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Segurança de barragens:
alguns recursos à luz da
Análise de Riscos
PUC-Rio
ABMS - 25/8/17
Waldemar Hachich USP - Escola Politécnica
USP - E. E. de São Carlos
Agradecimentos:
Huesker, Maccaferri,
Prof. Alberto Sayão
Teton Dam – 5/6/1976
Teton Dam Failure
Waldemar Hachich 2 25/8/17
Waldemar Hachich 5 25/8/17
Casagrande: Role of the ‘calculated risk’
in earthwork and foundation engineering”(1965) “... we often deal with very
erratic, natural materials whose
properties are in part far from
clearly understood. Then we
build upon such materials and
with such materials, huge dams
which hold back more potential
destruction than man could
create by any other peacetime
activity.”
“The margin of safety that we
incorporate into our structures
should bear a direct relationship
to the magnitude of potential
losses, and it must also take
into account the range of
uncertainty involved.”
Incertezas inegavelmente
maiores do que as
introduzidas por outros
materiais da construção civil
Conseqüências de ruína
muito significativas
Modelos probabilistas e
Análise de Decisões
Risco = Incerteza x Dano
Waldemar Hachich 6 25/8/17
Terzaghi: Theoretical Soil Mechanics (1943)
“Every empirical rule based on past
experience is valid only statistically. In other
words, it expresses a probability and not a
certainty.”
“... if we trust in empirical rules, as has been
done in the past, we are at the mercy of the
laws of statistics.”
E, no entanto...
Tão mal se ensina Estatística e Teoria das
Probabilidades nos cursos de Engenharia!
Estatística bayesiana, a estatística do engenheiro,
raríssimamente é sequer mencionada
Análise de Decisões muito menos...
Análise de Riscos só se imiscuiu, timidamente, na
prática da Engenharia Civil por duas razões:
grandes desastres
seguradoras
Estivemos, durante tempo demais, “at the mercy of the
laws of statistics.”
Waldemar Hachich 7 25/8/17
Waldemar Hachich 8 25/8/17
Incertezas, decisões, riscos
Magnitude das incertezas e das conseqüências
na Engenharia Geotécnica RISCOS
Método de observação
(Terzaghi)
Extensão bayesiana
(Hachich, 1981, 1998)
Análise de Decisões:
prescritiva
Sugestão de ação a ser
tomada em uma
situação prática de
incerteza e risco
Sobre os recursos disponíveis
O que fazer?
Aprender o Teorema de Bayes
Retroanálise bayesiana
Método de observação bayesiano
Análise de Decisões
As dificuldades (reais ou imaginadas)
Autocorrelação
Método dos elementos finitos estocásticos
Linearizações e FOSM
Waldemar Hachich 9 25/8/17
Waldemar Hachich 11 25/8/17
Teorema de Bayes
Decorre da própria definição de probabilidade condicional:
P [estado | amostra] P [estado] • P [amostra | estado]
P(posterior) P(anterior) • Informação dos
dados
Teorema de Bayes
Processador de informação
Incorporador de experiência
𝑃 𝐴 𝐵 = 𝑃[𝐴 ∩ 𝐵]
𝑃[𝐵] =
𝑃 𝐴 × 𝑃[𝐵|𝐴]
𝑃[𝐵]
Teorema de Bayes (variável aleatória discreta)
𝑃 𝜃 𝑧 =𝑃 𝜃 × 𝑃[𝑧|𝜃]
𝑃[𝑧]
𝑃′′[𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜] = 𝑃′ 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 × 𝑃[𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎|𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜] × 1𝑁
𝑃 𝜃 𝑧 =𝑃 𝜃 × 𝑃[𝑧|𝜃]
𝑃 𝑧 𝜃 × 𝑃 𝜃 + 𝑃[𝑧|𝜃𝑐] × 𝑃[𝜃𝑐]
Antes (de obtido z): 𝑃 𝜃 + 𝑃[𝜃𝑐] = 1
O denominador simplesmente garante que: 𝑃 𝜃|𝑧 + 𝑃[𝜃𝑐|𝑧] = 1
𝑃′′[𝜃] = 𝑃′ 𝜃 × 𝑃[𝑧|𝜃] × 1𝑁 𝑁 = constante normalizadora
Depois (de obtido z):
𝜃: evento que caracteriza um estado
𝑧: evento que caracteriza uma amostra,
uma observação, um ensaio 𝑃 𝜃 𝑧 × 𝑃[𝑧] = 𝑃[𝑧|𝜃] × 𝑃 𝜃 = 𝑃[𝜃 ∩ 𝑧]
O numerador é o que realmente importa.
25/8/17 Waldemar Hachich 12
Teorema de Bayes (variável aleatória contínua)
Conhecimento revisado (posterior)
Informações do monitoramento (ou ensaios)
Conhecimento inicial (anterior)
𝑓′′(𝜃) ∝ 𝑓′(𝜃) × 𝐿(𝜃)
𝑁 = 𝑓(𝑧|𝜃) × 𝑓′ 𝜃 𝑑𝜃 , para que 𝑓′′ 𝜃 𝑑𝜃 = 1 𝑓′′ 𝜃 = 𝑓′(𝜃) × 𝑓(𝑧|𝜃) × 1𝑁
𝑓′′(𝜃) ∝ 𝑓′(𝜃) × 𝐿(𝜃)
Antes (de obtido z): 𝑓′ 𝜃 𝑑𝜃 = 1
Depois (de obtido z):
25/8/17 Waldemar Hachich 13
Barragem “simples” com filtro-
dreno vertical
Waldemar Hachich 16 25/8/17
Análise usual de
percolação pelo MEF
Previsões (u) não são leituras
de piezômetros (z)
Waldemar Hachich 19 25/8/17
𝒛𝒊 = 𝒂𝒊 + 𝒃𝒊𝒖𝒊+𝒗𝒊
𝒖𝒊
O modelo linear de observação abaixo estabelece a relação entre a previsão e a
leitura em um ponto do domínio de percolação (por enquanto suposta não
correlacionada com todos os demais pontos do campo de cargas hidráulicas).
Isóbaras posteriores (dependem das leituras dos piezômetros, Z)
Waldemar Hachich 25 25/8/17
A partir do campo atualizado
de pressões neutras, possível
atualizar os valores dos
indicadores de segurança
(F, 𝜷, 𝒑𝒓)
Iso-dispersão posterior (não depende da leitura dos instrumentos)
Waldemar Hachich 27 25/8/17
incertezas “residuais” dos
próprios instrumentos
Waldemar Hachich 30 25/8/17
Terzaghi: Theoretical Soil Mechanics (1943)
“If the engineer is fully
aware of the uncertainties
involved in the fundamental
assumptions of his
computations he is able to
anticipate the nature and
the importance of the
differences which may exist
between reality and his
original concept of the
situation.”
Método de observação
para tratar as
incertezas inerentes
aos materiais naturais
Sempre
insuficientemente
amostrados
Nunca totalmente
conhecidos com
suficiente antecipação
quanto à natureza
quanto ao estado
Waldemar Hachich 31 25/8/17
INCERTEZAS
INTRÍNSECA
DE MODELO
DE PARÂMETROS
(DOS MODELOS!)
MODELOS FÍSICOS,
QUÍMICOS OU
BIOLÓGICOS
MODELOS
PROBABILÍSTICOS
AÇÕES
RESISTÊNCIAS
Waldemar Hachich 32 25/8/17
Fontes de incerteza
Variabilidade natural (intrínseca)
Desconhecimento de todas as causas e
efeitos (de modelo)
y = f (x1, x2, x3, ..., xi-1, xi, xi+1, xi+2, ..., xn )
função determinística + aleatoriedade
Falta de dados (de parâmetros)
Waldemar Hachich 33 25/8/17
Modelos (Baecher, 1976)
Sistema real
mais rico em
detalhes
menos rígido
mais interações
com o ambiente,
com outros
sistemas
Modelo
ignora aspectos
periféricos, concentra-se
naqueles considerados
principais
atribui relações simplistas
e rígidas (números)
escolhe uma fronteira de
isolamento
O método de observação,
passo a passo (Peck, 1963) 1. Explorar e investigar as
propriedades dos depósitos
2. Escolher o conjunto de condições
mais prováveis: hipótese de
trabalho, Ho
3. Projetar para Ho
4. Prever desvios concebíveis em
relação a Ho: Hi; i=1, 2, 3, ..., m-1
5. Selecionar grandezas a serem
monitoradas, Zj; j=1, 2, ..., p
Waldemar Hachich 34 25/8/17
6. Prever as leituras das grandezas
selecionadas para a hipótese de
trabalho, Ho
7. Fazer a mesma previsão para cada
uma das demais hipóteses, Hi
8. Preparar planos de contingência
para os desvios concebíveis de Ho
9. Efetuar as leituras e avaliar as
condições “reais”
10. Implementar as ações de
contingência ditadas pelas
condições “reais”
O método de observação
bayesiano (Hachich, 1981, 1998) (1) 1. Explorar e investigar as
propriedades dos depósitos
2. Escolher o conjunto de condições
mais prováveis: hipótese de
trabalho, Ho
3. Projetar para Ho
4. Prever desvios concebíveis em
relação a Ho: Hi; i=1, 2, 3, ..., m-1
5. Selecionar grandezas a serem
monitoradas, Zj; j=1, 2, ..., p
1. Explorar e investigar as
propriedades dos depósitos
2. Estimar a probabilidade
anterior, p’ [ Ho ]
3. Projetar para Ho
4. Estimar as probabilidades
anteriores dos desvios:
p’ [ Hi ]; i=1,2,3, ..., m-1
5. Selecionar grandezas a serem
monitoradas, Zj; j=1, 2, ..., p
Waldemar Hachich 35 25/8/17
O método de observação
bayesiano (Hachich, 1981, 1998) (2) 6. Prever as leituras das grandezas
selecionadas para a hipótese de
trabalho, Ho
7. Fazer a mesma previsão para cada
uma das demais hipóteses, Hi
8. Preparar planos de contingência
para os desvios concebíveis de Ho
9. Efetuar as leituras e avaliar as
condições “reais”
10. Se necessário, implementar as
ações de contingência ditadas
pelas condições “reais”
6. Estimar função densidade de
probabilidade das leituras, para
Ho: fZj | Ho (zj); j=1,2, ..., p
7. Estimar fdps das leituras, para
demais Hi (i=1,2,3...,m-1)
fZj | Hi (zj); j=1,2,3...,p
8. Preparar planos de contingência
para os desvios concebíveis de Ho,
avaliando custos e impactos
9. Atualizar probabilidades das Hi
(Bayes) em função de todas as
leituras: p’’ [ Hi ]; i=0,1,2..., m-1
10. Usar a árvore de decisão para
escolher a melhor ação depois da
atualização das probabilidades.
Waldemar Hachich 36 25/8/17
Barragem “simples” com filtro-
dreno vertical: Ho
Waldemar Hachich 38 25/8/17
(WH)
1. Etapa de exploração e investigação já cumprida.
2. Ho “projeto” acima, a hipótese de trabalho (“working hypothesis”).
p’ [Ho] = p’ [WH] será apresentada mais adiante.
3. Projeto para Ho (acima).
Barragem: desvios concebíveis
(H1 e H2)
Waldemar Hachich 39 25/8/17
4. Desvios concebíveis:
DIS e CLOG.
p’ [H1] = p’ [DIS] e
p’ [H2] = p’ [CLOG]
mais adiante
Monitoramento
Waldemar Hachich 40 25/8/17
(WH)
5. Grandezas escolhidas: apenas as leituras piezométricas nos pontos
9 (𝑧1) e 11 (𝑧2).
Previsão dos valores de 𝑢9 e 𝑢11, incluindo sua dispersão (em função da
variabilidade da permeabilidade do solo compactado)
MEF estocástico + FOSM, Monte Carlo ou similar – resultados a seguir...
Isóbaras de u ( média), dada a
hipótese de trabalho, Ho
Waldemar Hachich 41 25/8/17
6. Média da distribuição de 𝑢9 e 𝑢11,
sempre para Ho
7. Mesmos passos anteriores, para
média da distribuição de 𝑢9 e 𝑢11
para H1 (DIS) e
para H2 (CLOG)
Iso-dispersão de u ( desvio
padrão), dada a hipótese de trabalho, Ho
Waldemar Hachich 42 25/8/17
6. Desvio padrão da distribuição de
𝑢9 e 𝑢11, sempre para Ho
7. Mesmos passos anteriores, para
desvio padrão da distribuição de
𝑢9 e 𝑢11 para H1 (DIS) e
para H2 (CLOG)
𝑍 = 𝑎 + 𝐵 ∙ 𝑈 + 𝑣
Waldemar Hachich 43 25/8/17
6. Distribuição de 𝑧1 e 𝑧2
para Ho: 𝑓(𝒁|𝐻0) 7. Distribuição de 𝑧1 e 𝑧2
para H1 (DIS) 𝑓(𝒁|𝐻1) e H2 (CLOG), 𝑓(𝒁|𝐻2)
𝒛𝒊 = 𝒂𝒊 + 𝒃𝒊𝒖𝒊+𝒗𝒊
𝒖𝒊
O modelo linear de
observação ao lado,
generalizado para o
campo estocástico,
Z = a + B . U + v
permite passar das
distribuições de U para
as distribuições de Z.
Bayes: atualizar probabilidades
Waldemar Hachich 45 25/8/17
8. Preparar planos de
contingência (ações
0, 1, 2, k...q) para os
desvios concebíveis
de Ho, avaliando
custos e impactos
9. Atualizar (Bayes!)
probabilidades das
Hi em função de
todas as leituras:
p’’ [ Hi ] = p[Hi | z];
i=0,1,2..., m-1
𝑝′′ 𝐻𝑖 = 𝑝′ 𝐻𝑖 × 𝑓 𝑍|𝐻𝑖 × 1𝑁
𝑁 = constante normalizadora
anterior posterior informações do
monitoramento
Probabilidades atualizadas
Waldemar Hachich 46 25/8/17
Ponto Cargas piezométricas (m)
Observadas Previstas
WH DIS CLOG
9 29,0 27,5 32,9 30,0
11 10,0 8,7 8,7 11,9
f(Z|Hi) 0,00162 0,00086 0,00089
p’(Hi) Nº 1 1/3 1/3 1/3
p’’(Hi) Nº 1 0,480 0,255 0,265
p’(Hi) Nº 2 0,700 0,200 0,100
p’’(Hi) Nº 2 0,813 0,123 0,064
Com p’’[Hi] e árvore de decisão,
escolher melhor ação
Waldemar Hachich 47 25/8/17
𝑝′′ 𝐻𝑖 = 𝑝′ 𝐻𝑖 × 𝑓 𝑍|𝐻𝑖 × 𝑁
𝑁 = constante normalizadora
anterior posterior informações do
monitoramento
10.Usar a árvore de decisão para
escolher a melhor ação depois da
atualização das probabilidades.
Estrutura da decisão quanto às
ações de contingência
Waldemar Hachich 48 25/8/17
Ação 0
Ação 1
Ação k
Ação q
p’’[H0]
p’’[H1]
p’’[H2]
Custo e outras
consequências
da ação k, dada
H0
Custo e outras
consequências
da ação k, dada
H1
Custo e outras
consequências
da ação k, dada
H2
(não fazer nada)
Custo esperado
da ação k
Custo esperado = custos x probabilidades
Possível critério
de decisão:
menor custo
esperado
Análise de decisão
Iso-dispersão anterior 𝜎′ 𝑊𝐻
(não depende da leitura dos instrumentos, só da
sua posição)
Waldemar Hachich 49 25/8/17
Possibilidade de gerar, já na fase de projeto,
resultados similares para as hipóteses
alternativas:
H1 (DIS) → 𝜎′ 𝐷𝐼𝑆
H2 (CLOG) → 𝜎′ 𝐶𝐿𝑂𝐺
Qual a “melhor” posição do
próximo instrumento?
Waldemar Hachich 50 25/8/17
Análise de decisão
(de novo!)
incertezas relativas
Qual a “melhor” posição do
próximo instrumento?
Waldemar Hachich 51 25/8/17
Análise de decisão
(de novo!)
Incerteza relativa esperada com
instrumento na posição i
Incerteza relativa esperada = incertezas relativas x probabilidades
Possível critério de
decisão: menor
incerteza relativa
esperada
incertezas relativas
Qual a “melhor” posição do
próximo instrumento?
Waldemar Hachich 52 25/8/17
Análise de decisão
(de novo!)
Incerteza relativa esperada com
instrumento na posição i
Incerteza relativa esperada = incertezas relativas x probabilidades
incertezas relativas
No método de observação bayesiano, refinamento da etapa
de projeto da instrumentação!
5. Selecionar grandezas a serem monitoradas, Zj; j=1, 2, ..., p
Possível critério de
decisão: menor
incerteza relativa
esperada
Equipotenciais e campo de k ajustados por tentativa e erro
Waldemar Hachich 56 25/8/17
Núcleo “ajustado” à piezometria
por tentativa e erro
Campo de variação de log k por atualização bayesiana
Waldemar Hachich 60 25/8/17
k decrescente com
profundidade no núcleo
de aterro hidráulico!
AUTOCORRELAÇÃO NO MEF
ESTOCÁSTICO
Autocorrelation in stochastic finite elements
Waldemar Hachich 61 25/8/17
Variabilidade espacial - Local 1
S1.1 S2.1
𝒎𝑿 𝝈𝑿
25/8/17 Waldemar Hachich 62
Em janela de tamanho constante, maior probabilidade dos pontos
extremos estarem do mesmo lado da média.
Variabilidade espacial - Local 2
S1.2 S2.2
𝒎𝑿 𝝈𝑿
25/8/17 Waldemar Hachich 63
Em janela de tamanho constante, menor probabilidade dos pontos
extremos estarem do mesmo lado da média.
Variabilidade espacial - Local 1
S1.1 S2.1
𝒎𝑿 𝝈𝑿
25/8/17 Waldemar Hachich 64
Médias locais (em elementos, por exemplo) mais dispersas
Variabilidade espacial - Local 2
S1.2 S2.2
𝒎𝑿 𝝈𝑿
25/8/17 Waldemar Hachich 65
Médias locais (em elementos, por exemplo) menos dispersas
Waldemar Hachich 66 25/8/17
Variáveis aleatórias vs. campos
estocásticos
Variabilidade
espacial:
Cornell,
Vanmarcke,
Veneziano,
Yong, Alonso
(décadas de 70
e 80)
Representação
estocástica de
propriedades
do terreno
Média
Desvio padrão
Considerar autocorrelação é absolutamente essencial!
CAMPO ESTOCÁSTICO DE PERMEABILIDADES
Linearização e FOSM
Waldemar Hachich 72 25/8/17
Linearização simplifica,
especialmente para o
FOSM!
Nem sempre possível
Há alternativas nas
simulações (Monte
Carlo é apenas uma
das possibilidades)
Waldemar Hachich 74 25/8/17
Evolução dos critérios de
segurança
Empirismo
Racionalismo
Incrementalismo
(“Bayesian
observational
method”)
Indicadores: F 𝛽 𝑝𝑟
Com 𝑝𝑟,
minimização de
custos inicial esperado
Confiabilidade (“reliability”)
Barragem como sistema
Ruína (principal) perda de contenção
Como atinge a ruína?
Galgamento (“overtopping”)
Erosão interna (“piping”)
Fraturamento (hidráulico ou por recalques excessivos)
Outros
Como combinar todos esses efeitos para definir a
probabilidade de ruína (e a confiabilidade)?
Árvore de falhas parece uma boa alternativa (utilizada
extensivamente no caso mais simples de usinas nucleares)
Waldemar Hachich 75 25/8/17
Recomendações finais
Análises prévias não apenas da hipótese de projeto, mas
também dos possíveis desvios dessa hipótese
Posições de instrumentos otimizadas para terem bom poder
de discriminação em relação aos desvios imaginados
Análise de decisões para orientar racionalmente as decisões
em face de incertezas
Leituras de instrumentos podem ser melhor aproveitadas
Quantificações estatísticas explícitas, especialmente de
incertezas, sempre que possível
Instrumentação e monitoramento têm excelente relação risco-
benefício
Waldemar Hachich 76 25/8/17
Evitam-se assim os acidentes
graves?
Não! Mas tem-se a tranquilidade de haver feito
o melhor para reduzir sua probabilidade.
Há sempre alguma probabilidade de ocorrerem
desvios não imaginados das hipóteses de
projeto (Sandroni, 2017: “rupturas frágeis”, sem
aviso, vs. “rupturas dúcteis”)
Lembrar também que o acidente grave decorre,
muitas vezes, dos nossos vícios de gestão
(Valenzuela, 2016)
Waldemar Hachich 77 25/8/17