SEGUNDA DE FINITOS.docx

8/11/2019 SEGUNDA DE FINITOS.docx

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SEGUNDA PRCTICA

(TRACCIN CON DEFORMACIN TRMICA)

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

De la siguiente placa triangular de espesor constante, t=150mm. Calcular:

Los esfuerzos en cada elemento finito y la reaccin en el apoyo, con un incremento de

temperatura de 80C. Utilizar n elementos finitos.

Sabiendo que:

P=30000 N

T (espesor) = 150 mm

E = 3.0x105N/mm2

= 8.0 gr-f/cm3= 7,848x10-5

N/mm3

= 11x10-6 C-1

t = 80


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SOLUCIN:

1. MODELADO DEL CUERPO REAL

Consideramos seis elementos finitos de longitud de 250, 250, 250, 250, 500 y 500 mm

desde la base hasta la punta.

El ancho de cada elemento lo calculamos tomando el punto medio de cada elemento

finito:

mmb

mmb

mmb

mmb

mmb

mmb

1502

)0300(

4502

300600

6752

600750

8252

)750900(

9752

9001050

11252

10501200

6

5

4

3

2

1

Luego:


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e

NODOS GDL

le (mm) Ae (mm2)

(1)

Primer nodo

(2)

Segundo nodo1 2

1 1 2 Q1 Q2 250 168750

2 2 3 Q2 Q3 250 146250

3 3 4 Q3 Q4 250 123750

4 4 5 Q4 Q5 250 101250

5 5 6 Q5 Q6 500 67500

6 6 7 Q6 Q7 500 22500

1. GRADOS DE LIBERTAD NODALES.- (GDL)

(VECTOR DESPLAZAMIENTO)

En el siguiente grfico se muestran los vectores

desplazamientos nodales globales

El vector de desplazamiento ser:

mm

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Q

7

6

5

4

3

2

0


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Donde Q1= 0 debido a que la placa esta empotrada y los dems desplazamientos son

incgnitas donde procederemos a calcularlos.

2. VECTOR CARGA

Analizando las fuerzas en cada elemento finito:


5/16

Ahora analizamos las fuerzas para todo el cuerpo:


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Entonces, el vector carga se expresara de la siguiente manera

[

]

[

]

MATRIZ DE RIGIDEZ

A continuacin pasamos a calcular la matriz de Rigidez Global, que est determinada por la

siguiente ecuacin:

( )

( )

( )[

]

( )[

]

( )[

]

( )[

]


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Reemplazando para los valores calculados y utilizando la tabla de conectividad obtenemos:

[

]

[

]

Finalmente:

[

]

ECUACIONES DE RIGIDEZ Y CONDICIONES DE CONTORNO

La ecuacin de rigidez est determinada por la siguiente ecuacin:

QKF

ii

Lo que con nuestros valores calculados tenemos:


8/16

[

]

7

6

5

4

3

2

0

Q

Q

Q

Q

Q

Q

Resolviendo este sistema de ecuaciones obtenemos:

mmQ

mmQ

mmQ

mmQ

mmQ

mmQ

(-5)x10^175972

(-5)x10^131975

(-5)^87980.2x10

(-5)x10^65984

(-5)x10^43988.5

(-5)x10^8.21993

7

6

5

4

3

2

Y para obtener la reaccin en el empotramiento resolviendo obtenemos:

NR 44125.81

ESFUERZOS

Para calcular los valores de los esfuerzos por elemento, aplicamos la siguiente ecuacin:

TEQ

Q

l

E e

i

i

e

e

)(

111

Dnde:

TE e)( = (3*105*11*10-6)*80=264

2mm

N

Donde obtenemos lo siguiente:

21

1

5

1 0744.02640.219938

011

250

103

mm

Nx


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22

2

5

2 0.0636-2640.439885

0.21993811

250

103

mm

Nx

2

3

3

5

3 -0,0542640.65984

0.43988511

250

103

mm

Nx

24

3

5

4 0456.02640.879802

0.6598411

250

103

mm

Nx

25

3

5

5 -0.03122641.31975

0.87980211

500

103

mm

Nx

263

5

6 -0.0182641.75972

1.3197511500103

mmNx

RESULTADOS

Finalmente, los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

N44125.8R1

21 2317.0

mm

N

22 0.2712-

mm

N

23 -0.2972

mm

N

24 3412.0

mm

N

25 -0.0312

mm

N

26 -0.018 mm

N


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DIAGRAMA DE FLUJO

INICIO

Leer datos de entrada

E, f, t, , P, m, n

Calcula l y h para cada

elemento

Fuerzas en cada elemento

P=zeros(1,n+m+1);

Para: n y m

Fuerza en el centro:

P(n+1)=-30000;

Vector fuerza msica:

Peso=-f*0.5.*A.*L

A=t.*h;

Para el rea

Vector fuerza por deformacin trmica

Ft=-(x*t*E).*A;


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FIN

Calculo de esfuerzos:

=(E.*diff(Q))./L'-E*x*dt

R=kglobal*Q-F'

Ecuacin matricial

F = K . Q

Calculo de la matriz de rigidez

kele=E.*A./L;

k=k +(a(i)*E/(h/n))*x

Nodos

n+m+1

Imprime Reaccin,

desplazamientos y

esfuerzos


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DIGITACIN EN MATLAB


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RESULTADOS OBTENIDOS EN MATLAB:

Ingrese el N de elementos finitos de la primera parte (n):4

Ingrese el N de elementos finitos de la segunda parte (m):2


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CONCLUSIONES

A medida que se toma mayor nmero de elementos finitos mejor ser el

resultado encontrado el error va a ser mnimo conforme tomamos ms

elementos finitos.

El aumento de temperatura hace cambiar notablemente el valor deformacin por

ende de los esfuerzos en 1000 veces ms, por tanto es muy necesario hacer un

estudio con anlisis con elementos finitos a una pieza mecnica si este va a

trabajar a constantes cambios de temperatura.

Al comparar la reaccin hallada analticamente con que la que el Matlab se

encuentra un error, aunque es pequeo, podra influir en luego en errores

futuros, este error es muy probablemente producido por error en los

clculos y el uso de aproximaciones decimales.

Cuando solo haba traccin en el cuerpo, se poda notar fcilmente que los

desplazamientos eran negativos, ya que la traccin estaba en contra del

sistema de referencia, pero ahora al haber un incremento de temperatura,

los desplazamientos son positivos, esto significa que el efecto de

temperatura gana en desplazamiento al efecto de traccin en el cuerpo y en

cada elemento.

Aun as, los esfuerzos son negativos, debido a que de todos modos el

efecto de traccin produce un esfuerzo en contra del eje de referencia.

BIBLIOGRAFA

CHANDRUPATLA, T. Introduccin al Estudio de los ElementosFinitos en Ingeniera, Prentice Hall, 1999

ZIENKIEWCTZ, O. The Finite Element Method, New Cord, MacGrawHill, 1977.

LIVESLEY, R. Finite Element: An Introduction for Engineers,Cambridge, Great Britain, Cambridge University Press, 1983.


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UNIVERSIDAD NACIONAL

DE INGENIERIA

Facultad de Ingeniera Mecnica

Laboratorio N 2

TRACCION CON DEFORMACION TERMICA

Curso: Calculo por Elementos Finitos

Profesor: Ing. Ronald Cueva

Estudiante: Nombres y Apellidos codigo

Seccin C

UNI 2 14 II

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