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Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle 1
Ermittlung von MTTF/MTBFRobert Brendle
Hardware-Software-Co-Design
Universität Erlangen-Nü[email protected]
Seminar: Qualität und Zuverlässigkeit
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle 2
Übersicht
Einleitung
Mathematische Grundlagen
Das Romberg Verfahren zur Berechnung der MTTF
Demonstration anhand eines Beispiels
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Einleitung
MTTF = “mean time to failure”
Durchschnittliche Zeit bis zum ersten Ausfall eines Systems
MTBF = “mean time between failures
Die Zeit die ein System zwischen zwei Ausfällen läuft (exklusive Reparaturdauer)
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Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Einleitung
Durch künstliche Alterungstests
Berechnung der MTTF aus gegebenen Ausfallraten der im System verbauten Komponenten
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Wie kann die MTTF bestimmt werden?
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Mathematische Grundlagen
Einleitung
Mathematische Grundlagen
Das Romberg Verfahren zur Berechnung der MTTF
Demonstration anhand eines Beispiels
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Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Die Dichtefunktion Die Dichtefunktion beschreibt die Verteilung von
Wahrscheinlichkeiten zu einer stetigen Zufallsvariablen.
Die Fläche unter der Dichtefunktion besitzt immer den Inhalt 1
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Beispiel:Die Dichtefunktion der Log-Normalverteilung für ver-schiedene Streuungswerte
f(x) = 1!2!"x
e(ln x)2
2!2
!
f(x)
!!"! f(x)dx = 1
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Die Verteilungsfunktion Die Verteilungsfunktion gibt an mit welcher
Wahrscheinlichkeit die Zufallsvariable einen bestimmten Wert ≤ annimmt.
und
beschreibt die Wahrscheinlichkeit eines Ausfalles bis zum Zeitpunkt t
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F (x)X
Beispiel:Verteilungsfunktion der Log-Normalverteilung
F (t)
x
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Berechnung der MTTF
Einleitung
Mathematische Grundlagen
Das Romberg Verfahren zur Berechnung der MTTF
Demonstration anhand eines Beispiels
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Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Berechnung der MTTF Wie wird die MTTF bestimmt? Wahrscheinlichkeit für keinen Ausfall bis zum Zeitpunkt t:
Die MTTF berechnet sich also aus der gesamten Fläche unter
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R(t) = 1! F (t)
R(t)
MTTFR(t)
R(t)
MTTF
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Numerische Integration
Oft existiert keine geschlossene Formel für
Ein äusserst effizientes Verfahren zur numerischen Integration stammt von dem deutschen Mathematiker Werner Romberg. Es verbindet die Trapezregel mit der Richardson Extrapolation und kommt so nach relativ wenigen Rechenschritten zu einem sehr genauen Ergebnis.
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!!0 R(t)dt
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Die Richardson Extrapolation
Die Richardson Extrapolation ist ein Verfahren um aus 2 verschiedenen Näherungen eine noch bessere Näherung für das Ergebnis zu erhalten (sofern sich diese Näherungen nach einem Verfahren p-ter Ordnung berechnen lassen.
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UR =Uu!Ug( hu
hg)p
1!( huhg
)p= Ug + Uu!Ug
1!( huhg
)p
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Die Trapezregel Eine Funktion f wird durch n lineare Teilfunktionen ersetzt.
Für beliebig viele Intervalle gilt also:
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h = b!an
T (2) = h2 (f(a) + 2f(a + h) + f(b))
T (n) =h
2!f(a) + f(b) + 2
n!1"
i=1
f(a + ih)#
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Das Romberg Verfahren Zentraler Datentyp ist eine 2 dimensionale Matrix mit den
Näherungswerten des Integrals. Startwert an der Stelle 0,0 ist das Integral eine linearen
Funktion, die durch f(a) und f(b) geht. Trapezregel mit n=1 Die Schrittweite für die Trapezregel beträgt
und
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Numerische Mathematik I 377
Die Rombergsche T-Tafel
T0,0
T1,0 T1,1
T2,0 T2,1 T2,2
T3,0 T3,1 T3,2 T3,3
......
......
. . .
wird in der Reihenfolge T0,0, T1,0, T1,1, T2,0, T2,1, T2,2, T3,0, . . . berechnet.
Praxis: Berechne nur wenige (etwa m) Spalten der T-Tafel und breche ab,
wenn |Tj,m!1 ! Tj+1,m!1| " ! erfullt ist.
8.3 Romberg-Extrapolation Technische Universitat Bergakademie Freiberg, WS 2001/2002
Numerische Mathematik I 376
Romberg-Extrapolation: Wahle
h0 = b! a und hj =hj!1
2=
b! a
2j.
Bestimme Pk(0) mit dem Algorithmus von Neville-Aitken:
T0,0 =b! a
2[f(a) + f(b)] ,
Tj,0 =hj
2
!
"f(a) + 22j!1#
i=1
f(a + ihj) + f(b)
$
%
=12Tj!1,0 + hj
2j!1#
i=1
f(a + (2i! 1)hj) fur j = 1, 2, . . . ,
Tj,k =22kTj,k!1 ! Tj!1,k!1
22k ! 1=
4kTj,k!1 ! Tj!1,k!1
4k ! 1fur k " j, j # 1.
8.3 Romberg-Extrapolation Technische Universitat Bergakademie Freiberg, WS 2001/2002
Numerische Mathematik I 376
Romberg-Extrapolation: Wahle
h0 = b! a und hj =hj!1
2=
b! a
2j.
Bestimme Pk(0) mit dem Algorithmus von Neville-Aitken:
T0,0 =b! a
2[f(a) + f(b)] ,
Tj,0 =hj
2
!
"f(a) + 22j!1#
i=1
f(a + ihj) + f(b)
$
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=12Tj!1,0 + hj
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i=1
f(a + (2i! 1)hj) fur j = 1, 2, . . . ,
Tj,k =22kTj,k!1 ! Tj!1,k!1
22k ! 1=
4kTj,k!1 ! Tj!1,k!1
4k ! 1fur k " j, j # 1.
8.3 Romberg-Extrapolation Technische Universitat Bergakademie Freiberg, WS 2001/2002
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-NürnbergRobert Brendle
Das Romberg Verfahren Nochmal alle Berechnungsvorschriften zusammengefasst:
Sobald eine bestimmte Genauigkeit erreicht ist, kann die Berechnung abgebrochen werden. Das Fehlerglied hat den Wert:
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Numerische Mathematik I 376
Romberg-Extrapolation: Wahle
h0 = b! a und hj =hj!1
2=
b! a
2j.
Bestimme Pk(0) mit dem Algorithmus von Neville-Aitken:
T0,0 =b! a
2[f(a) + f(b)] ,
Tj,0 =hj
2
!
"f(a) + 22j!1#
i=1
f(a + ihj) + f(b)
$
%
=12Tj!1,0 + hj
2j!1#
i=1
f(a + (2i! 1)hj) fur j = 1, 2, . . . ,
Tj,k =22kTj,k!1 ! Tj!1,k!1
22k ! 1=
4kTj,k!1 ! Tj!1,k!1
4k ! 1fur k " j, j # 1.
8.3 Romberg-Extrapolation Technische Universitat Bergakademie Freiberg, WS 2001/2002
E = |Tj!1,j!1 ! Tj,j!1|
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Demonstration
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Einleitung
Mathematische Grundlagen zur Berechnung der MTTF
Berechnung der MTTF mittels Integration
Demonstration anhand eines Beispiels