Séminaire - lirmm.frchemori/Temp/Cours/Fondements... · La synthèse d’un asservissement doit toujours répondre à certaines exigences. Ces dernières sont appelées cahier des

Ahmed CHEMORI Laboratoire d’Informatique, de Robotique et de Microélectronique de Montpellier

LIRMM, Université Montpellier 2 - CNRS 161, rue Ada 34095 Montpellier, France

Email : [email protected] URL : http://www.lirmm.fr/~chemori/

Nîmes , le 27 Novembre 2014

Séminaire

A. CHEMORI (LIRMM - CNRS/UM2, France) Le 27 Novembre 2014 2

Plan de la présentation

1. Introduction à l’asservissement

2. La commande d’un robot (principe/dynamique/classification)

3. Les approches non basées modèle (Décentralisées)

La commande PD linéaire

La commande PID linéaire

La commande PD non linéaire

4. Les approches basées modèle (Centralisées)

La commande PD avec compensation de gravité

La commande PD augmenté (PD+)

La commande PD augmenté non linéaire

La commande PD avec feedforward pré-calculé

La commande par couple calculé (dynamique)

La commande dynamique à correction non linéaire

5. Exemple d’une commande avancée : Mode glissant

6. Références bibliographiques


Introduction C.N.B.M C.B.M Mode glissant Références Commande


Identification Modélisation

Choix de la commande

Synthèse du correcteur

Essais expérimentaux

Modélisation du processus Lois de la physique et/ou essais en BO/BF

Continue ? Echantillonnée ? Quelle stratégie de calcul ?

Choix des paramètres du régulateur REGLAGE

Validation par simulation et essais en temps-réels

Synthèse d’un asservissement



Stabilité (il faut que le système en boucle fermée soit stable)

Précision (par exemple une valeur max sur l’erreur de position p<Seuil )

Rapidité (valeur max sur le temps de monté tm<Seuil )

Robustesse (marges de stabilité, par exemple Mp>Seuil )

Dépassement (valeur max sur le 1ier dépassement d%<Seuil )

Rejet de perturbations (annuler l’effet de la perturbation sur la sorite)

La synthèse d’un asservissement doit toujours répondre à certaines exigences. Ces

dernières sont appelées cahier des charges.

Un cahiers des charges d’une boucle de régulation, impose en boucle fermée :



Les systèmes peuvent présenter des défauts

Exemples : Une précision insuffisante, une stabilité faible (voir une instabilité),

un temps de réaction trop lent, un dépassement trop important, etc

Il est souvent nécessaire d’intégrer dans le système asservis un correcteur

L’objectif est alors d’améliorer un ou plusieurs de ces différents paramètres

Sans bien évidement le faire au détriment des autres.

On considère un système asservi défini par le schéma bloc suivant :

L’idée de base consiste à introduire dans la chaîne directe, en amont du système un

dispositif supplémentaire de fonction de transfert C(p)

Ce dispositif est appelé correcteur, contrôleur , compensateur ou encore régulateur.

Le rôle du correcteur consiste à modifier les performances du système initial (précision,

stabilité, rapidité, . . . etc).



Système Contrôleur Consigne

ou référence

Sortie +

-

La commande L’erreur

Le contrôleur est le cœur de la boucle de commande

En se basant sur l’erreur entre la consigne et la sortie, le régulateur calcule la

commande pour que la sortie suive la consigne

Le rôle du correcteur consiste à modifier les performances du système initial (précision,

stabilité, rapidité) pour les améliorer.

Ce qui donnera le système asservi représenté par le schéma bloc suivant :



La fonction de transfert en boucle fermée du système corrigé est donnée par :

L’objectif de la correction (le contrôle ou la commande) consiste à choisir la bonne

fonction de transfert C(p) du correcteur de manière à régler chaque performance sur

sa valeur requise, sans perturber le fonctionnement du système.

Les correcteurs sont généralement constitués de dispositifs électroniques qui peuvent

souvent être simples.

Néanmoins, quand le cahier des charges est très exigeant, il faut parfois faire appel à

des correcteurs plus sophistiqués donc plus coûteux et même parfois délicats à régler.



En automatique, il existe trois actions correctives élémentaires qui permettent,

individuellement, de corriger telle ou telle performance.

Ces trois actions sont :

L’action Proportionnelle (P)

L’action Intégrale (I)

L’action Dérivée (D)

Les actions de correction élémentaires

Ces actions sont relativement simple à réaliser mais, généralement, elles dégradent

d’autres performances.

Quand le cahier des charges est peu exigeant, ces actions suffisent largement à satisfaire

ce dernier.

Dans le cas contraire, il faut envisager de combiner ces différentes actions au sein d’un

correcteur plus complexe.



Ce correcteur élémentaire est le correcteur de base.

Il s’agit d’un simple amplificateur de gain réglable C(p) = K qui a pour objectif de

modifier le gain statique initial du système.

Le correcteur proportionnel

A remarquer, au passage, que l’influence du gain statique sur les performances du

système peut être résumé en deux cas de figure selon sa valeur :

K0 < 1 : il s’agit d’un atténuateur, et dans ce cas on améliore la stabilité du système et on

diminue son dépassement en boucle fermée. Cependant, la rapidité et la précision sont

dégradées.

K0 > 1 : il s’agit d’un amplificateur, et dans ce cas on améliore la rapidité et la précision

en boucle fermée, mais on diminue la stabilité (ce qui peut aller jusqu’à rendre le système

instable) et on augmente son dépassement.

Dans le cas d’un correcteur proportionnel, la loi de commande corrigée u(t) est

proportionnelle à l’erreur (t) (l’écart entre la référence et la sortie), a savoir u(t) = K(t),

et la fonction de transfert du correcteur s’écrit :



Un correcteur intégral est un correcteur dont la loi de commande u(t) est de la forme :

Sa fonction de transfert s’écrit donc :

Ce correcteur a pour objectif d’ajouter un pôle nul à la fonction de transfert en boucle

ouverte.

A remarquer qu’un système dont la fonction de transfert en boucle ouverte possède un

pôle nul sera caractérisée par une erreur de position nulle.

On peut dire, bien que cela n’ait aucun sens d’un point de vue physique, que le gain

statique du système en boucle ouverte tend vers l’infinie, ce qui corrobore la nullité de

l’erreur statique en boucle fermée, qui est inversement proportionnelle au gain statique

en boucle ouverte.

Le correcteur intégral



Le correcteur à action intégrale est censé améliorer la précision du système asservi.

Mais la question qui se pose étant la suivante : Ce correcteur modifie-t-il les autres

performances ?

Les modifications apportées à la fonction de transfert influencent sans doute les autres

performances du système.

En effet, ce correcteur introduit un déphasage de (-/2) et risque de rendre le système

instable (diminution de la marge de phase).

Par ailleurs il dégrade aussi les autres performances :

Augmenter le temps de montée ralentir le système en BF.

En ce qui concerne la réalisation électronique de ce type de correcteur, un réseau passif

(circuit RC) ne permet pas de le réaliser, cependant une bonne approximation peut être

réalisée avec un montage intégrateur à base d’amplificateurs opérationnels.

Le correcteur intégral



Un correcteur a action dérivée est un correcteur dont la commande u(t) est de la forme :

L’objectif de ce correcteur est d’ajouter un zéro nul à la fonction de transfert en boucle

ouverte.

L’effet de l’introduction de ce correcteur dans la boucle de commande diminue le temps

de montée donc il a tendance à accélérer le système en boucle fermée.

Par ailleurs il agit aussi sur les autres performances du système.

A titre d’exemple introduit un déphasage de (+/2).

En effet, la remontée de phase de (/2) peut avoir deux effets différents.

Sa fonction de transfert s’écrit donc :

Le correcteur à action dérivée



En effet, la remontée de phase de (/2) peut avoir deux effets différents :

Si le système possède un ordre élevé, le déphasage peut tendre vers des valeurs

négatives importantes, donc la remontée de la phase peut être sans effet sur

l’amélioration de la marge de phase, voir la dégrader et même parfois rendre le

système instable.

Si l’ordre du système est faible, la remontée de phase peut se traduire par une

nouvelle courbe qui tend vers une valeur située largement au dessus de (-).

D’autre par la précision du système, liée au gain statique, va être dégradée puisque le

gain aux basses fréquences diminue fortement.

Ce type de correcteur est purement théorique, un système physique ne peut pas avoir un

numérateur de degré supérieur au dénominateur.

Néanmoins, ils existent des correcteurs approchant, permettant d’avoir un effet dérivée.

Le correcteur à action dérivée



L’inconvénient majeur des actions correctives élémentaires est que leur action porte sur

l’ensemble du spectre de fréquences de 0 à l’infinie.

En effet toute action corrective élémentaire menée à un endroit précis pour corriger une

performance agit également à d’autres endroits en en dégradant d’autres performances.

Les correcteurs idéaux, s’ils existent, devront être caractérisés par une action localisée

en vue de corriger une des performances, sans influencer les autres.

A titre d’exemple :

Pour une meilleure précision, il faudrait pouvoir augmenter le gain statique mais

uniquement au voisinage des basses fréquences.

Pour une meilleur rapidité, il nous faudrait choisir une pulsation de coupure à

0dB un peu plus grande et pour améliorer la marge de phase, l’idéal serait de

pouvoir corriger la courbe de phase uniquement au voisinage de la fréquence

pour laquelle le gains en dB s’annule.

Pour atteindre de tels objectifs, une idée consiste à, par exemple, combiner les

correcteurs élémentaires, c’est ainsi qu’on obtient des correcteurs plus performants de

type PI, PD, ou PID.

Les inconvénients des correcteurs élémentaires



Le correcteur PID (Proportionnel-Intégral-Dérivé) est une combinaison d'un régulateur P,

un régulateur I et un régulateur D

L'intérêt du correcteur PID est d'intégrer les effets positifs des trois correcteurs

élémentaires (C’est le correcteur le plus utilisé en industrie)

La loi de commande u(t) s'exprime en fonction de l‘erreur comme suite :

Action Proportionnelle

Action Intégrale

Action Dérivée

Le correcteur PID

Où sont les gains du régulateur qu’il faut identifier afin de satisfaire un certain

cahier des charges relatif aux performances souhaitées en boucles fermée

Il existe de nombreuses méthodes pour trouver ces paramètres. Cette recherche de

paramètres est souvent appelée réglage



Le réglage d'un PID consiste à trouver les coefficients Kp , Ti et Td dans le but d'obtenir

une réponse adéquate du procédé et de la régulation.

L'objectif est d'être stable, rapide, précis et de limiter les dépassements.

Pour voir l'influence des paramètres du PID sur le système, on considère la réponse type

d’un système stable :

Le correcteur PID



Effet de

Lorsque augmente, le temps de montée devient plus court mais il y a un dépassement

plus important. Le temps d'établissement varie peu et l'erreur statique se trouve

améliorée.

Effet de

Lorsque augmente, le temps de montée devient plus court mais il y a un dépassement

plus important. Le temps d'établissement au régime stationnaire (temps de réponse)

s'allonge mais dans ce cas on assure une erreur statique nulle.

Effet de

Lorsque augmente, le temps de montée change peu mais le dépassement diminue. Le

temps d'établissement au régime stationnaire est meilleur. Pas d'influences sur l'erreur

statique.

Les paramètres du PID influencent la réponse du système de la manière suivante :

Le correcteur PID



L'analyse du système avec un PID est très simple mais sa conception peut être délicate

voir difficile car il n'existe pas de manière unique pour résoudre ce problème

Il faut trouver des compromis le régulateur idéal n'existe pas

En général on se fixe un cahier des charges à respecter sur la stabilité, la précision, le

dépassement et le temps de réponse, etc

Les méthodes de réglage les plus utilisées sont :

- La méthode de Ziegler-Nichols,

- La méthode de Halman

- La méthode de Naslin

- La méthode du lieu de Nyquist inverse

- La méthode de Cohen-Coon

- … etc

Réglage d’un PID



La méthode de Ziegler-Nichols consiste à :

1. Boucler le système avec un correcteur proportionnel pur

2. Augmenter progressivement le gain du correcteur proportionnel jusqu'à l'apparition

d’oscillations non amorties

3. Relever le gain limite Klim qui a provoqué les oscillations et mesurer leur période Tosc

4. Identifier les paramètres des correcteurs P, PI ou PID à l’aide du tableau ci-dessous :

Réglage d’un PID



Robot STÄUBLI



La commande de robots manipulateurs constitue un des axes prépondérants de

la recherche en robotique

Introduction

Selon la tâche à réaliser, le robot peut être

en espace libre ou en espace contraint

Les trajectoires à suivre peuvent être :

point à point ou interpolées



Introduction

Etant donné la complexité du problème à résoudre, différentes solutions ont été

proposées

Une des premières solutions proposées consiste à utiliser les techniques de l’automatique

linéaire

Sans prise en compte de la dynamique du robot : Approches non basées modèle

Le robot manipulateur est considéré comme un système linéaire et chacune de ses

liaisons est asservie de manière classique indépendamment des autres

Robot Actionneur Contrôleur

Codeur

Amplificateur qdi

qi

+

-



La boucle de commande d’un robot

Actuators Input signal conditioning

and interfacing

output signal conditioning

and interfacing

Digital control architectures

Graphical displays Sensors

Mechanical system

ADC, Filters, Discrete

circuits, Amplifiers, …

DAC, PWM,

Amplifiers, …

LCD, LED, CRT, Digital

displays, …

Logic circuits, Microcontrollers, Computer, Control algorithm, …

Digital encoders, Position

sensors, MEMs, …

DC motors, Servo motors,

Electro valves, …



Les avantages des commandes non basées modèle réside dans leur simplicité

et leur faible coût d’implémentation

Les inconvénients d’une commande classique non basée modèle sont :

Ces méthodes sont fondées sur un modèle linéaire, or de part sa

dynamique, un robot est loin d’être un système linéaire !

La dynamique du robot varie avec sa configuration, et cette commande ne

sera pas en mesure de maintenir les performances du système

Il ne sera pas possible d’assurer la coordination des différents mouvement

de par l’indépendance des asservissements

La dynamique d’un robot est représenté par un ensemble d’équations

différentielles du 2nd ordre avec des termes non linéaires fortement couplés

Dans ces conditions on constate qu’un asservissement classique ne permet pas

d’obtenir et maintenir de bonnes performances du système

Une autre solution possible consiste à prendre en compte le modèle dynamique

du robot manipulateur Approches basées modèle



M(q)Äq+N(q; _q) _q+G(q) = ¿

La modélisation dynamique d’un robot est l’opération

permettant de construire un modèle de son évolution dans le

temps au travers une relation entre les forces/couples appliquées

et le mouvement résultant du robot.

Rappel de la dynamique d’un robot manipulateur

Il existe principalement deux formalismes de modélisation dynamique :

Lagrange et Newton-Euler

En espace libre (pas de contact entre l’effecteur du robot et l’environnement),

la dynamique d’un robot à n degrés de liberté s’écrit (frottements négligés) :

M(q) 2 Rn£n est la matrice d'inertie,

N(q; _q) 2 Rn£n est la matrice ce Coriolis,

G(q) 2 Rn est le vecteur de gravit¶e,

¿ 2 Rn est le vecteur de commande,

q 2 Rn est le vecteur des positions articulaires,

_q 2 Rn est le vecteur des vitesses articulaires,

Äq 2 Rn est le vecteur d'acc¶el¶erations articulaires.



Principales approches de commande de robots

Approches basées modèle

PID [ Cheng et al , 2003 ]

NPD [ Han et al , 1994 ]

Backstepping [ Wang et al 2009 ]

CT [ Luh et al , 1980 ]

APD (PD+) [Paden et al, 1988]

NAPD [ Shang et al , 2009 ]

NCT [ Shang et al , 2009 ]

DCAL [ Honegger et al , 2000 ]

Compensation intégrale adaptative [ Shang et al , 2009 ]

PD [Spong, 1989] PD-CG [Takegaki, 1981]

PD-FF [Craig, 1989]

Approches non basées modèle

Non adaptatives Adaptatives

NASF [Slotine et al, 1987]



CINCINNATI MILACRON T3

Introduction C.B.M Mode glissant Références Commande C.N.B.M


Commande PD en espace articulaire

+

- Robot

q

_q

Kp

Kd

_qd

qd +

-

~q

_~q ¿+

+

~q = (qd ¡ q) ; _~q = ( _qd ¡ _q)¿ =Kp(qd¡ q) +Kd( _qd¡ _q)

¿ =Kp~q+Kd_~q Kp ; Kd > 0



Commande PD en espace Cartésien

+

- Robot

q

_q

Kp

Kd

_Xd

Xd +

-

~X

_~X ¿+

+

J(q)T

J(q)

MGD

_X

X

F

~X = (Xd ¡X) ;_~X = ( _Xd ¡ _X)¿ =Kp(Xd ¡X) +Kd( _Xd ¡ _X)

¿ =Kp~X +Kd

_~X Kp ; Kd > 0



Commande PID en espace articulaire

~q = (qd ¡ q) ; _~q = ( _qd ¡ _q)

¿ =Kp(qd¡ q) +Kd( _qd¡ _q) +Ki

R( _qd ¡ _q)dt

¿ =Kp~q+Kd_~q+Ki

R~q(t)dt Kp ; Kd ; Ki > 0

+

-

Robot q

_q

Kp

Kd

_qd

qd +

-

~q

_~q

¿+

+

Ki

R~q



Commande PID en espace Cartésien

+

- Robot

q

_q

Kp

Kd

_Xd

Xd +

-

~X

_~X ¿+

+

J(q)T

J(q)

MGD

_X

X

F

~X = (Xd¡X) ;_~X = ( _Xd ¡ _X)

¿ =Kp(Xd ¡X) +Kd( _Xd ¡ _X) +Ki

R(Xd ¡X)dt

¿ =Kp~X +Kd

_~X +Ki

R~Xdt Kp ; Kd ; Ki > 0

Ki

R



Avantages et inconvénients

Avantages Inconvénients

Simplicité

Efficace en temps de calcul

Pas besoin du modèle du robot

Adéquates pour la plupart des tâches

Dynamique et couplage non pris en compte Efforts internes endommager le robot (chaines fermées) Forte consommation énergétique Mauvaise performances en hautes cadences



Commande non basées modèles non linéaires

Même structure que le contrôleur PD classique

Utilisation des gains variables

Dépendant de l’état du système, et d’autres paramètres

Les gais sont adaptés en fonction des performances du système en BF

Si l’erreur est importante gain est augmenté grande action de correction

Si l’erreur est faible gain est réduit action de correction réduite

Eviter les oscillations et les grands dépassements

Bonne performance en termes de rejet de perturbation

Robuste par rapport aux variations des paramètres



Commande PD non linéaire

Exemple :

Kp(~q) =

(Kpj~qj®1¡1 ; j~qj > ±1

Kp±®1¡11 ; j~qj · ±1

Kd( _~q) =

(Kdj _~qj®2¡1 ; j _~qj > ±2

Kd±®2¡12 ; j _~qj · ±2

+

- Robot

q

_q

Kd( _~q)

Kp(~q)

_qd

qd +

-

~q

_~q ¿+

+



Commande PD non linéaire

Exemple :

Kp(~q) =

(Kpj~qj®1¡1 ; j~qj > ±1

Kp±®1¡11 ; j~qj · ±1

Kd( _~q) =

(Kdj _~qj®2¡1 ; j _~qj > ±2

Kd±®2¡12 ; j _~qj · ±2



PD versus PD non linéaire

Exemple illustratif :

On considère la commande d’un système masse-ressort-amortisseur

PD linéaire :

PD non linéaire :



PD versus PD non linéaire

Exemple illustratif : Résultats de simulation

Evolution de la position Evolution de la commande



KUKA robot

Introduction Mode glissant Références Commande C.N.B.M C.B.M


Commande PD avec compensation de gravité

Basée sur la dynamique du robot :

Loi de commande :

Les deux premiers termes représentent les actions Proportionnelle et Dérivée

Les autres termes dépendent de la dynamique du robot

M(q)Äq+C(q; _q) _q+G(q) = ¿

¿ =Kp ~q+Kd_~q+G(q)

+

- Robot

q

_q

Kp

Kd

_qd

qd +

-

~q

_~q ¿+

+

G(q)

+



Commande PD avec compensation de gravité désirée


Loi de commande :

Les deux premiers termes représentent les actions Proportionnelle et Dérivée

Les autres termes dépendent de la dynamique du robot et de la position désirée

M(q)Äq+C(q; _q) _q+G(q) = ¿

¿ =Kp ~q+Kd_~q+G(qd)

+

- Robot

q

_q

Kp

Kd

_qd

qd +

-

~q

_~q ¿+

+

G(qd)

+



Commande PD augmenté (PD+)


Loi de commande :

Les deux derniers termes représentent les actions Proportionnelle et Dérivée

Les autres termes dépendent de la dynamique du robot et des trajectoires désirées

M(q)Äq+C(q; _q) _q+G(q) = ¿

¿ =M(q)Äqd +C(q; _q) _qd +G(q) +Kp ~q+Kd_~q

+

- Robot

q

_q

M(q)

Kp

Kd

Äqd

_qd

qd + C(q; _q) _qd +G(q)

-

~q

_~q ¿+

+ + +

+



Commande PD augmenté non linéaire

Même structure que le contrôleur PD augmenté

Utilisation des gains variables



Loi de commande : ¿ =M(q)Äqd +C(q; _q) _qd + f(q; _q) +G(q) +Kp(¢) ~q+Kd(¢) _~q

Kp(~q) =

(Kpj~qj®1¡1 ; j~qj > ±1

Kp±®1¡11 ; j~qj · ±1

Kd( _~q) =

(Kdj _~qj®2¡1 ; j _~qj > ±2

Kd±®2¡12 ; j _~qj · ±2

+

- Robot

q

_q

M(q)Äqd

_qd

C(q; _q) _qd + f(q; _q) +G(q)

qd +

Kd( _~q)

Kp(~q)

-

~q

_~q ¿+

+ + +

+



Commande PD avec feedforward pré-calculé


Loi de commande :

Les deux derniers termes représentent les actions Proportionnelle et Dérivée

Les termes dépendant de la dynamique en fonction des positions et vitesses désirées

M(q)Äq+C(q; _q) _q+ f(q; _q) +G(q) = ¿

¿ =M(qd)Äqd +C(qd; _qd) _qd + f(qd; _qd) +G(qd) +Kp ~q+Kd_~q

Avantage : Connaissant les trajectoires de référence

Les termes de feedforward peuvent être calculés hors ligne

Réduire considérablement le temps de calcul

Réduire l’effet de bruit de mesure



Commande PD avec feedforward pré-calculé

Contrôleur décentralisé

Robot

Valeur désirée Erreur

Valeur actuelle

Commande

Modèle dynamique

inverse

Compensation dynamique

Trajectoires désirées/actuelles

Avantages Inconvénients

Meilleur suivi des trajectoires de référence Faible consommation énergétique Gains de retour moins importants Prise en compte de la redondance et des non linéarités grâce au retour non linéaire

Nécessité d’un modèle dynamique précis (parfois indisponible) Architecture de commande plus complexe → besoin d’un calculateur performant Le bruit de mesure détériore encore plus la performance


A. CHEMORI (LIRMM - CNRS/UM2, France) Le 27 Novembre 2014

X

46

La commande dynamique est appelée ainsi car elle utilise le modèle

dynamique du robot

Elle est adapté à la commande des robots manipulateurs (même ceux à grandes

vitesse et à grande précision) du moment où le modèle dynamique est le plus

complet possible et que ses paramètres ont été bien identifiés

L’inconvénient majeur de cette commande est sa forte dépendance du modèle

dynamique pour être efficace, un calcul complet du modèle dynamique et

surtout une bonne identification de ses paramètres est nécessaire

Une commande dynamique peut être synthétisée :

1) Dans l’espace articulaire, ou

2) Dans l’espace cartésien

Avant de détailler ces approches, on rappelle le modèle dynamique d’un

robot manipulateur en espace libre

q = [q1 q2 q3]T

X = [x y z]T [Kelly 2005]

La commande dynamique



On rappelle la dynamique d’un robot (exprimée dans l’espace articulaire)

M(q)Äq+N(q; _q) _q+G(q) = ¿

La commande dynamique consiste à linéariser (linéarisation globale) avec un

retour d’état non linéaire

On considère l’objectif de synthèse d’une commande dynamique pour la

poursuite de trajectoires de référence dans l’espace articulaire :

Sur la position :

Sur la vitesse :

Sur l’accélération :

Soit la commande linéarisante suivante :

Remplacé dans la dynamique du robot donne le système linéarisé :

qd

_qd

Äqd

¿ =M(q)y+N(q; _q) _q+G(q)

Äq = y

Principe de base

La commande dynamique dans espace articulaire



On considère maintenant le choix suivant de :

où sont des matrices de gains de position et de vitesse (respectivement)

La dynamique résultante en boucle fermée s’écrit donc :

Si on considère la notation suivante des erreurs de poursuite (sur la position, sur

la vitesse, et sur l’accélération) :

La dynamique résultante en boucle fermée s’écrit en fonction de ces erreurs :

Cette dynamique représente un système autonome linéaire.

Pour montrer cela, on considère le vecteur d’état :

y = Äqd +Kd( _qd¡ _q) +Kp(qd¡ q)

Kp;Kd 2 Rn£n

y

Äq = y = Äqd +Kd( _qd¡ _q) +Kp(qd¡ q)

~q = (qd ¡ q) ; _~q = ( _qd ¡ _q) ; Ä~q = (Äqd ¡ Äq)

Ä~q+Kd_~q+Kp~q = 0

x =

µ~q_~q

¶

) _x =

µ_~qÄ~q

¶=

µ0 I

¡Kp ¡Kd

¶µ~q_~q

¶= Ax avec A =

µ0 I

¡Kp ¡Kd

¶



Si les matrices de gains de retour (de position et de vitesse ) sont définies

positives La matrice A est Hurwitz (à valeurs propres à partie réelle

négative) , donc le système est asymptotiquement stable, c.à.d. :

Exemple de choix des gains :

Kp Kd

8x0 ; limt!1

x(t) = 0

(q ! qd

_q ! _qd

_x=Ax(limt!1 ~q = 0

limt!1 _~q = 0

La condition de positivité des gain de retour garantit une convergence globale

asymptotique vers les trajectoires de référence.

C’est le choix des valeurs des matrices de gain de retour qui définira l’allure de

convergence vers les trajectoires de référence.

Kp =Diagf!2n1; : : : ; !2nng ; Kd =Diagf2»1!n1; : : : ;2»n!nng

Preuve de convergence



Commande dynamique en espace articulaire

+

- Robot

N(q; _q) _q+G(q)

+

+ q

_q

M(q)

Kp

Kd

Äqd

_qd

qd

y

+

-

~q

_~q

Compensation des non linéarités et découplage Partie linéaire de la commande

¿+

+ +

Schéma-bloc de la commande



On rappelle la dynamique d’un robot (exprimée dans l’espace articulaire)

M(q)Äq+N(q; _q) _q+G(q) = ¿

On considère l’objectif de synthèse d’une commande dynamique pour la

poursuite de trajectoires de référence dans l’espace cartésien

Sur la position :

Sur la vitesse :

Sur l’accélération :

Soit la commande linéarisante suivante :

Remplacé dans la dynamique du robot donne le système linéarisé :

xd

_xd

Äxd

¿ =M(q)y+N(q; _q) _q+G(q)

Principe de base

Äq = y

La commande dynamique dans espace Cartésien



x = f(q)

Soit les relations permettant le passage de l’espace articulaire à l’espace

cartésien, et en particulier :

_x = J(q) _q Äx = J(q)Äq+ _J(q; _q) _q

La dynamique résultante en boucle fermée s’écrit donc :

Les relations et donnent la dynamique résultante en boucle fermée en

fonction des erreurs de poursuite :

avec :

Qui représente une dynamique linéaire (idem au cas de l’espace articulaire).

y

y = J¡1(q)¡Äxd +Kd( _xd¡ _x) +Kp(xd¡ x)¡ _J(q; _q) _q

¢

Kp;Kd

Ä~x+Kd_~x+Kp~x = 0

Äq = y = J¡1(q)¡Äxd +Kd( _xd ¡ _x) +Kp(xd ¡ x)¡ _J(q; _q) _q

¢

Äq = J¡1(q)(Äx¡ _J(q; _q) _q) (¤)

(¤¤)

(¤) (¤¤)

~x= (xd ¡x) ; _~x= ( _xd ¡ _x) ; Ä~x= (Äxd¡ Äx)

On considère maintenant le choix suivant de :

où sont des matrices de gains de position et de vitesse (respectivement)



Si les matrices de gains de retour (de position et de vitesse ) sont définies

positives La matrice A est Hurwitz (à valeurs propres à partie réelle

négative) , donc le système est asymptotiquement stable, c.à.d. :

Kp Kd

8X0 ; limt!1

X(t) = 0

(x! xd

_x! _xd

_X = AX

(limt!1 ~x = 0

limt!1 _~x = 0

La condition de positivité des gain de retour garantit une convergence globale

asymptotique vers les trajectoires de référence.

C’est le choix des valeurs des matrices de gain de retour qui définira l’allure de

convergence vers les trajectoires de référence.

) _X =

µ_~xÄ~x

¶=

µ0 I

¡Kp ¡Kd

¶µ~x_~x

¶= AX avec A =

µ0 I

¡Kp ¡Kd

¶X =

µ~x_~x

¶Preuve de convergence



Commande dynamique en espace cartésien

+

- Robot

N(q; _q) _q+G(q)

+

+ q

_q

M(q)

Kp

Kd

Äxd

_xd

xd

y

+

-

~x

_~x ¿J¡1(q)

_J(q; _q)

+

+ + -

f(¢)x

J(q)_x

Schéma-bloc de la commande



JÄq+mgl sin(q) = ¿

On considère l’exemple d’un robot manipulateur à 1 ddl

Son modèle dynamique s’écrit :

[Kelly 2005] Application d’une commande dynamique en espace articulaire

Objectif : suivi des trajectoires de référence suivantes

Position désirée

Vitesse désirée

Accélération désirée

0 0.5 1 1.5 2 2.5-10

0

10q

d [

De

g]

0 0.5 1 1.5 2 2.5-100

0

100

dq

d [

De

g/s

ec]

0 0.5 1 1.5 2 2.5-500

0

500

Time [sec]

ddq

d [

De

g/s

ec2

]

Exemple d’application



¿ = J³Äqd +Kp(qd ¡ q) +Kd( _qd ¡ _q)

´+mgl sin(q)

La lois de commande s’écrit :

On considère les gains suivants :

[Kelly 2005]

Position articulaire

Vitesse articulaire

Signal de commande

Kp= 10 ; Kd = 10

Résultats d’application de la commande

Accélération articulaire

Condition initiale : ¡q(0) ; _q(0)

¢= (20± ; 0±=s)

La convergence est lente !

0 0.5 1 1.5 2 2.5-20

0

20

q [

De

g]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-100

0

100

dq [

Deg

/sec]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-500

0

500

Time [sec]

ddq

[D

eg

/se

c2]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.50

5

10

Time [sec]

Tau

[N

.m]




On considère maintenant les gains suivants :

[Kelly 2005]


Vitesse articulaire

Signal de commande

Kp= 500 ; Kd = 40



0 0.5 1 1.5 2 2.5-20

020

q [

De

g]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-100

0100

dq [

Deg

/sec]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-101

x 104

Time [sec]ddq

[D

eg

/se

c2]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-100

0100

Time [sec]

Tau

[N

.m]

La même condition initiale que précédemment

La convergence est beaucoup plus rapide (meilleure)




On souhaite maintenant une convergence assimilée à

celle d’un système d’ordre 2 dont les paramètres sont :

[Kelly 2005]


Vitesse articulaire

Signal de commande

Kp= !2n = 2500 ; Kd = 2»!n = 80



La même condition initiale que précédemment

Convergence encore meilleure MAIS commande plus importante! (compromis)

!n = 50 ; » = 0:8

0 0.5 1 1.5 2 2.5-20

020

q [

De

g]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-500

0500

dq [

Deg

/sec]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-505

x 104

Time [sec]ddq

[D

eg

/se

c2]

Désirée

Réelle

0 0.5 1 1.5 2 2.5-500

0500

Time [sec]

Tau

[N

.m]




Commande Dynamique à correction non linéaire

Même structure que la commande dynamique

Utilisation des gains variables identique au cas de PD non linéaire



Loi de commande : ¿ =M(q)£Äqd +Kp(~q) ~q+Kd( _~q) _~q

¤+C(q; _q) _q+ f(q; _q) +G(q)

Kp(~q) =

(Kpj~qj®1¡1 ; j~qj > ±1

Kp±®1¡11 ; j~qj · ±1

Kd( _~q) =

(Kdj _~qj®2¡1 ; j _~qj > ±2

Kd±®2¡12 ; j _~qj · ±2



+

- Robot

N(q; _q) _q+G(q)

+

+ q

_q

M(q)

Äqd

_qd

qd

y

+

-

~q

_~q

Kp(~q)

Kd( _~q)

Compensation des non linéarités et découplage

Termes de correction non linéaire

¿+

+ +

Kp(~q) =

(Kpj~qj®1¡1 ; j~qj > ±1

Kp±®1¡11 ; j~qj · ±1

Kd( _~q) =

(Kdj _~qj®2¡1 ; j _~qj > ±2

Kd±®2¡12 ; j _~qj · ±2

Commande Dynamique à correction non linéaire



Robot FAMULUS KUKA

Introduction Références Commande C.N.B.M C.B.M Mode glissant


La commande par mode glissant est relativement simple à implémenter

(par rapport à d’autres approches de commande)

Elle fait partie des commandes dites à structure variable

Elle s’applique à la fois aux systèmes linéaires et aux systèmes non linéaires

Robuste par rapport aux perturbations externes

Robuste aussi par rapport aux incertitudes/variations des paramètres, etc

Différentes applications : Régulation, poursuite de trajectoires, poursuite de

modèle, observateurs, etc

La commande par mode glissant est une suite logique de la commande discontinue

(dans sa forme la plus facile : commande bang-bang)

Introduction

Début des années 60 besoin de robustesse en aéronautique

Découverte même avant l’utilisation du terme robustesse : Les

ingénieurs automaticiens cherchaient des lois de commande

insensibles aux variations dans la système à commander



Exemple Introductif

On considère le système mécanique suivant (masse-ressort-amortisseur) :

La dynamique de ce système s’écrit :

: La masse

: la position de la masse

: Coefficient de raideur du ressort

: Coefficient d’amortissement

: Force appliquée sur la masse

On souhaite faire converger vers avec la commande

Pour cela on considère la loi de commande suivante :



On remplace cette loi de commande dans la dynamique système, on obtient :

Si l’on considère :

La dynamique en boucle-fermée ci-dessus peut s’écrire :

Si on considère les états (position) et (vitesse)

Cette dynamique peut être mis sous forme d’équation d’état suivante :

C’est un système autonome dont le comportement dépend de la condition

initiale sur les états et des paramètres .

Exemple Introductif



Simulation du comportement en boucle-fermée du système résultant pour :

0 10 20 30 40 50 60-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

siti

on

et vite

sse

Position

Vitesse

Pour ce choix de paramètres

Exemple Introductif



Si on trace le plan de phase du système en boucle-fermée on obtient :

La commande proposée amène le système au point souhaité MAIS la

convergence est très lente !

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x1

x2

Condition initiale

Point d’équilibre

Exemple Introductif



Idée de base

L’idée de base de la commande consiste en deux étapes :

o Amener le système sur un hyperplan de commutation stable (surface de

glissement)

o Converger sur la surface de glissement vers le point d’équilibre désiré

1

2

1

2



On considère le cas générale d’un système non linéaire dont la dynamique

s’écrit :

Avec deux fonctions non linéaires, avec

L’objectif de la commande est la stabilisation du système autour du point

d’équilibre :

Dans la suite l’approche de commande sera détaillée en se basant sur ce

modèle non linéaire

Néanmoins, elle reste valide pour les systèmes linéaires dont la dynamique

s’écrit :

Dynamique du système à commander



La dynamique de est stable pour :

Soit la variété :

La dynamique de est stable si

La variété est une surface appelée ’surface de commutation’ ou ’surface de

glissement’

Donc :

Dynamique de glissement

Sur la surface de glissement définie par est stable, donc

converge vers 0, le déplacement est gouverné par

La vitesse de convergence dépend de la valeur de

Mais sur cette surface donc converge aussi vers 0

L’évolution sur la surface de glissement est indépendante de et

Si au départ, le point initial n’est pas sur la surface de glissement, il faudra

amener le système sur cette surface



Dynamique de convergence vers la surface de glissement

Pour évaluer la stabilité, on considère la fonction de Lyapunov suivante :

Stabilité asymptotique si : est définie positive

est définie négative

On a :

Étant donné que :

donc est définie positive

Calculons maintenant sa première dérivée :



La lois de commande

est définie négative si :

est :

La commande équivalente :

Soit :

La commande équivalente est définie par :

est définie négative si :

Pour quel choix de ceci est vérifié ?



Cela est vérifié pour le choix suivant de :

La commande globale :

La commande proposée comporte deux termes : le premier correspond à une

commande continue et le deuxième correspond à une commande discontinue.

Commande équivalente (continue)

Commande discontinue

La commande discontinue :

La commande discontinue et le 2ème terme de l’expression de u, c.à.d :

Pour ce choix on a :

est définie négative car :



Retour à l’exemple

On souhaite faire converger vers avec la commande

On rappelle la dynamique du système :

La loi de commande par mode glissant s’écrira donc :

Avec :

et

Si on considère le choix suivant des paramètres de la commande :

donc :

Qui peut s’écrire sous la forme :

avec :



Si on considère, dans un premier lieu, la commande discontinue uniquement :

Évolution dans le plan de phase du système en B.F

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x1

x 2

Condition initiale


0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

x1

x2

Condition initiale


Commande par mode glissant (discontinue) Commande anticipative précédente (‘Feedforward’)




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

temps (sec)

Po

sitio

n e

t vite

sse

Position

Vitesse

Évolution des états du système en B.F

Commande par mode glissant (discontinue)

0 10 20 30 40 50 60-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

siti

on

et vite

sse

Position

Vitesse

Commande anticipative précédente (‘Feedforward’)




0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

temps (sec)

Co

mm

an

de

2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

temps (sec)

Co

mm

an

de

Évolution de l’entrée de commande

Autour de 2 sec




2 2.0005 2.001 2.0015 2.002 2.0025 2.003 2.0035 2.004 2.0045 2.005

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

temps (sec)

Co

mm

an

de

Phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)

Si on fait un zoom sur la commande autour de on obtient :

Un mode glissant idéal n’existe pas étant donné qu’il nécessite une commande qui

commute avec une fréquence infinie

Dans un cas réel la commutation se fait pendant un temps de commutation + la

constante de temps des actionneurs La discontinuité dans le commande produit un

comportement dynamique particulier (cf. figure ci-dessus) autours de la surface de

glissement, appelé phénomène de réticence (‘Chattering’ en anglais)




0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

temps (sec)

Co

mm

an

de

Même avec la commande globale il y a toujours le

phénomène de réticence

C’est un des problèmes de la commande par mode

glissant

Peut endommager les actionneurs !

Quelle solution peut on envisager ?

Application de la commande globale




Quelle solution pour le problème de réticence

Afin d’éviter le problème de réticence différentes solutions peuvent être envisagées :

-1

+1

-1

+1

-1

+1

Sigmoïde

Solution 3 : Envisager la commande par mode glissant d’ordre supérieur

Solution 2 : remplacer la fonction Sign

-1

+1

Solution 1 : remplacer la fonction Sign



Exemple précédent : Application de la solution utilisation de la fonction de saturation

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

sitio

n e

t vite

sse

Position

Vitesse

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-4

-3

-2

-1

0

1

2

temps (sec)C

om

ma

nd

e

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

x1

x2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-5

0

5

10

temps (sec)

Co

mm

an

de

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

temps (sec)

Po

sitio

n e

t vite

sse

Position

Vitesse

Avec

fonc

tion

satu

ratio

n Av

ec fo

nctio

n si

gne

Pas de réticence !

Quelle solution pour le problème de réticence



Introduction Commande C.N.B.M C.B.M Mode glissant Références

A. CHEMORI (LIRMM - CNRS/UM2, France) Le 27 Novembre 2014 82 82

Références bibliographiques


www.lirmm.fr/~chemori/

Ahmed CHEMORI

Email: [email protected]

CNRS researcher

LIRMM – UMR CNRS/UM2 N° 5506

161, Rue Ada 34095, Montpellier

Tel : +33 (0)4.67.41.85.62

Fax : +33 (0)4.67.41.85.00

Coordonnées

Documents

Séminaire - lirmm.frchemori/Temp/Cours/Fondements... · La synthèse d’un asservissement doit toujours répondre à certaines exigences. Ces dernières sont appelées cahier des