Semana 1-4 M202 UTP

Docente: Lic. Oscar Reynaga Alarcón. [email protected]

1

CONTENIDOS TEMÁTICOS POR SESIÓN (AULA C203, TURNO NOCHE) SEM. TEMA JUEVES VIERNES

1

Vectores n-dimensionales: Definición, igualdad, adición de vectores y multiplicación de un escalar por un vector. Propiedades. Combinación lineal de vectores, dependencia e independencia de vectores. Módulo de un vector. Vector coordenado tridimensional: ejes coordenados, octantes y coordenadas de un punto en el espacio.

02 junio 03 junio

2

Representación de un vector como segmento orientado en R2 y R3. Interpretación geométrica: igualdad de vectores, adición de vectores y multiplicación de un escalar por un vector. Combinación lineal de vectores. Ángulo entre vectores. Paralelismo y perpendicularidad. Proyección y componente ortogonal. Vectores unitarios cartesianos. Producto vectorial, triple producto escalar. Aplicaciones.

09 junio 10 junio Ele

cció

n de

l del

egad

o

3

El plano. Ecuaciones del plano en sus formas: vectorial, paramétrica, general y segmentaria. Interpretación geométrica de la ecuación general con una, dos y tres variables. Distancia de un punto al plano.

16 junio 17 junio

4

La recta en el espacio. Ecuaciones de la recta en sus formas vectorial, paramétricas, simétrica y general. Posiciones relativas entre rectas. Distancia de un punto a una recta. Plano proyectante. Ángulo entre recta y plano.

23 junio PC1 24 junio

5 Función vectorial de variable real: definición, operaciones algebraicas. Límites, continuidad. Derivada de una función vectorial. Aplicaciones.

30 junio 01 julio

6 La diferencial. Integración. Longitud de arco de una curva. Triedro móvil de Frenet. Aplicaciones.

07 julio 08 julio

7 Plano osculador, normal y rectificante. Curvatura, fórmulas de Frenet-Serret. Componentes de la aceleración. Aplicaciones.

14 julio PC2 15 julio

8 Superficies cuádricas: conos, elipsoides, hiperboloides, paraboloides, cilindros.

21 julio 22 julio

9 Revisión-Nivelación 28 julio 29 julio

10 EXAMEN PARCIAL (03 al 09 agosto) 04 agosto 05 agosto

BIBLIOGRAFÍA

[01] LETHOLD, L (1992) El Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Harla. México. [02] STEWART, J (1999). Cálculo Multivariable. ITP Editores. México. [03] THOMAS G.B, FINNEY R.L (1998). Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Addison-Wesley Publishing Company, 9 ed. USA. [04] PURCELL, E (1989). Cálculo con Geometría Analítica. Editorial Prentice Hall. México. [05] LARSON R.E, HOSTETLER R.P, EDWARDS B.H. (1996) Cálculo y Geometría Analítica .Vol II. 6ed Editorial Mc Graw Hill. España. [06] STEIN, S (1990). Cálculo y Geometría Analítica Vol. II. Editorial Mc Graw Hill. España [07] MARSDEN J.E, TROMBA A.J. (2004) Cálculo Vectorial 5 ed. Pearson, Addison Wesley. España.


2

11 Funciones Reales de Varias Variables. Defini- ción, dominio, operaciones algebraicas, gráficas, Límites. Teoremas.

11 agosto 12 agosto

12 Continuidad. Derivadas parciales, Interpretación geométrica. Diferenciabilidad. Diferencial Total.

18 agosto

PC3 19 agosto

13 Regla de la cadena. Derivada direccional. Gradiente. Derivada direccional a lo largo de una curva. Plano tangente. Recta normal.

25 agosto 26 agosto

14

Derivada parciales de orden superior. Teorema de la función implícita. Máximos y mínimos: relativos y condicionales, Método de Multiplicadores de Lagrange.

01 setiembre

PC4 02 setiembre

15 Integral Doble. Integrales iterados. Cálculo de áreas y volúmenes. Cambio en el orden de integración

08 setiembre 09 setiembre

16

Cambio de variable en integral doble. Integral Triple. Integrales iteradas. Coordenadas cilíndricas y coordenadas esféricas, Cambio de variable en integral triple.

15 setiembre

PC5 16 setiembre

17 Campos Vectoriales. Integrales de Línea. Campos Vectoriales Conservativos. Teorema de Green. El Rotacional y la Divergencia de un Campo Vectorial.


18 Integrales de Superficie. Teorema de la Divergencia (Gauss). Teorema del Rotacional (Stokes). Aplicaciones


19 EXAMEN FINAL (05 al 11 de octubre) 06 octubre 07 octubre

20 EXAMEN SUSTITUTORIO (12 al 18 octubre) 13 octubre 14 octubre

Devolución de Examen Final, según cronograma ()


3

VECTORES n-DIMENSIONALES Los científicos utilizan el término vector para indicar una cantidad (por ejemplo, velocidad o fuerza) que tiene magnitud y dirección. Un vector suele representarse por una flecha o segmento de recta. (a) Bidimensional (c) Tridimensional Definiciones

1. VECTORES EN nℝ . Un vector n-dimensional es una n-upla ordenada de números reales

1 2, , ... , na a a a=�

, donde los números 1 2, , ... , na a a se llaman componentes de a�

.

2. IGUALDAD DE VECTORES. Dos vectores en nℝ : 1 2, , ... , na a a a=

� y 1 2, , ... , nb b b b=�

son

iguales si se cumple que 1 1 2 2, , ... , .n na b a b a b= = = En este caso escribiremos a b=� �

.

3. SUMA DE VECTORES. Sean dos vectores en nℝ : 1 2, , ... , na a a a=� y 1 2, , ... , nb b b b=�

entonces el vector a b+� �

está definido como 1 1 2 2, , ... , n na b a b a b a b+ = + + +� �

.

4. PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR. Sea el vector en nℝ : 1 2, , ... , na a a a=� y λ

cualquier número real entonces el vector aλ�

se define como 1 2, , ... , na a a aλ λ λ λ=� .

OBSERVACIÓN. Los vectores a b+� �

y aλ�

son también vectores en nℝ . Definimos además:

a) 1a a− = −� �

b) ( )a b a b− = + −� � � �

(DIFERENCIA DE DOS VECTORES)

c) 0 0;0;...;0=�

(VECTOR NULO DE nℝ )

PROPIEDADES. Para vectores arbitrarios , ya b c∈� � �

nℝ y escalares arbitrarios ,λ γ ∈ℝ , se cumplen

1. a b b a+ = +� � � �

2. ( ) ( )a b c a b c+ + = + +� � � � � �

3. 0a a+ =� � �

4. ( ) 0a a+ − =� � �

5. ( )a b a bλ λ λ+ = +� � � �

6. ( )a a aλ γ λ γ+ = +� � �

7. ( ) ( )a aλγ λ γ=� �

8. 1a a=� �

Ejercicios 01. Consideremos los vectores 1 ; ;3;a x y x w= + −

� y ; ; 2 ; 3b z x y z y y z= − − +�

. Determine el valor de

2 3xz y w− , si a b=� �

.

02. Sean dados los vectores ya aλ� �

. Analice todas las opciones con respecto a sus direcciones, igualdad, etc., para diferentes valores reales de λ .

03. Si 3;2;0; 1a = − −�

, 1;0;3;5b = −�

y 2 4;0; 2;0c = −�

, calcule ( )5 3 2 0a c b− − +� � � �

.

04. Pruebe analíticamente la propiedad 5, para vectores en 3ℝ .

x

y

O y

z

O

v�

v�

Figura Vector de velocidad de una partícula.

x


4

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES

Definición. Se llama combinación lineal de los vectores 1 2, , ... , ma a a��

, en nℝ , a la expresión

1 1 2 2 ... m ma a aλ λ λ+ + +��

,

donde 1 2, ,..., mλ λ λ son unos números reales.

05. Pruebe que el vector 2;8x =�

se puede expresar como una combinación lineal de los vectores

3;2a = −�

y 2;1b =�

.

06. Determine si es posible expresar 2;3; 4x = −�

, como combinación lineal de los vectores 1;1;1a =�

,

1;1;0b =�

y 1;0;0c =�

.

07. Hallen los valores reales de x, y, z que satisfacen 2;2;2 0;1;3 0; 1; 2 0;0;0x y z+ + − − = .

08. Hallen los valores reales de x, y, z que satisfacen 1; 7;7 1;2; 4 2;1;5 0x y z− − + − + − =�

.

09. Defina cuándo un conjunto de vectores 1 2, , ... , ma a a��

, en nℝ , es linealmente independiente o

linealmente dependiente.

10. *Sean los vectores LI: , ya b c� � �

en nℝ , determine si los vectores ( ) ( ) ( ),a b b c y c b− − −

� � � � � � son LI.

11. Sean , ya b c� � �

cualesquiera vectores en nℝ , pruebe que los vectores ( ) ( ) ( ),a b b c y c a+ + −� � � � � �

son LD.

12. *Consideremos los vectores LI: , ya b c� � �

en nℝ , determine si los vectores ( ) ( )2 , 3a b c a b c+ − − +

� � � � � �y

( )5 3a b c− + −� � �

son LI.

MÓDULO, NORMA o LONGITUD DE UN VECTOR

Definición. Sea el vector 1 2, , ... , na a a a=� n∈ℝ , su módulo se denota por a

� y se define como

2 2 21 2 na a a a= + + +

�⋯ .

13. Calculen los módulos de I) 6;8a = −

� II) 1; 2;3b = −

� III) cos sen ; sen sen ; cosc α ω α ω ω=

�.

14. Dar un ejemplo de dos vectores no nulos y diferentes 4a y b∈� �

ℝ , tales que a b a b+ = +� � � �

.

15. Sean ya b� � n∈ℝ y λ ∈ℝ . Prueben las siguientes propiedades:

a) ( )0 0 0a a a≥ ∧ = ⇔ =� � � �

.

b) a aλ λ=� �

.

c) a b a b+ ≤ +� � � �

(** DESIGUALDAD DE MINKOWSKI)

16. Sea a�

un vector no nulo. Para cuáles valores reales de λ , el módulo del vector aλ�

es la unidad.

17. Determine un vector unitario (versor) en la dirección del vector 3;2;2 3a = −�

.

VECTOR COORDENADO TRIDIMENSIONAL. Ejes coordenados, octantes y coordenadas de un punto en el espacio 18. Supongamos que empezamos en el origen, nos movemos a lo largo del eje x una distancia de 5 unidades

en la dirección positiva, y luego nos movemos hacia abajo una distancia de 4 unidades. ¿Cuáles son las coordenadas de nuestra posición?

19. Grafique los tres planos coordenados (plano xy, plano xz y el plano yz). ¿Cuáles son los octantes? 20. ¿Cuál de los puntos (6;2;3), ( 5; 1;4) y (0;3;8)P Q R− − está más cercano al plano xz? ¿Cuál punto se

encuentra en el plano yz? 21. ¿Cuáles son las proyecciones del punto (3;6;4) en los planos xy, yz, y xz? Trace una caja rectangular con

vértices opuestos en el origen y en el punto (3;6;4), y con sus caras paralelas a los planos coordenados. Escriba las coordenadas de los vértices de la caja. Encuentre la longitud de la diagonal de la caja.


5

22. Demuestre que el triángulo con vértices ( 2;4;0), (1;2; 1) y ( 1;1;2)P Q R− − − es equilátero. 23. Determine si los puntos dados se encuentran en una línea recta. (a) (5;1;3), (7;9; 1) y (1; 15;11)A B C− − (b) (0;3; 4), (1;2; 2) y (3;01)K L M− −

REPRESENTACIÓN DE UN VECTOR COMO SEGMENTO

ORIENTADO EN R 2 y R3 (Interpretación geométrica)

Definición. Se denomina vector a�

(vector geométrico) al conjunto de todos los segmentos dirigidos (orientados) que tienen longitud y dirección iguales.

24. Dar ejemplos (representaciones) para el vector 3;2a =�

.

25. Dar ejemplos (representaciones) para el vector 2;3;5a =�

.

26. En 3ℝ una representación particular de a

� es el segmento de recta dirigido (orientado) OP

�� del origen al

punto P, al cual llamaremos vector posición del punto P. Dados dos puntos 1 1 1( ; ; )A x y z y 2 2 2( ; ; )B x y z ,

pruebe que el vector a�

con representación AB��

es 2 1 2 1 2 1; ;a x x y y z z= − − −�

.

En cada caso determine el vector a

�, representado por el segmento dirigido AB

��. Luego trace (grafique)

AB��

y su representación equivalente, que tiene punto inicial en el origen.

27. (2;1), (4;5)A B 28. ( 3;2), (1;4)A B− 29. * ( 3; 2 ), (1; )A m B y m− − + +

30. (1; 1;3), (2;1;3)A B− 31. (0; 1;2), ( 1;2;5)A B− − 32. * 2 2(3; 2;2 ), (0;1;4 )A t B t− − −

33. (IGUALDAD ) Mencione todas las parejas de los vectores iguales del paralelogramo mostrado. 34. (IGUALDAD ) *En un paralelogramo ABCD, se sabe que tres de sus vértices son ( )2; 2 1;3 ,A − −

( )0;2 2; 5B − y ( )1;3 2; 1C + − . Determine el vértice D, opuesto a B.

35. (ADICIÓN) "Pruebe" geométricamente la propiedad ( ) ( )a b c a b c+ + = + +� � � � � �

, para vectores en 2ℝ ,

aplicando la regla del triángulo varias veces. 36. (COMBINACIÓN LINEAL ) Exprese 3;2;5x = −

�, como combinación lineal de los vectores 1;0;0 ,

0;1;0 y 0;0;1 (estos últimos vectores se simbolizan respectivamente por , yi j k )

37. Si A, B y C son los vértices de un triángulo (en 2ℝ ), halle AB BC CA+ +��

.

38. *En un paralelogramo ABCD, halle AC DB+��

, si 32 ;4CD = −

��.

39. *En un paralelogramo ABCD, se sabe que tres de sus vértices son ( ) ( )2; 2 1;3 , 0;2 2; 5A B− − − y

( )1;3 2; 1C + − . Determine el vértice D, opuesto a B.

40. *Si ,AD BE y CF��

son las medianas del triángulo ABC, demuestre que 0AD BE CF+ + =��

. 41. *Un paralelepípedo tiene un vértice en ( )1;2;3A , siendo B, C y D sus vértices adyacentes. Además se

conoce que 2 1;0;1 , 3 1;1;1 y 4 0;1;1AB AC AD= = =��

. Halle el vértice opuesto a A.

B A

D C

E


6

42. *A continuación se muestra un cubo cuya arista mide 2

unidades, donde M y N son puntos medios de las aristas a la que pertenecen. a) Determine MP

��.

b) Halle analíticamente ON OQ−��

. c) Encuentre la suma de los tres vectores mostrados.

43. Hállese en el eje de ordenadas el punto M equidistante respecto de los puntos (1; 4;7) y (5;6; 5)A B− − . 44. Sean dados los vértices del triángulo (3; 1;5), (4;2; 5) y ( 4;0;3)A B C− − − . Hállese la longitud de la

mediana trazada desde el vértice A. 45. *Sean dados los vértices del triángulo (3; 2;1), (3;1;5) y (4;0;3)A B C− . Pruebe o refute lo siguiente: "la

distancia del origen de coordenadas a su baricentro es 182 /3u". ÁNGULO ENTRE VECTORES

Definición. Sean 1 2 3, ,a a a a=�

y 1 2 3, ,b b b b=�

, llamaremos producto escalar (o punto) de a�

y

b�

al número denotado por a b⋅� �

y definido como 1 1 2 2 3 3a b a b a b a b⋅ = + +� �

.


3ℝ y λ ∈ℝ , se cumplen:

1. 2

a a a⋅ =� � �

2. a b b a⋅ = ⋅� � � �

3. ( )a b c a b a c⋅ + = ⋅ + ⋅� � � � � � �

4. ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ⋅ = ⋅ = ⋅� � � � � �

TEOREMA . Si θ es el ángulo entre los vectores no nulos ya b� �

, donde 0 θ π≤ ≤ , entonces

cosa b a b θ⋅ =� � � �

.

46. Sean los vectores 2;2; 1a = −�

y 5; 3;2b = −�

, encuentre su producto escalar.

47. Pruebe que el ángulo formado por los vectores 2;2; 1a = −�

y 5; 3;2b = −�

es aproximadamente 84° .

48. Calcule el menor de los ángulos entre las diagonales de un hexaedro regular. 49. Para dos vectores no nulos ya b

� �, clasifique la medida de sus ángulos cuando 0, 0a b a b⋅ > ⋅ <

� � � �

y 0a b⋅ =� �

. 50. Si u es un vector unitario, encuentre ⋅u v y ⋅u w .

51. Si ( )�3, 4 y , 2 /3a b a b π= = =

� � � �, calcule ( ) ( )3 2 2a b a b− ⋅ +

� � � �.

52. **Pruebe o refute lo siguiente "Si 1, 2, 3 0a b c y a b c= = = + + =� � � � � � �

entonces 7a b a c b c⋅ + ⋅ + ⋅ = −� � � � � �

".

PARALELISMO Y PERPENDICULARIDAD

53. Diremos que dos vectores cualesquiera ya b� �

son ortogonales si y solo si 0a b⋅ =� �

(y se denotará por

a b⊥� �

). Demuestre que el vector 2 2a = + −i j k�

es perpendicular al vector 5 4 2b = − +i j k�

.

54. *Diremos que dos vectores cualesquiera ya b� �

son paralelos si se cumple que 1a bλ=� �

o bien 2b aλ=� �

,

donde 1 2yλ λ son ciertos números reales (y se denotará por a b� �� ). Para cuáles valores reales de m, se

tiene que los vectores ;2;a m m=�

y 2; 3;2b m= −�

son paralelos.

55. *Pruebe o refute lo siguiente "Si 2, 3a b y a b= = ⊥� � � �

entonces ( ) ( )5 3 2 13a b a b+ ⋅ − =� � � �

".

x

z M

N

y

P

O

Q

u v

w

u

vw


7

56. Se 3, 5a b= =� �

. Determine para qué valor real de λ se tiene que ( ) ( )a b a bλ λ+ ⊥ −� � � �

.

57. Pruebe que la dirección de la bisectriz del ángulo que forman los vectores ya b� �

, está dada por la

dirección del vector a b

a b+

� �

� � (puede emplear argumentos geométricos).

58. **Demuestre a b a b a b⊥ ⇔ + = −� � � � � �

.

59. **Demuestre 2 2 2

a b a b a b⊥ ⇔ + = +� � � � � �

.

ÁNGULOS Y COSENOS DIRECTORES

Definición. Los ángulos directores de un vector 0a ≠� �

, son los ángulos , , yα β γ del intervalo

[ ]0;π que forma el vector a�

con los semiejes positivos Ox, Oy y Oz.

60. Pruebe que 1cosa

aα = � , siendo 1 2 3, ,a a a a=

�.

61. Demuestre que 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = .

62. Encuentre los ángulos directores de 1;2;3a =�

.

PROYECCIÓN Y COMPONENTE ORTOGONAL

Definición. Se llama proyección ortogonal de a�

sobre 0b ≠� �

, al vector proyba b b

ab b

⋅=

�

� � ��

� � .

Definición. Se llama componente de a�

sobre 0b ≠� �

, al número compba b

ab

⋅=�

� ��

� .

63. En las siguientes figuras señale las proyecciones ortogonales y las componentes de a�

sobre b�

. 64. Encuentre el vector proyección ortogonal y la componente de 3;2; 1a = − −

� sobre 0; 3;4b = −

�.

65. Demuestre que la altura BP en un triángulo ABC es igual a proyACAB AB− ��

. 66. Calcule la altura del triángulo ABC si (2;0; 1), ( 1;1;4) (2;3; 1)A B y C− − − .

67. Sean los vectores 3;5;2a =�

y 4;0;3b = −�

, tal que a r s= +� � �

, siendo yr b r s⊥� � � �� . Pruebe que

625

4;0;3r = − −�

y 125

51;125;68s=�

.

68. Los puntos 352 2

(1;1;1), (4;1;1), (4;1 3 3;1), (1;1 3 3;1) ( ;1 3 ;5)A B C D y E+ + + forman una pirámide de

base rectangular con vértice E. ¿Cuál es la distancia del centro de la base a la arista lateral AE��

? 69. Si comp comp 0a b a ba b+ +− =� � � �

� � pruebe que a b=

� �.

70. Demuestre o refute lo siguiente, proy proyb ca a b cλ= ⇔ =� ��

. 71. Para los vectores unitarios cartesianos i, j y k, demuestre que a) 0⋅ = ⋅ = ⋅ =i j j k k i . b) 1⋅ = ⋅ = ⋅ =i i j j k k . PRODUCTO VECTORIAL o CRUZ (sólo en 3ℝ )

Definición. Si 1 2 3, ,a a a a=�

y 1 2 3, ,b b b b=�

, entonces el producto vectorial de a�

y b�

es el

vector denotado por a b×� �

y definido como 2 3 1 3 1 2

2 3 1 3 1 2; ;

a a a a a aa b

b b b b b b× = −� �

.

a�

b�

b�a

�

b�

a�


8

72. Pruebe que 1 2 3

1 2 3

a b a a ab b b

× =i j k� �

73. Si 3;2; 1 , 0;1; 1 , 6; 4;2a b c= − = − = − −� � �

, calcule

I) a b×� �

II) b a×� �

III) a c×� �

74. Si ya b

� � son vectores no nulos y a b

� �� , pruebe que

0a b× =� � �

(observe III en el problema anterior) 75. *Pruebe analíticamente que a b×

� � es ortogonal a ya b

� �.

76. **TEOREMA (Demuéstrelo) Si θ es el ángulo entre los vectores ya b� �

, donde 0 θ π≤ ≤ , entonces

sena b a b θ× =� � � �

.

77. Pruebe que los vectores no nulos ya b� �

son paralelos si y sólo si 0a b× =� � �

.

78. Pruebe que la longitud del vector a b×� �

se puede interpretar geométricamente

como el área del paralelogramo determinado por los vectores ya b� �

. 79. Encuentre el área del paralelogramo con vértices (0;0;0), (5;0;0), (2;6;6) (7;6;6)P Q R y S . 80. Halle el área del triángulo con vértices (1;1; 1), ( 2;0;1) (2;2; 1)A B y C− − − .

81. Pruebe que I) , ,× = × = × =i j k j k i k i j II) 0× = × = × =i i j j k k�

82. Halle un vector perpendicular al plano que pasa por los puntos (1; 1;0), (2;1; 1) ( 1;1;2)P Q y R− − − .


3ℝ y λ ∈ℝ , se cumplen:

1. a b b a× = − ×� � � �

2. ( ) ( ) ( )a b a b a bλ λ λ× = × = ×� � � � � �

3. ( )a b c a b a c× + = × + ×� � � � � � �

4. ( )a b c a c b c+ × = × + ×� � � � � � �

83. Si ( )�2, 4 y , 2 /3a b a b π= = =

� � � �, calcule ( ) ( )2 2a b a b+ × +

� � � �.

84. Si ( )�5 y , /4a b a b π= = =

� � � �, calcúlese el área de un triángulo formado por 2a b−

� � y 3 2a b+� �

.

85. Pruebe que ( ) ( ) ( )2a b a b a b− × + = ×� � � � � �

.

86. **[ Producto vectorial doble] Demuestre que ( ) ( ) ( )a b c a c b a b c× × = ⋅ − ⋅� � � � � � � � �

.

87. **Demuestre que ( )[ ]( ) ( )20c a a a b a a b c⋅ × × × + ⋅ × =

� � � � � � � � �.

TRIPLE PRODUCTO ESCALAR o PRODUCTO MIXTO (sólo en 3ℝ )

Definición. Se denomina triple producto escalar de la terna ordenada de vectores a�

,b�

,c�

al número ( )a b c⋅ ×� � �

. Se escribirá [ ] ( )abc a b c= ⋅ ×��

.

88. Pruebe que [ ]1 2 3

1 2 3

1 2 3

a a aabc b b b

c c c=

��.

89. Demuestre que [ ] [ ] [ ]abc bca cab= =��

. 90. Pruebe que el volumen del paralelepípedo formado

por los vectores a�

,b�

,c�

es la magnitud de su triple

producto escalar es decir [ ] ( )V abc a b c= = ⋅ ×��

. 91. Verifique que los vectores 1;4; 7a = −

�, 2; 1;4b = −�

y 0; 9;18c = −�

son coplanares.

92. Si 3 4 , 3 , 2 5OA OB OC= + = − + = +i j j k j k��

, entonces el volumen del tetraedro OABC, ¿es 8,5 u3?

93. Los versores a�

,b�

,c�

, forman una terna derecha y son recíprocamente perpendiculares, halle [ ]abc��

. 94. **Demuestre que ( ) ( ) ( )( ) ( )( )a b c d a c b d a d b c× ⋅ × = ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

� � � �� .

95. **Demuestre que ( ) ( ) ( ) 2[ ]a b b c c a abc× ⋅ × ⋅ × =� � � � � � ��

.

Regla de la Mano derecha

×u v .

a�

b�

θ

a�

b�

c�

θ

b c×� �

h


9

MISCELÁNEA

96. Si 1a b+ =� �

, pruebe que 2

a a b a+ ⋅ ≤� � � �

.

97. Sean ya b� �

vectores no nulos tales que w b a a b= +��

. Si ( )�, /5a w π=� ��

, halle ( )�,a b� �

.

98. Sean ya b� �

vectores unitarios. Si ( )�,a b θ=� �

, demuestre que 12 2

sen a bθ = −� �

.

99. Los vectores 3, ya b c∈� � �

ℝ satisfacen la condición 0a b c+ + =� � � �

. Pruebe que a b b c c a× = × = ×� � � � � �

. 100. Halle el volumen del tetraedro ABCD donde (1;1;2)A , (0;0;1)B , ( 1;1;0)C − y ( 1;1;2)D − . Además

determine la altura trazada desde el vértice A.

EL PLANO EN EL ESPACIO

Definición. PLANO. Tres puntos no colineales 0 0 0 0 1 2( ; ; ), yP x y z P P determinan un plano. Si

0 1a P P=� ��

y 0 2b P P=� ��

son dos vectores, definimos el plano como

{ }30( , , ) , ,P P x y z P P ta rb t r= ∈ = + ∈��

ℝ ℝ

• A la ecuación 0r r t a rb= + +� ��

se le llama ecuación vectorial del plano.

• Se denominan ecuaciones paramétricas del plano P que pasa por el punto 0 0 0 0( ; ; )P x y z y es paralela

a los vectores 1 2 3, ,a a a a=�

y 1 2 3, ,b b b b=�

, donde a b� �� , a las tres ecuaciones escalares:

0 1 1

0 2 2

0 3 3

x x ta rby y ta rbz z ta rb

= + + = + + = + +

donde ,t r ∈ℝ . Cada par de valores de los parámetros t y r dan un punto ( , , )x y z en P.

101. Deducir las ecuaciones paramétricas de un plano P. 102. Determine las ecuaciones vectoriales y paramétricas del plano P que pasa por los puntos (1;3;2)P ,

(3; 1;6)Q − y (5;2;0)R .

ECUACIÓN NORMAL

Un plano en el espacio está determinado por un punto 0 0 0 0( ; ; )P x y z

del plano y un vector 0n ≠� �

que es ortogonal al plano, llamado vector normal. Si ( , , )P x y z es cualquier punto del plano entonces se tiene

0 0n P P⋅ =� ��

• A la ecuación ( )0 0n r r⋅ − =� � ��

se le llama ecuación normal del

plano (nótese que 00P P r r= −��

) [Algunos autores le denominan también ecuación vectorial]

ECUACIÓN GENERAL DEL PLANO . 103. Si el vector normal es , ,n a b c=

�, deducir la ecuación general del plano P, 0ax by cz d+ + + = . ¿Qué

representa d? 104. Halle una ecuación general del plano que pasa por el punto (2;4; 1)− , con vector normal 2;3;4n =

�.

105. Del problema anterior, encuentre los interceptos con los tres ejes y trace el plano. ECUACIÓN SEGMENTARIA DEL PLANO . 106. Halle la ecuación segmentaria del plano del problema anterior. 107. Escribir la ecuación segmentaria y general de un plano que pasa por el punto (5;4;3)P y corte segmentos

congruentes sobre los ejes de coordenadas.


10

108. Demuestre que una ecuación general del plano que pasa por los puntos (1;3;2)P , (3; 1;6)Q − y (5;2;0)R ,

es 6 10 7 50 0x y z+ + − = . 109. Pruebe que una ecuación general del plano que pasa por el punto (2;3;5)P y es perpendicular al vector

4 3 2n = + +i j k�

, es 4 3 2 27 0x y z+ + − = . INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA ECUACIÓN GENERAL C ON UNA, DOS Y TRES VARIABLES . 110. ¿Qué superficies en 3ℝ están representadas por las siguientes ecuaciones? I) 4z = II) 6y = III) 0x y− = IV) 2 0y z− = V) 2 3 6x y z+ + = 111. Complete el siguiente cuadro con respecto a los casos particulares de la situación de un plano definido

por la ecuación general 0ax by cz d+ + + = . Si El plano

0a = 0b = 0c =

Es paralelo al eje Ox.

0a b= = 0a c= = 0b c= =

Es perpendicular al eje Oz (� al plano xy)

0a d= = 0b d= = 0c d= =

Pasa por el eje Ox.

0a b d= = = 0a c d= = = 0b c d= = =

Coincide con el plano xy ( 0z = )

DISTANCIA DE UN PUNTO AL PLANO .

112. Demuestre que la distancia D del punto 1 1 1 1( ; ; )P x y z al plano

0ax by cz d+ + + = es 1 1 1

2 2 2

ax by cz dD

a b c

+ + +=

+ +.

113. Halla la distancia del punto 0(1;3; 2)M − al plano

2 3 4 12 0x y z− − + = . ¿Cómo está situado el punto 0M con respecto al plano?

114. Determine todos los valores de m de tal modo que la distancia del punto ( , 1, 1)m m− + al plano 3 4 0x y− = es 2 u.

115. Pruebe o refute la afirmación "la distancia entre los planos paralelos 10 2 2 5x y z+ − = y

5 1 0x y z+ − − = es 3/6 u".

116. Demuestre que la distancia D entre los planos paralelos 1 20 y 0ax by cz d ax by cz d+ + + = + + + = es

1 2

2 2 2

d dD

a b c

−=

+ +.

MISCELÁNEA 117. Pruebe que 5 3 2 1 0x y z− + + = es una ecuación general del plano que pasa por el punto (2;3; 1)− y es

paralelo al plano 5 3 2 10 0x y z− + − = . 118. Halle una ecuación general del plano que pasa por el punto(4; 2;3)− y es paralelo al plano 3 2 12x z− = . 119. Desde el punto (2;3; 5)P − se trazan perpendiculares a los ejes de las coordenadas. Escribir la ecuación

general del plano que pasa por sus bases. 120. Hallar la ecuación del plano que pasa por los puntos (2; 1;4)A − y (3;2; 1)B − perpendicularmente al

plano 2 3 0x y z+ − − = . 121. Escribir la ecuación del plano que pasa por el punto (3; 1; 5)M − − y es perpendicular a los planos

3 2 2 7 0x y z− + + = y 5 4 3 1 0x y z− + + = .


11

LA RECTA EN EL ESPACIO

Definición. RECTA. Sea 0 0 0 0( ; ; )P x y z un punto de paso y a�

un vector direccional no nulo, definimos la recta L como

{ }30( , , ) ,L P x y z P P ta t= ∈ = ∈��

ℝ ℝ

• A la ecuación 0r r t a= +� ��

se le llama ecuación vectorial de la recta.

• Se denominan ecuaciones paramétricas de la recta L que pasa por

el punto 0 0 0 0( ; ; )P x y z y es paralela al vector 1 2 3, ,a a a a=�

a:

0 1 0 2 0 3, ,x x ta y y ta z z ta= + = + = +

donde t ∈ℝ . Cada valor del parámetro t da un punto ( , , )x y z en L.

• Llamaremos ecuaciones simétricas de la recta L (si ninguna 1 2 3, oa a a es 0) al sistema

0 0 0

1 2 3

x x y y z za a a− − −= = .

122. Deducir las ecuaciones paramétricas de una recta L. 123. Deducir las ecuaciones simétricas de una recta L. Estudiar los casos cuando uno o dos componentes de

del vector direccional 1 2 3, ,a a a a=�

son nulos.

124. (a) Encuentre la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas para la recta que pasa por el punto (2;3;4) y es paralela al vector 2 3− +i j k . (b) Encuentre además otros dos puntos de la recta.

125. (a) Halle las ecuaciones paramétricas y las ecuaciones simétricas de la recta que pasa por los puntos (2;4; 3)A − y (3; 1;1)B − . (b) ¿En que punto corta esta recta al plano xy?

POSICIONES RELATIVAS ENTRE RECTAS

Definición. Sean dos rectas 1 0:L P P ta= +�

y 2 0:L Q Q tb= +�

. Se denominan:

a) rectas paralelas si y solo si a b� �� , en este caso escribiremos 1 2L L� .

b) rectas perpendiculares si y solo si a b⊥� �

, en este caso escribiremos 1 2L L⊥ .

• Si 1 2L L� entonces las rectas son coincidentes ( 1 2L L= ) o no se interceptan (1 2L L∩ = ∅ ). • Si 1 2L L� entonces las rectas son concurrentes (se interceptan en un único punto) o bien se cruzan en

el espacio (rectas oblicuas) ( 1 2L L∩ = ∅ ).

126. Determine el punto de intersección de las rectas 1 : (1;1;1) 1;2;3L t+ y 122 3 8 13

: yx zL −− = = , si existe.

127. Pruebe que las rectas 1 : (1; 2;4) 1;3; 1L t− + − y 2 : 2 , 3 , 3 4L x r y r z r= = + = − + son rectas oblicuas,

es decir, no se cortan y no son paralelas (y, por tanto, no se encuentran en el mismo plano). 128. CRITERIO ESPECIAL. Sean las rectas no paralelas 1 0:L P P ta= +

� y 2 0:L Q Q tb= +

� y 0 0c P Q=� ��

. Pruebe:

a) 1 2yL L son concurrentes ⇔ [ ] 0abc =��

. b) 1 2yL L se cruzan ⇔ [ ] 0abc =/��

.

129. Establecer si las rectas 1 : (4;0; 1) (2;1; 3)L t− + − , 2 : ( 4;0;9) ( 4; 2;6)L r− + − − y 3 : (6;1; 4) (6;3; 9)L s− + − son paralelas o coincidentes.

130. Halle una ecuación vectorial de la recta L, que pasa por el punto (3;1;2) y es perpendicular a las rectas

1 : (2; 2;4) (2; 4;4)L t− + − y 2 32 3 1

: 6; .x zL y − +−= =

DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA

131. Demuestre que la distancia d del punto P a la recta 0:L P ta+�

se

encuentra dada por 0P P ad

a

×=��

� .

132. Encuentre que la distancia del punto (2; 1;0)P − a la recta 1 23 4

: 1; y zL x + −−= − = .

133. Para qué valores de m, la distancia del punto (1; ;5)P m a la recta

1 , 3 y 2x t y t z t= + = − = , es 5 u.

a�

r�

0r�

a�

0 senP P θ��

P

0P

L


12

ÁNGULO ENTRE RECTA Y PLANO

• Si dos planos no son paralelos, entonces se cortan en una recta y el ángulo entre los planos se define como el ángulo agudo (ángulo diedro) entre sus vectores normales.

• El ángulo entre una recta y un plano es el complemento del ángulo formado entre el vector direccional de la recta y el vector normal al plano.

134. Encuentre el ángulo diedro entre los planos definidos por 1 0x y z+ + − = y 2 3 1 0x y z− + − = .

135. Hallar el ángulo formado por la recta 211 2 3

: 1; yxL z +−−= = y el plano definido por 6 4 1 0x z− − = .

136. ECUACIONES GENERALES DE LA RECTA . Pruebe que el vector

14 2 15s = + +i j k�

es paralelo a la línea recta que resulta de la intersección de los planos definidos por las ecuaciones generales

1 : 3 6 2 15 0x y z∏ − − − = y 2 : 2 2 5 0x y z∏ + − − = . 137. Encuentre las ecuaciones vectoriales, paramétricas y simétricas

de la línea recta que resulta de la intersección de los planos definidos por las ecuaciones 1 : 3 6 2 15 0x y z∏ − − − = y

2 : 2 2 5 0x y z∏ + − − = .

PLANO PROYECTANTE

138. La recta L viene dada por las ecuaciones generales { 0,2 2 0.

x y zx y

+ − =− + = .

a) Hallen las ecuaciones simétricas de esta recta. b) Determinen la ecuación del plano proyectante sobre el plano xz.

MISCELÁNEA 139. (a) Encuentre la ecuación vectorial y las ecuaciones paramétricas del plano ∏ que pasa por el punto

(2; 4;0)− y es paralela a las dos rectas 1 : (3; 5;3) 1; 2;2L t− + − y 32 12 1 2 5

: yx zL +− +−= = .

(b) Encuentre además otros dos puntos del plano ∏ . 140. Halle la ecuación general de un plano que pasa por 0(2;1; 1)P − y es perpendicular a la línea recta que

resulta de la intersección de los planos definidos por 2 3 0x y z+ − − = y 2 2 0x y z+ + − = .

141. Halle 1L ∩ ∏ siendo 1 : 2 3 ,L x t= + 4 , 5y t z t= − = + , y ∏ el plano definido por 4 5 2 18 0x y z+ − − = .

142. Halle una ecuación general del plano que pasa por (4; 2;3)− y es paralelo al plano : 3 2 12x z∏ − = . 143. Halle una ecuación general del plano que pasa por el punto(1;2;3) y contiene a la recta

3 , 1 y 2x t y t z t= = + = − . 144. VUELO DE UN HELICÓPTERO. Un helicóptero vuela directamente desde un helipuerto en el origen en la

dirección del punto ( 3;0;4)− a una velocidad de 30 m/s. ¿Cuál es la posición del helicóptero después de 20 segundos?

145. *Hallar el punto B simétrico al punto (4;1;6)A respecto de la recta definida por las ecuaciones generales

1 : 4 12 0x y z∏ − − + = y 2 : 2 2 3 0x y z∏ + − + = .

146. * Halle la distancia entre las rectas que se cruzan 21 2 1

: 1; x zL y +−= = y 11 2

2 1 2 1: yx zL ++ −

−= = .

147. * Del problema anterior halle las ecuaciones generales de la recta perpendicular común a ambas rectas.

1∏

2∏→→

θ

n�

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