SCOMPOSIZIONE DI SCOMPOSIZIONE DI POLINOMIPOLINOMI

2

Ripassiamo i prodotti notevoliNOMENOME TIPOTIPO SVILUPPOSVILUPPO

Quadrato di un Quadrato di un binomiobinomio

( a + b )( a + b )22 aa22 + 2ab + b + 2ab + b2 2

TRINOMIO

Cubo di un Cubo di un binomiobinomio

( a + b )( a + b )33 aa3 3 + 3a+ 3a22b +3abb +3ab22+b+b33

Polinomio con 4 termini

Somma per Somma per differenzadifferenza

( a + b ) ( a – b )( a + b ) ( a – b ) aa22 – b – b22

BINOMIO

( a + b + c ) ( a + b – c )( a + b + c ) ( a + b – c ) (a+b)(a+b)22 – c – c22 = a = a22 + 2ab + b + 2ab + b2 2 – c– c22 Polinomio con 4 termini

Quadrato di un Quadrato di un trinomiotrinomio

( a + b + c )( a + b + c )22 aa22+b+b22+c+c22+2ab+2ac+2bc +2ab+2ac+2bc POLINOMIO

Somma Somma (differenza) di (differenza) di cubicubi

( a + b ) ( a( a + b ) ( a22 – ab + b – ab + b22 ) ) aa33 + b + b33

BINOMIO

( a – b ) ( a( a – b ) ( a22 +ab + b +ab + b22 ) ) aa33 – b – b33

BINOMIO

3

Come fare a scomporre

polinomi in fattori?

4

Vediamo se c’è da raccogliere un Vediamo se c’è da raccogliere un fattor comune fra tutti i monomi, cioè fattor comune fra tutti i monomi, cioè eseguiamo il:eseguiamo il:

RACCOGLIMENTO TOTALE o M.C.D.

PRIMA DI TUTTO…

5

Contiamo quanti monomi costituiscono il Contiamo quanti monomi costituiscono il polinomio (ed eventualmente cerchiamo di polinomio (ed eventualmente cerchiamo di riconoscervi qualche riconoscervi qualche prodotto notevole))

• Binomio

• Trinomio

• Polinomio con 4 termini

• Polinomio con più di 4 termini

In seguito:

RIASSUMENDO

6

BINOMIOBINOMIO Raccoglimento totale o M.C.D. o M.C.D.

Differenza di due quadrati aa2 2 – b– b22 = ( a – b )( a + b ) = ( a – b )( a + b )

Somma di due quadrati aa2 2 + b+ b22 NON SI PUO’ SCOMPORRE IN RNON SI PUO’ SCOMPORRE IN R

Somma di due cubi aa3 3 + b+ b33 = ( a + b )( a = ( a + b )( a2 2 -- ab + bab + b22 ) )Differenza di due cubi aa3 3 – b– b33 = ( a – b )( a = ( a – b )( a2 2 ++ ab + bab + b22 ) )

Raccoglimento totale

Quadrato di un binomio aa22 + 2ab + b + 2ab + b22 = ( a + b ) = ( a + b ) 22

Trinomio notevole xx22 - sx + p = (x - a )(x - b ) - sx + p = (x - a )(x - b )

dove s = a + b e p = abdove s = a + b e p = ab

Ruffini

Raccoglimento totale

Cubo di un binomio aa33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 + + bb33 = ( a + b )= ( a + b )33

Raccoglimento parziale

Differenza di due quadrati ( di cui uno è il quadrato di un binomio)

aa2 2 -2ab + b-2ab + b2 2 – – xx22 =(a - b)=(a - b)22 - - xx22 ==

[(a –b) + [(a –b) + xx] [(a –b) – ] [(a –b) – xx] = [a – b + ] = [a – b + xx] [a – b – ] [a – b – xx]]

Ruffini

Raccoglimento totale

Raccoglimento parziale

Quadrato di un trinomio aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc = ( a + b + c )= ( a + b + c )22

Ruffini

7

M.C.D.

Il M.C.D. è costituito Il M.C.D. è costituito SOLOSOLO dai fattori dai fattori COMUNICOMUNI, contati una sola volta, con il , contati una sola volta, con il minor esponente.minor esponente.

Pertanto bisogna scomporre in fattori i Pertanto bisogna scomporre in fattori i monomi che compongono il polinomio e monomi che compongono il polinomio e poi è possibile determinare il M.C.D. poi è possibile determinare il M.C.D.

Esempio: Esempio:

3a3a22b - 5ab - 5a33bb4 4 + 4a+ 4a44bb6 6 = = aa22bb ( 3 - 5ab( 3 - 5ab3 3 + 4a+ 4a22bb5 5 ))

8

BINOMIO

• DIFFERENZA DI DUE QUADRATI

aa2 2 – b– b22 = (a – b)(a + b) = (a – b)(a + b)

DIFFERENZA DI CUBI DIFFERENZA DI CUBI

aa33 - b - b33 = (a – b)(a = (a – b)(a2 2 ++ ab + bab + b22))

SOMMA DI CUBI SOMMA DI CUBI

aa3 3 + b+ b33 = (a + b)(a = (a + b)(a2 2 –– ab+ bab+ b22))

ATTENZIONE!!!!

La SOMMA di due quadrati

aa22 + b + b22

è irriducibile in R!

ATTENZIONE!!!!

La SOMMA di due quadrati

aa22 + b + b22

è irriducibile in R!

9

TRINOMIO

• QUADRATO DI UN BINOMIO QUADRATO DI UN BINOMIO E’ un trinomio formato da E’ un trinomio formato da due quadratidue quadrati e da un e da un doppio prodottodoppio prodotto..

Esempio: Esempio: 16a16a44 + + bb22 - - 8a8a22bb = (4a = (4a22 - b) - b)22

TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado)TRINOMIO NOTEVOLE (di II grado)Deve essere Deve essere sempresempre del tipo : x del tipo : x22 + + ssxx + + p p con con ss = a + b e = a + b e pp = ab. = ab.

Esempio: xEsempio: x2 2 - - 99x – x – 3636 = ( x – 12 ) ( x + 3 ) = ( x – 12 ) ( x + 3 )

10

Polinomio con 4 termini CUBO DI BINOMIO CUBO DI BINOMIO

Ci sonoCi sono due cubidue cubi e e due tripli prodottidue tripli prodotti di ciascuna delle due basidi ciascuna delle due basi per il per il quadrato dell’altraquadrato dell’altra

aa33 + + 3a3a22bb + + 3ab3ab22 + + bb33 = ( a + b ) = ( a + b )33

RACCOGLIMENTO PARZIALERACCOGLIMENTO PARZIALE

aa2 2 - 2ab- 2ab + b+ b22– x– x22 = =

(a - b)(a - b)22 - x - x22 = =

[[(a –b)(a –b) + x ] [ + x ] [ (a –b)(a –b) – x] = – x] =

[[a –ba –b + x] [ + x] [a –ba –b – x] – x]

11

RACCOGLIMENTO PARZIALE

10a10a33b + 2xb - 5ab + 2xb - 5a3 3 – x = – x =

5a5a3 3 ( 2b – 1 )( 2b – 1 ) + x + x ( 2b - 1)( 2b - 1) = =

( 2b – 1 )( 2b – 1 )( 5a( 5a3 3 + x )+ x )

12

POLINOMIO

QUADRATO DI TRINOMIOQUADRATO DI TRINOMIO

Polinomio costituito daPolinomio costituito da tre quadrati tre quadrati e e tre doppi prodottitre doppi prodotti

Esempio: Esempio:

aa22 + + bb22 + + cc22 + + 2ab2ab + + 2ac2ac + + 2bc 2bc = ( a + b + c )= ( a + b + c )22

xx22 + 9+ 9yy22 + 4+ 4zz22 - - 6xy6xy + + 4xz4xz - - 12yz 12yz = ( x - 3y + 2z )= ( x - 3y + 2z )22

Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei Se non fosse possibile scomporre il polinomio con uno dei metodi precedenti, allora si può provare ad usare la: metodi precedenti, allora si può provare ad usare la:

REGOLA DI RUFFINIREGOLA DI RUFFINI

13

REGOLA DI RUFFINI

x5 – 10 x – 12 =

1 0 0 0 -10 -12

1 2 4 8 16 12

1 2 4 8 6 0= ( x – 2 ) ( x4 + 2x3 +4x2 +8x + 6 )

14