8/7/2019 Samuelson (1970) The

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P r o c e e d i n g s o f t h e N a t i o n a l Academy o f S c i e n c e 8V o l . 6 7 , N o . 1 , p p . 4 2 3 - 4 2 5 , S e p t e m b e r 1 9 7 0

The "Transformation" f r o m Marxian "Values" t oC o m p e t i t i v e " P r i c e s " : A P r o c e s s o f R e j e c t i o nan d ReplacementP a u l A . Samuelson

DEPARTMENT OF ECONOMICS, M A S S A C HU S E T T S INSTITUTE OF TECHNOLOGY, CAMBRIDGE,M A SSACHUSETTS 0 2 1 3 9

C o m m u n i c a t e d M a y 2 5 , 1 9 7 0A b s t r a c t . T h e w e l l - k n o w n t r a n s f o r m a t i o n p r o c e d u r e f o r t r a n s f o r m i n g f r o mM a r x i a n v a l u e s t o c o m p e t i t i v e p r i c e s i s s h o w n t o b e l o g i c a l l y o f t h e f o r m :" A n y t h i n g " e q u a l s " a n y t h i n g e l s e " m u l t i p l i e d b y " a n y t h i n g / a n y t h i n g e l s e . "A l t e r n a t i v e S y s t e m s o f V a l u e s a n d P r i c e s . L e t a 0 = [ a o i ] b e t h e r o w v e c t o ro f d i r e c t l a b o r i n p u t s n e e d e d t o p r o d u c e t h e o u t p u t s o f n i n d u s t r i e s ; a = [ a t , ] b e

t h e L e o n t i e f s q u a r e m a t r i x w h o s e e l e m e n t s d e n o t e t h e i n p u t o f t h e i t h g o o dn e e d e d t o p r o d u c e t h e o u t p u t o f t h e j t h i n d u s t r y ; m = [ m y ] b e t h e c o l u m nv e c t o r o f m i n i m u m - s u b s i s t e n c e g o o d s n e e d e d a s r e a l w a g e t o c o v e r t h e c o s t o fp r o d u c t i o n a n d r e p r o d u c t i o n o f l a b o r . K a r l M a r x i n V o l u m e I o f C a p i t a la s s u m e s t h a t e v e r y i n d u s t r y a d d s t o c o s t o u t l a y s ' o n l a b o r a n d r a w m a t e r i a l s ac o n s t a n t p e r c e n t a g e o f t h e w a g e p a y m e n t s a l o n e , n a m e l y s t h e " r a t e o f s u r p l u sv a l u e o r l a b o r e x p l o i t a t i o n . " ' I f W i s t h e w a g e r a t e , t h e r o w v e c t o r o f M a r x i a n" v a l u e s , " I r = [ 7 r ] , i s d e f i n e d b y 2

7 r = W a o + r a + s W a o = W a o [ I - a](l + s )= W A ( O ) ( 1 + s ) ( 1 )

r m = WA n a l t e r n a t i v e - a n d i n c o m p a t i b l e s y s t e m u n l e s s a o j / A o j h a p p e n t o b e i d e n t i c a lf o r a l l i n d u s t r i e s - i s t h a t p r o v i d e d b y t h e c o m p e t i t i v e " p r i c e s " o f b o u r g e o i s

e c o n o m i c s ( s o - c a l l e d W a l r a s i a n e q u i l i b r i u m ) a n d o f M a r x ' s p o s t h u m o u s V o l u m eI I I . H e r e t h e r o w v e c t o r o f p r i c e s , P = [ P , ] , i s d e t e r m i n e d b y a d d i n g t o c o s to u t l a y s a c o n s t a n t p e r c e n t a g e r a t e o f p r o f i t o r i n t e r e s t , r , r e c k o n e d o n a l l c o s to u t l a y s ( w a g e p a y m e n t s p l u s r a w m a t e r i a l o u t l a y s ) , a n d i s d e f i n e d b yP = [ W a o + P a ] ( 1 + r ) = W a o ( 1 + r ) [ I - a ( 1 + r ) ] '= W A o ( r ) ( 2 )Pm= W

G e n e r a l l y t h e s o l u t i o n o f ( 2 ) i n v o l v e s s o l v i n g a n n t h d e g r e e p o l y n o m i a l f o r t h ea p p r o p r i a t e p o s i t i v e r o o t r * , w h e r e a s ( 1 ) i n v o l v e s s o l v i n g o n l y a l i n e a r e q u a t i o nf o r s * .T h e T r a n s f o r m a t i o n P r o c e s s . G e n e r a l l y , a l s o , w h e n c o n f r o n t e d w i t h a t a b l e a uo f v a l u e s i n w h i c h t h e a g g r e g a t e s 7 r a = [ Z j i r j a t j ] a r e n o t b r o k e n down i n t o t h e i r

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4 2 4 APPLIED MATHEMATICAL S C I : P . A . SAMUELSON P R O C . N . A . S .c o m p o n e n t s , i t i s i m p o s s i b l e t o " i d e n t i f y " t h e u n d e r l y i n g t e c h n i c a l a c o e f f i c i e n t sa n d t o i n f e r u n a m b i g u o u s l y t h e e q u i l i b r i u m p r i c e s o f ( 2 ) . H o w e v e r , s i n c e 1 9 0 7 ,B o r t k i e w i c z a n d a l o n g l i n e o f w r i t e r s h a v e p r o p o s e d a " t r a n s f o r m a t i o n " a l g o -r i t h m a p p l i c a b l e t o t h e s p e c i a l 3 - i n d u s t r y m o d e l , i n w h i c h i n d u s t r y 1 p r o v i d e so n l y i n t e r m e d i a t e g o o d s ( e . g . c o a l ) , i n d us t r y 2 p r o vi d e s o n l y s u b s i s t e n c e w a g eg o o d s f o r l a b o r ( e . g . c o r n ) , a n d i n d us t r y 3 p r o v i d e s o n l y l u x u r y g o o d s f o r n o n -l a b o r ( e . g . v e l v e t s ) . I n t h i s c a n o n i c a l m o d e l o f " s i m p l e r e p r o d u c t i o n , " we maya s a c o n v e n t i o n d e f i n e t h e o b s e r v e d i n d u s t r y o u t p u t s t o b e u n i t y , Q j = 1 , a n dt o t a l l a b o r a s u n i t y . W i t h t h i s c h o i c e o f u n i t s t h e s y s t e m h a s t h e p r o p e r t y

a o l a 0 2 aw = -a l -aO2[aj i a a 1 2 an- a 0 0 0O 0 _

a n d t h e e q u a t i o n s o f ( 1 ) c a n b e r e w r i t t e n i n t e r m s o f t h e M a r x i a n c a t e g o r i e s o fc o n s t a n t c a p i t a l ( c j ) , v a r i a b l e c a p i t a l ( v ; ) , a n d s u r p l u s v a l u e s ( s j = s v j ) :7 r j = 7 r l a i j + W a o j + s W a o , - C j + v ; + , j ( j = 1 , 2 , 3 )

C 1 + V 1 +81 = C 1 + C 2 + C 3 ( 3 )C 2 + V 2 + 8 2 =V 1 + V 2 + V 3 = WC 3 + V 3 + 8 3 =S 1 + 8 2 + 8 3 = SW

A c e l e b r a t e d e x a m p l e o f s u c h a v a l u e s t a b l e a u i s t h e f o l l o w i n g2 2 5 + 9 0 + 6 0 = 3 7 51 0 0 + 1 2 0 + 8 0 =300 = W . * 2 / 35 0 + 9 0 + 6 0 = 2 0 0

To " t r a n s f o r m " t h i s i n t o a p r i c e t a b l e a u , B o r t k i e w i c z d e f i n e d t r a n s f o r m a t i o nc o e f f i c i e n t s b e t w e e n p r i c e s a n d v a l u e s i n t h e f o r m o f t h e r o w v e c t o r y = [ y j ] ,d e f i n e d b y t h e r e l a t i o n s( y l e l + Y 2 v 1 ) ( l + r ) = y 1 ( C 1 + C 2 + C 3 )( Y I C 2 + y 2 v 2 ) ( 1 + r ) =Y 2 ( v l + V 2 + V 3 ) ( 4 )( y c l C + y 2 v 3 ) ( 1 + r ) = Y 3 ( 8 1 + 8 2 + 8 3 )

I n o r d e r f o r t h e s e t h r e e h o m o g e n e o u s l i n e a r e q u a t i o n s t o h a v e a n o n z e r o s o l u -t i o n , i t i s n e c e s s a r y t h a t t h e f i r s t t w o o f t h e m h a v e s u c h a s o l u t i o n , w h i c h o b v i -o u s l y r e q u i r e s t h e f o l l o w i n g d e t e r m i n a n t a l q u a d r a t i c t o v a n i s h :c , 2 ; c j - ( 1 + r ) ' V l / 2 c 1

0 = C 2 / 2 V j V 2 / 2 V j - ( 1 + r )' = ( 1 + r ) -2b 1 ( 1 + r ) ' + b 2 = 0T h i s c a n b e s o l v e d f o r t h e r e l e v a n t p o s i t i v e r o o t , 1 + r * . F o r t h e a b o v en u m e r i c a l t a b l e a u , i t c a n b e s h o w n t h a t r * = 1 / 4 a n d Y i / Y s = 3 2 / 6 , y 2 / y 3 =1 6 / 3 5 , s o t h a t t h e p r i c e t a b l e a u m u s t b e p r o p o r t i o n a l t o

2 8 8 + 9 6 + 9 6 = 4 8 01 2 8 + 1 2 8 + 6 4 = 3 2 0 = W6 4 + 9 6 + 4 0 = 2 0 0

8/7/2019 Samuelson (1970) The

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V O L . 6 7 , 1 9 7 0 M A RXIAN VALUES A ND COMPETITIVE PRICES 4 2 5Ho w o n e s c a l e s o r n o r m a l i z e s W a n d t h e s e n u m b e r s i s a n u n e s s e n t i a l i s s u e e v e nt h o u g h i t h a s g i v e n r i s e t o s o m e a c r i m o n i o u s a n d s t e r i l e d e b a t e among s c h o l a r s .

E x p l i c a t i o n o f t h e T r a n s f o r m a t i o n ' s M e a n i n g . T h i s c o m p l e t e s t h e t r a d i t i o n a lt r a n s f o r m a t i o n p r o b l e m , w h i c h h a s f r e q u e n t l y b e e n r e g a r d e d a s a v i n d i c a t i o no f M a r x ' s V o l u m e I a n a l y s i s . H o w e v e r , d i r e c t a n d s i m p l e s u b s t i t u t i o n o f ( 3 )i n t o ( 4 ) s h o w s t h a t t h e l a t t e r ' s B o r t k i e w i c z a l g o r i t h m i s e q u i v a l e n t t o s o l v i n gny j 7 r j = [ W a o j + E y 7 r j a j j I ] ( 1 + r ) , (A1 , , n )

( 5 )nE : y 2 7 r j M j =Wj=1B u t ( 5 ) i s s e e n t o b e p r e c i s e l y t h a t o f ( 2 ) , w i t h

P i = y W i r f , y f = P t / r r i ( i = 1 , 2 , . . . , n )H e n c e w h e n v a l u e m a g n i t u d e s s u c h a s 7 r j a f j a r e m u l t i p l i e d b y y j , a l l t h a t i s b e i n gd o n e i s t o c a n c e l o u t t h e 7 r j v a l u e s f r o m t h e p r o b l e m - a s i n y j i r j a j j = ( P i / 7 r i ) i r j a ; =

I n s u m m a r y , " t r a n s f o r m i n g " f r o m v a l u e s t o p r i c e s c a n b e d e s c r i b e d l o g i c a l l y a st h e f o l l o w i n g p r o c e d u r e : " ( 1 ) W r i t e down t h e v a l u e r e l a t i o n s ; ( 2 ) t a k e a ne r a s e r a n d r u b t h e m o u t ; ( 3 ) f i n a l l y w r i t e d o w n t h e p r i c e r e l a t i o n s - t h u s c o m -p l e t i n g t h e s o - c a l l e d t r a n s f o r m a t i o n p r o c e s s . " T h e p r e s e n t e l u c i d a t i o n s h o u l dn o t r o b Marx o f e s t e e m i n t h e e y e s o f t h o s e who b e l i e v e a s u b s i s t e n c e w a g ep r o v i d e s v a l u a b l e i n s i g h t s i n t o t h e d y n a m i c l a w s o f m o t i o n o f c a p i t a l i s m .

* A i d f r o m t h e N a t i o n a l S c i e n c e F o u n d a t i o n i s g r a t e f u l l y a c k n o w l e d g e d .1 S w e e z y , P . M . , T h e o r y o f C a p i t a l i s t D e v e l o p m e n t ( N e w Y o r k : O x f o r d U n i v e r s i t y P r e s s ,1 9 4 2 ) , C h . 7 .2 D o r f m a n , R . , a n d P . S a m u e l s o n , a n d R . S o l o w , L i n e a r P r o g r a m m i n g a n d E c o n o m i c A n a l y s i sNe w Y o r k : M c G r a w - H i l l , 1 9 5 8 ) , C h . 1 0 ; S e t o n , F . , R e v i e w o f E c o n o m i c S t u d i e s , 2 4 , 1 4 9( 1 9 5 7 ) ; S a m u e l s o n , P . , f o r t h c o m i n g i n t h e J o u r n a l o f E c o n o m i c L i t e r a t u r e , 8 ( 1 9 7 0 ) .