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1. Le prime emozioni, positive o negative, sono associate all’insegnante (convinzione delle proposte, piacere e gusto per la disciplina…), alla curiosità per l’argomento, al contesto sociale della classe;
2. il bambino si costruisce le convinzioni su andar bene/andar male in matematica se percepisce il proprio fallimento di fronte alle conoscenze, con ricaduta sull’immagine di sé, per cui l’aspetto fallimentare diventa irreversibile;
3. l’interpretazione fallimentare dell’esperienza matematica è associata al senso di inadeguatezza, alla confusione, alla mancanza di consequenzialità esplicita nel percorso didattico ed alla percezione di incontrollabilità dei concetti matematici;
4. l’errore è la principale fonte di inadeguatezza; il tempo (troppo veloce e poco agevole) è la principale fonte di confusione, incontrollabilità;
5. queste emozioni generano comportamenti di rinuncia al controllo dei propri processi di pensiero, rinuncia a pensare, risposte a caso
COME INTERVENIRE?
Presentare la matematica come disciplina controllabile, stimolante, dinamica
Incoraggiare l’alunno, giudicando la prestazione e non la persona, sdrammatizzando l’errore e ri-orientandolo.
… CONCRETAMENTE
• Privilegiare i processi (da comprendere) piuttosto che i prodotti
(tanti e diversi da memorizzare)
• Dare tempo, dirigendo l’impegno ed individuando obiettivi realistici
• Riconoscere i piccoli progressi
• Non far uso della didattica implicita,
ma dominare il più possibile l’estensione del concetto prima di affrontarlo
• Individuare tutti gli elementi di un concetto e lavorare su di loro separatamente
prima di lavorare sul concetto completo
(per gli alunni sarà più facile capire e partecipare)
• Aver chiari i nodi concettuali dei percorsi didattici ed i possibili legami
• Non affrontare un argomento se non si è più che convinti di dominarlo correttamente
• Fare attenzione alle domande degli alunni che ci mettono in crisi
(non bloccarle per dimostrare di non essere stati colti impreparati,
ma utilizzarle per sviluppare la propria conoscenza prima ed il percorso didattico poi).
È la proposta di fare riferimento alla vita reale nell'impostare l'attività didattica,
nella scelta degli strumenti e dei i metodi di lavoro.
Non è mancanza di struttura o libertà di non far niente
È pedagogia dell’ascoltodel soggetto che apprende
È saper dare a ciascuno secondo i bisogni e non secondo i desideri
Richiede ai i docenti
ETICA DELLA RESPONSABILITÀ E DELLA CURA
Cos’è un numero?
Quantità, simbolo, misura…
ENTE IDEALE
Linguaggio comune: NUMERI DI qualcosa
Numero è elemento di un insieme numerico
Statuto dei numeri
Scrittura decimale
NUMERI NATURALI: N
Uso scolastico (conteggio, quantità, misura)Usi sociali (canali TV…)
0 è pari? PARI E DISPARI…
Se pari è numero 2n, allora è n+n, ossia somma di numeri uguali
0=0+0…
NUMERI INTERI RELATIVI: Z
Uso matematico: a-b=c
Uso generale: 0 “spartitraffico”,
i numeri che vengono prima sono negativi,
quelli che vengono dopo sono positivi
NUMERI RAZIONALI: Q
Uso matematico: a : b = c
Uso scolastico: quantità discrete e continue, misura
Il sottomondo dei NUMERI DECIMALI FINITI
( frazioni con denominatore potenze di dieci)
è il più usato,spesso caratterizzandolo con la virgola,
che è invece un accidente.
Le frazioni proprie, improprie ed apparenti
non hanno significato in matematica
Numeri pari e dispari, primi e composti “muoiono”
In relazione alla densità,
tra due numeri razionali ci sono infiniti numeri razionali
NUMERI REALI : R
Numeri fissi, Л….
I “buchi” lasciati vuoti dai razionali sulla retta numerica
sono riempiti dai reali
(secondo la caratteristica della completezza)
LA DIVISIBILITÀ
Punto di arrivo nella scuola primaria è:
a = b x q + r
se a è MULTIPLO di b allora a è DIVISIBILE per b
se a è MULTIPLO DI q allora a è DIVISIBILE per b
b e q sono DIVISORI o SOTTOMULTIPLI di a
c’è un numero minore di tutti i numeri?
(c’è un numero di cui tutti gli altri sono multipli?)
c’è un numero maggiore di tutti i numeri?
(c’è un numero multiplo di tutti i numeri?)
NUMERO NATURALE
SUCCESSIVO sintesi UNO DI PIÙ
ORDINALITÀ CARDINALITÀ
POSSIBILE PERCORSO PER L’ACQUISIZIONE DEL CONCETTO DI NUMERO NATURALErecupero delle “conoscenze numeriche “ precedenti
ORDINALITÀ
ATTIVITÀ CONCETTI SOTTESIfilastrocca numerica prima/dopo
associazione della sequenza verbale all’attività manipolativa
modulo, regola generatrice ed accento di una successione
le trasformazioni punto d’origine
trasformazioni di posizione in successioni ordinate
semiretta ordinata
la linea dei numeri direzione e verso
trasformazioni di posizione sulla linea dei numeri (gradualmente da 0 a 9 )
funzione
successioni con cicli semplici funzione “+1” ed inversa (“-1”)
successioni con cicli sovrapposti (2x2x2, 3x3x3, l’anno [7x4x12])
CARDINALITÀ
ATTIVITÀ CONCETTI SOTTESItanti/quanti (uno ogni uno) corrispondenza biunivoca
di più/ di meno prevalenza/suvvalenza
numerosità dell’insieme Equipotenza
quanti di più Inclusione
nuclei percettivi (carte di Papy…), (regoli)
insieme complemento
raggruppamenti in diverse basi numero come misura
NUMERO NATURALE
ATTIVITÀ CONCETTI SOTTESInumero ordinale (successivo) composto con numero cardinale (uno di più)
insieme N determinato dalla funzione “+1”
Regole di scrittura del numero in contesti multibase
polinomio ordinato secondo le potenze decrescenti della base dieci.
…
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
4
4
4 6
…
POLINOMIO ORDINATO SECONDO LE POTENZE DECRESCENTI DELLA BASE DIECI
a • bc
a = coefficiente
b = base
c = esponente
2014 = 2•103 + 0•102 + 1•101 + 4•100
CICLI SOVRAPPOSTI
01
2
3
45
6
7
8
90
1
2
3
45
6
7
8
90
1
2
3
45
6
7
8
9
h da u
0
1
2
3
4
5
b
0
1
2
3
4
5
u
0
1
2
3
4
5
q
0 0 0 0
1 1 1 12 2 2 2ubqc
Lavorando con i cicli sovrapposti, i bambini manipolano i concetti di base ed esponente operando con piccole quantità.
n1
n2
n3
n0
G
P
Per ogni contatore
uno strumento…
.
a
La sequenza di blocchi ci porta ad una lettura
che diventa un’esecuzione musicale
poliritmica
… e se fossero numeri….
La stessa struttura ciclica può essere utilizzata con le quantità, usando qualsiasi base numerica. In questo caso l’esempio è
riferibile alla base tre.
SCATOLA PIATTO BICCHIERE SCIOLTO
REGOLE DEL GIOCO
PER SCRIVERE IL NUMERO CORRISPONDENTE AD UNA QUANTITA’ DI TAPPI:
• OGNI VOLTA CHE NE HAI TRE RIEMPI UN BICCHIERE,
•TRE BICCHIERI RIEMPONO UN PIATTO,
• TRE PIATTI RIEMPONO UNA SCATOLA.
REGISTRANDO IN TABELLA
0
0000000000000
00
0000000
00
0
0
1
0
0000000011111
1
111222222222
0
0
00
0
00
0
00
0 0
111
11
1
111
222
222
222
0
1201201201201
2
012012012012
L’ADDIZIONE È UN’OPERAZIONE?
UN MODO DI COMBINARE TRA
LORO NUMERI NATURALI
LEGGE CHE STABILISCE UN RAPPORTO FRA
NUMERI NATURALI
È BINARIA
Combina 2 elementi alla volta
È INTERNA
Il risultato è sempre un numero naturale
COMPETENZE NECESSARIE PER SAPER SCEGLIERE LE OPERAZIONI GIUSTE
DA APPLICARE AD ALCUNI DATI E IN QUALE ORDINE RISOLVERE
TANTE COMPETENZE DISTINTE, LA CUI COSTRUZIONE SPONTANEA
RICOPRE UN PERIODO DI TEMPO MOLTO LUNGO
3/4 ANNISTATO INIZIALE, TRASFORMAZIONE CONOSCIUTA, RICERCA STATO FINALE
(CON VALORI NUMERICI MOLTO PICCOLI E DOMINI DI RIFERIMENTO FAMILIARI)
CRESCENDO…
SI AMPLIANO I VALORI NUMERICI (GRANDI NUMERI, DECIMALI, FRAZIONI…)
AUMENTANO I DOMINI DI RIFERIMENTO (GRANDEZZE SPAZIALI, FISICHE…)
CONCETTO INTUITIVO DI ADDIZIONEMETTERE INSIEME
Addizione deve far aumentare il
valore dello stato iniziale
INTORNO AD UN TAVOLO CI SONO 4 BAMBINI E 7 BAMBINE. QUANTI SONO IN TUTTO?
GIOVANNI HA SPESO 4 EURO. ORA HA IN
TASCA 7 EURO. QUNTI SOLDI AVEVA
PRIMA DI FARE LA SPESA?
ROBERTO HA GIOCATO DUE PARTITE. NELLA PRIMA HA PERSO 4 PUNTI, MA ALLA
FINE DELLA SECONDA ERA IN VANTAGGIO DI 7 PUNTI. COSA È SUCCESSO NELLA
SECONDA PARTITA?
L’INTUIZIONE PRIMITIVA NON PUÒ ESSERE SRADICATA COMPLETAMENTE
OCCORRE SVILUPPARE NELLA
PRATICA UNA
STRUTTURA SECONDARIA
PER CONDURRE L’APPRENDENTEA RIGETTARE PROCEDURE SBAGLIATE O
LIMITATE, PER SOSTITUIRLE CON PROCEDURE
PIÙ FORTI E UNIVERSALI
STRUTTURE ADDITIVE
SONO STRUTTURE IN CUI LE RELAZIONI POSSIBILI SONO SOLO ADDIZIONI E SOTTRAZIONI.
I problemi di tipo additivo possono essere relativi a
MISURE E TRASFORMAZIONI
Ho 6 biglie di vetro e 8 di acciaio. Quante in tutto? 6+8=14
UNA TRASFORMAZIONE OPERA SU UNA MISURA E DÀ UNA MISURA
Avevo 7 biglie, ne ho vinte 4. Quante ne ho ora? 7 + (+4)= 11
UNA RELAZIONE COLLEGA DUE MISURE
Ho 8 biglie, Mario 5 in meno, quante ne ha Mario? 8+(- 5)=3
DUE TRASFORMAZIONI SI COMPONGONO PER DARE UNA TRASFORMAZIONE
Ieri ho vinto 6 biglie, oggi ne ho perse 4. Quante ne ho vinte in tutto? (+6) + (-4)= (+2)
UNA TRASFORMAZIONE OPERA SU UNA RELAZIONE E DÀ UNA RELAZIONE
Devo restituire 6 biglie a Mario, gliene do 4, quante gliene devo ancora dare? (-6)+(+4)=(-2)
Devo 6 biglie a Mario e Mario deve 4 biglie a me. Quante biglie devo ancora a Mario? (-6)+(+4)=(-2)
DUE RELAZIONI SI COMPONGONO E DANNO UNA RELAZIONE
SIGNIFICATO STATICO SIGNIFICATO DINAMICO
ADDIZIONE
UNIRE AGGIUNGERE
SOTTRAZIONE
CONFRONTARE(differenza)
TOGLIERE(resto)
OPERAZIONE MATEMATICA
ASPETTO ASPETTO ASPETTO FORMALE ALGORITMICO INTUITIVO
PROPRIETÀ TECNICA OP. INTERNA…
ADDIZIONEMETTERE INSIEME, RIUNIRE
SOTTRAZIONETOGLIERE, PORTAR VIA
ASPETTO “NEFASTO” DEL LIBRO DI TESTO… linguisticamente
MODELLI PRIMITIVI TACITI Interpretazioni significative di nozioni matematiche, che si sviluppano ad uno stadio iniziale
del processo d’apprendimento (spesso suggerita in modo esplicito dall’insegnante) e che continuano ad influenzare tacitamente le interpretazioni e le decisioni risolutive dell’allievo
Fischbein
STRUMENTI DIDATTICI PER LE STRUTTURE ADDITIVE
LA LINEA DEI NUMERI
…semplice, completa, economica
ADDIZIONE SOTTRAZIONE
Conteggio ConteggioProgressivo regressivo
… rende palesi
i vincoli della sottrazione (minuendo sottraendo) il ruolo di 0 e 1 la proprietà commutativa dell’addizione la proprietà invariantiva della sottrazione
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
…stimola il distacco graduale dagli oggetti concreti, operando solo con i numeri
LE MACCHINE
MACCHINE IN SERIE
7
2
?
?
?
?
?
?
51
TROVARE STRATEGIE DIVERSE E ATTIVARE PROCESSI DI “FANTASIA” MATEMATICA
NUMERI AMICIAddizione
0
2
1
30
1
2
3
3
n ha n+1 coppie di numeri amici
TABELLE
ruolo di 0 e 1 addizione sempre possibile (tabella completa) minuendo maggiore del sottraendo (settore vuoto in sottrazione) proprietà commutativa (simmetria tabella) numeri amici (quante volte appare un numero in tabella)
+ 1 2 3 4
1 2 3 4 5
2 3 4 5 6
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8
