SAMMENDRAG OG FORMLER

1Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

LINJE, LINJESTYKKE OG STRÅLE

linje

stråle

linjestykke

VINKLER

VINKELBEIN OG TOPPUNKT

En vinkel har et toppunkt. Denne vinkelen har toppunktetsitt i A. En vinkel har to vinkelbein. Når vi står i vinkelenstoppunkt og ser utover i vinkelen, har vi venstre vinkelbeinpå vår venstre side og høyre vinkelbein på vår høyre side.

A

venstre vinkelbein

høyre vinkelbein

FORSKJELLIGE VINKLER

A SPISS VINKEL

En vinkel som er mindre enn 90°,kaller vi en spiss vinkel.

B RETT VINKEL

En vinkel som er 90°, kaller vi en rettvinkel. Ofte skriver vi inne ved toppunktet for å markere at det er en rett vinkel.

C STUMP VINKEL

En vinkel som er mellom 90° og 180°,kaller vi en stump vinkel.

D LIKE VINKEL

En vinkel som er 180°, kaller vi enlike vinkel.

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8A Kapittel A BOKMÅL

GEOMETRI

2Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

BETEGNELSER PÅ VINKLER

Vinkelen med toppunkt i A kan skrives som:vinkel A, ∠A , eller ∠BAC eller ∠CAB

Vinkelen med toppunkt i B kan skrives som:vinkel B, ∠B , eller ∠ABC eller ∠CBA

Vinkelen med toppunkt i C kan skrives som:vinkel C, ∠A , eller ∠ACB eller ∠BCA

A B

C

OVERSIKT OVER VINKELKONSTRUKSJONER

90

135

45

75

60 30

67 12

120

BOKMÅL

3Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

NORMALKONSTRUKSJONER

MIDTNORMALEN TIL ET LINJESTYKKE

NORMALEN TIL EN LINJE GJENNOM ET PUNKT PÅ LINJA

NORMALEN FRA ET PUNKT TIL EN LINJE

A B

A BPl

A B

l

P

BOKMÅL

4Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

PARALLELLKONTRUKSJON

TREKANTER MED SPESIELLE NAVN

C

A B

C

A B

C

A B60˚ 60˚

60˚ 4 cm

4 cm

4 cm

C

A B

6 cm

4 cm

6 cm

C

A BD

VINKELSUMMEN I EN TREKANT

I en trekant er summen av alle tre vinklene alltid 180°

RETTVINKLET TREKANTEn trekant med en vinkel på 90° kaller vi en rettvinklet trekant.

LIKESIDET TREKANTEn trekant der alle tre sidene er like lange,kaller vi en likesidet trekant. I en likesidettrekant er alle vinklene like store, altså 60°.

LIKEBEINT TREKANTEn trekant der to av sidene er like lange, kaller vi en likebeint trekant.

I en likebeint trekant er vinklene ved grunnlinjalike store. Normalen fra toppunktet ned pågrunnlinja deler grunnlinja i to like store deler.AC = BCAD = BD = AB∠ A = ∠ B

1__2

BOKMÅL

5Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Vi har fire regningsarter

Multiplikasjon:

24 . 8 = 192

faktor faktor produkt

Subtraksjon:

24 – 8 = 16

ledd ledd differanse

Divisjon:

24 : 8 = 3

dividend divisor kvotient

Addisjon:

24 + 8 = 32

ledd ledd sum

OVERSLAGSREGNING

Ved overslagsregning runder vi av alle tallene iregnestykket slik at vi klarer utregningen i hodet.

Overslagsregning ved addisjon

Ved addisjon kan det ofte være lurt å runde av detene tallet oppover og det andre tallet nedover

Eksempel: 56 + 36 ≈ 60 + 30 Overslaget blir 90.

Overslagsregning ved subtraksjon

Ved subtraksjon kan det ofte være lurt å runde avbegge tallene oppover eller begge tallene nedover

Eksempel: 78 – 56 ≈ 80 – 60 Overslaget blir 20.

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8A Kapittel B BOKMÅL

TALL OG TALLREGNING

6Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

OVERSLAGSREGNING VED MULTIPLIKASJON

Ved multiplikasjon kan det ofte være lurt å runde avdet ene tallet oppover og det andre tallet nedover.

Eksempel: 4,5 · 5,3 ≈ 5 · 5 Overslaget blir 25.

OVERSLAGSREGNING VED DIVISJON

Ved divisjon kan det ofte være lurt å runde av beggetallene oppover eller begge tallene nedover. Rundalltid av slik at divisjonen går opp.

Eksempel: 13,6 : 4,3 ≈ 12 : 4

Overslaget blir 3.

NAVN PÅ TALL

NATURLIGE TALL

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12… osv. kaller vi de naturlige tallene.

HELE TALL

…–6, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, … osv. kaller vi de hele tallene.

PARTALL

Hele tall som kan deles på 2 kalles partall.

…–6, –4,–2, 0, 2, 4, 6, … osv. er partall.

Hele tall som slutter på 0, 2, 4, 6 eller 8 er partall.

BOKMÅL

7Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

ODDETALL

Hele tall som ikke kan deles på 2, kaller vi oddetall.

…–7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9 … osv. er oddetall.

Hele tall som slutter på 1, 3, 5, 7 eller 9 er oddetall.

PRIMTALL

Tall som bare er delelige med seg selv eller 1, kaller vi primtall.

De første primtallene er

2, 3, 5, 7 11, 13, 17, 19, 23, 29, 33, 37, 41, 43, 47, ….

PrimtallsfaktoriseringNår vi skriver et tall som et produkt der alle faktorene er primtall, sier vi at viprimtallsfaktoriserer tallet.

Eksempel på primtallsfaktorisering:

9 = 3·324 = 2·2·2·3

Desimaltall

Tallene med komma i, for eksempel 7,3 kalles desimaltall.Desimaltallene ligger mellom de hele tallene på tallinja.

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

7,3

BOKMÅL

8Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Å REGNE MED DESIMALTALL

ADDISJON MED DESIMALTALL

MULTIPLIKASJON MED DESIMALTALL DIVISJON MED DESIMALTALL

NEGATIVE TALL

Tall som – 3, –15, – , –2,5 osv. kaller vi negative tall.

På tallinja finner vi de negative tallene til venstre for 0.

-6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

EKSEMPEL

Regn ut: 5,3 + 2,6 =

Vi setter detopp slik:

5,3+ 2,6= 7,9

Pass på atkommaene står rett under hverandre.

EKSEMPEL

Regn ut: 1,5 – 0,25 =

Vi setter detopp slik:

1,50– 0,25= 1,25

10

EKSEMPEL

Regn ut: 5,62 · 3,4 =

Vi setter dette opp slik:125,62 · 3,4

, 2248168619,108

Det er til sammen tretall etter kommaet her.

Kommaet settes treplasser fra høyre i svaret.

EKSEMPEL

Vi flytter kommaet så mange plasser til høyre i

begge tallene at det tallet vi skaldividere med, blir et helt tall.

4,5 : 0,3 =

Vi setter opp stykket slik:45 : 3 = 1531515

0

3–––4

BOKMÅL

9Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

EKSEMPLER PÅ REGNING MED POSITIVE OG NEGATIVE TALL

ADDISJON OG SUBTRAKSJON

5 + 7 = 12

5 – 7 = – 2

5 + (–7) = 5 – 7 = –2

(–5) + 7 = –5 + 7 = 2

5 – (–7) = 5 + 7 = 12

(–5) + (–7) = – 5 –7 = –12

(–5) – (–7) = – 5 +7 = 2

MULTIPLIKASJON OG DIVISJON

5 · 7 = 35

5 · (–7) = –35

(–5) · 7 = –35

(–5) · ( –7) = 35

= 5

= –5

= –5

= 5

35––––––

7–35––––––––––

735––––––

–7–35––––––––––

–7

BOKMÅL

10Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

BRØK

HVILKEN BRØK ER STØRST?

Når to brøker har like tellere, er den brøken størst, som har den minste nevneren. Når to brøker har samme nevner, er den brøken størst, som har den største telleren.

Å UTVIDE EN BRØK

Å utvide en brøk vil si å multiplisere teller og nevner i brøken med samme tall. Brøken forandrer da ikke verdi.

Eksempel:

= =

Å FORKORTE EN BRØK

Når vi forkorter en brøk dividerer vi med samme tall i teller og nevner.Brøken endrer da ikke verdi.

Eksempel:

= =

1–––2

1 · 3––––––––––––

2 · 33–––6

3–––6

3 : 3––––––––––––

6 : 31–––2

brøkstrek

teller

brøk

nevner

13

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8A Kapittel C BOKMÅL

BRØK OG PROSENT

11Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

BRØK OG DESIMALTALL

EN BRØK KAN SKRIVES SOM ET DESIMALTALL

Eksempel:

Brøkstrek er det samme som divisjonstegn.

Vi utfører divisjonen og får

5 : 7 = 0,714

= 0,714

ET DESIMALTALL KAN SKRIVES SOM EN BRØK

Eksempel:Desimaltallet 0,4 kan skrives på brøkform.

0,4 =

0,23 =

PROSENT

1% betyr 1 av 100 eller

BRØKFORM – DESIMALFORM OG PROSENTFORM

Eksempel:

= 0,5 = 50% = 0,23 = 23%

Å REGNE MED PROSENT

35 % av 350 kr er = 140 kr

72 elever av 240 elever utgjør = 0,30 = = 30%

5–––7

23 kr · 35–––––––––––––––––––––––––––

100

5–––7

4––––––

10

23–––––––––––

100

1––––––––––

100

1–––2

23–––––––––––

100

72–––––––––––

24030–––––––––––

100

BOKMÅL

12Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Mellom tall og variabler sløyfer vi ofte multiplikasjonstegnet mellom tallet og variabelen.

4 · a skrives 4a8 · b skrives 8b

Vi har også en bestemmelse om at 1 · a = 1a = a.

Det vanligste er å bruke formen a.

VI SETTER INN VERDIER FOR VARIABLENE

Regn ut verdien av 5a når a = 3.

5a = 5 · 3 = 15

Regn ut verdien av –5a når a = 3.

–5a = (–5) · 3 = 15

Regn ut verdien av 5a når a = –3.

5a = 5 · (–3) = 15

Regn ut verdien av –5a når a = 3.

–5a = (–5) · (–3) = 15

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel E BOKMÅL

ALGEBRA

13Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = 2.

5a + 3b = 5 · 6 + 3 · 2 = 30 + 6 = 36

Regn ut verdien av 5a + 3b når a = 6 og b = –2.

5a + 3b = 5 · 6 + 3 · (–2) = 30 – 6 = 24

Regn ut verdien av 5a + 3b når a = –6 og b = 2.

5a + 3b = 5 · (–6) + 3 · 2 = –30 + 6 = –24

Regn ut verdien av 5a + 3b når a = –6 og b = –2.

5a + 3b = 5 · (–6) + 3 · (–2) = –30 – 6 = –36

Regn ut verdien av 5a – 3b når a = 6 og b = 2.

5a – 3b = 5 · 6 – 3 · 2 =30 – 6 = –36

BOKMÅL

14Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Regn ut verdien av 5a + 3b + 7 når a = 6 og b = 2.

Dette uttrykket inneholder to ledd med variabler og ett ledd uten variabel.7 er en konstant i dette uttrykket.

Vi kan regne det slik:

5a + 3b + 7 = 5 · 6 + 3 · 2 + 7 = 30 + 6 + 7 = 42

REGNEREGLER FOR VARIABLER

Med variabler har vi samme regneregler med pluss og minus som med tall:

5a + 2a = 7a

5a – 2a = 3a

Når vi skal forenkle, trekke sammen eller regne ut et regneuttrykk som inneholder en eller flere variabler og konstanter, må vi trekke sammen like ledd.

Trekk sammen:

2a + 4b + a + 6 + 3b – 2 + 6a =

2a + 4b + a + 6 + 3b – 2 + 6a =2a + a + 6a + 4b + 3b + 6 – 2 =9a + 7b + 4

BOKMÅL

15Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

REGEL

LIGNINGER

En ligning består av:

x + 3 = 8

VI LØSER EN LIGNING OG SETTER PRØVE PÅ SVARET

Løs ligningen og sett prøve:

x + 12 = 38

Løsning:

x + 12 = 38x + 12 – 12 = 38 – 12

x = 26

Prøve:

VS = HS = 38x + 12 =26 + 12 =38

VS = HS = 38 for x = 26x = 26 er løsning av ligningen.

Vi kan addere eller subtrahere like mye på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner

En venstre side En høyre sideEt likhetstegn

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel F BOKMÅL

LIGNINGER OG ULIKHETER

16Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Løs ligningen og sett prøve:

6x = 84

Løsning:

6x = 84

=

x = 14

Prøve:

VS = HS = 846x =6 · 14 =84

VS = HS = 84 for x = 14x = 14 er løsning av ligningen.

REGEL

Vi kan dividere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.

6x–––––––

684–––––––

6

BOKMÅL

17Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

REGEL

Vi kan multiplisere med like mye (samme tall) på hver side i en ligning uten at likheten forsvinner.

Løs ligningen og sett prøve:

= 5

Løsning:

= 5

= 5 · 4

x = 20

Prøve:

VS = HS = 5

=

=

5

VS = HS = 5 for x = 20x = 20 er løsning av ligningen.

x––––4

x––––4

x · 4––––––––—–

4

x––––4

20––––––

4

BOKMÅL

18Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Vi subtraherer samme tall påhver side av likhetstegnet.

3x––––––

335––––––

3 Vi dividerer med samme tall på hver side av likhetstegnet.

VI BRUKER FLERE REGLER I SAMME LIGNING

Vi skal løse ligningen 3x + 2 = 17og sette prøve på ligningen.

Vi kan løse det slik:

3x + 2 = 173x + 2 – 2 = 17 – 2

3x = 15

=

x = 5

Prøve:

VS = HS = 173x + 2 =3 · 5 + 2 =15 + 2 = 17

VS = HS = 17 for x = 5x = 5 er løsning av ligningen.

BOKMÅL

19Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

ULIKHETER

ULIKHETSTEGN

2 < 5 leser vi «2 er mindre enn 5».

5 > 2 leser vi «5 er større enn 2».

x < 8 leser vi «x er mindre enn 8».

x < 8 betyr at x kan være 7, 6, 5, 4, 3… hvis x skal være et helt tall.

x ≤ 8 leser vi «x er mindre enn eller lik 8».

x ≤ 8 betyr at x kan være 8, 7, 6, 5, 4, 3… hvis x skal være et helt tall.

x > 8 betyr at x kan være 9, 10, 11, 12… hvis x skal være et helt tall.

x ≥ 8 betyr at x kan være 8, 9, 10, 11, 12… hvis x skal være et helt tall.

BOKMÅL

20Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Å LØSE EN ULIKHET

Løs ulikheten x + 4 > 7 og marker løsningen på tallinja.

Vi kan løse denne oppgaven slik:

x + 4 > 7x + 4 – 4 > 7 – 4

x > 3

Alle x > 3 er løsning av ulikheten x + 4 > 7.

På tallinja blir dette slik:

x + 4

x + 4 – 4

7 – 4

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

BOKMÅL

7

21Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

Løs ulikheten 3x < 15 og marker løsningen på tallinja.

Oppgaven kan løses slik:

3x < 15

<

x < 5

På tallinja blir dette slik:

3x––––––

315––––––

3

3x––––––

315––––––

3

3x

15

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

BOKMÅL

22Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

KOORDINATSYSTEMET

Et koordinatsystem består avto tallinjer som står normalt på hverandre.

Plasseringen et punkt har i koordinatsystemet, angir vi ved å oppgi koordinatene til punktet.

Punktet P har i koordinatene (2,3)Koordinatene oppgis som et tallparmed komma mellom i en parentes.Vi leser det slik: «Punktet P harkoordinatene to-tre».

Førsteaksen,x-akse

Andreaksen, y-akse

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

Førsteaksen,x-akse

Andreaksen, y-akse

1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

P

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel G BOKMÅL

FUNKSJONER OG GRAFER

23Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

EN FUNKSJON KAN VÆRE PÅ TABELLFORM, SOM FORMEL OG SOM GRAF

VI LAGER FORMEL

Anne går og leverer brev for et firma. Hun får 2 kr perbrev. Vi kaller antall brev for x og det hun får betalt i kr,for y. Formelen som viser sammenhengen mellom antall brev hun deler ut, og det hun får betalt, blir da

y = 2x

VI LAGER VERDITABELL

Hvis vi skal lage en grafisk framstilling av funksjonen for x = 1, 2, 3, 4, 5, lager vi en verditabell med disseverdiene for x.

Det vil si at vi setter inn disse verdiene for x i formelen for funksjonenen etter tur:

Verditabell

Helt til høyre i verditabellen får vi koordinatene som skal føres inn i koordinatsystemet. I dette tilfellet kan det bare bli positive verdier av x og y. Vi trenger derfor bare den positive delen av koordinatsystemet.

x 2 · x y (x,y)

12345

2 · 12 · 22 · 32 · 4 2 · 5

246810

(1,2)(2,4)(3,6)(4,8)(5,10)

BOKMÅL

24Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

VI LAGER GRAFEN TIL FUNKSJONEN

Andreaksen y kroner

Førsteaksenx brev

1 2 3 4 5 6 7 8 9

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

BOKMÅL

25Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

REGEL

REGEL

REGEL

Sannsynligheten for en hendelse eller et utfall kan ikke være mindre enn 0 og ikke større enn 1.

A Når alle mulige utfall i et eksperiment har like storsannsynlighet, er den teoretiske sannsynligheten forett av utfallene lik

B Når vi ønsker å finne sannsynligheten for fleregunstige utfall, har vi at sannsynligheten er lik

Dette gjelder når det er samme sannsynlighetfor hvert enkelt utfall.

1antall mulige utfall

antall gunstige utfallantall mulige utfall

SAMMENDRAG OG FORMLER – Nye Mega 8B Kapittel H BOKMÅL

SANNSYNLIGHET

26Nye Mega 8 – Sammendrag og formler

REGEL

Sannsynligheten kan uttrykkes som brøk,desimaltall eller prosent.

REGEL

Sannsynligheten for en hendelse kan ikke være mindre enn0 og ikke større enn 1.

Sannsynligheten 1 innebærer at hendelsen alltid inntreffer.

Sannsynligheten 0 innebærer at hendelsen aldri inntreffer.

0 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

0 11–––5

2–––5

3–––5

4–––5

BOKMÅL