Upload
iustin-bobeica
View
244
Download
0
Embed Size (px)
DESCRIPTION
nh
Citation preview
1
Universitatea Tehnic Gh. Asachi Iai
Facultatea de Automatic i Calculatoare
Disciplina ELECTROTEHNIC - anul I
SEMINARUL NR. 1
I. GRUPAREA ELEMENTELOR PASIVE DE ACELAI FEL
P1. S se determine rezistena echivalent a circuitului din figur fa de bornele 1-1
cnd bornele 2-2 sunt : a) la gol; b) n scurtcircuit.
Fig. 1.1
Rezolvare
n ambele cazuri gruparea de rezistene este mixt (reductibil la o secven de grupri
serie i paralel), i anume:
- n cazul a) grupul serie R2-R4 este n paralel cu R1, acest grup fiind n serie cu
R3; se obine deci:
421
4213'11
RRR
RRRRR
(S1.1)
- n cazul b), grupul paralel R2 , R3 este n serie cu R1, iar acest grup este n
paralel cu R4, astfel nct rezistena echivalent fa de bornele de acces 11 este:
32
3214
32
3214
'11
RR
RRRR
RR
RRRR
R
(S1.2)
P2. S se determine rezistena echivalent a gruprii din figur fa de bornele A-B.
Fig.1.2
1 2
3
4
(1) (2)
(1 ) (2 )
R
R R
R
R/2
R/2
R
R
R
R
R R RA
B
2
Rspuns : RRAB17
28 .
P3. S se determine rezistena echivalent fa de bornele A-B.
Fig.1.3
Rezolvare
Gruparea este complex (ireductibil la o secven de grupri serie i paralel), nct
trebuie aplicat teorema transfigurrii. Este avantajos s se nlocuiasc gruparea de 3
rezistene egale , R2/3 avnd conexiunea n stea, cu o grupare echivalent de 3 rezistene,
egale cu R2, conectate n triunghi. n urma transfigurarii gruparea devine mixt, avnd
rezistena fa de bornele AB egal cu:
32
32
21
212
32
32
21
212
RR
RR
RR
RRR
RR
RR
RR
RRR
RAB
(S1.3)
P4. S se determine rezistena echivalent a gruprii din Fig.1.4.a fa de bornele A-B.
(a) (b) (c)
Fig.1.4
Rezolvare
Gruparea este complex, fiind necesare dou transfigurri succesive pentru a se ajunge
la o grupare mixt. Astfel, n Fig.4.b este repezentat gruparea obinut n urma transfigurrii
triunghiului R1-R2-R3 din Fig.4.a, intr-o o stea echivalent, R9-R10-R11; relaiile de
transfigurare sunt de forma:
321
219
RRR
RRR
, etc. (S1.4)
R1
R 3
R 3
R 3
2
2
2
R3
A
B
R
R
R
R R
RR
R RR
R
1
4
8
9 2
1110
3 65
7
A B
R R
R R RR
7 8
10 11 65
A B
R R +
R12 R13
R14
4 9
R
R
R
R87
12
R14
13
A B
3
A doua transformare const n substituirea gruprii centrale cu conexiunea n stea , cu un
triunghi echivalent, R12-R13-R14, obinndu-se schema din Fig.4.c; relaiile de transfigurare
sunt de forma:
611
946116111051059412
))(())(())((
RR
RRRRRRRRRRRRR
, etc. (S1.5)
Rezistena echivalent va fi (Fig.4.c):
138
138
712
71214
138
138
712
71214
RR
RR
RR
RRR
RR
RR
RR
RRR
RAB
(S1.6)
P5. S se determine capacitatea echivalent a gruprii din figur.
Rspuns :
32
3241
32
3241
CC
CCCC
CC
CCCC
CAB
.
Fig.1.5
II.ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE LINIARE CU AJUTORUL
TEOREMELOR LUI KIRCHHOFF (TK I, TK II) I A TEOREMEI
LUI JOUBERT (TJ)
P6. S se determine curenii n laturile circuitului din figur. Se cunosc: r1=r2=1,
R1=3, , R2=1, R3=2, e1=16V, e2=62V.
Fig.1.6
Rspuns : i1=-3A, i2=17A, i3=14A.
P7. S se determine curenii n laturile circuitului din figur. Se cunosc: e1=e3=100V,
e2=50V, ig2=5A, R1= R2= R3= R5=10.
1C
C C
C
2 3
4
A B
1
3
2i
i
i
e
r r
e
1
1
1 2
R R1 2
2
2
[ ]B [ ]B R3
4
Fig.1.7
Rezolvare
Analiza circuitului revine la soluionarea unui sistem algebric liniar de 3 ecuaii, dintre
care una se obine prin aplicarea teoremei TK I, iar celelalte dou prin aplicarea teoremei TK
II combinate cu TJ:
3155131
25522
252
)(
0
eeiRiRR
eiRiR
iii g
. (S1.7)
nlocuind valorile numerice se obine: i1=8A, i2=-9A, i5=-4A.
P8. S se determine tensiunea de ieire, Uie, a circuitului din figur.
R R
R R R
1 1
2 2 2
R R 3 3
i ig i g
u u ie ie
(a) (b)
Fig.1.8
Rspuns : 321
2
3RRR
iRRU
g
ies
.Indicaie: generatorul real de curent se echivaleaz cu un
generator real de tensiune (Fig.1.8.b).
P9. S se analizeze circuitul din figur. Parametrii circuitului sunt: e2=10V, R2=3,
e3=5V, R3=5, R12=2.
Fig.1.9
1
2
2
2
i
i
i
e
e2
R
R
R
1
2
5
5
3
R3
u
ig
e1
R2
2
2
3
R3
3i i
i
e
e
e R = i12 2
1
5
Rezolvare
Circuitul are n structura sa un generator de tensiune comandat n curent. Sistemul
algebric de ecuaii obinut prin aplicarea TK I, TK II +TJ este de forma:
212
323322
222
321 0
iRe
eeiRiR
eeiR
iii
(S1.8)
Rezolvnd, se obine: i1=15A, i2=10A, i3=-5A.
P10. S se determine curenii n laturile circuitului din figur.
Fig.1.10
Rezolvare
Circuitul are n structur un generator de curent comandat n tensiune. Sistemul
algebric de ecuaii obinut prin aplicarea TK I, TK II +TJ, i avnd ca necunoscute variabilele
i1 i i3, este de forma:
11211212
3311
321 0
iRGuGi
UiRiR
iii
g
g
(S1.9)
P11. S se analizeze circuitul din Fig.1.11 utiliznd teoremele lui Kirchhoff i
teorema lui Joubert. Se cunosc: R1=40/3 , R2=2 , R3=40 , ig1=7,5 A, e3=180 V.
Fig.1.11
Rezolvare
Dac se echivaleaz generatorul real de curent cu unul real de tensiune, circuitul are
l=3 laturi i n=2 noduri. Teorema de cureni se va scrie de n-1=1 ori, n nodul (1), iar teorema
de tensiuni de l-n+1=2 ori pentru cele dou bucle independente. Alegnd sensurile de referin
pentru cureni i sensul de parcurs al buclelor ca n figur rezult:
R
R Ri
e
(0)
(1)i
i
i
g
u
u u1 3
2
1
R3
3i i1
U
u
u
R1
2i G u = 21 1g
P.10
6
32233
112211
321 0
eiRiR
iRiRiR
iii
g .
nlocuind valorile numerice i rezolvnd sistemul se obine i1=6 A, i2=10 A, i3=4 A.
Tensiunile de latur au expresiile:
V20
V20
V20
3333
222
11111
eiRu
iRu
iRiRu g.
Bilanul puterilor este:
04201020620332211 iuiuiu .
Laturile 1 i 3 furnizeaz putere laturii 2.
P12. S se analizeze circuitul din figur care funcioneaz n regim staionar
(generatoarele e1 i ig11 dau semnale invariabile n timp).
(a) (b)
Fig.1.12
Indicaii
innd seama de expresia tensiunii pe bobin, dt
diLu LL i a curentului n
condensator, dt
duCi CC , rezult c n regim staionar uL=0 i deci bobina este un scurtcircuit,
i iC=0 , nct latura cu condensator nu este parcurs de curent. Astfel, ignornd laturile n
care curenii sunt nuli, schema original este echivalent cu cea din Fig.1.12.b. Sistemul de
ecuaii avnd ca necunoscute curenii i7 i i6 este:
0)(
0
77686
1176
iRiRR
iii g (S1.10)
R1
ig11
(1)(5)
(4)
(0) (2)(3) 9
1
1
35
6
6
6
ii
i
ii
i
ii
i
88 R R9
2i
C1
C2 C3
C4
e
R5R
R7
710
4
LL10
R10
(1)
(0)(2)(3)
ig
6
9
i = i
i = i
11
8
11
R6 R7
8R R9
i7
g
SEMINARUL 2
ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL METODEI
CURENILOR DE BUCL
P1. S se analizeze circuitul din Fig.2.1 cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se
cunosc: R1=3 , R2=6 , R3=2 , R4=6 , R5=3 , e1=30 V, e2=12 V, ig3=5 A.
Rezolvare
Circuitul are l=5 laturi i n=3 noduri. Alegnd buclele independente n numr de l-
n+1=3 i sensurile curenilor de bucl i a celor din laturi ca n Fig.2.1, se pot scrie matricile:
010100111001001
B][ 53 ;
5
4
3
2
1
55
R0000
0R000
00R00
000R0
0000R
R][ ;
000][2
1
15
e
e
e ;
0
0
0
0
615 ggii .
Matricea coeficienilor i cea a termenilor liberi au expresiile:
522
24324
441T
33b
0
0
[B]][B][R
RRR
RRRRR
RRR
R ;
2
233
1
g13b][[R]B][][B][
e
eiR
e
iee g .
nlocuind valorile numerice i rezolvnd sistemul (5.20) se obine:
2
1
4
3
2
1
13b
b
b
b
i
i
i
i .
Curenii de latur au valorile:
R
R R
Ri
i
i i
i i
ii ie e
g
bb b
21 3
1 33
2 5
5
4
(1) (2)
(0)
R
Fig. 2.1
2
3
1
1
4
][B][][
b3
b2b1
b2
b2b3
b1
5
4
3
2
1
b
T
15
i
ii
i
ii
i
i
i
i
i
i
ii .
Reinnd faptul c asocierea sensurilor de referin ale tensiunilor i curenilor se face dup
regula de la receptoare, rezult c tensiunile de latur vor fi:
6
18
12
6
18
][][][][][][
55
44
g3333
222
111
g
5
4
3
2
1
15
iR
iR
iRiR
eiR
eiR
eiRiR
u
u
u
u
u
u .
Verificarea bilanului de puteri conduce la identitatea:
0125412672][][][][ TT uiiu .
P2. S se analizeze circuitul din figur cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se
cunosc: R1= R2= R3= R4= R5= R6=2, e1=4V, e2=2V, e5=4V, ig4=1A.
Fig.2.2
Rspuns : T1;5,1;5,0bi (A). P3. S se analizeze circuitul din figur cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se
cunosc: R1=R2=2R3=4, R4=5, R5=R6=1, e3=3e5=9V, e4=10V.
Fig.2.3
Rezolvare
R
R
1
4 ig4
1
1 2
3
1
46
1
2
32
6
6
i
ii
i
i
i
ii i
i2R
e
e
RR5
5
5
4
4
u
uu e
b b
b R3
1
3
3
1
2
2
35
5
5
4
4
4
i
ii
i
i
6i
21
3
ii
i
bb
b
e
RR
RR
R e
e
Alegnd curenii de bucl ataai buclelor independente ca n Fig.2.3, sistemul de
ecuaii obinut este:
54365435145335253213
4334231431
eeiRRRiRiR
eeiRiRRRiR
eeiRiRiRRR
bbb
bbb
bbb
.
nlocuind valorile numerice rezult soluia : ib1=1,04A, ib2=0,73A, ib3=1,22A.
P4. Circuitul din Fig.2.4, cu generator ideal de curent, are parametrii:
R1=R2=2R3=R4/2=2, R5=1, R6=6, ig=10A, e1=20V, e6=5V. S se analizeze circuitul
utiliznd metoda curenilor de bucl i s se determine puterea furnizat de generatorul ideal
de curent.
Fig.2.4
Rezolvare
Alegnd buclele independente astfel nct generatorul ideal de curent s fie incident
unei singure bucle i asociind fiecrei bucle curenii ib1, ib2 respectiv ib3 avnd sensurile din
Fig.2.4, se poate scrie sistemul de ecuaii:
636543243154
13432432114
1
)(
)(
A10
eiRRRRiRRiRR
eiRRiRRRRiR
ii
bbb
bbb
gb
.
Numeric se obine ib2=-0,18A, ib3=-3,67A. Considernd regula de asociere de la receptoare
pentru sensul tensiunii i al curentului pe o latur, tensiunea la bornele generatorului ideal de
curent se poate scrie:
V87,30)( 32336633666 bbbg iiRiReiRiReu .
Puterea la bornele acestui generator este W7,308 ggg iuP , fiind furnizat (cedat)
deoarece Pg
Fig.2.5
P6. S se analizeze circuitul din Fig.2.6.a cu ajutorul metodei curenilor de bucl. Se
va utiliza graful topologic pentru stabilirea buclelor independente.
(a) (b)
Fig.2.6
Rezolvare
n configuraia dat circuitul are dou generatoare ideale de curent, ig1 i ig5, nct
laturile 1 i 5 trebuie sa fie corzi n graful topologic, (Fig.2.6.b). Alegnd sensurile curenilor
de bucl ca n Fig.2.6.a i echivalnd generatorul real de curent R3 || ig3 cu unul real de
tensiune, rezult c se poate scrie sistemul de ecuaii avnd ca necunoscut curentul ib2:
53
633362643212
11
)(
gb
gbbb
gb
ii
eiRiRiRRRRiR
ii
.
P7. Circuitul din figur are parametrii: ig2=2A, R2=R3=4, e3=8V, u=20V, R4=2,
e5=R25i2=2i2, R5=10, e6=8V. S se analizeze circuitul utiliznd metoda curenilor de bucl i
s se efectueze bilanul de puteri.
Fig.2.7
Rspuns: ib1=i3=3,8A, ib2=i5=1A. Bilanul de puteri 0k
kk
k
k iup .
i ig g
1
4
5
5
5
5
3
1
5
1
i
i
i
i
i
2
1
3
i
i
i
b
b
b
e
e
R
R
R4
R33
2
u
(1) (2)
(3)(0)
ii
i
gg
g3
2
4
61 6
6
i
i
i
i
2
1
3
ii
i
b
b
b
e
R R
R 4
R
R
3
2 51
3
(1) (2)
(3)(0)
3
2
4
1 5 6
2i R
R
2
5
ig
3
45
2
3
3
i
i i1
2
2
ii
bb
e
R
R4
e
e i ( )
6
5
u
P8. S se analizeze circuitul din Fig.2.8.a cu ajutorul metodei curenilor de bucl.
Parametrii circuitului sunt: ig=2A, ig4=0,1u3, e2=20V, e4=8i1, R1=6, R2=6, R3=4.
(a) (b)
Fig.2.8
Rezolvare
Laturile cu generatoare ideale de curent sunt: ig, generator ideal independent de curent,
i ig4(u3), generator ideal de curent comandat n tensiune. Buclele independente se aleg astfel
nct aceste laturi s aparin cte unei singure bucle (corzi n graful topologic Fig.2.8.b).
Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea metodei curenilor de bucl, completat cu ecuaiile
caracteristice ale generatoarelor comandate, este:
3333334
31114
3241142332122121
2
341
1,01,01,0)(
)(88)(
A5,A2,A2)()()(
)(
bg
bb
bbgbbbb
gb
gb
iRiRuui
iiiie
iiiiieeiRRRiRiRR
ii
uii
.
P9. n circuitul din Fig.2.9.a valorile elementelor sunt date n SI (sistemul internaional
de uniti de msur). S se simplifice circuitul aplicnd regulile de grupare serie i paralel
pentru generatoare i s se analizeze circuitul astfel obinut cu ajutorul metodei curenilor de
bucl.
(a) (b)
Fig.2.9
Indicaie: Schema simplificat obinut n urma aplicrii regulilor de grupare a generatoarelor
este reprezentat n Fig.2.9.b. Alegnd curenii de bucl ca n figur se obine ib1=3A, ib2=4A,
ib3=2A.
(0)
5i
R3
3i
(1)(2)
(3)1e i ( )4
i
u
g
g1
2
3
1
2
ii
i
12
ii
b
b
b
e
R
R2
g 3i u ( )4
u3
(1)(2)
(3)
(0)
3
4 5
1 62
(1)(2)
(3)
(0)
2 2
2
8
1
1 2
2
1
1
1
1
2
4
(0)
(1)(2)
(3)
22
1 11
2
6
11
6
SEMINARUL 3
ANALIZA CIRCUITELOR REZISTIVE CU AJUTORUL METODEI
TENSIUNILOR NODALE
P1. S se analizeze circuitul cu generatoare reale din Fig.3.1.a cu ajutorul metodei
tensiunilor nodale (TTN). Parametrii circuitului sunt: R1= R2= R3= R4= R5= R6=2, e1=e5=4V,
e2=2V, ig4=1A.
(a) (b)
Fig.3.1
Rezolvare
Este indicat s se echivaleze generatoarele reale de tensiune cu generatoare reale de
curent (Fig.3.1.b).Circuitul are 3 noduri independente, (1), (2), (3), nct vor fi trei tensiuni
nodale necunoscute. Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea metodei tensiunilor nodale este:
1130431203101
552230320532102
221130120210621
)(
1,)(
)(
eGiuGGGuGuG
RGeGeGuGuGGGuG
eGeGuGuGuGGG
g
k
k
nlocuind i rezolvnd se obine u10=-1V, u20=2V, u30=1V. Utiliznd regula de la receptoare
pentru asocierea sensului tensiunii i al curentului pe o latur (tensiunile i curenii au acelai
sens) se obine: u1=u10-u30=-2V, u2= u10-u20=-3V, u3= u20-u30=1V, u4= u30=1V, u5=-u20=-2V,
u6= u10=-1V. Curenii n laturi sunt: i1=G1e1+G1u1=1A, ..., i6=G6u6=-0.5A. Bilanul de puteri
trebuie s verifice egalitatea 0k
kkiu .
P2. S se analizeze circuitul cu generatoare reale din Fig.3.2 cu ajutorul TTN. Valorile
elementelor de circuit sunt date n SI (sistemul internaional de uniti de msur), rezistenele
n ohmi.
R
R
R
1
3
4 ig4
1
10
1
2
32
6
6
i
ii
i
i
i
2R
e
e
RR5
5
5
4
ue
2030
u u
(0)
(1)(2)
(3)
ig
1
3
52
46
1
5
6
i
i
ii
ii
R
RR
R4
RR 32
4
(1)(2)
(3)
(0)
2
2
eR 5
5
eR
1
1
eR
Fig.3.2
Rezolvare
Circuitul are dou noduri independente, (1) i (2), prin urmare necunoscutele vor fi
tensiunile nodale u10 i u20. Sistemul de ecuaii obinut dup echivalarea generatoarelor reale
de tensiune cu generatoare reale de curent este:
2
6
2
12
2
1
2
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
124
2
1
4
1
2
1
4
1
4
1
2010
2010
uu
uu
.
Se obine u10=-1,05V i u20=1,26V. Tensiunile la bornele laturilor sunt : u1=u10-u20=-2,31V,
u2=u1, u3=-u10, u4=u5=u20. Curenii n laturi vor fi i1=u1/4, i2=6+u2/2, etc.
P3. S se analizeze circuitul din Fig.3.3 cu ajutorul metodei tensiunilor nodale.
Fig.3.3
P4. S se analizeze circuitul din Fig.3.4 cu ajutorul
metodei tensiunilor nodale.
Rezolvare
Circuitul are n componen un generator ideal de tensiune,e1, i
un generator ideal de curent, ig6 . Alegnd ca nod de referin unul
din nodurile la care este conectat generatorul ideal de tensiune e1
i numerotnd nodurile ca n Fig.3.4 se poate scrie sistemul de
ecuaii obinut prin utilizarea metodei tensiunilor nodale sub
forma:
R i
i
i
i
ii
R
Re1
2 2
2
1
5
5
3
3
4
4
(1)
(2)
(3)(0)
R e
ig66
Fig.3.4
(0)(1)
(2) (3)
(4)
10 40u u
20
30
u
uR
R
R R
R
Re
e
R
R
3 i (0)
4 1
10
2
i
i
i i 5 4
u 20 u
(1) (2)
(3) 2
6
2 4 4
2
12
'
3303320321031
'
2302320221021
110
g
g
iuGuGuG
iuGuGuG
eu
.
Coeficienii i termenii liberi au expresiile: 3321 /1 RGG ; 223223 /1 RGGG ;
53253222 /1/1/1 RRRGGGG ; 4431 /1 RGG ; 22'
2eGig ;
622'
3 ggieGi .
Tensiunile la bornele laturilor sunt:
30620530104
10203203021101
;;
;;;
uuuuuuu
uuuuuueuu
.
Curenii n laturi se exprim fie cu ajutorul teoremei lui Joubert, fie, n cazul laturii cu
generator ideal de tensiune, utiliznd teorema I a lui Kirchhoff:
3416555
44433322222
;;
;;
6iiiiiuGi
uGiuGieGuGi
g
.
P5. S se analizeze circuitul cu generator ideal de tensiune din Fig.3.5 cu ajutorul
TTN.
Fig.3.5
Rezolvare
Nodul de referin se alege nodul comun al celor dou generatoare ideale de tensiune.
Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea TTN este :
eu
uGuGuG
eu
30
302010
10
023 ,
avnd soluia u20=e.
P6. S se analizeze circuitul cu
generatoare ideale de tensiune din figur.
Indicaie : Circuitul are 4 noduri
independente. Nodul de referin se alege nodul
comun al celor dou generatoare ideale de
tensiune astfel nct u10=e1, u20=e2.
Fig.3.6
(1) (2)
(3)(0)
4 2i i
R
5
6
i
i
1
3
i
i
e
e
R
R R
1
3
4
2
5
7
8
4
6 3
i
i
i
i i
i
i
i
2
1
1
R
ig3
(0)
(1)
(2)
(4)(3)2R
5R
5R
3R
u
u
u
e
e
P7. Circuitul din Fig.3.7 are parametrii : R1=6, e1=40V, R2=8, R3=12, R4=6,
e5=40V, R6=10, ig7=G7u2=0,25u2. S se analizeze utiliznd TTN.
Fig.3.7
Rezolvare
Circuitul are n structur un generator ideal independent de tensiune i unul de curent
comandat n tensiune. Alegnd nodul de referin ca n figur se obine sistemul de
ecuaii avnd necunoscutele u20 i u30 :
20107277
71130641201106
1130120321102
510
uuGuGi
ieGuGGGuGuG
eGuGuGGGuG
eu
g
g
.
Soluia este u20=31,64V; u30=1,19V.
P8. Circuitul din figur are parametrii : e1=e3=4V, R1= R3= R4= R5= R6= R7=1,
G2=1S, ig=G2u3, e=R7i3. S se analizeze cu ajutorul TTN.
Fig.3.8
Rezolvare
Nu exist restricii cu privire la alegerea nodului independent. Numerotnd nodurile ca
n figur i echivalnd generatoarele reale de tensiune cu generatoare reale de curent, se
obine sistemul
)()( 3310373333737
10232
3045205
61130520651101
33112011031
eGuGReGuGRiRe
uGuGi
iuGGuG
eGeGuGuGGGuG
eGeGiuGuGG
g
g
g
.
1
1
2
2
5
6
3
54 4
i
i
ii
6i
2
1R
R
R
R e(0)
(1)
(2)
(3)
e
R
7i G u = 7 2g
u
4R
6
5
3
3
i
R
R
5 4i i
6
1
i
i1 R
u
3
(0)
(1)
(2)(3)
R3
3e=R i7
i G u = 2 3gee1
Numeric rezult u10= u20= u30=0. Tensiunile la bornele laturilor vor fi nule. Curenii n
laturi sunt : i1=G1e1+G1u1=4A, ig=0, i3=G3e3+G3u3=4A, i4=0, i5=0, i6=4A. Circulaia de curent
se produce numai pe laturile buclei exterioare a circuitului.
SEMINARUL 4
CIRCUITE ELECTRICE FR CUPLAJE MAGNETICE N REGIM
PERMANENT SINUSOIDAL (r.p.s.)
P1. Impedana din figur, de forma Z=R+jX, este alimentat cu tensiunea u(t) i absoarbe
curentul i(t). S se determine parametrii impedan, Z, rezisten, R, reactan, X, admitan
complex, Y, conductan, G, susceptan, B, n cazurile :
a) 6100cos224)(;32100sin2120)( ttittu ;
b) 4100sin212)(;23100cos120)( ttittu ;
c) 4100cos22)(;2100sin2220)( ttittu .
Fig.4.1
Rezolvare
Conform regulii de reprezentare n complex a semnalelor sinusoidale, valorile efective
complexe ale semnalelor n cele 3 cazuri sunt :
a) 36232
2424;120
jj
eeIeU ; b) 422
3
2 12;2
120
2
120
2
120
j
jj
eIeeU ;
c) 43
4222
2
22
2
22;220220
jjjj
eeIeeU .
Astfel impedana complex jXRI
UZ n cele 3 cazuri va fi :
a)
35,2,5,235,25,25 3 XRjeZj
;
b)
5,55525 4 XRjeZj
;
c)
10,101010210 4 XRjeZj
.
Admitana complex, BjGZU
IY
1 n cele 3 cazuri va fi :
a) )11(31,0,1,031,01,02,0 13
SSBSGjeYj
;
b) SBSGjeYj
1,0,1,01,01,025
14
;
c) SBSGjeYj
05,0,05,005,005,0210
14
.
P2. Circuitul din figur are parametrii :
41,4,7,34,34,3 33211321 CXXLXRRR CLL .
Tensiunea de alimentare este V)(2100sin2120)( ttu . S se determine impedana complex echivalent a circuitului fa de bornele de acces, precum i valorile efective
I
U Z R+ X = j
complexe ale curenilor n laturi.
Fig.4.2
Rezolvare
Utiliznd regulile de grupare a impedanelor , valabile pentru circuite fr cuplaje
magnetice, se obine :
j
jXRjXR
jXRjXRjXRZ
CL
CLL 933
3322
332211'11
.
Curentul n circuitul principal va fi :
3110
933
120
'11
1
j
j
j
Z
UI , nct valoarea sa instantanee real este
)A(6100sin33,166100sin3
11210)(1 ttti .
Tensiunea U2, exprimat cu ajutorul TK II n complex scris pentru bucla din stnga a
circuitului, este : jIjXRUU L 403
401112 , nct )A(10
22
22
LjXR
UI , iar
jIII3
10213 . n valori instantanee
2/100sin16,8)(,)100sin(10)( 32 ttitti (A).
P3. S se analizeze circuitul din figur utiliznd forma n complex a teoremelor lui
Kirchhoff (TK I, TK II) i a teoremei lui Joubert (TJ). Parametrii circuitului sunt :
ttette cos235)(,4sin60)( 21 ,
Hz50F,)(510CH,)10(1,5,5,2,20 4321 fLRRR . S se determine
valorile instantanee reale ale curenilor n laturi.
Fig.4.3
Rezolvare
Reactana bobinei este 102 LfLXL , iar reactana condensatorului este
R
RR
L11 1
32
2
2
2
3
I
L C
I 3
UU
I
R
R
R1
1
1
3
2
2
2I
L
C
I 3
I
E
E
5
105
10100
11
64
CXC . Valorile efective complexe ale tensiunilor surselor
sunt jeEjeEjj
3535,30302
602
24
1
. Sistemul de ecuaii obinut prin
utilizarea TK I+II i a TJ este :
23322
13311
321
)()(
)(
0
EIjXRIjXR
EIjXRIR
III
LC
L
.
nlocuind valorile numerice i soluionnd se obine I1=2, I2=2j , I3=2+2j . Valorile
instantanee reale ale curenilor n laturi sunt :
4100sin4)(;2100sin22)(;100sin22)( 321 ttittitti .
P4. Circuitul din figur are parametrii : 5,10,10 4231 LLC XXXR ,
A)(2100sin220)(,V)(100sin2100)( 21 ttitte g . S se determine valorile
efective complexe ale curenilor i tensiunilor, precum i puterile aparente complexe la
bornele laturilor (se va utiliza regula de la receptoare de asociere a sensurilor tensiunii i
curentului).
Fig.4.4
Rezolvare
Valorile efective complexe ale semnalelor surselor sunt : jIE g 20,100 21 .
Circuitul are dou noduri independente, (1) i (2), i 3 bucle independente, dintre care una
cu generator ideal de curent (dac acesta nu se echivaleaz cu un generator real de
tensiune, ceea ce ar reduce i numrul buclelor independente la dou). Sistemul de ecuaii
obinut prin utilizarea formei n complex a TKI+TKII+TJ este :
0
0
0
442233
13311
242
431
IjXIjXIjX
EIjXIR
III
III
LLC
C
g.
nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I1=10j, I2=10+20j, I3=10+10j, I4=10.
Tensiunile i puterile aparente complexe la bornele laturilor vor fi :
R
1
1
1
2
4
2
I
L
C
L I 3
I
I
E
X
X
X
4
3
2 I g
(1)
(0)
(2)
jIUSUU
jIUSjIjXU
jIUSjIjXU
jIUSjIjXU
jjjIUSjIREU
gggg
L
C
L
20001000
50050
2000100100
250050100
10001000)10)(1(100;100100
*
2222
*
444444
*
333333
*
222222
*
1111111
Se observ c se verific relaia de bilan a puterilor aparente complexe n r.p.s. :
054321 SSSSS , ceea ce nseamn att conservarea puterilor active , ct i a
celor reactive , 0,0 k
k
k
k QP .
P5. Parametrii circuitului din figur sunt :
10111
54
4
33
31
22 RLC
LRCC
LR ,
)100cos(2100)(,)100sin(2100)( 51 ttette . S se determine valorile efective
complexe ale curenilor i tensiunilor pe laturi (se va considera regula de la receptoare).
Fig.4.5
Rspuns : I1=6+8j, I2=4+2j, I3=2+6j, I4=2+16j, I5=10j ; U1=-20-60j, U2=20+60j,
U3=20+60j, U4=0, U5=0.
P6. In circuitul din figur se cunosc :
3,3,9,5,4sin3)( 21 CL XRXRtti . S se determine indicaiile aparatelor de msur (puterea activ absorbit de circuit i valorile efective ale celor dou
tensiuni).
Fig.4.6
L2
R
5
5
5
2I
I 4
I
E
(1)
(0)
(2)
I111
3
3
3
C
C
R2
R
L
L4
C4
I 3
E
R
R
1
2
21
I
UU
U
L
C
X
X
V2V1
W**
(1)
(1 )
Rezolvare
Valoarea efectiv complex a curentului este I=1,5+1,5j. Valorile efective complexe
ale celor dou tensiuni sunt :
jIXXjRRUIjXRU CLC 213))((,)V(9)( 21122 .
Indicaiile celor dou voltmetre vor fi : V2=9V, V1=(32+21
2)1/2
=21,21V.
Puterea aparent complex jQPjIUS 2736*
1 . Wattmetrul indic o putere
activ absorbit de 36 W.
P7. n circuitul din figur se cunosc 10321 CL XXRRR ,
)2100sin(2100)(,)100sin(2100)( 21 ttette . S se analizeze circuitul
utiliznd metoda curenilor de bucl (n complex).
Fig.4.7
Rspuns jIjII bbb 5,55,5 321 .
(1)
(0)
(2)RR
R
31
2
LC XX 21 EE I I Ib b b1 2 3
SEMINARUL 5
CIRCUITE ELECTRICE CU CUPLAJE MAGNETICE N REGIM
PERMANENT SINUSOIDAL (r.p.s.). REZONANA
P1. n circuitul din figur se cunosc :
10,30,20,10 1221 LXXXXR MCLL . S se determine valoarea tensiunii
sursei pentru care I3=1A i n aceste condiii s se determine puterea activ i reactiv
furnizat de surs.
Fig.5.1
Rezolvare
Considernd faza iniial a curentului I3 egal cu zero, rezult I3=1. Cuplajul ntre
bobine este diferenial (I1 intr n borna polarizat a bobinei 1, iar I3 iese din borna polarizat
a bobinei 2). Sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea teoremelor lui Kirchhoff i a teoremei
lui Joubert (n complex) este :
1322
2311
321
)(
IjXIjXIR
IRIjXIXXjE
III
ML
MCL
.
nlocuind valorile numerice i soluionnd se obine : I1=2+j, I2=1+j. Prin urmare E=20(1-j).
Puterea aparent complex la bornele sursei este jQPjIUS 6020*
1 . Circuitul
absoarbe o putere activ P=20W i cedeaz o putere reactiv Q=-60Var.
P2. n circuitul din figur se cunosc :
5,7,5,2,5,10,5
,)100cos(2100)(,)100sin(2100)(
33122121
21
CXRLLLRR
ttette.
S se analizeze utiliznd forma n complex a TK I+TK II+ TJ.
Fig.5.2
Rspuns : Cuplaj magnetic aditiv. I1=5-5j, I2=5+15j, I3=10+10j.
R
1
1 2
2
2
I
C
I
I3
E
XX
X
XL
M
L
* *
1
R
1 1 22
2
1 2
3
3
3
I I
IE E
L L
* *
C
R RL12
P3. n circuitul din figur se cunosc : )sin(220)( tte , ,31
,11
1
C
R
,52 L
2,71
,1,31
23
3
3
2
LC
LC
. S se analizeze i s se determine
impedana complex echivalent la bornele sursei, Z11.
Fig.5.3
Rezolvare
Cuplajul magnetic este aditiv (att I2, ct i I3 ies din bornele polarizate ale celor dou
bobine). E=20 i sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea formei n complex a TK I+TK II+
TJ este :
321
2233
3
33232
2
2
3232
2
21
1
1
III
ILjIC
jLjILjI
C
jLj
ILjIC
jLjI
C
jRE
.
nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I1=I2=10+10j, I3=0. Impedana complex la
bornele sursei va fi : jI
EZ 1
1
'11 .
P4. n circuitul din figur se cunosc 2sin2200)(,)sin(220)( 31 ttettig ,
R2=20, R3=30, L2=20, L3=60, L23=10,1/(C3)=10. S se determine valorile
instantanee ale curenilor n laturi.
Fig.5.4
Rezolvare
Cuplajul magnetic este diferenial (I2 iese din borna polarizat, iar I3 intr n borna
polarizat). Valorile efective complexe ale semnalelor surselor sunt : Ig1=20,
E3=200e-j/2
=-200j. Sistemul de ecuaii obinut prin aplicarea TK I+TK II +TJ este :
R 11
23
2
32
I
L
CC
I 3
I
E
C1 L2 L3* *
R32
3E
R
23
2
3L C
I 3
I
1L2
L3
*
*
Ig
32233
3
33323222
321
1)(
0
EILjIC
LjRILjILjR
III g
.
nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I2=12, I3=-8. Valorile instantanee reale ale
curenilor sunt : ).sin(28)(,)sin(212)( 32 ttitti
P5. Circuitul neconex din figur modeleaz un transformator. Parametrii si sunt :
)sin(2210)(1 tte , R1=100, R2=75, L1=0,2H, L2=0,15H, L12=0,1H, C1=10F,
=500s-1. Se cere s se determine tensiunea de mers n gol a transformatorului, uAB0(t), i
curentul n secundar cnd bornele A, B sunt puse n scurtcircuit (curentul de scurtcircuit),
iABsc(t).
Fig.5.5
Rezolvare
Considernd cazul cuplajului magnetic diferenial (sensurile curenilor ca n figur) se
pot scrie ecuaiile de tensiuni pentru cele dou bucle ale circuitului :
112222
2121
1
111
1
ILjILjRU
ILjIC
LjRE
AB
.
Dac secundarul este n gol I2=0 i, deoarece E1=210, se obine I1=1,05(1+j),
UAB0=52,5(-1+j).
Dac secundarul este n scurtcircuit UAB=0, i sistemul de mai sus are soluia I1=0,9(1+j),
I2=0,6j.
Cosidernd cazul cuplajului magnetic aditiv (I2 cu sens opus fa de cel din figur)
sistemul se scrie :
112222
2121
1
111
1
ILjILjRU
ILjIC
LjRE
AB
.
n acst caz la mersul n gol se obin aceleai valori pentru tensiunea UAB0 i pentru curentul I1,
iar la scurtcircuit, rezolvnd sistemul de mai sus pentru UAB=0, se obin curenii I1=0,9(1+j),
I2=-0,6j. Se constat c , de fapt, curenii sunt aceeai (I2 are semn schimbat, dar i sensul su
este opus fa de primul caz).
P6. Circuitul neconex cu cuplaj magnetic din figur are parametrii :
R1=L1=L12=L2=R2=L3=1/(C3)=22, )100cos(2220)(1 ttu . S se determine
curenii n primar i n secundar, impedana complex la bornele 11 precum i puterea activ
R R1 21 2
1E L
L
L 2
12
1
* *
I I A
B
C1
UAB
i reactiv absorbit de circuit.
Fig.5.6
Rezolvare
Cuplajul magnetic este diferenial, iar U1=220ej/2
=220j. Sistemul de ecuaii obinut
prin aplicarea teoremei TK II pentru cele dou bucle ale circuitului este :
1122
3
322
2121111
10
)(
ILjIC
LLjR
ILjILjRU
.
nlocuind valorile numerice i rezolvnd se obine I1=2+6j, I2=-2+4j. Impedana complex la
borne este Z11=U1/I1=11(3+j), iar puterea aparent complex este
jQPjIUS )3(440*
11 , nct puterea activ este P=1320W i cea reactiv este
Q=440Var.
P7. S se determine parametrii R, L, respectiv C pentru care se obine rezonana la
bornele circuitului din figur.
Fig.5.7
Rezolvare
Circuitul fiind de tip paralel, fr cuplaje magnetice, se poate exprima cu uurin
admitana complex echivalent la bornele de acces :
eee jBGCLR
Lj
LR
R
LR
LjRCj
LjRCjY
222222222
1.
Impunnd condiia de rezonan , Be=0, se obin valorile pentru C, R, respectiv L care
produc rezonana.
a) La variaia capacitii C: 222 LR
LC
.
a) La variaia rezistenei R : 22LC
LR . n acst caz rezonana se poate obine
numai n condiia C
L
1
.
R R1 21 2
L
L
L 2
12
11L3
* *
I I
C3
U
R
CL
(1)
(1 )
U
b) La variaia inductanei L C
RCL
2
222
2,12
411
. Rezonana se poate obine numai
dac C
R
2
1, fiind dou puncte de rezona sau numai unul, n cazul egalitii. Dac
CR
2
1 nu se poate obine rezonana la variaia inductanei.
P8. S se determine pulsaia de rezonan a circuitului din figur.
Fig.5.8
Rezolvare
Circuitul fiind de tip serie, fr cuplaje magnetice, este avantajos s se exprime
impedana complex echivalent la bornele de acces.
ee
e
jXRRC
CR
LR
LRj
RC
R
LR
LR
CjR
CjR
LjR
LjRZZZ
2
2
22
2
2
222
1
2
1
2
2
22
2
222
1
22
1
2
2
1
121
11
1
1
Impunnd condiia de rezonan, Xe=0, se obine pusaia de rezonan
)( 21
2
2
2
1
CRLLC
CRL
R
Rr
.
n cazul particular R1=R2 se obine LC
r
1 , o expresie similar cu cea a pulsaiei
de rezonan n cazul circuitului RLC serie, respectiv RLC paralel.
P9. Circuitul din figur are parametrii R1=1k, L1=L2=2mH, L12=1mH, C3=1/6 F. Se
cere pusaia de rezonan a circuitului.
Fig.5.9
Rezolvare
Circuitul are un cuplaj magnetic (diferenial), nct regulile de grupare a impedanelor
nu pot fi aplicate (ele au fost stabilite pentru impedane lipsite de cuplaje magnetice).
Impedana echivalent fa de bornele 11 se poate determina n urma efecturii analizei
circuitului, cu ajutorul relaiei
1 2
A B
R R
L C
L2
R11 3
2
L12
*
*
I I
I
U C3
L1
1'11I
UZ .
Pentru acest circuit pot fi scrise trei ecuaii obinute prin aplicarea TK I+TK II +TJ, i
anume:
3
3
11222
11222212111
321
)(
IC
jILjILj
ILjILjILjILjRU
III
.
Rezolvnd sistemul n raport cu necunoscuta I1 se poate exprima impedana complex
echivalent
eee jXRCL
CLLLLLjR
I
UZ
1
1)(
32
2
312
2
1221211
1
.
Impunnd condiia Xe=0 se obine o ecuaie n 2, din care se poate exprima pulsaia de
rezonan:
7
2
12213
1221 10102)(
2
LLLC
LLLr rad/s. Frecvena de rezonan este MHz10
2
rrf .
SEMINARUL 6
CIRCUITE ELECTRICE LINIARE N REGIM TRANZITORIU.
ANALIZA N DOMENIUL TIMP
P1. n circuitul din Fig.6.1.a la momentul t=0 se deschide ntreruptorul. Parametrii
circuitului sunt: E1=4V, E2=30V, R1=1, R2=2, R3=3, L=2H. Se cere s se determine
curentul prin bobin dup comutare.
(a) (b) (c)
Fig.6.1
Rezolvare
a) Stabilirea condiiilor iniiale , t0
12 EE
R
L
3R1
1
R2
2
t
permanent ctre care evolueaz circuitul. n acest caz regimul permanent va fi staionar ,
bobina va reprezenta un scurtcircuit, iar 1)(31
1
RR
Eti
permL.
Astfel 1)()()( 2
31
131
tt
L
RR
LLL eARR
EeAtititi
permliber. Impunnd condiia
2)0( Li se obine valoarea constantei A=-3. n final soluia este t
L eti231)( avnd
graficul din Fig.6.1.d
Fig.6.1.d
P2. n circuitul din figur la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. S se determine
tensiunea la bornele condensatorului dup comutare.
Rezolvare
Se presupune condensatorul iniial descrcat, uC(0)=0.Dup comutare se pot scrie
ecuaiile provenite din aplicarea TK I +TK II la care se adaug relaia curent-tensiune pentru
condensator:
Fig.6.2
t
uCi
iRiRu
iRiRE
iii
CC
CC
C
d
d
0 1
1
1
.
Substituind n mod adecvat pentru a obine o ecuaie n necunoscuta uC se obine ecuaia
diferenial
-2 0 2 4 6 8 10-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
t (s)
iL (A)
RR
1
i
i
i
E
t=0
CuC
C
R
tuRCuE CC
d
d32 .
Ecuaia caracteristic ataat ecuaiei difereniale, 032 RCs are soluia RC
s3
2 .
Soluia general este de forma )()()( tututupermliber CCC
. Componenta de regim liber este
soluia ecuaiei difereniale omogene , stC eAtu liber )( , iar componenta de regim permanent
reprezint valoarea ctre care tinde uC n noul regim permanent care se stabilete dup
terminarea regimului tranzitoriu. n acest caz , deoarece iC perm=0, iperm=i1perm=E/2R, iar uC
perm=Ri1perm=E/2. Impunnd condiia de conservare a tensiunii pe condensator n momentul
comutaiei se obine
2/02/)0( EAEAuC i soluia este
tRC
C eE
tu 32
12
)( .
P3. n circuitul din Fig.6.3.a la momentul t=0 comutatorul trece de pe poziia (1) pe
poziia (2). Parametrii circuitului sunt R1=3, R2=1, C=1F, E=4V. Se cere s se determine
tensiunea la bornele condensatorului dup comutare.
(a) (b) (c)
Fig.6.3
Indicaii
a) Determinarea condiiilor iniiale (analiza pentru t0 , comutatorul pe poziia (2) Fig.6.3.c
t
uCi
iii
iRu
iRuE
CC
C
C
C
d
d
21
22
11
2
11 1
d
d
R
Ru
t
uCRE C
C .
Ecuaia caracteristic 3
4110
||21
211
2
1
CRCRR
RRsCsR
R
R.
V1)(;)(21
2
ERR
RtueAtu
permliber C
ts
C . 431)0(;1)(3
4
AAueAtu Ct
C
t
C etu3
4
41)(
.
21
i
ii
C
R1
2
E
C
u C
R
t>0
2
1
i
i
i
C
R1
2
E Cu (0)C
R
t
P4. n circuitul din Fig.6.4.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Sursa de
tensiune furnizeaz tensiunea E1=constant. S se determine uC(t) dup comutare.
(a) (b) (c)
Fig.6.4
Indicaii
Schema nainte de comutare este reprezentat n Fig.6.4.b. Regimul este staionar.
Rezult 1321
3)0( ERRR
RuC
. Schema pentru determinarea tensiunii uC(t) dup comutare
este reprezentat n Fig.6.4.c. Condensatorul se descarc pe grupul de rezistene R2 n paralel
cu R3 conform relaiei:
CR
t
CC eutu||)0()(
.
P5. n circuitul din Fig.6.5.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Sursa de
tensiune furnizeaz tensiunea E=25V; ceilali parametri au valorile R1=2,25k, R2=4k,
L=9mH, C=1/90 F. Se cere tensiunea uC(t) dup comutare.
(a) (b) (c)
Fig.6.5
Indicaii
Analiza pentru determinarea condiiilor iniiale se face pe schema din Fig.6.5.b n care
bobina s-a nlocuit cu un scurtcircuit (regim staionar). Se obine iL(0)=0, uC(0)=E=25V.
Dup comutare se analizeaz circuitul din Fig.6.5.c. Sistemul de ecuaii:
t
uCi
ut
iLiR
iRiRE
iii
CL
CL
L
d
d
d
d22
2211
21
.
Ecuaia diferenial avnd ca necunoscut pe uC(t) este
i
i
i 3
C
2
C
uC
RR 32
t>0
R1
1
2
E
t=0
C
uC
R
R3
i
i
i 3
C
1 1
1
2
E C
u (0)C
R +R
R3
t
21
2
21
21
2
2
d
d
d
d
RR
REu
u
uC
RR
RR
t
uLC C
C
CC
.
Circuitul este un circuit de ordinul II. Soluia general )()()( tututupermliber CCC
, n care
tsts
C eAeAtu liber21
21)( , s1 i s2 fiind rdcinile ecuaiei caracteristice ataate ecuaiei
difereniale
0121
212
sCRR
RRsLC . Numeric se obine s1=-80000+60000j, s2=-80000-60000j.
Soluia de regim permanent se obine analiznd circuitul din Fig.6.5.c n regim staionar,
bobina fiind un scurtcircuit. Se obine iL perm=0, V1621
2
ERR
Ru permC .
Curentul tstsLLCL eAseAsCiit
uCi
liberperm
21
2211d
d . Condiiile de conservare se impun
pentru iL(0) i pentru uC(0).
Se obine sistemul algebric n necunoscutele A1 i A2
0
9
2211
21
AsAs
AA avnd soluia A1=4,5-6j , A2=4,5+6j .
n final, nlocuind i grupnd termenii pentru a pune n eviden funciile cu valori reale, sinus
i cosinus, se obine soluia
)60000sin(1260000cos916)( 80000 ttetu tC ,
avnd graficul reprezentat n Fig.6.5.d. Regimul tranzitoriu este oscilant amortizat.
P6. n circuitul din figur la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Parametrii
circuitului sunt: U=10V, L=1H, C=1F, 2250R . Se cere tensiunea la bornele
condensatorului dup comutare.
Fig.6.6
Indicaii
Circuitul are condiii iniiale nule , uC(0)=0, iL(0)=0.
0 1 2 3
x 10-4
15
20
25
t (s)
uC (V)
t=0
Cu
C
R
LL
2
U
Sistemul de ecuaii:
t
uCii
Riu
ut
iLU
CL
C
CL
d
d
d
d
2
2
.
Ecuaia diferenial n necunoscuta uC : CCC ut
u
R
L
t
uLCU
d
d
d
d2
2
.
Ecuaia caracteristic 0112 LC
sRC
s , cu rdcinile )12(10002,1 s (reale, negative,
regim tranzitoriu aperiodic).
Soluia de regim permanent uC perm=U=10V. Soluia de regim liber tsts
liberC eAeAtu21
21)( .
tsts
C eAeAUtu21
21)( , t
uC
R
u
t
uCii CCCL
d
d
d
d2 .
Constantele A1 i A2 se determin din condiiile iniiale
0)()0(
0)0(
221121
21
AsAsCR
AA
R
Ui
AAUu
L
C
. Numeric se obine )12(5,)12(5 21 AA .
Soluia pentru uC(t) este ttC eetu 2,24142,414 12512510)( .
1
SEMINARUL 7
CIRCUITE ELECTRICE LINIARE N REGIM TRANZITORIU.
ANALIZA CU AJUTORUL TRANSFORMATEI LAPLACE
P1. n circuitul din Fig.7.1.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Tensiunea de
alimentare este U0=constant. Se cere curentul prin bobin i tensiunea pe condensator dup comutare.
(a) (b)
(c) (d)
Fig.7.1
Rezolvare
a) Stabilirea condiiilor iniiale.
Se analizeaz circuitul din Fig.7.1.b (ntreruptorul deschis). Regimul este staionar i bobina
a fost inlocuit cu un scurtcircuit. iC(0)=0, nct 21
022
21
0 )0()0(,)0(RR
URiRu
RR
Ui LCL
.
b) Schema circuitului dup comutare, n domeniul timp, este reprezentat n Fig.7.1.c.
Schema echivalent operaional asociat acesteia este reprezentat n Fig.7.1.d. Se observ prezena
surselor operaionale de tensiune : (0), corespunztoare fluxului magnetic iniial prin bobin (n
serie cu bobina, n sensul curentului iL(0)), respectiv uC(0)/s, corespunztoare tensiunii iniiale pe
condensator (n serie cu condensatorul, avnd polaritatea tensiunii iniiale pe condensator, uC(0)).
Sistemul de ecuaii obinut prin utilizarea formei operaionale a TK I + TK II +TJ este de
forma:
)()()(
)(1)0(
)()()0(
30
20
sIsIsI
sIsC
Rs
u
s
U
sIsLRs
U
CL
CC
L
.
R
R R
L
1
2 3
U t = 00
CuC
Li
R
R R
L
1
2 3
U0
Cu (0)C
i (0)L
Ci i1
t < 0
R R
sL
2 3
U s
0
u s(0)
U s( )C
C
L
C
1sC
I s ( )
I s ( )
(0)
Li
R R
L
2 3
U0
C
uC
t > 0
2
Din prima ecuaie se obine )(
)(1
)0()0(
)(2
210
2
0
2
0
sQ
sP
L
Rss
RR
Ls
L
U
sLRs
sLiU
sLR
s
U
sI LL
.
Formula de inversiune a lui Heaviside permite exprimarea funciei original atunci cnd
transformata sa Laplace este un raport de polinoame n variabila s. Astfel, dac )(
)()(
sQ
sPsF , n care
cele dou polinoame P(s) i Q(s) sunt prime ntre ele, gradul{ P(s)}
3
)(
)(
)(
1
)(
)0(
)(
21
2121
1
10
2121
110
1sQ
sP
LL
RRsLLs
sR
LE
LLsRR
iLs
E
sI
.
Impunnd Q(s)=0 se obin rdcinile s1=0, 21
212
LL
RRs
.
Calculnd derivata numitorului,21
212)('LL
RRssQ
, i utiliznd formula de inversiune a lui
Heaviside se obine curentul i1(t):
tLL
RR
ts
LLR
LRLR
RR
E
sQ
sP
Q
PsIti
21
21
2
-
211
1221
21
0
2
21
11
e)(
1
e)('
)(
)0('
)0()()( L
n Fig.7.2.c este reprezentat semnalul i1(t).
P3. n circuitul din Fig.7.3.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Parametrii circuitului
sunt R1=1, R2=1, L=1H, C=1F, E=6V. Se cere s se determine tensiunea pe condensator dup
comutare.
(a) (b)
Fig. 7.2
R
R
i t( )
i
L
L
111
2
2
2
E
t = 00
R
R
I s( ) sL
sL
11 11 1
2
2
E s
0
L i (0)
ER + R
ER
1
1
2
0
t
i1
0
a b )
c)
R L1
2
C
ii C
C
L
i
E
t = 0
R2
u
R sL1
2
1sC
I s( )I s( ) C
C
L
I s( )
Es
R2
U s ( )
4
Fig.7.3
Rezolvare
Circuitul are condiii iniiale nule. Schema echivalent operaional dup comutare este
reprezentat n Fig.7.3.b. Utiliznd TK i regulile de grupare a impedanelor operaionale, tensiunea
UC(s) se poate exprima sub forma:
sCR
sCR
sCR
sCR
sLR
s
E
sCR
sCR
sIsU LC 1
1
1
11
1
)()(
2
2
2
2
1
2
2
.
nlocuind valorile numerice i aducnd la forma raport de polinoame se obine:
)()(
22
6)(
2 sQ
sP
ssssUC
.
Ecuaia Q(s)=0 are rdcinile s1=0, s2=-1+j, s3=-1-j, iar ))(()()()(' 3232 sssssssssssQ .
Aplicnd formula de inversiune a lui Heaviside se obine
34
sin23)(
tetu tC .
P4. n circuitul din Fig.7.4.a la momentul t=0 ntreruptorul trece de pe poziia (1) pe poziia
(2). Tensiunea sursei este U0=constant. Se cere s se determine tensiunea pe condensator dup
comutare.
(a) (b) (c) (d)
Fig.7.4
Indicaii
Schema pentru determinarea condiiilor iniiale este reprezentat n Fig.7.4.b. Se obine
uC(0)=U0, iL(0)=0. Schema dup comutare este reprezentat n Fig.7.4.c, iar schema echivalent
operaional ataat acesteia , n Fig.7.4.d. Se pot exprima IL(s) i UC(s):
sCsLR
s
u
sI
C
L 1
)0(
)(
2
,
LCs
L
RsLCs
su
sCsLR
s
u
sCs
usI
sCs
usU C
C
CL
CC
1
11)0(
1
)0(1)0(
)(1)0(
)(22
2
.
Condensatorul se descarc pe grupul serie R2 L , procesul tranzitoriu putnd fi aperiodic sau
R L1
C
C
U
t = 0
R2
u
(1) (2)
0
R1
C
C
U
u (0)
0
t < 0
iLL
C
C
R2
u
t > 0
I s( )LsL
C
R2
U s( )
t > 0
1sC
us
(0)
C
5
oscilant amortizat n funcie de natura rdcinilor ecuaiei 0122
LCs
L
Rs (reale sau complexe).
P5. n circuitul din Fig.7.5.a la momentul t=0 se deschide ntreruptorul. Curentul
generatorului este Ig=constant. Se cere s se determine curenii i1(t), i2(t) dup comutare.
(a) (b) (c)
Fig.7.5
Rezolvare
Schema pentru determinarea condiiilor iniiale este reprezentat n Fig.7.5.b. n aceast
schem bobinele au fost nlocuite cu scurtcircuite, iar generatorul real de curent cu unul real de
tensiune. Se pot scrie ecuaiile:
21
21
2211
21
)0(
)0()0(
)0()0()0(
RR
RRR
RIi
iRiR
iii
g
. Rezult
2121
1
2
2121
2
1
)()0(
)()0(
RRRRR
RIRi
RRRRR
RIRi
g
g
.
Schema echivalent operaional dup comutare este reprezentat n Fig.7.5.c. Se observ
prezena surselor operaionale de tensiune corespunztoare condiiilor iniiale, 1(0)=L1i1(0),
2(0)=L2i2(0), n serie cu cele dou bobine. Se poate scrie sistemul de ecuaii
)0()()()0()()(
)()(
22221111
21
iLsIsLRiLsIsLR
sIsIs
Ig
.
Se obine
)(
)(
)(
))0()0(()()(
)()(
21
2121
112211
2
21
sQ
sP
LL
RRsLLs
iLiLsIsLRsI
sIs
IsI
g
g
.
Ecuaia Q(s)=0 are rdcinile s1=0, 21
212
LL
RRs
, iar
21
212)('LL
RRssQ
.
Utiliznd formula de inversiune a lui Heaviside se obine
RR R
LL
2
2
1
1 t = 0
Ig
1
2
i (0)
i (0)
RR
R
21R Ig
RR
sLsL
2
2
2
2
1
1
1
1
Is
g
I s ( )
I s ( )
(0) (0)
6
)()(
)(
)(11)(
21
2121
2211
21
21
21
1
221
21
tiIti
eRRRRR
RLRRL
LL
RR
RR
IRti
g
tLL
RR
g
.
P6. n circuitul din Fig.7.6.a la momentul t=0 se deschide ntreruptorul. Parametrii
circuitului sunt: E=500V, R1=25, R2=100, L=5mH, C=10F. Se cere tensiunea uC(t) dup
comutare.
(a) (b) (c)
Fig.7.6
Indicaii
Schema pentru determinarea condiiilor iniiale este reprezentat n Fig.7.6.b. uC(0)=E,
iL(0)=E/R2. Schema echivalent operaional dup comutare este reprezentat n Fig.7.6.c. Numeric
se obine
)4000sin(6)4000cos(85,12400)( 3000 ttetu tC .
P7. n circuitul din Fig.7.7.a la momentul t=0 se nchide ntreruptorul. Sursa de tensiune este
E=constant. Se cere s se determine curentul n secundar, i2(t), dup comutare.
Fig.7.7
Rezolvare
Condiiile iniiale sunt RR
Ei
1
1 )0( , i2(0-)=0,
1
1212111 )0()0()0(RR
ELiLiL
, )0()0()0()0( 112112222 iLiLiL .
Schema echivalent operaional este prezentat n Fig.7.7.b. Ecuaiile de tensiuni n form
operaional au expresiile:
)()()()0(
)()()()0(
1122222
2121111
sIsLsIsLR
sIsLsIsLRs
E
.
Rezolvnd sistemul n raport cu I2(s) se obine:
)(
)(
)()(
)0())0()0(()(
21211221221
2
1221112212
sQ
sP
RRLRLRsLLLs
LERLLssI
.
Notnd cu s1 i s2 rdcinile polinomului Q(s), curentul i2(t) va fi de forma:
Fig.7.7
R
R
L1
2E
t = 0
CuC
R2E C
u (0)C
CLi (0) i (0)
R
sL
2E
1sC
us (0)
C
C
I s( ) I s( )
I s( )
L C
2
(0)
u s ( )
R1
7
tsts
sQ
sP
sQ
sPti
21 e)('
)(e
)('
)()(
2
2
1
12 .
Trebuie observat c rdcinile s1, s2 sunt reale i negative pentru orice valori ale elementelor de
circuit, fapt ce poate fi uor verificat, regimul tranzitoriu fiind aperiodic cu 0)(lim 2
tit
. n secundar
apare un curent doar pe durata regimului tranzitoriu.