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Secundaria 1 Matemáticas11Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

Mat

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icas

DISTRIBUCIÓN GRATUITAPROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 1 Santillana integra1 1Matematicas 1 Santillana integra1 1 5/16/08 8:09:46 PM5/16/08 8:09:46 PM

Querido alumno (a) de secundaria:

Este libro se entrega gratuitamente para tu formación, y es parte del esfuerzo que estamos haciendo el Gobierno Federal y los Gobiernos de los Estados para convertir la educación en la llave de las oportunidades y el éxito para ti y tu familia.Este libro es tuyo. Aprovéchalo y cuídalo.

DISTRIBUCIÓN GRATUITA, PROHIBIDA SU VENTA

Escuela Grupo

Nombre del alumno (a)

Ciencias 1 Biologia Santillanan 2 2Ciencias 1 Biologia Santillanan 2 2 5/23/08 12:54:16 PM5/23/08 12:54:16 PM

Matemáticas11

El libro Matemáticas 1 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

con la dirección de Clemente Merodio López.

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,Óscar Palmas , Francisco Struck, Julieta Verdugo

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Matemáticas11Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,


Matematicas 1 Santillana integra1 1 5/16/08 8:09:46 PM

Luis Briseño AguirreGuadalupe Carrasco LiceaMaría del Pilar Martínez TéllezÓscar Alfredo Palmas VelascoFrancisco Struck ChávezJulieta del Carmen Verdugo Díaz

D. R. © 2006 Luis Briseño Aguirre, Guadalupe Carrasco Licea, María del Pilar Martínez Téllez, Óscar Alfredo Palmas Velasco, Francisco Struck Chávez, Julieta del Carmen Verdugo Díaz.

D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-2214-8

Primera reimpresión: febrero, 2009

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

El libro Matemáticas 1. Santillana Integral fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Pablo Ávalos Quintero y Guillermo TrujanoCoordinación editorial: Roxana Martín-Lunas RodríguezRevisión técnica: Demetrio Garmendia GuerreroCorrección de estilo: Pablo Ávalos Quintero y Eduardo Mendoza TelloDiseño de portada: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones de personajes de portada: Teresa MartínezDiseño de interiores: Carlos Vela TurcottCoordinación de Diseño e iconografía: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones: René Sedano Hernández, Ricardo Ríos Delgado, Carlos Vela Turcott, autores y Teresa MartínezFotografía: Rocío Echavarrí Rentería, Gustavo Guevara León, Juan Miguel Bucio Trejo, Corel Stock Photo y Archivo SantillanaDiagramación: Héctor Ovando Jarquín, Mabel Totolhua Hernández y Alicia Prado Juárez

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Arte y Diseño: José Francisco Ibarra MezaDigitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales NeriaFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Matemáticas 1. Santillana Integral son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

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Primera edición actualizada: junio, 2008

>PRESENTACIÓN

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 1 propone a los estudiantes de primer grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfrenten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razonamientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dando sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el fi nal de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene ramas, pero un montón de ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicional en

Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver problemas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos, como entes pensantes, creadores y transformadores.

Presentación 3


> ESTRUCTURA DE TU LIBRO

¿Te has preguntado cómo contaban en la antigüedad? Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, marcas en huesos, nudos en una cuerda y algunas otras formas. Pero seguramente, al tornarse más comple-jas las sociedades, fue necesario representar cantidades cada vez más grandes y estos métodos resultaron insuficientes. Por esta razón, surgió la idea de usar símbolos que representaran cantidades. Así nacieron distintos sistemas de nu-meración formados por varios símbolos y ciertas reglas para usar esos símbo-los al escribir cantidades.

En un libro de historia de las matemáticas, Carla encontró la siguiente tabla con algunos números egipcios y su equivalente en sistema decimal:

Analiza la tabla anterior y escribe en sistema decimal la cantidad que repre-senta cada uno de los siguientes símbolos egipcios.

¿Los símbolos egipcios representan potencias de algún nú-mero? Explica tu respuesta.

Escribe en sistema egipcio el año en que naciste.

Al escribir el número 728 000 en sistema egipcio,

¿cuántas veces se repite el símbolo que representa 100 000?

¿Cuántas veces debes escribir el símbolo que representa10 000?

¿Y el símbolo que representa 1000?

necesitas recordar:

1. Cómo se escriben los números en el sistema decimal.2. Qué valor tiene cada cifra de un número escrito en sistema decimal.3. Cómo se leen números escritos en sistema decimal.4. Cómo se suman, se restan y se multiplican números escritos en sistema

decimal.

• la identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posi-cionales.

Como 2 regletas azules miden lo mismo que 4 regletas color café, entonces 24 =

48 .

Escribe, mediante una igualdad de fracciones, las siguientes relaciones:

2 regletas verdes miden lo mismo que 6 regletas amarillas; 1 regleta blanca mide lo mismo que 2 regletas rojas.

Busca con tus regletas todas las relaciones de este tipo que puedas encontrar y represéntalas mediante una igualdad de fracciones.

Representa mediante una igualdad de fracciones las siguientes relaciones:

1 regleta blanca junto con 4 regletas rojas miden lo mismo que 3 regletas blancas; 2 regletas verdes junto con 1 re-gleta morada miden lo mismo que 5 regletas moradas; 1 regleta azul junto con 3 regletas color café miden lo mismo que 5 regletas color café; si a 2 regletas verdes les quitamos 2 regletas amarillas nos quedan 4 regletas amarillas.


2. Los siguientes 5 polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio 1 cm, mide el lado de cada uno de ellos, calcula su perímetro y llena la siguiente tabla.

“La entrada al conocimiento de todas las cosas exis-tentes y todos los oscuros secretos.”Esto es lo que se lee al inicio del texto de este docu-mento, llamado papiro de Rhind, escrito por Ahmes aproximadamente en el año 1650 antes de nuestra era.Este manuscrito egipcio es una de las pocas obras matemáticas de la antigüedad, conservadas hasta nuestros días. El papiro consta de varias tablas que contienen 87 problemas resueltos de Aritmética, prin-cipalmente fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, reparto proporcional, aplicación de la regla de tres, ecuaciones lineales y Trigonometría bá-sica. En la foto de la izquierda se muestran las partes correspondientes a los problemas 43 a 55. En la foto de la derecha se muestra el problema 62, que dice: "En una bolsa hay oro, plata y plomo en dis-tintas proporciones. Hay que dividir 84 en tres partes, proporcionales a 12, 6 y 3. ¿Cuáles son estas partes?". Este es un problema de reparto proporcional, que es uno de los temas que estudiarás en este bloque.

Bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarrollarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la información. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una unidad y no como una materia fragmentada.

Para comenzar

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que incluirá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes e indica el inicio de la actividad tres de esa lección. Cada lección puede tener de tres a seis partes. Cada parte consta de una a tres páginas, el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

Lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas claves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su signifi cado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 362.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una aplicación que se ha resaltado por su utilidad o importancia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques cada uno compuesto de varias lecciones, cada una con su número por bloque. Esta distribución responde a las cinco evaluaciones bimestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosifi cada.Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

Enlace

Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que con-firmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

Matemáticas 14


La Constitución Política de los Estados Unidos Mexi-canos otorga a los Partidos Políticos con registro ante el Instituto Federal Electoral (IFE), el derecho a recibir financiamiento público para el sostenimiento de sus acti-vidades cotidianas; es decir, para los gastos de campaña, actividades de educación y capacitación política, investiga-ción o tareas editoriales. Este derecho está consagrado en la fracción II del Artículo 41 (Título Segundo, Capítulo I. De la Soberanía Nacional y de la Forma de Gobierno).

La reglamentación de la forma en que cada partido político ha de recibir estos recursos está plasmada en el numeral 7 del Artículo 49 del Código Federal de Institu-ciones y Procesos Electorales (Cofipe).

Para determinar el monto anual destinado a las acti-vidades de los partidos, el Consejo General del IFE cal-cula los costos mínimos para las campañas de diputados y senadores y para la campaña presidencial y la suma de estos montos es lo que se dividirá entre los partidos.

El 30% de este monto se entrega por partes iguales a cada uno de los partidos que tienen representantes en las cámaras de diputados y senadores.

El 70% restante se distribuye de manera proporcional a la cantidad de votos que obtuvo cada partido en la elec-ción inmediata anterior. Es decir, lo que le corresponda a cada partido de este 70%, dependerá del número de votos que cada uno haya obtenido.

En enero de 2005, el Instituto Federal Electoral (IFE) determinó que el monto anual para financiamiento a los partidos políticos con representación en las Cáma-ras del Congreso de la Unión sería de $1 953 655 351.92 (un mil novecientos cincuenta y tres millones seiscientos cincuenta y cinco mil trescientos cincuenta y un pesos 92/100 m.n.)

Atendiendo a la fracción V arriba citada, este monto se repartió en dos tantos: el 30% se distribuyó equitativa-mente entre los partidos y el 70% se distribuyó proporcio-nalmente.

Así, el monto que se distribuyó equitativamente fue:

1953 655 351.92 × 0.30 = 586096605.58

que corresponde al 30% del monto total.

Si en 2005 había 7 partidos políticos con representa-ción en las cámaras, ello significa que cada uno recibió inicialmente la cantidad de:

586096605.58 ÷ 7 = $83 728086.51

Junto a la llanta de atrás, la bicicleta tiene seis engranes y junto a los pedales tiene otros tres.

En algunos modelos, los engranes del pedal tienen 56, 48 y 40 dientes y los de la llanta trasera tienen 28, 24, 22, 20, 18 y 14 dientes.

La cadena de la bicicleta une un engrane del pedal con uno de la llanta de atrás y se puede cambiar la posición de la cadena para escoger cualquiera de los tres engranes delanteros y cualquiera de los seis traseros.

1. Copia en tu cuaderno la siguiente figura y refléjala respecto a la rectaprolonga la recta si es necesario.

2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilá-tero? ¿Y un triángulo isósceles? ¿Un escaleno?

3. Construye figuras con los datos que se indican:

a) A y C son vértices de la figura y la recta es un eje desimetría.

b) Dos cuadrados cu-yos vértices seanpuntos de la mallay que las rectas di-bujadas sean ejes de simetría.

c) Un rombo en el que los puntos A y B sean vértices yque tenga a la recta como uno de sus ejes de sime-tría.

A

C

BBB

AAAAAAAA

Para terminar

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes poner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La sección Para Terminar, fi naliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

MatemáTICas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. También queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los conceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.

Punto de encuentro

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los temas del bloque o de bloques anteriores.

Una nueva actitud

En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

Al fi nal de tu libro se encuentran cuatro anexos:

Glosario. Cuando un término del contenido aparece en cursivas, se incluye su signifi cado.Bibliografía, con una sección dirigida al docente y otra al estudiante. La sección para el docente contiene las referencias utilizadas para la elaboración de este libro.Búsqueda de información en Internet. Son una serie de páginas electrónicas en las que encontrarás materiales relevantes para tu curso.Programa de la asignatura. Contiene, organizados en tablas, los conocimientos y habilidades del programa de estudio y el número de lección y páginas en que se encuentra el tema dentro de la obra. Esta sección facilita la ubicación de los contenidos con respecto al programa.

Estructura del libro 5


> CONTENIDOS

BLOQUE 1 14

LECCIÓN 1 EL SISTEMA DE LA ABUELA Y OTROS SISTEMASDE NUMERACIÓN 17

Identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros

sistemas numéricos posicionales y no posicionales LECCIÓN 2 NÚMEROS Y LETRAS 31

Fórmulas geométricas en lenguaje natural. Sucesiones de números

LECCIÓN 3 ¿QUÉ NÚMERO ES MÁS GRANDE? 43 Ubicación de fracciones y números decimales en la recta

numérica Comparación y orden de números fraccionarios y

números decimales mediante la búsqueda de expresiones equivalentes y la regla de los productos cruzados

LECCIÓN 4 IGUAL PERO AL REVÉS 57 Construcción de figuras simétricas respecto a una recta

y el análisis de las propiedades que se conservan bajo la reflexión.

LECCIÓN 5 AGRANDAR Y REDUCIR 65 Identificación y resolución de situaciones de

proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando varios procedimientos

LECCIÓN 6 ¿CUÁNTO LE TOCA A CADA QUIÉN? 73 Elaboración y uso de diversos procedimientos para resolver

problemas de reparto proporcionalLECCIÓN 7 CUENTA CUÁNTOS 79

Distintas formas de contar empleando diversos recursos, como tablas y diagramas y la identificación de patrones

MatemáTICas 84Punto de encuentro 86Una nueva actitud 88

BLOQUE 2 90

LECCIÓN 1 PARTIENDO EN DOS 93 Las propiedades de la mediatriz de un segmento y de la

bisectriz de un ángulo para resolver diversos problemas geométricos

LECCIÓN 2 TANTOS LADOS COMO QUIERAS 103 Construcción de polígonos regulares a partir de distintas

informaciones

• Significado y uso de los números Números naturales Números fraccionarios y decimales• Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas

• Transformaciones Movimientos en el plano

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Diagramas y tablas

Sentido numérico y pensamiento algebraico

EJE

Forma, espacio y medida

Manejo de la información

• Significado y uso de las operaciones

Problemas aditivos Problemas multiplicativos

Sentido numéricoy pensamiento algebraico

EJE

6 Matemáticas 1


LECCIÓN 3 SUMANDO Y RESTANDO 113 Resolución de problemas aditivos con números fraccionarios

y decimales en distintos contextos Uso de aproximaciones

LECCIÓN 4 MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES Y DECIMALES 123 Multiplicación de números fraccionarios y de números

decimalesLECCIÓN 5 PARTES DE PARTES 135

División entre números fraccionariosLECCIÓN 6 ÁREAS Y PERÍMETROS 143

Fórmulas de área y perímetro de triángulos, cuadriláteros y polígonos regulares

LECCIÓN 7 MÁS RAZONES 155 Identificación y resolución de situaciones de

proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando procedimientos expertos

Interpretación del efecto de la aplicación sucesiva de factores constantes de proporcionalidad en situaciones dadas


BLOQUE 3 168

LECCIÓN 1 ¿QUÉ TANTO ES TANTITO? 171 El concepto de porcentaje, su cálculo y aplicaciones, así

como su expresión como una fracción o un número decimal La utilidad de la representación de la información mediante

gráficas de barras y circulares

LECCIÓN 2 INCÓGNITAS Y ECUACIONES 183 Los problemas que impliquen el planteamiento y solución

de ecuaciones de la forma x + a = b Los problemas que impliquen el planteamiento y solución

de ecuaciones de la forma ax = b Los problemas que impliquen el planteamiento y solución

de ecuaciones de la forma ax + b = cLECCIÓN 3 PROPORCIONES Y MÁS PROPORCIONES 193

Problemas de tipo valor faltante Relación de proporcionalidad, valor unitario y regla de tres

• Formas geométricas Rectas y ángulos Figuras planas• Medida Justificación de fórmulas

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad




Problemas multiplicativos• Significado y uso de las literales Ecuaciones

• Formas geométricas Figuras planas• Medida Estimar, medir y calcular


EJE


7Contenidos


LECCIÓN 4 ¿SE PUEDE O NO SE PUEDE? 201 La construcción de figuras geométricas a partir de ciertos

datos y la unicidad del resultado de dicha construcción La relación entre los elementos necesarios para calcular

perímetros y áreasLECCIÓN 5 COLECCIONANDO DATOS 213

Análisis de datos Las nociones de frecuencia Frecuencia relativa Gráficas de barras, gráficas de discos y sus interpretaciones

LECCIÓN 6 PUEDE QUE SÍ, PUEDE QUE NO 229 Reconocimiento de las experiencias aleatorias Enumeración de los resultados posibles de una experiencia

aleatoria La probabilidad clásica y cómo se calcula Comparación de las probabilidades de ocurrencia de dos o

más eventos en una experiencia aleatoria


BLOQUE 4 248

LECCIÓN 1 ENCONTRAR EL LADO 251 Las potencias de exponente natural de números naturales y

decimales. El cálculo de la raíz cuadrada Los problemas que implican la división de números naturales

LECCIÓN 2 PARA ADELANTE O PARA ATRÁS 263 Planteamiento y resolución de problemas que implican la

utilización de números con signoLECCIÓN 3 ALREDEDOR DEL CÍRCULO 269

Determinación del número � (pi) como la razón entre la longitud de la circunferencia y el diámetro

Justificación y uso de la fórmula para el cálculo de la longitud de la circunferencia

Resolución de problemas que implican el cálculo del área y el perímetro del círculo

Construcción de círculos a partir de diferentes datos o que cumplan ciertas condiciones dadas

• Significado y uso de los números Números con signo• Significado y uso de las

operaciones Potenciación y radicación• Significado y uso de las literales Relación funcional

• Formas geométricas Figuras planas• Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular


EJE


• Análisis de la información Relaciones de porpocionalidad Porcentajes• Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas• Análisis de la información Noción de probabilidad


8 Matemáticas 1


LECCIÓN 4 RELACIONES FUNCIONALES 279 El análisis de cantidades relacionadas y su representación

mediante una tabla y una expresión algebraica Localización de puntos en el plano cartesiano La función de proporcionalidad directa: tablas, gráficas y

expresión algebraica


BLOQUE 5 298

LECCIÓN 1 DESCRIBIENDO TENDENCIAS 301 Comparación entre dos o más conjuntos de datos referidos

a una misma situación o fenómeno a partir de sus medidas de tendencia central

LECCIÓN 2 ¿MÁS O MENOS? 311 Solución de problemas que implican la suma y resta de

números con signo

LECCIÓN 3 SIGAMOS CON LAS MEDIDAS 323 Solución de problemas que implican el cálculo de áreas en

diversas figuras planas

LECCIÓN 4 ACTIVIDADES DE PROPORCIONALIDAD 331 Relaciones de proporcionalidad Cálculo de valores faltantes en varias representaciones de

proporcionalidad directa

LECCIÓN 5 PROPORCIONALIDAD INVERSA 341 Introducción a las relaciones de proporcionalidad inversa a

través de problemas

LECCIÓN 6 ¡A JUGAR! 347 Equiprobabilidad por medio de varios juegos de azar

MatemáTICas 356Punto de encuentro 358Una nueva actitud 360Glosario 362Bibliografía 364Búsqueda de información en Internet 366Programa de la asignatura 367

• Representación de la información Gráficas



Problemas aditivos• Significado y uso de las literales Relación funcional

• Medida Estimar, medir y calcular

• Análisis de la información Nociones de probabilidad Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Medidas de tendencia central y de dispersión


EJE



9Contenidos


10

> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en la primaria?

> ENLACE

PARA COMENZAR el estudio de las matemáticas del primer grado de secundaria necesitarás recordar o reapren-der, en su caso, los conocimientos que recibiste anteriormente. Como su nombre lo indica, esta parte es un enlace entre los conocimientos y habilidades que adquiriste en la escuela primaria con lo nuevo que aprenderás en la secundaria.

Aquí desarrollarás una serie de actividades que, con la guía de tu maestra o maestro, te ayudarán a conseguir este objetivo.

Actividades1. Sobre una cartulina reproduce las re-

gletas de la siguiente figura, respetan-do los colores y las medidas. El dibujo está hecho a escala. Usa tus escuadras para trazar las paralelas y las perpen-diculares y tu regla graduada para ha-cer las divisiones:

¿Cuántas regletas lilas necesitas para formar una regleta naranja? ¿Cuántas verdes? ¿Cuántas regletas de color café necesitas para formar una regleta naran-ja? Compara de esta manera todas las re-gletas con la naranja y escribe tus respuestas en tu cuaderno.

1 regleta lila representa 12

de una regleta naranja.

1 regleta verde representa 13 de una regleta naranja.

¿Qué fracción de la regleta naranja representan las demás regletas? Escribe tus respuestas en tu cuaderno.

30 cm


11

Escribe, mediante una igualdad de fracciones, las siguientes relaciones:

2 regletas verdes miden lo mismo que 6 regletas amarillas; 1 regleta blanca mide lo mismo que 2 regletas rojas.


Representa mediante una igualdad de fracciones las siguientes relaciones:

1 regleta blanca junto con 4 regletas rojas miden lo mismo que 3 regletas blancas; 2 regletas verdes junto con 1 re-gleta morada miden lo mismo que 5 regletas moradas; 1 regleta azul junto con 3 regletas color café miden lo mismo que 5 regletas color café; si a 2 regletas verdes les quitamos 2 regletas amarillas nos quedan 4 regletas amarillas.


2. Los siguientes 5 polígonos regulares están inscritos en una circunferencia de radio 1 cm, mide el lado de cada uno de ellos, calcula su perímetro y llena la siguiente tabla.

Polígono Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Octágono

Númerode lados

Perímetro(en cm)

Enlace


12

> ENLACE

3. Calcula el área del siguiente triángulo midiendo la base y la altura. Para ello, traza una recta perpendicular a la base que pase por el vértice superior e identifica la altura. Mide cada uno de los ángulos del triángulo y obtén la suma de los tres ángulos.

Traza una recta paralela al lado mayor del triángulo que pase por el vértice opuesto a ese lado. Construye un trián-gulo isósceles que tenga la misma base que el triángulo anterior y el tercer vértice sobre la línea que trazaste, calcula su perímetro y su área. ¿Cómo son los perímetros y las áreas de los dos triángulos? ¿Cuál es mayor? Mide cada uno de los ángulos del triángulo isósceles que construiste y obtén la suma de los tres ángulos. ¿Hay alguna diferencia entre la suma de los tres ángulos del triángulo rojo y la suma de los tres ángulos del triángulo isósceles que construiste?, ¿cuál es?

4. Se tiene una ruleta con 6 hoyos numerados, perfectamente simétrica y bien balanceada. Se coloca una canica en la ruleta y se hace gi-rar. Al detenerse, la canica se deposita en alguno de los hoyos.

Compara las siguientes parejas de resultados y analiza cuál es más probable en cada caso:

a) Que la canica caiga en un número impar o en un par.b) Que la canica caiga en un número par o en un múl-

tiplo de 3.c) Que la canica caiga en un número impar o en un di-

visor de 6. Explica cada una de tus respuestas.

11

22

33

44

66

55


13Enlace

5. Si fueras a extraer una bola al azar de alguna de las siguientes urnas y ganaras en caso de que la bola extraída sea azul, ¿qué urna elegirías? Explica por qué.

6. Una maestra representó en una gráfica de barras las calificaciones de sus 36 alumnos en el exa-men final de Matemáticas. La gráfica quedó así:

Sólo 2 estudiantes obtuvieron 5 de calificación.a) ¿Cuál es la calificación más frecuente?

¿Cuántos estudiantes obtuvieron esa califi-cación?

b) Haz una tabla de frecuencias con los datos de la gráfica.

c) ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo 10 de calificación?

d) ¿Qué porcentaje de estudiantes no aprobó el examen?

e) ¿Cuál es la calificación promedio del grupo?

5 6 7 8 9 10

Calificación

Núm

ero

de e

stud

iant

es

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

Urna 1 Urna 2 Urna 3


>BLOQUE 1

14


15

Identificar las propiedades del sistema de numeración decimal y contrastarlas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posicionales

Representar números fraccionarios y decima-les en la recta numérica a partir de distintas informaciones, analizando las convenciones de esta representación.

Construir sucesiones de números a partir de una regla dada. Determinar expresiones generales que definen las reglas de sucesio-nes numéricas y figurativas.

Explicar en lenguaje natural el significado de algunas fórmulas geométricas, interpre-tando las literales como números generales con los que es posible operar.

Construir figuras simétricas respecto de un eje, analizarlas y explicitar las propieda-des que se conservan en figuras tales como: triángulos isósceles y equiláteros, rombos, cuadrados y rectángulos.

Identificar y resolver situaciones de pro-porcionalidad directa del tipo “valor fal-tante” en diversos contextos, utilizando de manera flexible diversos procedimientos.

Elaborar y utilizar procedimientos para re-solver problemas de reparto proporcional.

Resolver problemas de conteo utilizando diversos recursos, tales como tablas, diagra-mas de árbol y otros procedimientos perso-nales.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

Forma, espacio y medida Manejo de la información

EJEEJE EJE

> Lo que aprenderás en este bloque

“La entrada al conocimiento de todas las cosas existen-tes y todos los oscuros secretos.”

Esto es lo que se lee al inicio del texto de este documen-to, llamado papiro de Rhind, escrito por Ahmes aproxi-madamente en el año 1 650 antes de nuestra era.

Este manuscrito egipcio es una de las pocas obras ma-temáticas de la antigüedad, conservadas hasta nuestros días. El papiro consta de varias tablas que contienen 87 problemas resueltos de Aritmética, principalmente fracciones, cálculo de áreas y volúmenes, progresiones, reparto proporcional, aplicación de la regla de tres, ecuaciones lineales y Trigonometría básica. En la foto de la izquierda se muestran las partes correspondientes a los problemas 43 a 55.

En la foto de la derecha se muestran los problemas 61 al 64. El problema 63 dice: “Repartir 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes proporcionales a 3

2 , 21 , 3

1 y 14 ”. Éste es un problema de reparto proporcional, que es uno de los temas que estudiarás en este bloque.


16 Bloque 1

... necesitas recordar:

1. Cómo se escriben los números en el sistema decimal.2. Qué valor tiene cada cifra de un número escrito en sistema decimal.3. Cómo se leen números escritos en sistema decimal.4. Cómo se suman, se restan y se multiplican números escritos en sistema

decimal.

> En esta lección, abordarás el tema de:

• La identificación de las propiedades del sistema de numeración decimal, contrastándolas con las de otros sistemas numéricos posicionales y no posi-cionales.

>PARA COMENZAR


17Lección 1 > El sistema de la abuela y otros sistemas de numeración

1> El sistema de la abuela y otros sistemas de numeración

>1º

Actividad colectiva

La abuela de Mónica tiene una tienda en un pequeño poblado. Desgracia-damente, la anciana no asistió a la escuela y no sabe escribir cantidades gran-des en el sistema decimal. A pesar de ello, lleva sus cuentas con todo cuidado. Observa los billetes y monedas que le pagan sus clientes y escribe, a su mane-ra, los precios de los productos que vende, usando sólo los símbolos 0, 1 y 2. En vacaciones, Mónica se ofreció a ayudarle, así que la abuela le mostró cómo anota lo que vende. Esto es lo que la abuela había escrito ese día.

Lo primero que Mónica tuvo que hacer es entender el sistema de su abuela para escribir cantidades. En las siguientes actividades, vamos a ayudarle en esta tarea.

Analiza el cuadro anterior con tus compañeros de equipo. Después, contes-ta lo siguiente.

¿Por qué crees que la abuela eligió los números 500, 200, 100, 50, 20, 10, 5, 2 y 1 para registrar sus ventas?

Cuando escribe un 2 en la columna encabezada por el número 2, ¿qué can-tidad representa?

Escribe en sistema decimal el precio de los siguientes productos que vendió la abuela en el día:

Un kilo de azúcar Una lata de chiles Tres refrescos grandes Dos bolsas de papas fritas Tres caramelos Tres paquetes de galletas

¿Cuánto dinero se reunió por las ventas anteriores?

500

200

100 50 20 10 5 2 1

Un kilo de azúcar 1 0 1 0

Una lata de chiles 2 0

Tres refrescos grandes 1 1 1 0 1

Dos bolsas de papas fritas 1 1 1

Tres caramelos 1 1

Tres paquetes de galletas 1 2 0


18 Bloque 1

Copia el siguiente cuadro y escribe la cantidad total de ventas en el sistema de la abuela.

Compara tus respuestas con las de tus compañeros. Analiza si es posible escribir esa cantidad de distintas formas usando el sistema de la abuela. Explica tus conclusiones.

Ahora, en un cuadro igual al anterior, escribe en tu cuaderno la cantidad 126 de tres formas distintas en el sistema de la abuela.

¿Crees que hay alguna cantidad menor a 1 000 que no pueda escribirse en el sistema de la abuela? Explica tu respuesta.Anota en el cuadro tres cantidades distintas en el sistema de la abuela usando dos unos, un dos y un cero. Escribe el equivalente en el sistema decimal.

¿Es importante la posición que ocu-pan el 0, 1 y 2 al escribir cantidades en el sistema de la abuela? Explica tu respuesta.

Los sistemas de numeración en los que el valor de cada símbolo depende de la posición en que se coloque, se llaman sistemas posicionales.

Ahora compara el sistema de la abuela con el sistema decimal. En un cuadro como el siguiente, escribe en cada columna si el sistema correspondiente tie-ne o no cada una de las características indicadas.

Características Sistema dela abuela

Sistemadecimal

Cada cantidad sólo se puede escribir de una forma.

Es un sistema posicional.

Se puede representar cualquier cantidad menor o igual que 1 000.

Se puede representar cualquier cantidad mayor o igual que 1 000.

Discute con tus compañeros de equipo las ventajas y desventajas del sistema de la abuela para escribir cantidades. Anótenlas.

500 200 100 50 20 10 5 2 1

Sistema de la abuela Sistemadecimal

10 5 2 1



Cuando Mónica platicó en su clase de Matemáticas la forma en que su abuela escribe cantidades, la maestra le planteó al grupo este reto: “¿Podrían expresar cualquier cantidad usando sólo los símbolos 0 y 1?” Varios estudiantes respondieron que no. La maestra insistió: “Imaginen que tienen varios palitos de paleta. ¿Qué símbolo usarían para representar uno solo?”Luis: Pues el 1.Maestra: Y ¿cómo representarían dos palitos?Carla: No hay un símbolo para esa cantidad.

Maestra: Entonces usen dos símbolos juntos que no comience con cero, por-que al igual que en nuestro sistema el cero a la izquierda es ocioso.

Pepe: ¡Ah! Entonces se puede usar 10 o bien 11.Maestra: Bueno, podemos usar esas dos parejas de símbolos para representar

las cantidades 2 y 3. ¿Cuál de ellas creen que debiera representar la can-tidad más pequeña?

Arturo: Pues en los números que usamos el 10 es más chico que el 11.Maestra: Entonces digamos que 10 representa dos palitos y 11 representa

tres palitos. Ahora veamos cómo representar cuatro palitos, ¿qué sím-bolos usarían?

Mónica: Ya no hay más posibilidades con dos símbolos juntosMaestra: Es verdad, pero pueden usar tres símbolos juntos.Mónica: Entonces creo que hay que usar el 100.En el grupo siguieron escribiendo cantidades usando solamente el 0 y el 1. La maestra escribió en el pizarrón una tabla como la siguiente:

Nuevo sistema Sistema decimal

1 1

1 0 2

1 1 3

1 0 0 4

1 0 1 5

1 1 0 6

1 1 1 7

8

9

10

Analiza con tu equipo la construcción de esta nueva numeración y escribe los números que faltan en la tabla anterior.

Este sistema de numeración que sólo usa ceros y unos para representar cantidades se llama sistema binario.

>2º


20 Bloque 1

Para poder determinar qué cantidad corresponde a un número escrito en el sistema binario, sin tener que escribir todos los números anteriores, es necesa-rio entender las reglas de esta forma de representar cantidades. Toma 15 pali-tos de paleta y varias ligas. Forma grupos como los siguientes:

Observa que el primer grupo está formado por un solo palito y el segun-do por dos palitos. El ter-cer grupo está formado por dos grupos de dos pa-litos; es decir, cuatro pa-litos. El cuarto, por dos

grupos de cuatro palitos, o sea, ocho palitos. Como habrás notado, cada colección está formada por dos grupos del tamaño anterior.

Usa los agrupamientos de palitos para formar cada una de las cantidades indicadas en el siguiente cuadro. Escribe cuántos agrupamientos de cada dimensión se usan en cada caso.

Agrupamientos de 8 � 2�2�2

Agrupamientos de 4 � 2�2

Agrupamientos de 2

Agrupamientos de 1

CA

NTI

DA

DES

1 1

2 1 0

3

4

5

6

7

8

9

A partir de los resultados que obtuvieron en la tabla anterior, encuentren las cantidades que representan los números de la izquierda, escritos en sistema binario.En el sistema binario, ¿el 1 siempre tiene el mismo valor o su valor depende de la posición que ocupa? Explica la respuesta de tu equipo.

1

10 100

1000 10000

Actividad colectiva

Actividad colectiva


Las computadoras utilizan el sistema binario.


Actividad colectiva

¿Qué cantidad representa el número 1101 en sistema binario? Expliquen al resto del grupo cómo lo obtuvieron.

Junto con tu equipo ordena de menor a mayor los siguientes números escritos en sistema binario sin calcular su equivalente en sistema decimal.

11000 10110 1111 1000 11101

Explica el procedimiento que usaron en tu equipo para ordenarlos.

Escribe en sistema decimal la cantidad que representa cada uno de los núme-ros escritos en el sistema binario.

Sistema binario Sistema decimal

1 1 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0

1 1 1 0 1

Ahora ordena de menor a mayor las cantidades en sistema decimal. ¿Se obtiene el mismo orden en el sistema binario que en el sistema decimal?

Números ensistema binario

Números ensistema decimal

Ordenamiento ensistema decimal

1 1 0 0 0

1 0 1 1 0

1 1 1 1

1 0 0 0 1°

1 1 1 0 1

Discute con tu equipo cuáles son las semejanzas y las diferencias entre el sistema binario y nuestro sistema decimal. Luego, escribe en tu cuaderno las conclusiones.

El sistema binario tiene varias semejanzas con nuestro sistema decimal, pero requiere usar muchas cifras aun para expresar cantidades pequeñas.


22 Bloque 1

Recuerda que en el sistema decimal necesitamos 10 símbolos para po-der escribir cualquier cantidad: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. A estos símbolos se les llama dígitos.Realicen por equipo el siguiente juego usando el sistema de numeración de-cimal.

1. Cada equipo debe escribir los diez dígitos en papeles separados, doblar los papeles e introducirlos en una bolsa en la que se puedan revolver bien.

2. Cada integrante del equipo debe dibujar en su cuaderno una tabla con cinco espacios como el de la izquierda.

3. Un miembro del equipo saca uno de los papeles y muestra el número. Cada integrante lo escribe en el espacio del cuadro que prefiera. El pa-pel se regresa a la bolsa y se repite el procedimiento anterior, anotando el nuevo dígito en alguno de los lugares vacíos, y así sucesivamente has-ta que se hayan llenado todos los espacios.

4. Al terminar, cada estudiante lee el número que formó y gana aquel que haya formado el número más grande.

Después de realizar varias veces el juego anterior, contesta lo siguiente:

¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la primera casilla del lado izquierdo?¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la segunda casilla de izquierda a derecha?¿Qué valor tiene el dígito 6 colocado en la última casilla de izquierda a de-recha?Si en el juego anterior sale el 9 o el 8, ¿en qué casilla los colocarías? ¿Por qué?

Y si sale el 0 o el 1, ¿en qué casilla los escribirías? ¿Por qué?

En primaria estudiaste las características del sistema decimal y el significado de cada dígito en las cantidades escritas en ese sistema. Por ejemplo, el 657 se puede ver como resultado de la suma 600 + 50 + 7.

La forma de representar cantidades en ese sistema se puede analizar forman-do agrupamientos de palitos de paleta como los que usaste en el sistema bina-rio. Un solo palito representaría una unidad.

¿Cuántos palitos tendrían los agrupamientos que están representados en la segun-da cifra de derecha a izquierda?¿Cuántos tendrían los agrupamientos que están representados en la tercera ci-fra de derecha a izquierda?

>3º

600600 505077

Actividad individual


Actividad colectiva



¿Cuántas decenas caben en una centena?¿Cuántos palitos tendrían los agrupamientos que están representados en la cuarta cifra de derecha a izquierda?¿Cuántas centenas caben en una unidad de mi-llar?¿Cuántos grupos del tamaño anterior tendría cada nuevo agrupamiento?El número 908, ¿cuántas centenas tiene? ¿Cuán-tas decenas? ¿Cuántas unidades?

Analiza el cuadro anterior y completa en tu cua-derno los siguientes desarrollos:

821 = (8 × ) + (2 × )+ (1 × )

20 937 = ( × 10 000) + ( × 1 000) + ( × 100) + ( × 10) + ( × 1)

1 548 804 = ( × ) + ( × ) + ( × )+

( × ) + ( × ) + ( × ) + ( × )

Para escribir este tipo de desarrollos de manera más clara, vamos a usar una for-ma breve de escribir multiplicaciones como 10 × 10, 10 × 10 × 10, etcétera.

Una multiplicación repetida del mismo factor se puede escribir en forma re-sumida de la siguiente manera:

2 × 2 × 2 × 2 = 24

3 × 3 = 32

10 × 10 × 10 × 10 × 10 = 105

Expresiones como 24, 32 o 105 se llaman potencias.

La base de una potencia es el factor que se repite y el exponente es el nú-mero que indica cuántas veces se repite el factor.

Usando potencias de base 10, el desarrollo que corresponde a un número en-tero escrito en sistema decimal se escribe de la siguiente forma:

560 047 = (5 × 100 000) + (6 × 10 000) + (0 × 1 000) + (0 × 100) + (4 × 10)

+ (7 × 1) = (5 × 105) + (6 × 104) + (0 × 103) + (0 × 102) + (4 × 10) + (7 × 1)

Es por eso que este sistema se llama decimal o de base 10.

Cuando en un sistema posicional cada lugar o posición tiene un valor que se puede expresar como potencia de un mismo número, se dice que ese nú-mero es la base del sistema.

¿Cuál es la base del sistema binario?

Agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

x 1

0 x

10 x

10

=1 0

00

00

0

Agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

x 1

0 x

10 =

100

00

0

Agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

x 1

0 =

1 0 0

00

Agr

upam

ient

o de

10 x

10

x 10

=1 0

00

Agr

upam

ient

o de

10 x

10

=10

0

Agr

upam

ient

o de

10

Agr

upam

ient

o de

1

8 2 1

2 0 9 3 7

1 5 2 8 8 0 4

56

base exponente


Monumento egipcio.

24 Bloque 1

>4º Cuando los hombres empezaron a contar usaron los dedos, guijarros, mar-

cas en huesos, nudos en una cuerda y algunas otras formas. Pero seguramente, al tornarse más complejas las sociedades, fue necesario representar cantidades cada vez más grandes y estos métodos resultaron insuficientes. Por esta razón, surgió la idea de usar símbolos que representaran cantidades. Así nacieron dis-tintos sistemas de numeración formados por varios símbolos y ciertas reglas para usar esos símbolos al escribir cantidades.

En un libro de historia de las matemáticas, Carla encontró la siguiente tabla con algunos números egipcios y su equivalente en sistema decimal:

Sistemaegipcio

Sistemadecimal

32

396

1 910

24 289

300 000

Analiza la tabla anterior y escribe en sistema decimal la cantidad que repre-senta cada uno de los siguientes símbolos egipcios.

Sistema egipcio Sistema decimal Sistema egipcio Sistema decimal

¿Los símbolos egipcios representan potencias de algún nú-mero? Explica tu respuesta.

Escribe en sistema egipcio el año en que naciste.

Al escribir el número 728 000 en sistema egipcio,

¿cuántas veces se repite el símbolo que representa 100 000?

¿Cuántas veces debes escribir el símbolo que representa10 000?

¿Y el símbolo que representa 1 000?




¿Cuántos símbolos debes escribir para expresar las siguientes cantidades del sistema decimal en sistema egipcio? 9 99 999Los números del 1 al 9 se escriben repitiendo el símbolo tantas veces como sea necesario, pero para el número 10 hay otro símbolo: . Los números del 10 al 99 se escriben repitiendo tantas veces como sea nece-sario los símbolos y , pero sin exceder nueve repeticiones de cada uno de ellos porque para el número 100 hay otro símbolo. ¿Cuál es el mayor número de que se puede escribir? ¿Por qué?

Para facilitar la lectura de los números egipcios, se ordenan los símbolos de derecha a izquierda de acuerdo con el valor de cada uno de ellos. No debe confundirse este ordenamiento con el hecho de que el sistema de numera-ción sea posicional. Recuerda que la característica esencial de los sistemas po-sicionales es que un mismo símbolo colocado en distintas posiciones adquiere diferentes valores, como sucede en el sistema decimal, en el binario y en el sistema de la abuela.

Analiza con tu equipo si el sistema egipcio es posicional o no lo es y argumen-ta tu respuesta.

Para comparar la forma en que se pueden hacer operaciones en el sistema egipcio y en el sistema decimal, realiza las siguientes actividades: El siguiente cuadro contiene una resta escrita en sistema decimal. En la se-gunda columna hay que escribir la misma operación usando números egip-cios. Efectúa la operación y escribe el resultado en cada uno de los dos sistemas numéricos.

Sistemadecimal

Sistemaegipcio

226–

124

En el sistema decimal requerimos un cero para indicar que no hay decenas en el resultado. ¿Por qué en el sistema egipcio no es necesario un símbolo para el cero al escribir el resultado de esta resta?

Discute con tu equipo las semejanzas y las diferencias entre el sistema deci-mal y el sistema egipcio. Escríbelas en tu cuaderno.

En el sistema egipcio fue necesario inventar más y más símbolos para escribir cantidades cada vez más grandes.

Actividad colectiva

Actividad colectiva


Coliseo romano.

26 Bloque 1

>5º Los antiguos romanos también constru-

yeron su propio sistema de numeración. Actualmente, seguimos usando los núme-ros romanos, por ejemplo, al escribir los si-glos, los tomos de una enciclopedia o los capítulos de un libro. Los símbolos del sis-tema romano son las siguientes letras ma-yúsculas:

Completa la siguiente tabla:

¿Cuántos símbolos debes escribir para expresar la cantidad 888 en sistema romano?¿En el sistema romano el valor de un símbolo depende de su posición? Explica tu respuesta.

Los romanos introdujeron una regla para escribir más brevemente números como el 4, el 9, el 40, el 90, etcétera.

Número romano IV IX XL XC CD CM

Número decimal 4 9 40 90 400 900

En los números romanos de la tabla anterior, el valor del símbolo de la izquierda se resta al del símbolo de la derecha. Pero no cualquier símbolo puede escribirse a la izquierda de cualquier otro símbolo romano.

Analiza la tabla anterior.¿A la izquierda de cuáles símbolos se puede escribir el número romano C? ¿Y el número X? ¿Y el I?Explica por qué no es correcto escribir 999 como IM y escribe correctamente ese número en el sistema romano.

Al final de las antiguas películas mexicanas, aparece en números romanos el año en que fueron realizadas. En la siguiente lista aparecen los nombres de varias películas, el actor principal y el año. Escribe en sistema decimal los años en se realizaron:



Sistemaromano

Sistemadecimal

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1 000

Actividad colectiva

Sistema romano Sistema decimal

257 CCLVII

CCCXXV

538

663 DCLXIII

725

DCCCLXXXVIII

2 153 MMCLIII

MMMDCCXXVI

4 863



Santa, Lupita Tovar, MCMXXXILa Valentina, Jorge Negrete, MCMXXXVIIIEl ahijado de la muerte, Jorge Negrete, MCMXLVINosotros los pobres, Pedro Infante, MCMXLVIIEscuela de rateros, Pedro Infante, MCMLVI

Escribe las diferencias entre el sistema romano y el sistema de numeración de-cimal. Compara tu respuesta con las de tus compañeros.

Aunque hay muchas diferencias entre los sistemas egipcio y romano y la for-ma en que ahora escribimos números en el sistema decimal, estos sistemas antiguos tienen una estructura similar a la que usamos para leer números ac-tualmente.

Por ejemplo, el número 130 547 123 se lee 130 millones 547 mil 123.Los nombres que usamos para los primeros números se construyen de manera parecida hasta el 999, los nombres de los siguientes números se construyen de manera simi-lar hasta el 999 999 y así sucesivamente.

Al llenar un cheque, se tiene que escribir la cantidad que se debe pagar por él con números y con palabras. El cajero de un banco recibió cheques por las si-guientes cantidades:

novecientos unotreinta mil ciento siete doscientos veinte mil trescientosdos millones cinco mil cinco

Escribe en tu cuaderno los números correspondientes.

Escribe el nombre de cada uno de los siguientes números:El número entero que sigue después del nueve mil novecientos nueve. El número entero anterior a mil millones.

Para leer números cada vez másgrandes se han tenido que inventarmás y más nombres.

Escribe los nombres de las siguientes cantidades:

1 000

1 000 000

1 000 000 000

1 000 000 000 000

1 000 000 000 000 000

Aplicación

Habrás oído que se venden docenas de naranjas o gruesas de naranjas. Una docena está inte-grada por 12 naranjas. Una gruesa consta de doce docenas, es decir, 122 = 12×12 = 144 naranjas. Para ventas más grandes se pueden formar docenas de gruesas, es decir, 123 = 12×12×12 = 1 728 naranjas.

El sistema de las docenas es un sistema de numeración de base 12. En el siglo XVIII, el francés Georges-Louis Leclerc, conde de Buffon, lo propuso para contar las mercancías.Su utilidad radica en que hay muchas partes de una docena que son números enteros. Por ejemplo: La mitad de una docena es 6. La tercera parte de una docena es 4. La cuarta parte de una docena es 3. La sexta parte de una docena es 2.

Los tres huastecos, Pedro Infante, MCMXLVIIIDoña Diabla, María Félix, MCMXLIXLa malquerida, Dolores del Río, MCMXLIXCalabacitas tiernas, Tin Tan, MCMXLVIII El Ceniciento, Tin Tan, MCMLI


MM CCC X VI

Dos mil Trescientos dieciséis


28 Bloque 1

>6º1. Escoge un símbolo que represente la cantidad 20, otro que equivalga a 5

y otro que represente 1. Con estos símbolos escribe los primeros 25 nú-meros en un sistema numérico no posicional.

2. Revisa el sistema de la abuela que se vio al principio de esta lección.

a) Escribe de todas las formas posibles la cantidad 145 en este sistema.

b) Supongamos que al sistema de la abuela se agrega la siguiente regla: “las cantidades se deben escribir usando siempre el menor número posible de billetes y monedas de cada denominación”. Ahora vuelve a escribir 145 de todas las formas posibles.

3. En el rectángulo de la izquierda, escribe en cada cuadrito uno de los nú-meros 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9, de manera que se forme un número de 7 cifras en sistema decimal que cumpla lo siguiente:

Tiene 4 cifras iguales y están juntas. La cifra de las unidades es el entero anterior a la cifra de las decenas. Sólo tiene una cifra impar y el doble de su valor es la cifra de las unidades de millar. En las unidades de millón, tiene una cifra que es el doble de la que está en las decenas.

4. Escribe en sistema decimal las siguientes cantidades:

a) Trescientas decenas.

b) 32 decenas de millar y 70 centenas.

c) 90 unidades de millón, 35 unidades de millar y 435 unidades.

5. Escribe el valor de la cifra 9 en los siguientes números:

En 1 940 765

En 891

En 9 237

6. Si se escriben todos los números enteros del 1 al 1 000, ¿cuántas veces aparece el dígito 5?

7. Las placas de los vehículos que circulan en cierta isla usan únicamente ceros y unos. Cada placa puede tener de una a cinco cifras. Ninguna pla-ca puede empezar con un cero en el extremo izquierdo.

a) ¿Cuál es el número más grande que se puede escribir en las placas? b) ¿Cuántas placas distintas puede haber en la isla?

4



>PARA TERMINAR8. Éstos son los primeros números de un sistema desconocido y su equiva-

lencia en el sistema decimal. Analízalo y contesta.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27

a) ¿Cuántos símbolos diferentes se usan?

b) ¿Es un sistema posicional?

c) ¿En qué cantidades se requiere agregar una cifra? ¿Esas cantidades son potencias de algún número?

d) ¿Cuál es la base del sistema desconocido?

e) ¿Coincide la base del sistema con el número de símbolos?

f) Escribe las diferencias entre el sistema desconocido y nuestro sistema decimal.

Torito

Para numerar las páginas de un libro en sistema decimal, se usaron 4 221 caracteres. ¿Cuántas páginas tiene el libro?


30 Bloque 1

>PARA COMENZAR... necesitas recordar:

1. Cómo se suman, restan y multiplican los números enteros.2. Cómo se encuentra el perímetro de un polígono regular.3. Cómo se encuentra el área de un cuadrado y de un rectángulo.

> En esta lección, abordarás los temas de:

• Fórmulas geométricas en lenguaje natural.• Sucesiones de números.


31Lección 2 > Números y letras

>1º

Laura y Alicia juegan a formar cuadrados con losetas cua-dradas. Alicia dibujó las losetas acomodadas así:

Dibuja en tu cuaderno los dos cuadrados que siguen.¿Cuántas losetas tendría el cuarto cuadrado?¿Y el quinto? ¿Cuántas losetas tendrá el cuadrado número 10? ¿Qué operación hiciste para encontrar el número de losetas del décimo cua-drado?


Número de figura 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ...

Lado del cuadrado 1 2 3

Número de losetas 1 4 9

Los números que corresponden al número de losetas en la tabla, se llaman números cuadrados.

¿Cuál es el decimosegundo número cuadrado? ¿Cuál es el vigésimo? ¿Y el quincuagésimo?

Describe una regla que indique cómo calcular cualquier número cuadrado. Compara la regla que obtuviste con las obtenidas por el resto del grupo.

En Matemáticas se acostumbra usar literales para representar ciertos nú-meros. Por ejemplo, se dice “el número natural n” para simbolizar cual-quiera de los números naturales.También se hacen operaciones usando símbolos de este tipo. Así, el doble de un número n se puede escribir como n + n o como 2 × n.

Explica qué tendrías que hacer para encontrar el número cuadrado que co-rresponde a la figura n–ésima.

Escribe una fórmula para el número cuadrado correspondiente a la n–ési-ma figura.

Ahora imagina que el lado de las losetas mide un decímetro.

¿Cuántos decímetros cuadrados mide el área de la cuarta figura?¿Y el área de la décima figura?

2> Números y letras

1 2 3 ...


32 Bloque 1

¿Qué relación observas entre los números cuadrados y el área de cada figu-ra? Explica.

Los números cuadrados n2 = n × n representan el área de un cuadrado de lado n.

Observa la siguiente sucesión de escaleras formadas con palillos:

Analiza con tu equipo las tres escaleras. Observa que la primera tiene un pel-daño, la segunda tiene dos y la tercera tiene tres. Cuenta el número de palillos que se usó en cada una de las figuras. Después contesta:

¿Cuántos palillos se necesitan para formar una escalera del mismo tipo con 4 peldaños? ¿Y para formar una con 5 peldaños?

¿Será cierto que para formar una escalera similar con 11 peldaños, se nece-sitan 35 palillos? En ese caso, ¿cuántos palillos se necesitan para formar una con 12 peldaños?

¿Cuántos palillos se necesitan para formar una escalera con 20 peldaños?Escribe en tu cuaderno cómo encontrarías el número de palillos que se re-quieren para formar una es-calera con n peldaños. Luego escribe una fórmula para ob-tener el número de palillos en ese caso.

Compara la explicación y la fórmula que obtuvieron en tu equipo con las que hayan ob-tenido los demás compañeros de tu grupo. ¿Cuántas fórmu-las distintas encontraron en tu grupo? ¿Todas ellas son co-rrectas? Explica por qué.

Actividad colectiva



>2º Considera la siguiente sucesión de números: 3, 7, 11, 15, . . .

Siguiendo el patrón que muestran los números escritos, ¿qué número coloca-rías en quinto lugar? ¿Qué número colocarías en sexto lugar?

Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente y llena los datos que faltan:

Lugar Número

1 3

2 7

3 11

4 15

5

6

7

¿Qué número colocarías en el lugar 10 de la sucesión? ¿Por qué?

¿Qué número colocarías en el lugar 100 de la sucesión? ¿Por qué?

¿Qué número colocarías en el lugar n de la sucesión? ¿Por qué?

Discute tus respuestas con el resto del grupo.

Considera la siguiente sucesión de números: 2, 4, 8, 16, . . .

¿Qué número colocarías en el quinto lugar?

¿Qué número colocarías en el sexto lugar?

Copia en tu cuaderno una tabla como la siguiente y llena los datos que faltan:

Describe cómo construiste los números de la sucesión y compara tu respues-ta con la de tus compañeros.

Escribe una fórmula que represente al término n de la sucesión. Compara tu fórmula con la de tus compañeros.

Lugar que ocupa el número Número

1 2

2 4

3 8

4 16

5

6

10

. . .

n




34 Bloque 1

Diseña una sucesión de números que siga cierto patrón y escribe los primeros cinco términos en una hoja de papel. Intercambia tu hoja con otro integrante del equipo para que encuentre los siguientes términos de tu sucesión y escri-ba la fórmula correspondiente al patrón.

En la siguiente tabla se han escrito los primeros términos de las sucesiones de números pares y los primeros términos de la sucesión de números impares, co-menzando con el 3.

Anota los datos que faltan en la tabla.

2 4 6 8

3 5 7 9

Describe cómo construiste los números de la sucesión y compara tu respues-ta con la de tus compañeros.

Números impares, primeros términos Números pares, primeros términos

Representa al segundo término de la sucesión de números pares mediante una regla. Haz lo mismo para el tercer término de la sucesión.Escribe una fórmula que represente al término n de la sucesión de números pares.

En cada columna compara el número de arriba con el de abajo ¿Encuentras alguna relación? Explícala.

Si el término n de la sucesión de pares se representa como 2 × n, ¿cómo se re-presenta el término n de la sucesión de números impares?

¿Cuál es el término 100 de la sucesión de números impares?


Actividad colectiva

La longitud de las regletas va de 1 a 10 cm. Cada una tiene una altura determinada: La regleta blanca 1 cm. La regleta roja 2 cm La regleta verde claro 3 cm. La regleta lila 4 cm. La regleta amarilla 5 cm. La regleta verde oscuro 6 cm. La regleta negra 7 cm. La regleta café 8 cm. La regleta azul 9 cm. La regleta naranja 10 cm.

Estas fotografías muestran un modelo de los primeros términos de las sucesiones de números pares y números impares utilizando regletas de Cuisenaire



>3º Observa la siguiente sucesión de figuras, donde el lado de cada una mide

dos unidades:

figura 1 figura 2 figura 3 figura 4

¿Qué figura colocarías en el quinto lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura del noveno lugar? ¿Cuántos lados tendrá la figura del decimotercer lugar?¿Cuántos lados tendrá la figura que ocupe el lugar n? ¿Cuánto mide el perímetro de la primera figura? ¿Cuánto mide el perímetro de la quinta figura? ¿Qué tendrías que hacer para obtener el perímetro de la figura n?

Completa la tabla.

Número de figura

Números de ladosde la figura Perímetro de la figura

1 3 2 + 2 + 2 = 3 x 2

2 4

3 5

4 6

9

10

13

n

Si el lado de los polígonos regulares midiera 5 unidades, ¿cómo obtendrías el perímetro de cada uno de los primeros cuatro polígonos?

Escribe una fórmula para determinar el perímetro de un polígono regular de n lados cuyo lado mide 5 unidades.



36 Bloque 1

En la sucesión de rectángulos de la izquierda, la base mide 4 cm, pero varía la altura. El primero tiene 1 cm de altura, el segundo 2, el tercero 3.Completa en tu cuaderno la siguiente tabla.

Números de rectángulo Altura Perímetro Área

1 1 1 + 1 + 4 + 4 = 2 + 8 = 10 4 x 1 = 4

2 2

3 3

4

5

. . .

15

¿Cómo expresarías el perímetro del rectángulo con altura n? ¿Cómo expresarías el área del rectángulo con altura n?Discute tus respuestas y procedimientos con el resto del grupo.

Observa las figuras de la izquierda.Construye las cuatro figuras siguientes en tu cuaderno.Elabora una tabla como la siguiente y llénala:

Número de figura 1 2 3 4 5 6 7

Número de cuadrados blancos 8 12

Número de cuadrados rojos 1 9

Número total de cuadrados en la figura 9 16

¿Cuántos cuadrados rojos habrá en la figura 6? ¿Y en la figura 10? ¿Por qué?

Escribe una regla para encontrar el número de cuadrados rojos para la figura n.

¿Cuál es el total de cuadrados en la figura 6? ¿Y en la figura 10?

¿Cuál es el total de cuadrados en la figura n?

¿Cuántos cuadrados blancos habrá en la figura 6? ¿Y en la figura 10?

Analiza tu tabla. En cada figura, ¿qué relación observas entre el número de cua-drados rojos y los otros dos renglones de la tabla? Explica esa relación.Escribe una regla para encontrar el número de cuadrados blancos en la figura n.



Figura 1

Figura 2

Figura 3



>4º Observa la siguiente sucesión de figuras.

1 2 3

Construye las figuras 4 y 5 de acuerdo al patrón que siguen las tres primeras. Compara las figuras que obtuvo tu equipo con las de los demás compañeros del grupo.

Haz una tabla como la siguiente y completa los datos que faltan, hasta la fi-gura número 10:

Números de figura

Número de puntos en la figura

Número de puntos que se agregaron a la figura anterior

1 1 –

2 3 2

3 6 3

4

. . .

Los números que escribiste en la segunda columna se llaman números trian-gulares.

¿Cuál es el décimo número triangular? ¿Cuál es el decimosegundo? ¿Qué ne-cesitarías saber para calcular el vigésimo número triangular?

Discute con tus compañeros de equipo cómo se encuentra cualquier núme-ro triangular. Escribe la propuesta de tu equipo y compárala con la de los de-más.

Actividad colectiva


38 Bloque 1

Ahora completa en tu cuaderno los datos que faltan en la siguiente tabla:

Cantidad de puntos del número triangular Número de sumandos Resultado

1 1 1

1 + 2 2 3

1 + 2 + 3 3 6

1 + 2 + 3 + 4 4...

10

¿Hasta qué número debes sumar para obtener la cantidad de puntos del nú-mero triangular 12?¿Hasta qué número debes sumar para obtener la cantidad de puntos del nú-mero triangular n?

Discute las respuestas de tu equipo con las de los demás compañeros.

Aplicación

El uso de literales para representar números es muy útil en diversas áreas del conocimiento. Por ejemplo, en física se suele representar la rapidez de un objeto en movimiento por la letra v, la distancia que recorre por la letra d y el tiempo de viaje por la letra t.

Si un automóvil viaja siempre a una rapidez de 100 km/h, la distancia que recorre en una hora es 100 km, la que recorre en 1.5 horas es 150 km, etcétera. Se puede entonces representar la distancia recorrida por el automóvil mediante la fórmula

d = 100 × t En esta fórmula, la letra t puede representar cualquier número de horas, y la letra d repre-senta el número de kilómetros correspondiente. Observa que tanto t como d representan cantidades que pueden ser números enteros o fraccionarios. ¿Cómo escribirías la fórmula que representa la distancia recorrida por un automóvil que viaja a v km/h después de t horas de viaje?


>PARA TERMINARPARA TERMINAR>PARA TERMINARPARA TERMINAR


>5º1. En arbolitos de Navidad de distintos tamaños se colocan luces de acuer-

do con el siguiente patrón:

a) ¿Cuántas luces serán necesarias para un árbol de Navidad de tamaño 4? ¿Y para uno de tamaño 5?

b) Analiza cómo crece el número de luces al ir aumentando el tamaño. Determina cuántas luces serán necesarias para un árbol de Navidad de tamaño 20.

c) Explica cómo se puede obtener el número de luces para un árbol de tamaño n.

d) Escribe una fórmula para determinar el número de luces en un árbol de tamaño n.

2. Escribe las operaciones que deben hacerse para encontrar el perímetro de los dos primeros paralelogramos. Posteriormente, escribe una fórmu-la para determinar el perímetro de los otros dos paralelogramos.

Tamaño 1

Tamaño 2

Tamaño 3

3

4

3

5

a

b

n

m


>PARA TERMINARPARA MINARTERM>PARA MINARTERMPARA MINARTERM

40 Bloque 1

3. Observa la siguiente colección de figuras. ¿Cuántos puntos tendrá en la base y en la altura la figura que sigue?

Completa la siguiente tabla.

Números de puntos en la base

Número de puntos en la altura Total de puntos

1 1 x 2

2 2 x 3

. . .

n

4. ¿Cuántos lados tiene cada uno de los siguientes polígonos regulares? ¿Cómo encontrarías su perímetro?

Figura 1 Figura 2 Figura 3

a

b

c d



5. El número que aparece en cada figura representa la longitud del lado del rombo (recuerda que un rombo es un cuadrilátero con todos sus la-dos iguales)

¿Cómo encontrarías el perímetro del rombo que ocupa el lugar n en la sucesión?

6. Encuentra los primeros términos de una sucesión de números con las si-guientes características y escribe la expresión que describe el término n de la sucesión:a) La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es 3 y el pri-

mer término es 5.b) El primer término es 2 y cada término posterior es el triple del anterior.c) La diferencia entre cualquier par de términos consecutivos es 7 y el pri-

mer término es 12.

7. El primer término de una sucesión de números es 1 y cada nuevo término se obtiene multiplicando el anterior por 3 y restando 1 al resultado. Encuentra los 6 primeros términos de esta sucesión.

Torito

Completa esta tabla. Luego busca un patrón y trata de justificarlo.

Número de sumandos Resultado

1 1 1

1 + 2 2 3

1 + 2 + 3 3 6

1 + 2 + 3 + 4 4

1 + 2 + 3 + 4 + 5 5

Sin hacer la suma, halla el resultado de:1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 + 15¿Cuál es el resultado de la suma de los primeros 50 números naturales?

>PARA TERMINAR

1 2 3


42 Bloque 1


1. Cómo son los números decimales y cómo se representan.2. Cuáles son las fracciones decimales y cómo se representan como número

decimal.3. Cómo encontrar fracciones equivalentes a una fracción dada.4. Cómo se simplifican las fracciones.5. Cómo se representan números en la recta numérica.

> En esta lección, abordarás los temas de:

• Ubicación de fracciones y números decimales en la recta numérica.• Comparación y orden de números fraccionarios y números decimales me-

diante la búsqueda de expresiones equivalentes y la regla de los productos cruzados.


43Lección 3 > ¿Qué número es más grande?

>1º3> ¿Qué número es más grande?

A Toño se le cayó la caja de brocas de su papá y se desacomodaron todas.

Al recogerlas, observó los diámetros de las brocas: : 325 , 8

1 , 323 , 16

3 , y 41 de

pulgada.

Observando el grosor de las brocas, Toño las acomodó de menor a mayor.

¿En qué orden quedaron las brocas después de que Toño las acomodó? ¿Qué fracción corresponde a la broca más gruesa? ¿Y a la más delgada?

Ordena las fracciones de menor a mayor.Compara el procedimiento usado y el resultado obtenido en tu equipo con los procedimientos y resultados de los otros equipos. Discute con tu grupo cuáles son correctos y cuáles no.

Para verificar el resultado anterior, une varias hojas cuadriculadas o usa un pliego de papel cuadriculado para trazar un segmento horizontal que abarque cuando menos 32 cuadros. Ubica el cero en el punto inicial del segmento y coloca el 1 a 32 cuadros de distancia del 0. Sobre esa recta numérica, localiza cada una de las medidas de las brocas. ¿Obtuviste el mismo orden que antes?

Escribe en tu cuaderno las respuestas de las siguientes preguntas:

¿Qué fracción es más grande, 73 o 7

4 ? ¿Por qué?

Escribe una regla para determinar qué fracción es mayor entre dos fracciones que tienen el mismo denominador.

Utiliza tu regla para ordenar de menor a mayor las siguientes fracciones:

235120 , 235

229 , 23549 , 235

035 , 23535 , 235

030

Compara tu resultado con los del resto del grupo.

Actividad colectiva



44 Bloque 1

¿Cuántos octavos hay en un cuarto? Entonces ¿qué fracción es más grande:

41 o 1

8 ? ¿Qué fracción es mayor: 43 o 8

3 ¿Por qué?

¿Qué fracción es mayor: 61 o 5

1 ? Puedes ayudarte de algún tipo de esquema

para explicar tu respuesta. Y entre 65 y 5

5 ¿cuál es mayor?

Escribe una regla para determinar qué fracción es mayor entre dos fracciones que tienen el mismo numerador.

Verifica tu regla ordenando de menor a mayor las siguientes fracciones:

1215 , 125

15 , 4015 , 5

158 , 115

15 , 215

Compara las dos reglas que escribiste con las de tus compañeros y discute con ellos cuáles son correctas y cuáles no.

Para responder las siguientes preguntas puedes apoyarte en algún tipo de es-quema:¿Cuántos cuartos hay en un medio? Escribe una igualdad entre 2

1 y una frac-ción con denominador 4.¿Cuántos novenos hay en dos tercios? Escribe la igualdad entre fracciones que expresa lo anterior.Compara las igualdades que escribiste con las del resto del grupo.

Observa las parejas de diagramas que están a continuación y debajo de cada pareja, escribe la igualdad entre fracciones que corresponde:

Compara las igualdades que escribiste con las de tus compañeros y verifica que todas sean correctas.

Ahora analiza todas las igualdades entre fracciones que has escrito en esta actividad. ¿Hay alguna relación entre los numeradores y los denominadores de las fracciones en cada igualdad? Escribe en tu cuaderno una explicación de esa relación.

Recuerda que dos fracciones que representan la misma cantidad se llaman fracciones equivalentes.




>2º Discute con tus compañeros de equipo y formula el procedimiento para ob-

tener fracciones equivalentes a una fracción cualquiera ba .

Con un garrafón de 5 litros de agua, se pueden llenar 30 vasos iguales. Indica con una fracción la capacidad de un vaso.Escribe otras dos fracciones que representen la capacidad del mismo vaso. ¿Cuál es la fracción con numerador 1 que corresponde a la capacidad del vaso? ¿Cómo la obtuviste? Compara tus resultados con los de tus compañeros.Compara la formulación de tu equipo con las de los demás equipos.

El proceso de encontrar fracciones equivalentes a una fracción ab

en las

que el numerador y denominador son menores que los de la fracción origi-nal, se llama simplificación de la fracción. Una fracción que no puede sim-plificarse se conoce como fracción irreducible.

Discute con tus compañeros de equipo y formula el procedimiento para sim-plificar cualquier fracción a/b que no sea irreducible.

Encuentra una fracción equivalente a 4836 con denominador 12. Escribe cómo

encontraste el numerador de esta fracción.

Encuentra dos fracciones equivalentes a 4836 con denominadores 8 y 6. Expli-

ca el método que usaste.

Simplifica lo más que puedas la fracción 4061 . Explica cómo lo hiciste.

Un tornillo penetra 8 milímetros al dar 20 vueltas. Indica con una fracción irreducible la longitud que avanza en cada vuelta.

Encuentra la fracción irreducible equivalente a cada una de las siguientes

fracciones: 3025 , 42

18 , 1312 , 38

21 , 6424 .

En tu cuaderno traza una recta numérica para representar en ella las siguien-tes cantidades, escoge una unidad adecuada en cada caso: a) 40, 120, 200

b) 21 , 1

4 , 18 , 116

Compara tus rectas numéricas con las de tus demás compañeros y discute con ellos el criterio que usaste para elegir la unidad.

Copia en tu cuaderno la siguiente figura:

21

¿Dónde colocarías el 0? ¿Y el 1?Compara tu recta numérica con la de tus demás compañeros. ¿La distancia del 0 al 1 es igual en todas?

Actividad colectiva

Actividad colectiva








46 Bloque 1

Copia en tu cuaderno la siguiente figura

13 3

2

Encuentra los puntos que representan al 0 y al 1. ¿La distancia del 0 al 1 es igual en tu recta numérica que en la de todos tus compañeros?¿Es suficiente ubicar un número en la recta numérica para que los demás que-den bien determinados? ¿Es suficiente ubicar dos números en la recta numé-rica para que los demás queden bien determinados?

Discute tus respuestas con tus demás compañeros.

En una recta numérica como la siguiente, localiza las fracciones:

129 , 4

7 , 65 , 2

3 , 35 , 12

17 y 23

Escribe las fracciones anteriores en orden de menor a mayor.

En una recta numérica como la siguiente, localiza los números:

41 , 1, 3

1 , 21 , 2

3 , 34 , 4

3 y 23 .

Sobre una recta numérica como la siguiente, localiza los números:

2, 2415 , 30

45 , 1122 y 4

11.

¿Cómo se puede determinar cuál es mayor entre las fracciones 29 y 18

6 ? Escri-be el procedimiento en tu cuaderno.

Determina qué fracción es menor entre 72 y 21

8

Escribe en orden de menor a mayor las fracciones 23 , 15

5 y 97 .

Compara las respuestas que obtuviste con las del resto del grupo.

0 1 2

0 45

0 818





>3º Analiza si son equivalentes las fracciones 4

3 y 129 . Ahora analiza la equiva-

lencia entre las fracciones 43 y 20

15 .

¿Las fracciones 129 y 20

15 representan la misma cantidad?

¿Son equivalentes 129 y 20

15 ?

Explica en qué basas tu respuesta.

¿Son equivalentes las siguientes parejas de fracciones?

108 y 5

4

2520 y 5

4

108 y 25

20

85 y 10

16

31 y 27

9

Argumenta tus respuestas.

Si dos fracciones son equivalentes a una tercera entonces son equivalen-tes entre sí.

Discute con tus compañeros de equipo cómo encontrar una fracción equiva-

lente a 57 con denominador 40 y otra fracción equivalente a 8

11 con denomi-

nador 40. ¿Qué fracción es más grande, 57 u 8

11? ¿Por qué?

Encuentren dos fracciones equivalentes a 75 y a 79 que tengan el mismo deno-

minador. ¿Qué fracción es mayor?Discute con tu equipo un método general para encontrar dos fracciones con un mismo denominador que sean equivalentes a dos fracciones dadas.

Formulen un método general para comparar dos fracciones.

Compara tus métodos con los que hayan encontrado tus compañeros. Anali-za con todo el grupo cuáles son correctos y cuáles no.

Actividad colectiva



48 Bloque 1

Usando el método que describiste en la actividad anterior, compara las si-guientes parejas de fracciones:

74 y 9

5

32 y 4

3

102 y 1

5

Ahora analiza las siguientes fracciones: 94 , 12

7 , 89 , 6

5 , 43 , 1

7 .

¿Cuáles son menores que 12 ? ¿Cuáles fracciones están entre 1

2 y 1? ¿Cuál es

la menor de todas las fracciones? ¿Y la mayor?

Para comparar las fracciones ab

y cd

, multiplicamos el numerador y el

denominador de la primera fracción por d y el numerador y el denomina-dor de la segunda por b.

ab

= (a × d)(b × d)

y cd

= (c × b)(d × b)

Como estas dos nuevas fracciones tienen el mismo denominador, basta com-parar los numeradores para saber cuál de ellas es mayor o si son iguales.

Si a × d = c × b las fracciones originales son equivalentes.

Si a × d > c × b la fracción ab

es mayor que la fracción cd

.

Si a × d < c × b la fracción ab

es menor que la fracción cd

.

A esta forma de comparar fracciones se le conoce como método de los pro-ductos cruzados.

Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones:

41

75

411

1211

78

139

45

101 .





En tu cuaderno, construye una tabla como ésta:

Entre 0

y 14

Entre 14

y 12

Entre 12

y 34

Entre 34

y 1

Entre 1

y 54

Analiza las siguientes fracciones y escribe cada una de ellas en la columna

que le corresponde: 71 , 7

2 , 75 , 7

8 , 18 , 8

3 , 85 , 8

7 , 89 , 14

3 , 149 , 12

14 , 1614 , 16

3 , 165 , 16

9 , 1516 , 16

18 , 323 , 13

32 , 2132 , 27

32 , 3632 .

Puedes auxiliarte con una recta numérica.Compara tu resultado con los obtenidos por tus compañeros.

Escribe un número fraccionario que esté entre 13 y 4

3

Escribe otro que esté entre 15 y 8

7

Escribe una fracción entre 79 y 7

10

Escribe otra fracción entre 14 y 1

5

Encuentra fracciones equivalentes a las dadas con un denominador más gran-de. Describe el procedimiento que usaste para encontrar los números ante-riores. Compara tu procedimiento con los de tus compañeros. Discute con el resto del grupo cuál método es más eficiente.

En una recta numérica localiza los puntos que corresponden a las fracciones 13 y 3

2 . Después, intercala tres fracciones entre estas dos. Indica claramente

en la recta numérica cuáles son las fracciones que intercalaste. Explica el pro-cedimiento que usaste para determinar esas fracciones.

Localiza en una recta numérica las fracciones 45 y 13

8 . Intercala tres fraccio-

nes entre las dos fracciones anteriores. ¿El procedimiento que usaste puede aplicarse para intercalar fracciones entre cualquier pareja de fracciones que te den? Explica tu respuesta.

Entre cualquier par de fracciones distintas se pueden intercalar tantas frac-ciones como se quiera.

También se pueden representar cantidades que están entre dos números ente-ros usando números decimales. En una recta numérica localizamos en la for-ma usual los números 0, 1, 2, 3, etcétera. Dividimos en 10 partes iguales cada unidad. A estas partes las llamamos décimos.

>4º





50 Bloque 1

Después dividimos cada décimo en 10 partes iguales y a estas partes las lla-mamos centésimos. Este proceso de subdivisión se puede continuar forman-do las partes a las que se les llama milésimos, diezmilésimos, cienmilésimos, millonésimos, etcétera.

Cada número decimal tiene una parte entera (que puede ser cero), un punto decimal y después una expresión decimal.

La parte decimal está formada por una cantidad de décimos, otra cantidad de centésimos y así sucesivamente. Por ejemplo:

De manera que 0.548 = 0.5 + 0.04 + 0.008

Analiza la construcción de los décimos, centésimos, milésimos, etcétera. ¿Cuántos décimos hay en un entero?Escribe en números decimales las siguientes fracciones:

101 , 10

4 , 1012 , 10

26 , 1059

¿Cuántos centésimos hay en un décimo?


.008 .008 .008

.04

.5

.04 .04

.5.5

.00 8.04.5

0 0.3 0.6 0.9 1 1.2

1.5 1.6

2 2.3

1.50 1.52 1.54 1.56 1.58 1.60



Escribe en números decimales las siguientes fracciones:

, , , ,10027

1005

100105

10089

100110

¿Cuántos milésimos hay en un centésimo?

Escribe en números decimales las siguientes fracciones:

, , ,1 000152

1 0001676

1 0006

1 00074

Escribe una regla para convertir una fracción cuyo denominador sea 10 en un número decimal, para convertir una fracción cuyo denominador sea 100 en número decimal, y para convertir una fracción con denominador 1 000 en un número decimal. Discute las reglas anteriores con tus compañeros. ¿Hay alguna relación entre el número de ceros que tiene el denominador y el lu-gar que ocupa el punto decimal?

Las fracciones cuyo denominador es una potencia de 10, como 110

, 7100

, 3

1 000, 5

10 000, etcétera, se llaman fracciones decimales.

Toño y su papá preguntaron los precios de distintos tipos de galletas en la tien-da. La información es la siguiente:

Para nieve Con chispas de chocolate Con bombón Discos sabor

chocolateCon sabor

a nuez

$14.00 la caja con 40 galletas



$4.60 el empaque de 5 galletas

$7.45 el empaque con 10 galletas

Encuentra el precio de una galleta de cada tipo. Puedes auxiliarte con una calculadora.

Localiza el precio de cada una de las galletas en una recta numérica.Ordena los tipos de galletas de acuerdo a su precio, empezando por las más baratas.



52 Bloque 1

>5º Escribe las siguientes fracciones como número decimal:

21 , 4

3 , 54 , 8

3

Explica cómo lo hiciste.

Localiza en la siguiente recta numérica las fracciones anteriores y escríbelas arriba del punto que corresponde

Escribe las siguientes fracciones como número decimal:

32 , 3

7 , 94

¿Funciona el mismo método que usaste antes? Explica lo que observaste en este caso.

Si al dividir el numerador de una fracción entre su denominador, en algún momento se obtiene un residuo igual a cero, el resultado de la división es el número decimal que corresponde a la fracción.

Cuando al realizar división entre el numerador y el denominador no se obtie-ne nunca un residuo igual a cero, la expresión decimal de la fracción no ter-mina nunca. Por ejemplo:

0.333333 ... 3 1.000000 10 10 10 10 10 10 1En estos últimos casos sólo es posible dar una expresión decimal aproxi-mada.Los números con punto decimal se leen usando el valor de la última cifra, por ejemplo: 6.438 se lee: seis enteros cuatrocientos treinta y ocho milésimos, que es lo mis-

mo que 6 enteros y 1 000438 .

0.75935 se lee: setenta y cinco mil novecientos treinta y cinco cienmilésimos,

que es lo mismo que 100 00075935

Para convertir un número decimal en fracción, analizamos cómo se lee el núme-ro, escribimos la fracción decimal correspondiente y luego la simplificamos.


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

31 = 0.333333 ...


53 Lección 3 > ¿Qué número es más grande?

Escribe las siguientes fracciones como números decimales:

20125 , 8

48 , 1218 , 12

360 , 96

16

Escribe en palabras cómo se leen los siguientes números decimales. Luego, escribe cada uno de ellos como fracción: 0.08, 1.47, 0.005, 3.333, 0.685¿Qué número es más grande?0.8 o 0.598765; 0.6 o 0.59999999; 0.657 o 0.857; 0.0009 o 0.001

Explica el criterio que utilizaste. Compara tus respuestas con las de tus com-pañeros.¿Qué número es mayor 4

3 o 1.35? Describe el procedimiento que usaste para comparar este par de números

¿Qué número es mayor 73 o 0.45?

Compara el procedimiento que usaste con los que hayan usado otros equipos. ¿Cuántos procedimientos distintos encontraron?

Escribe un número decimal que esté entre 0.34 y 0.6Escribe otro número que esté entre 0.456 y 0.489Escribe un número entre 5.2 y 5.289

Describe el procedimiento que usaste para encontrar los números anteriores.Compara tu procedimiento con los de tus compañeros. ¿Hay métodos diferen-tes al tuyo para resolver estos problemas? Discute con el resto del grupo cuál método es más eficiente.

Localiza en una recta numérica como la siguiente los números 45 , 1.35, 0.4,

57 y 1.95

Ordena los siguientes números decimales: 0.95, 2.3, 1.1, 1.09, 0.5 y 1.7. Expli-ca el método que usaste para ordenarlos. Después, localízalos sobre una rec-ta numérica.

Localiza los números 3.5 y 1.8 en la siguiente recta numérica

Actividad colectiva

Aplicación

Un kilate es una unidad para medir la pureza del oro. El oro de 24 kilates es el oro puro. Como el oro puro es suave, se le mezcla con otros metales para hacer piezas de joyería, monedas, medallas, etcétera.

Cuando se dice que una pieza de oro es de 18 kilates, quiere decir que de 24 partes de la mezcla de metales, 18 son de oro puro. Es decir, la parte

de oro puro es 1824

y la parte de otros metales es 624

. El número de kilates de una pieza de oro se conoce como la ley de esa pieza de oro.

En algunos museos, se encuentra oro de 22 kilates y las monedas de oro que venden los bancos usan generalmente un poco más de 21 kilates. En las piezas de joyería se usan desde 18 hasta 8 kilates.

Lingotes de oro.



0 1 2

0 2.3 4.5


54 Bloque 1

>6º 1. Representa el área coloreada en las siguientes figuras como número de-

cimal y como fracción.

1 1

1 1 Figura 1 Figura 2

1 1

1 1 Figura 3 Figura 4

2. ¿Cuántos habitantes tiene un poblado si las 1500 personas menores de 15

años representan 72 de la población?

3. ¿Cuántos gramos de oro puro hay en una medalla de 20 kilates que pesa 6 gramos?

4. Neptuno recorre tres veces su órbita alrededor del Sol en el mismo tiempo en que Plutón recorre su órbita dos veces.a) En el tiempo en que Plutón completa una vuelta alrededor del Sol,

¿qué fracción de órbita ha recorrido Neptuno?b) En el tiempo en que Neptuno completa una vuelta alrededor del Sol,

¿qué fracción de órbita ha recorrido Plutón?5. Encuentra el número que falta en las siguientes parejas de fracciones equi-

valentes y escribe el procedimiento que usaste:

a) 7 143

= b) 2115

7= c) 1595

=

d) 48183

=

6. ¿Cuánto vale el número x en las siguientes fracciones equivalentes?

a) x35

15= b) x52

20= c) x83 12

=

d) x14

2028

=

7. Determina cuál de las fracciones de cada pareja es mayor o si son equiva-lentes:

a) y1513

76 b) y5

41512 c) y 713

10 5

d) y 898 7 e) y24

17108 f) y15

5325

¿? ¿?¿?

¿?


55 Lección 3 > ¿Qué número es más grande?

8. Ordena de menor a mayor las siguientes fracciones: 74 , 8

3 , 21 y 9

5 .

9. En una recta numérica como la siguiente, localiza los puntos 23 , 6

1 , 12 , 3

2 ,

67 y 3

1 .

10. a) Encuentra tres fracciones entre 64 y 6

5 . Localiza las cinco fracciones en una recta numérica.

b) Encuentra tres fracciones entre 65 y 8

7 .

11. En cada caso escribe cuál de los números es más grandea) 3.013 o 3.0014 b) 1.0609 o 1.007 c) 5.1009 o 5. 101

12. Encuentra 3 números decimales entre 0.6 y 0.57113. Coloca los siguientes números en la columna de la tabla que correspon-

de:

0.71, 0.701, 0.071, 2119 , 16

9 , 0.34, 73 , 0.99, 15

11 , 128 , 30

65 , 113 , 20

3

Entre 0 y 0.2

Entre 0.2 y 0.4

Entre 0.4 y 0.6

Entre 0.6 y 0.8

Entre 0.8 y 1

14. Localiza en una recta numérica los siguientes números:

41 , 0.5, 5

2 , 1.25, 1111

15. Encuentra la fracción que tiene las siguientes características: es una frac-ción irreducible y si al numerador se le suma 1 y al denominador se le res-

ta 1, se obtiene una fracción irreducible equivalente a 1215 .

>PARA TERMINAR

Torito

a) Encuentra una pareja de números a y b que satisfaga la siguiente igualdad: b

a7

8=

¿Hay más de una pareja de números que satisfaga esta condición?

b) Encuentra un número y tal que y

y49

=

0 65 1 3

4


56 Bloque 1


1. Qué significa que dos segmentos sean perpendiculares.2. Qué significa que dos segmentos sean paralelos.3. Cómo se miden los ángulos.4. Cómo se encuentra el punto medio de un segmento.


• La construcción de figuras simétricas respecto a una recta y el análisis de las propiedades que se conservan bajo la reflexión.


57Lección 4 > Igual pero al revés

>1º4> Igual pero al revés

¿Conoces los caleidoscopios? ¿Sabes cómo funcionan?

Dentro de un tubo de cartón se colocan tres espejos rectangulares formando un prisma triangular; en uno de los extremos del tubo se colocan dos vidrios transparentes y entre ellos se insertan pedacitos de vidrio de colores. En el otro extremo se coloca otro vidrio transparente.

Imagina que la siguiente ilustración representa un pedacito de vidrio de colo-res en un caleidoscopio.

Sin hacer una construcción precisa dibuja en tu cuaderno cómo se vería el triángulo si lo reflejaras en cada uno de los tres espejos.

Toma una hoja de papel blanco y una de papel carbón, colócalas juntas de modo que el lado del carbón se adhiera al papel. Dóblalas con el papel blan-co hacia fuera.

Vista interior de los colores y formas de dos caleidoscopios.




58 Bloque 1

Dibuja un triángulo en la hoja doblada, desdóblala y observa.

Con ayuda de tu transportador mide los tres ángulos de ambos triángulos. ¿Qué puedes decir de ellos?En cada uno de los triángulos mide las longitudes de los lados. ¿Qué observas?

Une B con B’ mediante un segmento y mide el ángulo que forma el segmento BB’ con el doblez de la hoja. ¿Qué puedes decir del segmento BB’ y la recta de-finida por el doblez? ¿Qué puedes decir del segmento DD’ y la recta definida por el doblez? ¿Y del segmento CC’ y la recta definida por el doblez? Discute tus conclusiones con el resto del grupo.

Encuentra el punto medio de los segmentos BB’, CC’ y DD’. ¿Qué observas? Discute tus conclusiones con tus compañeros.

Nota que el triángulo BCD y el triángulo B’C’D’ son idénticos, sus ángulos son iguales y sus lados también, salvo porque están “al revés”. Además sus vér-tices correspondientes están a la misma distancia del doblez.

Dos puntos A y A’ son simétricos respecto a una recta l si la recta l pasa por el punto medio del segmento que une A con A’ y es perpendicular a este segmento.Un par de figuras son simétricas respecto de una recta l si cada par de pun-tos correspondientes de las figuras es simétrico respecto a l.A la línea l se le llama línea de reflexión.Al reflejar la figura con respecto a una recta se conservan los ángulos y las distancias.

D

C

B B’D’

C’

A

B

C

D D’

C’

B’

A’

l



>2º En una hoja de papel cuadriculado traza un punto A y una recta que no

contenga al punto, como en la siguiente figura.

Encuentra el simétrico del punto A respecto a la recta l y llámalo A’. Discute con tus compañeros cómo lo hiciste.

Encuentra la reflexión de la siguiente figura respecto a la recta. Llama A’, B’, C’, D’ y E’ a los puntos simétricos de A, B, C, D y E respectivamente.

Contesta:¿Cuánto mide el segmento AB?¿Cuánto mide el segmento A’B’?

A


A

B

C

D

F

E


60 Bloque 1

Mide los otros tres lados del cuadrilátero y compara sus medidas con las del cuadrilátero reflejado.¿Qué conclusión obtuviste?

Mide el segmento AE y compáralo con su reflejo A’E’.¿Qué puedes decir de estas medidas?

Mide los cuatro ángulos del cuadrilátero y compáralos con los ángulos corres-pondientes de la figura reflejada.¿Qué conclusión obtuviste?

Mide los ángulos que se forman entre el segmento AE y los lados AD y BC del cuadrilátero.¿Son paralelos los segmentos AD y BC? ¿Son paralelos los lados A’D’ y B’C’?

Copia la siguiente figura en una hoja de papel cuadriculado.

Localiza la recta sobre la que se hizo la reflexión de uno de los polígonos para obtener el otro.

Discute tu propuesta con el resto del grupo.




Copia la siguiente figura en una hoja de papel cuadriculado.Localiza el punto medio M del lado AD y el punto medio N del lado BC. Traza una recta que pase por esos puntos medios.

¿Qué sucede si reflejas el cuadrado respecto a la línea que pasa por M y N?Localiza los puntos medios de los lados AB y DC del cuadrado, llámalos P y Q y traza la línea que los contiene.¿Qué sucede si reflejas el cuadrado por la línea que contiene a P y Q?Discute tus respuestas con el resto del grupo.

Decimos que la recta l es eje de simetría de una figura si al reflejarla res-pecto a l, la figura queda sobre sí misma.

Observa que las rectas que pasan por los puntos medios de los lados del cua-drado son ejes de simetría del cuadrado.¿Habrá otros ejes de simetría en el cuadrado? Busca otros ejes de simetría. ¿Cuántos encontraste? ¿Son todos los posibles ejes de simetría del cuadrado? Compara tus resultados con los de tus demás compañeros.

Copia las siguientes figuras en una hoja de papel cuadriculado y encuentra todos los ejes de simetría de cada una.

>3º


A D

B C



62 Bloque 1

Completa la tabla, respondiendo sí o no, según el caso.

Figura

¿Las rectas que unen los puntos medios de lados

opuestos son ejes de simetría?

¿Las diagonales son ejes de simetría?

Cuadrado

Rectángulo

Rombo

Romboide

Trapecioisósceles

Papalote

¿Cuáles de estas figuras son paralelogramos? (Recuerda que un paralelogra-mo es un cuadrilátero con dos pares de lados paralelos).

¿Cuántos paralelogramos tienen 4 ejes de simetría? ¿Cuáles son?¿Cuántos paralelogramos tienen sólo dos ejes de simetría? ¿Cuáles son? ¿Cuá-les de éstos tienen como ejes de simetría a las rectas que pasan por los puntos medios de sus lados? ¿Cuáles tienen como ejes de simetría a las diagonales?

Haz una clasificación de los paralelogramos en términos de sus ejes de simetría.

Discute tus respuestas con el resto del grupo.



>PARA TERMINAR1. Copia en tu cuaderno la siguiente figura y refléjala respecto a la recta

prolonga la recta si es necesario.

2. ¿Cuántos ejes de simetría tiene un triángulo equilá-tero? ¿Y un triángulo isósceles? ¿Un escaleno?

3. Construye figuras con los datos que se indican:

a) A y C son vértices de la figura y la recta es un eje de simetría.

b) Dos cuadrados cu-yos vértices sean puntos de la malla y que las rectas di-bujadas sean ejes de simetría.

c) Un rombo en el que los puntos A y B sean vértices y

que tenga a la recta como uno de sus ejes de sime-tría.

Torito

La siguiente ilustración representa una imagen vista en un caleidoscopio. ¿Dónde crees que estén los espejos? Hay varias posibilidades.

>4º

A

C

B

A


64 Bloque 1


1. Cómo se calcula el perímetro y el área de un rectángulo.2. Cómo se realizan las operaciones básicas entre números naturales.


• Identificación y resolución de situaciones de proporcionalidad directa del tipo “valor faltante” en diversos contextos, utilizando varios procedimientos.

Hotel Sheraton y Secretaría de Relaciones Exteriores. Centro histórico. Ciudad de México.


65Lección 5 > Agrandar y reducir

>1º5> Agrandar y reducir

Considera la siguiente colección de rectángulos:

¿Encuentras alguna relación entre las medidas de las bases y de las alturas de los rectángulos?

Si en la colección hubiera otro rectángulo de altura 8 ¿cuánto mediría su base? Explica cómo encontraste tu respuesta.

Si en la colección hubiera otro rectángulo de base 2 ¿cuánto mediría su altura? Explica cómo encontraste tu respuesta.

¿Qué regularidad encuentras en la relación base-altura? Discute tu respuesta con tus compañeros.

Si en la colección hubiera un rectángulo de base 1 ¿cuánto mediría su altura?

Explica cómo encontraste tu respuesta. Y si hubiera un rectángulo de altura 3.5 ¿cuánto mediría su base?

Llena los datos que faltan en la tabla.

Altura BaseBase

Altura PerímetroPerímetro

Altura ÁreaÁrea

Altura

1

5

12

2.5

9

0.5

3.42

1.73

6.32

8.36

n

2

4

3

6

4

8

01_Mat RES1_1-89.indd 6501_Mat RES1_1-89.indd 65 5/16/08 12:00:26 PM5/16/08 12:00:26 PM

66 Bloque 1

Fíjate que en la tercera columna de la tabla siempre obtuviste el mismo núme-ro; es decir, la razón (o cociente) entre la longitud de la base y la longitud de la altura es la misma. Entonces podemos decir que en esta colección de rec-tángulos, la base y la altura varían proporcionalmente.

¿La razón entre el perímetro y la altura resultó constante?

¿En esta colección de figuras, el perímetro varía proporcionalmente respec-to a la altura?

¿La razón entre el área y la altura resultó constante?

¿En esta colección de figuras, el área varía proporcionalmente con respecto a la altura?

Discute tu respuesta con el resto del grupo.

Una cantidad varía proporcionalmente con respecto a otra si la razón en-tre ellas es un número fijo, llamado constante de proporcionalidad es de-cir k =

yx .

En forma equivalente, una cantidad y varía proporcionalmente con respec-to a otra cantidad x si y = kxkx.

Un hombre camina a una velocidad de 4 kilómetros por hora; es decir, cada hora recorre 4 kilómetros.¿Cuántos kilómetros recorrerá en 3 horas?¿Cuántos kilómetros recorrerá en media hora? ¿Por qué?

Discute tu razonamiento con el resto del grupo.

Llena los datos que faltan en la siguiente tabla:

Distancia TiempoDistanciaTiempo

8 km 2 h 8 km2 h = 4

kmh

5 h

10 km

12

h

n h

¿Qué números obtuviste en la tercera columna?

¿La distancia varía proporcionalmente respecto al tiempo?




>2º Una librería compró 25 libros de texto, que le darán una ganancia total neta

de 200 pesos.

¿Cuál sería la ganancia neta por la venta de 50 libros?¿Cuál será la ganancia neta por la venta de 5 libros?¿Cuál es la ganancia neta por la venta de un libro?¿Cuál sería la ganancia neta por la venta de 16 libros?

Completa la siguiente tabla.

Número de libros comprados Ganancia neta

25 200

50

75

100

1

n

Si la ganancia neta es de 160 pesos, ¿cuántos libros se vendieron?Discute tu razonamiento con el resto del grupo.

En la ilustración de la derecha aparece una recta sobre una re-tícula formada por cuadrados de lado 1.

Si a partir de P nos movemos una unidad hacia la derecha, ¿cuántas unidades habrá que subir para lle-gar a la recta?

Si a partir de P nos movemos dos unidades hacia la derecha, ¿cuán-tas unidades habrá que subir para llegar a la recta?



P


68 Bloque 1

Escribe una regla para conocer el número de unidades que debemos subir para llegar a la recta, en términos del número de unidades que nos movemos hacia la derecha.¿El número de unidades que debemos subir varía proporcionalmente con res-pecto del número de unidades que nos desplazamos a la derecha? En caso afirmativo, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?

Ahora copia la siguiente tabla en tu cuaderno y llena los datos que faltan:

Si el número de unidades quesubimos es...

... entonces el número de unidades que nos

movemos hacia la derecha es ...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

n

¿El número de unidades que nos movemos hacia la derecha también varía proporcionalmente respecto al número de unidades que nos movemos hacia arriba? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?

¿Hay alguna relación entre las dos constantes de proporcionalidad que deter-minaste?

Discute tus respuestas con tus compañeros del grupo.



María mandó reducir una foto. La foto original mide 160 mm de largo y 120 mm de ancho. El ancho de la foto reducida debe ser de 90 mm.

¿Cuánto medirá el largo de la foto reducida?

¿Cuál es la razón de proporcionalidad en este caso?

¿Cuánto medirá el largo de la foto reducida si el ancho debe medir 60 mm?¿Cuánto medirá el ancho de la foto reducida si el largo debe medir 120 mm?¿Cuánto medirán el largo y el ancho de la foto reducida si la razón de propor-

cionalidad es 12 ?

Si en vez de reducir la foto quisiéramos amplificarla al triple ¿cuánto medirá la foto ampliada?



70 Bloque 1

1. Para construir un muro se usarán bloques de 40 � 20 (es decir, sus di-mensiones son 40 cm de largo y 20 de altura). a) Cuando el muro mide

2 metros de altura, ¿cuántas filas de bloques se han for-mado? (No contaremos la cantidad de mezcla necesaria.) Cuando el muro mide 3 metros de altura, ¿cuántas filas de bloques se han formado?Copia en tu cuaderno la tabla de la izquierda y llena los da-tos que faltan. ¿Existe una relación de proporcionalidad entre la altu-ra del muro y el número de filas de bloques? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?

b) Digamos ahora que la altura del muro se fija en 3 metros. ¿Cuántos bloques se necesitan para levantarlo si debe tener una longitud de 3.6 me-tros? ¿Qué pasará si el muro debe tener una lon-gitud de 4.8 metros?

Copia en tu cuaderno la tabla de la izquierda y llena los datos que faltan. ¿Existe una relación de proporcionalidad entre

la longitud del muro y el número total de bloques? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?

2. Alejandro compró una computadora pagando mensualidades fijas de

350 pesos.

a) ¿Cuánto dinero habrá pagado después de 3 meses? ¿Y de 5 meses?

b) Completa la siguiente tabla.

Después del mes... ... se ha pagado...

1 350

2 700

3

4

5

>3º

Altura construida (en metros)

Número de filasde bloques

1

2

3

4

n

Longitud de la pared (metros)

Número de bloques por fila

Número total de bloques

1.2 3 45

2.4 6

3.6

18



>PARA TERMINARc) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad en este caso?

d) Describe la regla para determinar el monto pagado después de n meses.

3. Un grupo de siete personas quiere atravesar el desierto del Sahara. Cada persona debe disponer de 3 litros de agua por día.

a) ¿Cuánta agua deben transportar si el viaje dura 10 días y no pueden reabastecerse del líquido?

b) ¿Y si el viaje dura 15 días? ¿30 días?

c) Expresa una regla para la cantidad de agua que deben transportar, en términos del número de días.

d) ¿Para cuántos días (aproximadamente) les alcanzarán 300 litros de agua a todo el grupo? ¿Y 400 litros?

e) Supongamos que el viaje durara 30 días, pero a los 12 días encuentran a dos personas perdidas. Si todos continuaran consumiendo la misma cantidad de agua por persona, ¿cuántos días más puede durar el via-je sin reabastecerse?

4. En un restaurante cada 5 días se consumen dos cajas de huevos que con-tienen 450 huevos cada una. ¿Cuántos huevos se consumen en el restau-rante en un mes, si todos los días se usa el mismo número de huevos?

5. En una carretera, los postes de luz están colocados a una distancia de 50 m entre sí. ¿Cuántos postes hay en un tramo de 5 kilómetros? ¿En 10 km? ¿Y en 15 km? ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

6. En cada inciso, indica si una cantidad varía en forma proporcional con respecto de la otra. Analiza y discute con tus compañeros.

a) El precio de una naranja y el precio de una gruesa de naranjas.

b) El número de canicas (todas iguales) en una bolsa y su peso.

c) La edad de una persona y su estatura.

Torito

Se está llenando un tinaco de 350 litros vertiendo agua desde dos llaves; una de ellas vierte 15 litros por minuto y la otra vierte 1 litro cada 3 segundos. ¿En cuánto tiempo se llena el tinaco?


72 Bloque 1


1. Cómo se realizan las operaciones básicas entre números naturales.2. Cómo determinar si dos cantidades son directamente proporcionales.


• Elaboración y uso de diversos procedimientos para resolver problemas de re-parto proporcional.


73Lección 6 > ¿Cuánto le toca a cada quién?

>1º6> ¿Cuánto le toca a cada quién?

Laura y Claudia depositaron $500 y $200, respectivamente, en una cuen-ta de ahorro común. Cuando decidieron cerrar su cuenta, en ésta había $840 debido a las utilidades obtenidas. ¿Cómo les repartirías el dinero en forma equitativa?

Discute con tus compañeros de equipo con qué criterio repartirías el dinero y explica las razones para usar ese criterio.

Si Laura y Claudia deciden repartirse el dinero de manera proporcional a lo que cada una de ellas puso al principio, ¿cuánto dinero le tocaría a cada una? Explica el procedimiento que usaste. Compáralo con los procedimientos de tus compañeros del grupo.

Después contesta las siguientes preguntas:

¿Cuánto dinero depositaron entre las dos al iniciar el ahorro?

En un segmento como el siguiente, ilumina de rojo la parte del dinero depo-sitado que corresponde a lo aportado por Laura y de azul la que corresponde a lo aportado por Claudia.

¿Qué fracción del total representa el depósito de Claudia? ¿Y el de Laura? ¿Cómo usarías estas fracciones para repartir los $840? Explica por qué.

¿Qué parte de los $840 le corresponden a Laura? Explica por qué.

A Claudia le correspondería lo que resta de los $840. ¿Qué parte es del total? ¿Corresponde con la fracción que puso Claudia al abrir la cuenta? Explica.

David, Gabriel y Rodrigo realizaron un trabajo la semana pasada. David tra-bajó 6 horas, Gabriel 8 y Rodrigo 4. Recibieron un pago de $2 700. Quieren repartirse el dinero de manera que cada uno reciba una parte proporcional al número de horas trabajadas. ¿Cuánto dinero le toca a cada uno?

Actividad colectiva

Actividad colectiva


74 Bloque 1

Discute con tu equipo cómo hacer la repartición del dinero. Cuando hayan concluido, discutan en el grupo cómo lo resolvió cada equipo y comparen los resultados. ¿Cuántas formas distintas de resolver el problema encontraron en tu grupo?

Aquí vamos a analizar cómo razonaron el problema dos equipos. En cada caso, contesta las preguntas que se plantean.

Equipo A

• ¿Cuántas horas trabajaron entre los 3?

• De los $2 700 que les pagaron por todo el trabajo, ¿qué cantidad corresponde a una hora de trabajo?

• ¿Cuánto le toca a David por 6 horas de trabajo?

¿Cuánto le toca a Gabriel por 8 horas de trabajo?

¿Cuánto le toca a Rodrigo por 4 horas de trabajo?

• ¿Cuánto suman las tres cantidades anteriores? Explica si consideras correcta la solución.

Equipo B

• ¿Cuántas horas trabajaron entre los 3? • Por tratarse de una repartición proporcional, se puede plantear la

siguiente relación:

Pago total

total de horas trabajadas =

Pago a David

horas que trabajó David

Es decir,¿?

182 700

6=

Encuentra una fracción equivalente a 270018

con denominador 6. ¿Cuánto dinero le toca a David?

• Escribe la relación correspondiente para Rodrigo. ¿Cuánto dinero le toca a Rodrigo?

• La parte restante de los $2700 le corresponde a Gabriel, ¿cuánto es?

¿Son equivalentes los procedimientos de los equipos A y B? Explica tu res-puesta.

¿Cuál de los procedimientos anteriores te parece más fácil? ¿Por qué?



>2º En la entrada de este bloque te presentamos el papiro de Rhind, que con-

tiene varios resultados matemáticos de los antiguos egipcios. El problema 65 de ese papiro, fotografía a la derecha, es del siguiente tipo: Se reparten 100 panes entre siete personas de modo que tres de ellas reciben el doble de ra-ción que las demás.

Responde lo siguiente:

• Si 4 personas reciben una ración y tres personas reciben 2 raciones, ¿en cuántas raciones debes dividir los 100 panes?

• ¿Cuántos panes debe recibir cada persona a la que le toca ración sencilla?

• ¿Cuántos panes obtiene cada uno de los que reciben ración doble?

• ¿Cuántos panes se obtiene al sumar los panes que reciben las 7 personas?

En la clase de Claudia, la maestra planteó el siguiente problema acerca de tres hermanos:

“Miguel tenía 5 barras de chocolate y José otras 3. Adrián, el menor de los hermanos, no traía chocolates. Se repartieron las 8 barras entre los tres, de manera que todos comieran la misma cantidad de chocolate. Adrián, agrade-cido, entregó a sus hermanos los 8 pesos que tenía para que se los repartieran. ¿Cuánto dinero debe tomar Miguel y cuánto José para que la distribución del dinero sea equitativa?”

Lo primero que Claudia pensó es que Miguel debía quedarse con 5 pesos y José con 3.

Analiza la respuesta de Claudia. ¿Es equitativa esta distribución del dinero? Justifica tu respuesta.

¿Crees que sería más equitativo dividir el dinero entre los tres hermanos? ¿Por qué?

¿Qué fracción de las 8 barras de chocolates se comió cada uno?

¿Cuántos tercios hay en las 5 barras que traía Miguel? ¿Cuántos de esos tercios se comió Miguel? ¿Cuántos tercios le dio Miguel a su hermano Adrián?

¿Cuántos tercios hay en las 3 barras de chocolate que traía José? ¿Cuántos de esos tercios se comió José? ¿Cuántos tercios le dio José a su hermano Adrián?

Si el dinero que le toca a cada uno de los hermanos mayores es proporcional a la cantidad de chocolate que le dieron a Adrián, ¿cómo lo repartirías?

¿Qué piensas ahora? ¿Es equitativa la distribución propuesta por Claudia?

¿Por qué?

Actividad colectiva

Actividad colectiva


76 Bloque 1

Se encontró un escrito antiguo con un problema matemático. Como la hoja está rota, no se alcanza a distinguir el enunciado completo, pero se ve bien la respuesta.

Un terreno en forma de triángulo rectángulo se reparteproporcionalmente entre 4 hijos de manera que¿Cuánto le corresponde a cada uno de los hijos?Solución: Se sabe que las edades de los hijos son 5, 15,25 y 35 años. En la siguiente figura se muestra la superficie de tierra quele corresponde a cada uno de los hijos:

La base del triángulo se ha dividido en 4 segmentos iguales. En cada cuarto se ha trazado una recta perpendicular a la base. La región 4 le corresponde al hijo mayor, la región 3 al segundo hijo, la región 2 al tercero y la región 1 al menor de los hijos. Así, se cumplen las condiciones del reparto proporcional deseado.

Analiza la ilustración con tus compañeros de equipo. Dibuja una figura similar a la anterior en tu cuaderno. No importan las di-mensiones que uses en tu dibujo, pero ten cuidado de dividir la base en 4 par-tes iguales.

Busca alguna relación entre el área de la región que le corresponde al hijo menor y el área que le corresponde al hijo que sigue. Haz lo mismo para las otras regiones.

¿Cuál fue el criterio que se usó para repartir el terreno?Discute con el grupo los procedimientos empleados por los equipos para re-solver el problema y las soluciones que se obtuvieron.

Aplicación

El reparto proporcional tiene muchas aplicaciones en distintos contextos. Por ejemplo, es usual que en las cooperativas se recurra a esta forma de reparto.

Las cooperativas son negocios emprendidos por un conjunto de personas a las que se les llama cooperativistas. Para iniciar el negocio, cada cooperativista aporta cierta cantidad de recursos en dinero o en bienes materiales. El reparto de las ganancias que se obtienen en ese negocio se realiza proporcionalmente a la cantidad de recursos aportados por cada cooperativista.

43

21




>PARA TERMINAR1. Se desea repartir un terreno de 540 m2 entre dos personas, de modo que

una de ellas reciba el triple de área que la otra. ¿Cuántos metros cuadra-dos recibe cada una?

2. En una obra, Gabriel trabajó media jornada y Rodrigo la cuarta parte de la jornada. Juntos recibieron $240. Si se reparten el dinero en forma pro-porcional al trabajo realizado, ¿cuánto dinero recibió cada uno?

3. Una herencia de $540 000 debe repartirse entre tres familias, de acuerdo con el número de sus integrantes. Las familias tienen tres, dos y cuatro integrantes cada una. ¿Cuánto dinero le toca a cada familia?

4. Cuatro cuadrillas de trabajadores recogieron 120 costales de naranjas. Si se reparten la cosecha en forma proporcional y las cuadrillas tienen 12, 8, 6 y 4 personas, ¿cuántos costales recibe cada cuadrilla?

5. El problema 62 es el único del papiro de Rhind en el que se mencionan las medidas de peso egipcias: los deben. Una bolsa contiene el mismo peso de oro, plata y plomo. El valor total es de 84 shaty. Se sabe que un deben de oro vale 12 shaty, un deben de plata vale 6 shaty y un deben de plomo vale 3 shaty. Se pide calcular el valor de la cantidad de cada metal en la bolsa. Para resolver este problema, contesta lo siguiente:

a) ¿Cuánto cuesta el total de oro, plata y plomo en la bolsa?b) ¿Cuánto cuestan juntos 1 deben de oro, 1 deben de plata y 1 deben de

plomo?c) ¿Cuál es el peso de cada metal en la bolsa?d) ¿Cuál es el valor del oro en la bolsa?e) ¿Cuál es el valor de la plata en la bolsa?f) ¿Cuál es el valor del plomo en la bolsa?

Torito

(Problema 63 del papiro.) Reparte 700 hogazas de pan entre cuatro hombres en partes propor-

cionales a 32 ,

21 ,

31 y

41 .


78 Bloque 1


1. Las operaciones básicas con números naturales y cómo descubrir patrones.


• Distintas formas de contar empleando diversos recursos, como tablas y diagra-mas, y la identificación de patrones.


79Lección 7 > Cuenta cuántos

>1º7> Cuenta cuántos

Escribe con tu equipo cada uno de los números 1, 3, 4 y 6 en un papelito. Dobla los papeles y mételos en una bolsa. Después de revolverlos bien, selec-ciona un papel y anota su número. Regresa el papel, agita la bolsa y vuelve a seleccionar un papel. Anota el segundo número que obtuviste. Regresa el pa-pel, selecciona otro más y anota su número. Suma los tres números obtenidos ¿Cuántas sumas diferentes te pueden salir?

Discute con tu equipo el problema. Puedes empezar realizando el experimento de seleccionar tres papeles en la forma indicada. ¿Qué resultado obtuviste?

Repite el procedimiento. ¿Qué resultado salió?

Antes de repetir el procedimiento por tercera vez, ¿puedes adivinar qué resul-tado obtendrás? Explica por qué. Sin seguir realizando el experimento, ¿pue-des determinar cuáles son todas las sumas que te pueden salir? ¿Cómo lo harías?

Hay muchas formas en que puedes contar en forma ordenada las distintas su-mas. Una de ellas es usando una tabla como la siguiente:

Números

1 1 1 1 . . .

1 1 1 1 . . .

1 3 4 6 . . .

Suma 3 5 . . .

En tu cuaderno dibuja una tabla como la anterior y complétala. Asegúrate de escribir todas las posibles ternas de números.

¿Cuántos grupos de 3 números formaste? ¿Todas las sumas son diferentes? Entonces, ¿cuántas sumas distintas obtuviste?

En una bolsa hay 5 papeles doblados que tienen escritos los números 1, 2, 5, 6 y 8. Después de agitar la bolsa, selecciona uno de los papelitos y, sin regresar-lo, selecciona otro. Sin retornar los papelitos anteriores, extrae otro. Desdobla los tres papelitos y suma sus números. ¿Qué suma obtuviste?

Repite el procedimiento descrito. ¿Qué suma obtuviste? En este caso, ¿puedes obtener dos números iguales? ¿Por qué? En una tabla escribe todas las ternas que se pueden obtener y realiza la suma en cada caso.

Cuenta cuántas sumas distintas puedes obtener.

Actividad colectiva



80 Bloque 1

>2º Arturo está pensando cómo vestirse para ir a una fiesta. Primero seleccio-

nó tres camisas, dos pantalones y dos pares de zapatos que le gustan. Ahora debe decidir cuál de los arreglos que puede formar con esas prendas de vestir se pondrá para la fiesta.

¿Cuántos arreglos distintos tiene Arturo para elegir su vestuario?Para verificar si tu respuesta anterior es correcta, completa con tu equipo el si-guiente diagrama de árbol.

Analiza el número de caminos que hay desde una camisa hasta un par de za-patos, ¿obtienes el mismo resultado que te había salido antes?

Si Arturo aumentara sólo una camisa, ¿cuántos arreglos tendría para escoger? Entonces, ¿cuántos arreglos adicionales obtuvo por agregar una camisa?

Completa la siguiente tabla. Puedes verificar el resultado construyendo en cada caso un árbol como el que hiciste antes.

3 camisas2 pantalones2 pares dezapatos




Cantidad dearreglosposibles

Propón una regla para determinar el número de arreglos que se pueden formar si sabes cuántas prendas de cada tipo hay.

Encuentra el número de arreglos que tiene Arturo para elegir su vestuario si puede elegir entre 6 camisas, 4 pantalones y 3 pares de zapatos.

Si Arturo escogiera entre n camisas, m pantalones y k pares de zapatos, ¿cuán-tos arreglos distintos podría formar?

Actividad colectiva



>3º Se desea conectar los puntos P y Q por trayec-

torias descendentes en la siguiente figura. ¿Cuántos caminos distintos hay?

A veces es conveniente empezar por problemas simples para ir descubriendo un procedimiento de conteo. Por ejemplo, en la figura de la dere-cha, ¿cuántas trayectorias hay de P a Q?

Cuenta el número de trayectorias de P a Q en la siguiente figura.

Para verificar tu resultado, coloca en cada vértice el número de trayectorias que pueden llegar a él desde los vértices superiores.Completa los números que faltan en la siguiente figura.

Analiza esta forma de contar. ¿En qué lugar de la figura aparece el número to-tal de trayectorias? Explica por qué. El número de trayectorias que se obtiene de esta manera, ¿es igual al que habías encontrado antes? Sigue el mismo pro-cedimiento para contar cuántas trayectorias existen en la siguiente figura:

Ahora, con el procedimiento mostrado antes, encuentra el número de trayec-torias que unen a P con Q en la figura inicial.


P

Q

P

Q

P

Q

2– –

P

Q

11 1

1

2

P

Q

1 11 1

1 13

––

––

––

–


82 Bloque 1

Estas figuras se llaman pentominós porque están formadas por cinco cuadra-dos iguales:

1 2 3 4 5 6

Aquí hemos dibujado 6 pentominós. Dibuja en tu cuaderno todos los que fal-tan. ¿Cuántos encontraste?

Compara tus figuras con las que obtuvieron los demás equipos del grupo. Si te faltaron algunos, agrégalos. Si repetiste alguno, elimínalo. ¿Cuántos pen-tominós hay?

A cada figura ponle un número como hicimos arriba. Si cada cuadrado tie-ne un centímetro de lado, calcula el perímetro de cada pentominó y cuenta el número de lados donde uniste los cuadrados. Con esa información llena la tabla siguiente.

Pentominó Perímetro (cm) Lados de unión

1 12 4

2

.

.

.

.

.

.

.

.

.

¿Hay alguna relación entre la segunda y la tercera columnas? Explica.

Aplicación

Para organizar torneos donde los participantes juegan varios partidos unos contra otros, se usan técnicas de conteo. Un ejemplo de ello es la organización del Mundial de Futbol. Los 32 países participantes forman 8 grupos de 4 equipos cada uno. En cada grupo, los equipos juegan 3 partidos, uno contra cada uno de los otros integrantes del grupo. Si, por ejemplo, el grupo A está formado por los equipos E1, E2, E3 y E4, los partidos son E1-E2, E1-E3, E1-E4, E2-E3, E2-E4, E3-E4. Así, en esta fase se juegan 8 × 6 = 48 partidos. A los octavos de final, pasan 16 equipos, los dos que obtengan mejor puntuación en cada grupo.

Para las quinielas, se debe determinar de cuántas formas pueden ser seleccionados esos 16 equipos. En cada grupo se pueden formar 6 parejas distintas. Por cada pareja del grupo A, hay 6 parejas distintas del grupo B, es decir 62 opciones de dos equipos de cada grupo. Por cada una de estas selecciones, hay 6 parejas posibles del grupo C, es decir 63 opciones, y así sucesivamente. De manera que los equipos que pasan a octavos de final, son un arreglo de los 68 arreglos posibles.

Actividad colectiva



>PARA TERMINAR1. Para formar el comité organizador de la fiesta de fin de cursos, se eligen

tres estudiantes entre Laura, Sara, Toño, Karla, Paco y Hugo. a) ¿Cuántos comités distintos se pueden formar?b) ¿Cuántos de esos comités incluyen sólo a una mujer?c) ¿Cuántos no incluyen hombres?

2. ¿Cuántos múltiplos de 3 hay entre 10 y 226?

3. Beto, Óscar, Luis y Fernando acuerdan encontrarse en las canchas al ter-minar las clases. Cada uno de ellos llega por su lado. a) Determina todos los ordenamientos posibles en que pudieron haber

llegado.b) Si Fernando fue el primero en llegar, encuentra todos los ordena-

mientos posibles en que pudieron haber llegado los otros tres.

4. Amanda, Marcela y Julieta se reparten 10 balones. A cada una le toca por lo menos uno, ¿de cuántas maneras distintas pueden hacerlo?

5. En la carta de un restaurante, se lee lo siguiente:a) Si en cada caso se elige una de las opciones, ¿cuántos menús diferen-

tes se pueden formar?b) Si se agrega el siguiente renglón

Café o téc) ¿Cuántos menús más se podrán formar?

6. Construye un diagrama de árbol para determinar cuántos números de dos cifras puedes formar con los números 1 y 2.

Construye un diagrama de árbol para determinar cuántos números de dos cifras puedes formar con los números 1, 2 y 3.

Construye un diagrama de árbol para determinar cuántos números de tres cifras puedes formar con los números 1, 2 y 3.

Sin hacer el diagrama, explica cuántos números de tres cifras se pueden formar con los números 1, 2, 3, 4 y 5.

Discute con tus compañeros del grupo cómo obtuvo cada quién la res-puesta anterior.

Torito

¿Cuántos cuadrados distintos se pueden dibujar con sus vértices en los puntos de la malla de la derecha?

No todos deben tener sus lados paralelos a los lados de la malla.

COMIDA CORRIDA

Sopa de fideo o sopa de papaArroz o espagueti

Carne asada o pechuga depollo o filete de pescado

Nieve de limón o una manzanaAgua de sabor o refresco


84 Bloque 1

MatemáTICas

> Abre una hoja de cálculo como la siguiente y en la primera columna, después del título Números natu-rales, escribe los primeros 25 naturales (pregunta a tu maestro cómo hacer para no teclearlos todos).

> Construye los números triangulares en la segunda co-lumna. Para ello basta que recuerdes cómo se cons-truían (el primer número triangular es 1): ¿Qué le debes sumar a 1 para obtener el segundo número triangular? ¿Qué le debes sumar al segundo número triangular para obtener el tercero? (si no sabes cómo sumar cel-das en la hoja de cálculo, pregunta a tu maestro).

> En la tercera columna, a la misma altura que el 1 an-terior, vuelve a teclear el 1. Ahora suma el primer y el segundo números triangulares y coloca la suma deba-jo del último 1 que tecleaste (en la tercera columna). ¿Qué número obtuviste?

> Ahora suma los triangulares dos y tres, ¿ qué número obtuviste? Continúa sumando dos triangulares consecu-tivos y coloca el resultado, en orden, en la tercera co-lumna. ¿Qué números aparecen en la tercera columna?

> En efecto, los números cuadrados se pueden obte-ner sumando dos triangulares consecutivos, como se muestra en la siguiente figura:

> Los siguientes son los llamados números pentagonales:


85MatemáTICas

MatemáTICas

> ¿Cuántos puntos tiene el primer número pentagonal? ¿Cuántos puntos tiene el segundo? ¿Cuántos puntos tiene el tercer pentagonal?

> Observa el siguiente agrupamiento de los números pentagonales. Hemos “descompuesto” los números pentagonales como una “suma” de números triangu-lares y otros puntos:

> ¿Encuentras alguna relación entre los números pentago-nales y los números triangulares? ¿Cuál es esa relación?

> Usando esa regla construye los números pentagonales en la cuarta columna de tu hoja de cálculo (pregunta a tu maestro cómo se hace para multiplicar el resultado de una celda por un número).


86 Bloque 1

>PUNTO DE ENCUENTRO> Observa la siguiente foto de una bicicleta de montaña.

Junto a la llanta de atrás, la bicicleta tiene seis engranes y junto a los pedales tiene otros tres.

En algunos modelos, los engranes del pedal tienen 56, 48 y 40 dientes y los de la llanta trasera tienen 28, 24, 22, 20, 18 y 14 dientes.

La cadena de la bicicleta une un engrane del pedal con uno de la llanta de atrás y se puede cambiar la posición de la ca-dena para escoger cualquiera de los tres engranes delanteros y cualquiera de los seis traseros.


87Punto de encuentro

>PUNTO DE ENCUENTRO1. ¿De cuántas formas se pueden combinar los engra-

nes? Enlista todas las parejas posibles.

Cuando se hacen girar los pedales, los dos engranes avanzan el mismo número de dientes. Las distintas combinaciones de engranes producen que la llanta trasera gire más o menos veces por cada vuelta del pedal.

2. Si el engrane delantero es de 56 dientes y el trasero es de 14 dientes,

a) ¿cuántas vueltas da la llanta cuando los pedales dan una vuelta?

b) ¿cuántas vueltas da la llanta cuando los pedales dan dos vueltas?


Combinación de engranes 56-14

Vueltas de los pedales Vueltas de la rueda trasera

1

2

3

c) ¿Cómo es la relación entre las vueltas de los pedales y las vueltas de la rueda? Explica por qué.

d) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?

e) Completa la siguiente tabla.



8

40

12

56

20

3. Si se cambia el engrane trasero por el de 20 dientes,

a) ¿Aproximadamente cuántas vueltas da la llanta trasera por cada vuelta de los pedales?

b) Escribe la fracción de vueltas que gira la llanta trasera por cada vuelta de los pedales; es decir, la fracción que indica qué parte del engrane gran-de son los 20 dientes del engrane chico.

c) Simplifica la fracción anterior; es decir, encuen-tra la fracción equivalente a la anterior formada por los enteros más chicos posibles.

d) Usando una tabla como la siguiente, descubre cuántas vueltas tienen que dar los pedales para que, por primera vez, el número de vueltas de la llanta trasera sea un entero:



1

2

3

e) Explica la relación entre la fracción simplificada que encontraste en el inciso (c) y el resultado de la tabla anterior.

4. Analiza el efecto de cada una de las combinaciones de engranes. Para ello te será útil construir una tabla como la siguiente en tu cuaderno:

Combinación de engranes Vueltas de la rueda poruna vuelta de los pedales

40-14

40-18

40-22

¿Con cuál combinación de engranes la rueda trasera gira más veces por cada vuelta de los pedales?


88 Bloque 1

>UNA NUEVA ACTITUD

La Constitución Política de los Estados Unidos Mexicanos otorga a los Partidos Políticos con registro ante el Instituto Federal Electoral (IFE), el derecho a recibir financia-miento público para el sostenimiento de sus actividades cotidianas; es decir, para los gastos de campaña, activida-des de educación y capacitación política, investigación o tareas editoriales. Este derecho está consagrado en la frac-ción II del Artículo 41 (Título Segundo, Capítulo I. De la Soberanía Nacional y de la Forma de Gobierno).

La reglamentación de la forma en que cada partido político ha de recibir estos recursos está plasmada en el numeral 7 del Artículo 49 del Código Federal de Institu-ciones y Procesos Electorales (Cofipe).

Para determinar el monto anual destinado a las activi-dades de los partidos, el Consejo General del IFE cal-cula los costos mínimos para las campañas de diputados y senadores y para la campaña presidencial y la suma de estos montos es lo que se dividirá entre los partidos.

El 30% de este monto se entrega por partes iguales a cada uno de los partidos que tienen representantes en las cámaras de diputados y senadores.

El 70% restante se distribuye de manera proporcional a la cantidad de votos que obtuvo cada partido en la elec-ción inmediata anterior. Es decir, lo que le corresponda a cada partido de este 70%, dependerá del número de votos que cada uno haya obtenido.

En enero de 2 005, el Instituto Federal Electoral (IFE) determinó que el monto anual para financiamiento a los partidos políticos con representación en las Cáma-ras del Congreso de la Unión sería de $1 953 655 351.92 (un mil novecientos cincuenta y tres millones seiscientos cincuenta y cinco mil trescientos cincuenta y un pesos 92/100 m.n.)

Este monto se repartió en dos tantos: el 30% se distribuyó equitativamente entre los partidos y el 70% se distribuyó proporcionalmente.

Así, el monto que se distribuyó equitativamente fue:

1 953 655 351.92 × 0.30 = 586 096 605.58

que corresponde al 30% del monto total.

Si en 2 005 había 7 partidos políticos con representación en las cámaras, ello significa que cada uno recibió ini-cialmente la cantidad de:

586 096 605.58 ÷ 7 = $83 728 086.51Mesa directiva de una casilla electoral

Ciudadanos votando en una casilla electoral


89Una nueva actitud

>UNA NUEVA ACTITUD

El 70% restante, es decir $1 367 558 746.34 (un mil tres-cientos sesenta y siete millones quinientos cincuenta y ocho mil setecientos cuarenta y seis pesos 34/100 m.n.) se repartió proporcionalmente al porcentaje obtenido por cada partido en la elección del año 2 003.

Según los datos del IFE, los resultados de la votación para diputados federales en el año 2 003 fue la siguiente:

A B C D E F G Otros partidos

7 842 862 5 900 404 4 520 598 614 851 1 016 335 581 683 3 434 440 731 050

y además hubo un total de 957 410 votos anulados.

Como el porcentaje de votación de algunos partidos no alcanzó el 2% de la votación nacional (representados en la tabla como “Otros partidos”), a éstos no les corres-ponde representación en el Congreso de la Unión, de modo que la votación que se considera para realizar la distribución del presupuesto es únicamente la suma de los votos alcanzados por los partidos A, B, C, D, E, F y G; es decir, 23 811 173 votos.

Con estos datos, los porcentajes de votos de los 7 partidos representados en el Congreso de la Unión es el siguiente:

Partidos A B C D E F G

% 32.93 24.77 18.98 2.16 4.26 2.44 14.42

Así pues, al partido A le corresponde el 32.93% de $1 367 558 746.34; es decir: $450 442 929.65; al partido B le corresponden $338 880 789.16; al partido C le corres-ponden $259 633 716.22; al partido D, $29 569 689.33; al partido E, $58 371 665.20; al partido F, $33 408 084.27 y al partido G le corresponden $197 251 872.50.

De este modo, hay que sumar la parte proporcional del presupuesto para cada partido con la asignación inicial fija de $586 096 605.58 para conocer cuál es el presu-puesto asignado para el año de 2 005.

Lee cuidadosamente y discute con los compañeros de tu

equipo el texto aquí presentado. Escriban sus comenta-rios.

Investiguen a cuánto asciende el salario mínimo diario en el lugar donde viven y calculen cuántos salarios míni-mos le tocaron a los distintos partidos en 2005.

Salón de sesiones del Congreso de la Unión, Ciudad de México.

Escaño en el Congreso de la Unión, Ciudad de México.


11

Secundaria 1 Matemáticas11Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,


Mat

emát

icas

DISTRIBUCIÓN GRATUITAPROHIBIDA SU VENTA

Matematicas 1 Santillana integra1 1Matematicas 1 Santillana integra1 1 5/16/08 8:09:46 PM5/16/08 8:09:46 PM

Documents

Santillana 1.pdf