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SCHACH & SPIELTHEORIE
on den vielfältigen Be -zügen zwischen Schachund Mathematik
sinddiejenigen, die daseigent liche Spiel, seine
Regeln und das Ziel, gute Züge zu finden,betreffen, auf
mathematischer Seite demTeilgebiet der Spieltheorie zuzuordnen.Als
Geburtsjahr der Spieltheorie gilt dasJahr 1944, als der geniale
Mathematikerösterreich-ungarischer Herkunft John vonNeumann
(1903–1957) zusammen mitdem Ökonomen Oskar Morgenstern(1902–1977)
die monumentale Mono -graphie Theory of games and economic
behavior veröffentlichte. Innerhalb derSpieltheorie dient ein
formales Modelleines Spiels dazu, interaktive Ent
-scheidungsprozesse präzise zu beschreiben,
SCHACH AUS SPIELTHEORETISCHER SICHT VON JÖRG BEWERSDORFF
egal ob in der Ökonomie oder in einemrichtigen
Gesellschaftsspiel. Dazu werdendie Regeln, gemäß denen sich die
beteiligtenAkteure entscheiden müssen, durch entsprechende
mathematische Objektemodelliert. Ziel der Spieltheorie ist
es,rationales Entscheidungsverhalten zu charakterisieren, zu
untersuchen und inkonkreten Fällen zu berechnen.
ZERMELOS SATZSchon vor der eigentlichen Geburt derSpieltheorie
gab es einzelne, isolierteUntersuchungen zu Fragestellungen,
dieheute der Spieltheorie zugerechnet werden.1 Hier zu nennen ist
insbesondereeine theoretische Untersuchung Über eine
Anwendung der Mengenlehre auf die
Theorie des Schachspiels aus dem Jahr
1912 von Ernst Zermelo (1871–1953).2
Der in dieser Publikation formulierte undbewiesene Satz besagt,
dass Schach in reinqualitativer Hinsicht genauso determiniertist
wie das primitive Tic-Tac-Toe-Spiel
(Drei in einer Reihe): Jede Position, selbstdie Anfangsstellung,
hat nämlich im
Prinzip den deterministischen Charakter,wie man es von
Schachproblemen her
V
Pioniere der Spieltheorie: Ernst Zermelo (links), Oskar
Morgenstern und John von Neumann (rechtes Bild)
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SCHWERPUNKT
kennt. Konkret hat entweder Weiß einezwingende Gewinnstrategie,
oder fürSchwarz existiert eine solche zwingendeGewinnstrategie,
oder beide Kontrahentenkönnen ihren Verlust verhindern. Be -zogen
auf das beste Spielresultat, das Weiß sicher erzwingen kann und das
beikorrektem Gegenspiel nicht übertroffenwird, gehört also zu jeder
Position einegenau bestimmte Gewinnhöhe, und zwar1, ½ oder 0.
Spielen beide Kontrahentenoptimal, er gibt sich genau dieses Spiel
-resultat. Dazu gibt es für den Spieler, deram Zug ist, stets
mindestens einen bestenZug, der den höchsten Gewinn, den
derziehende Spieler erzwingen kann, nichtverringert. Psychologie
mag in der Praxiseines Schachturniers eine Rolle spielen,3
auf theoretischem Niveau ist sie irrelevant,wie inzwischen auch
der überragendeErfolg von Schachprogrammen zeigt.Zermelos
mathematischer Satz hilft wederbeim praktischen Spiel, noch erlaubt
er es,konkrete Aussagen für die meisten Schach-positionen zu
machen. Diesbezüglich hatbereits Zermelo darauf hingewiesen,
dassinsbesondere die Beantwortung der Frage,„ob die Anfangsposition
… bereits füreine der spielenden Parteien eine ‚Gewinn -stellung’
ist“, offen sei.4 Beantwortet werdenkonnte diese Frage inzwischen
übrigensfür das Mühle-Spiel, das man als An- oderNachziehender nur
nach fehlerhaftemSpiel verliert.5 Offenkundig, wenn auch
nur in Bezug auf das Ergebnis und nichtim Hinblick auf die dafür
anzuwendendeStrategie, ist ebenfalls der Fall von zweiSchachpartien
mit wechselndem Anzugs-recht. Unabhängig davon, ob die
beidenPartien nacheinander oder simultan ge -spielt werden,
gewährleistet die Symmetrieden theoretischen Ausgleich, womit
dergravierende Unterschied zu einem Spielwie Schere-Stein-Papier
deutlich wird: Bei
Schere-Stein-Papier kann nämlich keinerder beiden Spieler
dadurch, dass er sichfür einen bestimmten Zug entscheidet,seinen
Verlust verhindern. Alles hängtdavon ab, dass man die Entscheidung
desGegners richtig einschätzt, ob mit Psycho-logie oder wie auch
immer. An ein solchesPhänomen dürfte auch Edgar Allan
Poe(1809-1849) gedacht haben, als er 1836 an -lässlich einer
Präsentation des berühmten,1769 vom Baron von Kempelen (1734-1804)
konstruierten Schachautomaten
versuchte nachzuweisen, dass dieser Auto-mat in der Gestalt
eines schachspielendenTürken auf einer Täuschung beruhenmüsse.
Nachdem Poe den Rechenauto -maten des englischen
MathematikersCharles Babbage (1792–1871) gewürdigthat, vergleicht
Poe ihn mit dem Schach-automaten: „Arithmetische oder alge
-braische Berechnungen sind ihrem Wesennach bestimmt. Wenn gewisse
Daten ge -geben werden, müssen gewisse Resultatenotwendig und
unausbleiblich folgen. [...]Da dies der Fall ist, können wir uns
ohneSchwierigkeit die Möglichkeit vorstellen,eine Mechanik zu
verfertigen, die von denDaten der Fragen ausgehend richtig
undunabweislich zu der Lösung vorschreitet,da dies Vorschreiten,
wie verwickelt esauch immer sein mag, doch nach ganzbestimmtem
Plane vor sich geht. Bei demSchachspieler liegt die Sache
durchausanders. Bei ihm ist der Fortschritt in keinerWeise
bestimmt. Kein einziger Zug imSchachspiel folgt notwendig aus
einemanderen. Wir können aus keiner Stellungder Figuren zu einer
Periode des Spielsihre Stellung zu einer anderen voraus -sagen.
[...] In genauem Verhältnis zu demFortschreiten des Schachspiels
steht dieUngewissheit jedes folgenden Zuges.Wenn ein paar Züge
gemacht wordensind, so ist kein weiterer Schritt mehrsicher.
Verschiedene Zuschauer des Spieleswürden verschiedene Züge anraten.
Es
Edgar Allan Poe Charles Babbage
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SCHACH & SPIELTHEORIE
hängt also alles vom veränderlichen Urteilder Spieler ab. Wenn
wir nun annehmen(was nicht anzunehmen ist), dass die Zügedes
automatischen Schachspielers in sichselbst bestimmt wären, so
würden sie dochdurch den nicht zu bestimmenden Willendes
Gegenspielers unterbrochen und inUnordnung gebracht werden. Es
bestehtalso gar keine Analogie zwischen denOperationen des
Schachspielers unddenen der Rechenmaschine des HerrnBabbage.“6
Natürlich wissen wir heute, dass Schach-programme sehr wohl im
Stande sind,gute Züge zu berechnen. Dies funktio-niert, weil beim
Schach Positionen undfolglich auch Züge absolut
untereinandervergleichbar sind, also nicht nur relativ zueiner
Gegenstrategie wie bei Papier-Stein-Schere. Die Ursache dafür ist,
dass Schachein Spiel mit perfekter Information ist,das heißt, beide
Spieler sind stets über -einstimmend über das gesamte
bisherigeSpielgeschehen und damit die aktuelleSpielsituation
informiert. Dadurch kannein ziehender Spieler immer die
möglichenWirkungen einer aktuell für ihn zur Auswahl stehenden
Zugentscheidung ob jektiv, das heißt unabhängig vom individuellen
Informationsstand undBlick winkel, abwägen. Dabei richtet der
Ziehende seine Zugentscheidungen ameigenen Interesse aus und
unterstellt die -jenigen Gegenzüge, die für ihn am un -günstigsten
sind. Aufgrund des beidseitsübereinstimmenden
Informationsstandesund der diametral gegenläufigen Interessenerhält
man auf diese Weise aus beiden Perspektiven die gleiche
Einschätzung desweiteren Spielverlaufs. Hingegen würdeder analoge
Ansatz bei Spielen mit gleich-zeitigen Zügen wie
Schere-Stein-Papieroder exklusiven Informationen wie
beiKartenspielen abhängig vom subjektivenInformationsstand zu
unterschiedlichenEinschätzungen des weiteren
Spielverlaufsführen.Trotz seines argumentativen Fehlers sindPoes
Überlegungen bemerkenswert. Aberzu welchem Zeitpunkt reifte die Er
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kenntnis darüber, dass Positionen undZüge beim Schach objektiv
bewertet werden können?Der Mathematiker Wilhelm Ahrens(1872–1927)
geht in einem bereits 1901erschienenen,
populärwissenschaftlichenBuch über Mathematik und Spiele implizit –
und letztlich scheinbar selbst-verständlich – von einem Sachverhalt
aus,welcher der Aussage von Zermelos Satzentspricht. In seinen
konkreten Aus-führungen beschränkt sich Ahrens aller-dings darauf,
dass „eine abschließende,alle nur möglichen Fälle umfassendeTheorie
kaum denkbar ist und für dasSchach z. B. nicht im geringsten
vorliegt,auch schwerlich jemals gewonnen werdenwird, wir meinen
eine Theorie, welche fürjede nur denkbare Position den
absolutbesten Zug angeben würde und welcheetwa das Resultat ergeben
würde, dass derAnziehende stets siegen muss oder, waswohl
wahrscheinlicher ist, die Partie –auch bei absolut korrektem Spiel
des Gegners – stets unentschieden machenkann.“7
Auch wenn Ahrens nur zwei der drei theoretischen Möglichkeiten
anspricht –ein Zugzwang in der Anfangsstellungwürde jeder Erfahrung
widersprechen –,so wird doch die übergangslose Alter -native im
Sinne eines Entweder-Oder sehrdeutlich. In Bezug auf seine
Einschätzung,dass die Anfangsposition ausgeglichen
ist, konnte sich Ahrens auf bedeutendeSchachspieler seiner Zeit
berufen, wobeiWilhelm Steinitz (1836–1900) in dieserHinsicht als
Pionier hervorzuheben ist.Steinitz hatte in seinem 1889
erschienenemBuch The modern chess instructor ausge-führt, dass die
Anfangsstellung ein Gleich-gewicht darstelle, sodass man nur
nacheinem fehlerhaften Zug verlieren würde.8
Diese Ansicht lässt sich auf Basis von Zer-melos Satz
dahingehend verallgemeinern,dass jeder nicht fehlerhafte Zug ein
besterZug ist, charakterisiert dadurch, dass der Ziehende keine
Einbuße erleidet im Hin-blick auf den höchsten Gewinn, den
ererzwingen kann.Soweit die Schachtheorie durch Schach-meister –
und nicht durch Mathematikerwie Ahrens und Zermelo –
formuliertwurde, konnte die Turnierpraxis natürlichnicht
unberücksichtigt bleiben. Und sofinden wir selbst später bei
Emanuel Lasker (1868–1941), der mit seinemMathematikerkollegen
Zermelo in Kontaktstand9 und dessen Satz gekannt habendürfte: „Wenn
das Problem des Schach-matts lösbar wäre, so mußte es, sollte
manglauben, nach so langer Zeit so vieler undso ernster Bemühungen
gelöst sein. Unddennoch war man so weit entfernt wie je,ja, weiter
denn je. Daraus schloß Steinitz,dass die Anfangsstellung im Gleich
-gewicht sein müsse. Ein Schluß aus Erfahrung und daher nicht so
sicher wie 2 + 2 = 4. Er ist nicht einmal ausgedrückt,denn im
genauen Gleichgewichte kanndie Anfangsstellung kaum sein, da
dasRecht des Anzugs einen Unterschied zwischen Weiß und Schwarz
hervor-bringt, einen Unterschied, der wohl nichtganz unwesentlich
sein dürfte.“10 Dazu istanzumerken, dass nach Zermelos Satz solche
„nicht ganz unwesentlichen Unter-schiede“ theoretisch nur in Form
sehrwesentlicher Unterschiede möglich sind:Sofern Schach nicht
ausgeglichen ist,kann einer der beiden Spieler einenGewinn
erzwingen. Feinere Differenzie-rungen, die im praktischen Spiel
selbst -verständlich eine wichtige Rolle spielen,
Wilhelm Steinitz
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SCHWERPUNKT
ergeben sich „nur“ in Bezug auf die Quantität entsprechender
Zugfolgen unddie dadurch bedingte Schwierigkeit, dem-gemäße
Strategien zu finden. Dies wäreeine Erklärung dafür, dass in
Turnier -partien etwa 54% der erreichbaren Punktedurch Weiß erzielt
werden.11
SCHACHPROGRAMMEZermelos Beweis gründet auf einer formalen
Charakterisierung der Mengealler Positionen, von denen
ausgehendWeiß in höchstens einer vorgegebenenZahl von (Halb-)Zügen
ein Matt erzwingenkann. Durch Vereinigung von allen solchen Mengen
und der analogen Kon-struktion für Schwarz gelangt
Zermeloschließlich zur Aussage seines Satzes. DasBeweisprinzip wird
noch heute bei derErstellung von Endspieldatenbanken ver-wendet,
die inzwischen für jede Positionmit bis zu sieben Steinen die
Informationbeinhalten, ob und in wie vielen Zügeneiner der beiden
Spieler ein Matt er -zwingen kann.Zermelos Satz liefert auch die
Grundlagefür die Schachprogrammierung. Aller-dings werden, da
Zugfolgen aufgrundeiner nicht zu bewältigenden Komplexitätnicht bis
zum Spielende analysiert werdenkönnen, die Gewinnaussichten am
Endeeiner untersuchten Zugfolge abgeschätzt,wozu diverse Formeln
existieren, die insbesondere Material und positionelleMuster
berücksichtigen. Auf diese Weise
wird die Suche nach demjenigen Zug, derauf dieser Grundlage am
besten erscheint,durch einen Optimierungsprozess ge -funden, bei
dem sich Zug für Zug Maxi-mierung und Minimierung abwechseln.Die
für die weitere Entwicklung maßgeb-lichen Pioniere der
Schachprogrammie-rung waren der Amerikaner ClaudeElwood Shannon
(1916–2001) und derEngländer Alan Turing (1912–1954).Ebenfalls zu
nennen ist der deutsche Pionier universell
progammierbarerRechenmaschinen Konrad Zuse (1910–1995), der in
seiner Schrift Plankalkül
1945 bedeutende Überlegungen zurSchachprogrammierung anstellte.
Nochohne Verwendung eines Computerswurde bereits 1952 die erste
Partie aufBasis eines zuvor von Turing ersonnenenAlgorithmus
gespielt, mit dem die Zügefür Weiß berechnet wurden. Dabeibedachte
Turing bereits das Problem, dassein Abbruch der untersuchten
Zugfolgennur bei einer genügenden „Ruhe“ unddamit insbesondere
nicht mitten in einemSchlagabtausch durchgeführt werden darf.Dazu
wurde in solchen Fällen die standard -mäßige Suchtiefe von nur zwei
(Halb-)Zügen erhöht. Trotzdem verlor TuringsAlgorithmus gegen den
mittelmäßigenGegner, weil er gierig einen vergiftetenBauern schlug,
ohne den mittels Fesselungdann unvermeidbaren, aber außerhalb
desSuchhorizonts liegenden Verlust der eigenen Dame zu
berücksichtigen:
TURINGS ALGORITHMUS
ALICK GLENNIE
Manchester 1952
Weiß zog Dxd6, worauf Schwarz mit
Td8 die Dame gewann.
Bemerkenswert ist, dass es noch bis 1958dauerte, bis eine
wesentliche, eigentlichjedem Schachspieler vertraute
Technikformalisiert wurde, mit der die Analysevon Zugfolgen ohne
jede Qualitäts - einbuße entscheidend vereinfacht werdenkonnte. Es
handelt sich um die sogenannten
Alpha-Beta-Cutoffs. Dabei werden Züge,zu denen bereits eine
Widerlegung durcheinen gegnerischen Zug bekannt ist, nichtmehr
weiter untersucht. Schließlich spieltes keine Rolle, ob es noch
„vernichtendere“Widerlegungen gibt oder nicht. Weitereheuristische
Erweiterungen ebneten denWeg bis zum ersten Matchsieg
einesSchachprogrammes über den amtierenden
Alan Turing Claude Elwood Shannon
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SCHACH & SPIELTHEORIE
Weltmeister Garri Kasparow im Jahr1997 und weiteren
Erfolgen.
KOMPLEXITÄTSTHEORIEEin in Bezug auf das Schachspiel
wenigpraxisnahes Resultat wurde im Bereich der Komplexitätstheorie
bewiesen. Dortwerden Ja-Nein-Entscheidungsproblemedaraufhin
untersucht, wie stark selbstbeim effizientesten Algorithmus die
Ressourcen Rechenzeit und Speicher -bedarf wachsen können, wenn die
Input-größe ansteigt. Bei Brettspielen wie Go,Gobang, Hex oder
Reversi sind solcheVergrößerungen der Inputgröße nahe -liegend, da
diese Spiele ohne weiteres auchauf größeren Spielbrettern gespielt
werdenkönnten. Bei Schach bedarf es dazu aller-dings hypothetischer
Erweiterungen derSpielregeln. Dafür konnte dann 1981nachgewiesen
werden, dass das Ent -scheidungsproblem, ob Weiß einen
Siegerzwingen kann, zu den schwierigsten Problemen der Klasse
EXPTIME gehört.Das heißt, dass die Rechenzeit für einealgorithmisch
be rechnete Entscheidungbei wachsenden Spiel brettern
exponentiellmit der Feldgröße wächst, womit solcheEntscheidungen
nur für kleine Input -längen realistisch be rechenbar sind.
ZumNachweis wurde zu einem beliebigen Entscheidungsproblem dieser
Klasse, aus-gehend von einem Computerprogramm,das für jeden Input
die Entscheidungberechnet, eine Transformation konstruiert.Dabei
wird jeder Input des ursprüng -lichen Entscheidungsproblems in eine
riesige, aus Bauern und Läufern bestehendeSchachposition
transformiert, deren Ge winn charakter die ursprüngliche
Ja-Nein-Entscheidung widerspiegelt. DieAnalyse dieser
Schachpositionen ist damit mindestens so schwer wie das ursprüng
-liche Ent scheidungsproblem.
KOMBINATORISCHE SPIELTHEORIEDie Kombinatorische Spieltheorie ist
einevon der eigentlichen Spieltheorie völligunabhängige
Teildisziplin der reinenMathe matik, die zu Beginn der 1970er-
Jahre insbesondere durch den Mathe -matiker John Horton Conway
(1937-)entwickelt wurde. Untersucht werdenzufallsfreie
Zwei-Personen-Spiele mit perfekter Information und
abwechselndemZugrecht, die man dann verliert, wennman keinen Zug
mehr machen kann.Dabei ist die Gewinnregel längst nicht so
ungewöhnlich, wie sie einem Schach spieler erscheinen muss, der
Pattals eine Form des Unentschiedens kennt. In den Augen Conways
handelt es sich nämlich um „eine natürliche Kon-vention, denn
üblicherweise betrachtenwir uns schon als Verlierer, wenn wir
keinen guten Zug mehr machen können;umso eher sollten wir
verlieren, wenn wirüberhaupt keinen Zug mehr machen können!“12
Bekanntestes Beispiel für einSpiel, das die Voraus setzungen der
Kom-binatorischen Spieltheorie erfüllt, ist dasNim-Spiel, ein
einfaches Spiel,13 für das
Charles Bouton 1901 eine Gewinnformelveröffentlichte und mit
dessen Verallge-meinerungen sich auch Emanuel Lasker inseinem 1931
erschienenem Buch Brett-
spiele der Völker beschäftigt hat (s. auch
S. 14 ff).
In der Kombinatorischen Spieltheoriewerden Positionen immer
simultan mitbeiderlei Zugrecht untersucht. Ihre eigent -liche
Stärke entfaltet die KombinatorischeSpieltheorie bei solchen
Spielen, beidenen wie beim Nim aus mehreren Positionen durch
Nebeneinanderlegenneue Positionen entstehen, und zwarunter
Zugrundelegung der Spielregel, dassder Ziehende jeweils in genau
einer Teil -position ziehen muss. Anwendungen aufpopuläre Spiele
sind damit selten.Bekannt sind einerseits sehr späte Endspiele des
Go-Spiels sowie beimSchach einige sehr ausgefallene
Zugzwang-Positionen in Bauernendspielen. Das folgende Diagramm
zeigt ein Beispiel füreine solche Position, die aus der
PartieSchweda - Sika, Brünn 1929 stammt.15
Der Spieler, der zuerst seinen König ziehen muss, verliert.
Daher muss jederder beiden Spieler versuchen, mit denBauern den
letzten Zug zu machen, wobei natürlich ein Durchmarsch der
gegnerischen Bauern zu verhindern ist. Da die Zugmöglichkeiten der
vier Bauernder a-b-Linien völlig unabhängig sind zudenen der beiden
Bauern auf der h-Linie,handelt es sich im Sinne der Kombina
-torischen Spieltheorie um eine durchNebeneinanderlegen ent
stehende Summevon zwei Positionen:
= +
Emanuel Lasker
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SCHWERPUNKT
Bei dieser Darstellung ist das Summen -zeichen nicht nur ein
Symbol, sondernbesitzt tatsächlich die Eigenschaften, wiesie uns
von der Addition „normaler“, dasheißt reeller Zahlen her vertraut
ist.16
Wie bei der Addition reeller Zahlen gibtes eine Null, die in
ihrer Interpretation als (Teil-)Position keinem der beidenSpieler
mehr einen Zug erlaubt, sodass der Anziehende, egal ob Weiß
oderSchwarz, verliert. Außerdem gibt es eineSubtraktion, die (wie
bei der Subtraktionreeller Zahlen) einer Addition mit dernegierten
Zahl entspricht. Dabei ent-spricht der Vorzeichenwechsel einer
Zahlauf dem Level einer Position dem Aus-tausch der Farben und
einer Spiegelungan der Mittelachse des Schachbretts:
Dass sich, wie in der Abbildung darge-stellt, bei der Addition
mit der „negierten“Position die Summe Null ergibt, die als Position
ohne jede Zugmöglichkeit de finiert wurde, liegt daran, dass
dasGleichheitszeichen mehr im Sinne einerÄquivalenz zu
interpretieren ist. Konkret:Zwei Positionen sind per
Definitiongenau dann „gleich“, das heißt äquivalent,wenn sie in
beliebigen Summen von(Teil)Positionen gegeneinander ausge-tauscht
werden können, ohne dass sich die Gewinnaussichten ändern, und
zwarsowohl im Fall, dass Weiß anzieht, wieauch im Fall, wenn
Schwarz anzieht. DerÄquivalenz-Begriff wurde übrigens erst-mals von
Emanuel Lasker in seinem Buch Brettspiele der Völker am Beispielvon
Nim-Varianten formuliert.17 Lasker verfolgte dabei das Ziel,
Positionen als Summen darzustellen, wobei die Summanden einem
möglichst über -
schaubaren Vorrat an Positionen ent -stammen.Dass die Gleichung
tatsächlich wie obenabgebildet stimmt, liegt daran, dass
beibeidseitigem Zugzwang, das heißt, wennder Nachziehende, egal ob
Weiß oderSchwarz, eine Gewinnstrategie besitzt,eine Äquivalenz zur
Nullposition gegebenist. Bei der links abgebildeten Position
istdiese Bedingung erfüllt, weil der Nach -ziehende einfach die
Züge des Anziehendenspiegelbildlich kontert.Übrigens hat bereits
Lasker erkannt, dassPositionen mit beidseitigem Zugzwangden
Charakter von Nullpositionen be -sitzen.18 Addiert man nämlich eine
solchebeidseitige Zugzwangsposition N zu einerbeliebigen Position
G, so kann ein in dieserPosition G auf Gewinn stehender
Spieler,egal ob Weiß, Schwarz, im An- oder Nachzug, seine
Gewinnstrategie auf dieSummenposition G + N übertragen. Dazumuss er
im G-Teil unverändert spielen undim N-Teil genau dann kontern, wenn
seinGegner dort gerade gezogen hat. Die beidseitige
Zugzwangsposition N verhältsich damit wie eine Null, das heißt,
diePositionen N und 0 sind äquivalent, weildie beiden Summen G + N
und G + 0 für jede Position G übereinstimmendeGewinnaussichten
bieten.19
Höchst exotisch können sich diese Positionen in Bezug auf ihre
Größen -beziehungen verhalten. Beispiele dafürfindet man bereits
bei einfachen Positionen, wie sie die folgende Ab -bildung zeigt,
wobei die drei rechten Positionen im Verlauf der
angeführtenProblemstellung, zumindest mit umge-kehrtem Vorzeichen,
auftauchen können.So sind die beiden Up und Star genanntenund mit ↑
und bezeichneten Positionengrößer als jede negative reelle Zahl,
kleinerals jede positive reelle Zahl und trotzdemungleich null. Die
Position ↑ kann sogarselbst als positive Zahl interpretiert
werden,die kleiner als jede positive reelle Zahl ist,während der
Position dieser Charaktereiner Zahl fehlt. Dabei ist eine
Position
per Definition dann positiv, wenn Weißsowohl als An- wie auch
als Nachziehendereinen Gewinn erzwingen kann. Außerdemgilt eine
Position per Definition genaudann als größer als eine andere, wenn
ihreDifferenz positiv ist.
Für weitere Grundlagen muss auf die Literatur verwiesen
werden.20 Dabeierlaubt es die Kombinatorische Spiel -theorie,
Endspiele wie das hier angeführtenicht nur im Rahmen einer
Brute-Force-
Attacke, wie sie ein Schachprogrammpraktizieren würde, sondern
auch durcheine Untersuchung der einzelnen Teil -positionen
vollständig zu analysieren. Diesgeschieht, wie stets in der Kombina
-torischen Spieltheorie, durch die Analysebeider Fälle des
Anzugsrechts, wozu jedePosition formal durch zwei Mengen
vonPositionen charakterisiert wird, nämlich be -stehend aus den
Positionen, die mit einemZug von Weiß beziehungsweise
Schwarzerreicht werden können. Beispielsweisewird die rechts
abgebildete Position durch({0,}, {}) charakterisiert, was
manüblicher weise kürzer in der Form {0, | }schreibt. Übrigens
bleibt die darin vor-kommende Position = {0|0} bei
einemVorzeichenwechsel unverändert, und esgilt + = 0. Außerdem kann
bei derPosition {0,|} generell die zweite Zug-möglichkeit für Weiß
– entsprechend demEinzelschritt des weißen Bauern ausgehendvon der
zweiten Reihe – weggelassen werden,
wozu man die Gleichung {0,|} + {|0}= 0 verifizieren muss: Bei
dieser Summekann der Nachziehende immer gewinnen,und zwar fast
immer dadurch, dass er spiegelbildlich kontert. Einzige Ausnahmeist
der für Weiß mögliche Zug nach
=1 =±1 =0 = =↑
= 0 =+
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S. 616–621, dort S. 620; Joachim Rosenthal, „DerMathematiker
Emanuel Lasker“, in: Emanuel Lasker:Denker, Weltenbürger,
Schachweltmeister, S. 213–231, dort S. 228.10 Emanuel Lasker,
Gesunder Menschenverstandim Schach, Berlin, 1925, S. 80 f.11
Auswertung der Datenbank Chess Assistant,zitiert nach dem Stichwort
„Schach“ der deutsch-sprachigen Wikipedia, 2.2.2016.
DetailliertereAngaben findet man in der englischsprachigenWikipedia
im Artikel „First-move advantage inchess.“12 John H. Conway, Über
Zahlen und Spiele,Braunschweig 1983 (amerikanisches Original1976),
S. 56.13 Gespielt wird mit Spielsteinen, die zu Haufengruppiert
sind. Die Spieler ziehen abwechselnd.Pro Zug dürfen beliebig viele
Steine eineseinzelnen Haufens genommen werden. Werkeinen Stein mehr
nehmen kann, hat verloren.14 Charles L. Bouton, „Nim, a game with a
com-plete mathematical theory“, in: Annals of Mathe-matics, Series
II, 3 (1901/02), S. 35–39.15 Max Euwe, David Hooper, A guide to
chessendings, New York 1960, S. 56 f.16 Viele der Positionen, aber
nicht alle, könnensogar als Zahlen interpretiert werden.
Allerdingsmuss dazu der Zahlenstrahl der reellen Zahlen umunendlich
kleine und unendlich große Zahlenerweitert werden zu einem Bereich
der soge-nannten surrealen Zahlen.17 Brettspiele der Völker, Berlin
1931, S. 186. Beidiesen Nim-Spielen kann die Äquivalenz aller-dings
etwas einfacher definiert werden, da essich um neutrale Spiele
handelt, die sich dadurchauszeichnen, dass die Zugmöglichkeiten
beiderSpieler stets identisch sind.18 Lasker (Fn 16, S. 183)
behandelt allerdings nurneutrale Spiele.19 Um zu erkennen, dass
auch umgekehrt jedeNullposition beidseitigen Zugzwang zur Folgehat,
geht man von einer beliebigen Position Naus, die zur Position 0
äquivalent ist. DiesePosition N muss insbesondere die
Eigenschaftbesitzen, dass in der Summe 0+0 ein Summandgegen die
Position N ausgetauscht werden kann,ohne dass sich die
Gewinnaussichten ändern.Damit muss die Position N die gleichen
Gewinn-aussichten wie die Position 0 besitzen, womit derin der
Position N Nachziehende, egal ob Weißoder Schwarz, eine
Gewinnstrategie besitzt.20 Den aktuellen Stand der Forschung
präsentiertAaron N. Siegel, Combinatorial game theory,Providence
2013.21 Darüber hinaus gilt die Äquivalenz zur Summe–↑ –↑ +.22 Noam
D. Elkies, „On numbers and endgames:Combinatorial game theory in
chess endgames“,in: Richard J. Nowakowski (ed.), Games of no
chance, Cambridge 1996, S. 135–150.
Der Autor dankt Herrn Michael Negele für dieErmunterung zu
dieser Zusammenstellung undfür hilfreiche Anmerkungen zu
Vorabversionen.
SCHACH & SPIELTHEORIE
Dr. Jörg Bewersdorff, geboren 1958,promovierte 1985 in
Mathematik ander Universität Bonn. Seitdem ist erin der
Automatenwirtschaft tätig,seit 1998 als Geschäftsführer
vonTochterunternehmen der GauselmannAG. Er ist Autor von vier
Lehrbüchernüber Themen der Mathematik undInformatik, da runter
einem über dieMathe matik der Spiele.
ANMERKUNGEN
1 Überblicke geben: Robert Leonard, Von Neu-mann, Morgenstern,
and the creation of game theory.From chess to social science,
1900–1960, New York2010. Jörg Bewersdorff, Glück, Logik und
Bluff:Mathematik im Spiel – Methoden, Ergebnisse undGrenzen,
Wiesbaden 1998, 6. Auflage 2012. Imletztgenannten Buch finden sich
tiefergehendeDarstellungen und ergänzende Referenzen zuallen hier
behandelten Themen.2 Vortrag auf dem 1912 abgehaltenen 5. Inter
-nationalen Mathematikerkongress. E. Zermelo,„Über eine Anwendung
der Mengenlehre auf dieTheorie des Schachspiels“, Proceedings of
the FifthCongress of Mathematics, Vol. II, Cambridge 1913,S.
501–504.3 Beispielsweise wurde Emanuel Lasker wieder-holt eine
„psychologische Spielweise“ zuge-schrieben. Eine Gegenposition
vertritt RobertHübner, „Laskers ‘psychologische Spielweise’“,
in:Elke-Vera Kotowski, Susanna Poldauf, Paul WernerWagner (Hrsg.),
Emanuel Lasker. Homo ludens –homo politicus, S. 149–160.4 Zermelo
(Fn 2), S. 504.5 R. Gasser, J. Nievergelt, „Es ist entschieden:
DasMühlespiel ist unentschieden“, in: InformatikSpektrum, 17
(1994), S. 314–317; Ralph Gasser,„Solving Nine Men’s Morris“, in:
R. J. Nowakowski(ed.), Games of no chance, Cambridge 1996,S.
101–113.6 Southern Literary Messenger, 2 (1836), S. 318–326,
Übersetzung zitiert nach Der Schachautomatdes Baron von Kempelen,
Dortmund 1983.7 W. Ahrens, Mathematische Unterhaltungen undSpiele,
Leipzig 1901, S. 81.8 S. xxxi. Siehe auch: David Hooper, „The
theory ofSteinitz“, in: British Chess Magazine, 104 (1984),S. 370
(Nachdruck in: Kurt Landsberger, WilliamSteinitz, chess champion,
Jefferson 1993, S. 465–470); Johannes Fischer, „William Steinitz“,
Karl,4/2003, S. 12–13.9 Gesichert sind nur gemeinsame Kontakte
zuMathematikern in Göttingen, wo beide einige,allerdings
unterschiedliche Jahre verbrachten,sowie ein Brief Laskers an
Zermelo aus dem Jahr1929, in dem es um einen Vorschlag für
eineWertungszahl für die Spielstärke von Schach-spielern ging.Mark
E. Glickman, „Introductory note to 1928“,in: Ernst Zermelo,
Collected Works, Volume II,
={0,|0}
=↑+
={0|↑+}
=↑+↑
={|0}
= -↑
+ {|0}, den Schwarz im linkenSummanden kontert und mit
derPositionsfolge {|0}, , 0 gewinnt. Dadie beiden Endspiele {0|0}
und {0|} invielen verschiedenen Spielen auftreten,haben sie die
schon genannten Namenund Kürzel, eben und ↑, erhalten.Die rechte
Teilposition des abge bildetenBauernendspiels entspricht formal
derPosition {–↑ | ,0} = {–↑ | 0}, wobeiman diese Äquivalenz wieder
wie geradezeigen kann.21 Deutlich komplizierter undent sprechend
aufwändiger in ihrer Analyseist die Teilposition, welche die vier
Bauernder a- und b-Linien umfasst. Allerdings istdas Ergebnis
vergleichsweise einfach, denndiese Teilposition ist gleich ↑.Um das
Endspiel zu gewinnen, mussWeiß einfach von ↑+{–↑|0} durch einenZug
mit seinem h-Bauern nach ↑–↑=0ziehen. Schwarz besitzt dagegen mit
seinemh-Bauer keinen Gewinnzug, weil der Zugnach ↑+ 0 =↑= {0|} Weiß
den Gewinnermöglicht. Dagegen erreicht Schwarz mitdem Zug in der
linken Teilposition von↑+ {–↑|0}= {0| } + {–↑| 0} zurPosition +
{–↑| 0}, dass Weiß mitkeiner seiner beiden Er widerungen, diezu den
Positionen {–↑| 0} und –↑führen, gewinnen kann. Dass sich hinterdem
zum Gewinn führenden Anfangszugfür Schwarz der Zug 1...a5 verbirgt,
ergibtsich aus den Details der Analyse zur linkenTeilposition. Ein
paar Highlights dazuenthält die untenstehende Ab bildung.22
RESÜMEEAbgesehen von den Grundlagen derSchachprogrammierung sind
die prak-tischen Auswirkungen der hier be -
schriebenen Sachverhalte gering. Be -merkenswert ist aber, dass
die Schach -regeln bei Positionen nicht nur bestensbekannte Muster
wie beispielsweise Doppelbauern, Fesselung und Abzugs-schach
ermöglichen, sondern ebensoMuster, die einen anspruchsvollen
algebraischen Charakter aufweisen.
