Upload
others
View
2
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
GEOMETRIA PARAMETRICA 3D
Strumenti di base e applicazioni
Franca Caliò, Elena Marchetti
Dipartimento di Matematica – Politecnico di Milano
Scuola estiva di Matematica
Applicata
13-18 Giugno, 2016, Milano
F Caliò- E. Marchetti
Curve 3D in forma parametrica
Dt
thz
tgy
tfx
∈
=
=
=
)(
)(
)(
Dove:f(t), g(t), h(t) sono funzioni reali di variabile reale,t (il parametro) è la variabile indipendente;D è l’intersezione degli insiemi di definizione delle tre funzioni.
Dt
th
tg
tf
c ∈
=
)(
)(
)(
Equazione vettoriale Equazioni parametriche
2
F Caliò- E. Marchetti
3
Parametrizzazione di una retta in 3D (1)
y
z
x
0
v
Al variare del parametro t in R il punto P, punto rappresentatore del vettore somma r = r0 + vt, descrive la retta passante per descrive la retta passante per PP00 e di e di direzione direzione vv
Sono dati un punto P0(x0,y0,z0), e un vettore v = [vx,vy,vz]T.
P0 r
v
r 0
Il vettore v definisce la direzione e P0 il punto di origine di una retta r.
Applichiamo il vettore v a P0
P
“Stiriamo” il vettore v
vt( t
= 2,5
)
vt( t=
-1)
r
r
P
P
F Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di una retta in 3D (2)
Rt
tvzz
tvyy
tvxx
z
y
x
∈
+=
+=
+=
0
0
0
e le equazioni parametriche scalari della retta:
Il punto P0 ,di coordinate x0 y0 z0, è detto punto origine della retta, il vettore v è detto vettore di direzione della retta, le sue componenti vx vy vz coefficienti direttori.
Rt
tvz
tvy
tvx
z
y
x
∈
+
+
+
=
0
0
0
r
da cui l’equazione parametrico-vettoriale della retta:
4
F Caliò- E. Marchetti
Trasformazioni affini in 3D
=
=
z
y
x
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A b
333231
232221
131211
Una trasformazione affine è algebricamente definita da
e la sua struttura è
=
+
'
'
'
333231
232221
131211
z
y
x
b
b
b
z
y
x
aaa
aaa
aaa
z
y
xMatrice di
trasformazione
Vettore da
trasformare Vettore di traslazione
Vettore
trasformato
5
F Caliò- E. Marchetti
6
P’
P
b
0
yy
xx
zz
È una trasformazione geometrica che ad ogni punto P dello spazio fa corrispondere un punto P’ tale che il vettore spostamento P’- P sia uguale a b (vettore di traslazione che caratterizza direzione, verso e intensità della traslazione).
isometria priva di punti uniti
Traslazione in 3D (1)
F Caliò- E. Marchetti
7
=
=
z
y
x
b
b
b
A b
100
010
001
Vettore traslazione
Algebricamente si esprime:
Traslazione in 3D (2)
Matrice unità
F Caliò- E. Marchetti
8
Q
r
αα P
P’
P P’
È una trasformazione che:
• a P appartenente ad r fa corrispondere se stesso;
• a P non appartenente ad r fa corrispondere P’ appartenente al piano passante per Pperpendicolare ad r e che interseca r in un punto Q.
• la distanza di P da Q coincide con la distanza di P’ da Q.
• l’angolo formato dalle due semirette s ed s’ passanti rispettivamente da Q, P e da Q , P’ è α , angolo di rotazione
Isometria con un asse di punti uniti
Rotazione in 3D (1)
F Caliò- E. Marchetti
9
=
−
=
0
0
0
100
0
0
bαα
αα
cossin
sincos
A
Matrice di rotazione:
asse z , angolo ααααVettore
traslazione
Algebricamente si esprime (a titolo di esempio)
Rotazione in 3D (2)
F Caliò- E. Marchetti
Una trasformazione omotetica di centro Q che: • fa corrispondere al punto Q se stesso• ad un punto P, distinto da Q, un punto P’ tale che Q, P, P’
siano allineati e che QP’=kQP con k∈R, k≠0, 1, - 1 (k si dice ragione di omotetia).
non isometria, con un punto unito
L’effetto di un’omotetia è la modificazione delle distanze fra punti attraverso il numero k: fattore di proporzionalità.
| k |>1 dilatazione, | k |
F Caliò- E. Marchetti
algebricamente si esprime (se il centro di omotetia è l’origine):
=
0
0
0
00
00
00
b
k
k
k
=A
Matrice di
omotetia
k∈R, k≠0, 1, - 1
Vettore
traslazione
11
Omotetia in 3D (2)
F Caliò- E. Marchetti
uno scaling differente nelle tre direzioni x, y, z algebricamente si esprime :
=
0
0
0
00
00
00
b
l
h
k
=A
Matrice di scaling
k, h, l ∈ R, k, h, l ≠0 e ≠ 1, - 1(contemporaneamente)
Vettore
traslazione
12
Scaling in 3D
F Caliò- E. Marchetti
13
=
=
ub
ub
ub
A
z
y
x
b
100
010
001
Matrice unitàVettore
traslazione
Una traslazione continua e uniforme (costante in direzione e variabile in verso e intensità) si definisce algebricamente
Traslazione uniforme
F Caliò- E. Marchetti
14
Un piano si può interpretare come una superficie ottenuta per traslazione di una retta secondo una legge di traslazione uniforme, in altre parole traslazione di una retta lungo un’altra retta.
generatrice
direzione traslazione
Parametrizzazione di un piano (1)
F Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di un piano (2)
++
++
++
=
+
+
+
+
ubtvz
ubtvy
ubtvx
ub
ub
ub
tvz
tvy
tvx
zz
yy
xx
z
y
x
z
y
x
0
0
0
0
0
0
100
010
001
Matrice unità Retta generatrice
(vettore da trasformare)Vettore di traslazione
Vettore posizione
del piano
RuRt
ubtvzz
ubtvyy
ubtvxx
zz
yy
xx
∈∈
++=
++=
++=
0
0
0Pertanto le equazioni parametriche del piano:
15
F Caliò- E. Marchetti
16
=
=
)u(h
)u(g
)u(f
A b
100
010
001
Matrice unitàVettore
traslazione
Una traslazione continua il cui vettore di traslazione è definito punto per punto da una data curva si definisce algebricamente
Traslazione lungo una curva
F. Caliò- E. Marchetti
[ ]212
0 u,uu
u
u
∈
=c
[ ]212
0
t,tt
t
t ∈
−
=d
parabola del piano zx, concavità verso
l’alto (parabola direttrice, vettore posizione = vettore di traslazione)
parabola del piano yz, concavità
verso il basso
(parabola generatrice)17
Parametrizzazione di un paraboloide iperbolico (1)
Il paraboloide iperbolico ègenerato per traslazione di una parabola su un’altra parabolaappartenente ad un piano ortogonale a quello cui appartiene la prima
F Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di un paraboloide iperbolico (2)
−
=
+
−
2222
0
0
100
010
001
tu
t
u
u
u
t
t
Matrice unità parabola generatrice parabola direttrice
Vettore posizione
del paraboloide
iperbolico
212122
uuuttt
tuz
ty
ux
≤≤≤≤
−=
=
=Di qui le equazioni parametriche del paraboloide iperbolico:
18
F. Caliò- E. Marchetti
Paraboloide iperbolico in Architettura
Teatro Regio di Torino: Bertone 197319
F. Caliò- E. Marchetti
Paraboloidi iperbolici nel quotidiano
patatine Pringles – forse i più diffusi paraboloidi iperbolici
20
F Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di una superficie sferica
πππ 2022
0
0
00
100
0
0
≤≤≤≤−
−
=
+
−
u/t/
tsinr
tcosucosr
tsinusinr
tsinr
tcosrucosusin
usinucos
Matrice di rotazione
di asse z (asse polare)Generatrice (semi meridiano- semicirconferenza)
Vettore ditraslazione
Vettore posizione
della sup sferica
πππ 2022 ≤≤≤≤−
=
=
−=
u/t/
tsinrz
tcosucosry
tsinusinrxDi qui le equazioni parametriche della superficie sferica
21
F. Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di una superficie conica
yy
zz
xx
generatrice
π20 ≤≤
=
=
−=
u
tvz
ucostvy
usintvx
z
y
y
asse di
rotazione
Una superficie conica è generabile mediante rotazione di una retta, attorno ad un asse che interseca la retta.
[ ]π20
0
100
0
0
,u
),(t
tv
tvucosusin
usinucos
z
y∈
+∞−∞∈
−
22
F Caliò- E. Marchetti
Esempio di superfici di rotazione
Collezione Giò Ponti rivisitata da Richard-Ginory-Gucci-2014; Carlo e Giovanni Moretti- Murano
23
F. Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di una superficie di rotazione logaritmica
Superficie ottenuta per rotazione, attorno all’asse z,di una curva logaritmica (appartenente al piano zx)
[ ]π20
00
100
0
01
,u
)t,(t
tlog
t
ucosusin
usinucos
∈
∈
−
[ ]π20
0 1,u
)t,(t
tlogz
usinty
ucostx
∈
∈
=
=
=
generatrice
24
F. Caliò - E. Marchetti
Giovannoni: tavolo Bombo
Esempio di superfici di rotazione
25
F Caliò- E. Marchetti
26
=
−
=
u
ucosusin
usinucos
A 0
0
100
0
0
b
Matrice di rotazioneVettore
traslazione
Una combinazione di rotazione continua lungo z e contemporanea traslazione uniforme lungo z si definisce algebricamente
Rototraslazione
F Caliò- E. Marchetti
27
Parametrizzazione di un elicoide rigato
],0[
],0[0
0
0
0
100
0cossin
0sincos
1
1
tt
uu
u
tuu
uu
∈
∈
+
−
Un elicoide rigato è generabile per rotazione di un segmento rispetto ad un asse ad esso ortogonale e contemporanea traslazione lungo lo stesso
[ ]
[ ]1
1
,0
,0cos
sin
tt
uu
uz
uty
utx
∈
∈
=
=
−=
generatrice
Segmento (generatrice)
F Caliò- E. Marchetti
La Pedrera (Gaudì)
28
Esempio di superficie di rototraslazione
F Caliò- E. Marchetti
Edifici City lifeEdifici City life 29
F. Caliò- E. Marchetti
Parametrizzazione di una superficie a spirale
[ ]21,sin
cos
ttt
t
tt
tt
∈
=e
Una curva spirale gobba si può intendere come una curva ottenuta da una spirale (per esempio archimedea) in cui si aggiunge una componente traslatoria nella direzione ortogonale al piano in cui giace
generatrice
],[
],[0
0
sin
cos
100
010
001
21
21
uuu
ttt
ut
tt
tt
∈
∈
+
],[
],[sin
cos
21
21
uuu
ttt
utz
tty
ttx
∈
∈
+=
=
=
z
xy
30
F Caliò- E. Marchetti
Esempi di superfici a spirale
31
Torre di Babele (Breughel)
Sant’Ivo alla Sapienza (Borromini)
I coni gelato (Giangrande)
F Caliò- E. Marchetti
Edificio Edificio UnicreditUnicredit 32