SEMINARSKI RAD IZ KOLEGIJA NUMERIČKE METODE PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE PROBLEMA RUBNIH VRIJEDNOSTI

SVEUČILIŠTE JOSIPA JURJA STROSSMAYERA U OSIJEKUSTROJARSKI FAKULTET U SLAVONSKOM BRODU

ZAVOD ZA STROJARSKE KONSTRUKCIJE

SEMINARSKI RAD IZ KOLEGIJA NUMERIČKE METODE (D903)

PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE PROBLEMA RUBNIH VRIJEDNOSTI

GORAN MATANIĆ

12018080

U Slavonskom Brodu, 21. prosinca 2011.

GORAN MATANIĆ Numeričke metode

SADRŽAJ

1 Uvod.........................................................................................................................................2

2 Metoda težinskog reziduala.....................................................................................................3

2.1 Galerkinova metoda..........................................................................................................3

2.2 Primjer upotrebe Galerkinove metode na jednodimenzionalnom problemu....................3

3 Rayleigh – Ritzova metoda......................................................................................................6

3.1 Primjer upotrebe Rayleigh-ritzove metode na jednodimenzionalnom problemu.............6

4 Rješavanje problema metodom direktne integracije................................................................9

5 Provjera rješenja pomoću programa MDSolids.....................................................................11

6 Zaključak................................................................................................................................13

1


1 UVOD

Analitičkim metodama, koje se temelje na izravnoj integraciji diferencijalnih jednadžbi moguće je riješiti samo ograničen broj, jednostavnijih problema. Jednadžbe koje opisuju realne probleme često su vrlo složene, te ih kao takve nije moguće riješiti analitičkim postupkom, a njihovo pojednostavljivanje često unosi pogreške koje su dovoljno velike da su neprihvatljive.

Eksperimentalne metode imaju prednosti, ali i mnoge mane. Često procese nije moguće simulirati, jer npr. nije moguće postići realne uvjete ili se procesi u stvarnosti odvijaju presporo ili prebrzo. Mana eksperimentalnih metoda je i ta da su često vrlo skupe i dugotrajne.

Numeričke metode mogu uvelike zamijeniti eksperimentalne metode, s rezultatima dovoljno točnim za upotrebu u praksi. Često zahtijevaju manja sredstva i kraće vrijeme izvođenja, što je pospješeno razvojem računala. Iako numeričke metode imaju mnoge prednosti, eksperimentalne metode su potrebne, služile one kao provjera za numeričke metode ili za dobivanje podataka koji se koriste kao ulazni podaci za numeričke metode.

Postupak rješavanja problema numeričkim metodama sastoji se od 3 faze, kao što je to prikazano na slici 1.1:

Slika 1.1 Faze rješavanja problema numeričkim metodama

2


2 METODA TEŽINSKOG REZIDUALA

Metoda težinskog reziduala koristi se za približno rješavanje diferencijalnih jednadžbi, a temelji se na diferencijalnoj formulaciji. Više metoda spada pod metode težinskog reziduala, a neke od njih su Galerkinova metoda, metoda najmanjih kvadrata, kolokacijske metode itd. Najpoznatija od njih je Galerkinova metoda, a primjer izračuna pomoću Galerkinove metode biti će prikazan u ovom seminarskom radu.

2.1 GALERKINOVA METODA

Prvi je metodu predložio I.G. Bubnov, ali ju je za rješavanje problema mehanike čvrstih tijela prvi primjenio B.G.Galerkin. Prednost ove metode je u tome što je moguće rješavati i one probleme koji se ne mogu transformirati u varijacijski oblik, odnosno koji se ne mogu opisati funkcionalom.

U ovom seminarskom radu dan je problem rješavanja jednodimenzijskog problema, a rješenje jednodimenzijske diferencijalne jednadžbe moguće je zapisati u obliku:

w (x )=f i ( x )a i . (2.1)

Ukoliko se rješenje jednadžbe predstavi u tom obliku, nepoznati parametri računaju se pomoću sljedeće relacije:

∫0

l

(E I Yd4 wd x4 −qz) f id x=0 , i=1 ,2 , …, n . (2.2)

Provedemo li parcijalno deriviranje na prethodnom izrazu, slijedi:

∫0

l

(E I Yd2w

d x2

d2 f i

d x2−qz f i)d x+[ f i E I Y

d3 w

d x3 ]0

l

−[ d f i

d xE IY

d2w

d x2 ]0

l

=0 , i=1 ,2 , …, n . (2.3)

2.2 PRIMJER UPOTREBE GALERKINOVE METODE NA JEDNODIMENZIONALNOM PROBLEMU

Za konzolu zadanu i opterećenu prema slici 2.1, potrebno je izračunati funkciju pomaka primjenom Galerkinove metode.

Zadano: q, E, Iy, F = 5ql.

3


Slika 2.1 Zadana konzola

Geometrijski rubni uvjeti koji opisuju uklještenje na x = 0, kažu da su vertikalni pomak i nagib za x = 0 jednaki 0, odnosno:

w=0 id wdx

=0 .

Funkcija koja opisuje problem i zadovoljava rubne uvjete glasi:

w=∑i=1

2

ai f i=a1 x2+a2 x3 . (a)

Budući da je za x = 0, f i=d f i

d x

=0, izraz 2.3 prelazi u:

∫0

l

(E I yd2 w

d x2

d2 f i

d x2−q f i)dx−[ f i F ]

x= l2

=0 , i=1 ,2 (b)

Uvrštavanjem pretpostavljene funcije pomaka u prethodni izraz, dobiva se sustav dviju jednadžbi:

∫0

l

[ E I y (2a1+6 a2 x ) ∙2−q x2 ] d x−[ x2 F ]=0 , (c)

∫0

l

[ E I y (2a1+6 a2 x ) ∙6 x−q x3 ] d x−[ x3 F ]=0. (d)

Nakon integriranja i uvrštavanja vrijednosti za F, dobiva se sustav dviju jednadžbi s dvije nepoznanice, a1 i a2, iz kojeg je moguće izračunati njihove iznose:

4 a1 l+6 a2 l2=116

q l3

E I y

, (e)

6 a1l2+12 a2l3= q l 4

E I y

, (f)

4


odnosno u matričnom zapisu:

[ 4 l 6 l2

6 l2 12l3] [a1

a2]=q l3

EI [ 116l ] . (g)

Iz čega izračunate konstante a1 i a2 iznose:

a1=43

q l2

E I y

,

(h)

a2=−712

qlE I y

, (i)

odnosno funkcija pomaka glasi:

w=∑i=1

2

ai f i=43

q l2

E I y

x2− 712

qlE I y

x3

. (j)

5


3 RAYLEIGH – RITZOVA METODA

Rayleigh – Ritzova metoda koristi se za približno rješavanje problema rubnih vrijednosti, a zasniva se na varijacijskoj formulaciji problema. Za rješavanje problema, potrebno je zadovoljiti uvjet stacionarnosti funkcionala, koji ga opisuje, a jednak je ukupnoj potencionalnoj energiji.

Nepoznata funkcija pretpostavlja se kao i kod Galerkinove metode, u obliku sume umnožaka linearno neovisnih funkcija fi i nepoznatih parametara ai.

w=∑ ai f i (3.1)

Budući da se uzima funkcional u kojemu su sadržani prirodni rubni uvjeti, dovoljno je da pretpostavljena funkcija zadovoljava samo geometrijske rubne uvjete, a komponente pomaka najčešće se aproksimiraju polinomima ili trigonometrijskim funkcijama.

U ovom seminarskom radu razmatra se rješavanje problema savijanja štapa, čija ukupna potencijalna energija iznosi:

Π=12∫0

l

E I y ( d2 wd x2 )

2

d x−∫0

l

w qz d x−[w Fbz ]x=l−[−d wd x

M by ]x=l

. (3.2)

3.1 PRIMJER UPOTREBE RAYLEIGH-RITZOVE METODE NA JEDNODIMENZIONALNOM PROBLEMU

Za konzolu zadanu i opterećenu prema slici 3.1, potrebno je izračunati funkciju pomaka primjenom Rayleigh-Ritzove metode.


6



Geometrijski rubni uvjeti koji opisuju uklještenje na x = 0, kažu da su vertikalni pomak i nagib za x = 0 jednaki 0, odnosno:

w=0 id wdx

=0 .

Funkcija koja opisuje problem i zadovoljava rubne uvjete glasi:

w=∑i=1

2

ai f i=a1 x2+a2 x3 . (a)

Ukupna potencijalna energija iznosi:

Π=12∫0

l

E I y ( d2 wd x2 )

2

d x−∫0

l

w qz d x−[w Fbz ]x=l−[−d wd x

M by ]x=l

, (b)

od čega je potencijalna energija elastičnog deformiranja Π i jednaka:

Π i=12∫0

l

E I y ( d2 wd x2 )

2

d x . (c)

Uvrštavanjem funkcije w u izraz za energiju elastičnog deformiranja, te deriviranjem izraza dobiva se:

Π i=12∫0

l

E I y ( 2a1+6 a2 x )2d x . (d)

Integriranjem i sređivanjem izraza dobiva se:

Π i=E I y (2a12 l+6a1 a2l2+6 a2

2l3 ) . (e)

Potencijalna energija vanjskih sila iznosi:

Π e=−∫0

l

w qz d x− [w Fbz ]x=l−[−d wd x

M by]x=l

. (f)

Budući da u zadatku nema koncentriranog momenta, posljednji član izraza jednak je nuli, te energija vanjskih sila iznosi:

7


Π e=−∫0

l

w qz d x− [w Fbz ]x=l . (g)

Uvrštavanjem funkcije w u izraz za potencijalnu energiju vanjskih sila, dobiva se:

Π e=−q∫0

l

(a1 x2+a2 x3)d x−(a¿¿1 x2+a2 x3)F .¿ (h)

Integriranjem prvog člana izraza dobiva se konačan izraz za potencijalnu energiju deformiranja:

Π e=−q ( 13

a1l3+ 14

a2 l4)−(a¿¿1 l2+a2l3)5ql .¿ (i)

Nakon što su dobiveni izrazi za energiju elastičnog deformiranja i potencijalnu energiju vanjskih sila, moguće ih je uvrstiti u izraz za ukupnu potencijalnu energiju, čime se dobiva:

Π=E I y (2a12 l+6 a1 a2 l2+6 a2

2l3 )−q ( 64

a1 l3+ 68

a2 l4). (j)

Iz uvjeta ∂ Π∂ a1

=0 i ∂ Π∂ a2

=0, a parcijalnim deriviranjem dobivaju se dvije jednadžbe iz kojih je

moguće izračunati konstante a1 i a2:

4 a1 l+6 a2 l2=32

q l3

E I y

, (k)

6 a1l2+12 a2l3= 34

q l4

E I y

. (l)

Odnosno u matričnom zapisu:

[ 4 l 6 l2

6 l2 12l3] [a1

a2]=q l3

EI [ 3234

l ] . (m)

Iz čega konstante a1 i a2 iznose:

a1=98

q l2

E I y

,

(n)

a2=−12

qlE I y

. (o)

8


Odnosno funkcija pomaka glasi:

w=∑i=1

2

ai f i=98

q l2

E I y

x2−12

qlE I y

x3

. (p)

4 RJEŠAVANJE PROBLEMA METODOM DIREKTNE INTEGRACIJE

Kako bismo provjerili točnost rješenja pomoću Rayleigh-Ritzove i pomoću Galerkinove metode, sada će vrijednosti progiba biti izračunate pomoću metode direktne integracije. Biti će izračunate vrijednosti progiba na kraju i na sredini štapa.



9


Prvi korak u izračunavanju progiba je određivanje sile FA i momenta MA na mjestu uklještenja.

FA = 6ql, (a)

MA = 3ql2. (b)

Zatim se piše momentna jednadžba za lijevu polovicu štapa, s lijeva na desno:

M x1=M A−F A∙ x1+q ∙ x1 ∙

x1

2, (c)

E I y

d2 w1

d x2 =M x1=M A−FA ∙ x1+q ∙ x1 ∙

x1

2. (d)

Uvrštavanjem vrijednosti za moment MA i silu FA i integracijom slijedi:

d w1

d x=(3 q l2 x1−3ql x1

2+ 16

q x13+C1) ∙

1E I Y

. (e)

Za x1 = 0, nagib konzole α 1=dw1

dx1

=0, pa iz toga slijedi:

C1 = 0.

Daljnjim integriranjem slijedi:

w1=( 32

q l2 x12−ql x1

3+ 124

q x14+C2)∙ 1

E I Y

. (f)

Za x1 = 0, progib konzole w1 = 0, pa iz toga slijedi:

C2 = 0.

Sada je potrebno naći jednadžbu i za desnu polovicu štapa. Momentna jednadžba za desnu polovicu, pisana iz polovice štapa udesno glasi:

M x2=F ∙ x2+q ∙ x2∙

x2

2, (g)

E I y

d2 w2

d x2 =M x2=F ∙x2+q ∙ x2 ∙

x2

2. (h)

Uvrštavanjem vrijednosti za silu F i integracijom slijedi:

d w2

d x=(5 q l2 x1+

16

q x23+C1)∙ 1

E I Y

. (i)

10


Za x2 = 0, nagib konzole α 2=d w2

d x2

=α 1, pa iz toga slijedi:

C1∙1

E I Y

=α1 , (j)

odnosno

C1=α 1 E I Y .

Daljnjom integracijom dobiva se:

w2=( 56

ql x23+ 1

24q x2

4+α1 E I Y x2+C2) ∙1

E IY

. (k)

Za x2 = 0, progib konzole w2=w1( x1=

l2), pa iz toga slijedi:

C2∙1

E I Y

=w1 , (l)

Odnosno

C2=w1 E I Y .

Uvrštavanjem vrijednosti q = 1 N/mm, x1=x2=l2

, E = 210 GPa i I Y=2560000

12mm4

u

jednadžbe (3.6) i (3.11), dobiva se:

w1=5,638 ∙10−12 ∙ l4 , (m)

odnosno za l = 1000 mm, w1 = 5,638 mm.

w2=1,435676 ∙ 10−11 ∙l 4 , (n)

odnosno za l = 1000 mm, w2 = 14,3567 mm.

5 PROVJERA RJEŠENJA POMOĆU PROGRAMA MDSOLIDS

Pomoću programa MDSolids biti će provjerene izračunate vrijednosti. Ulazne vrijednosti zadane programu iznose:

E = 210 GPa

Iy = 2560000/12 mm4

11


l = 1000 mm

q = 1 N/mm

Slika 4.1 Podaci unešeni u program MDSolids

Slika 4.2 Rješenja nagiba i progiba dobiveni pomoću programa MDSolids

12


Slika 4.3 Usporedba rješenja progiba dobivenih pomoću Rayleigh-Ritzove i pomoću Galerkinove metode

Iz slike 4.2 vidljivo je da maksimalni progib izračunat pomoću programa MDSolids iznosi 14,416 mm.

Uvrštavanjem vrijednosti u jednadžbu (j) dobivenu pomoću Galerkinove metode, dobiva se maksimalni progib u iznosu od 16,7 mm.

Uvrštavanjem vrijednosti u jednadžbu (p) dobivenu pomoću Rayleigh-Ritzove metode, dobiva se maksimalni progib u iznosu od 13,95 mm.

Direktnim integriranjem dobiven je maksimalan progib u iznosu od 14,36 mm.

6 ZAKLJUČAK

U ovom seminarskom radu prikazan je način rada s metodom težinskog reziduala (Galerkinovom metodom) i Rayleigh-Ritzovom metodom. Za ovakav, relativno jednostavan jednodimenzionalan problem, do rješenja se može doći relativno jednostavno. Može se zaključiti da bi rješavanje višedimenzionalnih i složenijih problema zahtjevalo puno računanja i ne bi bilo tako jednostavno kao u ovdje prikazanim primjerima. Za takve proračune idealno bi bilo izvođenje ovih metoda pomoću računala, koje u kratkom vremenu može obaviti puno računskih operacija. Moglo bi se reći da je računanje pomoću papira i olovke za malo složenije probleme besmisleno, jer bi trajalo predugo.

13

Documents

SEMINARSKI RAD IZ KOLEGIJA NUMERIČKE METODE PRIBLIŽNO RJEŠAVANJE PROBLEMA RUBNIH VRIJEDNOSTI