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reinaldo-mosso
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GRUPO DE GRUPO DE INVESTIGACION EN INVESTIGACION EN CONTROL CONTROL INDUSTRIALINDUSTRIAL
LINEA DE INVESTIGACION EN
CONTROL DE PROCESOS
Profesores: Edinson Franco Mejía y Jesús A. González
http://eiee.univalle.edu.co/~gici
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Por que identificar?
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http://eiee.univalle.edu.co/~gici
Un modelo representa tres tipos de
conocimiento
Estructura (Ecuaciones, diagramas de
bloque o de flujo, conexión de matrices,
etc.)
Valores de parámetros
Valores de los estados en cierto instante o
como funciones de tiempo.
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Esquema general de la identificación
PROCESO
Algoritmo de Identificación
Modelo Matemático
Entradas Salidas
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Elementos de la Identificación
Experimento
Clases de modelos
Criterios
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Representaciones No Paramétricas
ej. : respuesta al impulso, respuesta de
frecuencia, respuesta al escalón. Paramétricas
ej. : función de transferencia, ecuación
diferencial o ecuación de diferencias.
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Metodología de la Identificación
Planificación experimental Selección de la estructura de modelos Formulación de un criterio Estimación de parámetros Validación del modelo obtenido
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Metodología de la Identificación
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Preparación del experimento
Protocolo de la toma de datos :
la entrada debe reunir las siguientes características:
•Tener un valor DC conocido para ubicar el proceso en unadecuado punto de funcionamiento.
•Ser limitada en amplitud, para no sacar el proceso de su punto de funcionamiento.
•Ser rica en contenido frecuencial.
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Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).
S1 Si Sj SN
Suma módulo 2
La longitud máxima de una secuencia es 2N-1
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Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).
n Bits a operar Longitud
2 1 y 2 3
3 2 y 3 7
4 3 y 4 15
5 3 y 5 31
6 5 y 6 63
7 6 y 7 4 y 7 127
8 2,3,4 y 8 255
Tabla No. 1
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Secuencia binaria pseudoaleatoria (SBPA).
La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.
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(SBPA)
La magnitud de la SBPA es un aspecto importantísimo, valores muy grandes pueden perturbar demasiado al proceso, sacándolo de su punto de funcionamiento, mientras valores muy pequeños producen efectos sobre la salida que pueden ser ocultados por el ruido, según las pruebas efectuadas esta magnitud puede ser entre el 10% y 20%, dependiendo de la relación señal / ruido presente en cada proceso.
Amplitud de la secuencia
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(SBPA)
Para fines prácticos se selecciona como frecuencia de reloj para la SBPA. un múltiplo de la frecuencia de muestreo
Frecuencia de la secuencia
ffe
ppSBPA ; , , ,.......1 2 3
Se recomienda escoger .
p 4
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(SBPA)
Se recomienda que sea tal que se pueda:
• Realizar una identificación básica con la primera tercera
parte de los datos.
• Con el segundo tercio, realizar la identificación.
•Con la última parte realizar una validación de la
identificación.
Longitud de la toma de datos
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Preprocesamiento básicode los datos
• Se debe remover las tendencias de la señal.
• Si la toma de datos fue realizada a un alta rata de
muestreo, hay que considerar la posibilidad de hacer un
filtrado de los datos, considerese que puede haber efectos
de solapamiento de datos. Lo mas complicado es detectar
si existen señales de ruido indeseables que deban ser
filtradas en el preprocesamiento.
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IDENTIFICACION OFF-LINE
ESTIMACION DE LOS PARAMETROS DE
UN MODELO EN TIEMPO DISCRETO A
PARTIR DE DATOS DE ENTRADA-
SALIDA LIBRES DE RUIDO
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IDENTIFICACION OFF-LINE
H za a z a z
b z b z
m
mm
m
0 1
11
1
1
..
...
H(z)Uk Yk
z est T Periodo de muestreo
x k a u b xi
i
m
k i i k ii
n
0 1
. .
x x iTi i u u iTi
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IDENTIFICACION OFF-LINE
U U U U X X X
U U U U X X X
U U U U X X X
a
a
a
a
b
b
b
k
k k k k m
k p k p k p k p m
o
m
n
k k k m k k k n
k k k n
k p k p k p n
1 2 1 2
1 1
2 3 1
1 1 1
1 2 3 1
1
2
1
2
... ...
...
x
x
x
k
k
k p
1
1
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IDENTIFICACION OFF-LINE
A
U U U U X X X
U U U U X X X
U U U U X X X
K
k
k k k k m
k p k p k p k p m
k k k m k k k n
k k k n
k p k p k p n
1 2 1 2
1 1
2 3 1
1 1 1
1 2 3 1
... ...
...
p : Número de datos o muestras tomadas
A xk k1
Para realizar la estimación se debe coleccionar p=m+n+1
datos y se debe cumplir que det[A’k] diferente de cero
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Representación de Sistemas Dinámicos en el dominio del tiempo
Esquema General para sistemas LTI
kTeqHkTuqGkTy ,, 11
Caso general
keqD
qCku
qF
qBqyqA
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Representación de Sistemas LTI
Donde
na
i
ii
nn qaqaqaqaqA a
a
1
22
11 1....1
inb
ii
nn qbqbqbqbqB b
b
1
22
11 ....
inc
ii
nn qcqcqcqcqC c
c
1
22
11 1....1
ind
ii
nn qdqdqdqdqD d
d
1
22
11 1....1
inf
ii
nn qfqfqfqfqF f
f
1
22
11 1....1
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Representación...-casos particulares- EstructurasModelo FIR (Respuesta al impulso Finita)
1),(),()()( 11 qHqFqDqCqADonde:
y G(q)=B(q)
kekuqBky
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Representación...-casos particulares- Estructuras
Modelo OE (Output Error)
kekuqF
qBky
)(
Donde:
y G(q)=B(q)/F(q)
1),()()( 1 qHqDqCqA
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Representación...-casos particulares- Estructuras
Modelo BJ (Box Jenkins)
Donde:
y
1)( qA
keqD
qCku
qF
qBky
)()( qHqG (no tienen parámetros comunes)
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Representación...-casos particulares- Estructuras
Modelo ARMAX(Auto Regressive Moving Average)
Donde: 1)()( qFqD
keqA
qCku
qA
qBky
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Representación...-casos particulares- Estructuras Modelo ARX(AutoRegressive with eXternal input)
Donde: 1)()()( qFqDqC
ke
qAku
qA
qBky
1
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IDENTIFICACION POR MINIMOS CUADRADOS
Mínimos Cuadrados Lineales
y dada la estructura del modelo, pero con parámetros desconocidos, se debe encontrar el que minimiza :
El problema: Dado un conjunto de N pares de medidas de entrada salida,
Nkuky )}(),({
^
N
N
kN ke
NJ
1
2 ,1
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Mínimos Cuadrados Lineales
ND
N Jminu
arg^
Vector de parámetros estimados
kky T,^
Modelo de regresión lineal para FIR y ARX
2
1
1
N
k
TN kky
NJ Para modelos de regresión lineal
02
1
N
k
TN kkykN
J
La solución óptima
kkykkky TT
22 El termino interno de la
sumatoria
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Mínimos Cuadrados Lineales
N
k
TN
kN kyk
Nkk
N1
1
1
^ 11
La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertibleLa solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible
02
1
N
k
TN kkykN
J
N
k
TN
k
kykN
kkN
11
11
N
kN
TN
k
kykN
kkN
1
^
1
11
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Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales
La solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertibleLa solución optima podrá ser calculada siempre y cuando el factor sea invertible
Supongase un sistema real dado por: kvkky T00
N
k
TTN
kN kvkk
Nkk
N1
00
1
1
^ 11
N
k
N
k
TTN
kN kvk
Nkk
Nkk
N1 1
00
1
1
^ 111
N
k
TN
kN kvk
Nkk
N1
0
1
10
^ 11
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Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales
La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto
la estructura del modelo
La ecuación solo es válida cuando se conoce de modo exacto
la estructura del modelo
Donde:
N
k
dN kvk
NR
10
10
^ 1
Matriz de covarianza del vector de regresión kk
NR T
N
k
d
1
1
d es la cantidad de parámetros a estimarR es una matriz de covarianza cuadrada dxd
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Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales
Para estimación exacta debe cumplirse que:
1- sea una matriz invertible, esto se logra usando excitación u(k) con persistencia de orden n.
dR
2- 01
10
N
k
kvkN
Para N )}()({1
10 kvkEkvk
N o
N
k
Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes:
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Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales
Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes:
i) Si vo(k) es una secuencia de variables aleatorias inde-pendientes con media cero, su valor no dependerá de lo que pase antes del instante t = k. Y por tanto ya que solo contiene información de u(l) y y(l) hasta el instante .
0)}()({ kvkE o
.1kl
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Análisis de la estimación con Mínimos Cuadrados Lineales
Donde E{.}=0 si se cumple al menos una de las dos condiciones siguientes:
ii) solo contenga valores de u(k), y(k) y vo(k) que sean estadísticamente independientes
)(k
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Mínimos Cuadrados Pseudo-Lineales
Para el caso de las estructuras ARMAX, OE y BJ los modelosde regresión no son lineales en :
El cálculo de no puede hacerse derivando e igualando a cero a porque el vector de regresión también es función de :
N̂
,,^
kky T
)(NJ),( k
2
1
,1
N
k
TN kky
NJ
La estimación se realiza mediante algoritmos de optimizaciónbasados en métodos numéricos
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Algritmo de los Mínimos Cuadrados
y =(y1, ...., yN)T : conjunto de N medidas : valores calculados a partir de mediante el modelo adoptado para el sistema.
N
iii yyyyJ
1
22 ˆˆ
TNyyy ˆ,...,ˆˆ 1
Problema: Determinar un vector de “d” parámetros (constantes en el tiempo) utilizando una serie de N medidas yT = (y1, ...., yN) sobre la salida del sistema linealestático:siendo M una matriz de N filas y “d” columnas.
My
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Algritmo de los Mínimos Cuadrados
Solución de problemas:
Caso 2: N “d”
En este caso no existe inversa
Caso 1: N = “d”
Suponiendo que M es de rango completo, det [M] 0, el problema podría resolverse de forma inmediata:
yM 1
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N<npN<np
Existen más incógnitas que ecuaciones. hay infinitas soluciones, la solución es una variedad lineal. Sin embargo, seleccionando la estimación:
M* : "matriz inversa generalizada”.
La solución obtenida es la de la mínima norma, que verifica la relación:
siendo 1 cualquier otra solución.
10
yM *0
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Si las N filas de M son linealmente independientes (matriz M de rango máximo), la estimación será:
En donde M*D se denomina inversa generalizada por la derecha, ya que verifica:
MM*D = I
yMMMyM TTD 1*0
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N > npN > np
En este caso se tienen más ecuaciones que incógnitas. En general, no existe solución. Se demuestra que si M es de rango máximo, el método de los mínimos cuadra dos puede utilizarse para encontrar la solución.
Se trata de obtener la estimación que minimiza el índice:2
yMJ
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02
MyMJ T
2yMJ
0 yMM T
yMyMMM ITT *1
M*I se denomina inversa generalizada por la izquierda
M*IM = I
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Caso hipotético:
Considérese el sistema monovariable en tiempo discreto:
y(k) + a1 y(k-1) + ... + an y(k-n) = b1 u(k-1) + ... + bn u(k-n)
y el vector de medidas:
m(k) = [ - y(k-1), ... , - y (k-n), u(k-1), ... , u(k-n)]
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El error de predicción de salida puede escribirse como:
e(k) = y(k) - m(k)
donde m(k) es la predicción de la salida en el instante k
Coleccionando datos desde k = n hasta N E(N) = Y(N) - M(N)
NYNMNMNMN TT 1ˆ
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ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS
Sea la ecuación después de N observacionesY(N) = M(N)
My N̂
Ny
y
NY
Nm
m
NM 1
;
1
NYNMNMNMN TT 1ˆ
1ˆ11 NNMNY
1
1;1
1Ny
NYNY
Nm
NMNM
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ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS
La estimación resultante es:
11111ˆ 1
NYNMNMNMN TT
11
*111ˆ 1
NyNmNYNM
NmNmNMNMNTT
TT
Definiendo la matriz
1
1
111
NMNMNP
NMNMNP
T
T
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ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS
De donde:
NNmNyNKNN ˆ)1()1()(ˆ1ˆ
con
)1()1()(1 11
1
NmNmNPNP
NMNMNPT
T
luego
)()]1()([)1(
)1()()1()1()(11
NPNmNKINP
NmNPNmINmNPNK TT
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ESTIMACIÓN RECURRENTE DE MÍNIMOS CUADRADOS
ComienzoSeleccione los valores de P y ; haga N=0Mientras no se cumpla condición de fin de hacerComienzo leer nuevas medidas en N+1; formar m con nuevas medidas; calcular ganancia mediante K P*mT*(I+m*P*mT)-1;
actualizar estimación mediante +K*(y-m* ); actualizar matriz P mediante P P-K*m*P; hacer N N+1 finfin
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Herramientas para
Identificacion
El SITB de Matlab
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Funciones para Simulacion y prediccion
IDINPUT: Genera los datos de entrada para propósitos de simulación.
IDSIM: Simula un sistema lineal general PREDICT: Calcula las predicciones de la
salida del modelo
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Funciones para Manipulación de datos
DTREND: Sirve para remover tendencias IDFILT: Para realizar filtros a los datos del
proceso.
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Funciones para Estimación Paramétrica
AR: Estima un modelo AR ARX: Estima un modelo ARX ARMAX: Estima un modelo ARMAX BJ: Estima un modelo BOX JENKINS IV4: Estima un modelo ARX usando el método
de la variable instrumental de cuatro etapas.
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Funciones para Estimación Paramétrica
CANSTART: Estima modelos multivariables en forma canónica de espacio de estado; generalmente usado junto con N4SID.
N4SID: Estima modelos de espacio de estado usando un método de subespacio
PEM: Estima un modelo lineal general.
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Funciones para Conversion entre modelos
IDMODRED: Reduce un modelo a un orden inferior THC2THD: Transforma un modelo de tiempo
continuo en tiempo discreto THD2THC: Transforma un modelo de tiempo
discreto en tiempo continuo TH2ARX: Transforma los datos del modelo
que están en formato theta a parámetros arx
TH2SS: Transforma los datos del modelo en formato theta a matrices de espacio
de estado..
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Funciones para Presentación de modelos
PRESENT: Muestra modelo paramétrico en pantalla.
IDPLOT: Muestra los datos de entrada y salida en pantalla
BODEPLOT: Gráfica el diagrama de Bode del modelo ZPPLOT: Presenta en pantalla el diagrama de
polos y ceros del modelo
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Funciones para Validación
COMPARE: Compara la salida simulada o predicha con la salida del modelo
PE: Calcula los errores de predicción
Edinson Franco Mejía, M.Sc.
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Ejercicio FIN!!!
Edinson Franco Mejía, M.Sc.