Sannolikhet och statistik

Normalfördelningen

HT 2008

Uwe.Menzel@math.uu.se

http://www.math.uu.se/∼uwe/

Normalfördelningens betydelse

Empiriskt(se �gur): många storheter approximativtnormalfördeladeSumman av många (ungefär) oberoende och (ungefär)likafördelade s.v. är approximativt normalfördelad (CGS)Exempel: mätfel = summa av många oberoende felkällor som ärav samma storleksordning

Figur: Approximativt normalfördeladFigur: 10 D-Mark

Täthetsfunktion, väntevärde och varians för N (µ, σ)

fX (x) =1√2πσ

e−(x−µ)2/2σ2 −∞ < x <∞

E (X ) =

∫ +∞

−∞x · 1√

2πσe−(x−µ)2/2σ2 dx = µ

V (X ) =

∫ +∞

−∞(x − µ)2 · 1√

2πσe−(x−µ)2/2σ2 dx = σ2

D (X ) = σ

Täthetsfunktion för N (µ, σ) för olika µ och σ

Figur: Normalfördelningen

Fördelningsfunktion för N (µ, σ)

X är normalfördelad: X ∈ N (µ, σ).

fX (x) =1√2πσ

e−(x−µ)2/2σ2

FX (x) =

∫ x

−∞fX (t) dt

FX (x) =1√2πσ

∫ x

−∞e−(t−µ)2/2σ2 dt

Tyvärr ingen analytisk lösning

Låt X vara normalfördelad: X ∈ N (µ, σ).

Låt Y = (X − µ) /σ . Vilken fördelningsfunktion har Y ?

FY (y) = P (Y ≤ y) = P

(X − µσ≤ y

)= P (X ≤ µ+ σy) = FX (µ+ σy)

=1√2πσ

∫ µ+σy

−∞e−(t−µ)2/2σ2 dt subst. u = (t − µ) /σ

=1√2π

∫ y

−∞e−(u)2/2 du

Det är fördelningsfunktionen för N (0, 1), alltså Y ∈ N (0, 1)

X ∈ N (µ, σ)

⇐⇒

(X − µ) /σ ∈ N (0, 1)

Fördelningsfunktionen för N (0, 1) kallas Φ (x)

ΦX (x) =1√2π

∫ x

−∞e−(t)2/2 dt

ϕX (x) =1√2π

e−(x)2/2

Figur: Standardiserad normalfördelning

Beräkning av FX (x) för godtyckliga x , µ och σ:

Om X ∈ N (µ, σ)

FX (x) = P (X ≤ x)

= P

(X − µσ≤ x − µ

σ

)= P

(Y ≤ x − µ

σ

)= Φ

(x − µσ

)

Vi behöver Φ helst för hela R

Standardiserad normalfördelning: Tabell över Φ (x)

Φ (x) för negativa argument

ϕ (−x) = ϕ (x)

Φ (−x) = 1− Φ (x)

Figur: N (0, 1)

Beräkning av slh. för allmän normalfördelning

X ∈ N (µ, σ)⇒ FX (x) = Φ

(x − µσ

)

Exempel 1: X ∈ N (4, 2) Vad är P (X ≤ 3) ??

P (X ≤ 3) = FX (3) = Φ

(3− 4

2

)= Φ (−0.5)

= 1− Φ (0.5) = 1− 0.6915 = 0.3085

Exempel 2: X ∈ N (4, 2) Vad är P (X ≥ 5) ??

P (X ≥ 5) = 1− P (X < 5) = 1− P (X ≤ 5)

= 1− FX (5) = 1− Φ

(5− 4

2

)= 1− Φ (0.5) = 1− 0.6915 = 0.3085

Sannolikheten att X ligger mellan två värden

P (a < X ≤ b) = FX (b)− FX (a) = Φ

(b − µσ

)− Φ

(a − µσ

)

Exempel: X ∈ N (4, 2) Vad är P (3 ≤ X ≤ 5) ??

P (3 ≤ X ≤ 5) = FX (5)− FX (3)

= Φ

(5− 4

2

)− Φ

(3− 4

2

)= Φ (0.5)− Φ (−0.5)

= Φ (0.5)− [1− Φ (0.5)]

= 2 · Φ (0.5)− 1

= 2 · 0.6915− 1 = 0.383

Sammanfattning av alla 3 exempel

Figur: P (X < 3) + P (3 ≤ X < 5) + P (X ≥ 5) = 1

Sannolikhet inom µ± σ, µ± 2σ, µ± 3σ

P (a < X ≤ b) = FX (b)− FX (a) = Φ

(b − µσ

)− Φ

(a − µσ

)

P (µ− 2 · σ < X ≤ µ+ 2 · σ) = FX (µ+ 2 · σ)− FX (µ− 2 · σ)

= Φ

(µ+ 2 · σ − µ

σ

)− Φ

(µ− 2 · σ − µ

σ

)= Φ (2)− Φ (−2) = 0.954

Samma med 1 och 3:

P (µ− σ ≤ X ≤ µ+ σ) = 0.682

P (µ− 2σ ≤ X ≤ µ+ 2σ) = 0.954

P (µ− 3σ ≤ X ≤ µ+ 3σ) = 0.997

Sannolikhet inom µ± σ, µ± 2σ, µ± 3σ

Figur: k · σ intervaller

Kvantiler för den standardiserade normalfördelningen

De�nition kvantil λα:

P (X > λα) = α eller Φ (λα) = 1− α

Figur: Kvantiler för N (0, 1)

Kvantiler för den standardiserade normalfördelningen

Figur: Kvantiler för N (0, 1)

α 0.0005 0.001 0.005 0.01 0.025 0.05 0.10

λα 3.29 3.09 2.58 2.33 1.96 1.64 1.28

Sannolikhet inom µ± λα/2σ för allmän normalfördelning

P (a < X ≤ b) = FX (b)− FX (a) = Φ

(b − µσ

)− Φ

(a − µσ

)

P (α) = P(µ− λα/2σ < X ≤ µ+ λα/2σ

)= FX

(µ+ λα/2σ

)− FX

(µ− λα/2σ

)= Φ

(µ+ λα/2σ − µ

σ

)− Φ

(µ− λα/2σ − µ

σ

)= Φ

(λα/2

)− Φ

(−λα/2

)= Φ

(λα/2

)−[1− Φ

(λα/2

)]= 2 · Φ

(λα/2

)− 1

= 2 [1− α/2]− 1

= 1− α

Sannolikhet inom µ± λα/2σ för allmän normalfördelning

P(µ− λα/2σ < X ≤ µ+ λα/2σ

)= 1− α

Sätt α = 0.05, 0.001, 0.0001

P (µ− 1.96σ < X ≤ µ+ 1.96σ) = 0.95

P (µ− 2.58σ < X ≤ µ+ 2.58σ) = 0.99

P (µ− 3.29σ < X ≤ µ+ 3.29σ) = 0.999

Ex: α = 0.05, α/2 = 0.025, λα/2 = 1.96, 1− α = 0.95

Låt X ∈ N (3, 1) =⇒ P (1 < X ≤ 5) ≈ 95%

Summa och di�erens av oberoende normalfördelade s.v.med olika µ och σ:

Om X ∈ N (µX , σX ) och Y ∈ N (µY , σY )

=⇒

X + Y ∈ N

(µX + µY ,

√σ2X + σ2Y

)X − Y ∈ N

(µX − µY ,

√σ2X + σ2Y

)

Summor (di�erenser) av oberoende N är också N, även omingående komponenter har olika väntevärden och varianser. Figur: µ1 = 3; µ2 = 5 ; µ = 8; σ1 = 3; σ2 = 4; σ = 5

Summa av �era normalfördelade s.v. med olika µ och σ

Xi oberoende

Xi ∈ N (µi , σi )

=⇒

n∑1

aiXi + b ∈ N

n∑1

aiµi + b,

√√√√ n∑1

a2i σ2i

Figur: t = t1 + t2 + t3 + t4

Fördelning för summan och medelvärdet av �era

normalfördelade s.v. med samma µ och σ

Summan av oberoende, normalfördelade s.v. med sammaväntevärde och standardavvikelse:

Låt E (Xi ) = µ och D (Xi ) = σ.

Om Y =n∑

i=1

Xi så gäller Y ∈ N(nµ, σ

√n)

Om X =1

n

n∑i=1

Xi så gäller X ∈ N

(µ,

σ√n

)

OBS!!: Vi förutsätter här att komponenterna X1,X2, . . .Xn ärnormalfördelade (satsen gäller exakt).

Exempel: Fördelning för X

Exempel: Ett mätfel X är fördelad N (0, 10).

Hur stor är slh. att felet är begränsad till (−3, 3) ??

P (−3 < X < 3) = FX (3)− FX (−3)

= Φ

(3− 0

10

)− Φ

(−3− 0

10

)= Φ (0.3)− Φ (−0.3) = 2 · Φ (0.3)− 1 ≈ 0.236

Sannolikheten är 23% att absolutbeloppet av felet är ≤ 3.

Exempel: Fortsättning

Exempel: Ett mätfel X är fördelad N (0, 10).

Hur stor är slh. att felets medelvärde (över 25 mätningar) ärbegränsad till (−3, 3) ??

X ∈ N (0, 10) ⇒ X ∈ N

(0,

10√25

)= N (0, 2)

P(−3 < X < 3

)= FX (3)− FX (−3)

= Φ

(3− 0

2

)− Φ

(−3− 0

2

)= Φ (1.5)− Φ (−1.5) = 2Φ (1.5)− 1 ≈ 0.866

Sannolikheten är 87% att absolutbeloppet av felets medelvärdeblir mindre än 3. Mycket bättre!

Di�erens av två medelvärden från N med olika µ, σ, n

Vi har sett hur medelvärdet av N's är fördelad, och vi har sett hursumman (di�erensen) av N's är fördelad.

Om man kombinerar dessa formler, ser man t. ex. hur en di�erensav medelvärden är fördelad:

Låt X och Y vara två sådana medelvärden:

X ∈ N

(µX ,

σX√nX

)och Y ∈ N

(µY ,

σY√nY

)

=⇒

X − Y ∈ N

(µX − µY ,

√σ2X/nX + σ2Y /nY

)

Centrala gränsvärdessatsen

Vi har sett att summor av oberoende normalfördelade s.v. är ocksånormalfördelade.

Även summor av godtycklig fördelade, oberoende ochlikafördelade slumpvariabler är (i regel) ungefär normalfördelad,bara antalet komponenter i summan är tillräckligt stort.

=⇒

Normalfördelningen har ett stort användningsområde

Centrala gränsvärdessatsen

Kom ihåg vart experiment där vi kastade 2 tärningar:

Figur: Poängsumma av tärningskast, n = 2

Nytt experiment: Vi kastar n tärningar

Figur: Poängsumma av tärningskast, n = antalet tärningar

Centrala gränsvärdessatsen

Summan av oberoende, likafördelade s.v. är approximativtnormalfördelad om antalet komponenter är tillräckligt stort.

Låt E (Xi ) = µ och D (Xi ) = σ.

Om Y =n∑

i=1

Xi så gäller Y ∈ AsN(nµ, σ

√n)

Om X =1

n

n∑i=1

Xi så gäller X ∈ AsN

(µ,

σ√n

)

OBS!!: Vi förutsätter här INTE att komponenterna X1,X2, . . .Xn

är normalfördelade (satsen gäller approximativt)

Centrala gränsvärdessatsen

Y =n∑

i=1

Xi =⇒ Y ∈ AsN(nµ, σ

√n)

Y − nµ

σ√n∈ N (0, 1)

Centrala gränsvärdessatsen

Om X1,X2, . . . är en oändlig följd av oberoende likafördelade s.v.med väntevärdet µ och standardavvikelsen σ, så gäller förYn = X1 + X2 . . .Xn att

P

(a <

Yn − nµ

σ√n≤ b

)→ Φ (b)− Φ (a) om n→∞

I ex. �mätfel� var vi alltså inte tvungna att förutsätta Xi ∈ N

Sammanfattning summa och medelvärde

Komponenterna måste vara oberoende och likafördelade(samma µ och σ).

normalfördelad godtycklig fördelad

Y =∑n

i=1 Xi Y ∈ N(nµ, σ

√n)∀n Y ∈ N

(nµ, σ

√n)n→∞

X = 1n

∑ni=1 Xi X ∈ N

(µ, σ√

n

)∀n X ∈ N

(µ, σ√

n

)n→∞

exakt asymptotiskt