5.° grado: Matemática

SEMANA 7

Resolvemos situaciones que se presentan en la ciudad usando razones trigonométricas

DÍA 4

Cuaderno de trabajo de matemática: Resolvamos problemas 5_día 4, páginas 111, 112, 114, 115 y 116. Disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma.

Días 3 y 4:Resolvamos

Los recursos que utilizaremos serán:

Ahora, es momento de que fortalezcas tus aprendizajes. Te invito a dar respuesta a las

siguientes situaciones de las páginas 111, 112, 114, 115 y 116 del cuaderno de trabajo

Resolvamos problemas 5 (disponible en la sección “Recursos” de esta plataforma).

Jairo acude con su familia a un centro deesparcimiento de Chosica. Él se sube a untobogán y desde allí observa un árbol. Para ver labase de este, necesita bajar la vista 37° respectoa la horizontal, y para observar la punta de lacopa del árbol, debe levantar su mirada 45°respecto a la horizontal. El tobogán está ubicadoa 8 m del árbol. Con esta información, ¿seráposible calcular la altura del árbol? Efectúa elprocedimiento.

Situación 1 – página 111

Ángulos verticales

Recuerda:

Triángulos notables

Línea horizontalαβ

α: ángulo de elevación

β: ángulo de depresión

Observador

Plano de referencia

• Representamos la situación:

45°

37°

h

8 m

A

B

CD

E

• Del gráfico, deducimos la siguiente información:

En el rectángulo EBCD, los lados EB = DC = 8 metros.En el triángulo rectángulo AEB, los lados EB = AE =8 metros, por ser triángulo notable de 45°.

Resolución

En el triángulo rectángulo EBD (notable de 37°y 53°) el segmento EB = 4k = 8 m; el segmento

ED = 3k. Completamos los datos y la informaciónobtenida en el gráfico, como se muestra acontinuación:

45°

37°

h

8 m

A

B

CD

E 8 m

8 m

45°

53°3k

4k

Calculamos el valor de k, en el segmento EB:

4k = 8 mk = 2 m

Calculamos h, la altura del árbol:

h = 8 m + 3k

h = 8 m + 3(2 m)

h = 14 m

Respuesta: Sí, es posible calcular la altura del árbol. Su medida es de 14 m.

De acuerdo con las estadísticas, los atropellos son losaccidentes de tránsito más frecuentes. A pesar de laresponsabilidad del conductor, entre las causas figurael cruce indebido por parte del peatón.Una solución parcial planteada para mejorar laseguridad de las personas es la colocación de puentespeatonales, especialmente en las vías de tránsitorápido. Por ello, se construyó un puente de 7 m dealtura; para subir se han acondicionado rampas cuya

inclinación es α, y se sabe que sen α = 0,28.

Situación 2 – página 112

1. ¿Cuáles son los ángulos de inclinación de las rampas mostradas en la imagen?

a) 60° b) 16° c) 30° d) 74°

2. ¿Cuál es la longitud total de las rampas dadas?

a) 156 m b) 25 m c) 24,5 m d) 49 m

Con la información dada, responde las preguntas 1 y 2.

α

α

7 m

₋ Ángulo de inclinación: α₋ Altura del puente: 7 metros₋ Sen α: 0,28

• Representamos los datos y condiciones de la situación:

• Calculamos el ángulo de inclinación de las rampas:

α

α

7 m

1

27k 7k

7k25k

25k

En los triángulos rectángulo (1) y (2), utilizamos

el valor de sen α = 0,28 para determinar la longitud de sus lados.

sen α =cateto opuestohipotenusa

Recuerda:

α = 16°

• Calculamos la longitud total de las rampas:

longitud total = 25k + 25k

Calculamos la longitud total:

longitud total = 25 m

Calculamos el valor de k:

7k + 7k = 7 m

k = 0,5 m

Recordamos que: sen 16° = 0,28Comparamos: sen α = sen 16°

cateto opuestohipotenusa =senα = 0,28 =7k25𝑘

Resolución

Respuesta: El ángulo de elevación de las rampas es de 16°. La longitud total, 25 metros.

Un faro es una torre de señalización luminosa situadacerca de la costa. Se ubica en lugares de paso de lasrutas de navegación de los barcos. En su partesuperior, dispone de una lámpara potente, cuya luz seutiliza como guía.Juan es el encargado del faro Salaverry, en Barranca, elcual tiene una altura de 70 m. Desde el balcón observados barcos situados al este del faro con ángulos dedepresión de 60° y 45°. Según la información dada,¿cuál es la distancia aproximada que separa a un barcodel otro?

a) 70 m b) 29, 59 m c) 59,29 m d) 140 m

Situación 3 – página 114

A B

60°

45°

x

70 m

• Representamos los datos y condiciones de la situación:

A B

60°

45°

x

k 𝟑 = 70 m 70 m

70 m

70 m

k

2

60°

1

45°

Trazo auxiliar

30°

Triángulos notables

En el gráfico inicial trazamos un segmento auxiliar. Aplicamos en los triángulos (1) y (2) las relaciones de los triángulos notables de 45° y 30°, y 60°, respectivamente.

Resolución

Recuerda:

En el triángulo rectángulo (2),

calculamos el valor de k:

Del gráfico: k + x = 70 m

Calculamos la distancia de separación x entre los dosbarcos:

k 𝟑 = 70 m

k

2

60°

30°

70𝟑3 m + x = 70 m

40,4145 m + x = 70 m x = 29,585≈ 29,59 m

A B

60°

45°

x

k 𝟑 = 70 m 70 m

70 m

70 mk

2

60°

1

45°

Trazo auxiliar

30°

k 𝟑 = 70 m

k = 70𝟑3 m = 40,4145 m

Del gráfico:

Respuesta: La distancia de separación entre los dos barcoses aproximadamente 29, 59 metros.

Situación 4 – página 115

Se observa que dos postes de luz de 360 cm de altura, ubicados a una distancia de 600 cm, iluminan una calle, como lo muestra la figura. Determina la longitud del segmento que queda iluminado por los dos postes.

a) 1,2 m b) 2,4 m c) 3,6 m d) 4,8 m

• Representamos los datos y relaciones de la situación:

37° 37°

600 cmx

360 cm

En los triángulos (A) y (B) aplico las relaciones del triángulo rectángulo notable de 53° y 37°:

37° 37°

600 cm

x

360 cm = 3k

53°53°

360 cm

4k = 480 cmzy

480 cm

En el gráfico observo:

y = 480 cm – x; z = 480 cm – x

Además: y + x + z = 600 cmReemplazo: (480 cm – x) + x + (480 cm – x) = 600 cm⟶ x = 360 cm = 3,6 m

AB

360 cm = 3k k = 120 cm

AB

Resolución

Respuesta: La longitud del segmento iluminado por los dos postes es de 3,6 metros.

Recuerda:

Una asociación que vela por el cuidado ambiental de nuestro litoral contrata una avionetaque sobrevuela las playas más concurridas de Lima para desplegar avisos de difusión.

Dos salvavidas, Carla y Miguel, están ubicados en una misma línea recta en la mismadirección, separados por 153 m de distancia. En un determinado momento, entre ellos venla avioneta, que sobrevuela a una altura constante, con ángulos de elevación de 82° y 53°,respectivamente.

¿A qué altura, aproximadamente, vuela la avioneta?

Situación 5 – página 116

• Representamos la situación:

• Calculamos la altura x:

Relaciono la medida de los lados y de los ángulos del triángulo

notable de 53° con el triángulo rectángulo CHA. Determino la

longitud del lado CH:

Luego, relaciono el triángulo notable de 82° con el triángulo

rectángulo MHA. Determino la longitud del lado MH (MH es la

séptima parte de AH).

|

C M

53° 82°

153 m

x

A

H3k

53°

4k|

C M

53° 82°

153 m

x = 4k

A

3k

H

Q

82°

7Q

𝟒𝟕 kM

82°

x = 4k

A

H

Resolución

Recuerda:

En el gráfico:

153 m +47 k = 3k

1071 m + 4k = 21k

63 m = k

Reemplazo el valor de K, para obtener el valor de x:

x = 4k

x = 4 (63 m)

x = 252 m

|

C M

53° 82°

153 m

x = 4k

A

𝟒𝟕 k3k

H

153 m + 47 k = 3k

El lado CH equivale a: CM + MH = CH

Hallo el valor de k:

Respuesta: La avioneta se encuentra volando a252 metros de altura .

Gracias