SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA

V NITRE

TECHNICKÁ FAKULTA1130427

PRIAMKOVÉ PLOCHY A ICH POUŽITIE V TECHNICKEJ

PRAXI

2011 Maroš Mackovčák

SLOVENSKÁ POĽNOHOSPODÁRSKA UNIVERZITA

V NITRE

TECHNICKÁ FAKULTA

PRIAMKOVÉ PLOCHY A ICH POUŽITIE V TECHNICKEJ

PRAXI

Bakalárska práca

Študijný program: Prevádzková bezpečnosť techniky

Študijný odbor: 2386700 Kvalita produkcie

Školiace pracovisko: Katedra stavieb

Školiteľ: Ing. Dušan Páleš, CSc.

Nitra 2011 Maroš Mackovčák

Čestné vyhlásenie

Podpísaný Maroš Mackovčák vyhlasujem, že som záverečnú prácu na tému „Priamkové

plochy a ich použitie v technickej praxi“ vypracoval samostatne s použitím uvedenej

literatúry.

Som si vedomý zákonných dôsledkov v prípade, ak uvedené údaje nie sú pravdivé.

V Nitre 15. apríla 2011

Maroš Mackovčák

Poďakovanie

Ďakujem vedúcemu bakalárskej práce Ing. Dušanovi Pálešovi, CSc. za poskytnuté

odborné rady a usmernenie pri vypracovaní bakalárskej práce.

Abstrakt

MACKOVČÁK, Maroš: Priamkové plochy a ich použitie v technickej praxi [Bakalárska

práca] / Maroš Mackovčák. – Slovenská poľnohospodárska univerzita v Nitre. Technická

fakulta; Katedra stavieb. – Školiteľ: Ing. Dušan Páleš, CSc. Nitra: TF SPU, 2011.

Bakalárska práca sa zaoberá teóriou priamkových plôch a ich použitím v technickej praxi.

V práci sumarizujeme diela na ktoré je potrebné sa zamerať a uvádzame vlastné

modelovanie.

Kľúčové slová: priamkové plochy, deskriptívna geometria, stavebná prax

Abstract

MACKOVČÁK, Maroš: Ruled surfaces in technical practice [Thesis] / Maroš Mackovčák

– Slovak University of Agriculture in Nitra, Faculty of Engineering, Department of

Structures – Supervisor: Ing. Dušan Páleš, CSc. Nitra: TF SPU, 2011.

The thesis deals with the theory of ruled surfaces and their use in engineering practice. The

thesis summarizes the work that we needs to focus on and also presents its own modeling.

Key words: ruled surfaces, descriptive geometry, constructioun practice

Obsah

Obsah......................................................................................................................................3Zoznam ilustrácií....................................................................................................................3Úvod.......................................................................................................................................31 Súčasný stav problematiky priamkových plôch v domácej a zahraničnej literatúre......3

1.1 Rozvinuteľné priamkové plochy.............................................................................31.1.1 Valcová plocha.................................................................................................31.1.2 Kužeľová plocha..............................................................................................31.1.3 Plocha dotyčníc priestorovej krivky.................................................................31.1.4 Prechodové plochy...........................................................................................3

1.2 Nerozvinuteľné priamkové plochy..........................................................................31.2.1 Cylindroidy......................................................................................................31.2.2 Konoidy............................................................................................................31.2.3 Konusoidy........................................................................................................3

2 Cieľ práce.......................................................................................................................33 Metodika práce a metódy skúmania...............................................................................34 Modelovanie vybranej priamkovej plochy.....................................................................3

4.1 Jednoduché modelovanie hyperbolického paraboloidu...........................................3Záver......................................................................................................................................3Zoznam použitej literatúry.....................................................................................................3

...........................................................................................................................................................................................................................

Zoznam ilustrácií

Obr. 1 Rozvinutie priamkovej plochy....................................................................................3Obr. 2 Prechodová plocha medzi dvoma potrubiami.............................................................3Obr. 3 Prechodová plocha medzi kvádrom a štvorcom.........................................................3Obr. 4 Frézierov cylindroid – model......................................................................................3Obr. 5 Plückerov konoid........................................................................................................3Obr. 6 Olympijský štadión v Mníchove.................................................................................3Obr. 7 Montepellierský oblúk................................................................................................3Obr. 8 Vež Štramberského hrad.............................................................................................3Obr. 9 Negrelliho viadukt, Praha, Česká republika...............................................................3Obr. 10 Hyperbolický paraboloid (a=1, b=0,5)......................................................................3Obr. 11 Hyperbolický paraboloid (a=1, b=1).........................................................................3Obr. 12 Hyperbolický paraboloid (a=1, b=2).........................................................................3Obr. 13 Hayperbolický paraboloid (a=0,5; b=1)....................................................................3Obr. 14 Hyperbolický paraboloid (a=2, b=1).........................................................................3

...........................................................................................................................................................................................................................

7

...........................................................................................................................................................................................................................

Úvod

Úlohou tejto práce je zhrnúť poznatky o priamkových plochách a ich využití

v technickej praxi.

Touto témou sa autori zaoberali už dlhšie obdobie, a rozvíjajú ju aj v súčasnosti.

Cieľom práce je poukázať na možnosti a výhody použitia priamkových plôch, zdôrazniť

ekonomické a estetické výhody ich využitia.

V práci sú uvedené teoretické východiská a aj konkrétne aplikácie v súčasnej

technickej praxi.

Východiskom pre túto problematiku sú diela najmä Medeka, Zámožíka, Urbana

a iných, ktorí sa venovali téme nielen teoreticky, ale navrhli aj praktické aplikácie.

Táto práca nemá za úlohu podať výpočet všetkých problémov týkajúcich sa

priamkových plôch. Navrhuje však možné cesty po ktorých sa môže vydať riešiteľ tejto

problematiky.

...........................................................................................................................................................................................................................

8

...........................................................................................................................................................................................................................

1 Súčasný stav problematiky priamkových plôch v domácej a zahraničnej

literatúre

V dôsledku rozvoja stavebných odvetviach, ktoré riešia stavby s rozsiahlym

stavebným pôdorysom a nárokov na estetické, ekonomické požiadavky sa začali aplikovať

poznatky o priamkových plochách. K ich využívaniu prispel rozvoj počítačových

technológií, ktoré zjednodušili modelovanie priamkových plôch a umožnili ich rýchlejšiu

aplikáciu do technickej praxe.

Macková a Zaťková (1985) uvádzajú ich hlavné využitie pri zastrešovaní objektov

s rozsiahlym pôdorysom ako športové haly, výstaviska a pod. vďaka jednoduchosti

vytvárania, rozmanitosti a širokých možností použitia.

Medek a Zámožík (1978) definujú priamkovú plochu ako plochu s vlastnosťou, že

jej každým bodom prechádza aspoň jedna priamka, ktorá leží celá na ploche. Ak je daná

určujúca čiara k rovnicou r=r(u). Každým bodom nejakého oblúka čiary k veďme tvoriacu

priamku s vektorom a=a(u). Nech funkcia a=a(u) je spojitá a má podľa potreby derivácie

do rádu aspoň 3. Potom množina všetkých priamok s vektorovou rovnicou

r(u,v) = r(u) + va(u) (1)kde v ϵ(-∞,∞) a u prebieha nejaký interval

Podľa Urbana (1984) je priamková plocha prienikom troch priamkových

komplexov, pretože dva rôzne komplexy určujú kongruenciu, je možné priamkovú plochu

zostrojiť ako prienik kongruencie a komplexu.

Maťková a Zaťková (1985) definujú priamkovú plochu takto:

Nech {t} je sústava priamok, ku ktorej existuje aspoň jedna krivka k, pretínajúca priamku

sústavy {t} v jednom a len jednom bode (pritom k - násobný bod považujeme za k bodov).

Potom množinu všetkých bodov ležiacich na priamkach sústavy {t} nazývame

priamkotvornou plochou. Priamky patriace sústave {t} nazývame jej tvoriacimi priamkami

...........................................................................................................................................................................................................................

9

...........................................................................................................................................................................................................................

a každú krivku k pretínajúcu každú tvoriacu priamku v jedinom bode určujúcou krivkou

plochy.

Základné delenie priamkových plôch je zvyčajne v literatúre na priamkové plochy

rozvinuteľné a nerozvinuteľné.

1.1 Rozvinuteľné priamkové plochy

Maťková a Zaťková (1985) definujú ako rozvinuteľné priamkové plochy takto:

Ak si na priamkovej ploche zvolíme ľubovoľnú priamku p, môžu nastať dva prípady. Buď

dotykové roviny plochy vo všetkých bodoch tejto priamky splývajú, alebo na tejto priamke

existujú aspoň dva body, v ktorých sú dotykové roviny rôzne. Priamky s prvou vlastnosťou

sa nazývajú torzálne priamky plochy, čiže torzálnou priamkou plochy je každá jej priamka,

pozdĺž ktorej má plocha jedinú dotykovú rovinu. Rozvinuteľné priamkové plochy sú také

ktoré sa dajú rozvinúť do roviny bez deformácie. Priamková plocha je rozvinuteľná práve

vtedy, keď jej všetky priamky sú torzálne. Singulárny bod na torzálnej priamke nazývame

kuspidálnym bodom.

Dotyková rovina τ v bode T na tvoriacej priamke p priamkovej plochy ɸ je

jednoznačne určená priamkou p a takou dotyčnicou t v bode T k ľubovoľnej krivke

k ležiacej na ploche ɸ a prechádzajúcej bodom T, že t ≠ p.

Pozdĺž tvoriacej priamky p priamkovej plochy existuje buď nekonečne mnoho

dotykových rovín 1τ ≠ 2τ ≠ 3τ ≠..., ktoré tvoria zväzok rovín s osou p, alebo jediná dotyková

rovina τ = 1τ = 2τ =...

Tvoriacu rovinu, pozdĺž ktorej existuje nekonečne mnoho dotykových rovín plochy

nazývame regulárnou priamkou (Oravec, 1987).

Medek, Zámožík (1978) uvádzajú nutnú a postačujúcu podmienku, aby priamková

plocha daná rovnicou (1) bola rozvinuteľnou. Musí platiť:

[ru(u), au(u), a(u)] = 0 (2)

...........................................................................................................................................................................................................................

10

...........................................................................................................................................................................................................................

Z rovnice (2) vyplýva, že pre každé u má mať plocha jedinú dotykovú rovinu,

ktorej plocha nezávisí od parametra v, čiže vektory ru(u) × a(u) a au(u) × a(u) musia byť

lineárne závislé, teda kolmé na ten istý vektor.

Rozvinutie (komplanácia) je transformácia časti plochy ɸ do roviny. Dĺžka oblúka

plochy pred rozvinutím sa rovná dĺžke odpovedajúceho oblúka plochy po rozvinutí. Napr.

│AB│ = │ArBr│, │C ͡D│ = │C ͡rDr│. Uhol dvoch čiar na plochách pred rozvinutím sa rovná

uhlu týchto čiar po rozvinutí. Napr. α = (AB, C ͡D) = (ArBr, C ͡rDr) = αr. Pri rozvinutí plôch

sa teda nemenia dĺžky a uhly (Oravec, 1987).

Obr. 1 Rozvinutie priamkovej plochy

Zdroj: Oravec, 1987

Medzi rozvinuteľné priamkové plochy patrí: valcová plocha, kužeľová plocha, plocha

dotyčníc priestorovej krivky.

1.1.1 Valcová plocha

...........................................................................................................................................................................................................................

11

...........................................................................................................................................................................................................................

Z definície Maříka a Ryšánovej (1973) vyplýva, že valcová plocha vzniká rotáciou

priamky p okolo osy o, ktorá je s priamkou rovnobežná. Nevlastný bod rovnobežiek o a p

môžeme pokladať za nevlastný vrchol valcovej plochy.

Pokiaľ chceme rozvinúť valcovú plochu ϗ, používame vždy normálny rez n (rez

rovinou ρ kolmou k priamkam) . Priamky a || b ||... sa rozvinú do rovnobežiek ar || br ||...

a pretože priamky sú kolmé k dotyčniciam rezu n, rozvinie sa podľa vlastnosti, že uhol

dvoch kriviek plochy je rovnaký ako uhol kriviek transformovaných rozvinutím do

kolmice nr k priamkam ar, br,... (Drs, 1987).

1.1.1.1 Rez valcovej plochy

Na nájdenie rovinného rezu valcovej plochy je najvýhodnejšie použiť túto vlastnosť

tejto plochy: Nech α je rovina určujúcej čiary k valcovej plochy ϕ, nech ϙ je rovina rezu,

ktorá nie je rovnobežná s tvoriacimi priamkami plochy ϕ a nech k´ je čiara rezu roviny ϙ s plochou ϕ. Nech ani jedna z rovín α, ϙ sa nepremieta do priamky a nech r =ϙ ∩ α.

Potom pre rovnobežné premietanie je priemet k1´ čiary k´ obrazom priemetu k1 čiary k

v perspektívnej afinite π → π, pričom osou tejto afinity je priamka r1 a smer je smerom

priemetom tvoriacich priamok plochy ϕ (Medek, 1990).

1.1.2 Kužeľová plocha

Podľa Maříka a Ryšánovej (1973) kužeľová plocha vzniká rotáciou priamky p,

ktorá je rôznobežná s osou rotácie o, nie je však k ose kolmá. Každým obyčajným bodom

kužeľovej plochy prechádza jedna jej priamka. Všetky priamky kužeľovej plochy majú

spoločný bod – vrchol plochy V. Je to singulárny bod kužeľovej plochy.

1.1.2.1 Rez kužeľovej plochy

Vrcholová rovina má s kužeľovou plochou spoločný buď jeden bod (vrchol) alebo

jednu tvoriacu priamku (dotyková rovina) alebo dve rôzne tvoriace priamky.

Rezom kužeľovej plochy rovinou ρ, ktorá nie je vrcholová ani rovnobežná

s rovinou riadiacej kružnice, je kužeľosečka, ktorá odpovedá riadiacej kružnici

...........................................................................................................................................................................................................................

12

...........................................................................................................................................................................................................................

k v kolineácii medzi rovinami α a ρ so stredom vo vrchole V, s osou v priesečnici rovín α,

ρ, úbežnicou v priesečnici rovín α a σ – vrcholová rovina rovnobežná s ρ.

Ak má vrcholová rovina σ s kužeľovou plochou spoločný iba vrchol V, rezom je

elipsa e. Ak má vrcholová rovina σ s kužeľovou plochou spoločnú jednu dotykovú tvoriacu

priamku, rezom je parabola p. Pokiaľ má rovina σ spoločné dve tvoriace priamky, rezom je

hyperbola h. Nech α a α´ nie sú vrcholové roviny kužeľovej plochy. Potom rezy kužeľovej

plochy týmito rovinami sú vo vzťahu osovej kolineácie, pričom os kolineácie je

priesečnica rovín α, α´, stred kolineácie je vrchol plochy a každá tvoriaca priamka sa

s rovinami α, α´ pretína vo dvojiciach odpovedajúcich si bodov v osovej kolineácii

(Višňovský, 1999).

1.1.3 Plocha dotyčníc priestorovej krivky

Plochou, ktorú tvoria dotyčnice priestorovej krivky k, nazývame plochou dotyčníc

(tangent) priestorovej krivky. Plocha ɸ ma dva plášte ɸ´, ɸ´´, ktoré sa stýkajú na krivke k,

rovina α reže plochu v krivke q, ktorá má v priesečníku Q s krivkou k bod vratu. Preto

krivku nazývame hranou vratu plochy ɸ.

Tvoriaca priamka t ϵ ɸ sa dotýka krivky k v bode T. Tangenciálna rovina τ plochy

ɸ pozdĺž priamky t je súčasne oskulačnou rovinou krivky k v bode T. Plocha ɸ je teda

obalená oskulačnými rovinami svojej hrany vratu. (Oravec, 1987)

Pokiaľ chceme rozvinúť časť plochy ϗ dotyčníc priestorovej krivky k ohraničenej

oblúkom AB hrany vratu k, priamkami a, b prechádzajúcimi bodmi A, B na k a oblúkom

CD, C ϵ a, D ϵ b a ďalšej krivky q plochy, plát plochy rozvinieme približne tak, že ho

nahradíme dvoma trojuholníkmi ACD a ADB (ležia v dvoch rovinách) a prenesieme ich do

trojuholníkov ArCrDr ¤ ACD, ArDrBr ¤ ADB. Podobne nahradíme každý ďalší plát dvojicou

trojuholníkov, takže rozvinieme náhradný mnohosten zložený z trojuholníkových stien.

Vrcholy Ar, Br,... určia krivku kr, vrcholy Cr, Dr,...určia krivku qr. Riešenie je dosť prácne

a nepresné, pretože plochu nahrádzame sústavou trojuholníkov, avšak len jedna strana

každého z nich leží na ploche (Drs, 1989).

V technickej praxi sa často používa rozvinuteľná skrutková priamková plocha.

Tvoria ju dotyčnice skrutkovice. Skrutkovica je jej hranou vratu (Oravec, 1987).

...........................................................................................................................................................................................................................

13

...........................................................................................................................................................................................................................

1.1.4 Prechodové plochy

V technickej praxi sa často rieši úloha spojiť otvory dvoch potrubí takou plochou,

aby na spojenie bolo treba čo najmenej zvarov. Pritom otvory môžu byť kruhové,

obdĺžnikové, eliptické a pod. Práve pre takéto prípady slúžia prechodové plochy.

Prechodové plochy sú rozvinuteľné priamkové plochy, ktorých tvoriace priamky

spájajú body určujúcich kriviek k, k´ (jednou z nich môže byť aj vlastný alebo nevlastný

bod). Tvoriace priamky musia byť torzálnymi priamkami plochy. Teda pozdĺž tvoriacej

priamky sa dotýka jediná dotyková rovina τ (Oravec, 1987).

Najčastejším prípadom je zostrojenie prechodu medzi dvomi potrubiami (obr.2).

Určujúce krivky plôch sú buď dve kružnice alebo dve elipsy ležiace v rôznych rovinách.

Majme danú valcovú plochu s osou kolmou k π a valcovú plochu s osou

rovnobežnou s υ, roviny sa pretínajú v priamke r. Zostrojíme časť rozvinuteľnej plochy

ležiacej medzi kružnicami 1k, 2k. Na 1k zvolíme bod 1T, ktorým bude prechádzať dotyčnica 1t kružnice 1k a určíme jej priesečník X s priamkou r. Z bodu X vedieme dotyčnicu 2t

kružnice 2k, s bodom dotyku 2T. Priamka p=1T2T je tvoriacou priamkou prechodovej

plochy ɸ, ďalej budeme uvažovať len úsečku 1T2T. Z bodu X môžeme viesť ešte dotyčnicu 2t´, ktorá určí ďalšiu priamku p´, spojitým pohybom priamok p a p´ vznikajú dva plášte

plochy ɸ, uvažujme len jeden vytvorený priamkou p. Ak je 1t rovnobežná s r, potom aj 2t je

rovnobežná s r, pomocou takejto priamky dostaneme tvoriacu priamku plochy patriacu

druhému obrysu. Pôdorysy tvoriacich priamok patriace prvému obrysu sú spoločné

dotyčnice kriviek 1k1, 2k1.

...........................................................................................................................................................................................................................

14

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 2 Prechodová plocha medzi dvoma potrubiami

Zdroj: http://deskriptiva.webzdarma.cz

Riadiace krivky môžu tiež ležať v rovnobežných rovinách. V tomto prípade sú vždy

priamky 1t a 2t rovnobežné. Zostrojíme prechodovú plochu medzi kvádrom so štvorcovou

podstavou 1k a valcom ohraničeným kružnicou 2k. Kváder a valec majú spoločnú os kolmú

k π. Roviny kriviek 1k a 2k sú rovnobežné, dotyčnice 1t a 2t budú tiež navzájom rovnobežné.

Za dotyčnice štvorca 1k považujeme buď priamky, na ktorých ležia strany štvorca, alebo

priamky prechádzajúce vrcholmi. Je daná 1t = AB, všetky body úsečky AB sú body dotyku

dotyčnice 1t s 1k. Ku 2k existuje dotyčnica v jednom bode Q rovnobežná s 1t. Ploche ɸ teda

patrí trojuholník ABQ. Podobne pre ďalšie strany, ploche patria tiež trojuholníky BCR,

CDM, ADN. ku každej dotyčnici 2t´ oblúka QR kružnice 2k existuje priamka 1t´s ňou

rovnobežná, prechádzajúca vrcholom B štvorca 1k, bod dotyku dotyčnice 1t´ je B. Ploche

tiež patrí časť kužeľa s osou kolmou k π, vrcholom B ohraničeného kratším oblúkom QR ...........................................................................................................................................................................................................................

15

...........................................................................................................................................................................................................................

kružnice 2k. Tak isto aj pre ostatné vrcholy. Tento typ plochy a používa ako prechodová

plocha v násypníkoch (Rozvinutelné plochy, 2010).

Obr. 3 Prechodová plocha medzi kvádrom a štvorcom

Zdroj: http://deskriptiva.webzdarma.cz

1.2 Nerozvinuteľné priamkové plochy

Z definície Maťkovej a Zaťkovej (1985) vyplýva že priamková plocha je

nerozvinuteľná práve vtedy ak obsahuje aspoň jednu priamku ktorá nie je torzálna.

Využitie nerozvinuteľných priamkových plôch je predovšetkým v stavebníctve,

pretože sú konštrukčne jednoduché, majú výborné statické vlastnosti, pôsobia ľahkým

dojmom a je na ich stavbu relatívne malá spotreba materiálu (Zborcené plochy, 2009).

1.2.1 Cylindroidy

...........................................................................................................................................................................................................................

16

...........................................................................................................................................................................................................................

Nech sú dané dve čiary 1k, 2k a rovina 3x. Priamky, ktoré pretínajú obidve čiary 1k, 2k a sú rovnobežné s rovinou 3x, vytvárajú cylindroid (ak sú určujúce prvky 1k, 2k, 3x

vhodne zvolené) (Medek, 1978).

Cylindroid vytvárajú priamky rovnobežné s danou rovinou 3ϗ a súčasne pretínajú

dve dané čiary 1k a 2k. Ak rovina 3ϗ je rovinou yz, sú x - ové súradnice tvoriacej priamky

na obidvoch čiarach rovnaké. Ak čiary 1k a 2k majú rovnice r = 1r(u1), u ϵ (a, b) resp. r= 2r(u2), u2 ϵ (c, d), položíme 2x(u2) = 1x(u1) a odtiaľ pre nejakú časť J intervalu je možné

vyjadriť u2= φ (u), kde u = u1 pre všetky u ϵ J. Potom rovnica priamky 1K2K

(3)

pre všetky u ϵ J je rovnicou cylindroidu (Medek, 1990).

1.2.1.1 Frézierov cylindroid

Zaujímavý tvar má i tzv. Frézierov cylindroid, ktorý vytvoríme nasledovne. Na polovičke

rotačnej valcovej plochy, ktorej os o ϵ π a zároveň je rovnobežná s priemetňou υ

zostrojíme rezy rôznobežnými rovinami λ, γ kolmými na prvú priemetňu π. Získame dva

eliptické rezy 1e, 2e. Vyznačíme niekoľko tvoriacich priamok plochy 11´, 22´, 33´... ako

spojnice odpovedajúcich si bodov elíps 1e, 2e. Ak posunieme jednu z rezových kriviek,

napr. 2e v smere priesečnice rλγ rezových rovín γ, λ do určitej vzdialenosti od priemetne π

a zostrojíme spojnice odpovedajúcich si bodov 11´,22´, 33´... na elipse 1e a posunutej

elipse 2e získame tvoriace priamky Frézierovho cylindroidu.

...........................................................................................................................................................................................................................

17

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 4 Frézierov cylindroid – model

Zdroj: http://www.cuni.cz

1.2.2 Konoidy

Konoidy sú priamkové plochy určené dvoma riadiacimi priamkami z ktorých jedna

je nevlastná.

Ak jedna z určujúcich čiar 1k a 2k cylindroidu je priamka, plochou nazývame

konoidom. Konoid je určený čiarou 1k, priamkou 2k a rovinou 3x. (opäť musíme vhodne

voliť prvky 1k, 2k a 3x, aby vôbec vznikla plocha) (Medek, 1974). Teda konoid je vytvorený

priamkami, ktoré pretínajú určujúcu krivku, určujúcu priamku a sú rovnobežné s určujúcou

rovinou. (Kuniak, 1982).

1.2.2.1 Kruhový konoid

Vzniká, ak roviny rovnobežné s určujúcou rovinou 3x pretínajú čiaru 1k a priamku 2k

v dvoch bodoch ktorými prechádzajú tvoriace priamky plochy (Medek, 1974).

...........................................................................................................................................................................................................................

18

...........................................................................................................................................................................................................................

Kruhový konoid nachádza využitie najmä pri stavbe tvárnych hál, kvôli umožneniu

dostatočného osvetlenia, ďalšie jeho využitie je ako oporná stena vodnej nádrže, skladištia

sypkých hmôt a všade tam kde na steny pôsobia veľké tlaky ktoré sa na konoidoch

rozkladajú (Zborcené plochy, 2009).

1.2.2.2 Parabolický konoid

Prabolický konoid je plocha daná určujúcou parabolou, určujúcou rovinou kolmou

k rovine určujúcej paraboly a určujúcou priamkou kolmou k určujúcej rovine.

Parabolický konoid sa v praxi najčastejšie používa ako strešný článok veľkých hál,

kde vedľa seba radené konoidy obyčajne nekončia riadiacou priamkou, ale sú skracované,

aby sa vyradili z konštrukcie strechy vodorovné hrany, odkiaľ by dažďová voda

neodtekala.

Iné použitie plochy parabolického konoidu predstavuje strešný článok nad

vchodom do verejnej budovy (Palajová, 1997).

1.2.2.3 Plückerov konoid

Je nerozvinuteľná priamková plocha daná elipsou 1e ležiacej na valcovej ploche,

povrchovou priamkou 2p tejto valcovej plochy a určujúcou rovinou kolmou k 2p.

(Rozvinutelne plochy, 2010)

...........................................................................................................................................................................................................................

19

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 5 Plückerov konoid

Zdroj: Oravec, 1987

1.2.2.4 Hyperbolický paraboloid

Hyperbolický paraboloid je konoid na ktorého ploche existujú dve sústavy priamok,

pričom každá priamka jednej sústavy pretína každú priamku druhej sústavy, avšak

ľubovoľné dve priamky jednej sústavy sú mimobežné. (Paraboloid, 2010) To znamená, že

tvoriace priamky sú priečkami dvoch mimobežiek ktoré sú rovnobežné s určujúcou

rovinou. (žiadna s mimobežiek nesmie byť rovnobežná s určujúcou rovinou).

Hyperbolicky´paraboloid je najčastejšie daný priestorovým štvoruholníkom. Majme

hyperbolický paraboloid určený priestorovým štvoruholníkom ABCD. Dve vlastné

určujúce priamky sú a = AD a b = BC. Nevlastnými bodmi priamok c = DC a d = AB je

daná určujúca nevlastná priamka.

Určujúca rovina je teda rovnobežná s priamkami c a d. Ďalšie tvoriace priamky

dostaneme, ak určujúce priamky a a b pretneme rovinami rovnobežnými s určujúcou

rovinou a príslušné priesečníky navzájom pospájame. Ľubovoľná tvoriaca priamka pretína

...........................................................................................................................................................................................................................

20

...........................................................................................................................................................................................................................

určujúce priamky a a b v bodoch, ktoré delia úsečku AD, resp. BC v tom istom pomere.

Tvoriace priamky hyperbolického paraboloidu zostrojujeme tak, že úsečky AB a DC

rozdelíme na rovnaký počet dielov a príslušné body pospájame.

Funkciu priamok a, b a c, d môžeme vymeniť. Teda môžeme priamky c, d

považovať za určujúce a tretia určujúca nevlastná priamka v je daná nevlastnými bodmi

priamok a a b. Priamky a, b sú potom tvoriace priamky. Delením úsečiek AB a CD na ten

istý počet rovnakých dielov a spojením príslušných bodov dostaneme opäť tvoriace

priamky hyperbolického paraboloidu. (Maligda, 1998). Najjednoduchšie môžeme

hyperbolický paraboloid vyjadriť rovnicou:

(4)

Na hyperbolickom paraboloide sú dve sústavy priamok, pričom priamky jednej sústavy sú

navzájom mimobežné. Každá priamka jednej sústavy pretína všetky priamky sústavy

druhej.

Dotyková rovina v bode hyperbolického paraboloidu je určená dvoma priamkami,

ktoré prechádzajú týmto bodom, pričom každá priamka je z inej sústavy. (Kuniak, 1982)

Ako príklad použitia hyperbolického paraboloidu v architektúre možno uviesť

Olympijský štadión v Mníchove v Nemeckej spolkovej republike alebo športová aréna

v Calgary, Alberta, Kanada.

...........................................................................................................................................................................................................................

21

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 6 Olympijský štadión v Mníchove

Zdroj: http://en.wikipedia.org

1.2.3 Konusoidy

Priamkové plochy určené tromi určujúcimi čiarami, z ktorých aspoň jedna je

priamka, sa niekedy nazývajú konusoidy.

Tvoriaca priamka konusoidu pretína všetky tri určujúce čiary 1k, 2k, 3k. Nech 3k je

priamka. Ak rovina, ktorá prechádza bodom 1K čiary 1k a priamkou 3k, pretína čiaru 2k

v bode 2K, spojnica 1K2K je tvoriacou priamkou plochy (a pretína priamku 3k v bode 3K,

resp. je s ňou rovnobežná). Množina takýchto tvoriacich priamok pri vhodnom zadaní

vytvorí konusoid.

Nech je priamka 3k špeciálne osou y súradnicovej sústavy a nech čiary 1k a 2k majú

rovnice r = 1r(u1), r = 2r(u2), u1 ϵ (a, b), u2 ϵ (c, d). Nech bod 1K na čiare 1k s hodnotou

parametra u z intervalu (a, b) ma súradnice x1(u), y1(u), z1(u). nech rovina prechádzajúca

týmto bodom a priamkou 3k = y pretína čiaru 2k v bode 2K so súradnicami x2(u2), y2(u2),

z2(u2). Obidva tieto body ležia v rovine prechádzajúcej osou y, preto pre ich súradnice platí

...........................................................................................................................................................................................................................

22

...........................................................................................................................................................................................................................

(5)

Ak existuje interval J ϵ (a, b) hodnôt u a ak parameter u2 = φ(u), sú potom súradnice bodu 2K: x2[ϕ(u)], y2[ϕ(u)], z2[ϕ(u)] a rovnica priamky 1K2K:

pre premenné u ϵ J rovnicou konusoidu. (Medek, 1990)

1.2.3.1 Montpellierský oblúk

Je jeden z konusoidov ktorého určujúce čiary sú polkružnice, ďalej priamka

rovnobežná s rovinou tejto polkružnice (ale neleží v nej) a priamka prechádzajúca stredom

polkružnice, ktorá je kolmá k jej rovine. Plocha je tvorená priamkami ktoré pretínajú

všetky tri určujúce čiary. Jeho časté využitie je najmä vo vzduchotechnike, kde sa používa

ako prechodová plocha medzi štvorcom a kružnicou. (Montpelliersky oblouk, 2008)

Ďalším príkladom využitia je plocha otvoru šachty. (Medek, 1978)

...........................................................................................................................................................................................................................

23

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 7 Montpellierský oblúk

Zdroj: http://www.cuni.cz

1.2.3.2 Štramberská trúba

Plocha štamberskej trúby je určená kružnicou 1k a dvoma mimobežnými, navzájom

kolmými priamkami 2k a 3k, pričom os týchto mimobežiek prechádza stredom kružnice 1k

a je na rovinu tejto kružnice kolmá. (Medek, 1978) Určujúca priamka d je rovnobežná

s osou x a priamka c je rovnobežná s osou y tak, že os mimobežiek c a d je os z.

Tvoriace priamky zostrojujeme pomocou ľubovoľnej roviny ρ, ktorá prechádza

priamkou d. Rovina γ určená osou mimobežiek o ≡ z a priamkou c pretína rovinu ρ

v priamke r. Priesečník R priamok c a r spojíme s priesečníkmi pôdorysnej stopy roviny ρ

a kružnice k, čím dostaneme tvoriace priamky plochy a, b. (Kuniak, 1982).

Názov dostal tento druh konusoidu podľa konštrukcie strechy na veži

Štramberského hradu, Česká republika.

...........................................................................................................................................................................................................................

24

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 8 Vež Štramberského hradu

Zdroj: http://cs.wikipedia.org

1.2.3.3 Marseillský oblúk

Je priamková plocha určená kružnicami 1k a 2k v rovinách navzájom rovnobežných

a priamkou 3k, ktorá prechádza stredom jednej z kružníc kolmo na rovinu v ktorej leží.

(Medek, 1978).

1.2.3.4 Plocha šikmého priechodu

Plocha šikmého priechodu je daná dvoma určujúcimi kružnicami 1k a 2k

s rovnakými polomermi v rovinách navzájom rovnobežných s určujúcou priamkou d

kolmou na roviny kružníc a prechádzajúcou stredom O úsečky 1S2S, pričom 1S a 2S sú

stredy určujúcich kružníc. Príklad použitia nájdeme na Negrelliho viadukte v Prahe.

...........................................................................................................................................................................................................................

25

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 9 Negrelliho viadukt, Praha, Česká republika

Zdroj: http://cs.wikipedia.org

2 Cieľ práce

Hlavným cieľom tejto práce je zhrnúť literárne zdroje týkajúce sa priamkových

plôch a ich využitia v technickej praxi a navrhnúť jednoduché modelovanie vybranej

priamkovej plochy.

Pokúsiť sa dosiahnuť tento cieľ možno pomocou týchto čiastkových cieľov:

- prehľadom súčasného stavu priamkových plôch v domácej a zahraničnej

literatúre

- teóriou rozvinuteľných priamkových plôch

- teóriou nerozvinuteľných priamkových plôch

- jednoduchým modelovaním hyperbolického paraboloidu

...........................................................................................................................................................................................................................

26

...........................................................................................................................................................................................................................

3 Metodika práce a metódy skúmania

Teória priamkových plôch vznikla ako dôsledok rozvoja predovšetkým

stavebníctva ale aj iných technických odborov. Napomáha dosiahnutiu vlastností

produktov ako je jednoduchá konštrukcia, výborná statika, dobré estetické vlastnosti, malá

spotreba materiálu.

Pre túto prácu sú teoretickými východiskami diela autorov, ktorí sa problematikou

zaoberajú v rámci deskriptívnej geometrie. Najmä diela Medeka, Zámožíka, Urbana,

Palajovej, Maříka, Mackovej, Zaťkovej a ďalšie diela uvedené v zozname použitej

literatúry. Využívame tiež internetové zdroje ako online dostupné vysokoškolské texty

a úlohy, ktoré využívame ako ilustráciu konkrétnych príkladov z praxe.

V práci navrhujeme model vybranej priamkovej plochy – hyperbolického

paraboloidu. Tento model bol spracovaný v programe Microsoft Mathematics v kapitole 4

vychádzajúc z teoretických poznatkov v podkapitole 1.2.2.4. Práca bola napísaná

v textovom procesore MS Word 2007.

4 Modelovanie vybranej priamkovej plochy

4.1 Jednoduché modelovanie hyperbolického paraboloidu

V nasledujúcej kapitole budeme modelovať vybranú priamkovú plochu –

hyperbolický paraboloid. Vychádzame z teoretických poznatkov uvedených v podkapitole

3.2.2.

Hyperbolický paraboloid je konoid na ktorého ploche existujú dve sústavy priamok,

pričom každá priamka jednej sústavy pretína každú priamku druhej sústavy, avšak

ľubovoľné dve priamky jednej sústavy sú mimobežné. To znamená, že tvoriace priamky sú

priečkami dvoch mimobežiek ktoré sú rovnobežné s určujúcou rovinou. (žiadna

s mimobežiek nesmie byť rovnobežná s určujúcou rovinou).

V našom prípade použijeme pre jednoduché modelovanie rovnicu (4)

hyperbolického paraboloidu uvedenú v podkapitole 3.2.2

(7)

...........................................................................................................................................................................................................................

27

...........................................................................................................................................................................................................................

Z rovnice vyplýva, že obsahuje dva parametre a, b ktoré môžeme ľubovoľne zvoliť.

Kvôli jednoduchosti budeme uvažovať, že a,b ϵ <0,2> a z tohto intervalu si na opísanie

zvolíme iba význačné hodnoty 0,5; 1, 2.

Začneme tým, že parameter a bude v nasledujúcich troch prípadoch stále rovný 1,

meniť budeme parameter b. Teda v prvom prípade bude mať rovnica tvar:

(8)

pretože a2 = 12 = 1; b = 0,52 = 0,25.

Obr. 10 Hyperbolický paraboloid (a=1, b=0,5)

Zdroj: Maroš Mackovčák

Z kapitoly 3.2.2 vyplýva, že hyperbolický paraboloid je najčastejšie určený

priestorovým štvoruholníkom. Tento priestorový štvoruholník môžeme dobre vidieť na

obr. 10.

V našom prípade pre hodnoty parametrov a = 1, b = 0,5 ma hyperbolický

paraboloid tvar (obr. 10) ktorý nachádza najväčšie uplatnenie v praxi (obr. 6). Pre

jednoduchosť teda budeme opisovať zmeny tvarov ďalších modelov vzhľadom k tomuto

prípadu. ...........................................................................................................................................................................................................................

28

...........................................................................................................................................................................................................................

V ďalšom kroku teda dosadíme do rovnice (4) parametre a = 1 (ako

v predchádzajúcom prípade) a b = 1. Dosadením do rovnice dostávame:

pretože a2 = 12 = 1; b2 = 12 = 1.

Teda všetky štyri vrcholy vzniknutého hyperbolického paraboloidu majú z – ovú

súradnicu rovnú 0. Oproti predchádzajúcemu prípadu je poznať značné vyrovnanie oblúka

v smere osy y a naopak väčšia strmosť v smere x (obr. 11).

Obr. 11 Hyperbolický paraboloid (a=1, b=1)

Zdroj: Maroš Mackovčák

Obdobne dosadíme aj pre prípad a = 1, b = 2. Z obr. 12 vidíme že sa oproti

predchádzajúcemu prípadu ešte viac vyrovnal priehyb v smere osi y a naopak zostrmil

v smere osi x.

...........................................................................................................................................................................................................................

29

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 12 Hyperbolický paraboloid (a=1, b=2)

Zdroj: Maroš Mackovčák

Nasledovne meníme parameter a pre hodnoty 0,5;1;2 parameter b = 1. Zmeny

tvaru hyperbolického parabolidu vidíme na obrázkoch 11,13 a 14.

Obr. 13 Hyperbolický paraboloid (a=0,5; b=1)

Zdroj: Maroš Mackovčák

...........................................................................................................................................................................................................................

30

...........................................................................................................................................................................................................................

Obr. 14 Hyperbolický paraboloid (a=2, b=1)

Zdroj: Maroš Mackovčák

Záver

Cieľ práce, metodik práce a metódy skúmania uvádzame v prvých dvoch

kapitolách.

V tretej kapitole sa zaoberáme súčasným stavom problematiky priamkových plôch

v domácej a zahraničnej literatúre.

Autori delia priamkové plochy na rozvinuteľné, medzi ktoré patrí valcová plocha,

kužeľová plocha a plocha dotyčníc priestorovej krivky. V ďalšej časti práce uvádzame

prechodové plochy, ktoré slúžia v technickej praxi na riešenie spojenia dvoch potrubí.

Druhá podkapitola rieši problematiku nerozvinuteľných priamkových plôch. Medzi

ne patría cylindroidy, konoidy, paraboloidy, konusoidy.

Štvrtá kapitola sa zaoberá modelovaním vybranej priamkovej plochy –

hyperbolického parabloidu, poukazujeme na zmenu tvaru plochy hyperbolického

paraboloidu pri meniacich sa parametrov.

Teória priamkových plôch má vzhľadom na veľký rozvoj počítačových technológií

perspektívu využitia v technickej praxi aj v budúcnosti.

...........................................................................................................................................................................................................................

31

...........................................................................................................................................................................................................................

5

Zoznam použitej literatúry

DRS, Ladislav – NOVÁK, Josef – ROUBEK, Oldřich. 1989. Konstruktivní geometrie. 3.

vyd. Praha: ČVUT, 1989. 265 s.

KUNIAK, Matúš – MALIGDA, Jozef. 1982. Deskriptívna geometria. 3. vyd. Bratislava:

ALFA, 1982. 346 s.

MACKOVÁ, Božena – ZAŤKOVÁ, Viera. 1985. Riešenie základných úloh z deskriptívnej

geometrie pomocou počítača – Počítačová geometria. Bratislava: SVŠT, 1985. 206 s.

MALIGDA, Jozef – STANOVÁ, Eva. 1998. Deskriptívna geometria. Košice: TU, 1998.

303 s. ISBN 80-7099-3170.

MAŘÍK, Vladimír – RYŠÁNOVÁ, Emílie. 1973. Deskriptivní geometrie II. Praha: SPN,

1975. 194 s.

MEDEK, Václav – ZÁMOŽÍK, Jozef. 1990. Deskriptívna geometria. 2. vyd. Bratislava:

ALFA, 1990. 200 s. ISBN 80-05-00325-8.

MEDEK, Václav – ZÁMOŽÍK, Jozef. 1978. Konštruktívna geometria pre technikov.

Bratislava: ALFA, 1978. 550 s.

MEDEK, Václav – ZÁMOŽÍK, Jozef. 1991. Osobný počítač a geometria. Bratislava:

ALFA, 1991. 256 s. ISBN 80-05-00815-5.

ORAVEC, G. – RYBÁR, J. – ZBUŇÁKOVÁ, E. 1987. Konštruktívna geometria. 2. vyd.

Bratislava: STU, 1993. 264 s. ISBN 80-227-0598-5.

...........................................................................................................................................................................................................................

32

...........................................................................................................................................................................................................................

PALAJOVÁ, Helena. 1997. Deskriptívna geometria I. 3. vyd. Zvolen: TU, 1997. 245 s.

ISBN 80-228-0659-5.

PALAJOVÁ, Helena. 1997. Deskriptívna geometria II. 3. vyd. Zvolen: TU, 1997. 243 s.

ISBN 08-228-0601-3.

SZŐKEOVÁ, Danuša. 2001. Deskriptívna geometria I. Bratislava: STU, 2001. 113 s.

ISBN 80-227-1522-0.

URBAN, Alois. 1984. Deskriptivní geometrie II. 3. vyd. Praha: SNTL, 1984. 304 s.

VIŠŇOVSKÝ, Rudolf a i. 1999. Deskriptívna geometria I. Žilina: ŽU, 1999. ISBN 80-

7100-633-5.

Montepelierský oblouk. [online] cs.wikipedia.org, aktualizované 2008. [cit. 2011-01-12].

Dostupné na: <http://cs.wikipedia.org/wiki/Montpelliersk%C3%BD_oblouk>.

Paraboloid. [online] cs.wikipedia.org, aktualizované 2010. [cit. 2011-01-11]. Dostupné na:

<http://cs.wikipedia.org/wiki/Paraboloid>.

Rozvinutelné plochy. [online] deskriptiva.webzdarma.cz, aktualizované 2010. [cit. 2011-

02-12].

Dostupné na: <http://deskriptiva.webzdarma.cz/studimadt/rozvinutelne_plochy.pdf>.

Zborcené plochy. 2009 [online] Univerzita Palackého v Olomouci, aktualizované 2009.

[cit. 2011-02-24]. Dostupné na: <http://kag.upol.cz/juklova/private/GADG8/Z3.html>.

...........................................................................................................................................................................................................................

33