simetricne matrice, tj. kvadratne matrice M = [aij ]n×n za koju vrijedi

M = MT ,

ili za cije elemente vrijedi aij = aji.

Primjer 55 : Matrica

M =

−1 2 −22 5 0

−2 0 3

,

primjer je simetricne matrice, a matrica

M =

[

1 23 4

]

,

je primjer nesimetricne matrice.

Ako je f ∈ C2, tada na osnovu Teorema (2.6.1), imamo da su mjesovitiizvodi jednaki, tj.

∂2f

∂xi∂xj=

∂2f

∂xj∂xi,

a to ce onda na osnovu definicije Hessijana znaciti da je za svaku dva putaneprekidno diferencijabilnu funkciju, njen Hessijan simetricna matrica.

Neka je sadaM proizvoljna simetricna matrica reda n×n. Za proizvoljnumatricu vrstu x (mozemo reci i vektor x = (x1, x2, ..., xn)), definisimo funk-ciju q : Rn → R na sljedeci nacin

q(x) = xTMx . (2.21)

Funkcija q je polinom drugog reda po promjenljivima x1, x2, ..., xn i na-zivamo je kvadratna forma po promjenljivima x1, x2, ..., xn, a matricu M

nazivamo matrica kvadratne forme q.

Primjer 56 : Neka je

M =

[

1 22 1

]

.

Kvadratnu formu dobijamo iz (2.21),

q2(x) = xTMx = [x1 x2]

[

1 22 1

] [

x1

x2

]

= [x1+2x2 2x1+x2]

[

x1

x2

]

= x21+x2

2+4x1x2 .

Za matricu

M =

2 −1 1−1 5 11 1 2

,

55


kvadratna forma glasi

q3(x) = 2x21 + 5x2

2 + 2x23 − 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3 .

Definicija 2.6.4

Za kvadratnu formu q(x) = xTMx kazemo da je

• pozitivno poludefinitna, ako je za svako x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Rn,

zadovoljeno q(x) ≥ 0.

• pozitivno definitna, ako je za svako x 6= 0, zadovoljeno q(x) > 0.

• negativno poludefinitna, ako je za svako x ∈ Rn, zadovoljeno

q(x) ≤ 0.

• negativno definitna, ako je za svako x 6= 0, zadovoljeno q(x) < 0.

• indefinitna ili promjenljivog znaka, ako postoje x′, x′′ ∈ Rn, tako

da je q(x′) > 0 i q(x′′) < 0.

Ako je q(x) = 0, cesto kazemo da je kvadratna forma nedefinitna u tojtacki.

Primjer 57 : Kvadratnu formu q2 iz gornjeg primjera gdje je

M =

[

1 22 1

]

,

mozemo zapisatiq2(x) = (x1 + x2)

2 + 2x1x2 ,

pa za x = (1, 0) imamo q2(x) = 1 > 0, a za x = (1,−1) imamo q2(x) = −2 < 0.Na osnovu definicije, kvadratna forma q2 je indefinitna.

Kvadratnu formu q3 mozemo nakon malo racuna zapisati sa

q3(x) = (x1 + x2 + x3)2 + (x1 − 2x2)

2 + x23 ,

pa je ocigledno ova kvadratna forma pozitivno definitna (kao suma kvadrata)odnosno, za svako x = (x1, x2, x3) 6= 0 je q3(x) > 0.

Kao sto cemo uskoro vidjeti, od velikog je interesa imati nacin odredivanjadefinitnosti neke kvadratne forme. Najjednostavniji nacin bio bi obrazovatitu kvadratnu formu, a onda je svesti na neki ”pogodan” oblik iz koga ”la-gano” mozemo ocijeniti njenu definitnost (ovo smo primjenili u posljednjemprimjeru). Nadimo taj nacin u za nas vaznom slucaju 2× 2 matrice. Neka

56


je zadata simetricna matrica

M =

[

a b

b c

]

.

Kvadratna forma odredena ovom matricom je

q(x, y) = [x y]

[

a b

b c

] [

x

y

]

= ax2 + 2bxy + cy2 .

Ako je a 6= 0, poznatim postupkom svodenja trinoma na kanonski oblikdobijamo

q(x, y) = a

(

x2 +2b

axy +

c

ay2)

= a

(

(

x+b

ay

)2

− b2

a2y2 +

c

ay2

)

= a

(

x+b

ay

)2

+ac− b2

ay2

= a

(

x+b

ay

)2

+det(M)

ay2 .

Sada imamo diskusiju:

1. Ako je a > 0 i det(M) > 0, tada je za svako (x, y) 6= (0, 0), q(x, y) > 0,tj. kvadratna forma je pozitivno definitna.

2. Ako je a < 0 i det(M) > 0, tada je za svako (x, y) 6= (0, 0), q(x, y) < 0,tj. kvadratna forma je negativno definitna.

3. Ako je det(M) < 0, tada u tackama (x, y) = (1, 0) i (x, y) = (− ba, 1)

imamo razlicite znakove kvadratne forme, pa je ona indefinitna.

4. Ako je det(M) = 0, tada imamo

q(x, y) = a

(

x+b

ay

)2

.

Ako je x = − bay, onda je q(x, y) = 0, a u svim ostalim slucajevima

ona uzima znak koga ima parametar a. Dakle, q(x, y) je ili pozitivnoili negativno poludefinitan.

Jasno nam je da bi ovakav postupak odredivanja definitosti kvadratnihformi, odredenih matrica visih dimenzija, bio poprilicno tezak posao. Zatosljedecim teoremom dajemo veoma jednostavan kriterij za utvrdivanje defi-nitnosti kvadratne forme.

57


Teorem 2.6.3: Sylvesterov kriterijum

Neka je

M =

a11 a12 · · · a1na21 a22 · · · a2n· · · · · · · · · · · ·an1 an2 · · · ann

,

proizvoljna kvadratna matrica koja odreduje kvadratnu formu q : Rn →R. Oznacimo sa Ai (i = 1, 2, ..., n) glavne minore matrice M , tj.

A1 = a11 , A2 =

∣

∣

∣

∣

a11 a12a21 a22

∣

∣

∣

∣

, · · · , An = det(M) .

Kvadratna forma q je pozitivno definitna ako i samo ako su sviglavni minori pozitivni, tj. ako vrijedi

A1 > 0 , A2 > 0 , · · · , An > 0 .

Kvadratna forma je negativno definitna ako i samo ako su glavni minorialternativnih znakova, tako da je A1 < 0, tj. ako vrijedi

A1 < 0 , A2 > 0 , A3 < 0 , A4 > 0 , · · ·

Uobicajeno je i za matricu M reci da je pozitivno definitna, negativnodefinitna ili indefinitna kad god je takva kvadratna forma koja je njomeodredena.

Primjer 58 : Za matricu

M =

2 −1 1−1 5 11 1 2

,

glavni minori su A1 = 2 > 0, A2 = 9 > 0 i A3 = det(M) = 9 > 0, pa je kvadratnaforma odredena ovom matricom pozitivno definitna.

Za matricu

M =

[

−2 11 −4

]

,

glavni minori su A1 = −2 < 0 i A2 = det(M) = 7 > 0, pa je kvadratna formanegativno definitna.

Za matricu

M =

[

−3 11 2

]

,

glavni minori su A1 = −3 < 0 i A2 = det(M) = −7 < 0, pa je kvadratna formaindefinitna.

58

2.7. Diferencijali viseg reda

2.7 Diferencijali viseg reda

Neka je u oblasti D definisana funkcija f(x1, x2, ..., xn) koja ima neprekidneparcijalne izvode do n-tog reda. Ranije smo vidjeli da totalni diferencijalima oblik

df =∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + ...+

∂f

∂xndxn ,

gdje su dxi (i = 1, 2, ..., n) prirastaji, odnosno diferencijali nezavisnih pro-mjenljivih. Totalni diferencijal drugog reda ili krace diferencijal drugog reda,definise se kao diferencijal prvog diferencijala, tj. d2f = d(df).

d2f = d

(

∂f

∂x1dx1 +

∂f

∂x2dx2 + ...+

∂f

∂xndxn

)

.

Kako je d(dxi) = 0 za svako i = 1, 2, ..., n, to sada imamo:

d2f = d

(

∂f

∂x1

)

dx1 + d

(

∂f

∂x2

)

dx2 + ...+ d

(

∂f

∂xn

)

dxn ,

odakle sada primjenjujuci formulu za diferencijal funkcije imamo

d2f =∂2f

∂x21dx21+...+

∂2f

∂x2ndx2n+2

∂2f

∂x1∂x2dx1dx2+...+2

∂2f

∂xn−1∂xndxn−1dxn .

Ovaj postupak mozemo generalizovati na diferencijale proizvoljnog reda, tj.imamo

dn+1f = d(dnf) , n ∈ N .

Specijalno, za funkciju dvije varijable f(x, y), drugi diferencijal je dat sa

d2f =∂2f

∂x2dx2 +

∂2f

∂y2dy2 +

∂2f

∂x∂ydxdy +

∂2f

∂y∂xdxdy .

Primjer 59 : Odrediti drugi diferencijal funkcije f(x, y) = x3y2−x2y+2xy−3x+4. Odredujemo

prve parcijalne izvode:

∂f

∂x= 3x2y2 − 2xy + 2y − 3 ,

∂f

∂y= 2x3y − x2 + 2x .

Drugi parcijalni izvodi su:

∂2f

∂x2= 6xy2− 2y ,

∂2f

∂x∂y= 6x2y− 2x+2 ,

∂2f

∂y∂x= 6x2y− 2x+2 ,

∂2f

∂y2= 2x3 .

Konacno, izraz za drugi diferencijal je,

d2f(x, y) = (6xy2 − 2y)dx2 + 2(6x2y − 2x+ 2)dxdy + 2x3dy2 .

59

2.8. Ekstremumi funkcija vise promjenljivih

Primjer 60 : Odrediti drugi diferencijal funkcije g(x, y, z) = sinx+ sin y + sin z.

Prvi parcijalni izvodi su:

∂g

∂x= cosx ,

∂g

∂y= cos y ,

∂g

∂z= cos z .

Drugi parcijalni izvodi su:

∂2g

∂x2= − sinx ,

∂2g

∂y2= − sin y ,

∂2g

∂z2= − sin z

∂2g

∂x∂y=

∂2g

∂x∂z=

∂2g

∂y∂x=

∂2g

∂y∂z=

∂2g

∂z∂x=

∂2g

∂z∂y= 0 .

Dakle, drugi diferencijal je

d2g = − sinxdx2 − sin ydy2 − sin zdz2 .

2.8 Ekstremumi funkcija vise promjenljivih

Sada cemo nas rad iz prethodnih sekcija primjeniti na problem nalazenja mi-nimalne i maksimalne vrijednosti funkcija vise varijabli. Primjetit cemo daje tehnika odredivanja ekstremnih vrijednosti funkcije vise varijabli veomaslicna tehnici koju smo izucavali kod funkcija jedne varijable.

Definicija 2.8.1

Neka je funkcija f : Rn → R, definisana na skupu Df . Kazemo dafunkcija f ima maksimalnu vrijednostM u tacki X0, ako je f(X0) = M

i za sve X ∈ Df vrijedi f(X) ≤ M .Kazemo da funkcija f ima minimalnu vrijednost m u tacki X0, ako jef(X0) = m i za sve X ∈ Df , vrijedi f(X) ≥ m.

Cesto maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije, uvedene gornjom de-finicijom, nazivamo globalni maksimum i globalni minimum, za razliku odpojmova lokalni maksimum i minimum, koje uvodimo sljedecom definicijom.

Definicija 2.8.2

Neka je f : Rn → R definisana na otvorenom skupu U . Kazemo dafunkcija f ima lokalnu maksimalnu vrijednost M u tacki X0, ako jef(X0) = M i za sve X ∈ B(X0, r), za neko r > 0, vrijedi f(X) ≤ M .Kazemo da funkcija f ima lokalnu minimalnu vrijednost m u tackiX0, ako je f(X0) = m i za sve X ∈ B(X0, r), za neko r > 0, vrijedi

60


f(X) ≥ m.

Cesto cemo upotrebljavati i termin globalni ekstrem ili globalna eks-tremna vrijednost, bilo da govorimo o globalnom maksimumu ili globalnomminimumu, a takode i lokalni ekstrem ili lokalna ekstremna vrijednost, kadagovorimo o lokalnom maksimumu ili minimumu.

Teorem 2.8.1: Teorem o ekstremnoj vrijednosti

Neka je funkcija f : Rn → R neprekidna na nekom otvorenom skupuU . Ako je D ogranicen i zatvoren podskup skupa U , tada funkcija f

dostize maksimalnu i minimalnu vrijednost na skupu D.

Sa gornjom teoremom imamo odlican rezultat koji nam govori o egzis-tenciji ekstremne vrijednosti funkcije, ali ne i kako locirati tu vrijednost.Nas sljedeci posao je pronaci kriterije za lociranje tacaka koje su kandidatiu kojima ce se postizati ekstremne vrijednosti, a onda i kriterije za njihovuklasifikaciju, tj. da li se u njima postize ili ne postize ekstrem i ako se postize,koja je vrsta ekstrema, maksimum ili minimum.

Primjer 61 : Ispitati postojanje i odrediti globalnu ekstremnu vrijednost funkcije f(x, y) =

x2 + y2 na skupu D ={

(x, y) ∈ R2| x2 + 4y2 ≤ 4

}

.Kako je skup D ogranicen i zatvoren, a funkcija f neprekidna na R

2, naosnovu Teoreme 2.8.1 zakljucujemo da funkcija ima i maksimum i minimum naskupu D.

2.8.1 Nalazenje lokalnog ekstrema

Za pocetak, posmatrajmo funkciju f : Rn → R koja je diferencijabilna naotvorenom skupu U i koja ima ekstrem u tacki X0. Neka je u proizvoljanjedinicni vektor, tada ce ocigledno, funkcija ϕ : R → R, definisana sa

ϕ(t) = f(X0 + tu) ,

takode imati ekstremnu vrijednost i to upravo za t = 0. Kako je ϕ funkcijajedne varijable, to onda mora biti

ϕ′(0) = 0 . (2.22)

Ali u sekciji 2.1 smo vidjeli da ovaj izvod nije nista drugo do izvod funkcijef u pravcu vektora u, tj.

ϕ′(0) = Duf(X0) . (2.23)

Zakljucujemo da vrijedi,

ϕ′(0) = Duf(X0) = ∇f(X0) · u = 0 .

61


Skalarni produkt jednak je nuli ako je jedan od vektora tog produkta nula-vektor ili ako su vektori ortogonalni. Ortogonalnost otpada jer gornje vrijediza proizvoljan jedinicni vektor u. Koristeci proizvoljnost vektora u, uzmimospecijalno vektore baze. Tada imamo

∇f(X0) · ei =∂f

∂xi(X0) = 0 ,

za i = 1, 2, ..., n. Ovo znaci da mora biti ∇f(X0) = 0. Primjetimo da ovoznaci i to da je nagib grafa funkcije f jednak 0 u tacki X0, u pravcima svihbaznih vektora. Medutim, to znaci mnogo vise naime, nagib grafa je 0 usvim pravcima u jer je Duf(X0) = ∇f(X0) · u. Ovo razmatranje sumiramoteoremom.

Teorem 2.8.2

Neka je f : Rn → R diferencijabilna na otvorenom skupu U i neka imalokalnu ekstremnu vrijednost u tacki X0 ∈ U , tada je ∇f(X0) = 0.

Kako je totalni diferencijal funkcije jednak umnosku gradijenta i diferencijalaargumenta, tj.

df(X) =∂f

∂x1(X)dx1 +

∂f

∂x2(X)dx2 + · ∂f

∂xn(X)dxn = ∇f(X) · dX ,

to onda za diferencijabilnu funkciju koja ima ekstremnu vrijednost u tackiX0, vrijedi

df(X0) = 0 ,

a takvu situaciju smo imali i kod funkcije jedne varijable jer je neophodanuslov bio f ′(x) = 0, a vrijedilo je df(x) = f ′(x)dx. Teorem 2.8.2 nam dajeneke od tacaka koje su kandidati za ekstreme, ali ne i sve. Naime, vrijedi.

Teorem 2.8.3

[Potrebni uslovi za ekstrem] Ako funkcija f : Rn → R ima ekstremu tacki X0, tada vrijedi, ili je ∇f(X0) = 0 ili prvi parcijalni izvodifunkcije u tacki X0 ne postoje.

Dakle, kandidati za ekstremnu vrijednost su sve one tacke u kojima je gra-dijent jednak 0 i sve one u kojima funkcija nije diferencijabilna. Ovo nasnavodi da ove tacke definisemo precizno.

Definicija 2.8.3

Neka je f : Rn → R diferencijabilna u tacki X0 i neka je ∇f(X0) = 0.Tada tacku X0 nazivamo stacionarnom tackom funkcije f .Tacke u kojima funkcija f nije diferencijabilna, nazivamo singularnim

62


tackama funkcije f .

Cesto se za obje gore pomenute vrste tacaka kaze da su kriticne tacke funk-cije.

Primjer 62 : Funkcija f(x, y) = x2+y2 je diferencijabilna funkcija na R2 i∇f(x, y) = (2x, 2y).

Jedine kandidate za ekstremne vrijednosti dobijamo rjesavanjem sistema

2x = 0

2y = 0

Dakle, jedina kriticna tacka je stacionarna tacka X0(0, 0).

Primjer 63 : Za funkciju f(x, y) =√

x2 + y2, gradijent je

∇f(x, y) = (x

√

x2 + y2,

y√

x2 + y2) .

Parcijalni izvodi ne postoje u tacki X0(0, 0) i to je jedina kriticna tacka funkcijef , i ona je singularna tacka.

Primjer 64 : Funkcija f(x, y) = x2 − y2 ima gradijent ∇f(x, y) = (2x,−2y), pa je jedina

kriticna tacka, stacionarna tacka X0(0, 0).

Primjer 65 : Funkcija f(x, y) = 1 − x2 − y2 je diferencijabilna i ∇f(x, y) = (−2x,−2y).

Rjesavanjem sistema

−2x = 0

−2y = 0

dobijamo stacionarnu tacku X0(0, 0).

xy

z

b

xy

z

b

xy

z

bx

y

z

b

f(x, y) = x2 + y2 f(x, y) = 1− x2− y2 f(x, y) =

√

x2 + y2 f(x, y) = x2− y2

Minimum u (0,0)∇f(0, 0) = (0, 0)

Maksimum u (0,0)∇f(0, 0) = (0, 0)

Minimum u (0,0)fx i fy ne postoje

Nema ekstrema,∇f(0, 0) = (0, 0)

Sada kada smo u mogucnosti utvrditi postojanje ekstremne vrijednostifunkcije (Teorem 2.8.1) i identifikovati kandidate za te vrijednosti (Teorem

63


2.8.3) ostaje nam pronaci kriterije za utvrdivanje da li ti kandidati jesuekstremi i klasificirati ih. Prisjetimo se opet funkcija jedne varijable, da jejedan od kriterija za identifikaciju lokalnih ekstrema bio test drugog izvoda.Naime, ako je c bila stacionarna tacka funkcije ϕ : R → R, tada ako jeϕ′′(c) > 0, funkcija je imala minimum u c, a ako je ϕ′′(c) < 0, funkcija jeimala maksimum u tacki c. Taylorov polinom nam na najvidljiviji nacinpokazuje zasto je to tako. Naprimjer, neka je c stacionarna tacka funkcijeϕ i neka je ϕ′′(c) neprekidna na otvorenom intervalu koji sadrzi c, i neka jeϕ′′(c) > 0. Tada za neko ε > 0, postoji interval I = (c− ε, c+ ε) na kome jeϕ′′(c) neprekidna i ϕ′′(t) > 0, za sve t ∈ I. Na osnovu Taylorove teoreme,za proizvoljno h, takav da je |h| < ε, postoji s ∈ (c, c+ h), takav da je

ϕ(c+ h) = ϕ(c) + ϕ′(c)h+1

2ϕ′′(s)h2 . (2.24)

Zbog stacionarnosti je ϕ′(c) = 0. Takode smo imali ϕ′′(s) > 0, pa koristecito u (2.24) dobijamo da je za proizvoljno h, takav da je |h| < ε, zadovoljeno

ϕ(c+ h) > ϕ(c) ,

a ovo znaci da je u tacki c lokalni minimum.

Veoma slicno razmatranje sada mozemo sprovesti i za funkciju f : Rn →R. Na osnovu Teorema 2.6.2 znamo da vrijedi formula

f(A+ h) = f(A) +∇f(A) · h+1

2hTHf(A+ ξh)h ,

gdje je f dva puta neprekidno diferencijabilna funkcija u nekoj okolini tackeA i ξ ∈ (0, 1). Neka je sada A stacionarna tacka funkcije f i neka je HesijanHf(X) pozitivno definitna matrica u nekoj kugli B(A, r). Tada je ∇f(A) =0, pa vrijedi

f(A+ h) = f(A) +1

2hTHf(A+ ξh)h ,

a kako je jos A+ ξh ∈ B(A, r), to je kvadratna forma hTHf(A+ ξh)h > 0.te imamo

f(A+ h) > f(A) ,

za proizvoljno h, tako da je ||h|| < r. Ali ovo onda upravo znaci da funkcijaf ima lokalni minimum u tacki A.Istim argumentima bi rezonovali da smo pretpostavili negativnu definitnostHesijana i naravno, zakljucili bi da funkcija ima lokalni maksimum u tackiA.Ako je Hesijan indefinitan, to bi znacilo da postoji proizvoljno malen h, takoda je kvadratna forma

hTHf(A+ ξh)h > 0 ,

64


i takode proizvoljno malen h da je

hTHf(A+ ξh)h < 0 .

Ovo bi onda uzrokovalo da za neke proizvoljno malene h vrijedi f(A+ h) >f(A), a istovremeno za neke druge proizvoljno malene h je f(A+h) < f(A).U ovom slucaju jasno je da u tacki A ne moze biti niti lokalni minimum nitilokalni maksimum. Tada bi tacka A predstavljala takozvanu sedlastu tackufunkcije f .

Na osnovu gornjeg, sada mozemo iskazati dovoljne uslove za ekstremnuvrijednost funkcije f : Rn → R.

Teorem 2.8.4: Test druge derivacije

Neka je f : Rn → R i f ∈ C2(U), gdje je U otvoren skup. Ako je A ∈ U

stacionarna tacka funkcije f , tada je

1. f(A) lokalni minimum funkcije f , ako je Hf(A) pozitivno defi-nitna matrica.

2. f(A) lokalni maksimum funkcije f , ako je Hf(A) negativno defi-nitna matrica.

3. tacka A sedlasta tacka funkcije f , ako je Hf(A) indefinitna ma-trica.

Ukoliko je Hf(A) nedefinitna matrica, potrebna su dodatna ispitivanjaza klasifikaciju tacke A.

Primjer 66 : Odrediti lokalne ekstremne vrijednosti funkcije f(x, y) = xye−x2−y2

.

Nalazimo prvo gradijent

∇f(x, y) = e−x2−y2

(y − 2x2y, x− 2xy2) .

Kako je e−x2−y2

> 0 za sve (x, y) ∈ R2, cinjenica da je ∇f(x, y) = (0, 0), svodi

se na sistem

y(1− 2x2) = 0 ,

x(1 − 2y2) = 0 .

Prva jednacina ce biti tacna ako je y = 0 ili x = − 1√2ili x = 1√

2. Ako je

y = 0, onda iz druge jednacine vidimo da mora biti i x = 0, a time smo dobiliprvu stacionarnu tacku M1(0, 0). Ako je x = ± 1√

2, onda je druga jednacina

zadovoljena ako je 1−2y2 = 0, odnosno ako je y = 1√2ili y = − 1√

2, pa na taj nacin

65


dobijamo jos cetiri stacionarne tacke: M2(1√2, 1√

2), M3(− 1√

2, 1√

2), M4(

1√2,− 1√

2)

i M5(− 1√2,− 1√

2).

Drugi korak u rjesavanju problema ovog tipa je odredivanje hesijana funkcije

Hf(x, y) = e−x2−y2

[

4x3y − 6xy 4x2y2 − 2x2 − 2y2 + 14x2y2 − 2x2 − 2y2 + 1 4y3yx− 6xy

]

.

Sada nakon kraceg racuna dobijamo

Hf(M2) = Hf(M5) = e−1

[

−2 00 −2

]

.

Kako je A1 = −2e−1 < 0 i

A2 = det

[

−2e−1 00 −2e−1

]

= 4e−1 > 0 ,

na osnovu testa druge derivacuje zakljucujemo da funkcija u tackama M2 i M5

ima lokalni maksimum, i pri tome je f(M2) = f(M5) = fmax = 12e

−1.Dalje imamo

Hf(M3) = Hf(M4) = e−1

[

2 00 2

]

.

Sada je A1 = 2e−1 > 0 i

A2 = det

[

2e−1 00 2e−1

]

= 4e−1 > 0 ,

pa opet na osnovu testa druge derivacije zakljucujemo da funkcija u tackama M3

i M4 ima lokalni minimum i pri tome je f(M3) = f(M4) = fmin = − 12e

−1.

Ostala nam je jos taka M1(0, 0) u kojoj je

Hf(M1) =

[

0 11 0

]

.

Sada je A1 = 0 i A2 = −1, pa je Hesijan indefinitan, a to znaci da je tackaM1(0, 0) sedlasta tacka.

x

y

z

b

Slika 2.2: Graf funkcije f(x, y) = xye−x2−y2

66


2.8.2 Nalazenje globalnog ekstrema

Posmatrajmo funkciju f(x) = 2 − x2. Posmatramo li je na citavom R,ona ima lokalni maksimum u tacki x = 0, koji je i globalni maksimum,a globalnog minimuma nema (slika lijevo). Ako je posmatramo na skupu[−1, 2] i dalje je globalni maksimum u x = 0, ali sada je globalni minimum utacki x = 2 (slika u sredini). Ako je posmatramo za vrijednosti iz [−2,−1],njen globalni minimum je u x = −2, a globalni maksimum je u x = −1(slika desno). Dakle, globalni ekstrem funkcije direktno zavisi od podrucjana kom tu funkciju posmatramo.

1

2

−1

−2

1 2−1−2

1

2

−1

−2

1 2−1−2

1

2

−1

−2

1 2−1−2

Slika 2.3: Globalni ekstrem funkcije jedne varijable

Nesto slicno imamo i kod funkcija vise promjenljivih.

Primjer 67 : Odrediti globalne ekstreme funkcije f(x, y) = x2 + y2 na skupu

D ={

(x, y)| x2 + 4y2 ≤ 4}

.

Skup D je zatvoren i ogranicen, pa na osnovu Teoreme 2.8.1, funkcija f dostizesvoju najmanju i najvecu vrijednost.Kako je funkcija diferencijabilna (kao polinomijalna funkcija), njene jedine kriticnetacke su stacionarne tacke, koje dobijamo iz uslova

∇f(x, y) = (2x, 2y) = 0 .

U tacki (0, 0) je moguc lokalni ekstrem funkcije ali moramo sada posmatrati stase dogada sa nasom funkcijom na rubu oblasti D, tj. na skupu

∂D ={

(x, y)| x2 + 4y2 = 4}

.

S obzirom da su na ∂D nezavisne varijable vezane relacijom x2+4y2 = 4, uvodecipolarne koordinate, tj. smjene x(t) = 2 cos t i y(t) = sin t, gje je t ∈ [0, 2π], nasafunkcija f postaje funkcija jedne varijable

g(t) = f(x(t), y(t)) = f(2 cos t, sin t)

= 4 cos2 t+ sin2 t

= 3 cos2 t+ 1 ,

67


gdje je t ∈ [0, 2π]. Ekstremne vrijednosti funkcije g ce biti i ekstremne vrijednostifunkcije f . Zato posmatrajmo jednacinu

g′(t) = −6 cos t sin t = 0 .

Stacionarne tacke ce biti t = 0, t = π2 , t = π, t = 3π

2 i t = 2π. Dakle, pored tacke(0, 0) imamo jos cetiri kandidata za globalni ekstrem, a to su tacke (2, 0), (0, 1),(−2, 0) i (0,−1), odredene gornjim vrijednostima za t.Izracunavajuci sada vrijednost funkcije u svakoj od ovih pet tacaka, odredujemoglobalne ekstreme.

f(0, 0) = 0 , f(2, 0) = 4 , f(0, 1) = 1 , f(−2, 0) = 4 , f(0,−1) = 1 .

Uporedujuci gornje vrijednosti, zakljucujemo da funkcija f ima globalnu maksi-malnu vrijednost 4 u tackama (2, 0) i (−2, 0) i globalnu minimalnu vrijednost 0u tacki (0, 0).

Kao sto nam pokazuje upravo uradeni primjer, za funkciju zadatu nazatvorenoj i ogranicenoj oblasti odredivanje globalnih ekstrema se svodi nato da pronademo lokalne ekstreme i ekstreme funkcije na rubu te oblasti,a onda odredujemo sta ce biti globalne ekstremne vrijednosti. Ako funk-ciju ne posmatramo na zatvorenoj i ogranicenoj oblasti, onda se problemodredivanja globalnih ekstrema svodi na to da pronademo lokalne ekstreme,a onda nekom metodom ispitamo da li su oni ujedno i globalni ekstremi.Posmatrajmo sljedeci primjer.

Primjer 68 : U nekoj firmi zele da naprave pravougaonu posudu bez krova, zapremine 500

m3 i da pritome utrose sto je manje moguce materijala.Oznacimo sa x i y duzine stranica te posude u osnovi i sa z visinu te po-

sude (sve velicine su izrazene u metrima), tada u stvari treba pronaci minimalnuvrijednost funkcije

M ′(x, y, z) = xy + 2xz + 2yz ,

pri cemu zapremina mora biti xyz = 500. Izrazavajuci z iz ove jednakosti iuvrstavanjem u funkciju M ′, dobijamo funkciju

M(x, y) = xy +1000

y+

1000

x,

kojoj treba odrediti minimalnu vrijednost na beskonacnom pravougaoniku

R = {(x, y)| x > 0 , y > 0} .

Rjesavanjem sistema

∂M

∂x= y − 1000

x2= 0

∂M

∂y= x− 1000

y2= 0

68


dobijamo jedinu stacionarnu tacku A(10, 10).Hesijan funkcije M glasi

HM(x, y) =

[ 2000x3 11 2000

y3

]

,

odnosno

HM(10, 10) =

[

2 11 2

]

.

Kako je det(HM(10, 10)) = 3, zakljucujemo da je Hesijan pozitivno definitan, ato znaci da funkcija M ima lokalni minimum u tacki A(10, 10) i pri tome je

Mmin = M(10, 10) = 10 · 10 + 1000

10+

1000

10= 300 .

Ostaje nam ispitati da li je ovo i globalni minimum funkcije M?Ako je bilo koja varijabla manja od jedan, tj. 0 < x < 1 ili 0 < y < 1, tada je1000x

> 1000, odnosno 1000y

> 1000, pa je ocigledno vrijednost funkcije M vecaod 300. Ako je sada x ≥ 400 i y ≥ 1, onda je xy ≥ 400, pa bi opet vrijednostinase funkcije bile vece od 300 (analogno i slucaj y ≥ 400 i x ≥ 1). Dakle, akoposmatramo skup

D = {(x, y)| 1 ≤ x ≤ 400 , 1 ≤ y ≤ 400} ,

izvan skupa D vrijednosti funkcije M su vece od 300. Na skupu D nasa funkcijaima globalni minimum u tacki (10, 10), pa je to onda ocigledno globalni minimumfunkcije na citavom skupu R.

Ostaje samo jos zakljuciti da je tada

z =500

10 · 10 = 5 ,

odnosno da posuda treba biti dimenzija 10 × 10 × 5, da bi imala odgovarajucuzapreminu i da bi imali minimalne troskove.

2.8.3 Uslovni ekstrem

Primjer 68 ima neke slicnosti sa Primjerom 67. Naime, u oba primjera smonalazili ekstremne vrijednosti funkcije pod restrikcijom na podskup koji jemanje dimenzije. U prvom primjeru smo ekstremizirali funkciju f(x, y) =x2+y2 sa restrikcijom na jednodimenzionalnoj elipsi x2+4y2 = 4. U drugomprimjeru smo ekstremizirali funkciju tri varijableM ′(x, y, z) = xy+2xz+2yzsa restrikcijom na trodimenzionalnu povrs xyz = 500.U prvom smo primjeru problem rijesili tako sto smo parametrizovali elipsu,a zatim smo ekstremizirali funkciju jedne varijable. U drugom smo izraziliz kao funkciju od x i y, a zatim smo ekstremizirali funkciju dvije varijable.U ovoj sekciji cemo dati generalni metod za rjesavanje oba ova ali i drugihslicnih problema.

U osnovnom slucaju ekstremizacija, zadata je neka (diferencijabilna)

69


funkcija f : Rn → R za koju zelimo naci ekstremne vrijednosti. Taj problemsmo rjesavali nalazenjem svih kriticnih tacaka funkcije, a onda testom drugederivacije ispitivali karakter tih tacaka. Medutim, kao sto smo vidjeli u Pri-mjeru 68, nekada treba izvrsiti ekstremizaciju funkcije, pri cemu su nezavisnevarijable te funkcije vezane nekim uslovom, tj. trazimo ekstremnu vrijednostfunkcije f(x1, x2, ..., xn) = y, pri uslovu g(x1, x2, ..., xn) = 0. Ovakvu vrstuekstremizacije nazivamo uslovna ekstremizacija.

Primjer 69 : Neka treba odrediti minimum funkcije z = x2 + y2 pri uslovu x+ y = 1, tj.

x2 + y2 −→ min

x+ y − 1 = 0 .

Ocigledni minimum funkcije, bez uslova , je u tacki (0, 0) i vidimo da ta tackane zadovoljava uslov x + y = 1. Sta geometrijski predstavlja uslov u gornjemproblemu?

Graf funkcije z = x2 + y2 je paraboloid, a uslov x + y = 1 predstavljajednacinu ravni u R

3. Dakle, mi trazimo minimalnu vrijednost na paraboloiduali samo u onim tackama u kojima se sijeku paraboloid (ciljna funkcija) i ravan(uslovna funkcija). Sa slike vidimo da se trazi minimum funkcije koja predstavljaparabolu u prostoru R

3. Zaista, koristeci uslovnu funkciju, mozemo izraziti jednuvarijablu, npr. y = 1− x, pa stavljajuci to u izraz ciljne funkcije imamo,

z = x2 + (1 − x)2 = 2x2 − 2x+ 1 ,

a ovo je zaista jednacina parabole. Sada minimum ove funkcije nalazimo kaoproblem ekstremizacije funkcije jedne vaerijable. z′ = 4x − 2, pa imamo jednustacionarnu tacku x0 = 1

2 . Kako je z′′ = 4, dakle pozitivan, to u tacki x0

funkcija ima minimum. Izracunavajuci y0 = 1−x0 = 12 , zakljucujemo da funkcija

z = x2 + y2 ima minimum u tacki (12 ,12 ), pri uslovu x+ y = 1.

xy

z

Slika 2.4: Uslovni ekstrem

Gornji primjer nam daje jedan metod za rjesavanje problema uslovne ek-

70


stremizacije, ali jasno je da ce primjena ovog metoda biti kudikamo slozenija,za malo slozenije uslovne funkcije. Zato nam je u interesu imati i neki drugimetod, a najopstiji od svih je tzv. Lagrangeov metod, koga cemo sada izloziti.

Sta ce biti motivacija za ovaj metod? Posmatrajmo ponovo gornji pri-mjer i konturnu sliku grafova ciljne i uslovne funkcije (slika 2.5).

Nivo linije funkcije z = x2 + y2 predstavljaju koncentricne centralnekruznice (x2+y2 = k), a uslovna funkcija zbog svog polozaja (ortogonalna naxOy ravan), predstavljena je pravom linijom u xOy ravni. Na slici uocavamoda prava neke od konturnih linija sijece, neke nivo linije nece uopste sjeci alida samo jednu nivo liniju dodiruje. Strelice na slici nam pokazuju pravcerasta ciljne funkcije (gradijentni vektor u razlicitim tackama), a time je ondaodredeno da nivo linije paraboloida blize koordinatnom pocetku, odgovarajumanjim vrijednostima funkcije (u opstem slucaju ovo nije pravilo). Ovoonda znaci da upravo ona nivo linija koja se dodiruje sa uslovnom funkcijompredstavlja bitan momenat. Naime, tacke na onim nivo linijama koje se nesijeku sa uslovnom funkcijom i ne mogu biti kandidati za uslovne ekstreme,a jasno je da od momenta kada prava presjece jednu od nivo linija, sjeci ce isvaku ”vecu” nivo liniju, pa dakle tu i nemozemo traziti konacnu ekstremnuvrijednost.

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5−1−2−3−4−5

Slika 2.5: Nivo linije funkcije z = x2 + y2 sa uslovnom funkcijom x+ y = 1

Naravno, traziti nivo liniju zadate povrsi koja ce dodirivati uslovnu funk-ciju ne bi bio lagan posao. Zato se prisjetimo da je ugao izmedu dvije krivekoje se sijeku, jednak uglu izmedu njihovih tangenti u presjecnoj tacki.Dakle, ako se dvije linije dodiruju, onda se njihove tangente u dodirnojtacki poklapaju, ili drugacije iskazano, vektori normala na tim tangentamasu paralelni. Kako je gradijentni vektor upravo onaj vektor koji je orto-gonalan na nivo liniju u proizvoljnoj tacki, a uslov paralelnosti vektora jeuslov njihove kolinearnosti, zakljucujemo da mi treba da odredimo upravoone tacke (x, y) ∈ R

2 u kojima vrijedi

∇(x2 + y2) = λ∇(x+ y − 1) .

71


Zbog paralelnog pomjeranja, takvih vektora bi bilo beskonacno mnogo.Medutim, mi trazimo tacke na uslovnoj krivoj koje to zadovoljavaju, tj.nalazimo tacke (x, y) koje zadovoljavaju

∇(x2 + y2) = λ∇(x+ y − 1) i

x+ y − 1 = 0 .

Generalno, ako rjesavamo problem

f(X) −→ ext

g(X) = 0 ,

rjesenje ce biti u onim tackama X(x1, x2, ..., xn) u kojima su zadovoljeniuslovi

∇f(X) = λ∇g(X) (2.25)

g(X) = 0 . (2.26)

Izlozeni metod se naziva Lagrangeov metod, a nova varijabla λ ∈ R kojase pojavljuje u uslovu (2.25), naziva se lagrangeov multiplikator. Ako uve-demo funkciju

Λ(X,λ) = f(X)− λg(X) , (2.27)

koju nazivamo Lagrangeova funkcija ili lagranzijan, nije tesko uociti da suuslovi (2.25) i (2.26), ekvivalentni uslovu

∇Λ(X,λ) = 0 . (2.28)

Zaista, nalazeci parcijalne izvode po promjenljivima xi (i = 1, 2, ..., n) imamo

∂Λ

∂xi=

∂f

∂xi− λ

∂g

∂xi, i = 1, 2, ..., n .

Sada zbog (2.28), zakljucujemo da je

∂f

∂xi− λ

∂g

∂xi= 0 ,

za sve i ∈ {1, 2, ..., n}, tj. vrijedi uslov (2.25).Kako je

∂Λ

∂λ= −g(X) ,

opet zbog (2.28) imamog(X) = 0 ,

odnosno uslov (2.26).Na ovaj nacin smo prakticno dali i opis postupka rjesavanja uslovne

ekstremizacije oblikaf(X) −→ ext

g(X) = 0 .

72


1. Prvo formiramo lagranzijan

Λ(x1, x2, ..., xn, λ) = f(x1, x2, ..., xn)− λg(x1, x2, ..., xn) ,

2. Odredujemo ∇Λ(x1, x2, ..., xn, λ).

3. Rjesavamo jednacinu ∇Λ(x1, x2, ..., xn, λ) = 0, tj. sistem

∂Λ

∂x1=

∂f

∂x1− λ

∂g

∂x1= 0

∂Λ

∂x2=

∂f

∂x2− λ

∂g

∂x2= 0

..... .. .............................∂Λ

∂xn=

∂f

∂xn− λ

∂g

∂xn= 0

∂Λ

∂λ= −g(x1, x2, ..., xn) = 0 .

Rjesenja posljednjeg sistema su stacionarne tacke lagranzijana i ostajenam jos samo utvrditi karakter tih tacaka.

Primjetimo odma, da ce u pronadenim stacionarnim tackama X∗, biti

Λ(X∗, λ) = f(X∗) ,

(jer je g(X∗) = 0) tj. ekstremi lagranzijana ujedno su i ekstremi nase ciljnefunkcije. Zato za ispitivanje karaktera tih tacaka mozemo primjeniti testdruge derivacije ili ispitivanjem drugog diferencijala ciljne funkcije. Naime,ako je d2f(X∗) > 0, imamo minimum, a ako je d2f(X∗) < 0 imamo maksi-mum ciljne funkcije sa zadatim uslovom. Ako je d2f(X∗) = 0, potrebna sudodatna ispitivanja za odredivanje karaktera te tacke.

Primjer 70 : Rijesiti problem

f(x, y) = x2 + y2 −→ ext

x+ y = 1 .

Kao sto smo rekli, formiramo prvo lagranzijan

Λ(x, y, λ) = f(x, y)− λg(x, y) = x2 + y2 − λ(x+ y − 1) ,

gdje je sa g(x, y) = x+ y − 1 zadata uslovna funkcija.U drugom koraku racunamo gradijent lagranzijana

∇Λ(x, y, λ) =

(

∂Λ

∂x,∂Λ

∂y,∂Λ

∂λ

)

= (2x− λ, 2y − λ, x+ y − 1) .

73


Sada rjesavamo sistem

2x− λ = 0

2y − λ = 0

x+ y − 1 = 0 .

Iz prve dvije jednacine sistema imamo 2x = 2y, tj. x = y, pa uvrstavajuci to utrecu jednacinu, dobijamo x = y = 1

2 i za ove vrijednosti je λ = 1. Dakle, imamojednu stacioarnu tacku X0

(

12 ,

12 , 1)

.Posljedni korak je utvrdivanje karaktera tacke X0. Racunajuci druge parci-

jalne izvode, imamod2f(X0) = 2dx2 + 2dy2 ,

i vidimo da je d2f(X0) > 0 (kao suma kvadrata), te dakle imamo minimumfunkcije f , pri uslovu g, u tacki

(

12 ,

12

)

, i on iznosi fmin = 12 .

Primjer 71 : Odrediti na kruznici k : (x − 1)2 + (y − 2)2 = 1 najblizu i najdalju tacku od

koordinatnog pocetka.

1

2

3

−1

1 2 3−1−2

b

b

bX1

X2

Problem mozemo rijesiti jednostavno, povlacecipravu odredenu tackama (0, 0) i (1, 2), i nalazecinjen presjek sa zadatom kruznicom.Rijesimo problem ipak na ”tezi” nacin.Razmisljajmo ovako: ako opisemo centralnukruznicu proizvoljnog poluprecnika r, onda ona nasebi sadrzi sve one tacke koje su na istom odstojanjur od koodinatnog pocetka.

”Naduvajmo” neku malu centralnu kruznicu, sve do momenta njenog dodirasa zadatom krucnicom k. Tacka dodira ce upravo biti najbliza tacka koordinat-nom pocetku. Ako nastavimo ”naduvavanje”, kruznice ce sjeci kruznicu k ali tunemamo tacaka koje su najblize ili najdalje jer su sve one dalje od prve dodirnetacke, a naduvavanjem dobijamo sve dalje i dalje tacke. Ovo naravno vrijedi domomenta kada ponovo dobijemo kruznicu koja dodirne kruznicu k (velika crvenakruznica).

Cijeli opisani postupak nas navodi da problem postavimo ovako: nadimominimum i maksimum funkcije f(x, y) = x2 + y2 (to su centralne kruznice cijepoluprecnike trazimo) pri uslovu (x−1)2+(y−2)2 = 1 (na ovoj kruznici trazimonajblizu i najdalju tacku). Dakle, rjesavamo

x2 + y2 −→ ext

(x− 1)2 + (y − 2)2 = 1 .

Lagranzijan problema je Λ(x, y, λ) = x2 + y2 − λ((x − 1)2 + (y − 2)2 − 1), a

74


njegov gradijent, ∇Λ = (2x− 2λ(x− 1), 2y − 2λ(y − 1), (x− 1)2 + (y − 2)2 − 1).Rjesavamo sistem

2x− 2λ(x− 1) = 0

2y − 2λ(y − 1) = 0

(x− 1)2 + (y − 2)2 − 1 = 0 .

Stacionarne tacke su X1

(

1 + 1√5, 2 + 2√

5

)

i X2

(

1− 1√5, 2− 2√

5

)

. Prostom

provjerom zakljucujemo da funkcija u ovim tackama ima najvecu i najmanjuvrijednost, odnosno da su to najdalja i najbliza tacka koordinatnom pocetku, nakruznici k.

Vratimo se na opasku ”tezi” nacin rjesavanja. Postavimo problem da naproizvoljnoj liniji g(x, y) = 0 nademo najblizu ili najdalju tacku od koordinatnogpocetka. Sada onaj ”laksi” nacin uopste nemozemo primjeniti, a ovaj ”tezi”funkcionise. Dakle, on je univerzalnijeg karaktera i kao takav mnogo bolji nacin.Npr. naci na grafu funkcije y = x2+x+1 tacku najblizu koordinatnom pocetku.

U prethodna dva primjera vidjeli smo kako funkcionise Lagrangeov me-tod, pri cemu smo imali samo jedno oganicenje, a time i jednu dodatnu va-rijablu problema. Naravno da ogranicenja moze biti i vise, medutim metodse bitno nece mijenjati. Naime, neka je zadat problem sa dva ogranicenja.

f(x1, x2, ..., xn) −→ ext

h(x1, x2, ..., xn) = 0 ,

g(x1, x2, ..., xn) = 0 .

Formiramo lagranzijan, tako da svakom ogranicenju pridruzimo po jedanlagrangeov multiplikator,

Λ(x1, x2, ..., xn, λ, µ) = f(x1, x2, ..., xn)−λh(x1, x2, ..., xn)−µg(x1, x2, ..., xn) .

Nalazenjem gradijenta lagranzijana, postavljamo sistem

∂Λ

∂xi=

∂f

∂xi− λ

∂g

∂xi− µ

∂h

∂xi= 0 , i = 1, 2, ..., n

∂Λ

∂λ= g(x1, x2, ..., xn) = 0

∂Λ

∂µ= h(x1, x2, ..., xn) = 0 ,

cijim rjesavanjem dobijamo stacionarne tacke problema. Kao i u slucajujednog ogranicenja, nekim od poznatih postupaka odredimo karakter staci-onarnih tacaka.

U opstem slucaju, ako imamo k ogranicenja gi(x1, x2, ..., xn) = 0, postu-pak je isti, a lagranzijan je

Λ(X,λ) = f(X)−k∑

i=1

λigi(X) , λ = (λ1, λ2, ..., λk) .

75


Primjer 72 : Rijesimo problem

f(x, y, z) = 4y − 2z −→ ext

2x− y − z − 2 = 0 ,

x2 + y2 − 1 = 0 .

Za egzistenciju rjesenja gornjeg problema pozivamo se na Teorem 2.8.1. Za-ista, zbog drugog ogranicenja, ocigledno je da vrijedi 0 ≤ x, y ≤ 1, a iz prvogogranicenja onda zakljucujemo da je −3 ≤ z ≤ 0, pa je skup na kome trazimoekstremne vrijednosti funkcije ogranicen i zatvoren.

Lagranzijan glasi

Λ(x, y, z, λ, µ) = 4y − 2z − λ(2x− y − z − 2)− µ(x2 + y2 − 1) .

Nalazimo parcijalne izvode lagranzijana

∂Λ

∂x= −2λ− 2µx

∂Λ

∂y= 4− λ− 2µy

∂Λ

∂z= −2− λ

∂Λ

∂λ= −2x+ y + z + 2

∂Λ

∂µ= −x2 − y2 + 1 .

Sistem koga rjesavamo ima pet nepoznatih (x, y, z, λ, µ) i pet jednacina

−2λ− 2µx = 0

4 + λ− 2µy = 0

−2 + λ = 0

−2x+ y + z + 2 = 0

−x2 − y2 + 1 = 0 .

Iz trece jednacine direktno slijedi λ = 2. Ubacujuci to u prvu i drugu jednacinu,dobijamo

x = − 2

µ, y =

3

µ.

Stavljajuci ove rezultate u petu jednacinu, imamo

4

µ2+

9

µ2=

13

µ2= 1 =⇒ µ = ±

√13 .

76


Sada imamo dva slucaja. Za µ =√13, x = − 2√

13i y = 3√

13. Iskoristimo li i

cetvrtu jednacinu, dobijamo z = −2 − 7√13. Time smo dobili prvu stacionarnu

tacku

X1(x, y, z, λ, µ) = X1(−2√13

,3√13

,−2− 7√13

, 2,√13) .

Analogno, za slucaj µ = −√13, dobijamo stacionarnu tacku

X2(2√13

,− 3√13

,−2 +7√13

, 2,−√13) .

Lahko se sada provjerava da u tacki X1 imamo maksimum

fmax = f(X1) = 4 +26√13

,

a minimum u tacki X2

fmin = f(X2) = 4− 26√13

.

77

Documents

Sadrˇzaj - u: n: t: z. b: apmf.untz.ba/staff/nermin.okicic/ETF/M2/...te su onda one funkcije viˇse varijabli. Naprimjer, zapremina kruˇznog cilindra je veliˇcina ovisna o polupreˇcniku