SDT - komplet

8/4/2019 SDT - komplet

1/22

OBECN DIFERENCILN ROVNICE VEDEN TEPLA A JEJ HRANI!NPODMNKY, FOURIER"V ZKON, SOU!INITEL TEPELN VODIVOSTI

Proces veden tepla m#$eme sledovat s pou$itm zkladn stavov veli%iny teploty. Teplota jeobecn& funkc sou'adnic a %asu. Funkc ur%ujc teplotu v ka$dm bod& sledovanho prostoru vka$dm okam$iku je teplotn pole

t= f(x,y,t,!) . Pro ('en tepla je nutn) teplotn rozdl, jeho ('en je tak mo$n pouze ve sm&rech protnajcch

izotermick plochy. Nejv&t( teplotn spd nastv v normle k izotermick plo(e a jecharakterizovn gradientem teploty

grad t=!n0 .

!t

!n

(ve smyslu ub)vn teploty je hodnota gradientu zporn)

Fourier#v zkonTepeln) tok! [W]definujeme jako mno$stv tepla prochzejc jednotkovou plochou za jednotku%asu.Fourier#v zkon vyjad'uje, $e elementrn mno$stv tepla dQ, prochzejc elementrnizotermickou plo(kou dS v elementrnm %asovm seku d!, je m&rn teplotnmu gradientu.Proto$e teplo prochz od teplej(ho k chladn&j(mu, je ve vztahu minus. Sou%initelem m&rnosti

je sou%initel tepeln vodivosti ![W.m"1.K"1] a zvis pouze na fyziklnch vlastnostech ltky.

dQ = !". grad t . dS. d#

Plo(nou hustota tepelnho toku je definovna jako!q = dQ

dS.d!="#. grad t

Sou%initel tepeln vodivosti ![W.m"1.K"1]Je dn fyziklnmi vlastnostmi ltky. Experimentln& se zji(*uje m&'enm tepelnho toku a

teplotnho gradientu !=q

grad t.

V plynech se veden tepla d& je p'enosem kinetick energie chaotickho pohybu molekul p'isr$kch. Hodnota sou%ititele tepeln vodivosti plyn# b)vaj v rozmez != 0,006 " 0,6 W.m-1.K"1a obecn& s r#stem teploty roste.

Sou%initel tepeln vodivosti kapalin si m#$eme p'edstavit jako p'enos energie neuspo'dan)mpr#$n)m kmitnm molekul. U v&t(iny kapalin se hodnota sou%initele s rostouc teplotouzmen(uje. Orienta%n& se hodnoty u kapalin pohybuj v rozmez != 0,07 " 0,67 W.m-1.K"1.

U %ist)ch kov# se teplo p'en( p'edev(m voln)mi elektrony. S rostouc teplotou kles sou%initeltepeln vodivosti %ist)ch kov#, u slitin naopak roste. Obecn& se u %ist)ch kov# a slitin pohybujesou%initel v rozmez != 2 " 418 W.m-1.K"1.U nekovov)ch pevn)ch ltek v&t(inou sou%initel s rostouc teplotou roste. Za izola%n materil

jsou pova$ovny takov materily, kter maj != 0,25 W.m-1.K"1. Velk) vliv na sou%initeltepeln vodivosti u stavebnch a izola%nch materil# m vlhkost, kter vlhkost zvy(uje.


2/22

Diferenciln rovnice veden teplaOdvozen diferenciln rovnice veden tepla vychz ze zkona zachovn energie. P'edstavme-lisi elementrn objem dV, mus b)t zm&na akumulovanho tepla v tomto objemudQAC = c.dm.dt= c!.dV.dt rovna sou%tu tepla p'ivedenho za jednotku %asu dQkonv = !dq.dV.d" a tepla generovanho ve sledovanm objemu za jednotku %asu dQGEN = qV.dV.d! . Celkov

bilance nm dv c!.dV.dt= "dq.dV.d# + qV.dV.d#. Rovnici vyd&lme dV.d! a dosadme

z Fourierova zkona : !

c!."t

"#= $%2t+ qV. Zv&re%nou pravou dojdeme k diferenciln rovnici

veden tepla!t

!"=

#

c$%

2t+

qV

c$ &

!t

!"= a#

2t+

qV

c$,

kde jsme zavedli sou%initel teplotn vodivosti a =!

c"[m

2/s].

Podle danho lohy 'e(me tuto rovnici v nejvhodn&j(m sou'adnm systmu. K'e(en musmerovnici doplnit okrajov)mi podmnkami.

Okrajov podmnky jsou r#zn)ch typ# :o Geometrick : rozm&ry, tvar t&leso Fyzikln : !,c," apod.o !asov : charakterizujc rozlo$en teplot v n&jakm okam$ikuo Hrani%n : charakterizujc vzjemn p#soben mezi r#zn)mi prost'edmi veden tepla

Hrani%n podmnky d&lme na 4 druhy:o Hrani%n podmnky I. druhu : rozlo$en teploty na povrchu t&lesa pro ka$d) %asov)

okam$ik tPOVRCH = f(x,y,z,!)

o Hrani%n podmnky II. druhu : rozlo$en plo(n hustoty tepelnho toku na povrchu t&lesapro ka$d)%asov) okam$ik q

POVRCH =f(x,y,z,!)

o Hrani%n podmnky III. druhu : udvaj teplota okolnho prost'ed a charakter p'estuputepla. Slo$it) d&j p'estupu tepla popisuje Newton#v zkon q = !(tp " tf ), kde tp je teplota

povrchu t&lesa, tf

teplota okolnho prost'ed a ! [W.m-2.K -1] sou%initel p'estupu tepla

mezi t&lesem a okolm. Z Fourierova zkona vme, $e!q = !". grad t . Hrani%n podmnka

III. Druhu nm tak dv rovnost !".#t

#n

$%

&'

hranice

= ((tp ! tf )

o Hrani%n podmnky IV.druhu : tyto podmnky pou$vme p'i p'enosu tepla mezi dv&mat&lesy, mezi kter)mi p'edpokldme ideln dotyk, tak$e teploty t&les v mst& dotyku jsoustejn. Ve vrstvch blzk)ch dotyku mus b)t plo(n hustoty tepelnho toku u obou t&l&sstejn. Tuto podmnku tak pomoc Fourierova zkona vyjd'me vztahem

!st1.

"t

"n

#$

%&

st1

= !st2

."t

"n

#$

%&

st2


3/22

TEPLOTN PROFILY V ZKLADNCH T!LESECH, ROZ"#ENPOVRCHY($EBRA)

Teplotn profily zkladnch t%les zji&'ujeme (e&enm stacionrn diferenciln rovnice veden teplas dopln%nm p(slu&n)ch okrajov)ch podmnek. Rovinn st%na bez zdroj*

Hledme pr*b%h teploty pouze v jednom sm%ru, okrajov)mi podmnkami jsou teploty na povrchu.

Tlou&'ka st%ny je ! . Diferenciln rovnice veden tepla se velmi zjednodu&& : 0 =d2t

dx2

.

Zskme (e&en t(x) = t1 !t1 !

t2

".x. Teplota se tedy m%n linern%.

Hustotu tepelnho toku ur+me jako q = !"#t

#x

$%

&'

=

t1! t

2

(

"

=

t1! t

2

R"

Plo&n)m odporem veden tepla naz)vme R!=

"

!.

Vcevrstv rovinn st%naAnalogicky bychom (e&ili p(pad n-vrstv st%ny, m%li bychom pouze jin hrani+n podmnky.Ukazuje se, ,e plo&n) odpor funguje podobn% jako odpor elektrick). P(i se(azen st%n po sob% seodpory s+taj. Hustota tepelnho toku tak bude

q ==t1! tn+1

R"i

i=1

n

#

Prostup tepla rovinnou st%nouProstupem rozumme veden takov)m zp*sobem, kdy deska je z obou stran obklobena tekutinou adochz k p(estupu tepla. V takovm p(pad% budeme p(i (e&en pou,vat hrani+n podmnkyIII.druhu. Relativn% jednodu&e zjistme, ,e p(estup tepla do okoln tekutiny funguje analogicky

jako dal& st%na, toti,,e p(edstavuje dal& odpor, kter) se p(id plo&nmu odporu veden deskou.

Tento odpor nazveme plo&n)m odporem p(estupu tepla R!=

1

!

.

Obecn) prostup rovinnou st%nou bez zdrojeZ p(edchozch p(pad* ji, snadno odvodme vztah pro hustotu plo&nho tepelnho toku p(i

prostupu n-vrstvou rovinnou deskou q =t!1" t

!n+1

R#

1

+ R$i

i=1

n

% + R#n+1

=t!1" t

!n+1

Rk= k t!1 " t!n+1( )

Odpor RK

nazveme plo&n)m odporem prostupu tepla a jeho p(evrcenou hodnotu k pak nazvemesou+initelem prostupu tepla rovinnou deskou.


4/22

Tm!" analogicky postupujeme p"i v#po$tu veden vlcovou st!nou bez zdroj%, a to jakjednovrstvou, tak vcevrstvou. Postup je stejn#, "e&me diferenciln rovnici veden tepla, zvolmev&ak cylindrick sou"adnice. Plo&nou hustotu tepelnho toku v!t&inou vztahujeme na jednotkuv#&ky vlce, v takovm p"pad! nezvis jej hodnota na polom!ru vlce.

Pro linern hustotu tepelnho toku zskme vztah :

ql =! t"1 # t"n+1( )

1

$1.d

1

+1

2%i

lnd

n+1

dni=1

n

& +1

$n+1.dn+1

= kl! t"1 # t"n+1( ),

kde!

kl=

1

1

!1.d

1

+1

2"i

lnd

n+1

dni=1

n

# +1

!n+1

.dn+1

je linern sou$initel prostupu tepla vlcovou st!nou.

Pokles teploty ve vlcov st!n! sleduje logaritmickou k"ivku.

Stejn#m zp%sobem bychom dosp!li k v#sledku pro prostup kulovou geometri! =

" t#1 $ t#n+1( )1

%1.d

1

2+

1

2&i

1

dn

$1

dn+1

'()

*+,i=1

n

- + 1%

n+1.d

n+1

2

= kk" t#1 $ t#n+1( ) ,

kde kk=

1

1

!1.d

1

2+

1

2"i

1

dn

#1

dn+1

$%&

'()i=1

n

* + 1!

n+1.d

n+1

2

je sou$initel prostupu kulovou st!nou.

Teplotn profily ve slo'it!j&ch geometrich a t!lesem s vnit"nmi zdroji lze teoreticky najt"e&enm diferenciln rovnice veden tepla s p"slu&n#mi okrajov#mi podmnka.

Obecn rovnice prostupu tepla m tvar! = k.S.(t"1 # t"2). Zv#&it prostup tepla tak m%'eme zv#&it

n!kolik zp%soby. Bu( m%'eme zvy&ovat sou$initel prostupu, to je spojeno s v#b!rem vhodnhomaterilu a u vlcov#ch a kulov#ch geometri s vhodnou volbou polom!r%, nebo m%'emezvy&ovat p"estupnou plochu, co' se d! je pou'vn 'eber, nebo je&t! m%'eme zvy&ovat rozdlteplot tekutin om#vajcch st!nu.

Obecn! je v#po$et teplotnho profilu 'ebra dosti nro$n# a jsou sp&e pou'vny slo'it! odvozenvzorce. Zde si m%'eme ukzat v#po$et teplotnho profilu kolkovho 'ebra kruhovho pr%"ezu.

P"edpokldme, 'e teplota 'ebra je v celm pr%"ezu konstantn. Zavedeme rozdl teplot 'ebra aokol != t" t#

. K "e&en tohoto 'ebra si nap&eme energetickou bilanci pro element 'ebra vevzdlenosti x od st!ny. P"vod tepla do tohoto elementu se d!je konvekc od st!ny, odvod tepla jedn vedenm tepla dle 'ebrem a odvodem tepla konvekc z povrchu elementu. Bilance nm tak

dv !"d#

dx.S= !"

d

dx(#+

d#

dxdx).S+$.#.dx.O

P"vod Odvod P"estup

pravou dostaneme diferenciln rovnici 0 =d

2!

dx2"

#.!.O

S.$j'"e&en m tvar!= Ce"x + DCe#"x ,

Kde jsme ozna$ili != ".O

S.#. Konstanty C a D se ur$ pomoc konkrtnch okrajov#ch podmnek.


5/22

KONVEKCE P!I VN"J#M PROUD"N, OBTKN DESKY, VLCE,TRUBKOVHO SVAZKU

vod k teorii podobnostiTeorie podobnosti se zab$v problmy p%en&en v$sledk' zkou&ek na modelech na skute(n dla.V$sledky experiment' jde v&ak p%en&et na skute(n dla jen tehdy, jsou-li si d) je podobn.Teorie podobnosti definuje konstanty podobnosti, kter vyjad%uj geometrickou (i (asovou

podobnost podobn$ch jev'. Dle jsou v teorii podobnosti odvozovna r'zn podobnostn (sla.Ani* bychom podrobn) rozebrali teorii podobnosti, v$sledkem je znalost vzorc' pro jednotliv

podobnostn (sla. Ta m'*eme rozd)lit na podobnostn (sla ur(ujc a ur(ovan. Ur(ujcpodobnostn (sla jsou sestavena pouze z veli(in obsa*en$ch v okrajov$ch podmnkch. Ur(ovan(sla pak obsahuj i jin veli(iny ne* pouze ty z okrajov$ch podmnek. Pro ns je nejd'le*it)j&ur(ovan (slo (slo Nusseltovo. Je to proto, *e toto (slo obsahuje sou(initel p%estupu tepla, co* jeveli(ina, kterou musme ur(it. K ur(en sou(initele tepla je tak nutn nejd%v ur(it z vzorce pro

dan$ p%pad (z dan rovnice podobnosti) Nusseltovo (slo, a pot dopo(tat sou(initel p%estuputepla. V obecnm p%pad) sdlen tepla konvekc m'*e b$t rovnice podobnosti napsna ve tvaru

Nu = f(Re,Pr,Gr,Fo,...),kde se funkce f ur(uje experimentln). P%i stacionrnm nucenm proud)n p%ejde rovnice dotvaru Nu = f(Re,Pr).P%i p%irozenm stacionrnm proud)n pak m tvarNu = f(Pr,Gr).Vztahy pro v$po(et jednotliv$ch podobnostnch (sel jsou :

Nusseltovo Nu =!.l

"

Reynoldsovo Re =w.l

!

Prandtlovo Pr=!

a

=

".cp

#

Grasshofovo Gr =!."t.g.l

3

#2

Rayleighovo Ra = Pr .Gr =!

a.".#t.g.l

3

!2

=

".#t.g.l3

!.a

P%estup tepla p%i obtkn vlceP%i p%(nm obtkn jedn trubky dochz b)*n) k odtrhvn mezn vrstvy na zadn stran) trubkya ke vzniku plav'. Pouze p%i velmi mal$ch Reynoldsov$ch (slech Re < 5 obtkaj proudnice

plynule trubku bez odr*en mezn vrstvy a bez vr'.Charakter proud)n po obvodu, a proto i charakter p%estupu tepla, zvis na velikosti Reynoldsova(sla. P%edstavme-li si nabhn proudu na vlcovou plochu, tak od st%edu trubky k okraji (90)

postupn) roste mezn vrstva a sni*uje se sou(initel p%estupu tepla. Po 90 dochz k tvo%en vr' a

velikost sou(initele za(ne zptky nar'stat. V praxi proto pou*vme vztahy pro v$po(et st%ednhodnoty sou(intele tepla pro jednotliv oblasti Reynoldsova (sla :

N uf,d = 0,5.Ref,l0,5 .Prf

0,38 .Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

pro 5 < Re


6/22

P!estup tepla p!i obtkn deskyP!i obtkn desky se nejd!ve vytvo! na povrchu laminrn mezn vrstva. V jist vzdlenosti odkraje desky za"nnaj naru#ovat laminrn mezn vrstvu turbulence. A je#t$ ve v$t# vzdlenosti

p!ejde mezn vrstva v turbulentn.

Pod turbulentn mezn vrstvou

m%&e existovat laminrn mezn podvrstva, kter se vzdlenost

ub'v na tlou#(ce. Rychlostn

profily pro jednotliv vrstvy jsou

patrn z obrzku

Teplotn profily zce souvis s rychlostnmi, nejsou v#ak toto&n. Kdy& obtk tekutina desku s

laminrn vrstvou, dochz k p!estupu tepla p!edev#m vedenm, tak&e tato vrstva p!edstavujezna"n' tepeln' odpor. K v'po"tu p!estupu tepla je tud& ur"it vzdlenost, na kter je mezn vrstva

laminrn, a kde se stv turbulentn a podle toho pou&t p!slu#n vztahy pro v'po"et Nusseltova"sla. V praxi v$t#inou zanedbvme p!echodovou oblast a d$lme desku pouze na oblast

laminrn a turbulentn vrstvy podmnkou Rekr1= Re

kr2=

w!.x

kr

"

=105 .

Po ur"en kritick vzdlenosti, kde p!echz laminrn mezn vrstva na turbulentn, pou&ijemep!slu#n vztahy pro v'po"et st!ednho sou"initele p!estupu tepla v obou oblastech :

Laminrn oblast : N uf,l = 0,66.Ref,l0,5.Prf

0,33.Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

N uf,l = 0,037.Ref,l0,8.Prf

0,43.Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

Turbulentn oblast : N uf,l = 0,037.Ref,l0,8.Prf

0,43. Pr

f

Prp!

"#$

%&

0,25

V p!pad$ pot!eby m%&eme po"tat i mstn sou"intele p!estupu tepla.

P!i p!"nm obtoku svazku trubekV praxi se tento p!pad "asto vyskytuje, nap!klad u v'm$nk% tepla v JE.

Svazek trubek b'v uspo!dn dv$ma zkladnmi zp%soby.

Uspo!dn trubek charakterizujp!"n a podln rozte" a pr%m$r

trubky.


7/22

Obtkn prvn !ady trubek je u obou p!pad" stejn, rozdl je p!i obtkn druh !ady trubek. P!iuspo!dn za sebou dopad maximln proud na trubku v druh !ad# v hlu asi 50 . P!i

uspo!dn st!dav# dopad v$dy maximln proud p!i "hlu 0 . V mst#, kde dochz k nejvet%mu

nrazu proudu je tak nejv#t% mstn sou&initel p!estupu tepla.

V praxi pot!ebujeme ur&it st!edn hodnotu sou&initele pro danou !adu. Obecn# plat, $e b#h#m

prvnch t!ech !ad dochz k ustalovn proud#n, a od t!et !ady ji$ je turbulence p!i om'vnsvazku trubek stabilizovan. Ozna&me.li st!edn sou&initel t!et !ady 100%, tak pro uspo!dn za

sebou dostvme, $e prvn !ada m velikost sou&initele p!estupu 60%, druh pak 90%. Prouspo!dn m prvn !ada logicky tak 60%, druh pak 70%.c = 0,26 n = 0,65

Charakter proud#n m"$e b't laminrn i turbulentn, v praxi se nej&ast# ji pohybujeme v

p!echodov oblasti 103 < Re


8/22

KONVEKCE P!I VNIT!NM PROUD"N, UR#EN ST!EDN TEPLOTY



podobnostn (sla. Ta m'*eme rozd)lit na podobnostn (sla ur(ujc a ur(ovan. Ur(ujcpodobnostn (sla jsou sestavena pouze z veli(in obsa*en$ch v okrajov$ch podmnkch. Ur(ovan(sla pak obsahuj i jin veli(iny ne* pouze ty z okrajov$ch podmnek. Pro ns je nejd'le*it)j&ur(ovan (slo (slo Nusseltovo. Je to proto, *e toto (slo obsahuje sou(initel p%estupu tepla, co* jeveli(ina, kterou musme ur(it. K ur(en sou(initele tepla je tak nutn nejd%v ur(it z vzorce prodan$ p%pad (z dan rovnice podobnosti) Nusseltovo (slo, a pot dopo(tat sou(initel p%estupu

tepla. V obecnm p%pad) sdlen tepla konvekc m'*e b$t rovnice podobnosti napsna ve tvaru


Nusseltovo Nu =!.l

"Reynoldsovo Re =

w.l

!

Prandtlovo Pr=!

a=

".cp

#

Grasshofovo Gr = !."

t.g.l

3

#2 Rayleighovo Ra = Pr .Gr = !a

.".#t.g.l

3

!2

= ".#t.g.l

3

!.a

Nucen laminrn proud)n ve vodorovnm potrubV tomto p%pad) pou*vme vztah

N uf,d

= 0,15.Ref,d

0,32.Pr

f

0,33. Gr

f,d.Pr

f( )0,1

.Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

'l

(lenPrf

Prp

!"# $

%&

0,25

slou* k oprav) zejmna jin viskozity u st)n (pokud znme teplotu st)ny)

(len !l

zohled+uje zda se nachzme ji* ve stabilizovanm seku (postupn) kles od 1,9 a* k 1,0)

Nucen turbulentn proud)n ve vodorovnm potrubN uf,d = 0,021.Ref,d

0,8.Prf

0,43.Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

'l platc pro rozmez 1.104< Re < 5.10

6.


9/22

Ur!en st"edn teploty tekutiny v p"!nm pr#"ezy prouduJeliko$ je teplota i rychlost tekutiny v potrub zvisl na vzdlenosti od st%ny, pot"ebujeme znt

jistou st"edn teplotu v p"!nm pr#"ezu, kterou budeme brt jako ur!ujc p"i po!tn

podobnostnch !sel. St"edn teplotu v p"!nm pr#"ezu zskme ze vztahu t=

!.w.cP.t.dS

S

"

!.w.cP.dS

S

", kter&

lze samoz"ejm% p"i konstantnosti n%kter&ch veli!in zna!n% zjednodu'it.

Ur!en st"edn teploty tekutiny po dlce trubkyP"i v&po!tech se !asto setkvme s p"padem, kde je b%hem pr#toku trubkou tekutina uvnit"trubky oh"vna !i ochlazovna okolnm prost"edm. V&sledkem je, $e na za!tku potrub a na

jejm konci m tekutina jinou teplotu. Pro v&po!et pot"ebujeme znt st"edn teplotu tekutiny.

Pr#b%h teploty je v'ak r#zn& v zvislosti na tom, jestli jde o p"pad, kdy je trubka oh"vna(ochlazovna) tepeln&m tokem stejn plo'n hustota po cel dlce trubky, nebo zda je oh"vna

(ochlazovna) prost"edm s konstantn teplotou. Ur!en st"edn teploty pro tyto dva p"klady jer#zn a my ho zde uvedeme.

o Konstantn plo'n hustota tepelnho tokuOzna!me-li teplotu na za!tku sledovanho seku jako tfa a na konci tfe , lze odvodit, $e

plat tfe = tfa !q

cpQmSC. Teplota se tedy m%n linern% s om&vanou plochou, nebo-li

s dlkou trubky. P"i konstantn hustot% tepelnho toku se tak m%n teplota tekutiny

linern%. Pro st"edn teplotu tak sta! vypo!st aritmetick& pr#m%r tf =tfe + tfa

2 .

o Konstantn teplota na povrchu trubkyV p"pad%, konstantn veli!inou je teplota povrchu trubky, v&voj teploty nen linern.V tomto p"pad% teplota tekutiny ze za!tku kles rychleji a pot se klesn teploty

zpomaluje. K zohledn%n totohy v&voje teploty po!tme v takovm p"pad% st"edn

logaritmick& rozdl teplot vztahem !tlog ="

a#"

e

ln"

a

"e

, kde jsme zavedli!a = tfa " tp

!e= t

fe" t

p

.

St"edn teplotu tekutiny v trubce pak spo!tme jako tf = tp !tlog. V p"pad%, $e pro

rozdly teplot plat!

a

!e


10/22

Sdlen tepla konvekc p!i nucenm proud"n tekutiny v trubkchP!i nucenm proud"n v trubce m#$e nastat bu% laminrn nebo turbulentn proud"n. Typ

proud"n ur&uje Reynoldsovo &slo. Pro Re < 2000 nastv laminrn proud"n, pro Re > 104 jde oproud"n turbulentn. Mezi t"mito oblastmi je p!echodov oblast. Typ proud"n bezprost!edn"

ovliv'uje p!estup tepla mezi trubkou a tekutinou. Rychlostn profily pro kruhovou trubku jsou pro

oba typy znmy (viz Hagen-Poiseuill#v vztah a mocninn( zkon). D#le$it v)ak je, $e ur&it( typproud"n se ustav a$ po tzv. stabiliza&n vzdlenosti. Vztahy pro stabiliza&n vzdlenosti jsou prolaminrn : x

stab= 0,05.d.Re a pro turbulentn proud"n : x

stab= 50.d. A$ po tto vzdlenosti se

stabilizuje proud"n a m#$eme pou$t vztahy pro v(po&et sou&initele p!estupu tepla.

Obecn" je rychlostn profil proud"n tak, jak ho o&ekvme (parabolick( laminrn, a mocninn( turbulentn) platn( pouze pro izotermick proud"n, kdy m tekutina konstantn teplotu.

Neisotermi&nost proud"n v)ak naru)uje rychlostn profil. Uve%me si 3 p!klady laminrnhoneizotermickho proud"n.

o Nucen proud"n ve svisl trubce (p!evldaj vazk sly nad voln(m proud"nm)Vlivem teploty se m"n viskozita tekutin. U kapalin kles s rostouc teplotou, u plyn# roste

s rostouc teplotou. Bude-li vazkost tekutiny vlivem teploty trubky vy)) u st"n, zmen) seu st"n rychlost a dostaneme profil &.2. Bude-li naopak vazkost vlivem teploty trubky ni$)

u st"ny, zv() se rychlost tekutiny u st"ny a obdr$me profil &.3

o Slo$en nucenho a p!irozenho proud"n ve svisl trubceV tomto p!pad" zle$, zda maj nucen a p!irozen proud"n stejn(&i opa&n( sm"r. Taktovypadaj slo$en dvou typ# proud"n v t"chto p!padech.

o Slo$en nucenho proud"n vodorovnou trubkou a na n"j kolm p!irozen proud"nV takovm p!pad" proud tekutina sm"rem dol# je-li trubka chladn"j) a sm"rem nahoru

je-li trubka teplej).


11/22

P!IROZEN KONVEKCE VE VELKM PROSTORU, SDLEN TEPLA VE"T#RBINCH



podobnostn (sla. Ta m'*eme rozd)lit na podobnostn (sla ur(ujc a ur(ovan. Ur(ujcpodobnostn (sla jsou sestavena pouze z veli(in obsa*en$ch v okrajov$ch podmnkch. Ur(ovan(sla pak obsahuj i jin veli(iny ne* pouze ty z okrajov$ch podmnek. Pro ns je nejd'le*it)j&ur(ovan (slo (slo Nusseltovo. Je to proto, *e toto (slo obsahuje sou(initel p%estupu tepla, co* jeveli(ina, kterou musme ur(it. K ur(en sou(initele tepla je tak nutn nejd%v ur(it z vzorce pro

dan$ p%pad (z dan rovnice podobnosti) Nusseltovo (slo, a pot dopo(tat sou(initel p%estuputepla. V obecnm p%pad) sdlen tepla konvekc m'*e b$t rovnice podobnosti napsna ve tvaru


Nusseltovo Nu =!.l

"

Reynoldsovo Re =w.l

!

Prandtlovo Pr=!

a

=

".cp

#

Grasshofovo Gr =!."t.g.l

3

#2

Rayleighovo Ra = Pr .Gr =!

a.".#t.g.l

3

!2

=

".#t.g.l3

!.a


12/22

P!estup tepla p!i p!irozen proud"nP!irozen proud"n je zp#sobeno rozdlem hustot teplej$ch a chladn"j$ch %stic tekutiny,

nej%ast" ji v silovm poli zemsk t&e. M#&e v$ak vznikat i v polch jin'ch objemov'ch sil,nap!klad odst!ediv'ch nebo elektomagnetick'ch.

P!irozen proud"n ve velkm objemuJe-li tekutina v klidu a vlo&me-li do n t"leso chladn"j$ %i teplej$, nastane kolem n"j p!irozen

proud"n. Na obrzku je nakleslen teplotn a rychlostn pr#b"h u st"ny p!i p!irozenm proud"n.

Na povrchu st"ny tekutina lp a jej teplota se rovn teplot" povrchu a pak kles a& na teploty

tekutiny ve velkm objemu dle od st"ny. Rychlost tekutiny je nulov u st"ny, p!i vzdalovn seod st"ny prochz maximem a kles op"t k nule ve v"t$ vzdlenosti od st"ny. V'voj sou%initele

p!estupu tepla znzor(uje obrzek vpravo. P!i obtkn se nejd!ve vytv! laminrn mezn vrstva,

jej& tlou$)ka stoup, co& zvy$uje plo$n' odpor p!estupu tepla a tedy sni&uje sou%initel p!estupu.P!i p!echodu na turbulentn mezn vrstvu dojde ke sn&en odporu a ke zv'$en sou%initele

p!estupu, kter' se pot ustl.

Jak je znmo, p!i v'po%tu Nu pro p!irozen proud"n je Nu funkc zvislou na Gr a Pr.Nu = f(Pr,Gr)

Hranici mezi laminrn a turbulentn mezn vrstvou ur%me z podmnky Grf,l.Prf = 109

Pro men$ hodnoty je p!irozen proud"n laminrn a pro v'po%et sou%initele p!estupu vyu&ijeme

vztah N uf,l = 0,76. Grf,l.Prf( )0,25

.Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

Pro vy$$ hodnoty pak je p!irozen proud"n turbulentn a pro v'po%et pou&ijeme vztah

N uf,l = 0,15. Grf,l.Prf( )0,33

.Prf

Prp

!

"#$

%&0,25

(jeliko& je Gr v mocnin" 1/3, tak p!i dosazen zjistme, &e v tomto p!pad"! nezvis na l.

P!irozen proud"n kolem teplej$ vodorovn trubkyPou&ijeme vztah

N uf,d = 0,50. Grf,d.Prf( )0,33

.Prf

Prp

!

"#$

%&

0,25

platn' pro 103 < Grf,d.Prf


13/22

P!irozen voln proud"n v omezenm prostoruP!i tomto proud"n se narozdl od volnho prostoru projevuje vliv okolnch p!edm"t#(st"n).

Proud"n zde zvis na geometrickm tvaru prostoru, na teplotnm spdu a na druhu tekutiny.

P!i volnm proud"n ve svisl$ch mezerch bude proud"n zna%n" zviset na &!ce mezery !. P!i

dostate%n" &irok meze!e nebude tm"! dochzet k vzjemnmu promchvn proudu tekutiny

stoupajc podl teplej&ho povrchu s proudem tekutiny klesajc podl chladn"j&ho povrchu. Nansledujcch obrzcch plat v'dy t

p1> t

p2.

Nebude-li &!ka mezery dostate%n bude dochzet k vytv!en cirkula%nch okruh#. U vodorovnmezery dochz ke konvekci pouze v p!pad", 'e je teplej& spodn deska ( horn obrzek ).

P!i volnm proud"n v mezikruhov$ch mezerch vzniknou tyto cirkula%n okruhy :

V p!pad", 'e je vnit!n trubka teplej&, vytvo! se cirkula%n smy%ky pouze nad rovn jej spodn

%sti, naopak bude-li vn"j& trubka teplej& , bude v klidu horn %st mezikruhovho prostoru.

P!enos tepla p!i voln konvekci p!i v&ech t"chto p!padech po%tme stejn" jako veden tepla

tekutinou v meze!e o tlou&(ce ! podle Fourierova zkona.

q =tp1 ! tp2( )

"

#ekv

#ekv

= $k.#f

Msto sou%initele tepeln vodivosti !f v&ak dosazujeme tzv. ekvivalentn sou%initel tepeln

vodivosti, kter$ zahrnuje p!enos tepla vedenm i konvekc.

Sou%initel !k = f(Grm," ,Prm ) vyjad!uje vliv voln konvekce, kde ur%ovac teplotou je teplota

v meze!e a ur%ovacm rozm"rem je &!ka mezery. Pro jeho v$po%et se pou'vaj tyt vztahy

!k= 1 pro Gr.Pr < 103

!k= 0,105. Gr.Pr( )0,3 pro 103 < Gr.Pr < 106

!k= 0,40. Gr.Pr( )

0,2pro 106 < Gr.Pr < 1010


14/22

KONVEKCE P!I ZM"N" SKUPENSTV

Sdlen tepla p#i kondenzaci $ist pryKondenzace je d% j, p#i kterm se m%n tekutina z plynnho skupenstv v tekutinu v kapalnmskupenstv. S kondenzac se setkvme ve v&m%ncch tepla, kondenztorech parnch turbn. P#itto skupensk zm%n% se uvol'uje skupensk teplo kondenza$n, $ili kondenzace je spojena s

p#enosem tepla.

Ke kondenzaci pry m()e dojt p#i parametrech pry ni)*ch ne) kritick&ch a zrove' vy**ch ne) pro trojn& bod. Kondenzace doshneme bu+ sn)enm teploty, nebo zv&*enm tlaku. Jsou-liteplota a tlak ni)* ne) u trojnho bodu, dojde k sublimaci, tj. k p#echodu rovnou na pevnskupenstv.

Kondenzace m()e probhat bu+ v celm objemu pry (objemov) nebo na ochlazovan st%n%(povrchov). Ke kondenzaci syt nebo p#eh#t pry na povrchu st%ny m()e dochzet pouzepokud je teplota st%ny ni)* ne) teplota nasycen pry pro dan& tlak pry.

P#i kondenzaci na st%n% se nejd#ve vytvo# monomolekulrn vrstva pry, kter se zhu*,uje avznik kapaln blna. Tlou*,ka blny se nepravideln% m%n. Chovn kondenzovan kapalinyrozd%luje kondenzaci na st%n% na dva p#pady.

o Blnov kondenzace : Je-li st%na sm$iv danou kapalinou, vytv# se na povrchu st%nykapaln blna, ve kter zkondenzovan kapalina kontinuln% stk, p#i$em) je dopl'ovna

pokra$ujc kondenzac.

o Kapkov kondenzace : Je-li st%na nesm$iv danou kapalinou, dojde p#i ur$it tlou*,ceblny k jej nestabilit% a blna se samovoln% roz#*t na velk mno)stv kapi$ek, kter potnar(staj a stkaj. Sou$asn% se mezi nimi zesiluje blna, kter vede k dal*mu vznikukapi$ek.

Sm$ivost $i nesm$ivost st%ny danou kapalinou zvis na velikosti jednotliv&ch povrchov&chnap%t Pro povrchov nap%t nap%t mezi st%nou, kapalinou a plynem plat vztah :

!S,P

= !S,K

+!K,P

.cos"Pokud znme velikosti povrchov&ch nap%t m()eme ur$it hel !. V p#pad%, )e !< 90 je st%natouto kapalinou sm$iv vytv# se blna, v p#pad%, )e !> 90 je st%na kapalinou nesm$iv avytv#ej se kapky.

Rozdl mezi kapkovitou a blnovou kondenzac je d(le)it&, jeliko) p#i kapkov kondenza$n jesou$initel p#estupu asi 5x a) 10x v%t*. V kondenza$nch za#zench nastv v%t*inou blnovkondenzace. N%kdy se dociluje um%le kapkovit kondenzace p#idnm liofobiztor( do tekutiny.P#i blnov kondenzaci je p#estup tepla hor* nebo, blna tvo# zna$n& tepeln& odpor.


15/22

Blnov kondenzace pry na svisl st!n!Za pou"it n!kolika zjednodu#ujcch p$edpoklad% odvodil Nusseltvztahy pro tlou#&ku blny a velikost sou'initele p$estupu tepla pro

laminrn stkn blny kondenztu po st!n!. Mezi zjednodu#ujc

p$edpoklady pat$ zanedbn setrva'n(ch sil ve srovnn se silami

vazk(mi a gravita'nmi, dle se neuva"uje sdlen konvekc pov(#ce a sdlen vedenm po v(#ce. Uva"ujeme tak pouze vedentepla blnou sm!rem ke st!n!. Dal#m p$edpokladem je zanedbn

t$en na rozhran kondenzt x pra. Fyzikln parametry

kondenztu uva"uje nezvisl na teplot!. Za t!chto a dal#chp$edpoklad% odvodil Nusselt vztahy :

St$edn rychlost kondenztu : w =!k.g

3"k#2

Tlou#&ka blny v zvislosti na x : !=

4"k.#k tn $ tp( )xl32 .%k2g

4

Sou'initel p$estupu tepla : !="k#=

"k3.l32.$k

2g

4%k tn & tp( )x4

St$edn sou'initel p$estupu tepla pro st!nu o dlce l : !Nu = 0,943 "k3.l32.#k

2g

4$k tn % tp( )l4

Z t!chto rovnic vypl(v, "e ! ~ x4 " ~1

x

4 , tak"e s rostouc tlou#&kou blny kles

sou'initel p$estupu tepla.

Jednotliv zjednodu#en p$i odvozen t!chto vztah% maj za d%sledek jejich nep$enost za jist(chpodmnek. K oprav! pou"vme opravn sou'initele !

",!

Ta !

V.

Sou'initel !"

koriguje zanedbn setrva'n(ch sil a p$enos tepla konvekc v bln!.

Sou'initel !T

slou" k respektovn prom!nosti fyziklnch parametr% kondenztu s teplotou.

Sou'initel !V

m za 'el zohlednit vlniv( pohyb blny.

V(sledn( sou'initel p$estupu tak ur'me jako ! = !Nu

."#

."T

."V

Je-li kondenza'n st!na #ikm pou"ijeme opravy !S= !

Nu. cos"4

V p$pad! kondenzace 'st pry na povrchu vodorovn trubky pou"ijeme vztah

!Nu = 0,728 "k3.l32.#k

2g

4$k tn % tp( )d4

P$i kondenzaci p$eh$t pry, neodevzdv pry pouze v( parn teplo, ale mus se nejd$veochladit na nasycenou pru a pak teprve zkondenzuje. Ukazuje se, "e lze pou"t stejn vztahy jako

pro kondenzaci nasycen pry, kde msto v(parnho tepla dosazujeme teplo v(parn plus teplop$eh$vac : l23 + qpr = l23 + (hpr ! ""h ) .

P$i kondenzaci mokr pry o vlhkosti 10-20% lze vliv vlhkosti pry zanedbat.

U kondenzace tekut(ch kov%ch nelze odvozen vztahy pou"t. Tak je u nich men# rozdl mezisou'initelem p$estupu tepla p$i kapkov a blnov kondenzaci.


16/22

Sdlen tepla p!i varuVarem naz"vme d# j, p!i kterm se uvnit! kapaliny tvo! pra. K vzniku varu m$%e dojt pouzemezi trojn"m a kritick"m bodem. Ke vzniku pry musme dodat kapalin# skupensk teplo

v"parn.

Rozli&ujeme var povrchov" a var objemov".

o Var povrchov" = var na tvrdm oh!vanm povrchu, tvo!en bublinek u st#nyo Var objemov" = vznik bublinek v objemu kapaliny, vyskytuje se pouze p!i velkm

p!eh!t kapaliny v$'i teplot# nasycen p!i danm tlaku kapaliny, m$%e nastat p!i velkm

sn%en tlaku v sytmu (jako p!i prasknut primrnho potrub)

Podmnkami pro vznik varu jsou

o P!eh!t kapaliny v$'i teplot# nasycen p!i danm tlaku = p!i atmosfrickm tlaku je t!ebap!eh!t alespo( o 0,2-0,4 K. Pot!ebn p!eh!t zvis na 'istot# kapaliny. U velmi 'istteploty m$%e b"t pot!ebn p!eh!t a% n#kolik destek stup($.

o P!tomnost parnch jader = parn jdra se tvo! p!edev&m na nerovnostech povrchuoh!van st#ny

V praxi se zab"vme se hlavn# povrchov"m varem kapaliny. Ten rozli&ujeme (podobn# jako

kondenzaci) na bublikov" a blnov".

Bublinkov" varP!i tomto typu varu se v#t&ina tepla p!edv povrchu oh!van st#ny kapaln fzi, kter m

mnoho nsobn# v#t& sou'initel p!estupu tepla ne% plynn fze. Hlavnm tepeln"m odporem p!ivaru je tvorba mezn vrstvy, av&ak tvo!en bublinek tuto mezn vrstvu dosti naru&uje a zlep&uje tak

p!enos tepla.

Lze odvodit vztah pro kritick" polom#r bublinky. Bude-li polom#r bublinky men& ne% kritick",

bublinka zkondenzuje, v opa'nm p!pad# m mo%nost r$st.

Tento vztah je RK

=

2.!.Tn

l23

""# $t . To znamen, %e 'm jev#t& p!eh!t kapaliny !t, tm men& budekritick" polom#r bublinky a tm se zv#t&uje pravd# podobnost za'tku varu, proto%e bublinky

mohou vznikat na men&ch nerovnostech, kter"ch je v%dy vce ne% men&ch nerovnost.

Velikost kritickho polom#ru bublinek ur'uje !dov# pot!ebnou drsnost st#ny, jej% nerovnostimohou slou%it jako centra pro vznik bublinek. Zna'n" vliv m tak sm'ivost st#ny kapalinou. U

nesm'ejc kapaliny je v#t& pravd#podobnost vzniku bublinek.Bublinka vznikajc na st#n# je oh!vna st#nou a okoln kapalinou a% do chvle kdy vztlakov sly

zp$sob jej odtr%en.


17/22

Zvislost plo!n hustoty tepelnho toku a sou"initele p#estupu tepla p#i varu na rozdlu teplotPlo!n hustota tepelnho toku a sou"initel p#estupu tepl zvis na velikosti rozdlu teploty st$ny ateploty nasycen p#i danm tlaku kapaliny. Tyto zvislosti jsou zobrazeny na obrzku

Oblast I = oblast sdlen tepla konvekc do jednofzov kapaliny (mal% po"et bublinek neovliv&uje

v%znam$ p#enos tepla). V tto oblasti !t< 5K q


18/22

KRIZE VARU 1. A 2. DRUHU A JEJICH V!ZNAM PRO TLAKOVODN A VARNREAKTORY

Krize varu 1. druhuKrize varu 1. druhu je jev, kter" nastv p#i varu kapaliny po dosa$en plo%n hustoty tepelnhotoku rovn prvn kritick hustot& plo%nho toku q

kr1, respektive odpovdajcho kritickho rozdlu

teplot mezi povrchem st&ny a teplotou nasycen odpovdajc danmu tlaku kapaliny. Dochz k np#i p#echodu od bublinkovho varu k blnovmu varu, co$ m za nsledek podstatn sn$ensou'initele prostupu tepla.

Hodnota prvn kritick hustoty plo%nho toku zvis p#edev%m na druhu kapaliny, na jejm tlaku,jakosti povrchu st&nya na sm'ivosti.

U vody, kter ns v jadern energetice zajm nejvce, 1. kritick hustota nejd#ve roste s

rostoupm tlakem, dosahuje maxima v rozmenz tlaku 6-8 MPa (p#ibli$n& 4,1.106 W/m2) a potop&t kles. S p#ibli$ovnm se kritickmu bodu bodu postupn& kritick" re$im varu vody vymiz.

Pro nadkritick tlaky je mo$no navrhovat teplosm&nn za#zen s v&t% hustotou plo%nho toku ne$je prvn kritick hustota.U kapalin nesm'ejcch st&nu je prvn kritick hustota men% ne$ u sm'ejcch .

V"po'et prvn kritick hustoty plo%nho toku je jednou z nezbytn"ch podmnek p#i #e%entlakovodnho reaktoru, nebo( vznik krize prvnho druhu by znamenal po%kozen povlak)

palivov"ch 'lnk) a tm i havrii reaktoru. (rad%i bereme rezervu q

Documents

SDT - komplet