'\t~ FUNCIONES ~

Diagrama de la relacin F A~B

2

-3

4

.5

6

Figura 1

4 - Y

3 , ,y = 3x - 2

x --------.-~+---~---

-1 -4 -3 -2 -1

t"

Figura 2

~ 1.1 RELACIONES

/ Si AY B son conjuntos no vacos, entonces cualquier subconjunto F de A X B se llama una relacin entre los conjuntos A y B.

El dominio de F, notado por Dom F, es el conjunto {x / (x , y ) E F} Y el rango de F, notado por Ran F, es el conjunto {y / (x, y ) E F}. Por ejemplo, si e = {2 , 4, 6} YD = {l , 3, 5, 7}, una relacin F de e x D es

F = {(2, 3), (2, 7), (4, 1), (6, 3)} . Su dominio es el conjunto de todas las primeras componentes de las parejas ordenadas de F. Luego, Dom f = {2, 4, 6}_El rango de F es el conjunto de todas las segundas componentes de las parejas ordenadas de F. Luego, Ranf= {1, 3, 7}.

E;empfo

Dados los conjuntos A = {O, 1,2, 3} Y B = {2, 3, 4, 5, 6}: a. Hallar la relacin Fque cumple : "La segunda componente es igual a dos veces la

pri mera com ponente ms dos". b. Escribir la frmula. c. Trazar el diagrama que representa la relacin . d. Hallar el dominio y el rango.

Sol ucin a. Se halla A x B = {(O, 2). (0, 3). (O, 4). (0, 5), (O, 6), (1, 2). (1, 3), (1, 4), (1, 5),

(1, 6). (2, 2). (2,3). (2,4), (2, 5), (2, 6), (3, 2). (3, 3), (3,4), (3, 5), (3, 6)}

Las parejas que forman la relacin Fson F = {(O, 2). (1,4). (2, 6)}

b. F = {(x, y) E A x B I y = 2x + 2}l c. El diagrama de la relacin se muestra en la figura 1. d. Dom F = {O, 1, 2}. Ran F = {2, 4, 6}.

Relaciones funcionales

/ Una relacin fes ztna !uncirl si 'v'(a, b) E f Y (a, c) E f, b = c; es decir, no hay dos parejas ordenadas diferentes con la misma primera componente.

Por ejemplo, La relacin f = {(x, y) / Y = 3x - 2} es una [uncin pues no se pueden en

-ango

areJnto ego,

La nocin moderna de funcin es fruto de los esfuerzos de muchos matemticos de los siglos XVII yXVIII, en particular de Leonhard Euler, a quien se debe la notacin

y = f(xl.

n

2. Dibujar la grfica de cada funcin elaborando una tabla de valores.5 a. f[x) = x'- b. g(x) = Xl3

2 Solucin,.j y . x

_ . + a. La grfica de la funcin pasa por los puntos de coordenadas (x, f(x)). es decir, los -3-2-'

-, . '23 puntos de la forma (x, xl). Estos puntos se registran en una t3bla de valores as. -2

La grfica de la funcin se muestra en la figura 3.Figura 3 Tabla de valores

9

8

, y 1 ~ 1 ~2 1 ~1 1 : 1: 1: I7 6 5 - b. La grfica de la funcin g(x) pasa por los puntos de coordenadas [x, Xl).4 3 La grfica de la funcin se muestra en la figura 4. 2 ,. Tabla de valores

o' .~._ x -3 -2 - J , 2

r t -2 1;1=:1=: 1 : 1 : 1 : IFigura 4

[- . ItmR1'~ATIVA ,.. ~;;;~nvA ARGUMENlAflVA : .. _.__..._-----------~ ~ I Prctica 1

1. Si A = { 1, 2, 3} Y B = {4, 5, 6, 7}. Halla r las parejas que cum plen cada relacin. Luego, hallar su dominio y su rang o. a. R1: "La suma de la primera componente con la se

gunda componente es mayor que 7". b. R2: "La segunda componente equiva le a la primera

com ponente aumentada en 3". c. R3: "El producto de la pri mera componente con ll

segunda componente es un nLl mer-o im par'''. d. R4 : "La suma de la primera co mponente con la se

gunda componente es un nmer-o par". e. R5: "La pr'imera componente equivale l la se gu nda

co mponente dismi nuida en uno'~ f. R6: "La segunda co mpo nente es el doble de la p r'i ~

merl com ponen te".

Dad os A = {3, 6, 9,5, 12} Y B = {l, 2, 3, 4,5, 6} esuibir una relacin Rque cor responda a ca da conju nto de par'ejas ordenadas. a. {(3, 3), (6, 6), (5, 5)} e. {(3 , 4). (5, 6)} b. {(6, 3), (9, 6)} f. {(12, 6), (6, 3)} c. {[3, 5)} g. {[3, 1), (6, 2), (9, 31. [12, 4)} d. {(12,2l. [9 , l)} h. {(3, 1), (6,4), (5, 3)}

3. Da dos los conjuntos X = {l, 2, 3, 4, 5, 6} Y Y = {2, 3, 4,5,6,7, 8}. Representar cada una de las siguientes relaci ones en un diagrama. a. T= {(x, y) I x = y + 2} b. S = {(x, y) I x = y2} c. L = {(x, y) I x + y < 5} d. M = {[x, y) I y x = 2} e. N = {(x, y) I Y = x2 + l} f. H = {(x, y) I y = 5x - 2}

4. Indicar cules de las sigu ientes relaciones son funciones. Luego, justificar la r espuesta. a. R, = {[l, x), [2, y), (3, y)} b. R2 = {(l, xl. (2, yl. (1, y)} C. R3 = {[a, b), lb, al. lb, el} d. Si X = N, Y = N, R4 = {( x, y) I y = x + 5} e. Si X= IR , Y= IR, R3 = {[x, y) I y = x2 - 1} f. Si X = [R-I , Y = IR. R6 = {(x, y) I y2 = x + 3}

5. Evalu ar cada funcin para los valores que se indican. a. f (x) = 3x2 + 1; pa ra f( -1), f(O), f(5) b. f(x) = x ; 1, para f(1), f(~} f(b )

-----

--

_____ ----'FU -" ONES-"'NCl"'-'..= UNIDAD 2

:s

Como x puede tomar cualquier valor, se dice que el dominio de { corresponde al conjunto de los nmeros reales. Dom { = IR.

y 3 - El rango de la funcin corresponde a todos los valores que puede tomar y al 2 -

variar x en el dominio. Como y toma cualquier valor, se dice que el rango de ,

1 -, x { corresponde al conjunto de los nmeros reales. Ran {= IR.

-3 - 2 -1 2; 3 -1 - Algebraicamente, el rango de una funcin se puede encontrar despejando x -2 - en la funcin. -3 -4 y =2x-5 Notacin de funcin

z ~

z ~ -7 ~

:5 /- x= Como y puede tomar cualquier valor, se concluye que..... ...J

.....

- 7 - 2 z

::: Ran {= IR (figura 5). z '"

~

'"

~ @ Figura 5

49

1 . c. f(x) = -X2 + 5; para f(3). f(- 3). f(b + 1)

3

d. f(xl = 2x - ~ ; para f( -1). f(a), f ( ~ ) e. f(xl = 6X; 3; para f(-1). f(3m + 1). f( ~ ) f. f( xl = 5x2 - x; para f(2l. f(O). f(m2) g. f(xl = 3x + 5; para f( - : ). f(a2 - a + 1)

6. Completar la tabla de va lores para cada fun cin. Lu ego, realizar la grfica.

a. f( xl = x + 6

b. f( xl = 2x + 1

3

c. f(xl = 4x2

x 1 3

O 4 -5

1 8-3

5

r(xl x O -1 1 -

2 5 6 10

f(xl

x - 1 O 1 -2

1 3 -2

2

f(xl

d. f(xl = x3 + 1 x 1 3

-1 O 1 -3

1 2

f(x)

7. Para cada par de conjuntos A y B plantear dos fun ciones f: A ---7 B. a. A = {1, 2, 3}, 8 = {x / x ~ 10, x E N} b. A = {2, 4, 6}, 8 = {2, 4, 6, 8, lO} c. A = {x / x < 3, x E N}, 8 = {x / x ~ 5, x E d. A = {x / x < 8, x E N }, 8 = {x / x ~ 4, x E N} e. A = 8 = {x / xE N/x ~ lO}

8. Escribir el valor ele verdad de cad a afirma cin. Lueg o, justifi ca r la respuesta. a. f(m + 1) en la funcin f( xl = 3ax + 2a es equiva

lente a a(3m + 51. b. La fun cin f(xl 5x + 2 ti ene como imagen ~

cuando x = -.l. 4 2

c. Toda funcin es un a re lacin. d. Todas las 'el ac ionesse pueden representar en el pia

no ca rtesiano.

Dominio X ~ 1.2 DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCiN x / Dada la (uncin f: X ---7 Y, se define el dominio de f como el con

, junto de las primeras componentes de las parejas que estn en f.

Se escribe Dom f. El rango de f es el conjunto de imgenes f(x) de

los x EX.

Por ejemplo, el dominio de la funcin {(x) = 2x - 5 corresponde a todos los posibles valores que x puede tomar, para los cuales {(x) est definida .

Grfica de la funcin 2 1f (x) = -x +5 2

t y5

04

J ~ - ~ ' /~, , x -"- -, , 2 3 4 5 6 ~~ 1 Figura 6

Las funciones polinmicas de la forma f(x) = anxn + ... + an tienen como dominio implcito al conjunto de los nmeros reales IR.

Grfica de la funcin g(x) = 3x2 + 1

y 6 51

X .+-1--.. I

-3 -2 -, -' 1 -2

Figura 7

Dom inio y rango de funciones sencillas Siempre es posible calcular el dominio y el rango de cualquier funcin polinmica, al observar su ecuacin o su representacin grfica.

Ejemplo Calcular el dominio y el rango de las siguientes funciones. Trazar su grfica.

2 1a. f(x) = -x + 5 2

b. g(x) = 3x2 + 1 c. h(x) = 2.0 + 5x2 - 5 Solucin a. Como la funcin corresponde a una funcin lineal, x puede tomar cualquier valor

en el conjunto de los nmeros reales. Luego, Dom f= ~

Por otra parte, f(x) = l.x + .l Tabla de valores

5 2

2 1V = -x +5 2

2 1

-x = V-

x O 2 5

f(x) 1 -2

13 -

10 5 2

5 2

x=2t-2. 2 4

de donde Vpuede tomar cualquier valor en el conjunto de los nmeros reales, luego

Ran f = [R

La grfica de fse muestra en la figura 6.

b. La funcin corresponde a una funcin cuadrtica, x puede tomar cualquier valor en el conjunto [R. Luego,

Dom 9 = ~

El rango se puede hallar as:

g(x) = 3x2 + 1 Tabla de valores V = 3x2 + 1

3x2 = V - 1

x2 = .t.=..J..

x O -1 1

g(x) 1 4 4

3

x= J~ 3

Grficamente se puede observar que x puede tomar cualquier valor sobre el eje x,

mientras que las imgenes de x estn nicamente a partir del punto (O, 1). As, oC( z

S < Ran f = ['1, (0) :: -' =

z oC( c.La grfica de g(x) se muestra en la figura 7. '" @

50

______ FUNC~~ UNIDAD 2~~IONES

1c. h(xl = 2.0 + Sx2 - S La funcin h es polinmica, por tanto

Dom h(xl = IR Al trazar la grfica de la funcin h(xl, se observa que recorre todo el eje y; luego, Ran h(xl = IR. La grfica de h(xl = 2.0 + Sx2 - S es la siguiente

1

Tabla de valores

2 1

x -2 -1 O 1 2

h(xl - 1 -2 -S 2 31

x ~

2 4 5

I - =----:::-----, ~mRl'RmIIVA PROPOIlIIVA ARGUMENIAllVA i ~ Prctica 2

3

Determ inar el domin io y el rango de cada una de las sipresentadas en cada grfica.

1. Determinar el domin io y el rango de las funciones regu ientes fu nciones. a. f(xl = 3x + 1 1. f(xl = - 2x2 - 1

a. d.;1' b. f (xl = 4x2 - 1 j. f( xl = 2x4 - 1 c. f(xl = 8x + S k, f( xl = sx3 - 4 d, f( xl = sx2 l. f(xl = 2x2 + 6\ '~7

-4

e, f(xl = 7.0 + 8 m. f(xl = x + 6: ~ l x2

f. f( xl = ~x n. f(xl = e.b. S 2

4 3 g. f( xl = x + 8 o. f(xl = 3x3

2 5 x _, ~I~ 2x21 ' 3 4 - 3~237 h. f(xl = 3x + ~ p. f(xl = - + 5

-21 S 3 -3 Indicar el error cometido al calcu lar el dominio y el ra n-4

go de cada f uncin. f. )'c. a. f( xl = 4x2 - 34

3 Ya que la f uncin es cuadrtica, Dom f = ,y f( xl = 4x2 - 3

x ~---1--L L x ---.--+ y = 4x2 - 3Z -3 -2 -1 -3 -2 - 1J I 1 2 3 4

:3 Z .... :3:: .... -2 4x2 = y - 3::z z : ~ I -3

4- -4'" '"

x2 = ~ 4

x= JY ~ 3 @ @ el rango de la fu ncin es Ran f = [3, cel

51

b. f( x) = 5x + 4

Ya que la funcin es lineal, Dom f = R y

((x) = 5x + 4

Y = 5x + 4

5x = y - 4

4x= y-5

el rango de la funcin es Ran f= [-4, x ) 4. Escribi r una funcin que tenga el dominio y rango que

se indican a conti nuacin. a. Dom = IR, Ran = IR

b. Dom = IR, Ran = [-5, x ) c. Dom = IR+, Ra n = IR+

d. Dom = IR, Ran = [O, x ) e. Dom = IR- {O}, Ran = IR - {O}

04

f. 00111 = IR, Ra n = IR

g. Dom = [8, xl. Ran = nr

h Dom = IR - , Ran = IR +

5. Una pgina cuyas dimensiones son 24 cm de ancho y 33 cm de largo tiene un margen de ancho x, que rodea el material impreso.

f- 24 cm ----1

O"~:::;.J....' :,.;:,;.. IjJII tII ""' ~ ,... 1'" ......~ 110' ~ ..,..~,,~.,J1"''''F'

X _.~ , _;SEtoj . 33 cm

~J

a. Escribir una frmula para el rea A de la reg in im

presa en funcin del ancho x del ma rgen. b. Encontrar el dominio y el rango de A c. Hal lar el rea de la pa rte impresa para anchos cuya

margen sea 1 cm 2 cm 3 cm

d. Si las dimensiones de la pgina fueran (24 + y) cm y (33 + y) cm, cul seria la frmula para el rea A de la regin impresa en funcin del ancho x del margen?

f(x)=~ y

3- :-Dominio_ 1 2

Rango 1, xI . ----3 4 5 6

-2 -~ 1-2

Figura 8

Dominio y rango de funciones con alguna restriccin Hasta ahora se han trabajado funciones en las cuales el dominio es el conjunto de todos los nmeros reales; pero es posible encontrar otras funciones cuyo dominio depende de los valores de x para los cuales la expresin matemtica dada est definida. As, Dom (= [2,00) Por ejemplo, para hallar el dominio de la funcin {(x) = ~ se debe tener en cuenta que las races pares de nmeros negativos no existen en IR, es decir, el dominio de { estar fonnado por todos los valores para los cuales x - 2 es mayor o igual que cero. As Dom (= [2,00) El rango de { se halla despejando x en la expresin y = -Vx'=2. Luego, x = y2 + 2, por lo tanto,

Ran (= [0,00) (figura 8) Es importante anotar que para hallar el rango de una funcin no siempre es posible despejar x en tnninos de y, pues puede suceder que dicho proceso requiera de otros conocimientos ms avanzados que los vistos hasta ahora. En estos casos, se recurre a la grfica de la funcin, la cual pennite visualizar los valores de y donde la funcin est definida. Por ejemplo, g(x) = Yx2 - 6x - 8

52

Grfica de f(xl = _1_ x-2

x

Figura 9 La grfica no corta la recta vertical que pasa por x = 2 ni el eje x.

G 'f' d (l 3x - 2ra Ica e g x = -x +3

) : 71Y : 41

-----------~r------~:_ . 1 / x

-5 -4 -~ -2 -1~ ) -3 -4

~: I Figura 70

La grfica no corta la recta vertical que pasa por x = -3 ni la recta horizontal que pasa por

y = 3. z z :3

......:3 ::....J ::. z Z Vl '" i\!>

_____--'F""..::::""= UNIDAD 2UNCIONES

Ejemp(o Hallar el dominio y el rango de cada funcin. Luego, trazar la grfica.

1 1 a. f(x) = -- c. h(x) = -'2~-

x-2 x-4

3x - 2b. g(x) =-- d. j(x) = vi=-x x + 3 4-x

I Solucin a. La funcin f(x) = _1_ no est definida para x = 2 pues x - 2 = O cuando

x-2

x = 2. Luego, Dom f(x) = IR - {2}.

Por otro lado como y = f(x) entonces

1 y=-- Sustituyendox-2

x-2=-.l Operando y

x=-.l+2 Despejando y

Luego, x E IR si y slo si y -=1= O. Por consiguiente, Ran f(x) = IR - {O}.

La grfica de f se muestra en la figura 9.

b. La funcin g(x) = 3x - 2 no est definida para x= -3; luego, Dom g(x) = IR - {-3}.x+3

El rango de g(x) se puede hallar despejando x. Como y = g(x) , entonces

3x - 2

y=~ Sustituyendo

y{x + 3) = 3x - 2 Operando xy+ 3y= 3x- 2

xy - 3x = - 3Y - 2

x(y- 3) = -(3y+ 2) (3y + 2)

x= - Despejandoy - 3 Luego, x E IR si y slo si y -=1= 3. Po r consiguiente, Ran g(x) La grfica de 9 se muestra en la figura 10.

c. La funcin h(x) = xl 1 es equivalente a la funcin h(x) - 4

luego, h(x) no est definida para x = -2 x = 2. Por consiguiente, Dom h(x) = IR - {-2, 2}.

El rango se puede determinar a partir de la grfica.

53

= IR - {3}.

= 1 ,(x + 2)(x - 2)

Para trazar la grfica se debe tener en cuenta las siguientes condiciones: La funcin no est definida para x = -2 Y para x = 2. La funcin nunca toma el valor O, lo que significa que no corta el eje x. La funcin corta el eje y cuando x = O; es decir, y = _.l.

4 Otros valores se muestran en la siguiente tabla.

Tabla de valores Grfica de la funcin

x h(x)l -4 1

12

- 3 1 5

-1 1 3

1 1 3

3 1 -5

4 1 -12

j y La grfica muestra - 4

claramente el dominio de la funcin h(x) = IR - {-2, 2}.~: ' : . [: : El rango de la funcin

l . :1 h(xl es IR - {O}.-4 -3 r:?\' .-- x-~ ' ' '....~

: _ _,' ~ 3 4

, '

: - -2 ;

- -3

- -4

d. La funcin j(x) = _~ est definida si y slo si 4 - x > O, de donde: 4-xY3

2- ) , 4-x > 04 > x 1- : -~ '

, x x < 4 -4 -3 -2 -, , 2 3 ~ . -,

Por consiguiente, Dom j(x) = (- 00,4).-2

El rango se puede determinar a partir de la grfica de figura 11.Figura 77 Ran j(x) = (O, (0).

Es posible determinar el dominio y el rango de una funcin a partir de la grfica que la describe.

Ejemplo Hallar el dominio y el rango de las funciones cuyas grficas se muestran

a continuacin.

a. y b. c. , y Y

5- 3- 3 o 2~ h (x) ~ .~., ~x} ,' /32- \ ((x) x

-4 -3 -2 -, , 2 3 4 -4 -3- -'2 _', I ~ x ._, _ 2 3 4,- -,

x -2 - z ,'!

-3 2 -, - ' - 2- 3- -2 1 -, - ~ "< -'

-2 ~ VI @

54

______..:.:FUN.:::::.:.:ES:.:.:CION.:::: UNIDAD '}

So lucin a. La funcin que corresponde a la grfica est definida para todos los valores de x, luego

Dom f(x) = IR Como la funcin no toma valores mayores que 4, se puede afirmar que el rango corresponde a todos los valores de y menores o iguales que 4; luego,

Rn f(x) = (- 00, 4].

b. La funcin que corresponde a la grfica est definida para los valores de x

mayores o iguales que -3; luego,

Dom g(x) = [-3, 00).

Como la funcin no toma valores por debajo del eje x, se puede afirmar que el rango son todos los valores de y mayores o iguales que cero. Luego,

Ran g(x) = [O, oc) o IR+ U {O}. c. La funcin correspondiente a la grfica est definida para los valores menores o

iguales que 4. Luego, Dom h(x) = (- 00,4].

Como la funcin toma valores inferiores o iguales a 2, entonces Ran h(x) = (- CXJ, 2].

~ Prctica 3

1. Encontrar el dominio y el rango de las funcio nes que

corresponden a cada grfi ca.

a. i].tYi d. 4 :. [Y'l13 " : 3 :

. :2 : 2 :, , ,

: 1 : - ,- -- - - - -1 - - ~- -- - - - ;

-t - 1 --=:lT.-, . I 2 3

- 1 :-~ 2 -:'/2 ; . -2 - :

, ,

: 3 : -3 :

: 4 - 4 ',

b. e. 4

-'S;\'

-2 .

-3 f -3 -2 - , , 2 3 x

-4

-, i

c. IY f. 7 - 7 6 - 6 5 4l 4

c. j = \ X2 - 2x + 1 f. (xl = -vx=2 '::::IT ,( x) = R Dom (xl = IR - {2} Rafl f7(x) = ~ Ran I(xl = ~ ( ) . 2x ~ 1 4x o. I X=-- g. k(xl =

x +S x + 6

Dom (xl = IR Dom k(xl = IR - {6} Ran (xl = IR - {2} Ran k(xl = IR - {4}

1e. j(xl = _6_ h. k(xl = -2x +3 . x + 1

Dom j(xl == IR - {3} Dom W(xl = IR

Ran J(xl = IR - {O} Ran w(xl = IR+

4 Realizar el bosquejo de la grfica de una funcin con las co ndiciones que se indican en cada caso.

a. Dom f(xl = IR

Ran f(xl = IR - {1}

FUNCIONES BIYECTIVAS

b. Dom g(xl == (O, xl Ran g(x) = IR

c. Dom h(xl = IR - {s} Ran h(x) = IR - {S}

d. Dom (xl = IR Ran (xl = IR+ .

e. Dom j(xl = (-2, SJ U [6, oc) Ranj(xl = (- so, 3l

f. Dom k(xl = IR - {8} Ran k(xl = [-2, 2J

g. Dom I(xl = IR C} Ra n (xl = IR - {~ }

Interpretacin geomtrica de una funcin ;nlJect;va

2 _ ' f I

1 - ./

I , /, ... __ x -3 -2 -1' 2 3

, -1

-2

La funcin f es invectiva si al trazar cualquier recta horizontal corta la grfica a lo sumo en un punto.

\. 2.1 FUNCIONES INYECTIVAS O FUN CIONES UNO A UNO '--'

/ Una {uncin f con dominio el conjunto X se llama (uncin inyectiva o uno a uno si no existen dos elementos distintos de X con una misma ilnagen. En smbolos, Si x i= x2' entonces, f(x) i= f(x2) o

\fx, x2 E X, si f(x) = f(x2) => x = x2.

En los siguientes diagramas se representan una funcin inyectiva y una fu ncin no inyectiva.

Funcin inyectiva Funcin no inyectiva A B C D

9 1 1

2 2 7 2

4 3 4 3

6 4 2 4

En {se observa que elementos diferentes del dominio tienen imgenes di f~ rentes en el codominio. Cuando se verifica esta condicin se dice que la fu n- s cin es inyectiva o uno a uno. Por otro lado, la funcin g no es una funcin inyectiva, ya que elementos d.i- ~ ferentes del dominio tienen la misma imagen en el codomio.

56

______---'FU '-" ON~-"-'N CI'"'"'-'= UNIOAC L

-

, 0

feo:(

'-LO- z ::5 ....

;:: zdi- o:( Vl @

En la notacin f:A~ B

A es el dominio y B es el codominio

o:( z ::5 ....

;:: z o:( Vl @

Eiemp(o Indicar si las siguientes funciones son invectivas o no. Luego, trazar su grfica.

a. f(x) = 2x - 1 b. g(x) = x2 - 2 Solucin

a. La funcin f(x) es invectiva, pues: .----~~---- x

,-,f(x ) = f(x ) ~ 2xl - 1 = 2x - 1l 2 2 -3 -2 2 3 ~ 2xl = 2x2 ~ xl = x2

Lo que muestra que la igualdad de imgenes implica igualdad de preimgenes.

b. La funcin g(x) no es invectiva, pues existen nmeros diferentes en el dominio que tienen la misma imagen, por ejemplo, -1 V 1.

- -'r-- -t---+-- x As, -1 * 1 sin embargo, f(-l) = f(1) = -1.

~2.2 FUNCIONES SOBREYECTlVAS

/ Una {uncin fes sobreyectiva si el rango de f y el codo minio de f

son el mismo conjunto.

Si todos los elementos del codominio de {son imgenes de por lo menos un elemento del dominio de f, se dice que

Ran { = Codominio { En los siguientes diagramas se representan una funcin sobreyectiva y una funcin no sobreyectiva.

Funcin sobreyectiva Funcin no sobreyectiva e D

En h se observa que todos los elementos del codominio o conjunto de llegada son imgenes de por lo menos un elemento del dominio. Cuando se verifica esta condicin, se dice que la funcin es sobreyectiva.

Por otro lado, la funcin j no es una funcin sobreyectiva ya que existe un elemento en el codominio que no es imagen de ningn elemento del dominio.

57

Ejemp(o Determinar cules de las siguientes fUllCU :'~ ! ::. : ~ " ::..::... ~ a. f: ~ --1 :=~ .~ ~ 1...-:...

x --1 3x - 4

Solucin a. La funci n f(xl = 3x - 4 ser soore-.t( ~ " := ~ ~ ::

codominio, A.

y = 3Y - ::. _--s ::: ~ ~ :~ J-:O

y, 4 = 3x _ ... t-: .... .] y..,.. 4

_ 5t:~. ; r.:JV 't 3

se ~ ' ' _Como no existe ning una rcstr 'crir (So ,m: ~

~ Prctica 11 1. Indicar cules de las siguientes grficas corresponden a

funciones invectivas. a.

2....x _\ b. y

7e 6 1 Ts,

4

32 ,

-3 -2 -,,

y 7654 3 2

2 34

3

x

5

d. y 4 3

-4

e. y 76543

x

2 3

f. y 65

y-,/ .. 'j L , ;...f

-] -2 -1 1 2 3-,[ -21

2. Determinar si la funcin dada, es una funcin invectiva.

a. x 1 2 3 4 5 6

f(xl 1 4 9 16 25 36 la b.

, x 2 3 4 5 6

f(xl 1,5 2,1 3,6 5,3 2,8 2,1 a?

c. x 1 2 3 4 5 6

f (xl 1 1 -2

1 -

3 1

-

2 1

-

3 1

- -

FUNCIONES PARES, IMPARES, CRECIENTES, DECRECIENTES

Funcin par

J x

-2

Figura 7

Funcin impar

y 3

2 - ) 1

--+-I-~ --+--+ ,~ -3 -2 -1 1 1 2 -1

,

-2

Figura 2

Funcin creciente

y

:('l;J---~

Ix,J- - - , :

, ' , '

Xl X2 x

Figura 3

Funcin decreciente

y .

I fIXl~---' flX)L 2 :-"1----

1 : :

Figura 4

Adems del uso de la tabla de valores, otro medio que permite trazar la grfica aproximada de una funcin consiste en determinar si esta es par o impar.

~ 3.1 FUNCION ES PARES

/ Se dice que una funcin f es par, si f( -x) = f(x), 'Vx en su dominio.

Grficamente, una funcin f es par si es simtrica respecto al eje Y, como se muestra en la figura 1.

~ 3.2 FUNCIONES IMPARES

/ Se dice que una funcin f es impar, si f( -x) = -f(x), 'Vx en su dominio.

Grficamente, una funcin f es impar si es simtrica respecto al origen, como se muestra en la figura 2.

Ejemplo Determinar si las siguientes funciones son pares, impares o no cumplen ninguna de las dos condiciones.

a. f(xl = X3 + x b. h(xl = x2 - x Solucin a. En la funcin f{xl = X3 + x,

f(-xl = (-xl 3 + (-xl = -X3 - x = -(X3 + xl = -f(xl.

Luego, f(xl = X3 + x es una funcin impar.

b. En la funcin h(xl = x2 - x,

h(-x) = (-x)2 - (-xl = x2 + x"* h(xl y x2 + x"* -h(xl.

Luego h(x) no es ni par ni impar.

~3.3 FUNCIONES CRECIENTES Y FUNCIONES DECRECIENTES

/ Una funcin f es creciente en un intervalo J

si 'VxI' x2 E J, XI < x2' implica f(xl) < f(x2)'

Una funcin f es decreciente en un intervalo J, si para todo Xl' x2 E J, Xl < x2' implica f(xl) > f(x2)'

La grafica de una funcin creciente y de una funcin decreciente se muestran en las figuras 3 y 4.

Funcin constante

/ Una funcin f es constante en un intervalo J,

si 'Vx, x2 E J, f(x) = f(x2) '

La grfica de una funcin constante es paralela al eje x. 60

-1

______-..::FU~CIONE5N:2:~= UNIDAD 2

t Prctica 5

1. Determinar cules de las siguientes funciones son pa

grfires, cules son impares y cules no cumplen ninguna de:mpar. las dos condiciones.

a. f[xl = x2 + 5 f. f[x) = ~ + 4 b. f[xl = ~ + x - 6 g. f[xl = 2x2 + 6 c. f[xl = xl + x + 1 h. f(xl = x - 1

no se d. f(xl = [x + 3]2 1. f(xl = Vx - 1 e. f[xl = 2 J. f(xl = -3~ + 6

x 2

2. Observar las grficas e indicar cules corresponden a funciones pares, cules corresponden a funciones impares y cules no cumplen ninguna de estas condiciones.

1, co

a. y d. y 5- 5

3- 3

1a

4-

- ~4

~ ~ -

/ , 'JI-3~'2 1 2 3 x t x

-3 -2 - 1-1- 1 2 3-1

-2- -21?r " / -3- -3

b. y e. y 5- 5

44-/

I-

x " 1__

-: -,r,-; ' 2~ -3 -2 - 1_1 - 1 2 3~ ~

-2 - / ' -2 -3- -3

c. y f. y 5- 5 4- 4

3

x ,~J~ -3 - 2 - 1_1 _ 1 2 3

-2 -3

< 3 a. Si P(4, 2l E fy fes una fu ncin par, en rel acin con ~ . p, cules son las coordenadas de otro punto Q, tal -' ~ que Q E f?

~

b. Si M(4, 2l E 9 Y9 es una funcin impar en relacin con M. cules son las coordenadas de otro punto N, ta I q u e N E g? ..

c. Si R(4, 2l E h Y h es una funcin que no es par ni impar. Es posible que 5(5, 2) E h? Por qu?

4. El dominio de la funcin que aparece en la grfica es el intervalo [ -6,6].

y 108

;~ r\ / ~ ,~,-! -8 -6 -4 -2_2 _ 2 4 6 8

-4

-6

a. Completar la grfica para fsi es ~na funcin par. b. Completar la grfica para fsi es una funcin impar.

5. Para cada una de las funciones, determinar los intervalos en que la funcin es creciente, decreciente y constante.

a. y c. y 5- 543- ;~ \ ~ \

1

-3 -2 -1_1_ -1 3 4 5 - 1

-2- -2-3- -3

b. y d. y 4- 33- 2

1x

-3-4

6. Una ventana tiene forma recta ngu lar. Si el permetro de la ventana es de 90 cm.

a. Expresa r el rea de la ventana en funcin del ancho x de ella.

b. La funcin planteada es una funcin par? Por qu? @-------------------------------------------------------------------------61

,

'\t~ .f CLASIFICACiN DE FUNCIONES ~

Una funcin lineal es afn, si su grfica no pasa por el punto (O, O).

Las funciones reales se clasifican en: funciones polinmicas, funciones racionales, funciones radicales, funciones trascendentes y funciones especiales.

~4.1 FUNCIONES POLINMICAS Funcin constante

/ Una funcin constante es aquella en la cual f(x) = k, k E IR.

El dominio de una funcin constante es IR y el rango es k.

Por ejemplo, f(x) = 3

:)t11 : I ~ I : I

La grfica de una funcin constante es paralela al eje x .

Funcin lineal

y - 4

;

- 2

- 1

__+-~~_I~~~X -3 -2 -1

--1

/ Una funcin lineal es aquella cuya grfica describe una lnea recta.

El dominio de una funcin lineal es IR y el rango es IR.

Por ejemplo,f(x) = 2x + 1 - 4xl-l 10 1213 1 y 13If(x)I-1 1 1 I 5 I 7 I

x I - I -/-I

-2 - I 3 4 --1

Funcin cuadrtica

/ Una funcin cuadrtica es aquella de la fonna

f(x) = ax2 + bx + c, con a =1= o.

Se pueden presentar tres tipos de funciones cuadrticas.

Si b = c = O. Entonces f(x) = ax2 y la grfica es una parbola con vrtice . en el origen.

Si b = O, c =1= O. Entonces f(x) = ax2 + c y la grfica es una parbola con vrtice en el punto (O, c). ~ < ~

Si b =1= O Y c =1= O. Entonces f(x) = ax2 + bx + c. Al completar el cuadrado perfecto se puede obtener la ecuacin f(x) = a(x - h)2 + k, con h, k E IR . ~ ~

VI ..

Luego, la grfica es una parbola con vrtice en (h, k). o 64

~cioles.

:ice

.:on ct Z :5....:.do ::: z:::2. ct @'"

f(x) = 32 + 24x + 50

6 7

5+

4

3J 2 /

y

1 x , , I

o-6 -5 -4 -3 -2 -1

-1

Figura 1

Tambin se puede determinar el vrtice de una parbola de la forma f(x) = ax2 + bx + e, mediante la expresin

V(h, k) = (- 2ba' f(- 2ba))

ct z :5....

~ ct '" o

fUNCIONES UNIDAD 2 ------------~~= Ejemp(o Hallar el dominio de la funcin f(x) = 3x2 + 24x + 50. Luego, trazar la grfica correspondiente.

..

Solucin f(x) = 3x2 + 24x + 50 => f(x) = 3(x2 + 8x) + 50 Factorizando

=> f(xl = 3(x2 + 8x + 16) + 50 - 48 Completando el cuadrado

=> f(x) = 3(x + 412 + 2 Luego a = 3, h = -4, k = 2.

En general, El dominio de una funcin cuadrtica es el conjunto ~ y el rango es un intervalo

de R Para trazar ,la grfica de una funcin cuadrtica de la forma f(x) = ax2 + bx + e,

se transforma f(xl = a(x - h)2 + k. El punto (h, k) es el vrtice de la parbola. Si a> O, la parbola abre hacia arriba y si a < O la parbola abre hacia abajo.

Otros valores se presentan en la siguiente tabla de valores:

-4 -2 -1x -6 14 14f(xl 2 29ILa grfica aproximada de la funcin se presenta en la figura 1.

/ En general, una funcin polinmica es aquella de la forma f(x) = anxn + an -1 xn - + ... + ax + aO

con an =F O, n E Z+, Y aO' al' a2' ... , an constantes, llamadas coeficientes del polinomio.

El dominio de una funcin polinmica ser el conjunto ~ y el rango ser un intervalo de ~.

La grfica de un ,polinomio es una curva suave y continua. La palabra suave

significa que no tiene cambios bruscos.

Algunas grficas de funciones polinmicas son:

Polinomio de grado par Polinomios de grado impar

y y y

;J x xI ,~

a > O an > O a < On n 65

x

,

~4.2 FUN.CIONES RACIONALES

/ Una funcin fes fimcin racional si ~-x ~ a: x tiende a a. = P(x)f( )

x ~ a-: x tiende a a x Q(x)

por la donde P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) *O izquierda.

f(x) ~ 00: f(x) aumenta El dominio de f est formado por todos los nmeros reales excepto los cerossin lmite o f(x) del polinomio que est en el denominador.tiende a

infinito. 8Por ejemplo, las funciones f(x) = _1_, g(x) = 2 3 4 Yh(x) = x~ - 9f(x) ~ -os: f(x) disminuye x-2 x - x +

..! ., ::.sin lmite o f(x) son funciones racionales y sus dominios son Dom f IR - {2}; Dom g: IR - {-2, 2}tiende a menos

YDom h = IR.infinito.

Los smbolos 00 (infinito) f-5El rango de una funcin racional puede determinarse al trazar su grfica. y -00 (menos infinito) no representan nmeros Grfica de una funcin racionalreales. slo indican cierto tipo de comportamiento de Para trazar la grfica de una funcin racional es importante tener en cuenta funciones y variables. los valores para los cuales la funcin no est definida.

Asntota vertical La recta x = a es una asntota vertical de la grfica de una funcin racional f, si f(x) --7 00 o si f(x) --7 - 00 cuando x tiende a a por la izquierda o por la derecha.

/ Luego, si a es un cero del denominador, entonces, la grfica de l~ funcin f tiene una asntota vertical en x = a, siempre y cuando el numerador y el denominador de la funcin racional no tengan un factor comn.

Asntota horizontal La recta y = c es una asntota horizontal de la grfica de una funcin racional f, si f(x) --7 c cuando x --7 00 o cuando x --7 - 00 . Dada la funcin racional f definida por

n n - 1 +fi _ anx + an - 1 x + ... + aIx ao P(x) I (x) - 1 m b m 1 b b I~ + m - 1 x + ... + IX + O Q(x)

Se puede afirmar que: ~ :"

: 3- : ' !~JY ' Si 1'1 < m, entonces, la funcin f tiene una asntota horizontal en la recta

, : 21 ' : , , , , , y = O(eje x). , , x, '

Si 1'1 = m, entonces la funcin f tiene una asntota horizontal en la recta

n

,

T,(' .

m

-+-' -1-1- a\ 3.- ' y= b'

--

Principios de fjra(icacin

l Determinar los ceros reales del numerador y del denominador, es decir, f(x) = OY f(x) no est definida.

2:' Hallar la asntota eros

verticale, si existe. 3' Hallar la interseccin de

f con el eje y, es decir, f(O).

4' Hallar la asntota 2, 2} horizontal si existe.

5 Obtener otros valores si es necesario y trazar la:a. grfica con los puntos obtenidos y las asntotas.

lenta

. alf, ::chao

" ra-Las grficas de las funciones racionales podrn ser ms complejas a medida que aumentan los grados de los polinomios en el numerador y en el denominador.

recta

recta

'4: 4: z z 4: .... :5 .... .... :: ::

-: ica- z 4: z 4: '" '" @ @

______-'FU .:.:; 0N UNIDAD 2.=.;NC1:.:c=ES

E;emplo Trazar la grfica de las siguientes funciones racionales. Luego, hallar dominio y rango.

x-2 x-4 a. f(xl = xl b. g(xl = . ?

- X - 6 x- --c< 6x + 8 Solucin a. Aplicando los principios anotados al lado izquierdo, se puede trazar la grfica de

la funcin f x-2 x-2

1. f(xl =') ~ f(x) = ( )( ); de donde :x--x-6 x+2 x-3

f(x) = Osi x = 2. f(x) no est definida si x = -2 y x = 3.

2. Luego, las asntotas verticales son las rectas x = -2 Yx = 3.

x - 2 0-2 -2 2 1

3. Como f(x) = xl ' entonces, f(O) = 02 O 6 = - = - = -,

. - x - 6 - -,- -6 6 3 1luego, f(O) = -. 3

4. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir, n < m, el eje x es asntota horizontal.

5. Otros valores y la grfica se muestran a continuacin.

x f(x)

-3 5 -6

-1 3 -4

1 1

-

6

4 1

-

3

, y

4 x :- =------.:l

Grfica de la funcin f(x) = x - 2

x2 -x-6 Dom f= IR - {-2, 3} Ran f = IR

b. Aplicando los principios anotados anteriormente, se puede trazar la grfica de la funcin g.

x-4 x-4 1 . 1. g(x) =:J ~ g(x) = ( )( ) ~ g(x) = -- SI X "* 4.

x- - 6x + 8 x - 4 x - 2 x - 2 Se concluye que la funcin no toma el valor cero y que en el punto de abscisa x = 4 hay un agujero.

2. Asntota vertical : la recta x = 2. 3. Interseccin con el eje y: grO) = _1- = -~. Luego grO) = -~.

0-2 2 2 4. Como el grado del numerador es menor que el grado del denominador, es decir,

n < m, el eje x es asntota horizontal. 5. Otros valores y la grfica se muestran a continuacin

x g(x) -1 1

3 1 -1 3 1

y43 En x = 4 hay un agujero. El valor2 ,.. \~ correspondiente se calcula en ~ , I , _ ,2

, ~ 3 4 5 g(4) =~=~ . 4 2~~ I Dom 9 = IR - {2}; Ran 9 = IR - {O}

67

,

Funciones radicales

/ Una funcin radical es una funcin que contiene races de va

riables.

Por ejemplo, las funciones f, g y h, representadas por: Vx+l (x - 1)1/4

f(x) = \IX; g(x) = . _ ;h(x) = son funciones radicales.

El dominio de una funcin radical depende del ndice de la raz.

Si el ndice es par, la funcin no est definida para valores de x para los cua

les el radicando es negativo.

Si el ndice es impar, la funcin est definida para todos los nmeros reales.

El rango de una funcin radical puede determinarse al trazar su grfica.

Si la funcin posee un polinomio en el denominador, para graficarla se utili

za el tratamiento descrito para las funciones racionales.

Ejemplo , Trazar la grfica de cada funcin radical teniendo en cuenta los principios

Imlestitjar Apartir de la grfica de y = x1/2, y = x1/4, y = x1/6, en el mismo sistema de ejes coordenados, qu se puede concluir acerca de la forma en que n afecta la grfica de y = x1/n, para n par?

de graficacin anotados en la pgina anterior. ~;;--;

a. f(x) = v 2x - 1 b. g(x) = Vx-=3 Solucin a. ((x) = \I2X=1

1. f(x) = \I2X=1 no est definida si 2x I 'f ' , d 1a gra Ica empieza a partir e x = 2'

=2c. h(x) = V~

1 < O; es decir, si x < l. Luego, 2

2. No existen asntotas verticales, ya que no es una funcin racional.

3. No tiene interseccin con el eje y, ya que f(x) no est definido para x = O.

4, No tiene asntota horizontal, ya que no es una funcin racional.

5. Otros valores y la grfica de la funcin son los siguientes:

x f(xl 1 1 2 v'3 5 3

Y4- Grfica de la funcin ((x) = \I2X=1 2- Dom f =3-~ [t, 00) ,- ,. , x

-', i 2 3 4 5-,- Ran f= [0,(0)-2

l b. g(x)=~ 1. g(x) = ~ est definida en todo IR. Luego, g(x) = Osi x = 3.

2, No existen asntotas verticales.

3, Interseccin con el eje y: g(O) = ~ = ~ = -1,44

4. No tiene asntota horizontal.

5. Otros valores y la grfica de la funcin se muestran a continuacin:

68

<

-1

ua

.es.

lili

c. e. ~ r \ , I ~ ~r:~ :1 2 34 x

- 1 -3 -2 - ', r ' 2 3 x

-1

-2 ~~ f f. IV

d. ji W Il ~]:'~ -'1 I 1 ~ 3 x b

, , , , -2 -1 1 2 3 4 x I -2 -1 I , ,

: -3 - : -2'tr\' I ,

3. Hallar el vrtice de cada parbola, dada la funcin cuadrtica .

a. f(xl = x2 + 3 f. f(xl = - 3x2 b. f(xl = 5; - 2x g. f(xl = lOx2 + 4 c. f(xl = 4; h. f(xl = 3x2 - 9x + 6 d. f(xl = 6; + 12x + 1 1. f(xl = 2x2 - 3 e. f(xl = 2x2 + 4x J. f(xl = 6x2 - 4

4. Determinar si la grfica presentada para cada funcin es la correcta. Justificar la respuesta .

; - 9 a. f(xl =-

. x - 3

b. f1xl = x + 1 x-l

1 c. f(xl = x - 3

70

12345 6X

y , 3 ' \ 2l i \ -~' ~ -4-3-2 -1 _ ~1 2 3 x

-2 : -3 :

y 3

5 x

5. Graficar las siguientes funciones racionales. x+3 x-2

a. f(xl = 2 c. f(xl = -2x + X - 4

1 x+3 b. f(xl = - d. f(xl = 2 5 6

x-2 x+x+

6. Graficar las siguientes funciones.

a. f(xl = V3X f. f(xl = VX+5 b. f(xl = \I5X+1 g. f(xl = vx=2 c. f(xl=~ h. f(xl = V3X+1

Jd. f(xl = x + 1 l. f(x) = x-3

e. f(x) =Jx: 1 J. f(x) = J x; 6

7. Escribir V, verdadero, o F, falso, en cada una de las siguientes afirmaciones. Luego, justificar la respuesta.

f(l x + 1. ,a. La funclon x = tiene una aSlntota x - 2horizontal en x = 1.

b. El intercepto con el eje y de la funcin f(x) = Vx+2 es en x = v'2.

.. +f) X + 1 , d f' 'dc. La funclon IlX = -2-- no esta e Inl a para x = 1. x + 1

d. La funcin f(xl = V2X+3 no tiene asntotas verticales.

e. La funcin t1xl = v:x+4 tiene una asntota horizontal en x = -4.

8. Escribir una funcin para cada una de las siguientes condiciones. a. La grfica empieza a partir de x = l.

3 b. La grfica tiene dos asntotas verticales.

c. La grfica no tiene asntotas.

d. La grfica tiene una asntota vertical.

e. Su dominio es [ '1, (0). f. Su interseccin con el eje yes en y = 4. g. Su grfica es una parbola.

h. La grfica tiene una asntota horizontal .

1. La funcin tiene un agujero en x = 3.

flx)=h

-+-+- -3

Las p" funcir la fu r

zz :3 :3

....1....1 :: :: Z Z

VIVI @@

:1'6 7

x

-3 -2 -1 1 2 3 . -1

-2 Figura 3

:: si

:ota

= 1.

Im/estitJarer-Las propiedades de la funcin exponencial y de

JTI - la funcin logartmica.

tes

Y2 . I y = sen x 1~ /Ji

I Y f (x) = cos x

f(x}ir tan x,;: o 1!i TI 3";( '." x 2: ~

-1

1- ,Yt.~ ,: f(x} = ctx, , , ,

, , ,

J. : : , , x

0 - - :rr--r- m"2 : "2 :

, , , ,

-1: \ : :, ,

y. . I I

1) : ' f(x} se~

,

~= ,. , , ,

- O ~ - TI -~ i 1T 2: : 2 ~ , , X

-1 , ir \! Yv f(x}.= cs~ x 1- . .

, , x

o 1T-n! j;,.-h2' ' 2' '

, ,

,, ,

- 1 ,

',(\'1 ~

~ , Prctica 7

"

Es una funcin par, pues es simtrica con respecto al eje y.

Intersecciones con los ejes: x == ; + nTI; y == 1.

{(x) == tan x; Dom {== [R - {; + nTI}, n E 2:'; Ran {== [R. Es peridica con perodo TI. Es una funcin impar. Asntotas verticales: ; + nTI, n E 2:'. Intersecciones con los ejes: x: nTI; y == O.

{(x) == cot x; Dom {== IR - {nTI}, n E 2:'; Ran {== IR. Es peridica con perodo TI. Es una funcin impar. Asntotas verticales: nTI, n E 2:'. Intersecciones con los ejes: x == ; + nTI; y: no tiene.

TI {(x) == sec x; Dom {== [R - {2 + nTI}, n E 2:'; Ran {== (-00, -1] U [1, (0).

Es peridica con perodo 2TI. Es una funcin par. Asntotas verticales: ; + nTI, n E 2:'. Intersecciones con los ejes: x == no tiene; y == 1.

{(x) == csc x; Dom {== IR - {nTI}, n E 2:'; Ran {== (-00, -1] U [1, (0). Es peridica con perodo 2TI. Es una funcin impar. Asntotas verticales: nTI, n E 2:'. Intersecciones con los ejes: x == no tiene; y == no tiene.

,e ,mERPRETATNA PROPOSITIVA e ARG"M,,"AnVA I

1. :::onstruir las grficas que corresponden a la tabla de la Funcin que se ind ica. Luego, comparar la grfica delliteral a con la arfica del li tera l b v escribir una con clu sin con respecto a ellas. Hacer una comparacin similar con las grficas de 105 litera les c y d. a.

x 2 4 8 16 32 f(xl == L092 x, 1 2 3 4 5

x 1

-

8 1

-

4 1

-

2 1. 2

f(x} = log 1\2x 3 2 1 O - 1

b.

x 1 2 I 3 4 5 f(xl == Log x ---~

O 0,301 0,5 0,60 0,70

c.

d. x 1 2 3 4 5

f(x} == In x O 0,70 1,1 1,4 1,6 2. Elaborar la grfica correspond iente a cada situacin.

a. La cantidad de bacterias [B) presentes en un cultivo

vara con respecto al tiempo [t) [en horas). Esta va

riacin se representa mediante la funcin

B[ t) == 1.000 eO,Ol t. b. El nmero de vati os (l!\.1 producidos por la batera de

un satlte espacial en un perodo de d di 9s se da

mediante la frmula

W( d) == 50 e- O,004 d. oC( ~ z :

_____---'Fc.=;"" ONESUNO:=..:= UNIDAD 2

a. d. 4. Graficar las sigu ientes func iones.

L a. f(xl = sen 2x h. f(xJ = Log s x4 3 . 1 xb. f(xl = cos -x l. f(xl = cot 2 2 36 ,1 . f c. f(xl = Log s x j. f(xl = sec x - 3 -2 - 1 1 2 3 4

-1 = 3x = 4e2x d. f(xl k. f(xl

-2 x

e. f[xl = tan - l. f(xl = sen 2 !..b. e. 2 . 2 "f. f[xl.=' 4x m. f[xl = cos2 x~ tu

, g. f(xl = sec 2x n. f(xl = Log 3 x , x

5. Escribir V si la afirmacin es verdadera, o Fsi es falsa., a. Ninguna de las funciones trigonomtricas tiene ;~rl ~ 3

asntotas., '/\., ,) b. La funcin f(xl = sec x tiene una asntota cuanEJof. x = 2TI. 3- c. La funcin exponencial tiene dos asn totas, una 2-

vertical y una horizontal . x..-----X d. El punto (TI, 11 pertenece a la grfica de la funcin

-3 -2 - 1 2 3 41-, f[xl = csc x. -2

e. La funcin f(xl = Log x, tiene al punto (1, ol.-3

f. El perodo de la funcin f(xl = sen x es de 2TI.

c. y 4

3

- 2 -1,

-2 -3

~ vo .a

- de ( da

<

~ r 1 ~ ./

-3 -2 -1 L...~1 1234 X

1 Figura 4

3r 2-,

1. - x ~--1 1 2 3 -1 - -2

Figura 5

x

~

- -2

Figura 6

Ranf= Ranf U Ranf2 U Ranf3 = {-1} U [-1,1) U {3} = [-1,1) U {3} La grfica de fes la unin de cada una de las grficas de f l , f2 y f3' Esta grfica se muestra en la figura 4.

Funcin valor absoluto

Es aquella funcin que se define como

.{(x) = Ixl = {x s~ x ;:; O j' , -x SI X < O

El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales; Dom f = IR. El rango de la funcin es el conjunto de los nmeros teales positivos y el cero; Ran f = IR+ U {O} = [O, (0).

, y La tabla de valores y la grfica 3i se muestran a continuacin. r

. 1J~ . x -2 -1 O 1 2 f(x) 2 1 O 1 2

---~

~2 27-3 -1 1 -1 ".

-2

Funcin parte entera o mayor entero

Es aquella funcin f IR -- 7L definida mediante f(x) = l:xldonde [xi es el mayor entero menor o igual que x, es decir,

f(x) = [x ] = n q n ~ x < n + 1, n E 7L El dominio de la funcin es el conjunto de los nmeros reales; Dom f = IR. El rango de la funcin es el conjunto de los nmeros enteros, Ran f = 7L. La tabla de valores se muestra a continuacin.

x ... -2"':x < -1 -l ",: x

ce

3

f(xl = x - 2 si x :s: 3

d. si x < O

f(x) si x = O~ V

xl - 1 si x > O e. (2X - 3 si x = 1

f(xl = 3x + 4 si x < 1

5x + 4 si x> 1

si x < -1 f. Xx+1 si -1 :s: x :s: 3

f(xl = x + 2 si 3 < x < 5

. x+3 si x ~ 5

2. Determinar si la grfica corresponde a la funcin dada. Justificar la respuesta. a. f(xl = Ix + 11 c. f(xl = [x - 11

, y " 5

xI !

-2 -1 2 3 4! 1-1 -2

b. f(xl = [x + 11 d. f(xl = I + 1 5 ~ Y {} Y

~4-

i 31 5-

_ ,.' '.~~V,1 ~ ~ x ~ -'2 -1 _11 2 3 -- 1 ~ ~ - -2 - -'2 -1 J 1 2 4 '"

______--.:FU..::;Nc..::""=::CIONES UNIDAD 2

2 si x < 1 y. e. f(xl = { -x + 3 si x ~"1 4

~ 1 ~J .. _

'\~~ 5 OPERACIONES ENTRE FUNCIONES

En el dominio de 1 es necesario excluir 9 los puntos donde g(x) = o.

Lasfuntiones pueden combinarse a travs de las operaciones aritmticas de adicin, sustraccin, ~ultiplicacin y divisin para producir nuevas funciones. Para dos funciones {y g, se definen la suma { + g; la diferencia { - g; el producto { . g; y el co~iente f, tomo sigue:

. g Suma: (f + g)(x) = ((x) + g(x). Dom (f + g) = Dom {n Dom g Diferencia: (f - g)(x) = ((x) -g(x). Dom (f - g) = Dom {n Dom g Producto: (f. g)(x) = ((x) g(x). Dom (f. g) = Dom {n Dom g Cociente: (f)(X) =;~:~.Dom (f) ={x E (Dom (n Dom g) / g(x) =/:: O} Ejemplos 1. Si f(x) = 3x - 2 Y g(x) = Xl, calcular (f + g)(2), (f - g)(2) , (f g)(2) y (~}2).

Solucin

Como f(2) = 3(2) - 2 = 6 - 2 = 4 Y g(2) = (2)2 = 4; entonces

(f + g)(2) = f(2) + g(2) = 4 + 4 = 8

(f - g)(2) = f(2) - g(2) = 4 - 4=

(f g)(2) = f(2) . g(2) = 4 X 4 = 16

l)(2) = f(2) = i = 1 ( 9 g(2) 4

Se pueden hallar las funciones suma, diferencia, producto y cociente para

cualquier valor de x, x E Dom f 1\ x E Dom g.

2. Hallar la suma, la diferencia, el producto y el cociente de fy g. Escribir el

dominio de cada operacin.

f(x) = 2x - 1; g(x) = Vx Solucin

Se halla primero el dominio de f y de g:

Dom f = [~; Dom 9 = [O, (0); luego, Dom f n Dom 9 = [O, (0). Ahora, las funciones pedidas y sus dominios sern:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = 2x - 1 + Vx Dom (f + g) = [O, (0)

(f - g)(x) = f(x) - g(x) = 2x - 1 - Vx Dom (f - g) = [O, (0)

(f g)(x) = f(x)' g(x) .= (2x - l)Vx = 2xVx - Vx Dom (f g) = [O, (0)

l)(x) = f(x) = 2x - 1 Dom (;) = (O, (0)( 9 g(x) Vx

z ~ -'

Si g(x) = e es una funcin constante y ((x) una funcin cualquiera, c{(x) de- ~ nota~ el producto y se define c(f(x)) = c{(x) para todo x en el dominio de f ~

76

______..:..:::.:,:CIO N:::: UNIDAD 2FU N;:::.:::.:,:ES

- de f: X --c? Y nes. g: y --c? Z ro-

Figura 1

2).

(g o f)(x) = 9(f(x)) significa 'aplicar primera f y despus g.

(f o g)(x) = f(g(x)) significa aplicar primero 9 y despus f.

Im/estilJar (f o g)(x) = (g o f)(x)? Por qu?

ct z ::5 ...J

de- ~ ct

ief ~

~5.1 COMPOSICiN DE FUNCIONES Existe otra forma de combinar funciones para obtener una nueva funcin: Si X, Y Y Z son conjuntos de nmeros reales, fes una funcin de X en Y y g otra funcin de Yen Z, de tal manera que f enva X a Yy g enva Ya Z (figura 1), se puede definir una funcin que enva X a Z, esta funcin se llama funcin compuesta.

/ La funcin compuesta g o E, llamada tambin la composicin de g y E, es la funcin de X en Z dada por

(g o f)(x) = g(f(x)) para todo x E X.

Este proceso se denomina composicin debido a que la nueva funcin est compuesta por las dos funciones dadas f y g. En general, dadas dos funciones arbitrarias f y g, si se toma un nmero x en el dominio de f, se obtiene su imagenf(x). Si este nmero f(x) pertenece al dominio de g, entonces, se puede calcular el valor de g(f(x)). El resultado g(f(x)) es una nueva funcin. El dominio de g o f es el conjunto de todos los valores x del dominio de f, tal que f(x) est en el dominio de g. Grficamente, se puede observar la composicin de funciones.

9 o f

x

Dominio de f Dominio deg

Rango def

Rango deg

Se observa que para x en el dominio de f, primero se encuentra f(x) (que debe estar en el dominio de g) y luego, se halla g(f(x)).

Eiemp(o Dadas f(x) = 5,01 - 3x + 2 Y g(x) = 4x + 3, hallar (g o f)(2) y (f og)(2).

ISolucin

(g o f)(2) = g(f(2)) = g(16) = 4(16) + 3 = 67

(fog)(2) = f{g(2)) = f(11) = 5(11)2 - 3(11) + 2 = 574

No es necesario que el dominio de g sea todo el conjunto Y, sino que Y contenga al rango de f En algunos casos es necesario restringir x a algn subconjunto de X de manera que f(x) est en el dominio de g.

77

Ejemplo Sean f(x) = 3x - 2 Y g(x) = 2x + \IX, hallar: a. (g o f)(x) b. Dominio de (g o f) c. (f o g)(x) d. Dominio de (f og) Solucin

I a. (g o f)(x) = g(f(x)) definicin de (g o f) = g(3x - 2) aplicando f = 2(3x - 2) + V3X=2 aplicando 9 = 6x - 4 + V3X=2 operando

b. El dominio de fes el conjunto de los nmeros reales, sin embargo, la expresin (g o f)(x) est definida si x ;=: 2; por lo tanto, el dominio de (g o f)(x) obliga

restringir los valores de x al in~ervalo [~, 00).

c. (f o g)(x) = f(g(x)) definicin de (f o g)

= f(2x + '\IX) aplicando 9

= 3(2x + \IX) - 2 aplicando f

= 6x + 3\IX - 2 operando

d. En este caso, el dominio de 9 corresponde al intervalo [O, 00)Yel dominio de la

expresin (fo g)(x) tambin.

En el ejemplo anterior (g o f)(x) i= (j o g)(x), el siguiente ejemplo muestra un

caso particular para el cual (g o f)(x ) = (j o g)(x).

Ejemplo

x+3Sean f(x) = 2x - 3 Y g(x) = --o Hallar: 2

a. (f o g)(-2) b. (g o f)( - 2) c. (f o gHx) d. (g o f)(x) Solucin a. (f o g)(-2) = f(g(-2)) = ~;) = 2(;) - 3= 1~ 3= -2

-7 + 3 4b. (g o fH-2) = g(f(-2)) = g(-7) = = -- = -2 2 2

z(f o g)(x) = f(g(x)) = JX+3) = (X+3) - 3 = x + 3 - 3c. '\-2- 2 -2- = x :3 .... ::: z(g o fHx) = g(f(x)) = g(2x _ 3) = 2x - 3 + 3 2x = x VI

'1 d. 2 @

78

---------------------------------------------------------------------

i un

Dom r 1 = Ran f Ran r 1 = Dom f

Lista de simb%s Con frecuencia se representa la inversa de una funcin f mediante f- 1, esta notacin no debe confundirse con un exponente. Es decir, f- 1 [xl =/; [f(xlr 1 pues [f[xlr 1 = f(~)

Si f(x) no es biyectiva, f - 1 (x) es funcin?

Grfica de f y r 1 y f (xl.= 3x - 4

4

~

_2-,. .. _1'Y_1 2345. 6 x

-2 -3 1 -4

La grfica de f- 1 es simtrica a la grfica de f respecto a la recta y = x.

Figura 2

~ 5.2 FUNCIONES INVERSAS Sea {una funcin biyectiva con dominio X y rango Y. Se define su funcin in

versa T 1 con dominio Y y rango X de la siguiente manera:

(-l (y) = x ~ {(x) = y 'Vy E Y Para hallar la funcin inversa de una funcin, se procede as:

1. Se escribe y = {(x).

2. Se comprueba si la funcin dada es biyectiva.

3. Se despeja x de la ecuacin y = ((x) en trminos de y, para obtener una

ecuacin de la forma x = T 1 (y).

4. Se intercambia x por y puesto que no importa el smbolo que se use para

la variable.

5. Se comprueban las condiciones:

a) {-l (((x)) = x para todo x E X.

b) {({-l (x)) = x para todo x E Y.

Ejemplo Hallar la inversa de cada funcin. Luego, trazar la grfica de f(x) V r 1 (x). a. f(x) = 3x - 4 b. f(x) = x2 - 3 para x ~ O Solucin a. Paso 10: y = 3x - 4

Paso 20 : se comprueba si fes bivectiva.

f(x1) = f(x2) => 3x1 - 4 = 3x2 - 4 Definicin

=> 3x1 = 3x2 Operando

=> Xl = x2 Operando

luego, f es invectiva.

y= 3x - 4 => x = y; 4 Despejando x

luego, Ran f = IR, entonces, fes sobrevectiva.

Luego, la funcin fes bivectiva.

Y+4 y+4Paso 30: y = 3x - 4 => x = -- => r 1 [y) = -3 3

Y+4 x+4Paso 40 : r 1 [y) = -- => r 1 (xl = -3 3

Paso 50: se comprueban las condiciones

3x - 4 + 4 3x

al r 1 (f(x)) = r 1 (3x - 4l = = - = x 3 3

j x+ 4) (x + 4)bl f(r 1 (x)) = 1\-3- = 3 -3- - 4 = x + 4 - 4 = x <

U NC::.:: UNIDAD 2______---'F~c:..: I O=NES

in-

una

ara

ct z :3 ..J :: Z ct '" @

b. Paso 1: y = x2 - 3 Paso 2: se com prueba si fes bivectiva.

f(x,) = f(x2) ~ x/ - 3 = x/ - 3 .. ~ x,2 = x/

~ x, = x2 pues x ;:. O Luego, la fu ncin es invectiva.

y=x2-3~x2=y+3 ~ x = ::!:: yY"+3'

Como x ;:. O, se descarta el valor negativo. Luego x = yY"+3' Vel rango de f = [-3,00) luego fes sobrevectiva.Grficas de fy r'

En conclusin la funcin es bivectiva. Paso 3: y = x2 - 3 ~ x = yY"+3' ~ r' (y) = yY"+3' Paso 4: r' (y) = yY"+3' ~ r' (x) = v'X+3 Paso 5: se comprueban las condiciones.

a) r 1 (f(x)) = r 1 (xl - 3) = Vx2 - 3 + 3 = W = x para x;:. O b) f(r' (x)) = f(v'X+3) = [v'X+3)2 - 3 = x + 3 - 3 = x para

x;:. -3 Luego r 1 [x) = v'X+3 para x;:. -3 es la funcin inversa de f(x) = x2 - 3. Las grficas de fV r' se muestran en la figura 3.

- 4

Figura 3

~ Prctica 10 1. Graficar la funcin inversa de cada una de las siguien e. V f.

tes funciones. 4 3

a. y c. y 2 4 4 1 - 1

3 - x T 2 - 1 2 -', f23

1 - J- ~~ I-2 x ~ X -r--i, r-------r--'"~. -3 - -3-3 -2 -1 1 2 -3 -2 -1 ] 2 3 1-2 ~

2. Dada la grfica de la funcin f(x).-3

V 4 b. d. 3 2 Y_v I ]3 -?-,1 x >--r--r2-'3'-2 - l 1 1 -2. x l . I

-3--3 -2 -1 I i 2 -3 - 2 - 1

-1- -1) a. Hallar el valor de ([2). -3- -3 - b. Determinar si f(x) es una funcin invectiva. -2

ct z :3 c. Estimar el valor para r' (2). ..J :: d. Determinar el dominio de f - 1 (xl . ct Z

e. Trazar la grfica de r 1 (xl.'" @

81

3. Encontrar, si es posible, la funcin inversa para cada fUllcin. a. f(x) = x + 2 f. f(x) = x - 2 b. f(x) = 4x + 1 g. f (xl = \.I'X+2 c. f( x) = vX=5 h. f (x) = 3; - 1 d. f(x) = x2 + 3 1. f(x) = XJ

X + 5 (x + 1)3 e. f (x)=- J. f (xl = 4 2

4. La tempera tura eelc ius, e, se expresa en func in de la tem peratura Fa renhe it, F, med iante la expresin.

e(oF) = i (F - 32) donde F ?! - 459,67 . 9

a. Ha llar la funcin inversa de C(OFl Vescrib ir una interpretacin de ell a.

b. Determinar el dom inio de la fun cin C- 1 oF). 5. Responder las sigu ientes preguntas.

a. Si f es una func in invectiva con f(4) = 8, cul es el valor de r 1 (8)?

b. Si f(x) = 2 + x2 + sen (1T;). con - 1 < x < 1, hallar el valor de r 1 (3).

c. Si f(x) = 2 + x + COS 7TX , con O< x < 4, encont rar r 1 (4).

6. Responde r. Si f(x) es una funcin biyectiva y la grfi ca de f(xl hasido desplazada e uni dades hac ia la izqu ierda, es decir, f(x + ej, qu le sucede a la reflexin de f(x + ej con respecto a la recta y = x? Hallar una expresin para la inversa de la funcin h(xl = f(x + ej.

7 Dada la grfica de una func in f(x). Trazat la grfica de la funcin y = r 1 (x + 4l.

8. Determinar cules de las siguientes grficas correspon den a la funcin f (xl ya su inversa. a. b.

4 - y= -' {x)

X / X

..

c. d.

. 5 3 )' = f{x)21I\llJ r

x 1 -::-S:~X)x

-,-,-G',,,,-~ -4 -3 -2- 1 1 2 3 4

Y - 1 ~! I = f -'(xl - 2 - 3

9. Las funciones logartmica Vexponencial son funciones inversas entre s, ya que la fu ncin y = Lag x es la reflexin respecto de la recta y = x de la gr f ica de la func in exponencial y = aX En pa rticula r, si la funcin logartmica t iene como base al nmero e, entonces, y = In x es func in inversa de la funcin y = eX. Escr ibir la fun ci n inversa de cad a una de las siguien

tes funciones.

a. y = Log s x f. y = Log4 X b. Y = 3x g. y = 2x + 1 C. y = In (x + 11 h. Y = lOx d. y = 5(x + 2) i. Y = Log s x e. y = Log2 x J. y = 6

x

IO.Hacer una tab la de valo res pa raencontrar f(xl y r 1 (xl. Luego, graf icar. a. y = Log4 X f. y=eX b. Y = Log4 (1 - xl g. y=lnx c. y= Log 3 (x- 1l h. Y = e2x d. Y = Lag x 1. y = In 2x

e. y = In-x J. y = Log -x 2 5

1l. Determinar cules de las si guientes afirmaciones son verdaderas y cules son falsas. Escribi r una justificaci n en cada caso. a. Si r 1 (xl = ~,entonces f(xl = XJ - 1. b. Si f(xl = 3sen 2 x + 2, entonces r 1 (f(x)) = x, para

todo x E [O, 217]

C. No es posible determinar que f(f- 1(x)) = x para

f(xl = 3XJ + 2x2 + x + 1. ~ r

1 V x

d. Si f(xl = -2' entonces r 1 (xl = o-- z x x ~::5

:::e. La grfica de g(xl y g-1 (xl son simtricas respecto a -' z c;

1" VIla recta y = x. @ '

82