Seminar

Anomalni magnetni moment miona

FMF

Iztok Pizorn

Mentor: dr. Bostjan Golob

8. december 2004

Povzetek

National Brookhaven Laboratory je januarja 2004 objavil se natancnejsi rezultat [1] meritve

anomalije dipolnega magnetnega momenta miona (g− 2), ki se se vedno vztrajno razlikuje od

vrednosti, napovedane v Standardne modelu. Tokrat je napaka tako majhna, da se napoved

Standardnega modela od eksperimentalne vrednosti razlikuje kar od 1.6 do 2.7 standardne

deviacije. V grobem to pomeni, da je moznost statisticne fluktuacije od 0.007 do 0.16, kar

nakazuje na to, da je Standardni model morda nepopoln. Seminar skusa predstaviti princip

eksperimenta, da bi se tako prepricali o njegovi verodostojnosti in natancnosti. Pri tem

predstavi fizikalne osnove, na katerih eksperiment temelji, metodo merjenja kljucnih kolicin

in meritvene instrumente, na koncu pa se nakaze strukturo napake. Hkrati orise napoved

Standardnega modela in prikaze odstopanja od eksperimentalno izmerjenih vrednosti.

1

Kazalo

1 Uvod 3

2 Teorija 4

2.1 Relativisticna kvantna mehanika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.2 Popravki visjega reda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2.1 Numericne vrednosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Eksperiment 8

3.1 Koncept . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

3.2 Postavitev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.3 Vertikalno fokusiranje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.4 Meritev magnetnega polja B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.5 Meritev precesijske frekvence ωa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

4 Primerjava eksperimentalnih rezultatov in teorijskih napovedi 13

5 Zakljucek 14

2

1 Uvod

Zelja sodobnega fizika je najti teorijo, ki bi pojasnila celotno vesolje in vsa dogajanja v njem,

pri cemer ne bi potrebovala rocnega uglasevanja. A vendarle, kdor ni idealist, se bo zadovoljil

tudi z nekaj rocnega dela. Poskus teorije o fundamentalni zgradbi vesolja, kakor si ga trenutno

predstavljamo, se imenuje Standardni model (SM). Ce ga uglasimo s pravimi parametri (19 oz. 29

parametrov) se njegove napovedi izjemno dobro ujemajo z eksperimenti.

Na podlagi SM je kvantna elektrodinamika pojasnila tudi anomalni magnetni moment elek-

trona, to je odstopanje od znane vrednosti g = 2 za spinsko giromagnetno razmerje, natancno kar

na osem decimalnih mest. Podoben scenarij se je odvijal pri elektronovem tezjem bratu mionu;

toda proti koncu se nam dozdeva, da se resnicnost ne drzi poti, ki jo je zacrtal SM.

Eksperiment g-2 poteka z namenom dolocitve odstopanja magnetnega momenta miona aµ =

(g−2)/2 od vrednosti, ki nam jo ponuja relativisticna kvantna mehanika. Natancnost eksperimenta

vedno bolj krci interval dopustnih vrednosti [14, 15, 1] in kaze, da postaja prekrivanje intervala z

vrednostjo, ki jo napove SM, vedno slabse.

Da ne bi misli slepo usle do prehitrih zakljuckov, se moramo prepricati o kredibilnosti eksper-

imenta g-2, ki bi lahko odlocilno vplival na fizikalni svet in morda omajal model, ki ga tako zelo

cenimo. Eksperiment izvajajo znanstveniki v kolaboraciji Muon (g-2) Collaboration Brookhaven,

NY in so prve izsledke objavili leta 2001. Napoved SM se je od njihove vrednosti razlikovala kar za

2.6 standardne deviacije (σ), kar je osupnilo skupnost v fiziki delcev. Kmalu se je izkazalo, da so

se pri teoreticni napovedi zmotili v predznaku pri hadronskem prispevku. Popravljena vrednost je

tako odstopala od teoreticne “le” za 1.6 σ. Julija 2002 [2] je skupina objavila nove, se natancnejse

rezultate in jih januarja 2004 se enkrat potrdila. Pri teoreticni napovedi so se tokrat bolj potrudili

in ponudili kar nekaj moznih napovedi, ki so od eksperimentalne odstopale od 1 σ pa vse do 3 σ.

Na vprasanje, ali so odstopanja le statisticne narave ali pa SM ne zajema celotne resnice, bodo

odgovorili raziskovalci v eksperimentalni fiziki delcev, s tem ko bodo dolocili statisticno napako

meritev. Eksperiment tako pogojuje veljavnost teorij, zato je tudi za teoretike nujno potrebno, da

se seznanijo z njim in ga razumejo.

3

2 Teorija

Da bomo spoznali problem, se najprej na kratko pomudimo s teorijo in v poljudnem smislu for-

mulirajmo napoved SM.

2.1 Relativisticna kvantna mehanika

Dinamiko delca s polovicnim spinom, nabojem e in maso m opisemo v relativisticni mehaniki [3]

, namesto s Schroedingerjevo enacbo, z Diracovim formalizmom, ki sledi iz relativisticne enacbe

E2 = m2c4 + p2c2, natancneje iz E = ±√m2c4 + p2c2:

ih∂ψ

∂t=[cα · (−ih∇) + βmc2

]ψ. (1)

Zaradi lepsega zapisa bomo presli v sistem, kjer je h = c = 1. Definirajmo se γi = βαi, γ0 = β, s

cimer Diracova enacba preide v

[iγµ∂µ −m]ψ = 0. (2)

Ob vkljucitvi (elektromagnetnega) polja moramo zaradi simetrijskih zahtev gradientni operator

∂µ nadomestiti s kovariantnim odvodom ∂µ → ∂µ + ieAµ, kjer je Aµ potencial polja:

[iγµ(∂µ + ieAµ)−m]ψ = 0. (3)

Resitev v stiridimenzionalnem prostoru razcepimo na dva podprostora, mimogrede se odlocimo

za reprezentacijo matrik γµ:

ψ =

(ϕ

χ

), γi =

(0 σi

−σi 0

), γ0 =

(I 0

0 −I

). (4)

Enacba se v nerelativisticni limiti (χ� ϕ =⇒ χ→ σ·pE+mϕ) po nekaj korakih reducira na Paulijevo

enacbo za dvokomponentni spinor ϕ:

i∂ϕ

∂t=[(−i∇− aA)2

2m− e

2mσ ·B + eA0

]ϕ. (5)

Energija magnetnega dipola v magnetnem polju se zapise kot −µ·B, v zgornji enacbi jo predstavlja

drugi clen na desni, torej se magnetni moment zapise kot

µ =e

2mσ =

e

2m(2S), (6)

kjer je S operator spina. Ce zapisemo izraz za dipolni magnetni moment µ = g 22mS, iz enacbe

preberemo vrednost za giromagnetno razmerje:

µ = g( e

2m

)(σ2

)=⇒ g = 2. (7)

Vemo, da je giromagnetno razmerje v resnici razlicno od vrednosti g = 2, anomalijo oznacimo

z a = (g − 2)/2; odstopanja za elektron odlicno napove kvantna elektrodinamika v okviru kvantne

teorije polja.

4

2.2 Popravki visjega reda

Za opis odziva na zunanje elektromagnetno polje v resnici ni dovolj le minimalna sklopitev ∂µ →∂µ + ieAµ, temvec je potrebno upostevati tudi visje rede in preostale delce [4]. Delec namrec lahko

izseva in absorbira virtualne delce; zunanje magnetno polje (foton) interagira s takim “oblecenim”

delcem, kar spremeni njegov magnetni moment.

Prispevke visjih redov opise kvantna teorija polja, s katero se zaradi kompleksnosti in neprimer-

nosti za dodiplomske studente ne bomo ukvarjali; pac pa bomo uporabili Feynmannove diagrame,

s katerimi bomo ponazorili visje rede interakcije.

Slika 1: Prvi red interakcije da g = 2 (a), prvi visji red (b) popravi vrednost z redom velikosti α.

V osnovi interakcijo dipolnega magnetnega momenta z magnetnim poljem predstavimo s Feyn-

mannovim diagramom 1 (a). Prvi visji clen predstavimo kot 1 (b). Za prvi visji red je razumljivo,

da je popravek sorazmeren z α: imamo dve dodatni vozlisci, od katerih vsako prispeva e ∝√α.

Elektrodinamski prispevek sestavljajo vsi visji redi, pri katerih se izsevajo in absorbirajo fotoni.

Poleg EM interakcije moramo upostevati tudi mocno in sibko interakcijo (slika 2.2). Mocna in

sibka interakcija imata manjso sklopitveno konstanto, zato so popravki, ki izvirajo iz njiju, dosti

manjsi.

Foton, ki ima dovolj visoko energijo, lahko ustvari par delec-antidelec, ki se kasneje anihilirata

nazaj v foton. Elektron ima majhno maso, zato energija virtualnih fotonov ni dovolj velika, da

bi ustvarjeni pari (hadronske zanke) zaznavno prispevali k magnetnemu momentu. Drugace je

pri mionu, ki je priblizno dvestokrat tezji od elektrona, torej je energija virtualnega fotona (ki

5

je v tovrstnih procesih sorazmerna kvadratu mase miona) kar za faktor(

mµ

me

)2

∼ 4 · 104 visjo

energijo in je moznih dosti vec hadronskih zank. Prispevek hadronskih zank ni omejen na kratke

razdalje (kakor prispevek virtualnih fotonov), temvec je intrinzicno neperturbativna kolicina, kar

predstavlja resen teoreticni problem [4].

Prispevke k anomaliji aµ lahko razdelimo na tri vrste:

aµ = aQEDµ + ahad

µ + aweakµ . (8)

Clen aQED oznacuje vse prispevke, ki izhajajo iz Feynmannovih diagramov, ki vsebujejo le virtualne

fotone. Drugi clen ahad vsebuje hadronske zanke, tretji (najmanjsi) pa prispevke sibke interakcije.

Slika 2: Hadronske zanke, ki prispevajo k dipolnemu mag. momentu (a), nastopajo v procesu (b),

ki prispeva pri (d), to je anihilaciji elektrona in pozitrona v hadrone, ki je precej dobro izmerjena.

Ocena prispevkov hadronskih zank (slika 2.2 a) k dipolnemu magnetnemu momentu temelji na

podobnosti procesom (slika 2.2 b), ki prispevajo pri anihilaciji elektrona in pozitrona v hadrone,

ki je precej dobro izmerjena. Oceno prispevka hadronskih zank, ki sledi iz te anihilacije, oznacimo

z ahadµ (ee+).

Podobne popravke moramo upostevati tudi pri razpadu leptona τ v hadrone. Ce uporabimo

te izracune, dobimo popravek ahadµ (τ), ki se zal ne ujema dobro [19] s prejsnjim ahad

µ (ee+).

Opazimo, da prispevka ahad ne znamo dobro izracunati, ker je kompliciran. V resnici je lahko

karkoli podobnega temu na sliki 2.2 c.

2.2.1 Numericne vrednosti

Napoved SM je sestavljena iz kvantnoelektrodinamskega, hadronskega in sibkega prispevka [16, 17].

aµ(QED) = 11 658 470.57(29) × 10−10

aµ(weak) = 15.4(2) × 10−10.

Velikost hadronskega prispevka, izhajajoc iz obeh primerov e+e in τ , znasa

aµ(had, ee) = 696(7) × 10−10

aµ(had, τ) = 711(6) × 10−10.

6

Slika 3: Prispevki k aµ. Najvec prispeva QED, naslednji prispevek je za stiri rede manjsi.

V obeh primerih napaka izvira predvsem iz prispevka hadronskih zank, saj ga je zaradi nepertur-

bativnosti tezko dolociti.

aµ(SM) = 11 659 181(8)× 10−10 (0.7 ppm), e+e−

aµ(SM) = 11 659 196(7)× 10−10 (0.6 ppm), τ

7

3 Eksperiment

3.1 Koncept

V idealiziranem eksperimentu (g − 2) postavimo curek mionov v homogeno magnetno polje, v

katerem se mioni krozno gibljejo s ciklotronsko frekvenco

ωc =eBmγ

. (9)

To je klasicna frekvenca krozenja nabitega delca v magnetnem polju, zaradi relativisticnih hitrosti

dodamo faktor γ pri masi.

Mioni imajo magnetni dipolni moment, zato polje nanje deluje z navorom µ × B. Ta na-

vor povzroca precesijo mionovega spina s frekvenco ωs = gµ2

2mB. Ker elektron krozi, moramo

upostevati se relativisticen popravek, ki se imenuje Thomasova precesija [6]. Skupna precesijska

frekvenca je

ωs = gµe

2mB + (γ − 1)

eBmγ

=eBm

[(g − 2

2

)+

1γ

]≡ eB

m

[aµ +

1γ

]. (10)

Razlika predstavlja frekvenco, s katero spin precedira okoli smeri magnetnega polja (torej

vrtilne kolicine).

ωa = ωs − ωc = aµe

mB. (11)

Opazimo, da je precesijska frekvenca sorazmerna z anomalijo. Zveza je se posebej ugodna, ker ni

potrebno meriti celotnega giromagnetnega razmerja gµ, temvec merimo neposredno anomalijo z

natancno meritvijo precesijske frekvence, ce le dovolj dobro poznamo magnetno polje.

Slika 4: Fizika eksperimenta g − 2, Brookhaven National Laboratory, E821.

8

3.2 Postavitev

Pospesene protone zaletimo v tarco, pri cemer nastanejo pioni. Pioni razpadejo v mione in mionske

antinevtrine. Zaradi dejstva, da v naravi obstajajo le levosucni nevtrini (oz. desnosucno an-

tinevtrini), so mioni longitudinalno polarizirani (spin kaze v smeri gibalne kolicine). Taksne mione

z energijo priblizno 3.1 GeV vbrizgajo v mionski krozni kanal [7] premera 14 m, v katerem je

homogeno magnetno polje gostote 1.45 T, odstopanja od homogenosti so prikazana na sliki 7.

Mionski curek vstopi v krozni kanal skozi obmocje brez polja, kar dosezemo s superprevodnim

“inflektorskim” magnetom. Da se curek po enem ciklu ne bi izgubil v instalaciji tega magneta, ga

na zacetku s pulznim magnetom potisnemo v centralno orbito.

Slika 5: Postavitev eksperimenta BNL E821. Slika mionskega kroznega kanala.

Mioni se v taksnem polju gibljejo po kroznicah (ciklotronska perioda τc = 150 ns), a ne dolgo,

saj niso obstojni, temvec preko sibke interakcije razpadajo (diletiran razpadni cas γτ = 64µs) v

pozitrone in nevtrine.

µ+ → e+νeνµ

Sibka interakcija krsi simetrijo parnosti, zaradi cesar pozitron najraje odleti v smeri mionskega

spina. Izstopne pozitrone zaznamo z detektorji, s cimer dolocimo smer spina miona. Stevilo poz-

itronov, ki jih zaznamo, zaradi razpadov eksponentno pojema, hkrati pa je modulirano s frekvenco

ωs − ωc ≡ ωa, o cemer se bomo prepricali kasneje.

3.3 Vertikalno fokusiranje

Pozicija v vertikalni smeri ni dolocena, zato moramo zagotoviti dodatno fokusiranje, saj bi delec s se

tako majhnim zacetnim vertikalnim kotom kmalu po spirali odletel iz kroznega kanala. Fokusiranje

zagotovimo z elektricnimi kvadrupoli [8]. To so ploscice, na katerih je ujet staticni elektricni naboj.

Ta na mione povzroci silo, ki jim preprecuje gibanje v vertikalni smeri. Prisotnost elektricnega

9

Slika 6: Presek kanala, postavitev merilnih celic za merjenje magnetnega polja.

polja spremeni precesijsko frekvenco, tako da je razlika enaka

ωa =e

m

[aµB−

(aµ −

1γ2 − 1

)β ×E

]. (12)

V enacbi zgornji predstavlja β hitrost miona v enotah svetlobne hitrosti. Pri “magicni” vrednosti

γ =√

1 + 1/aµ se vpliv elektricnega polja na spinsko precesijo izenaci z vplivom na ciklotronsko

frekvenco. Radialna komponenta elektricnega polja v laboratorijskem sistemu namrec prispeva k

magnetnemu polju v mirovnem sistemu miona, torej se spremeni frekvenca spinske precesije; Toda

istocasno ista komponenta elektricnega polja tudi spremeni rotacijsko frekvenco miona. Efekta sta

istega predznaka, torej je efekt na razliko, ωa, odvisen od njune razlike. Numericna vrednost za γ

znasa γ ∼ 29.3 in doloca energijo oz. gibalno kolicino mionov, ki jih potrebujemo.

3.4 Meritev magnetnega polja B

Magnetno polje izmerimo z NMR magnetometri [9] , ki merijo spinsko precesijo mirujocih protonov

v polju.

Magnetno polje nenehno meri 375 fiksnih merilnih celic, ki so vgrajene v steno vakuumske kletke

(slika 3.3). Teze je izmeriti magnetno polje vzdolz trajektorije mionov, merijo ga vsakih nekaj dni,

in sicer tako, da po kroznem obmocju zapeljejo majhen vozicek, na katerega je namescenih 17

merilnih celic. Tako dolocimo magnetno polje glede na azimut in s tem preverimo homogenost

(slika 7).

Iz precesijske frekvence protonov v NMR merilnih celicah dolocimo polje kot:

B =hωp

2µp, (13)

kjer je µp magnetni moment prostega protona. Od tod izrazimo anomalijo kot

aµ =ωa/ωp

µµ/µp − ωa/ωp≡ R

λ−R(14)

Razmerje λ = µµ/µp dolocimo iz mionske spektroskopije, to je iz meritve mikrovalovnega spektra

osnovnega stanja mionija [10].

10

Slika 7: Homogenost magnetnega polja. Na sliki so prikazana odstopanja od povprecja v ppm

(milijoninkah).

Merilne celice na vozickih so umerjene glede na standardno sfericno vodno merilno celico, ki je

natancna na 0.01 ppm [11].

Dobljena vrednost znasa [12]

ωp/2π = 61 791 595(15)Hz (0.17 ppm)

K napaki 0.17 ppm najvec prispevata umeritev merilnih celic glede na standardno in nelinearnost

pri dolocevanju polozaja vozicka.

3.5 Meritev precesijske frekvence ωa

Ze v konceptu smo ugotovili, da mion v kroznem kanalu razpade na pozitron in nevtrina. Zaradi

levosucnih nevtrinov in desnosucnih antinevtrinov pozitron najraje odleti v smeri mionovega spina.

Toda to ne pomeni, da ima pozitron takrat najvecjo energijo, saj vemo, da je ta najvecja takrat,

ko v odleti v smeri mionove gibalne kolicine (slika 8). Energija je torej modulirana s kotom med

spinom in gibalno kolicino; to je ravno precesija s frekvenco ωa. Poleg modulacije upostevamo se

eksponentno pojemanje stevila elektronov zaradi razpadov.

Slika 8: Energija pozitrona je najvecja takrat, ko v mirovnem sistemu odleti v nasprotni smeri kot

oba nevtrina.

Pozitrone zaznavamo s kalorimetri [13] v notranji strani kroga (slika 9). Kalorimeter je sestavl-

jen iz svincenih ploscic in scintilatorjev. Elektron v svincu zavorna seva in tako ustvarja fotone. Ti

v snovi tvorijo nove pare elektron-pozitron, ki spet zavorno sevajo, in tako dobimo elektromagnetni

11

pljusk. Od to ne samo zaznamo nabiti delec, temvec tudi dolocimo njegovo energijo. Ce izberemo

samo tiste nabite delce, katerih energija je vecja od neke referencne, potem stevilo zaznanih delcev

opisemo kot

N(t) = N0(E)e−t/(γτ) {1 +A(E) sin (ωat+ φa(E))} (15)

kjer je γτ ∼ 64µs diletiran mionski razpadni cas, A ∼ 0.4 amplituda asimetrije in φ faza oscilacije.

Slika 9: S kalorimetri zaznavamo nabite delce (pozitrone) in dolocimo njihovo energijo.

Rezultati meritev so prikazani na sliki 10. Ker je slika v logaritemski skali, je razvidno eksponentno

pojemanje stevila delcev, razvidne so tudi oscilacije s frekvenco ωa.

V resnici rezultate prilagajajo s funkcijo v (15), ki ji dodajo proste parametre, saj morajo

upostevati se popravke, kot so oscilacije zarka v pospesevalniku.

Meritve potekajo posebej za µ− in µ+, rezultata se skladata in po povprecenju dobimo koncno

vrednost

ωa/2π = 229 073.59(15)(5)Hz (0.7ppm),

kjer prvi oklepaj predstavlja nakljucno napako, drugi pa sistematsko [1].

12

Slika 10: Rezultati meritev na kalorimetrih. Slika je v log-skali.

4 Primerjava eksperimentalnih rezultatov in teorijskih napovedi

Zadnji rezultati eksperimenta E821, ki so bili objavljeni januarja 2004 [1], dajejo vrednost:

aµ(exp) = 11 659 208(6) × 10−10 (0.5ppm),

kjer je skupna negotovost sestavljena iz 0.4ppm statisticne negotovosti in 0.3ppm sistematske

negotovosti. Najnovejsi rezultati se dobro ujemajo s prejsnjimi meritvami [14, 15] (slika 4).

aµ(SM) = 11 659 181(8)× 10−10 (0.7ppm), e+e−

aµ(SM) = 11 659 196(7)× 10−10 (0.6ppm), τ

Razlika med eksperimentalno vrednostjo za aµ in teorijo standardnega modela je v prvem

primeru 2.7σ, v drugem pa 1.4σ [1]. Verjetnost za nakljucno fluktuacijo rezultata od prave vred-

nosti (ce je to napoved SM) je prvem primeru enaka 0.007, v drugem pa 0.16. Iz slike 4 je tudi

razvidno, da se rezultati meritev, ki imajo dovolj majhno napako, vsi razlikujejo v isto smer od

napovedi SM, kar se zmanjsa verjetnost za statisticno fluktuacijo.

13

Slika 11: Casovno zaporedje poskusov g − 2 na BNL do vkljucno leta 2004 z vrisano napako. Pri

letu 2004 rezultati obeh meritev za µ+ in µ−. Na desni napoved SM.

5 Zakljucek

Standardni model ze vrsto let vztrajno kljubuje vsem poskusom, da bi ga prikazali za nepravilnega,

saj njegove napovedi potrjujejo vsi do sedaj opravljeni eksperimenti. A vendar ni skrivnost, da

je tudi kot tak se vedno nepopoln., razsiritve pa so predmet spekulacij in jih eksperimenti se

ne potrjujejo. Eksperiment g − 2 v BNL je eden redkih, ki tudi z vecanjem natancnosti noce

konvergirati proti napovedi SM. Z zadnjimi rezultati je postal tako natancen, da nevarno omeji

verjetnost za nakljucno odstopanje, s tem ko potisne napoved SM v najboljsem primeru za vec

kot σ stran od izmerjene vrednosti.

Eksperiment meritve anomalije mionskega giromagnetnega razmerja je zanimiv predvsem iz

dveh razlogov. Prvi, teoreticni, je ne prevec dobro ujemanje z napovedjo SM, ki dopusca moznost

t.i. nove fizike, ali pa samo opozarja na neskladje pri napovedi hadronskega prispevka k anomaliji,

ce ga ocenimo iz anihilacije elektron-pozitron ali iz razpada leptona τ . Drugi, eksperimentalni,

izhaja iz konceptualne razumljivosti, saj eksperiment omogoca neposredno meritev anomalije, ne

da bi bilo potrebno meriti celotno giromagnetno razmerje g. Meritev temelji na dobro poznanih

procesih, kakor so razpadi leptonov, in po drugi strani na metodah kalorimetrije in NMR, ki sta

obe zelo dobro izpopolnjeni. Vse to se odraza v natancnosti, ki daje eksperimentu posebno tezo

in kredibilnost.

Da bi resnici enkrat koncno prisli do dna, bi bilo potrebno se povecati natancnost, tako da bi

omejili oscilacije v kroznem kanalu, se izboljsali homogenost magnetnega polja in ga se natancneje

merili z merilnimi sondami.

14

Literatura

[1] G. Bennet et al., hep-ex/0401008 (2004)

[2] G. Bennet et al., Phys. Rev. Lett. 89, 101804 (2002)

[3] Q. Ho-Kim, P.X. Yem, Elementary Particles and Their Interactions, Springer, 1998

[4] M. Kaku, Quantum Field Theory, Oxford University Press, 1993

[5] M. Knecht, hep-ph/0307239 (2003).

[6] L. Thomas, Phil. Mag. 3, 1 (1927).

[7] G. Danby et al., Nucl. Instrum. Meth. A457, 151 (2002).

[8] Y.K. Semertizidis et al., Nucl. Instrum. Meth. A503, 458 (2003).

[9] R. Prigl et al., Nucl. Instrum. Meth. A374, 118 (1996).

[10] W. Liu et al., Phys. Rev. Lett. 82, 711 (1999).

[11] X. Fei, V. Hughes and R. Prigl, Nucl. Instrum. Meth. A394, 349 (1997).

[12] H. Deng et al., hep-ex/0408148 (2004).

[13] S. Sedykh et al., Nucl. Instrum. Meth. A455, 346 (2000).

[14] H.N. Brown et al., Phys. Rev. Lett. 86, 2227 (2001).

[15] H.N. Brown et al., Phys. Rev. Lett. D62, 091101 (2000); R.M. Carey et al., Phys. Rev. Lett.

82, 1632 (1999).

[16] P.J. Mohr and B.N. Taylor, Rev. Mod. Phys. 72, 351 (2000).

[17] A. Czarnecki et al., Phys. Rev. D67, 073006 (2003).

[18] E. Sichtermann, hep-ex/0309008 (2003).

[19] R.R. Akhmetshin et al., hep-ex/0308008 (2003); M. Davier et al., hep-ph/038213 (2003).

15