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Vorlesung Regelungstechnik 1

WS 2009/2010

Prof. Dr.-Ing. Frank Allgwer

Seite 1 von 199

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b a

f : R R8

g

f(t) = 0

t < 08

L{f(t)} = F (s) =

0

f(t)estdt, s C

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t R

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L{f1(t) + f2(t)} = L{f1(t)}+ L{f2(t)}

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u

w y

L{f(at)} = 1aF ( s

a)

t

v

}

{

r

t

s

u

w y

L{f(t Tt)} = esTtF (s)

Tt 0

h

g

L{f(t Tt)} = esTtF (s) esTt

Tt0

f()esd

Tt < 0

h

g

x

s

u

w y

L{eatf(t)} = F (s a)

r

t

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s

u

w y

L{dnf

dtn(t)} = d

n1f

dtn1(0) sd

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dtn2(0) ... sn1f(0) + snF (s)

s

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L{ t0f()d} = 1

sF (s)

u

|

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L{f1(t) f2(t)} = F1(s)F2(s)

v

t

s

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v

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x

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y

limt0 f(t) = lims sF (s) (

)

limt f(t) = lims0 sF (s) (

)

f(t) = 12pij

c+jcj F (s)e

stds F (s) =0

f(t)estdt

(t) 1

h(t)

11s

tn, n = 1, 2, 3, ...n!

sn+1

tneatn!

(s+a)n+1

cos 0ts

s2+20

sin 0t0

s2+20

eat cos 0ts+a

(s+a)2+20

eat sin 0t0

(s+a)2+20

t cos 0ts220

(s2+20)2

t sin 0t20s

(s2+20)2

Seite 55 von 199

L{f1(t) + f2(t)} =

0

(f1(t) + f2(t))dt

=

0

f1(t)dt+

0

f2(t)dt

= L{f1(t)}+ L{f2(t)} 2

L{f(at)} =

0

f(at)estdt

Subst.:=at=

1

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=1

aF (

s

a) 2

L{f(t Tt)} =

0

f(t Tt)estdt

Subst.:=tTt=

Tt

f()es(+Tt)d

=

0

f()es(+Tt)d +

0Tt

f()es(+Tt)d

= esTt 0

f()esd + esTt 0Tt

f()esd

=0

. Tt0

f(t)=0

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@A

B

8 k

@A

B

+ + 2 2: ( ) log ( ) log , ( ) 0E A k A k =

2 2 : ( ) log ( ) log log log , ( )2

EE E

kA A k = +

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k

1

PT1-Glied im Bodediagramm

Name Eckfrequenz

arctan

2

1 1( ) , mit 01

1

Ej

E

E

kG j k eTj T

= = = >+ + Schnittpunkt der Asymptoten: log log log logE Ek k = + =

Exakter Wert fr :1( ) log log 2, ( ) arctan122

E

E EkA k

= = =

Seite 65 von 199

zu Kap. III.1.2 f) Bodediagramm

Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut fr Systemtheorie und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. Frank Allgwer, Dipl.-Ing. Tobias Schweickhardt

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200

204060

A

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d

e

(

d

B

)

101 100 101 102 10390

0

45

45

Frequenz (rad/s)

P

h

a

s

e

(

G

r

a

d

)

PT1-Glied im Bodediagramm

200

204060

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)

101 100 101 102 10390

0

45

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Frequenz (rad/s)

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(

G

r

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)

Beispiel: 100, 10Ek = =

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1

PD-Glied im Bodediagramm

Inverse von PT1 Spiegelung

Asymptotenschnittpunkt und exakter Wert fr Eckfrequenzanalog zu PT1-Glied

1( ) (1 ) 1 , 0D DE

G j k T j k j T = + = + = >

2 2: ( ) log ( ) log , ( ) 0E A k A k =

2 2 : ( ) log ( ) log log log , ( )2E EE

kA A k = + Gerade mit Steigung 0

Gerade mit Steigung +1, d.h. +20dB pro Dekade

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1

PD-Glied im Bodediagramm

Beispiel: 100, 10Ek = =

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k

1

I-Glied im Bodediagramm

I-Glied: ( )

( ) log ( ) log log

( )2

kG jj

kA A k

=

= =

=

Entspricht Asymptoten von PT1 frgroe Frequenzen

Amplitude: Steigung -20dB Phase: -90

Zeichnen mit Punktprobe:010 1 ergibt

( 1) ( 1)Beispiel: 100

( 1) 100 40dB

G j kj A kk

A

= =

= =

==

=

=

=

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k

1

D-Glied im Bodediagramm

Entspricht PD fr groe Frequenzen Inverse zu I-Glied Amplitude: Steigung +20dB Phase: +90

D-Glied: ( )( ) log ( ) log log

( )2

G j kjA k A k

== = += +

Zeichnen mit Punktprobe:010 1 ergibt

( 1) ( 1)Beispiel: 0.1

( 1) 0.1 20dBA

G j kj A kk

= =

= = =

= = ==

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k

1

Beispiel

45

2 3 5

4

2 3 5

( 10)( 10 )( ) 10( 10 )( 10 )( 10 )

1 110 10

1 1 110 10 10

s sG ss s s

s s

s s s

+ += + + + + + = + + +

Tip: Faktoren immer auf die

Form bringen

siehe Handout Hilfsblattzum Bodediagramm

1E

s

Konstruktion: Nach Frequenzen ordnen nacheinander und unabhngig Asymptoten zeichnen Gesamtverlauf durch Addition der Asymptoten der Teilglieder

2

1

110s+ 3

1

110s+ 41 10

s+5

1

110s+1 10

s+

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Beispiel

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110s+ 41 10

s+5

1

110s+1 10

s+

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Beispiel

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1

110s+1 10

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1

Konjungiert komplexe Pole im Bodediagramm

Herleitung wieder ber Aufspaltung in Phase und Amplitude und Kurvendiskussion fr Asymptoten

Steigung Amplitude -40dB Phasenverschiebung -180

Eckfrequenz Eigenfrequenz des ungedmpften Systems (T1=0)

Fr nicht schwingfhige Systeme (keine konj. komplexen Pole) gilt stets T2

berhhung Schwingung!!

fr E }

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1

Konjungiert komplexe Pole im Bodediagramm

1 2Beispiel: 10, 1, 4 0.25Ek T T = = = =berhhung

E

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Institut fur Systemtheorie und RegelungstechnikProf. Dr.-Ing. F. AllgowerRegelungstechnik Ihttp://www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/RTI/

Universitat Stuttgart13.08.2002

Hilfsblatt zum BodeDiagramm

(Handout fur RT 1)

Im folgenden soll die Frage geklart werden, wie man aus einer gegebenen Ubertragungsfunktion denasymptotischen Verlauf von Amplituden- und Phasengang in doppelt logarithmischer Darstellung er-mitteln kann. Besonderheiten wie konjugiert komplexe Polpaare auf der imaginaren Achse werden nichtbehandelt.

Umformen der Ubertragungsfunktion

Bevor man den asymptotischen Amplituden- und den Phasengang zeichnet, ist es vorteilhaft die Ubert-ragungsfunktion in eine fur diesen Fall

gunstige Darstellung zu bringen. Dies soll im folgenden

erlautert werden.Zuerst bestimmt man die Pole und Nullstellen der Ubertragungsfunktion G(s). Anschlieend schreibt

man die Ubertragungsfunktion als Produkt der sich aus den Polen und Nullstellen ergebenden Line-arfaktoren, d.h. als Produkt von I-, D-, PD-, PT1- und PT2- Gliedern. Dabei werden die Terme inaufsteigender Reihenfolge der Eckfrequenzen sortiert. Eventuell auftretende I- oder D-Glieder werdenan den Anfang gestellt (

Eckfrequenz 0).

Alle Terme werden in normierter Schreibweise notiert (vergleiche dazu die TabelleVerhalten der

wichtigsten Regelkreisglieder 3 im Manuskript RT-I), so da alle auftretenden Verstarkungsfaktorenzu einem einzigen Verstarkungsfaktor zusammengefat werden konnen.Insgesamt ergibt sich zum Beispiel folgende Darstellung

G(s) =K

s

1

1 +s

1

1

1 + T12s+ (s

2)2

(1

s

3

)

1

1s

4

. . .

(1 + T1ns+ (

s

n)2

)(1)

mit1 < 2 < 3 < 4 < . . . < n (2)

Verlauf des asymptotischen Amplitudenganges

Um den asymptotischen Amplitudengang zeichnen zu konnen, mu man zuerst einen Anfangspunktbestimmen. Dazu wahlt man eine Frequenz 0 aus, die kleiner ist, als alle in Gleichung (2) vorkommen-den Frequenzen. Zur Bestimmung des dabei auftretenden Betrags der Amplitude kann man zwei Falleunterscheiden:

1) Es tritt kein I- oder D-Glied auf. Der Betrag der Amplitude ist gleich dem Betrag desVerstarkungsfaktor. Der Verlauf der Amplitude bis zur ersten Eckfrequenz ist waagrecht.

2) Es tritt ein I- oder D-Glied auf. Hier ist eine Punktprobe notwendig, d.h. die Frequenz 0 wirdin das fur diesen Frequenzbereich bestimmende I- oder D-Glied eingesetzt (und nur in dieses), soda sich z.B. Gleichung (1) vereinfacht zu

A0 = |G(j0)| =K

0(3)

Damit ist der Betrag der Amplitude A0 bestimmt und ein Anfangspunkt gefunden. Der Verlaufder Amplitude bis zur ersten Eckfrequenz ist fallend mit der Steigung 1 fur I-Glieder und steigendmit der Steigung 1 furD-Glieder. Falls die UbertragungsfunktionG(s) mehrfach I- oderD-Gliederenthalt ist die Steigung mit der Anzahl der I- oder D-Glieder zu multiplizieren.

Der weitere Verlauf des Amplitudegangs in doppelt logarithmischer Darstellung andert sich ausgehendvon diesem Anfang bei jeder Eckfrequenz von Gleichung (1). Hier knickt der Amplitudengang ab:

1) jeder (reelle) Pol, d.h. jedes Glied der Form

1

1s

i

1

erniedrigt die Steigung des Amplitudenganges um den Wert 1 in der doppellogarithmischen Dar-stellung.

2) jedes konjugiert komplexe Polpaar (|T1i | 0 und umgekehrt.

3) Jeder (reellen) Nullstelle si entspricht eine Anderung des Phasenganges bei dem Frequenzwerti um

Re(si) (0)

< 0pi

20

= 0 0pi

2

> 0 pi

20

4) Jedem konjugiert komplexen Nullstellenpaar si1,2 (|T1i | 0 pi 0

5) Ein negativer Verstarkungsfaktor fuhrt zu einer Verschiebung des gesamten Phasenganges um denWert pi.

2

Seite 69 von 199

zu Kap. III.2.2 a) Stabilittd) Robustheit der Stabilitt

Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut fr Systemtheorie und Regelungstechnik Prof. Dr.-Ing. Frank Allgwer 1

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1

Small-Gain-Theorem

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zu Kap. III.2.2 a) Stabilittd) Robustheit der Stabilitt


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k

1

Robuste Stabilitt

Definition (Robuste Stabilitt):

Die Stabilitt des geschlossene Regelkreises bleibt erhalten, obwohl die Strecke nicht exakt mit dem Modell bereinstimmt.

Gren, die die Robustheit des Regelkreises beschreiben:

Amplitudenreserve: Die Amplitudenreserve gibt an, wieviel zustzlicheVerstrkung toleriert werden kann, ohne den geschlossenen Regelkreis zu destabilisieren.

Phasenreserve: Die Phasenreserve gibt an, wieviel zustzliche Phasen-verschiebung bei toleriert werden kann, ohne den ge-schlossen Regelkreis zu destabilisieren.

( )1)(0 =DD jG

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Robuste Stabilitt

ra Amplitudenreserve

r Phasenreserve

)(0 jG

10-1

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log

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dB0

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0180

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D Durchtrittsfrequenz

180

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1

Robuste Stabilitt

Bemerkung:

Die Stabilittsgrenze darf bei der Einstellung von Regelkreisen nicht erreicht werden. Es muss deshalb eine Amplituden- und Phasenreserveeingehalten werden, so dass bei Parameternderungen der Regelstrecke keine Instabilitt auftritt.

Typische Forderung:

Amplitudenreserve: 2.5,...,10Phasenreserve: > 30 Grad

Amplitudenreserve:

Phasenreserve:

)(1

1800 =

jwGar

)(1800 Dr j +=

Seite 71 von 199

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, ' , G0(s) = G(s)K(s)

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f

{1 +G0(j)} = m0pi + a0pi

2.

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q

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d

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G0(s) =Z0(s)

N0(s)

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c

e

e

1 +G0(s) =Z0(s) +N0(s)

N0(s)

i

d d

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3 2 1 0 1 2 3 4 53

2

1

0

1

2

3Nyquist Diagram

Real Axis

I

m

a

g

i

n

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A

x

i

s

1 +G0(j)

G0(j)

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3Nyquist Diagram

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!

Z0(s)

N0(s)

G0(s)

Z0(s)+N0(s)

1+G0(s)

N0(s)

G0

N0(s)

Z0(s)

Z0(s)+N0(s)

N0(s)

n

n

n

P (j) = an(j s1)(j s2) . . . (j sn)

s1 . . . sn

P (j) = an |j s1| |j s2| . . . |j sn| ej(arg(js1)+arg(js2)++arg(jsn)).

(j si)

Resjsi

Im

= 0

j sjj si

jsi

si

j

si

arg{j si}

90

pi

2

sj

pi2

pi

pi

pi

2

pi2

P (j)

n

P

n+

Seite 72 von 199

n n+

{P (j)} = (n n+)pi

2 n+

pi

2.

1 + G0(j)

n

(=

)

m0

m

{1 +G0(j)} = (nm)pi

2m

pi

2

((nm0)

pi

2m0

pi

2

)

= m0pi mpi

Z0(s)+N0(s)

m = 0

{1 +G0(j)} = m0pi 2

a0 6= 0

0

j

G0(j)

(1/0)

G0(j

) = 1

1 + G0(j) = 0

j

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zu Kap. III.2.2 e) Regelgte


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1

Zeit-und Frequenzbereich

Kenngren des geschlossenen Kreises im Zeitbereich:

1

0

t

y(t)

0.5

t50%

e

tanrtanr Anregelzeit t50% Anstiegszeit Normierte berschwingweitee Bleibende Regelabweichung

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1


Kenngren des offenen Kreises im Bodediagramm:

))(( 0 jG180

20lg|G(0)|20lg|G(j)|

D0

r

20lg|1/ar|lg

lg

-1800

00

D Durchtrittsfrequenz-180 Phasendurchtrittsfrequenzr Phasenreservear AmplitudenreserveG(0) Stationre Verstrkung

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Annahme:Der geschlossene Kreis kann nherungsweise durch einPT2-Glied

200

2

20

0 2)(

++= sdssG

beschrieben werden.

Faustformeln fr 0.5 < d < 0.8 :

Schnelligkeit: D t50% 1.5 berschwingen: r [] 70 [%] Bandbreite: B > D

Seite 74 von 199

zu Kap. III.3.1 a) Einstellregeln

Vorlesung Regelungstechnik 1, Institut fr Systemtheorie und RegelungstechnikProf. Dr.-Ing. Frank Allgwer 1

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Ausgangsrckfhrungen

Typische Reglerstrukturen

P-Regler PKsK =)(

PID-Regler (nicht exakt realisierbar)

++=

sTsTKsK

IDP

11)(

( )sTKsK DP += 1)( PD-Regler (nicht exakt realisierbar))11()(

sTKsK

IP += PI-Regler

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1

Einstellregeln fr Regler-Tuning

bersicht ber ausgewhlte Tuning-Verfahren

1. Sprungmethode nach Ziegler-Nichols

Bei bekannter Sprungantwort eines stabilen Systems, gewonnen aus Modell oder Experiment.

2. Schwingmethode nach Ziegler-Nichols

Bei bekanntem Modell mit Hilfe des Bodediagramms (Frequenzbereichsmodell) oder eines Simulationsexperiments (Zeitbereichsmodell), Experiment oft nicht ratsam.

3. Relais-Methode nach strm-Hagglund

Kein Streckenmodell ntig, Parameter aus Experiment mit Schalt-Regler.

Einstellen der Reglerparameter bei vorgegebener Struktur mit Hilfe der

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R=KS/...Tangentensteigung

KS...stat. Verstrkung


Sprungmethode nach Ziegler-Nichols

Voraussetzungen:1. Regelstrecke ist stabil2. Sprungantwort hat (nherungsweise) folgende Form:

KS

L

(Tangente im Wendepunkt)

t

y bertragungsfunktionLs

GS KS s+11 e

L...Totzeit

...Anstiegszeit

LsGS KS s+1

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Regelziel:Amplitudenverhltnis im geschlossenen Kreis a=y2/y1

zu Kap. III.3.1 a) Einstellregeln


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Wahl der Parameter (Erfahrungswerte)

P-Regler PI-Regler PID-Regler

K=R L

1 K=R L0.9 K=

R L1.2

TI= 0.3L TI= 2 L

TD= 0.5 L

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1



Vorteile:

Sehr schneller Entwurfsvorgang

Ausreichend robustes Regelverhalten (Stabilitt)

Nachteile

Keine hohe Regelgte erreichbar

Nicht anwendbar bei L> ; Sehr sensitiv fr L Nur fr stabile Strecken mit oben dargestellter Sprungantwort

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1


Angaben fr das Beispiel:

Approximation durch Vernachlssigung der schnellen Dynamik 1/(0.1s+1)

Regelstrecke

ee ss sssssG8.08.0

2 )11.0)(18.0(3.1

19.008.03.1)( ++=++=

Approximation durch Tangente im Wendepunkt

8.0;8.0;3.118.0

3.1)( 8.0 ===+= LK

ssG S

se

86.0;01.1;3.1101.1

3.1)( 86.0 ===+= LK

ssG S

se

Seite 76 von 199

zu Kap. III.3.2 Loopshaping


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(Open-)Loopshaping fr SISO-Systeme

Anforderungen an den geschlossenen Kreis

1. Nominelle Stabilitt

Aus Ortskurve oder Bode-Diagramm des offenen Kreises mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums

2. Robuste Stabilitt

Amplituden- und Phasenreserve aus Ortskurve oder Bodediagramm des offenen Kreises

3. Regelgte

Folgeverhalten sowie Str- und Rauschunterdrckung aus Amplitudengang des offenen Kreises (s.u.)

Alle Forderungen an den geschlossenen Kreis aufgrund von Eigenschaften des offenen Kreises G0=GK berprfbar !

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Anforderungen 1 und 2: Stabilitt und Robustheit der Stabilitt

Einfache Anwendung des Nyquist-Kriteriums im Bode-diagramm mglich, fr

30

0

0

=

am

Der geschlossene Kreis ist genau dann asymptotisch stabil, wenn gilt:

die Phase von G0 an der Durchtrittsfrequenz ist grer (d.h. weniger negativ) als 180,

die Phase von G0 muss dabei beginnend bei a0/2 ins Bodediagramm eingezeichnet werden.

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Anforderungen 1 und 2: Stabilitt und Robustheit der Stabilitt

ra Amplitudenreserve

r Phasenreserve

)(0 jG0-1

ra/1

r D

D Durchtrittsfrequenz1)(0 =DjG

log

dB))(log(20 0 jG

dB0

))(( 0 jG00

0180 r

D

180 log

dBlog20 raU

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Anforderung 3 an den geschlossenen Kreis: Regelgte

Regelfehler: )()()()()()()()( ssTszsGsSswsSse Z +=Folge-verhalten

Str-unterdrckung

Rausch-unterdrckung

Gewnschtes Fhrungsfolgeverhalten und Strunterdrckung:

1)( 1)(1

1)(!

0!

0>>



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Anforderung 3 an den geschlossenen Kreis: Regelgte

Kompromiss:

Geschwindigkeit des geschlossenen Kreises

dBjT B 3)( =bertragungsbandbreite B

> D: Gute Rauschunterdrckung(|G0(j)||T(j)|)

entspricht nherungsweise Durchtrittsfrequenz D 1)( 0 =DjG

< D: Gutes Fhrungs- und Strverhalten (|G0(j)|>1, |S(j)|



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1


P-Regler

Regelgesetz PKsK =)(

Wirkungsweise Parameter KP verschiebt Amplitudengang von G0(s)= KP G(s)

nach oben (KP>1) bzw. nach unten (KP



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1


PI-Regler

Regelgesetz)11()(

sTKsK

IP +=

Wirkungsweise I-Anteil garantiert strukturell, dass keine bleibende

Regelabweichung auftritt Parameter KP: Wahl, so dass gewnschte Durchtrittsfrequenz

erreicht wird Parameter TI : legt Eckfrequenz fest

Legt man die Eckfrequenz gengend weit unterhalb der Durchtrittsfrequenz fest, so wird die Regelgte verbessert, ohne die Stabilittsreserve nachteilig zu beeinflussen

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1

K(j)


PI-Regler

Frequency (rad/sec)

P

h

a

s

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(

d

e

g

)

M

a

g

n

i

t

u

d

e

(

d

B

)

0

-270

-180

-90

0

G(j)K(j)G(j)

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1


Lead-Element (phasenanhebendes Korrekturglied)Regelgesetz

wvswsvsK +

+=)(

Frequency (rad/sec)

P

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(

d

e

g

)

M

a

g

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e

(

d

B

)

0

0

90

wv w

v

wv

asymptotischer Verlauf

1>v

0>

0A

wv

Dw >Dwv >

Seite 80 von 199



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Lead-Element

Frequency (rad/sec)

P

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(

d

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g

)

M

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g

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(

d

B

)

0

-270

-180

-90

0

ra

r

G(j) G(j)K(j)

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P-Regler mit lead-Element (PD-Regler)

Wirkungsweise Wahl der Durchtrittsfrequenz wie bei P-Regler Verbesserung der Stabilittsreserve mit lead-Element

P+lead-Regelgesetz (Approximation eines PD-Reglers)

+

+=wvs

wsvKsK P)( 1>v

PD-Regelgesetz (nicht streng realisierbar !)

( )sTKsK DP += 1)(

=

v

T wD1

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PI-Regler mit lead-Element (PID-Regler)

Wirkungsweise Wahl der Durchtrittsfrequenz wie bei P-Regler Verbesserung der Regelgte wie bei PI-Regler Verbesserung der Stabilittsreserve mit lead-Element

PI+lead-Regelgesetz (Approximation eines PID-Reglers)

+

+

+=

wvswsv

sTKsK

IP

11)( 1>v

PID-Regelgesetz (nicht streng realisierbar !)

++=

sTsTKsK

IDP ~

11~)( ( )( )( )

+=+=

+=

v

TT

T

KK

I

I

I

wTII

wTwD

wTPP

1

111

1

1~1

1~

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1

Interaktive Onlinebungen

Auf der IST-Homepage

http://www.uni-stuttgart.de/education/courses/RTI/online

Credits:

Gerd S. Schmidt Ulrike Currle Holger Conzelmann Tobias Schweickhardt Sebastian Gunreben Dr. Eric Bullinger

Seite 81 von 199

Institut fur Systemtheorie und RegelungstechnikProf. Dr.-Ing. F. AllgowerRegelungstechnik I Loopshaping-Entwurfhttp://www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/RTI/

Uni Stuttgart17.04.2007

ts,pw

Einfacher loop-shaping Entwurf

Der geschlossene Kreis soll die folgenden Anforderungen erfullen: Stabilitat

gutes Fuhrungs-/Storverhalten

kleine bleibende Regelabweichung

Das Einschwingverhalten soll schnell genug sein, d.h. die Bandbreite soll gro genug sein

Robustheit der Stabilitat

Der ReglerK(s) soll so entworfen sein, da diese Anforderungen erfullt sind. Im Eingroenfall enthalt dasBode-Diagramm des offenen KreisesG0(s) = G(s)K(s) alle Informationen uber den geschlossenen Kreis.D.h. es genugt, die UbertragungsfunktionG(s)K(s) so zu

formen, da die gewunschten Anforderungen

erfullt sind.Im folgenden wird gezeigt, wie die Ubertragungsfunktion des offenen Kreises aussehen mu, damit

-6e

- K(s) - G(s) -r

Abb. 1: Offener Kreis (durchgezogene Linien) und geschlossener Kreis (gestrichelte Li-nien).

die genannten Anforderungen erfullt werden. Anschlieend untersuchen wir, wie die Parameter einesPI-Reglers gewahlt werden mussen, um diese Form der Ubertragungsfunktion des offenen Kreises zuerreichen. Da man den Amplituden- und Phasengang des offenen Kreises geeignet

formt, nennt man

diese Vorgehensweise (open) loop-shaping.

Stabilitat

Die Stabilitat des geschlossene Kreises kann mit Hilfe des Nyquist-Kriteriums aus der Ortskurve oderdem Bode-Diagramm des offenen Kreise abgelesen werden.

Beispiel 1. In Abbildung 2 sei vorausgesetzt, da die ungeregelte Strecke G(s) stabil ist. Aus demNyquistkriterium erkennt man, da der geschlossene Kreis instabil geworden ist, da die Phasendrehung

-Re

6Im

1

AAAAAAAU

G(j)K(j)

Abb. 2: Ortskurve eines instabilen geschlossenen Kreises (G(s), K(s) stabil).

1

bezuglich des kritischen Punktes (1, 0) = 2pi und somit von null verschieden ist.

Im Bode-Diagramm lat sich die Stabilitat folgendermaen ablesen: Ist die ungeregelte Strecke stabil,so ist der geschlossene Kreis stabil, wenn bei der Phase = pi die Amplitude kleiner als

1 ist. Der

Regler K(s) mu somit so beschaffen sein, da an der Durchtrittsfrequenz die Phase groer als pi ist.

Bleibende Regelabweichung

Die bleibende Regelabweichung wird klein sein, wenn G(j)K(j) 1 fur kleine Frequenzen gilt.

Bandbreite

Die Bandbreite B des geschlossenen Kreises ist ungefahr gleich der Durchtrittsfrequenz D des offenenKreises.Dies kann man sich wie folgt veranschaulichen. Im SISO-Fall entspricht der komplementaren Sensiti-

vitatsfunktion der Ausdruck GK1+GK

. Man uberlegt sich leicht:

GK

1 +GK 1 GK 1

GK 1 GK

1 +GK 1

Robuste Stabilitat

Die Robustheit der Eigenschaft Stabilitat kann uber die Phasen- und Amplitudenreserve beeinflutwerden.

Die Phasenreserve R ist der Winkel, bei dem der Frequenzgang den Einheitskreis schneidet,d.h. |G K| = 1 (im Bode-Diagramm leicht ablesbar). Die Phasenreserve gibt an, um wieviel diePhase der echten Strecke von der Phase des Modells differieren kann, damit trotzdem Stabilitatgewahrleistet bleibt.

Die Amplitudenreserve aR =1

ARist der Faktor, durch den sich die Verstarkung der realen Strecke

-Re

6Im

1

-

AR

R

GK

Abb. 3: Veranschaulichung der Amplituden- und Phasenreserve im Nyquistdiagramm.

vom Modell unterscheiden kann, ohne da das System instabil wird (Abbildung 3).

Entwurfsvorgang

Die Anforderungen an den geschlossenen Kreis konnen also durch Anforderungen an den Verlauf desAmplituden- und Phasengangs des offenen Kreises formuliert werden. Wie bestimmt man aber einenRegler K(s) so, da der offene Kreis GK diesen Anforderungen genugt? Im Eingroenfall ist dies rechteinfach. Die (frequenzweise) Multiplikation vonG(s) undK(s) entspricht einer Addition der Amplitudenund Phasen vonG(s) undK(s) im doppellogarithmischen Bodediagramm fur jede Frequenz. Wir mussenalso nur anhand der gestellten Anforderungen uberlegen, bei welchen Frequenzen welche Amplitude und

2

Seite 82 von 199

Phase des Reglers benotigt wird, um den gewunschten Verlauf von GK im Bodediagramm zu erreichen.Die Schwierigkeit bei dieser Vorgehensweise besteht darin, da Amplitude und Phase von K(s) nichtunabhangig voneinander gewahlt werden konnen. Im folgenden soll die typische Vorgehensweise amBeispiel des Entwurfs eines P- bzw. PI-Reglers fur eine Beispielstrecke demonstriert werden.Beispiel 2. Wir wollen einen Regler fur das folgende System G(s) entwerfen:

G(s) = 101

(s+ 0.5)(s+ 1)(s+ 5)(1)

Die Abbildungen 4 und 5 zeigen Bode-Diagramm und Ortskurve der ungeregelten Strecke.

104 102 100 102 104300

200

100

0

100

log

A

104 102 100 102 104

270

180

90

0

log

Abb. 4: Verlauf der Amplitude von G(s) in dB (linkes Bild) und der Phase von G(s) inGrad (rechtes Bild).

1 0 1 2 3 43

2.5

2

1.5

1

0.5

0

0.5

Re

Im

Abb. 5: Ortskurve von G(s).

P-Regler

KP (s) = KP (2)

Die Ortskurve besteht nur aus einem Punkt auf der reellen Achse bei KP . Der Amplitudengang bestehtaus einer Parallelen zur -Achse im Abstand logKP von der 0 dB-Linie. Die Phase ist fur alle gleichnull. Man hat nur einen Parameter KP um den Verlauf von GK im Bode-Diagramm zu beeinflussen.

PI-Regler

KPI(s) = KP +KI

s= KP

s+ KIKP

s= KP

s+ 1TI

s(3)

Hier stehen zwei Parameter, KP und TI , zum loop-shaping zur Verfugung. Auch hier sei wieder dasprinzipielle Bode-Diagramm eines PI-Reglers dargestellt (Abbildung 6). Der VerstarkungsfaktorKP desPI-Reglers bewirkt ausschlielich eine Verschiebung des Amplitudenganges nach oben bzw. nach unten,ohne die Phase zu verandern. Der Parameter TI verandert die Form des Bode-Diagramms. Wie manaus dem Phasengang des PI-Reglers entnehmen kann, bewirkt er fur Frequenzen groer als 1

TIkeine

Phasendrehung mehr. Der Vorteil der PI-Parametrierung mit KP und TI gegenuber der Parametrierungmit KP und KI ist, da man die Eckfrequenz und die Verstarkung fur groe Frequenzen unabhangigvoneinander einstellen kann.Wir betrachten nun im folgenden den geschlossenen Regelkreis und stellen folgende Forderungen.

3

104 102 100 102 10410

10

30

50

log

A

104 102 100 102 104

90

60

30

0

log

Abb. 6: Verlauf der Amplitude eines PI-Reglers in dB (linkes Bild) und seiner Phase inGrad (rechtes Bild) (Kp = 1 und TI = 10

2).

keine bleibende Regelabweichung (durch I-Anteil strukturell erfullt)

Beispielhaft fordern wir, da die Bandbreite des geschlossenen Kreises doppelt so gro sein sollwie die des offenen Kreises. D.h. die Durchtrittsfrequenz soll D = 2

1

secsein. Diese Bedingung

wird uber den Reglerparameter KP erfullt.

Stabilitat, nominell und robust (Phasenreserve 60). Diese Bedingung wird durch geeignete Wahlvon KP und TI erfullt.

Offener Kreis mit P-Regler

Den einen Freiheitsgrad des P-Reglers benutzen wir, um die Durchtrittsfrequenz festzulegen. Der P-Regler verschiebt die Amplitude um den Betrag logKP . D.h. KP bestimmt man, indem beim offenenKreis die Amplitude bei der gewunschten Durchtrittsfrequenz abgelesen wird (Ampl{D}). Hier betragtder Wert 5dB, was 0.58 entspricht. Daraus ergibt sich KP zu KP =

1

0.58 1.7 (=5dB).

Die Phase wird dadurch nicht verandert. Wie aus Abbildung 7 zu entnehmen ist, hat der offene Kreismit dem P-Regler K(s) = 1.7 tatsachlich eine Durchtrittsfrequenz von etwa D = 2

1

sec(gestrichelte

Linie). Die Phase betragt bei der Durchtrittsfrequenz = 150. Daraus folgt, da der geschlosseneKreis nominell stabil ist. Die Phasenreserve ist etwa 30 Grad. Wir fordern aber eine Phasenreserve

104 102 100 102 104300

200

100

0

100

log

A

104 102 100 102 104

270

180

90

0

log

Abb. 7: Verlauf der Amplitude der offenen Strecke mit P-Regler in dB (linkes Bild) undder Phase in Grad (rechtes Bild).

von 60 Grad. Auerdem mussen wir mit bleibender Regelabweichung bei Fuhrungs- und Storsprungenrechnen, da die Amplitude nicht sehr gro fur kleine Frequenzen ist. Damit erfullt dieser Regler diegestellten Anforderungen nicht.

Offener Kreis mit PI-Regler

Die Forderung nach verschwindender bleibender Regelabweichung lat sich mit einem PI-Regler erfullen.Fur die Verstarkung KP des PI-Reglers wahlen wir ebenfalls KP = 1.7, um die gewunschte Durch-trittsfrequenz zu erzielen. Die Eckfrequenz 1

TIwird so klein gewahlt, da der Regler keine negative

4

Seite 83 von 199

104 102 100 102 104300

200

100

0

100

log

A

104 102 100 102 104

270

180

90

0

log

Abb. 8: Verlauf der Amplitude der offenen Strecke mit PI-Regler (Gleichung (4) in dB(linkes Bild) und der Phase in Grad (rechtes Bild).

Phasendrehung im Bereich der Durchtrittsfrequenz hat, um die Stabilitatseigenschaften und Phasenre-serve nicht zu verschlechtern. Hier wahlen wir 1

TI= 0.01. Damit ergibt sich

K(s) = 1.7s+ 0.01

s(4)

Die Ortskurve hat den in Abbildung 10 dargestellten Verlauf. Die Amplitudenreserve betragt nach

104 102 100 102 104

20

10

0

log

A

104 102 100 102 10490

60

30

0

log

Abb. 9: Verlauf der Amplitude eines lag-Elementes mit v = 10 und w = 1 in dB (linkesBild) und der Phase in Grad (rechtes Bild).

2 0 2 4 6 87

6

5

4

3

2

1

0

1

Re

Im

Abb. 10: Ortskurve des offenen Kreise mit PI-Regler (Gleichung (4)).

Abbildung 10 ar =1

0.3 3. Die Phasenreserve betragt nach wie vor ca. 30. Mit einem PI-Regler lat

sich also die gewunschte Phasenreserve von 60 nicht erreichen.

5

Offener Kreis mit PI-Regler und lead-lag-Netzwerk

Ein etwas aufwendigerer Entwurf, der weitere Entwurfsfreiheitsgrade eroffnet, ist mit sog. Lead- bzw.Lag-Elementen (lead-lag-Netzwerk) moglich.

lag-Element (Phasenabsenkendes Korrekturglied)

Ein lag-Element ist ein PPT1-Glied, das die Amplitude oberhalb gewisser Frequenzen absenkt ohne diePhase fur diese Frequenzen zu verandern:

Q(s) =1

vs+ vw

s+ wv > 1 (5)

Abbildung 9 zeigt das Bodediagramm eines typischen lag-Elementes. Man beachte, da die Phase furgroe Frequenzen gleich null ist. Lag-Elemente wendet man fur Frequenzen unterhalb der Durchtritts-frequenz an, um die Amplitude im Bereich der Durchtrittsfrequenz abzusenken, ohne dort die Phaseabzusenken. Man kann also auf diese Weise die Verstarkung erhohen bei gleichzeitigem Beibehalten derPhasenreserve.

lead-Element (Phasenanhebendes Korrekturglied)

Ein lead-Element ist ein PDT1-Glied, das die Phase in einem bestimmten Frequenzbereich anhebt, ohnedie Amplitude in diesem Bereich zu beeinflussen.

Q(s) = v s+ w

s+ vwv > 1 (6)

Lead-Elemente wendet man im Bereich der Durchtrittsfrequenz an, um die Phasenreserve zu vergroern,ohne die Verstarkung zu verandern. Abbildung 11 zeigt das Bodediagramm eines typischen lead-

104 102 100 102 104

0

10

20

log

A

104 102 100 102 104

0

30

60

90

log

Abb. 11: Verlauf der Amplitude eines lead-Elementes mit v = 10 und w = 1 in dB (linkesBild) und der Phase in Grad (rechtes Bild).

Elementes. Man erkennt, da bei der Frequenz = 2 die Amplitude noch sehr klein ist, aber diePhase bereits relativ groe (positive) Werte hat.In unserem Beispiel kann man die Phasenreserve durch Verwenden eines Lead-Elementes (mit v = 10

und w = 5)

Q(s) = 10s+ 5

s+ 50(7)

erhohen. Die Phasenreserve steigt dadurch auf etwa 50 Grad, wie aus den nachfolgenden Diagrammenentnommen werden kann. Die Ortskurve hat den in Abbildung 13 dargestellten Verlauf.Wenn wir die Phasenreserve noch weiter erhohen wollen, konnten wir dies mit einem weiteren lead-Element erreichen.

Die Wahl der Parameter von PI-Reglern und lead-lag-Netzwerken wird im allgemeinen iterativ erfol-gen: Anhand von Uberlegungen fur den asymptotischen Verlauf der Phase und Amplitude wird einbestimmter Satz von Reglerparametern gewahlt. Mittels geeigneter Programme werden die exakten Bo-dediagramme dann berechnet und graphisch ausgegeben. Anhand dieser Kurven wird der gewunschteVerlauf iterativ erreicht.

6

Seite 84 von 199

4 2 0 2 4300250200150100

500

50100

log

A

[

d

B

]

4 2 0 2 4

270

180

90

0

log

[

]

Abb. 12: Verlauf der Amplitude der offenen Strecke mit PI-Regler (Gleichung (4) undlead-Element (Gleichung (7)) in dB (linkes Bild) und der Phase in Grad (rechtes Bild).

2 0 2 4 6 87

6

5

4

3

2

1

0

1

Re

Im

Abb. 13: Ortskurve des offenen Kreise mit PI-Regler (Gleichung (4)) und lead-Element(Gleichung (7)).

Die Anforderungen an die Regelgute werden durchFormen von Amplitude und Phase des offenen

Kreises nur naherungsweise erfullt. Man mu also nach jedem open-loop-shaping-Entwurf uberprufen,ob die Anforderungen im geschlossenen Kreis erfullt sind. Dies geschieht durch Berechnen und Ausgebender Bodediagramme z.B. fur die Sensitivitat S und die komplementare Sensitivitat T . Gegebenenfallssind weitere Iterationen notig. Anschlieend sollte durch Zeitbereichssimulationen uberpruft werden, obdie erzielten Eigenschaften im Frequenzbereich auch im Zeitbereich zum gewunschten Regelverhaltenfuhrt. Bei Nichterfullen sind weitere Iterationsschritte notig.

7

Seite 85 von 199

Institut fur Systemtheorie und RegelungstechnikProf. Dr.-Ing. F. AllgowerRegelungstechnik I

http://www.ist.uni-stuttgart.de/education/courses/RTI/


jr

Vortragsubungen 1

V1) Uberprufen Sie folgende Ubertragungssysteme (Eingang u, Ausgang y) auf Linearitat undZeitinvarianz:

a) y(t) = (u(t) + 1) cos(2t)

b) y(t) = u(t 5)c) a(t)y(t) + by(t) + c sin(y(t)) = u(t) (Pendel-Dgl.)

V2) Sind die beiden folgenden Ubertragungssysteme (Eingang u, Ausgang y) kausal?

a) x(t) = 7x(t) + u(t), x(0) = 0, y(t) = x(t) + u(t)b) y(t) =

10 u()d

V3) Finden Sie den stationaren Punkt (ys, us) (ys = const., us = const.) desUbertragungssystems

y(t) = (u(t) + 1) cos(2t)

und linearisieren Sie das System um diesen Punkt.

V4) Die Differentialgleichung zur Beschreibung eines Motors sei gegeben als

= (u )2 4 .

Dabei bezeichnet die normierte Drehzahl und u die normierte angelegte Spannung.

a) Bestimmen Sie die stationaren Drehzahlen fur die Spannung us = 1.

b) Linearisieren Sie die Differentialgleichung allgemein um die Ruhelage (us, s)

V5) Geben Sie die Hurwitz-Matrix fur die Differentialgleichung

y(6) + 3y(5) + 24y(4) + 7y(3) + 9y + 2y + 3y = u

an.

V6) Geben Sie fur folgende Differentialgleichungen die charakteristische Gleichung an unduberprufen Sie sie auf asymptotische Stabilitat:

a) y(3) + 4y 2y + y = 10u+ 20ub) y(3) + 4y + 2y + y = 0

V7) Geben Sie fur folgende Differentialgleichungen an, fur welche Werte der Parameter a bzw.b, c asymptotische Stabilitat vorliegt.

a) y + (a 1)y + y = 0b) y(3) + (4 b)y + by + (c 1)y = 0




mh

Vortragsubungen 2

V1) Gegeben sei folgendes passives Fahrwerk mit Straenanregung zR:

zR

c d

zA mA

a) Beschreiben Sie das System im Zustandsraum.

b) Bestimmen Sie das Stabilitatsverhalten des Fahrwerks fur mA=1, c=4, d=2.

V2) Beschreiben Sie folgende Differentialgleichungen durch eine Realisierung imZustandsraum.

a) y + (a 1)y + y = u+ 5ub) y + ay + b sin(y) = u (Pendel-Dgl.)

V3) Gegeben sei das Differentialgleichungssystem

x1 = (x1 2)(x2 + 3)x2 = x

21 + 3x2 + u

y = x1x2 .

Finden Sie die Ruhelagen des Systems als Funktion von uS , und geben Sie die Lin-earisierung um die Ruhelage (xS , uS) = ([0,3]T , 9) in Zustandsraumdarstellung an.

V4) Ein Ruhrkesselraktor werde durch die Modellgleichungen

[cATR

]=

[ 18 220 36

] [cATR

]+

[048

]Tc

y = [0 1]

[cATR

]

fur die Konzentration cA des Stoffes A und die Temperatur TR im Reaktor beschrieben.

a) Transformieren Sie die Gleichungen in Regelungsnormalform und geben Sie dieTransformationsmatrix T an.

1

Seite 86 von 199




mh

Vortragsubungen 3

V1) Gegeben sei folgendes System in Zustandsraumdarstellung:

x =

[1 0

1 2]x+

[3

3]u , x0 =

[10

]

a) Transformieren Sie die Gleichungen in Diagonalform und geben Sie die Transforma-tionsmatrix T an.

b) Berechnen Sie die Fundamentalmatrix eAt zur Dynamikmatrix mittels Spektral-darstellung.

c) Berechnen Sie die Fundamentalmatrix eAt zur Dynamikmatrix mit Hilfe des Satzesvon Cayley-Hamilton,

d) Berechnen Sie die homogene Losung der Differentialgleichung.

e) Berechnen Sie die Losung der Differentialgleichung fur u(t) = 1.

V2) Geben Sie fur das System

x =

0 0 61 0 11

0 1 6

x , x0 =

65

1

die Losung x(t) an. (Hinweis: x0 ist ein Eigenvektor der Dynamikmatrix A.)

V3) Gegeben sei folgendes Doppelpendel:

g

L

L

y2

y1

Im Zustandraum kann das unangeregte System durch

x =

0 0 1 0

0 0 0 1

3 gL

gL

0 0

gL

gL

0 0

x , x(0) = x0 mit x =

y1

y2

y1

y2

beschrieben werden.Berechnen Sie fur g = 10, L = 10 und die Anfangsbed. x0 = [0 0 2 (2 + 2

2)]T die

Losung x(t). (Hinweis: x0 ist eine Linearkombination aus 2 Eigenvektoren)

1




tr

Vortragsubungen 4

V1) Stabilisieren Sie die instabile Regelstrecke

x =

[0 10 2

]x+

[01

]u

y =[1 0

]x,

mittels einer Zustandsruckfuhrung.

a) Welche technische Voraussetzung muss bei einem Entwurf einer Zustandsruck-fuhrung erfullt sein?

b) Ist die Regelstrecke steuerbar, d.h., kann eine Zustandsruckfuhrung mit beliebigerPolvorgabe fur die Regelstrecke entworfen werden?

c) Entwerfen Sie eine Zustandsruckfuhrung u(x) = kTx fur die Regelkreisstrukturaus Abbildung 1, so dass der geschlossene Regelkreis Eigenwerte bei 2 und 3 hat.

kT

x = Ax+ bu

y = cT x

x

u yr

Abbildung 1: Zustandsruckfuhrung.

d) Bestimmen Sie die bleibende Regelabweichung bei einem Einheitssprung der Fuhr-ungsgroe r mit der Zustandsruckfuhrung aus Teilaufgabe c).

e) Um das Fuhrungsverhalten der Zustandsruckfuhrung zu verbessern, wird die Regel-kreisstruktur aus Abbildung 1 um ein Vorfilter v erweitert (siehe Abbildung 2). Wiemuss man das Vorfilter v wahlen, damit die bleibende Regelabweichung verschwin-det?

kT

x = Ax+ bu

y = cTxv

x

ur y

Abbildung 2: Zustandsruckfuhrung mit Vorfilter.

1

Seite 87 von 199

V2) Gegeben ist die Regelstrecke mit dem messbaren Ausgang x1

x =

[0 11 1

]x+

[01

]u

y =[1 0

]x.

Entwerfen Sie fur die Regelstrecke einen Beobachter und einen Regler.

a) Erkaren Sie anhand von Abbildung 3 das Prinzip eines Beobachters.

Beobachter

x = Ax+ bu

y = cTx

yu

x

Abbildung 3: Beobachter.

b) Welche Anwendungen gibt es von Beobachtern in der Regelungstechnik?

c) Ist die gegebene Regelstrecke beobachtbar, d.h., kann ein Beobachter fur die Regel-strecke entworfen werden?

d) Entwerfen Sie einen sogenannten Luenberger-Beobachter (siehe Abbildung 4) fur dieRegelstrecke. Die Eigenwerte der Fehlerdynamik sollen bei 4 und 5 liegen.

x = Ax+ bu

y = cTx

Ax

Rb

L

cT

yu

y

Abbildung 4: Luenberger-Beobachter.

e) Entwerfen Sie eine dynamische Ruckfuhrung fur das gegebene System, so dass dieRegelstrecke asymptotisch stabilisiert wird. Beachten Sie, dass nur der Zustand x1gemessen werden kann.

f) Ist der geschlossene Regelkreises aus Teilaufgabe e) asymptotisch stabil?

2




ce

Vortragsubung 5

V1) Transformieren Sie folgende Funktionen in den Laplace-/Zeitbereich:

a) f(t) = e3t + (t 1)2e2t+2 + (2t 1),b) y(t) =

t0 sin(2(t ))cos(2)d ,

c) Wie lautet die Losung des Integrales in Punkt b)?

d) F (s) = s+2s(s27s+12)

,

V2) Gegeben ist folgende lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koef-fizienten

y + 6y + y = u+ u

mit den Anfangswertdaten t0 = 0, y0 = y0 = 0, u0 = u0 = 0, welche das Ein-/Ausgangs-verhalten (u Eingang, y Ausgang) eines Systems beschreibt.

a) Transformieren Sie die DGL mit allgemeinen Anfangsbedingungen in den Laplace-bereich.

b) Bestimmen Sie die Ubertragungsfunktion des Systems.

c) Ist das System stabil, minimalphasig?

d) Bestimmen Sie eine Zustandsraumdarstellung fur das System.

V3) Gegeben ist folgender Regelkreis:

Strecke

Messglied

PRegler

r

Ke y

1s

s+as+b

a) Bestimmen Sie die Gesamtubertragungsfunktion des Regelkreises (r y).b) Geben Sie Bedingungen fur die Koeffizienten a, b,K so an, dass der Regelkreis stabil

ist.

c) Geben Sie Bedingungen fur die Koeffizienten a, b so an, dass der Regelkreis mit demP-Regler K stabilisiert werden kann.

1

Seite 88 von 199


yu

G2

G1

G3

G4

d

a) Bestimmen Sie die Ubertragungsfunktionen T (s) = Y (s)U(s) fur d(t) 0 und S(s) =

Y (s)D(s) fur u(t) 0.

b) Wie lautet das Gesamtubertragungsverhalten von [u, d] y.

2




ce

Vortragsubung 6


F G1

G2

u e

y

a) Bestimmen Sie die Gesamtubertragungsfunktion T (s) des geschlossenen Kreises (uy).

b) Bestimmen Sie y(t) fur t mit u(t) = A sin(0t), wobei F (s) = 2, G2(s) = 1,G1(s) =

1s2+3s+1 ist.

c) Zeichnen Sie das Bodediagramm von T (j).

V2) Gegeben sei die Ubertragungsfunktion

G(s) = 10s 10

s+ 1.

a) Zeichnen Sie das Bodediagramm von G(j).

b) Zeichnen Sie die Ortskurve von G(j).

V3) Gegeben sei die Ubertragungsfunktion

G(s) =10( s10 + 1)(s 20)

s( s2 + 1)(s + 20).

a) Zeichnen Sie das Bodediagramm von G(j).

b) Zeichnen Sie die Ortskurve von G(j).

1

Seite 89 von 199

V4) Gegeben ist folgende Ortskurve:

G(j)

Im

Re

Welche der unten angegebenen Ubertragungsfunktionen gehort zur gezeichneten Ortskur-ve?

a) G1(s) =s

s3+2s+1

b) G2(s) =10

s(s+1)

c) G3(s) =10

s(s+1)(s+3)

d) G4(s) =s+1

s(s+2)(s+3)

e) G5(s) =s+10

s2(s+1)(s+2)

2




tr

Vortragsubungen 7

V1) Entwerfen Sie einen Regler, so dass eine Metallkugel von einem Elektromagneten in derSchwebe gehalten wird. Das linearisierte Modell um die Position y0 hat die Ubertragungs-funktion

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

s2 1 ,

wobei u die Stellgroe (Strom I) und y die Position der Metallkugel ist.

y0

I

0

y

Fm

Fg

g

Fg

I

y

Gravitationskraft

g

Fm Elektrische Kraft

Gravitationsbeschleunigung

Position der Metallkugel

Strom

Abbildung 1: Schwebende Metallkugel.

a) Ist die Regelstrecke G(s) stabil?

b) Kann die Metallkugel mit einem P -Regler K(s) = KP stabilisiert werden?

c) Bestimmen Sie die Parameter eines idealen PD-Reglers K(s) = KP (1 + TDs), sodass sich im geschlossenen Regelkreis die charakteristische Gleichung s2+2s+1 = 0ergibt. Ist der ideale PD-Regler technisch realisierbar?

d) Wie gro ist die bleibende Regelabweichung mit dem idealen PD-Regler aus Tei-laufgabe c) bei einem Einheitssprung in der Fuhrungsgroe r?

e) Zeichen Sie den Verlauf von Ortskurve und Bodediagramm der Ubertragungsfunk-tion G0(s) = G(s)K(s) mit dem idealen PD-Regler aus Teilaufgabe c).

f) Zeichnen Sie den Verlauf von |S(j)| und |T (j)| mit der UbertragungsfunktionG0(s) aus Teilaufgabe e). Beurteilen Sie die Regelgute!

g) Prufen Sie die Stabilitat des geschlossenen Regelkreises mit dem idealen PD-Regleraus Teilaufgabe c) mit Hilfe des Nyquistkriteriums und des Small Gain Theorems.

1

Seite 90 von 199

V2) Entwerfen Sie fur die Regelstrecke

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

(0.1s + 1)(2s + 1)

einen PI-Regler mittels Loopshaping.

a) Bestimmen Sie die Parameter des PI-Reglers K(s) = KP

(1 + 1

TIs

)mittels Loops-

haping, so dass die folgenden Spezifikationen erfullt sind:

* Stabilitat des geshlossenen Regelkreises

* Durchtrittsfrequenz D 1 rads* Phasenreserve r 30* Keine bleibende Regelabweichung

b) Zeichnen Sie den qualitativen Verlauf von |S(j)| und |T (j)|.

2

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rb

Zusatzliche Ubungen 1

A1) Gegeben sei das System x+ 2 sin(x) = 0, (const. ).

a) Bestimmen Sie die Ruhelagen des Systems.

b) Linearisieren Sie die Differentialgleichung um eine Ruhelage.

c) Ist die linearisierte Differentialgleichung stabil?

d) Losen Sie die linearisierte Differentialgleichung fur die Anfangsbedingungen x(0) = x0und x(0) = 0.

A2) Gegeben sei das System y(t) = u(t) und ein Regler u(t) = k1y(t) + k2y(t).

a) Wahlen Sie k1 und k2 des Reglers u(t) = k1y(t) + k2y(t) so, dass sich fur die Differ-entialgleichung des geschlossenen Kreises y + 3y + 2y = 0 ergibt.

b) Wahlen Sie k1 und k2 so, dass die Wurzeln/Nullstellen des charakteristischen Poly-noms des geschlossenen Kreises bei p1 und p2 liegen.

A3) Uberprufen Sie folgende Ubertragungssysteme (Eingang u, Ausgang y) auf Linearitat.

a) y(t) = u(t) + 1,

b) y(t) = u(t) sin(t)

c) y(t) = eu(t),

d) y(t) = 3x(t), x(t) = u3(t),

e) y(t) =t

0 u()d .

A4) Uberprufen Sie folgende Ubertragungssysteme (Eingang u, Ausgang y) auf Zeitvarianz.

a) y(t) + y(t) = u(t),

b) y(t) = u(t) sin(t),

c) y(t) = u(t ), > 0.

A5) Uberprufen Sie folgende Ubertragungssysteme (Eingang u, Ausgang y) auf Kausalitat.

a) y(t) + y(t) = u(t),

b) 5y(t) + 2y(t) = u(t) + u(t),

c) y(t) = u(t ), > 0,

d) y(t) = u(t+ ), > 0.

A6) Ist die Ableitung nach der Zeit eine lineare Operation? Geben Sie eine kurze Begrundungan.




rb


A1) Untersuchen Sie folgende Differentialgleichungen auf Stabilitat.

a) y + 3y + 2y = 0,

b) y + y 2y = 0,

c) y + 2y + 2y = 0.

A2) Losen Sie die Differentialgleichungen aus Aufgabe 1 fur die Anfangsbedingungen y(0) = 1,y(0) = 0 und skizzieren Sie die Losung.

A3) Untersuchen Sie folgende Differentialgleichungen auf Stabilitat.

a)...y + 6y + 11y + 6y = 0,

b)...y + y + 2y + y = 0.

A4) Untersuchen Sie mit Hilfe des HurwitzKriteriums folgende Systeme auf Stabilitat.

a)...y + 2y + 3y + y = 0,

b) y(4) + 2...y + 3y + y + 2y = 0.

A5) Die charakteristische Gleichung eines Systems laute

s3 + (4 b1)s2 + b1s+ b2 1 = 0. (1)

Gesucht ist der Bereich der Parameter b1 und b2, fur den das System (1) stabil ist.

a) Bestimmen Sie mit Hilfe der Vorzeichenbedingung Bedingungen fur die Stabilitat.

b) Sind diese Bedingungen notwendig und/oder hinreichend?

c) Tragen Sie diese Bedingungen in ein Stabilitatsdiagramm fur die Parameter b1 undb2 ein.

d) Berechnen Sie mit Hilfe der Beiwertebedingung weitere Bedingungen fur die asymp-totische Stabilitat.

e) Sind diese zusatzliche Bedingungen notwendig und/oder hinreichend?

f) Tragen Sie diese zusatzliche Bedingungen in das Stabilitatsdiagramm ein.

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rb


A1) Die Abbildungen 1(a) bis 1(d) zeigen jeweils Phasendiagramme von linearen Systemender Form

x = Ax, x =

[x1x2

]. (1)

Welche der Abbildungen gehoren zu stabilen Systemen? Begrunden Sie Ihre Antwort.

A2) Schreiben Sie folgende Systeme in Zustandsraumdarstellung:

a) y + 6y + 8y = u,

b)...y + 4y + 6y + 4y = u,

c) y + 2 sin(y) = u.

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(a)

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(b)

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(c)

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(d)

Figure 1: Phasendiagramme.

A3) ? Fur die Transformation eines linearen, zeitinvarianten Systems u 7 y mit Eingang uund Ausgang y in den Zustandraum wird die Beziehung u 7 y u 7 y verwendet.

a) Beweisen Sie diese Beziehung unter der Annahme, dass das System durch eineDifferentialgleichung beschrieben wird.

b) Zeigen Sie, dass diese Beziehung fur jedes lineare, zeitinvariante System gilt.

A4) Schreiben Sie folgende Systeme in Zustandsraumdarstellung:

a) y + 6y + 8y = u,

b) y + 6y + 8y = 2u+ u.

Verwenden Sie dabei die Beziehung aus Aufgabe 3.

A5) Gegeben sei das nichtlineare Zustandsraummodell einer Regelstrecke 1

x1 = (2u+ x1)(2 + x42),

x2 = (x1 2x2)(3 + x31),

y = ex1+2 + 2(1 + x2).

a) Berechnen Sie die Ruhelagen der Regelstrecke in Abhangigkeit von u.

b) Linearisieren Sie den geschlossenen Kreis um die Ruhelage, die sich fur u = uS = 1ergibt.

1Siehe auch Ubungsaufgaben Regelungstechnik I, Aufgabe 11

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rb


A1) Gegeben sei das System x = Ax mit

A =

[1 1.56 1

].

a) Berechnen Sie die Eigenwerte sowie die Eigenvektoren der Matrix A.

b) Ist das System stabil?

c) Skizzieren Sie das Phasenportrait von x = Ax.

d) Geben Sie eine Transformationsmatrix T an, die A auf Diagonalform transformiert.Geben Sie A := T1AT an.

e) Skizzieren Sie das Phasenportrait von z = Az.

f) Vergleichen Sie die beiden Phasenportaits. Welcher Zusammenhang besteht zwischenden beiden Phasenportraits?

A2) Die Abbildungen 2(a) bis 2(d) auf der nachsten Seite zeigen jeweils Phasendiagrammevon linearen Systemen der Form

x = Ax, x =

[x1x2

]. (1)

Bestimmen Sie die Eigenwerte und zugehorigen Eigenvektoren dieser Systeme.Hinweis: Die Eigenwerte liegen bei -1, -2 oder 2.

A3) ? In den vorherigen Aufgaben sind die beiden Eigenwerte unterschiedlich und ungleichnull. Untersuchen Sie nun die folgenden Falle fur das System (1):

a) Wie sieht das Phasenportait aus, wenn ein Eigenwert bei null liegt?

b) Wie sieht das Phasenportait aus, wenn beide Eigenwerte identisch sind?

c) Wie sieht das Phasenportait bei konjungiert komplexen Eigenwerten aus?

A4) Gegeben sei ein System in Zustandraumdarstellung mit

A =

[2 40 1

], b =

[21

], cT =

[1 1

], d = 0.

a) Ist das unangeregte System stabil?

b) Bestimmen Sie die Transformationsmatrix T , die das System auf Regelungsnormal-form transformiert.

c) Geben Sie die zugehorige Differentialgleichung an.

A5) ? Zeigen Sie, dass det(I AR) = n + an1

n1 + . . .+ a1+ a0 gilt fur

AR =

0 1 0 00 0 1 0...

......

. . ....

0 0 0 1a0 a1 a2 an1

.

y1 = cT1x1 + d1u1

uy2 = c

T2x2 + d2u2

yx2 = A2x2 + b2u2 y2u2y1u1 x1 = A1x1 + b1u1

Abbildung 1: Reihenschaltung zweier Systeme.

A6) Gegeben seien die Zustandraummodelle zweier Systeme:

x1 = A1x1 + b1u1 x2 = A2x2 + b2u2

y1 = cT1 x1 + d1u1 y2 = c

T2 x2 + d2u2

Beide Systeme sollen nun in Reihe geschaltet werden (siehe Abbildung 1).

a) Geben Sie das Zustandsraummodell des Gesamtsystems an. Verwenden Sie dazux := [ x1x2 ] fur den Zustandsvektor des Gesamtsystems.

b) Welcher Zusammenhang besteht zwischen den Eigenwerten der Teilsysteme und denEigenwerten des Gesamtsystems?

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(a)

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(b)

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(c)

x1

x

2

0.5

0.51

1

0.5

0.5

0

0

1

1

(d)

Abbildung 2: Phasendiagramme.

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rb


A1) Gegeben sei wieder das System x = Ax mit

A =

[1 326 1

].

Hinweis: Die Eigenwerte und Eigenvektoren wurden in den zusatzlichen Ubungen 4,Aufgabe 1 berechnet.

a) Berechen Sie eAt mittels

a1) Spektraldarstellung / Dyadisches Produkt,

a2) Entwicklungstheorem von Sylvester,

a3) CayleyHamilton.

b) Geben Sie x(t) fur folgende Anfangsbedingungen an:

b1) x0 =

[12

], b2) x0 =

[12

], b3) x0 =

[10

], b4) x0 =

[01

].

c) Interpretieren Sie die Ergebnisse aus Teil b) anhand des Phasenportaits.

A2) Handelt es sich bei den Matrizen

1(t) =

[2e2t e4t e2t

4e2t + 4e4t e2t + 2e4t

], 2(t) =

[et et e2t

et e2t e2t

]

jeweils um eine zulassige Fundamentalmatrix eines Systems der Form x = Ax? GebenSie eine Begrundung an.1

A3) Gegeben sei die Fundamentalmatrix (t) eines Systems der Form x = Ax:

(t) =

[et 0

e4t + et e4t

].

Bestimmen Sie die Systemmatrix A.

A4) Gegeben sei ein Systemx = Ax+ bu (1)

mit Zustand x Rn und Eingang u R.

Im Folgenden soll eine mit der konstanten Abtastzeit T diskretisierte Version von Sys-tem (1) untersucht werden. Der Eingang u(t) sei in den Abtastintervallen konstant, d.h.

u(t) = uk fur kT t < (k + 1)T.

Den Zustand x zu den Abtastzeitpunkten t = kT bezeichnen wir mit

x(kT ) = xk.

Zeigen Sie, dass giltxk+1 = Axk + buk (2)

und geben Sie die Ausdrucke fur A und b an!Hinweis: Losen Sie System (1) im Intervall [kT, (k + 1)T ]!

1Siehe auch Ubungsaufgaben Regelungstechnik I, Aufgabe 12.




cbr


A1) Gegeben sei das System x = Ax+ bu, y = cTx mit

A =

[1 16 4

], b =

[01

], cT =

[1 0

].

a) Ist das unangeregte System stabil?

b) Im Folgenden soll eine Zustandsruckfuhrung u = kTx, kT = [k1 k2], entworfenwerden. Der Regler kT soll dabei so berechnet werden, dass sich fur den geschlossenenKreis ein doppelter Pol bei3 ergibt. Dafur sollen die folgenden drei Ansatze verfolgtwerden:

b1) Berechnen Sie die Zustandsruckfuhrung direkt durch Vergleich des charakteris-tischen Polynoms mit dem Sollpolynom.

b2) Transformieren Sie das System zunachst auf Regelungsnormalform und berech-nen Sie hierfur die entsprechende Zustandsruckfuhrung. Transformieren Sie dieseanschlieend zuruck in die Originalkoordinaten.

b3) Verwenden Sie die Ackermann-Formel.

c) Nachdem Sie das System stabilisiert haben, soll der Regler nun in geeigneter Wei-se erweitert werden, damit der Ausgang y einem vorgegebenen Referenzsignal rmoglichst gut folgt, d.h. im stationaren Zustand soll ys = rs gelten. Berechnen siedazu fur den Eingang u = kTx + vr das Vorfilter v und zeichnen Sie das Block-schaltbild der resultierenden Folgeregelung.

A2) Gegeben sei das System x = Ax+ bu mit

A =

[0 12 1

], b =

[1b2

].

a) Fur welche Werte von b2 ist eine beliebige Polvorgabe nicht moglich?

b) Lasst sich das System fur diese Werte von b2 noch auf Regelungsnormalform trans-formieren? Was geschieht mit der Transformationsmatrix T .

A3) Verwenden Sie die Definition der MatrixExponentialfuntion

eAt :=i=0

Aiti

i!, A Rnn, t R

um folgende Beziehungen zu zeigen:

a) ddteAt = AeAt,

b) eA0 = I.

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cbr, um


A1) Bearbeiten Sie das Midterm-Exam.

A2) In dieser Aufgabe sollen einige bisher gelernte grundlegende Methoden und Verfahren derRegelungstechnik wiederholt und an einem durchgangigen Beispiel angewendet werden.Dazu soll im Folgenden eine Regelung entworfen werden, die einen Satelliten auf einerkonstanten Erdumlaufbahn halt.

Erde

r

m Satellit

u

ur

Abbildung 1: Schemadarstellung des Satelliten.

Das nichtlineare Gleichungssystem, welches die Kinetik des Satelliten beschreibt, ist durchfolgende Differentialgleichungen gegeben:

mr r2

=

Mm

r2+ ur ,

m2r + r

= u.

(1)

Dabei ist r > 0 der Abstand des Satelliten vom Erdmittelpunkt, der Winkel zu einergedachten Nulllage (horizontale Linie), m > 0 die Masse des Satelliten, M > 0 eineKonstante proportional zur Erdmasse und ur und u sind radiale und tangentiale Krafte,mit denen die Lage des Satelliten beeinflusst werden kann (vergleiche Abbildung 1).

a) Gehen Sie zunachst davon aus, dass keine aueren Krafte auf den Satelliten wirken(ur(t) = u(t) 0). Zeigen Sie, dass sich der Satellit auf einer Umlaufbahn mitkonstantem Rakius r0 > 0 und konstanter Umlauffrequenz = 0 bewegen kann,d.h. das Gleichungssystem (1) Losungen der folgenden Form hat:

r(t) r0 ,

(t) 0,

mit (t) = (t). Welche Beziehung gilt zwischen dem Bahnradius r0 und der Um-lauffrequenz 0 fur diese Umlaufbahnen?

b) Ab jetzt soll lediglich die Umlaufbahn, also der Bahnradius r0, des Satelliten ge-regelt werden. Daher wird im Weiteren die genaue Position des Satelliten, d.h. derWinkel , vernachlassigt. Leiten Sie aus dem Differentialgleichungssystem (1) eineZustandsraumdarstellung

x(t) = f(x(t),u(t)), x(t) R3,u(t) R2.

ab, wobei der Zustandsvektor x und der Eingangsvektor u gegeben sind:

x =r r

Tu =

ur u

T.

Wie musste der Zustandsvektor gewahlt werden, wenn zusatzlich die genaue Positi-on, also , geregelt werden soll?

c) Linearisieren Sie das in Teilaufbage 2b) erstellte nichtlineare Zustandsraummodellum eine Ruhelage aus Aufgabe 2a), d.h., schreiben Sie das System in der Form

z(t) = Az(t) +Bu(t) (2)

mit z R3 und u = [ur u]T .

Rechnen Sie im Folgenden mit dem linearen System (2) und den Matizen

A =

2

40 1 03 0 10 4 0

3

5 , B =

2

40 02 00 4

3

5 (3)

weiter.

d) Nun soll die Stabilitat des linearen Modells unter der Annahme, dass keine auerenKrafte (ur(t) = u(t) 0) wirken, untersucht werden.

d1) Wieviele Gleichgewichtspunkte hat das System (2) und wo liegt er bzw. liegensie?

d2) Wo liegen die Pole des Systems (2)? Ist das System asymptotisch stabil, grenz-stabil oder instabil?

e) Als nachstes soll ein Zustandsregler entworfen werden. Aus Gewichtsgrunden kannan dem Satellit allerdings nur ein Antrieb in eine Antriebsrichtung, also entweder inur- oder in u-Richtung, montiert werden. Prufen Sie fur ur und u jeweils, ob einebeliebige Polvorgabe mit diesem Eingang moglich ist.

Betrachten Sie fur die weiteren Aufgaben lediglich das lineare Modell gema Gleichung

(2) mit der Matrix A aus (3) und dem Eingang u = u mit B =0 0 4

T.

f) Entwerfen Sie eine Zustandsruckfuhrung u(t) = kTz(t), so dass alle Pole des ge-schlossenen Kreises bei s = 1 liegen.

g) Der Satellit hat lediglich einen Sensor fur den Abstand r = z1, d.h. der Ausgang desSystems (2) ist y = cTz = z1.

g1) Ist bei diesem Ausgang eine beliebige Vorgabe der Fehlerdynamik des Beobach-ters moglich? Welche Wahl der Eigenwerte der Fehlerdynamik ist sinnvoll, fallsSie einen Beobachter fur das System Satellit-Beobachter-Regler entwerfen unddabei den Zustandsregler aus Teilaufgabe 2e) verwenden mochten.

g2) Entwerfen Sie einen Beobachter, so dass alle Eigenwerte der Fehlerdynamik beis = 3 liegen. Welche Pole hat das Gesamtsystem Satellit-Beobachter-Regler?

h) Zeichnen Sie das Blockschaltbild der Regelung, welches sowohl die Zustandsruckfuhrungals auch den Beobachter enthalt.

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rb


A1) Bilden Sie die Laplace-Transformierte der folgenden Zeitfunktion:

f(t) = e4t + e2t (cost+ sint) + t3e2t.

A2) Bilden Sie die Laplace-Transformierte eines Rechteckimpulses mit der Breite b und derHohe a:

f(t) =

{a fur 0 < t < b,

0 fur t < 0 oder t > b.

A3) Transformieren Sie folgende Bildfunktionen in den Zeitbereich:1

a) F (s) = 3s+1s2+3s+2 ,

b) F (s) = s2+1

s2+3s+2,

c) F (s) = 1(s+a)(s+b) ,

d) F (s) = 1(s2+a2)(s2+b2)

,

e) F (s) = s(s2+a2)(s2+b2)

.

A4) Bilden Sie die Laplace-Transformierte der folgenden Differentialgleichungen:

a) y + y + y = u+ u,

b) y + 2y = h(t).

A5) ? Zeigen Sie folgende Korrespondenzen:

a) eat c s 1sa

.

b) tn c s n!sn+1

,

c) tneat c s n!(s+a)n+1

,

d) sin(t) c s s2+2

,

e) cos(t) c s ss2+2

,

f) eat sin(t) c s (s+a)2+2 ,

g) eat cos(t) c s s+a(s+a)2+2

.

Verwenden Sie dabei nicht die Definition der Laplace-Transformation. Verwenden Siestattdessen die Transformationsregeln sowie die Transformation des Einheitssprungs (h(t) c s1

s).

1Siehe auch Ubungsaufgaben Regelungstechnik I, Aufgabe 22 b).




rb


A1) Losen Sie folgende Differentialgleichungen mit Hilfe der Laplace-Transformation:1

a) y + 3y + 2y = 0,

b) y + y 2y = 0,

c) y + 2y + 2y = 0.

Verwenden Sie als Anfangsbedingungen y(0) = 1, y(0) = 0.

A2) Losen Sie die Differentialgleichung y+3y+2y = 2u+umit Hilfe der Laplace-Transformationfur folgende Eingange u(t):

a) u(t) = 0,

b) u(t) = (t),

c) u(t) = h(t),

d) u(t) = et. Welche Anfangsbedingung des Eingans u(0) ist hier sinnvoll?

Nehmen Sie verschwindende Anfangsbedingungen, d.h. y(0) = 0, y(0) = 0 an.

A3) Bestimmen Sie limt f(t) mit Hilfe des Endwertsatzes fur folgende Funktionen:

a) f(t) = a sin(t),

b) f(t) = bet.

Ist das Ergebnis korrekt?

A4) In dieser Aufgabe soll die Antwort verschiedener Ubertragungssysteme auf ein sinusformi-ges Eingangssignal untersucht werden. Als Eingangssignal wird deshalb u(t) = sintgewahlt. Bestimmen Sie die Antwort y(t) fur folgende Ubertragungssysteme:

a) P -Glied: y(t) = KPu(t),

b) I-Glied: y(t) = KIt

0u()d ,

c) D-Glied: y(t) = KDu(t),

d) PI-Glied: y(t) = KPu(t) +KIt

0u()d ,

e) PD-Glied: y(t) = KPu(t) +KDu(t),

f) PID-Glied: y(t) = KPu(t) +KIt

0u()d +KDu(t),

g) PT1-Glied: T1y(t) + y(t) = KPu(t),h) Totzeitglied y(t) = Ku(t Tt).

Nehmen Sie dabei verschwindende Anfangsbedingungen an.Interpretieren Sie die Ergebnisse, betrachten Sie dabei auch die Amplitude des Ausgangs-signals. Sind die Ubertragungsglieder realisierbar?

1Siehe zusatzliche Ubungen 2, Aufgabe 1

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rb


A1) Die Impulsantwort eines Systems laute g(t) = et+sin(t). Bestimmen Sie die Ubertrag-ungsfunktion. Beschreiben Sie das System durch eine Differentialgleichung.

A2) Bestimmen Sie die Ortskurve fur folgende PT1 Systeme mit K > 0 und T1 > 0:

a) Stabiles PT1 System mit negativer Verstarkung: G(s) = K

1+T1s.

b) Instabiles PT1 System: G(s) =K

1T1s.

c) Instabiles PT1 System mit negativer Verstarkung: G(s) = K

1T1s= K

T1s1.

A3) Gegeben sind folgende Systeme:

a) G(s) = 1s+1 ,

b) G(s) = 3(s+1)(s+3) ,

c) G(s) = 6(s+1)(s+3)(s+2) ,

d) G(s) = 1s1 ,

e) G(s) = 1s+1 ,

f) G(s) = 38(s+2)(s+4)(s+1)(s+3) .

Abbildung 3 zeigt die zugehorigen Ortskurven, Abbildung 4 die Sprungantworten. OrdnenSie die Ortskurven und Sprungantworten den Systemen zu.

A4) Abbildung 1 zeigt den Standardregelkreis. Bestimmen Sie folgende Ubertragungsfunktio-nen:

a) w y, d = = 0,

b) d y, w = = 0,

c) y, w = d = 0.

A5) Abbildung 2 zeigt eine Kaskadenregelung. Bestimmen Sie die Ubertragungsfunktionw y.

+

+K G

w u y+ +

+

d

Abbildung 1: Standardregelkreis.

G1K1+

+

G2K2

w y

Abbildung 2: Kaskadenregelung.

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

-1 -0.5 0 0.5 1-0.8

-0.4

0

0.4

0.8

Abbildung 3: Ortskurven

Seit

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