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8/13/2019 SEGUNDA PRCTICA DE ANLISIS MATEMTICO III-2012
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UNIVERSIDAD NACIONAL DE HUANCAVELICA
Creada po r ley: 25265
FACULTAD DE CIENC IAS DE INGENIERA
ESCUELA ACADMICO PROFESIONAL DE CIVIL- HUANCAVELICA
CTEDRA :ANLISIS MATEMTICO III
CATEDRTICO :Mag. Mat. CASTAEDA CAMPOS, Csar
ALUMNOS :MERINO ORTIZ, Rodrigo
: PAITN MONTAEZ, Claudio
: PEREZ QUISPE, Vitaliano
: QUISPE ALARCON, Willian Carlos
: TELLO LAURA, Ciro Robinson
: TORIBIO FERNANDEZ, Wilmer
CICLO :III B
HUANCAVELICA-PER2012
SEGUND PRCTIC DE NLISIS M TEMTICO IIITEMA:
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A TODOS LOS ESTUDIANTES
DE CIENCIAS E INGENIERA
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INTRODUCCIN
El presente trabajo de Anlisis Matemtico III , ejercicios resueltos de reas usando
sumatorias, integrales y Volumen de un slido de revolucin que hemos realizado con el
esfuerzo y dedicacin de los integrantes del grupo donde hemos tratado mtodos
estudiados en clase como: Hallar reas usando sumatorias, usando integrales definidas y
y el volumen de un slido de revolucin.
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SEGUNDA PRCTICA DE ANLISIS MATEMTICO III: TERCER CICLO B
I.- REAS USANDO SUMATORIAS:
4..- Calcular el rea formada por Solucin
Hallando la
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Hallando la
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6..- Hallar el rea descrita por Solucin.
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9..- Calcular el rea descrita por
Tomamos para hallar R3:
Reemplazando en la frmula de sumatorias se tiene:
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(
)
Por propiedad de los lmites se tiene:
Hallamos el rea total: Pero como todas las regiones tienen la misma forma, entonces tendrn lamisma rea; ya que se hall la regin tres, el rea total ser:
10..- Calcular el rea descrita por
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Para A1
Reemplazando en la frmula:
Por la propiedad:
Por la propiedad:
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Se multiplica 2 veces por lo que se muestra en la grafica.
Para A2
Reemplazando en la frmula:
Por la propiedad:
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Por la propiedad:
Se multiplica por 2 por repetirse las mismas veces de la multiplicacin.
Para A3
Reemplazando en la frmula:
Por la propiedad:
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Por la propiedad:
II.- REAS USANDO INTEGRALES
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1. 1.1
1.1 Hallar el rea comprendida entre
Solucin:
Graficando las dos funciones e intersecando para encontrar el rea encerrada
tenemos la siguiente figura:
Como el rea del margen izquierdo es igual al rea del margen derecho solo
desarrollaremos el del lado derecho, para eso necesitamos los lmites inferior y
superior, para lo cual analizaremos la expresin siguiente:
el numerador a los reales y el denominadorsiempre va ser un nmero positivo
Como es un nmero real y positivo por tanto debemos encontrar el mnimo valor
que toma x para lo cual despejamos x:
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Pero como estamos trabajando solo con el margen derecho entonces x toma el
valor positivo.
.de aqu,
Pero De la expresin Entonces el rango de la integral sera:
Para lo cual hallamos el par (a, b) para eso igualamos las dosexpresiones:
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Por la ecuacin general
Esta expresin pertenece al conjunto de los nmeros complejos, entonces slo
nos quedamos con la expresin del lado derecho:
Entonces haciendo semejanza:
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Como ya tenemos los lmites de la integral del rea de la parte derecha que es pasamos a operar:AT=2A entonces nos bastara con hallar el rea de la parte derecha:
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1.4Hallar el rea limitada por
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Y 1 0.5 0.3 0.25 0.2 0.17 0.14 0.125 0.11 0.1
X -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1Y -0.125 -0.14 -0.17 -0.2 -0.25 -0.3 -0.5 -1
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i. Hallando las intersecciones,(igualando funciones)
;
.39 3n la funcin . ;
ii. Hallando el rea sombreada usando integrales.Cuando x [1.31, 7.39]
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2.1.7
Tabulando la siguiente funcin:
-3 1822.5-2 160-1 2.50 01 2.52 1603 1822.5
Tabulando la siguiente funcin:
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-6 0
-4.564524 1.198114-1.521508 2.1162451.521508 2.7425374.564524 3.2503117.60754 3.6888410.650556 4.080509
13.693572 4.437744
Hallando reas con integrales:
2.1.9
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9..- Hallar el rea de la regin limitada
-3.010241 -10.121501-2.232463 -4.607767-1.454685 -2.02483-0.676907 -0.7297980.100871 0.1010420.878648 0.996151.656426 2.5248642.434204 5.6595333.211982 12.3939813.989759 27.011691
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-10.444092 -16.888184-7.90096 -11.801921-5.357829 -6.715658-2.814697 -1.629395-0.271566 3.4568682.271566 8.5431324.814697 13.6293957.357829 18.7156589.90096 23.80192112.444092 28.888184
Hallando reas con integrales:
1.10
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Solucin:
Graficando :
Utilizando el caso II, de clculo de reas de figuras planas.
]
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Entonces:
Analizando en la grafica
+3(2)
5..- Hallar el rea de la regin limitada por | | Solucin:
Graficando las funciones:
| | | | | |
| |
X=12
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6..- Hallar el rea de la regin limitada por
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Solucin.
|
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|
| |
8.) Hallar el rea de la regin limitada por
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En este problema no se puede calcular el rea puesto que las dos funciones
Solo intercepta en un solo punto.
9./) Hallar el rea de la regin limitada por Solucin>Tabulando la funcion para graficar:
-6 946.133408-4.666667 904.539484-3.333333 855.697873-2 794.002467-0.666667 698.709544
0.666667 361.9213122 306.1927843.333333 275.4113994.666667 253.5040156 236.3591
Dando forma la ecuacin de forma de hiprbola:
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2..- Hallar el rea de la regin limitada por Solucin:
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Despejando el variable y.
| | | | De la ecuacin (1) sacamos dos ecuaciones:
| |
| | De la ecuacin (2) podemos deducir tambin dos ecuaciones:
| | | |
| |
| | De la ecuacin (3) podemos deducir tambin dos ecuaciones:
| | | | | | | | Por lo tanto tenemos:
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| |
| | | | | |
Analizando la ecuacin (a) | | | | | | ***Si | | ***Si | |
Analizando la ecuacin (c)
| |
| | | | ***Si | |
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***Si | | En forma general tenemos:
Graficando las siguientes funciones:
Hallando el rea de la regin:
Como es simtrico hallamos solo el primer cuadrante
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Como hay cuatro regiones iguales multiplicamos por cuatro
11,) Hallar el rea de la regin limitada por
solucion:
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Desarrollo por sustitucin trigonomtrica:
Dando forma:
Reemplazando:
Mediante integrales trigonomtricas:
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Reemplazando :
}
5- Hallar el rea de la regin limitada por Solucin:
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Sus vrtices
| | La parbola se abre a la izquierda
Sus vrtices
| | La parbola se abre a la derecha
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Graficando:
Calculando los valores de los lmites inferiores.
Igualando las siguientes funciones
Hallando el rea:
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6..- Hallar el rea de la regin limitada por Solucin:
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Tabulando:
X -3 -2 -1 0 1 2 3Y -3 -8 -11 -
12-11 -8 -3
Tabulando:
X -3 -2 -1 0 1 2 3Y -1 4 7 8 7 4 -1
2.
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III.- VOLUMEN DE UN SLIDO DE REVOLUCIN; Calcular el volumen delslido de revolucin que ese obtiene al hacer girar la regin formada por:
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1) alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-12
Grfico general
Hallando alrededor del eje x
Como se muestra en el grfico un anillo
Hallando alrededor del eje y
x
y
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Hallando alrededor del eje x = -12
3.) Alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-8, alrededor de y=4Solucin
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Calculamos el volumen del slido de revolucion que se obtiene al hacer giraralredor del eje X.
e
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Calculamos el volumen del slido de revolucion que se obtiene al hacer giraralredor del eje Y.
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4.-.. Alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-5, alrededor de y=-6
Solucin: por la forma de la ecuacin sabemos que es una parbola. hallamos su vrtice:
donde: h=4 y k=32El vrtice es: v (4; 32) Hallamos los lmites:
asumimos que y= 0
Alrededor del eje x: (por el
mtodo de discos)
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Alrededor del eje y: (por el mtodo de cascarones)
}
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Alrededor del eje x=5:
}
Alrededor Del Eje Y=-6:
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6.- alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=6, alrededor de y=-12
Solucin:
Hallando el punto de interseccin
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Reemplazando en :
Tenemos los puntos de interseccin
, los puntos son Hallando el volumen con respecto al eje Y
Hallando el volumen con respecto al eje X:
Hallando el volumen respecto alrededor de
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Hallando las integrales
Volumen respecto alrededor del eje
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7.- alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededor dex=-5, alrededor de y=6
Hallamos el punto de interseccin:
Hallamos el volumen al rotar en y=6
V= V=
V=
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Resolvemos la primera integral:
Du=-dx
V= V=
Reemplazamos:
V= Procedemos a remplazar los valores de x:
V= V=
V= V= 9.- Alrededor del eje X, alrededor del eje Y, alrededorde x=-8, alrededor de y=8
Despejando la ecuacin:
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Reemplazando en la ecuacin:
Tabulando la funcin:
0 2.83 -2.831 2.827 -2.8272 2.824 -2.8243 2.820 -2.8204 2.810 -2.8105 2.800 -2.800
6 2.790 -2.790
Graficando la tabulacin:
Aplicando integrales para el desarrollo del volumen del solido:(haciendo girar
en x):
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10.- alrededor del eje X, alrededro del eje Y, alrededorde y=x+2, alrededor de y=-6 .
Solucin:
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rea al rededor del eje "x"
Integrando:
(
)
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[ ( ) (
) ( )]
Reemplazando:
[
(
)
(
) (
)]
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[ ( ) (
) (
) (
)]
[ () (
)]
rea al rededor del eje "y":
Hallando los lmites:
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rea alrededor de "y=-6"
[
]
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De la ecuacin (I) tenemos:
[
(
)
(
) (
)]
Entonces reemplazando tenemos:
[ () (
) ( )]
[
() () ( )
(
)]
[ () (
)]