FAKULTAMATEMATIKY,FYZIKYAINFORMATIKY

UNIVERZITYKOMENSKÉHOVBRATISLAVE

Ekonomickáafinančnámatematika

INVESTOVANIE

APRISPÔSOBOVACIENÁKLADY

Diplomovápráca

Bratislava2001

StachoMudrák

Prehlasujem,žetútoprácusomvypracovalsamostatne

auviedolsomvšetkupoužitúliteratúru.

Ďakujemvedúcemudiplomovejpráce

doc.RNDr.JánoviBoďovi,CSc.

zacennéradyainšpiráciu.

Obsah

1Úvod

5

2Základnýmodel

62.1Formuláciaproblému.......................6

2.2Rovnicadynamickéhoprogramovania..............8

2.3Diskretizácia............................9

2.4Riešenie..............................13

2.5Agregácia.............................19

2.6Simulácie.............................20

3Typológiaprispôsobovacíchnákladov

25

3.1Nulovéprispôsobovacienáklady.................25

3.2Konvexnéprispôsobovacienáklady...............26

3.3Nekonvexnéprispôsobovacienáklady..............26

3.4Transakčnénáklady........................27

3.5Kombinovanéprispôsobovacienáklady.............28

4Záver

31

Literatúra

32

1Úvod

Vtrhovomhospodárstvejeagregovanésprávaniesasektorapodnikovzá-

visléodrozhodnutíjednotlivýchpodnikov.Vštandardnejklasicko-neokla-

sickejteóriisacelývýrobnýsektormodelujesprávanímsatzv.reprezenta-

tívnehopodniku.Tentojepomyselnápriemernájednotka,ktorása–okrem

rozdieluvoveľkosti–správaakosektorvcelku[3].Modelyzaloženénata-

kýchtoreprezentatívnychagentochvšakmajúťažkostipopisovaťniektoré

javypozorovanévpraxi.Idehlavneoobdobia(niekedyajdosťdlhé),kedy

súpodnikyvpolitikeinvestovaniapasívne,hocipodľatohtomodelubyin-

vestovanímmalisvojkapitálokamžiteprispôsobovaťzmenámvziskovosti.

Cieľomtejtoprácejemodelovaniepolitikyinvestovaniavpodnikovom

sektore.Východiskomječlánok[2],vktoromCooperaHaltiwangerpopi-

sujúpomerneuniverzálnyprístupktejtoproblematikeaplikovanývšakna

konkrétnereálnedáta.Vtejtoprácisazameriameskôrnavybudovanieade-

tailnúanalýzuaparátu,ktorýnámtakétomodelovanieumožňuje(kapitola2)

aktoréhopopisjevspomínanomčlánkuspomenutýlenokrajovo.

Jednuzhlavnýchúlohvproceseinvestovaniahrajútzv.prispôsobovacie

náklady(angl.adjustmentcosts).Ideonáklady,ktorémusípodnikvynaložiť

spolusinvestíciaminato,abyzvýšil(resp.znížil)akumuláciusvojhokapitálu

atakovplyvnilsvojezisky.Ichvplyvbudememodelovaťvkapitole3.

Kľúčovýmspojenímmedzimakroekonomickouteóriouareálnepozoro-

vanouskutočnosťoureprezentovanoumakroekonomickýmiukazovateľmije

namiodhadovanývzťahmedzimierouinvestovaniaavonkajšímifaktormi,

ktorénatotoinvestovanievplývajú.Tietosadajúvovšeobecnostizahrnúťdo

zmenyvziskovostijednotlivýchpodnikov,ktorújemožnéunichpozorovať.

Nájdenietohtovzťahušpecifikujemeakoproblémdynamickéhoprogra-

movanianaúrovnikonkrétnehopodniku.Budemesasnažiťnájsťfunkciu

optimálnehoinvestovaniaprepodnik,ktorýmaximalizujesvojeziskyzaštan-

dardnýchúčtovnýchobmedzení.Najejzákladepotompomocousimulácií

budememôcťopísaťajsprávaniesaagregovanýchmakroekonomickýchuka-

zovateľovvzávislostiodparametrovmodelu.

5

2Základnýmodel

2.1Formuláciaproblému

Podobneakovklasicko-neoklasickejteóriiuvažujmereprezentatívnypod-

nik,ktorýsasnažímaximalizovaťhodnotusvojhoočakávanéhozisku.Tento

predpokladsanemusínevyhnutnezhodovaťsoskutočnosťou,alejepredsa

lenvýstižnejší,akojehoalternatívy(napr.maximalizáciaobratu).Problé-

momprevedeniepodnikujetedavoľbafaktorovovplyvňujúcichprodukciu

atedaajziskvdanomobdobí.Konkrétnesúnimihlavneveľkosťpoužitej

pracovnejsilyaakumuláciakapitálu(investičnéhomajetku).

Majmetedapodnik,ktorývdanomobdobímaximalizujesvojziskvoľbou

použitejpracovnejsily

Nakapitálu

K.Vovšeobecnostimôžemetentozisk

vyjadriťvzťahom

Π(A

,K,N)=max

K,N[R(A

,K,N)−

ω(K

,L)]

pričomR(A

,K,N)súpríjmydanévstupom

K,Naexogénnejstavovejpre-

mennej

A(ktorábudepopísanáneskôr)a

ω(K

,L)vyjadrujenákladyna

prácu(veľkosťvyplatenýchmiezd)akapitál(úrokyzúverovalebotzv.ná-

kladyalternatívnejpríležitosti).

Vzhľadomnato,ženašupozornosťsústredímenaprocesinvestovania,

budemepredpokladať,žepodnikmnožstvopoužitejprácevolíprepevnedané

Aa

Koptimálne.Zapredpokladu,žebysmepoznaliajfunkcieR(A

,K,N)

aω(K

,L),vedelibysmevyjadriťajfunkciuziskovostiΠlenvzávislostiod

Aa

K.Vtejtoprácijuvšakbudemepovažovaťzaexogénnedanú.

NazákladeanalýzyreálnychdátCooperaHaltiwangerv[2]používajú

produkčnúfunkciuprekonkrétnypodnik

iačas

tvtvare

Π(A

it,K

it)=

AitK

θ it

kde

θreprezentujezakrivenietejtofunkcieziskovosti.Takýtotvarsapodľa

nichdáodvodiťzmodelu,kdeprodukciajedanáštandardnouCobb-Douglas-

ovoufunkciouafirmapredávasvojevýrobkynanedokonalekompetitívnom

trhu.Vnašommodelipoužijemefunkciu,ktorábudemaťrovnaký,alebo

veľmipodobnýtvar,keďževniektorýchprípadochjerozumnéuvažovaťzá-

vislosťziskovostiajodveľkostiinvestícii.Priväčšíchinvestíciachsatotiž

obyčajneprispôsobujecelývýrobnýprocesatátoskutočnosťmánazisko-

vosťdočasnenegatívnydopad.

Veľmidôležitoucharakteristikouvnašejanalýzejeajstavovápremenná

A,ktoráreprezentujeúroveňziskovostipodnikuaoktorejpredpokladáme,

žeprekaždýpodnik

iačas

tjejejhodnota

Aitpevnedanáarozhodnutie

6

podnikujunemôžeovplyvniť.Dotejtopremennejzahŕňamevšetkynepred-

vídateľnévonkajšiešokovéfaktory,ktorévplývajúnaziskovosť.Vrealitesú

niminajčastejšietechnologickáúroveňalebovládnevýdavky,alevšpecific-

kýchprípadochsemmôžemezahrnúťnapr.ajpočasie,cenynaburzealebo

úrokovúmieru.

Budemepredpokladať,žetátopremennámánáhodnýcharakteranaza-

čiatkukaždéhoobdobiafirmapoználenjejterajšiuhodnotu

Ai0acharakter

náhodnéhoprocesu,ktorýmsabuderiadiťdobudúcnosti.Tensavpraximo-

delujealeboautoregresnýmaleboMarkovovskýmprocesom.Vzhľadomnapo-

užitýspôsoboptimalizáciesimyzvolímedruhýspomínanýprístupabudeme

predpokladať,žeziskovosťpodnikumôženadobúdaťhodnoty

A1,A2..

.An

pričombudemepoznaťmaticuprechodovmedzitýmitostavmi.

Neskôrbudemerozlišovaťajmedziagregovanouziskovosťou

At(napr.

globálnatechnologickáúroveň)aziskovosťoukonkrétnehopodniku

Ait(tech-

nologickáúroveň

i-tehopodniku).Tábudefunkciou

Ata

ε it,kde

ε itbude

šokovápremennášpecifickáprekaždýpodnikanezávislána

At.

Majmetedakonkrétnypodnik(index

ibudemeterazvynechávať)vkonkrét-

nejsituácii(včase0).Toznamená,žepoznáme:

K0–súčasnúakumuláciukapitálu(hodnotuinvestičného

majetku)

A0–súčasnúziskovosťacharakternáhodnéhoprocesu,

ktorýmsatátobuderiadiťdobudúcnosti

Π(A

,K,I)–funkciuziskovosti

C(A

,K,I)–funkciuprispôsobovacíchnákladov

δ∈(0

,1)–veľkosťamortizáciekapitálumedziperiódami,kedy

podnikmôžerobiťrozhodnutiaoinvestíciach

β∈(0

,1)–diskontnýfaktorbudúcnosti(βdolárovzarobených

dnesjeekvivalentnýchjednémudoláruzarobenému

vbudúcejperióde)

Zapredpokladunekonečnejexistenciepodnikurozumiemeoptimálnoupoliti-

kouinvestovaniatakúvoľbu

I t(∀

t∈{0,1,2,

...}),žeočakávanádiskontovaná

hodnotavšetkýchbudúcichziskov(poodrátaníainvestíciiaprispôsobova-

cíchnákladov)jemaximálna.Formálnezapísanéhľadáme

max∀It

EA

t>0|A0

[

∞∑ t=0

βt(

Π(A

t,K

t,I t)−

pI−C(A

t,K

t,I t))

]

kde

pjecena,zaktorúkapitál„nakupujemeÿ,zaúčtovnéhoobmedzenia

Kt+1=(1−

δ)K

t+

I t∀t∈{0,1,2,

...}

7

Akozákladnýanajjednoduchšímodel,naktoromopíšemecelýpou-

žitýmatematickýaparátsizvoľmejednoduchýproblémvýmenyvýrobného

stroja.Predpokladajme,žekaždáfirmavnašomsektorepoužívanavýrobu

ibajedenstroj,ktoréhohodnotaje1.Strojsačasomopotrebuvávaatakje

potrebnéčasomhovyhodiťakúpiťnový.Funkciuziskovostizvoľmevovyššie

spomínanomtvare

Π(A

t,K

t)=

AtK

θ t

Zapredpokladu,ževdanomobdobínovýstrojnekúpime,budenášzisk

rovnýΠ(A

t,K

t)ahodnotastroja(kapitálu)vbudúcejperiódebude

Kt+1=

(1−

δ)K

t.Aknovýstrojkúpime,budemepredpokladať,žeokremcenystroja

p>1námvzniknúajprispôsobovacienáklady,ktorézahrniemedozmeny

vziskovosti,keďžestrojnemôžebyťihneďplneproduktívny.Nech

λ<1je

faktor,ktorýmprenásobímeziskovosťvperióde,kedybolnovýstrojkúpený.

Ostatnéfaktoryako

Aalebo

βmajúrovnakývýznamakoprivšeobecnej

formulácii.

2.2Rovnicadynamickéhoprogramovania

Nájdenieoptimálnejpolitikyinvestovaniasadáchápaťakoproblémdyna-

mickéhoprogramovania(vnašejformuláciiideoautonómnuúlohunaneko-

nečnomčasovomhorizonte).Tenspočívavnájdeníhypotetickejhodnotovej

funkcie(označmejuV(A

,K)),ktoránámpredstavujemaximálnudiskonto-

vanúhodnotubudúcichziskov,ktoréjemožnédosiahnuťzterajšiehostavu

danéhopremennýmiAa

Kvoľbouoptimálnychbudúcichinvestícii.

Zapíšmesitedanášproblém,akoproblémdynamickéhoprogramovania

pomocoutzv.BellmanovejfunkcionálnejrovniceprefunkciuV.Stavovými

premennýmivnašomproblémesú

Aa

Kakontrolnoupremennoujeveľkosť

investícii

I.Nechhodnoty

At+1a

Kt+1súdeterministickyurčenéhodnotami

At,

Kta

I t.Vieme,že

Kt+1=(1−

δ)K

t+

I t∀t∈{0,1,2,

...}

(1)

anazačiatokpredpokladajme,žeaj

Ajedeterministickydané.Keďžeopti-

malizujemenanekonečnomčasovomintervaleahľadámefunkciu,ktorázá-

visílenodhodnôt

Aa

K(nezávisleodčasu),môžemecelýnášproblém

prepísaťlendopremennýchplatnýchpretútoanasledujúcupreriódu.Teda

nech

Aa

Kvyjadrujústavteraza

A′a

K′stavvnasledujúcejperiódea

nechpoznámestavovérovniceprechodu(vovšeobecnostiA′≡

A′ (A

,K,I)a

K′≡

K′ (A

,K,I)).PotomfunkciaVspĺňafunkcionálnurovnicu

V(A

,K)=max I[Π(A

,K,I)−

pI−C(A

,K,I)+

βV(A

′ ,K

′ )]

(2)

8

Poslednárovnicamárekurzívnycharakter.Zapredpokladu,žepoznámehod-

notovúfuknciuvzávislostiodvšetkýchmožnýchbudúcichstavov,dnešná

funkciajeužjednoduchoumaximalizácioupresnedaná.Natejtoskutočnosti

jezaloženáajiteračnámetóda,ktorúnazískaniekonkrétnychhodnotových

funkciípoužijeme.

Vskutočnostivšakhodnotováfunkciaažtakádôležitánieje.Prema-

nažérapodnikujeomnohodôležitejšiepoznaťoptimálnuveľkosťinvestícii

(resp.budúcehokapitálu).Tiesúvtomtoprípadeargumentomhľadaného

maximaajeichmožnétakistovyjadriťakofunkciu

Aa

K.Tásavteórii

dynamickéhoprogramovaniaoznačujeakooptimálneriadenie(angl.decision

rulealebopolicyfunction).

Rovnicadynamickéhoprogramovaniamôžemaťajstochastickúformu.Vo

väčšineprípadovtotižvrozhodovaníobudúcnostičelímeneistote(vnašom

prípadenepoznámepresnehodnotu

A′ ,alelencharakteristikunáhodného

procesu,ktorýmsariadi).Vtakomtoprípademôžeme(2)prepísaťdosto-

chastickéhotvaru

V(A

,K)=max I

[

Π(A

,K,I)−

pI−C(A

,K,I)+

βE

A′|A[V(A

′ ,K

′ )]]

(3)

2.3Diskretizácia

Akoužbolospomínanévyššie,nanájdenieoptimálnehoriadeniapredaný

podnikpoužijemeiteračnúschému,založenúnarovnici(3).Vpraxisana

riešenietaktoformulovanýchmakroekonomickýchproblémovpoužívajúdva

spôsobyriešenia.Prvýmznichjeaproximáciahodnotovejfunkcie

n-roz-

mernoukvadratickoufunkciouokolostabilnéhobodu( A

,K)zapredpokladu,

žeexistujeaviemehonájsť.

Ajkeďjetentospôsobnumerickyrelatívnerýchlyaspoľahlivý,obmedze-

niesanalineárneakvadratickéfunkciejeprílišveľké,aužanijednoduchý

problémvýmenyvýrobnéhostrojasatakýmtospôsobomdáriešiťlenťažko.

Dôvodspočívavtom,žepritomtopostupevyjdeoptimálneriadenieakoli-

neárnafunkciaavnašomprípadepotrebujemefunkciu,ktoránámodurčitej

hodnotykapitálu(opotrebovaniastroja)nariadijehovýmenu.

Druhýspôsob,ktorýsapoužíva,spočívavdiskretizáciihodnotovejfun-

kcie.Jehoveľkounevýhodouječasováapamäťovánáročnosť.Zapredpo-

kladu,žemámeibajednustavovúajednukontrolnúpremennú(vnašomprí-

padesúnimiAa

K),budemaťhodnotováfunkciarozmerdim(A)×dim(K)

(kdesymbolomdim(X)označujemerozmervektora

X).Neskôrukážeme,že

reálnesapočítasmaticamiorozmeredim(A)×dim(K)×dim(K),čoprináša

maticeajso100000aviacprvkami.Výpočtystakýmitoveľkýmimaticami

9

uždosahujúmedzespočítateľnostinabežnýchpočítačochatakjepotrebné

robiťvoľbuadiskretizáciupremennýchveľmiopatrne.

Položmesitedaotázku,akooptimálnezvoliťhraniceintervalovadelenie

prepremenné

Aa

K?Začnemepremennou

K,tedaoptimálnymdelením

kapitálu.Vrovnicidynamickéhoprogramovania(3),ajvrovniciprechodu

(1)námokremkapitáluvystupujeajhodnotainvestícii

I,ktorúmanažér

reálnevolí.Nazákladejejvýberujepotomcezrovnicu(1)jednoznačnedaná

budúcahodnotastavukapitálu(K

′ ).Pretobudemeradšejformálneuvažovať,

žemanažérvolítútohodnotu

K′ainvestíciebudemevyjadrovaťvtvare

I=

K′−(1−

δ)K

Zapredpokladu,žedelenie

Kbudememaťdostatočne„hustéÿ,budeaj

delenieinvestíciidosť„hustéÿatiebudúdosahovaťhodnoty

K′ −(1−

δ)Kpre

všetkykombinácie

K′a

K.Jedinoupodstatnouvecou,ktorútrebazabezpečiť

je,abyzkaždéhostavukapitálubolamožnosťnulovýchinvestícii.Tájeveľmi

dôležitáprávepreprispôsobovacieatransakčnénáklady,ktorézkaždejnovej

investícevyplývajú.

Totojemožnédosiahnuťtak,žesvýnimkouokrajovýchhodnôtintervalu

Kmina

Kmax(ktorénásobyčajneažtaknezaujímajú)budeprekaždúhod-

notu

Kiaj(1−

δ)K

idotohtodeleniapatriť.Najjednoduchšímspôsobomako

tozabezpečiťjezvoliťsi

Kmaxapotompodľaschémy

Ki−1=(1−

δ)K

i

počítaťvšetky

Kiažpokiaľnedosiahnemehodnotu

Kmin.Zapredpokladu,

žebyzinýchpodmienokvyplynulapotrebajemnejšiehodelenia,môžeme

takdosiahnuťnásobenímfaktorom

n

√

(1−

δ),kde

nzvolímetak,abysme

dosiahlipožadovanúpresnosť.

Druhoupremennou,ktorújepotrebnédiskretizovať,jeziskovosť

A.Tá

obyčajnevystupujelenvofunkciiziskovostiΠ(A

,K)atakniejepotrebnépri-

raďovaťjejnejakéšpeciálnehodnoty.Problematickejšímjevšakjejnáhodný

charakter.Akobolouvedenévyššie,myjubudememodelovaťMarkovov-

skýmprocesom.Nechmátátopremennálognormálnerozdelenieamysme

sizvolilijejdelenie{logA1,log

A2,.

..log

An}.Potomjenašímcieľomnájsť

takúmaticuprechodovmedzitýmitostavmi,abybolostacionárnerozdelenie

Markovovhoreťazcanormálne.

Zapredpokladu,žeriešimenejakýkonkrétnyproblémamámekdispozícii

reálnedáta,jemožnénazákladenichtotodelenieajmaticuurčiť.Bežne

všakdátanemámevôbec,alebojetýchdáttakmálo,žeznichniejemožné

efektívnetútomaticuzrekonštruovať.Pretosapokúsmevytvoriťtútomaticu

umelo,lennazákladevlastností,ktoréjeodnejlogickévyžadovať.

10

Predpokladajmeteda,žesmepodnik,ktorýmáziskovosťnanejakej

úrovni.Logickébudepredpokladať,žerozdeleniepravdepodobnostíprechodu

znášhostavudoinéhojenormálne,sostrednouhodnotouprávevnašom

stave.Inakpovedané,najväčšiupravdepodobnosťmáme,žezostanemevna-

šomstaveačímjenasledujúcistavodnásvzdialenejší,jepravdepodobnosť

prechodudonehomenšia.

−0.

50

0.5

0.00

5

0.01

0.01

5

0.02

PSfragreplacements

Stacionárnerozdelenie

pj

log

A

0.02

0.04

0.06

0.08

−0.

50

0.5

−0.

50

0.5

PSfragreplacements

stav

j

stavi

Matica

pijprelog

A

Obr.1:CharakteristikynajjednoduchšiehoMarkovovhoprocesu

Naobrázku1jeznázornenéstacionárnerozdelenieMarkovovhoprocesu,

aknamaticuprechodovkladiemeibavyššiespomínanýpredpoklad.Znázor-

nenýprocesmá63stavovazvýšenépravdepodobnostivrohochmaticesú

spôsobenétým,žekaždýriadokmaticejenormovanýnajednotku.Užpri

prvompohľadejezrejmé,ženamaticubudetrebasformulovaťešteďalšie

požiadavky.

−1

01

0.04

0.06

0.080.

1

PSfragreplacements

Stacionárnerozdelenie

pj

log

A

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

−1

01

−1

−0.

50

0.51

PSfragreplacements

stav

j

stavi

Matica

pijprelog

A

Obr.2:CharakteristikyMarkovovhoprocesuč.2

Chyboupredchádzajúcehoprístupubolo,žematicamalaveľmi„ťažkéÿ

rohy,čosaprejavilorozšírenímvrcholurozdeleniananeprirodzenúúroveň.

11

Naobrázku2súznázornenécharakteristikyrozdelenia,keďsmerohy„odľah-

čiliÿ.Vpraxitoznamená,žesmeprijalipredpoklad,žeaksmevstredných

stavoch,mámepravdepodobnosťzotrvaniavosvojomstavevyššiu,akokeď

smevokrajových.

−1

01

0

0.02

0.04

0.06

PSfragreplacements

Stacionárnerozdelenie

pj

log

A

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

−1

01

−1

−0.

50

0.51

PSfragreplacements

stav

j

stavi

Matica

pijprelog

A

Obr.3:CharakteristikyMarkovovhoprocesuč.3

−0.

050

0.05

0

0.050.

1

0.150.

2

PSfragreplacements

Stacionárnerozdelenie

pj

log

A

00.2

0.4

0.6

0.8

−0.

04−

0.02

00.

02

−0.

04

−0.

020

0.02

PSfragreplacements

stav

j

stavi

Matica

pijprelog

A

Obr.4:Charakteristikyreálnehoprocesu

Rozdelenieužvyzerálepšie,aledostalismezase„neprirodzenúÿmaticu

prechodov.Jejneprirodzenosťspočívavtom,ževokrajovýchstavochsú

pravdepodobnostiprechodudoostatnýchstavovomnohovyššie,akovsta-

vochstredných.Vpraxitoznamenáasitoľko,žekeďsmeporiadnestra-

tovýpodnik,jepravdepodobnosťprechodudostavuvysokejziskovostiunás

omnohoväčšia,akoprepodnik,ktorýjeniekdevstrede.Opäťjezrejmé,že

takoutomaticoubysmesimulovalinereálnesituácie.

Neostávanámtedaničiné,akoupustiťodjednéhozpredpokladov.Ak

chcemestacionárnymrozdelenímdosiahnuťGaussovukrivku,musiasavrea-

lizáciachMarkovovhoprocesuokrajovéhodnotydosahovaťnaozajlenzriedka

12

abudepotrebnénastaviťrozdeleniamvtýchtostavochstrednúhodnotunie-

kdeinde.Najjednoduchšíspôsobakotodosiahnuťbudeotočiťtrochuvmatici

najväčšieprvkyprotismeruhodinovýchručičiek.Takátomaticaajzrozde-

lenímjeznázornenánaobrázku3.

Rozdelenieajmaticaužvyzerajúreálnejšieasúporovnateľnéscharak-

teristikoureálnehoprocesuznázornenéhonaobrázku4,pričomakoreálny

processmezobralidennývývojzmienindexuDow–Jones(ktorýsvojimspô-

sobommodelovanejziskovostiajzodpovedá).Vidíme,žeajreálnamatica

prechodovvypočítanáztohotoprocesumánajväčšieprvkyusporiadanéna

líniiotočenejodhlavnejdiagonály.

020

040

060

080

010

0012

00−

1

−0.

50

0.51

PSfragreplacements

logA

čas

Obr.5:Simulovanýčasovýrad

Naobrázku5jesimulovanýtaktozadefinovanýMarkovovproces.Vidíme,

žedostávameopäťveľmirealitepodobnédáta,ktoréjemožnéporovnaťsob-

rázkom6,kdesúdátaskutočné.

2.4Riešenie

Mámeužvyriešenúotázkudiskretizáciekontrolnejajstavovejpremennej

amámekdispozíciiajpomernevierohodnúmaticuMarkovovhoprocesu.

Pozrimesatedanaspôsob,akýmbudemeoptimálnerozhodovaniehľadať.

NašimcieľomjenájsťtakúhodnotovúfunkciuV(A

,K),ktorábudespĺňať

rovnicu(3),pričomrovnicasamanámposlúžiakoiteračnáschémanajej

nájdenie.Abysmemohlizostrojiťkonkrétnyalgorimus,prepíšmesitúto

rovnicudonasledujúcehotvaru

V(A

,K)=max

K′

[

P(A

,K,K

′ )+

βE

A′|A[V(A

′ ,K

′ )]]

(4)

13

020

040

060

080

010

0012

00−

0.06

−0.

04

−0.

020

0.02

0.04

0.06

PSfragreplacements

logA

čas

Obr.6:Reálnyčasovýrad

P(A

,K,K

′ )označuječistýpríjemvdanejperióde(tedarozdielmedzipríj-

mamiavýdavkami)definovanýako

P(A

,K,K

′ )=Π(A

,K,K

′ )−

p(K

′−(1−

δ)K)−C(A

,K,K

′ )(5)

Prepíšmesiterazrovnicu(4)nazákladepredchádzajúcejdiskretizáciedo

maticovejformy.OznačmeA={A1,A2,.

..A

m}deleniestavovejpremennej

AaK={K1,K2,.

..K

n}delenieriadiacejpremennej

K.FunkciuV(A

,K)

definovanúnaA×KbudepotomreprezentovaťmaticapremennýchV(m×

n)vtvare

V=

V(A1,K1)V(A1,K1)

...V(A1,K

n)

V(A2,K1)V(A2,K2)

...V(A2,K

n)

. . .. . .

. ..

. . .V(A

m,K1)V(A

m,K2)

...V(A

m,K

n)

Vidíme,ževrovnici(4)námešteokremfunkcieV(A

,K)vystupujeaj

funkciaP(A

,K,K

′ ).Poprepísanídomaticovejformybudetátofunkciauž

vystupovaťakokonštanta,leboprevšetkykombinácie

A,Ka

K′jejejhod-

notapevnedanáanemenná.VytvormesitedamaticuPvtvare

P=

P1,1

,1..

.P1,n

,1..

.P

m,1

,1..

.P

m,n

,1

. . .. ..

. . ...

.. . .

. ..

. . .P1,1

,n..

.P1,n

,n..

.P

m,1

,n..

.P

m,n

,n

(6)

kdeP

i,j,

kznačíP(A

i,K

j,K

′ k),pričomkaždýstav

Aitvoríjedenštvorcový

blokoveľkosti

n×

n(vmaticisúoddelenévertikálnoučiarou).Aksmeteda

14

vbloku

iastĺpci

j(terajšístavkapitálu),voľbouriadku

k(budúcistav

kapitálu)viemeztejtomaticeodčítaťnáščistýpríjemvdanejperióde.

Poslednýmvýrazom,ktorýbudetrebaprepísaťdomaticovejformyje

EA

′|AV(A

′ ,K

′ ),čižestrednáhodnotahodnotovejfunkcievbudúcomstave.

Vpraxitoznamená,žeaksmeterazvstaveziskovosti

Aazvolímesihodnotu

budúcejakumuláciekapitálunaúrovni

K′ ,chcemevedieť,akájeočakávaná

maximálnadiskontovanáhodnotaziskov,ktorébudememôcťvbudúcnosti

stýmtokapitálomdosiahnuť.

ZMarkovovskejmaticeΠvieme,žeaksmevstave

Ai,pravdepodobnosť

prechodudobudúcehostavu

A′ jje

p ij,pričom

Π=

p 11

p 12

...

p 1m

p 21

p 22

...

p 2m

. . .. . .. ... . .

p m1

p m2

...

p mm

Zapredpokladu,žepoznámehodnotovúfunkciuV,viemevyjadriťajjej

budúcuočakávanúhodnotuprekaždýterajšístav

Aiahodnotubudúceho

kapitálu

K′ k,ktorábuderovná

EA

′|A

iV(A

′ ,K

′ k)=

m∑ j=1

p ijV(A

′ j,K

′ k)

(7)

Preformulovanímdomaticovéhotvarupočítamematicuočakávanýchhodnôt

hodnotovejfunkcie(označímejuV

′ )prevšetkykombinácieterajšiehostavu

Aabudúcehostavukapitálu

K′ .Nech

V′=

EA

′|A1V(A

′ ,K

′ 1)

...E

A′|A1V(A

′ ,K

′ n)

. . .. ..

. . .E

A′|A

mV(A

′ ,K

′ 1)

...E

A′|A

mV(A

′ ,K

′ n)

potompodľavzťahu(7)dostávame

V′=Π

.V

Terazmámeužvšetkopripravenénato,abysmemohlinazákladerovnice(4)

zostrojiťiteračnýalgorimusanaprogramovaťho.Tenjezaloženýnarovnici

(4)avyzeránasledovne

Vk+1=max

K′

[

P(A

,K,K

′ )+

βE

A′|A[Vk(A

′ ,K

′ )]]

(8)

Poprepísanívšetkýchjejčlenovdomaticovejformysatátorovnicaprevedie

naštandardnýproblémnájdeniapevnéhobodurovnice

V=f(V)

15

pričomfjekontraktívnezobrazenie(zabezpečímetovoľbou0

<β

<1).Náš

algoritmusbudetedavyzeraťnasledovne:

1.NajprvsanavrhnepočiatočnámaticaV0.Vzhľadomnanumerickú

stabilitutejtoschémymôžebyťľubovoľná,alemysizvolímeV0 ijrovné

maximuz

j-tehostĺpcav

i-tomblokumaticeP(6).Ináčpovedané,

maximálnuhodnotuziskuzapredpokladu,ževbudúcnostiužnične-

získame.

2.Vtomtokrokupredpokladáme,žemámeužhodnotu

k-tejiteráciema-

ticehodnotovejfunkcieV

k.AbysmemohlivypočítaťV

k+1,najprv

vypočítamematicuočakávanejhodnotovejfunkcieV

′k=Π

.Vk.

3.Terazbudememaximalizovaťpravústranurovnice(8).Abysmeku

všetkýmmožnýmterajšímpríjmom(určenýmmaticouP)mohlipri-

rátať

βnásobokichdiskontovanejočakávanejhodnotyzbudúcnosti

určenejmaticouV

′k,musímesitútoupraviť.Prioznačenípoužitom

vyššie,máme

Vk+1

ij=max l{P

i,j,

l+V

′k il}

Vidíme,ževmaticiPbudememaximalizovaťpostĺpcochavoV

′kpo

riadkoch.Pretositútoposlednúnajprvtransponujemeakaždýstĺpec

(predstavujúcijedenstav

Ai)rozšírimenašírku

nstĺpcov,čímdosta-

nemematicerovnakejdimenzie.Tiekeďsčítameamaximalizujemepo

stĺpcoch,dostanemevektorobsahujúciV

k+1

ijnamieste(j+(i−1)

m).

Rozdelenímtohtovektorana

mriadkov,dostanemeužhľadanúmaticu

Vk+1.

4.Veľmidôležitýmproduktomtejtomaximalizáciejeajoptimálneria-

denie.Aksitotižindexyprvkov,naktorýchsanadobudlomaximum

pretransformujemerovnako,akosmetransformovalivektorvzniknutý

maximalizáciounamaticuV

k+1,dostanemematicuindexov

D=

d11

...

d1n

. . .. ... . .

dm1

...

dm

n

kdepotom

K′ dijjeoptimálnabudúcahodnotaakumuláciekapitálu,

ktorúvolímanažérpodniku,keďsatennachádzavstaveurčenom

(Ai,

Kj).

5.Postupodkroku2budemeopakovať,ažpokiaľnedosiahnemepožado-

vanúpresnosť

ε,teda

∥ ∥ ∥V

k+1−V

k∥ ∥ ∥

<ε

16

Teraz,keďužmámenavýpočethodnotovejfunkcievšetkopripravené,

môžemepristúpiťkjehorealizácii.Zalgoritmuuvedenéhovyššievyplýva,

žekeďmámediskretizovanépremenné

Aa

KadanéΠa

β,stačínámuž

lenmaticaP,ktorávsebeskrývavšetkyostatnéšpecifikáciekonkrétneho

problému.

Majmetedaproblémvýmenyvýrobnéhostroja.Akobudeprenehovy-

zeraťmaticaP?Narozdielodvšeobecnejformulácieproblému,mymáme

vkaždejperiódemožnosťrozhodnúťsalenpredvemožnéalternatívy:alebo

novýstrojkúpime,alebonie.Totozabezpečímetak,že

i-tyblokmaticeP

budevyzeraťnasledovne

Pi=

−∞

P2,1

−∞

...

−∞

−∞

−∞

P3,2

...

−∞

. . .. . .

. . .. ..

. . .−∞

−∞

−∞

...

Pn,n−1

P1,n

P2,n

P3,n

...

Pn,n

pričomposlednýriadokvyjadrujeziskzapredpokladu,ževdanejperióde

novýstrojkúpime P

i,j,

n=

λA

iKθ j−

p∀j∈{1,2..

.n}

anadhlavnoudiagonáloujeziskzapredpokladu,ženovýstrojnekúpime.

Pi,j,

j−1=

AiK

θ j∀j∈{2,3..

.n}

Navšetkýchostatnýchmiestachvmaticije−∞,čímzabezpečíme,žedanú

možnosťmaximalizačnýalgoritmusnikdynezvolí.

4.2

4.3

4.4

4.5

4.6

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.5

PSfragreplacements

K

A

V(A

,K)

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.5

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

Obr.7:Hodnotováfunkciaaoptimálneriadenie

17

Pokonkrétnejvoľbeostatnýchvstupovdomodeludostávameprvúma-

ticuhodnotovejfunkcieatakistoajmaticuindexovoptimálnehoinvestova-

nia.Tiesúznázornenénaobrázku7.Zprvéhografutedamôžemeodčítať

maximálnudiskontovanúhodnotuziskov,ktorémôžefirmaprioptimálnom

investovanídosiahnuť,aksanachádzavstaveziskovosti

A(os

y)ahodnota

jejstrojaje

K(os

x).Vdruhomjeznázornenáoptimálnahodnonastroja

zapredpokldu,žesmevužopísanomstave.Vidíme,žeodurčitéhostavuje

užvždyoptimálnajehovýmena(bielaplocha,šedáznamená,žez

Kvolíme

K′=(1−

δ)K).Zaujímavým(užnietakýmtriviálnym)faktomje,žeaksú

naševýnosyvyššie,budemejedenstrojpoužívaťdlhšie.

3.6

3.8

44.2

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.5

PSfragreplacements

K

A

V(A

,K)

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

0.2

0.3

0.4

0.5

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

0.65

0.7

0.75

0.2

0.4

0.6

0.8

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

PSfragreplacements

K

A

V(A

,K)

0.4

0.6

0.8

0.2

0.4

0.6

0.8

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

Obr.8:Výsledkyoptimalizácieprivyššejcene

paprinižšejE(A)

Cieľomtejtoprácejezískaťprávetakétopoznatky,akviemevyššieuve-

denýmspôsobomopísaťfaktory,ktorénarozhodovaniejednéhoagentavplý-

vajú.Teraz,keďsmesiužoptimalizačnýprocesautomatizovali,niejeprob-

lémomzískaťtakýchtofaktovčímviac.Aknapríkladzvýšimecenustroja

p,vidíme(vprvomriadkunaobrázku8),žesasprávanieagentovzmenilopodľa

našichočakávaní.Tedafirmyjedenstrojpoužívajúdlhšieaichziskyklesli.

18

Zaujímavýmfaktomaleje,ženatotozvýšeniecenycitlivejšiezareagovalití,

ktorímalinižšiezisky.

Vdruhomriadkunatomtoobrázkusmezaseznížilistrednúhodnotu

ziskovostipričomvidíme,žereakciefiriembolipodobné,akoprizvýšení

cenystroja.Opäťcitlivejšiezareagovalití,ktorímalinižšiezisky.Zaujímavou

skutočnosťouje,žetak,akopriprvej,takajpridruhejzmenesaznížilo

rozpätieopotrebovaniastroja,priktoromjeoptimálnajehovýmena.

2.5Agregácia

Prevládne(aleajmnohéiné)inštitúciesútaktistoveľmipodstanéajglobálne

ukazovatele,ktorécharakterizujúcelýsektor.Naichurčeniejepotrebnépo-

znaťrozdelenieagentovpodľastavovejpremennej,ktorájedeterminovaná

modelom.Vnašomprípadeideibao

K,keďžerozdelenie

Avstupujedo

modeluakojedenzjehoparametrov.

Pokúsmesaotopodobnýmspôsobom,akosmezískalihodnotovúfunkciu.

DiskretizujmesihoprekaždúhodnotuziskovostizA,akosmetospravili

shodnotovoufunkciou.BudemehotedaaproximovaťmaticouRorozmere

m×

n,pričomkaždýriadok

ibudepredstavovaťrozdeleniefiriemzozisko-

vosťou

Aipodľa

K∈K.

00.

20.

40.

60.

81

0

0.050.

1

0.150.

2

PSfragreplacements

Stacionárnerozdeleniepodľa

K

podiel

K

Obr.9:Akumuláciakapitáluvpodnikovomsektore

Budemeopäťhľadaťpevnýbodfunkciedefinovanejnapriestorevšetkých

matícR.Tátofunkciabudespočívaťvaplikáciidvochtransformácii.Prvá

preusporiadajednotlivérozdeleniaprekaždúziskovosť(riadkymaticenR)

19

nazákladeočakávaní(prenásobeniematicouMarkovovskéhoprocesuΠ)a

druházasaplikáciouoptimálnychrozhodnutí(reprezenovanýchmaticouD).

Výsledoktakéhotopostupujeznázornenýnaobrázku9.Jehodetailnú

analýzutuuvádzaťnebudeme,lebovpraxijejehopoužitiedosťotáznea

mámnohonevýhod.Hlavnouznichjejehonieprávenajlepšiakonvergencia

kriešeniu(vzhľadomnato,žetunemámežiadnyfaktor

β,ktorýbyju

zabezpečoval).Tátýmpádomdosťzávisíajnavoľbenultejaproximácie.

Tútometódubudemepoužívaťlenakoreferenčnú,lebohľadanérozdelenia

jemožnézískaťajsimuláciamiopísanýmivnasledujúcejkapitole.

Nauvedenomobrázkujemožnévidieťhneďjednuchybutohotopostupu,

atoničímnevysvetlenýzvýšenýpodielfiriemsúplnenovýmstrojom.Zgrafu

optimálnehoinvestovania(obr.7)totižvyplýva,žepodielfiriemvoblasti

kapitálu,kedynedochádzakukúpenovéhostroja,bymalbyťvšaderovnaký,

atedakrivkastacionárnehorozdeleniabymalabyťaždokoncahorizontálna.

2.6Simulácie

Poznajúcsprávaniesaagentov,opísanéoptimálnymriadenímprekaždýstav,

viemepomocouMonte–Carlosimuláciízískaťajdynamickécharakteristiky

modelu,tedavývojrozličnýchfaktorovvčase.Začnimenajjednoduchšou

simuláciouatovygenerovanímčasovéhoraduopisujúcehosprávaniesajed-

néhopodnikuvčase(opäťsmepriproblémevýmenyvýrobnéhostrojaa

použijemevýsledkyzískanévyššie).Postupsimuláciejeveľmijednoduchýa

možnohozhrnúťdonasledovnýchkrokov:

1.Stanoveniepočiatočnejhodnotystroja

K0aziskovosti

A0.O

K0mô-

žemebezujmynavšeobecnostipredpokladať,žejerovné1(tedamáme

novýstroj).

A0zasvygenerujemeakorealizáciunáhodnejpremennej

zostacionárnehorozdeleniaMarkovovskejmaticeΠ.Ajkeďprijednej

simuláciitoažtakédôležiténieje,výhodutakejtovoľbyocenímeprisi-

mulovanísprávaniasapodnikovéhosektorapozostávajúcehozväčšieho

množstvafiriem.

2.Zapredpokladu,žepoznáme

Ki−1a

Ai−1,určíme

Kia

Ai .Vieme,

žeAsledujeMarkovovskýprocesurčenýmaticouΠatedarozdelenie

pravedpodobnostiA

ijedanévjej(

i−1)-omriadku.A

itedadostaneme

vygenerovanímnáhodnéhočíslaztohtodiskrétnehorozdelenia.

3.Podobne,nazákladeoptimálnehoriadenia(určenéhomaticouD,viď

kapitolu2.4),viemez

Ai−1a

Ki−1zvoliť

Kipredanúperiódu.

4.Pokračujemekrokom2,ažpokiaľnedosiahnemepožadovanýčasalebo

presnosťpočítanejcharakteristiky.

20

Naobrázku10jevýsledokjednejztakýchtosimulácii.Vidíme,ževýmena

strojasadejevždypodosiahnutíurčitéhostavujehoopotrebovania,nie

rovnakéhoprekaždúperiódu.Tátoskutočnosťjedôsledkomnáhodnosti

A.

050

100

150

200

0.5

0.6

0.7

0.8

0.91

PSfragreplacements

Vývoj

Kpre1podnik

K

čas

Obr.10:Simulovanývývojinvestovania

Zaujímavejšíobrázokdostaneme,keďbudemesimulovaťvývojceléhový-

robnéhosektorareprezentovanéhourčitýmpočtompodnikov.Naobrázku11

050

100

150

200

727476788082

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

Kpre100podnikov

agregovanéK

čas

Obr.11:Simulovanývývojagregovanéhoinvestovania

vidno,akoajpriväčšommnožstveagentovvznikajútzv.hospodárskecykly,

tedaalternujúceobdobiainvestičnejaktivityapasivitynamakroekonomickej

úrovni.

Drobnýmproblémompritakejtosimuláciijevýberpočiatočnýchhodnôt

A0a

K0prekaždúsimulovanújednotku.Abysaeliminovalvplyvtohtový-

21

beru,potrebujemealebozabezpečiťjehosúladsostacionárnymrozdelením,

alebovygenerovaťdostatočnýpočetrealizácií,abyboltentovplyvzanedba-

teľný.Obidvapostupymajúsvojevýhodyajnevýhodyapraktickyjejedno,

ktorýpoužijeme.

Štatistickouanalýzoutaktovygenerovanýchčasovýchradov,môžemevy-

počítaťstacionárnerozdeleniepodnikovpodľastavovejpremennej,počítané

užvkapitole2.5.Naobrázku12môžemeporovnaťrozdeleniepodnikovpodľa

hodnotystrojazískanétakoutoMonte–Carlometódousrozdelenímvypo-

čítanýmpodľavyššiespomínanéhopostupu(znázornenéhotenkoučiarou).

Vidíme,žesatrochulíšiaadôvodombudúnajskôrnienajlepšienumerické

00.

20.

40.

60.

81

0

0.050.

1

0.150.

2

PSfragreplacements

Stacionárnerozdeleniepodľa

K

podiel

K

Obr.12:Stacionárnerozdeleniepodnikovnazákladesimulácie

vlastnostipredchádzajúcejmetódy.Prihustejšomdelenípoužitýchpremen-

nýchvšaktietorozdielypraktickyzaniknú.Vtakomprípadejeužpoužitie

metódyuvedenejvkapitole2.5možnéaajvýhodné,lebosimuláciesúčasovo

omnohonáročnejšieakotátoiteračnáschéma.

Výpočettohtorozdeleniajeveľmidôležitý,akchcemevypočítaťprie-

mernúhodnotuakumuláciekapitáluvsektore(vnašomprípadeideoprie-

mernéopotrebovanievýrobnéhostroja).Tásapočítapodľavzťahu

K=

n∑ i=1

πiK

i

kde

πijevypočítanýpodielfiriemsdanýmstavom

K.Vpraxinástotiž

častozaujíma,akobudetátopriemernáhodnotareagovaťnazmenupara-

metrovmodelu,ktorémôžemekontrolovať(napr.cenastroja,zdaneniezisku,

prispôsobovacienákladyapod.).

22

Prepíšmesiterazziskovosťpodniku

ivčase

t(A

it),akosmejuformulovali

vkapitole2.1na

Ait=

At ε

it(9)

kde

ε itješokovápremennácharakteristickápredanýpodnikadanýčas

anezávisláodostatnýcha

Atjeglobálnaziskovosťspoločnáprevšetkých.

Takétousporiadaniejeveľmiprirodzené,leboziskypodnikovdoznačnej

mieryzávisiapráveodvonkajšíchfaktorovakonapr.infláciaalebodaňová

politikavlády,ktorésúprevšetkyspoločné.

050

100

150

200

390

395

400

405

410

415

420

425

430

435

440 0

5010

015

020

011.2

1.4

1.6

1.8

22.2

2.4

2.6

2.8

3

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

Kpre500podnikov

agregovanéK

čas

šok

050

100

150

200

385

390

395

400

405

410

415

420

425

430

435 0

5010

015

020

011.2

1.4

1.6

1.8

22.2

2.4

2.6

2.8

3

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

Kpre500podnikov

agregovanéK

čas

šok

Obr.13:Reakcieinvestovanianašokvjednejperióde

To,čonásvtomtoprípadezaujíma,jereakciainvestovanianazmenu

tejtoglobálnejšokovejpremennejA

t .A

taj

ε itbudemevtomtoprípademo-

delovaťnezávislýmiMarkovovskýmiprocesmi.Znichsipodľa(9)odvodíme

23

Markovovskýprocespre

Aitaktomutoprocesusinájdemepodľaužznámeho

postupuoptimálnerozhodovaniefiriem.Simulovaniezačnemevygenerovaním

časovéhoradupre

At ,apotomknemuvygenerujemevývojceléhosektora.

Výsledkyreakcievýrobnéhosektoraprenášproblémvýmenyvýrobného

strojasúznázornenénaobrázku13.Opäťsastretámesfaktompozorovaným

užvkapitole2.4ato,žeprizvýšeníziskovostinedôjdetakrýchlokvýmene

strojaatýmpádominvestícieklesajú(aopačne).Zaujímavýmfaktom,ktorý

možnopozorovaťje,žepritakomtojedno-impulzovomšoku(znázornenom

naobrázkutenkoučiarou)dôjdek„rozkmitaniuÿekonomiky(výraznejšiemu

vybudeniuhospodárskychcyklov),ktorésaalepočaseustáli.

020

4060

8010

036

037

038

039

040

041

042

043

044

045

046

0 020

4060

8010

011.2

1.4

1.6

1.8

22.2

2.4

2.6

2.8

3

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

Kpre500podnikov

agregovanéK

čas

šok

Obr.14:Vývojinvestovaniapridanomscenárivonkajšejšokovejpremennej

Inéjetovprípadenáhodnéhovývojašokovejpremennej,kedysúim-

pulzynáhodné.Takýtostavjezobrazenýnaobr.14.Tusúužcyklyvýrazné

avďakaneustáledodávanýmnáhodnýmimpulzompraktickynezanikajú.Na

obrázkujeopäťzrejmázápornákoreláciamedzi

Ka

A(overenáajvýpoč-

tom).Vtomtoprípadejeteda

Kkontracyklické.Zaujímavosťoukonkrétne

tohtomodeluje,žejehoparametrejemožnénastaviťajtak,aby

Kbolo

procyklické[1].

24

3Typológiaprispôsobovacíchnákladov

Vpredchádzajúcejkapitolesmevšetkyvýpočtyilustrovalinajednoduchom

problémevýmenyvýrobnéhostroja.Procesinvestovaniajevšakvpraxi

omnohokomplikovanejšíafunkciaprispôsobovacíchnákladovC(A

,K,I)vy-

stupujúcavrovnici(3)nastrane9môženadobúdaťrôznetvary.Vtejto

kapitoleuvádzameprehľadjejnajzákladnejšíchtvarov,takakoichuvádzajú

CooperaHaltiwangerv[2],spolusvýsledkaminašichoptimalizáciiasimu-

lácii.

3.1Nulovéprispôsobovacienáklady

Začnimetýmtonajjednoduchšímpríkladom,kedyC(A

,K,I)≡0.Ajkeďje

tátomožnosťvpraxinereálna,poslúžinámnauvedomeniesizákladných

vzťahov,ktorénebolomožnépozorovaťvpríkladezkapitoly2.

303540

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

01

23

2530354045

PSfragreplacements

OptimálneK′

A

−20

−10

010

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

I

−40

−20

0204060

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

i[%]

Obr.15:Výsledkyoptimalizáciebezprispôsobovacíchnákladov

Optimálnainvestičnápolitikazapredpokladu,ženákladynaprispôsobe-

nieakumuláciekapitálusúnulovéjeznázornenánaobrázku15.Vidíme,že

25

prekaždýstavziskovosti

Ajeoptimálnanejakádržba

K(prvédvagrafy).

Nulovéprispôsobovacienákladyspôsobia,žepodniktútooptimálnudržbu

svojhokapitáludosiahneprizmene

Ajednorázovouinvestíciouapotomuž

investujelentoľko,abyznulovalefektamortizácie(keďžehotoničnestojí).

Naposlednomgrafetohtoobrázkusmeznázorniliinvestíciepomocoutzv.

mieryinvestovania(angl.investmentrate),ktorájedefinovanáako

i t=

It

Kt.

Vnasledujúcichkapitoláchbudemeinvestovanieznázornovaťtoutoveličinou,

ktoránámhovoríorealiteviacakolenčistáhodnotainvestícii.

3.2Konvexnéprispôsobovacienáklady

Vtradičnýchmodelochsačastopredpokladá,žeprispôsobovacienákladysú

konvexné.Zapredpokladu,žemajútvardanýfunkciou

C(A

,K,I)=

γ 2(I

/K)2

K

dostávameoptimálneinvestovanieznázornenénaobrázku16.

303540

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

−20

02040

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

i[%]

Obr.16:Optimálneinvestovanieprikonvexnýchprisp.nákladoch

Môžemenaňompozorovať,ževporovnanísobrázkom15niejeužrozsah

optimálneho

itakýveľký.Zvyšovanímparametra

γjemožnétentorozsahešte

viacobmedziť.

3.3Nekonvexnéprispôsobovacienáklady

Počasobdobí,kedypodnikinvestuje,častočelínákladom,ktorésúpropor-

cionálneakumuláciijehokapitálu.Sútonapríkladnákladyspojenésrekon-

štrukciouvýrobyaleborekvalifikácioupracovníkov.Prispôsobovacienáklady

26

tohtotypumôžemezapísaťako

C(A

,K,I)=

{

0ak

I=0

FKak

I6=0

kde

Fjeparameter.Optimálneinvestovaniepritakýchtoprispôsobovacích

nákladochjenaobr.17.

25303540

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

−20

0204060

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

i[%]

Obr.17:Optimálneinvestovanieprinekonvexnýchprisp.nákladoch

Zvýsledkovtejtooptimalizcievyplýva,ževtomtoprípadejedosťčasto

prepodnikoptimálneneinvestovať.Tútomožnosťnadruhomgrafeznázor-

ňujeveľkášedáoblasťvjehostrede.Mimonejexistujeprekaždé

Apráve

jednaoptimálnahodnota

K,ktorúpodnikvprípadepotrebydosiahnejed-

norázovouinvestíciou.

3.4Transakčnénáklady

Nakoniecjeveľmirozumnéuvažovať,žemedzinákupnouapredajnoucenou

kapitálujerozdiel.Vpraxitoznamenáasitoľko,žeakpodnikkúpistrojza

cenu

p b,vprípadepotreby(keďmuneprinášazisky,akébypotreboval)ho

predáužlenzacenu

p s<

p b.

Tentofaktpriamonesúvisísprispôsobovacíminákladmi,takakoich

mámeformulovanévtejtopráci,aledonašichvýpočtovhoveľmijedno-

duchozakomponujemedorovnice(3)tak,žeo

pvystupujúcejvtejtorovnici

budemepredpokladať,žejenasledovnoufuknciou

I

p≡

p(I)=

{

p bak

I>0

p sak

I<0

Optimálneinvestovaniezapredpokladuexistencietransakčnýchnákladov

jeznázornenénaobr.18.Natomtoobrázkujemožnévidieť,žepodobne,

27

303540

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

02040

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

i[%]

Obr.18:Optimálneinvestovaniestransakčnýminákladmi

akovpredchádzajúcomprípadeajtunámvzniklaoblasťtakýchhodnôt

Aa

K,kedyjeoptimálneneinvestovať.Avšakvtomtoprípadezávisíoptimálna

hodnota

K′mimotejtooblastiužnielenod

A,aleajod

K.

3.5Kombinovanéprispôsobovacienáklady

Nazávertejtoprácesformulujmemodel,vktorombudúvystupovaťvšetky

druhyprispôsobovacíchnákladovsúčasne.Takýtomodeljevskutočnostinaj-

reálnejší[2]avhodnýmnastavenímjehoparametrovjehomožnéveľmidobre

„nafitovaťÿnareálnedáta.Naobrázku19jepodobneakovyššieznázornená

optimálnapolitikainvestovaniajednotlivýchagentovzapredpokladu,žečelia

všetkýmvyššieopísanýmdruhomprispôsobovacíchnákladov.

25303540

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

K′

−20

02040

3040

500.

51

1.52

PSfragreplacements

K

A

Optimálne

i[%]

Obr.19:Optimálneinvestovanieskombinovanýmiprisp.nákladmi

Okremvzťahov,ktoréjemožnévyčítaťzoptimálnehoinvestovaniapodni-

kovvjednotlivýchstavochnástakistomôžuzaujímaťajdynamickécharakte-

28

ristikytohtomodelu.Sledujúcpostupopísanývkapitole2.6sinasimulujeme

vývojceléhopodnikovéhosektorapripevnestanovenomscenárivonkajšej

šokovejpremennej,ktoráovplyvňujeziskovosťvšetkýchpodnikov.

020

4060

8010

01.

44

1.46

1.481.

5

1.52

1.54

x 10

4

020

4060

8010

00.6

0.8

11.2

1.4

1.6

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

K(500podnikov)

agregovanéK

čas

šok

020

4060

8010

0−

202468 020

4060

8010

00.6

0.8

11.2

1.4

1.6

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

i(500podnikov)

agregovanéi[%]

čas

šok

Obr.20:Vývojinvestovaniapridanomscenárivonkajšejšokovejpremennej

Výsledoktakejtosimuláciejeznázornenýnaobrázku20(šokjeznázor-

nenýtenkoučiarou).Vidímetuvýraznúkladnúkoreláciumedzi

Ka

A,teda

narozdielodvýsledkovzostrany24námtu

Kvystupujeprocyklicky.

Ďalšímrozdielomjecitlivosťsimulovanéhoinvestovanianašok,danýmu

vjednejperióde.Užnapredchádzajúcomobrázkumôžemepozorovať,že

cyklyužniesútakévýrazné,akobolivproblémevýmenyvýrobnéhostroja.

Dôvodomtakéhotostavuje,ževtomtoprípademajúpodnikymožnosť„jem-

nejšieÿprispôsobovaťakumuláciusvojhokapitáluatakzmenyvinvestovaní

29

súvýraznélenvperiódach,kedydošloajkuzmenešokovejpremennej.

Tentopredpokladnámpotvrdzujeajsimuláciaobochdruhovšokovlen

vjednejperióde(obr.21).Zaujímavýmfaktompozorovanýmpritejtosimulá-

ciije,ženapozitívnyšokreagujúnašepodnikyväčšouzmenouinvestícii,ako

050

100

150

200

024 050

100

150

2000.

5

11.5

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

i(500podnikov)

agregovanéi[%]

čas

šok

050

100

150

200

−10123456 0

5010

015

020

00.5

11.5

PSfragreplacements

Vývojagregovaného

i(500podnikov)

agregovanéi[%]

čas

šok

Obr.21:Reakciemieryinvestovanianašokvjednejperióde

nanegatívny.Možnosť„jemnejšiehoÿprispôsobeniaakumuláciekapitálu(aj

zápornýmiinvestíciami)sazasprejavíveľmirýchlymstabilizovanímsektora,

tedanarozdielodsituácienaobr.13,nedôjdevtomtoprípadek„rozkmi-

taniuÿekonomiky.Akbysmetentoefektchcelidosiahnuťajtu,stačiloby

vhodnezmeniťprispôsobovacienáklady.

30

4Záver

Hlavnýmprínosomtejtoprácejeveľmikonkrétnyadetailneopísanýmate-

matickýaparát,ktorýmjemožnémodelovaťinvestícieaichvývojvpodni-

kovomsektore.Jehozákladomjeoptimalizačnáúlohaformulovanánaúrovni

podnikunachádzajúcehosavkonkrétnejsituácii.Tenmaximalizujediskon-

tovanúhodnotuvšetkýchsvojichbudúcichziskovzaštandardnýchúčtovných

obmedzení,pričomčelíneistotedobudúcnosti,ktorájemodelovanávývojom

šokovejpremennej.Tútopremennúreprezentujemeakoziskovosťpodnikua

predpokladámeonej,žesledujeMarkovovskýprocessdanoumaticoupre-

chodu,ktorejvlastnostisúopísanévkapitole2.3.

Takútoúlohuformulujemeakoúlohudynamickéhoprogramovania(na

nekonečnomčasovomhorizonte),ktorúriešimeiteračnouschémouzaloženou

narovnici3.Jejriešenímdostávameoptimálnuhodnotubudúcejakumulácie

kapitáluatýmpádommámeajoptimálnuhodnotuinvestícii.Využitímfaktu,

žepoznámerozhodnutiavšetkýchpodnikovsimulujemepotomvývojcelého

sektora(pozostávajúcehozveľkéhomnožstvafiriem).Ztaktovypočítaných

asimulovanýchdátužmôžemevyčítaťrôznecharakteristikysystému,ktoré

nászaujímajú.

Prispôsobovacienáklady,ktorémajúnainvestovanienajväčšívplyv,môžu

vpraxinadobúdaťrôznetvary.Najzákladnejšieznichsúspolusvýsledkami

ilustračnýchvýpočtovuvedenévkapitole3.Vjejzáveresanachádzaopis

všeobecnéhomodelu,zahrňujúcehovšetkydruhyprispôsobovacíchnákladov,

sktorýmjemožnédostatočnevernesimulovaťrealitu.

Využitímmodelovacejtechnikyopísanejvtejtoprácijemožnériešiť

množstvopraktickýchúloh.Môžemenapríkladmaximalizovaťzdaneniezis-

kovzapodmienky,žepriemernámierainvestovanianámneklesnepodurčitú

hodnotu.Jedinéčotrebaurobiťnaviacjezakomponovaťtotozdanenieako

parameterdofunkcieziskovosti.Miernoumodifikácioutohtoproblému(zá-

menoukapitáluzaprácu)môžememodelovaťpolitikuzamestnanosti.Mô-

žemehľadaťnapr.optimálneodstupné,ktoréjeistouformouprispôsobo-

vacíchnákladovaleboskúmať,akoregujezamestnanosťnazmenyšokovej

premennej.Totovšetkomôžebyťnáplňouďalšíchprácztejtooblasti.

31

Literatúra

[1]Cooper,R.W.:Investment.BostonUniversity,Február2000

(http://econ.bu.edu/faculty/cooper)

[2]Cooper,R.W.–Haltiwanger,J.C.:OntheNatureofCapitalAd-

justmentCosts.BostonUniversity,Apríl2000

(http://econ.bu.edu/faculty/cooper)

[3]Felderer,B.–Homburg,S.:Makroekonomikaanovámakroekono-

mika.Bratislava,ELITA1995

[4]Kovačka,M.:Makroekonomika.Bratislava,SPN1992

32