OTVORENI UNIVERZITET “APEIRON” TRAVNIKFAKULTET POSLOVNE INFORMATIKE

SEMINARSKI RAD

DISKRETNE MATEMATIČKE STRUKTURE

PROFESOR:PROF. DR ESAD JAKUPOVIĆASISTENT:MR.SC ISMET VELAGIĆSTUDENT:NERMINKO MUJAČIĆ0131-09/VPI

0

TRAVNIK, MART 2010SADRŽAJ:

1.Uvod……………………………………………………………………………………………..11.1. (Osnovni pojmovi matematičke logike)……….……………………………………………...1

2.Kombinatorika…………………………………………………………………………………..52.1.Funkcije generatrise...…………………………………………………………………………5

3.Iskazna algebra…………………………………………………………………………………..93.1.Iskazne formule, tautologija…………………………………………………………………...9

4.Elementi teorije skupova……………………………………………………………………….144.1.Kardinalni broj skupa………………………………………………………………………...14

5.Kvantifikatorski račun prvog reda…..........................................................................................175.1.Interpretacije formula kvantifikatorskog računa......................................................................17

6.Grupe...........................................................................................................................................216.1.Permutacione grupe.................................................................................................................21

7.Algebarske strukture sa više operacija........................................................................................247.1.Prsten........................................................................................................................................24

8.Teorija grafova............................................................................................................................288.1.Izomorfizam grafova................................................................................................................28

9.Formalne teorije i izračunljivost.................................................................................................329.1.Rekurzivne i izračunljive funkcije...........................................................................................32

10.Račun vjerovatnoće...................................................................................................................3410.1.Slučajne veličine....................................................................................................................34

11.Elementi teorije igara................................................................................................................3611.1.Kombinovane strategije.........................................................................................................36

12.Zaključak..................................................................................................................................38

13.Literatura...................................................................................................................................44

1

1.UVOD 1.1(OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE)

Matematičke misli se izražavaju nekom od postojećih jezika (npr. bosanskom, hrvatskom, srpskom) koji je upotpunjen izvjesnim brojem specijalnih matematičkih simbola.Osnovne cijeline u jednom jeziku su rečenice. Od posebnog interesa su afirmativne rečenice koje imaju neki smisao. Ovakve rečenice se pod izvjesnim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.

Definicija 1. Afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita naziva se sud.

Primjer 1. Rečenica »7<15« je sud i to istinit, dok je rečenica »7 je kvadrat prirodnog broja« takođe sud ali neistinit.Kao što primjećujemo, sud ne može istovremeno biti istinit i neistinit (princip kontradikcije) a isto tako sud ne može biti ni istinit ni neistinit (princip isključenja trećeg).

Sudove obično obilježavamo velikim slovima latinice, npr.: P, Q, R, ... Za svaki sud P definiše se njegova vrijednost istinitosti pomoću

Vrijednost istinitosti suda obilježavaćemo odgovarajućim malim slovima latinice. Dakle, .Simbole 1 i 0 ne treba obavezno smatrati brojevima jedan i nula. Za vrijednost istinitosti sudova mogu se uzeti bilo koja dva različita objekta, odnosno simbola. Tako su u matematičkoj literaturi u čestoj upotrebi simboli T i umjesto, redom, 1 i 0. Simbol T se čita »te« i potiče od engleske riječi »true« (istinit). Simbol čita se »ne te«. Mi ćemo zbog primjene matematičke logike u tehnici koristiti prvonavedene simbole. Skup {0, 1} obilježavaćemo sa B.Postoje i rečenice koje tvrde nešto što ima smisla ali za koje ne možemo tvrditi ni da su istinite ni da su neistinite. Na primjer, rečenica » x1 = 1« je istinita ako je x = 1 ili x = - 1. Međutim, ona je neistinita, na primjer, za x = 2. Ovakvi primjeri opravdavaju uvođenje sljedeće definicije.

Definicija 2. Afirmativna rečenica, koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više promjenjivih parametara i koja postaje sud uvijek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti, naziva se predikat.

Primjer 2. Rečenica » x2 + y2 ≤ 1« je predikat sa dva parametra. Za x = y = 0 dobijamo istinit sud » 02 + 02 ≤ 1« dok, na primjer, za x = 1, y = 2 dobijamo neistinit sud » 12 + 22 ≤ 1«.

Broj parametara koji se pojavljuju u predikatu naziva se dužina predikata. U oznaci predikata uvijek naglašavamo parametre od kojih on zavisi, na primjer, P (x), Q(x,y), R(x1, x2 ,..., xn ) itd.

2

Podrazumijeva se da je za svaki predikat zadata oblast variranja njegovih parametara (bilo eksplicitno, bilo implicitno). Tako smo u primjeru 2 podrazumijevali da x i y označavaju realne brojeve.U tekstu koji slijedi pod rečenicom ćemo podrazumijevati bilo sud bilo predikat . Poznato je da se od rečenica mogu formirati složenije rečenice upotrebom raznih sveza (i, ili, ...).

Definicija 3. Ako su P i Q rečenice, onda se rečenice P i Q, P ili Q, ne P, ako P onda Q, ako P onda Q i ako Q onda P, P ili Q ali ne oba, označavaju redom sa

i nazivaju konjunkcija, disjunkclja, negacija, implikacija, ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija rečenica P i Q (odnosno rečenice P kod negacije).

Ako su P i Q sudovi onda se istinitost navedenih složenih rečenica može utvrditi na osnovu vrijednosti istinitosti sudova P i Q bez analize samog značenja rečenica P i Q.U slijedećoj tabeli (tablice istinitosti) navedene su vrijednosti istinitosti složenih rečenica iz definicije 3 u zavisnosti od vrijednosti istinitosti sudova P i Q.

Navedene tablice istinitosti konstruisane su tako da su u saglasnosti sa svakodnevnom logikom, stečenom na osnovu iskustva i koju smatramo tačnom. Jedino kod implikacije P Q nailazimo na naizgled neobičnu situaciju kada je . Implikacija je tada istinita bez obzira na vrijednosti istinitosti suda Q. To znači: iz pogrešne premise svaki zaključak je logički ispravan. Naravno, zaključivanje iz pogrešnih premisa nema većeg značaja ali su navedene vrijednosti u tablici istinitosti usvojene jer ne »smetaju« čitavoj konstrukciji a u nekim situacijama to ima i izvjesne prednosti (vidjeti zadatak 3).

Rečenica P Q se može pročitati na više ekvivalentnih načina:Ako P, onda Q; iz P proizlazi Q; P povlači Q;P je dovoljan uslov za Q;Q je potreban uslov za P.

Rečenica P Q se može pročitati na jedan od slijedećih načina:Ako je P onda Q i ako Q onda P;P je ekvivalentno sa Q;P važi ako i samo ako važi Q;P potreban i dovoljan uslov za Q;Q je potreban i dovoljan uslov za P.

3

Iz definicije 3 neposredno proizlazi da je rečenica P Q identična sa rečenicom i da je rečenica P\/Q identična sa rečenicom Od predikata se mogu formirati nove rečenice upotrebom tzv. kvantifikatora.

Postoje dva kvantifikatora: univerzalni i egzistencijalni .

Simbol se čita *svaki* (ili *za svako*) a u vezi je sa početnim slovom njemačke riječi »alle« (svi) odnosno engleske »all«. Simbol se čita »postoji« i potiče od odgovarajućeg njemačkog izraza »es gibt«, odnosno engleskog »exist«. Kvantifikatori se upotrebljavaju ispred predikata i obično se vezuju za neku promenljivu (parametar) iz predikata. Upotrebu kvantifikatora objasnićemo na primjerima.

Ako je P(x) predikat dužine 1 i x promjenljiva, simbol ( x) P(x) označava rečenicu: za svako x (važi) P(x). Kvantifikatori se mogu primjeniti i na predikate većih dužina. ( x) P(x, y) se čita: postoji x tako da. važi P (x, y).

Primjer 3. ( a) ( b) ((a i b su kompleksni brojevi) a2 –b2 =(a+b)(a-b)) se čita: za svako a i svako b, ako su a i b kompleksni brojevi onda je a2—b2=(a+b) (a—b); ili kraće: za sve kompleksne brojeve a i b važi a2—b2=(a+b) (a—b). Ako usvojimo da a i b označavaju kompleksne brojeve, ova rečenica bi se kraće mogla zapisati pomoću ( a) ( b) a2—b2=(a+b) (a—b).

Primjer 4. ( x) ( x je realan broj) (x2 = 1)). Ovo se može pročitati na slijedeći način: postoji x takvo da je x realan broj i da je x=1; ili kraće: postoji realan broj x takav da je x2=1. (U stvari, postoje dva takva broja: 1 i -1).

Slično prethodnom primjeru, ako x označava realan broj, kraći zapis predhodne rečenice bi bio ( x)x2=1. Napomenimo da bi pogrešno bilo, po ugledu na primjer 3, ovu rečenicu zapisati u obliku( x) ((x je realan broj) (x2= 1)).Napomenimo da se oblast variranja parametra u predikatu može precizirati naznakom odgovarajućeg skupa kojem pripada promjenljiva na koju se odnosi kvantifikator (vidjeti odjeljak 1. 3.). Takođe se često oznake kvantifikatora sažimaju pa se, na primjer, piše( a, b) umjesto ( a) ( b).

4

2.KOMBINATORIKA2.1. FUNKCIJE GENERATRISE

U kombinatornim zadacima prebrojavanja veliku ulogu igraju funkcije generatrise.Posmatrajmo beskonačni niz

(1)

Definicija 1. Funkcija naziva se funkcija generatrisa niza (1).

Definicija 2. Funkcija naziva se eksponencijalna funkcija gene-ratrisa niza (1).

Ako su poznate funkcije generatrise za niz (1), članovi niza se mogu odrediti pomoću formula

.

Redove navedene u definicijama 1 i 2 shvatamo kao formalne redove. Konvergencija i druga analitička svojstva ovih redova obično se ne ispituju.U kombinatorici je od interesa da se odrede funkcije generatrise za nizove čiji članovi predstavljaju rješenja različitih zadataka prebrojavanja. Odredit ćemo najprije funkcije generatrise za elementarne kombinatorne probleme, opisane u uvodnom poglavlju, a zatim ćemo na taj način razvijenu tehniku funkcija generatrisa primjeniti na neke od komplikovanijih problema.

Da bi dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija , k=0,1,...,n ,

posmatrajmo izraz

Kao koeficijent uz tk nalazi se elementarna simetrična funkcija reda k promjenljivih . Sabirci funkcije Sk su proizvodi od po k promjenljivih iz skupa .Dakle, svaki takav sabirak reprezentuje po jednu kombinaciju klase k tog skupa. Ako stavimo svaki sabirak je jednak 1 i koeficijent uz tk je jednak broju kombinacija klase k skupa od tri elementa:

.

dobija se , k=1,2,3.

Neposrednom generalizacijom ovog postupka zaključuje se da je

5

funkcija generatrisa za brojeve kombinacija . Dakle , što potvrđuje raniji rezultat.

Da bismo dobili funkciju generatrisu za brojeve kombinacija sa ponavljanjem, posmatrajmo kao uvodni primjer izraz

Sabirci koeficijenata uz t3 predstavljaju sada kombinacije treće klase sa ponavljanjem skupa {xl, x2, x3} u kojima se element pojavljuje najviše dva puta, dok se i pojavljuju najviše jedanput. Stavljajući: dobija se odgovarajuća funkcija generatrisa.Na ovom primjeru se uočava da funkcija generatrisa za brojeve kombinacija skupa od n elemenata ima n faktora. Svaki faktor reguliše broj pojavljivanja jednog od elemenata u kombinacijama. Ako zahtjevamo da se n-ti element mora da pojavi u kombinacijama samo ili puta ili n2 puta ili . . . ili ns puta, onda je n-ti faktor funkcije generatrise oblika .

Na osnovu izloženog funkcija generatrisa za brojeve kombinacija sa ponavljanjem (dakle, bez ikakvih ograničenja u pogledu broja pojavnjivanja elemenata) skupa od n elemenata glasi

Dalje dobijamo

Dakle,

što se slaže sa ranije izvedenim izrazom.

Da bismo dobili odgovarajuće funkcije generatrise za brojeve varijacija, primjetimo najprije da je funkcija generatrisa Gc (t) za brojeve kombinacija, u stvari, eksponencijalna funkcija generatrisa Hv(t) za brojeve varijacija:

Da bismo dobili opšti izraz za Hv(t) u slučaju kada su specificirani mogući brojevi pojavljivanja svakog pojedinog od n elemenata, pretpostavimo da je funkcija Hv (t) opet proizvod od n faktora pri čemu svaki faktor i reguliše brojeve pojavljivanja elementa u varijaciji. Polazna osnova je opet jedan izraz koji sadrži promenljive t i x1, x2, ...,xn;

Svaki faktor je reprezentovan sa po jednim svojim tipičnim sabirkom gde je jedna funkcija koju ćemo naknadno odrediti. Proizvod naznačenih sabiraka

6

može se napisati u obliku

gdje je k=k1+k2+...+kn.

Poslije množenja i unošenja x1=x2=...=xn=1 koeficjent uz treba da daje broj varijacije klase

k u kojima se x1 pojavljuje k1 puta, x2 se pojavljuje k2 puta, ..., xn se pojavljuje kn puta. Na osnovu formule za broj permutacija sa ponavljanjem dolazimo do zaključka da je

Stoga su faktori funkcije H(t) oblika , gdje su p1, p2, ... dozvoljeni brojevi pojavljivanja

odgovarajućeg elementa u varijaciji.

Ako je broj pojavljivanja svih elemenata neograničen, onda dobijamo (sve) varijacije sa ponavljanjem. Stoga je odgovarajuća funkcija generatrisa

Na osnovu gore izloženog imamo

Dakle, , što je u skladu sa ranije izvedenim izrazom.

U kombinatorici se pod particijom podrazumijeva rastavljanje prirodnog broja n na sabirke koji su prirodni brojevi pri čemu redoslijed sabiraka nema uticaja. Ako se vodi računa o redoslijedu sabiraka, rastavljanje prirodnog broja na sabirke se naziva kompozicija. Particije i kompozicije nekih prirodnih brojeva su navedene u slijedećoj tabeli:

Particije se predstavljaju i tzv. Ferersovim dijagramom koji se sastoji od tačaka. Ferersov dijagram particije 5+3+2 dat je na sl. 1. Ako se ovaj dijagram »pročita« po kolonama dobija se particija 3+3+2+1 + 1 koja se naziva konjugovana particija patricije 5+3+2.

Problem određivanja broja particija nije jednostavan i on će biti tretiran ovdje tehnikom funkcija generatrisa. Broj kompozicija je određen u zadatku 9 na kraju ovog poglavlja.

7

Izvodimo funkcije generatrise za brojeve p(n) particija

prirodnog broja n pod izvjesnim uslovima.Posmatrajmo najprije particije kod kojih su sabirci najviše jednaki m. Jedna takva particija ima oblik

(2)

gde ki (i=1, 2, . . . , m) označava broj ponavljanja sabirka i u particiji. Tada je

(3)

Broj particija oblika (2) jednak je broju načina faktorizacije veličine tn u formi (3). Broj ovih faktorizacija je, očigledno, jednak koeficijentu uz tn funkcije

Stoga je G(t) upravo tražena funkcija generatrisa i ona se može predstaviti u obliku

Ako se ne ograniči veličina sabiraka funkcija generatrisa dobija oblik

8

3.ISKAZNA ALGEBRA3.1. ISKAZNE FORMULE, TAUTOLOGIJE

U simbole iskazne algebre spadaju iskazna slova, simboli operacija ( ) i zagrade (»otvorena« zagrada (i »zatvorena« zagrada). Iskazna slova su izvjesni dogovorom usvojeni simboli: p,q,r,p 1 ,q 1 ,r 1 .. .Izvjesne nizove sastavljene od iskaznih slova, operacijskih simbola i zagrada nazivamo iskaznim formulama.

Definicija 1. 1. Iskazna slova su iskazne formule 2. Ako su nizovi simbola A i B iskazne formule, tada su iskazne formule i A, (A B), (A B), (A B), (A B), (A B), 3° Iskazne formule mogu se obrazovati jedino pomoću konačnog broja primjena odredbi 1. / 2.

Primjer 1. Iskazne formule su, na primjer, slijedeći nizovi simbola iskazne algebre: p, q, (p q), ((p q) ).Iskazne formule se mogu interpretirati na više načina. Navodimo dvije moguće interpretacije:

1. Ako iskazna slova interpretiramo kao promjenljive u iskaznoj algebri (tj. kao promjenjive koje uzimaju vrijednosti iz skupa B) a simbole , , itd. interpretiramo kao operacije u iskaznoj algebri, onda formule predstavljaju »algebarske izraze« iskazne algebre.

2. Ako se u formuli fiksiraju vrijednosti svih promjenljivih i izvrše naznačene operacije dobija se vrijednost formule, koja, naravno, može biti 0 ili 1. Na primjer, vrijednost posljedne formule iz primjera 1 za vrijednosti promjenjivih p=q=r=l je (( 1 1) (l

1))=((0 1) l)=(l 0)=0. Ako iskazna slova p,q ,r , , . . . interpretiramo kao sudove P, Q, R,.. . a operacijske simbole interpretiramo kao operacije nad rečenicama, formule iskazne algebre predstavljaju složene sudove. Na primjer, interpretacija formule p p je složeni sud P P.

9

Interesantno je da se vrijednost istinitosti ovako formiranih složenih sudova dobija ako istu iskaznu formulu interpretiramo kao pod 1. tj. kao izraz u iskaznoj algebri.

Ako su poznate vrijednosti istinitosti sudova koji odgovaraju iskaznim slovima, vrijednost istinitosti složenog suda je jednaka vrijednosti odgovarajuće iskazne formule u iskaznoj algebri.

Korisnost paralelnog posmatranja ove dvije interpretacije je očigledna. Time se dobija efektivan postupak za određivanje vrijednosti istinitosti složenih rečenica.

Svaka iskazna formula se može predstaviti jednim grafom oblika stabla. Način konstrukcije odgovarajućeg stabla se može uočiti na sl. 1 na kojoj je prikazano stablo koje odgovara formuli (((p ) (q r)) ). Svakom pojavljivanju iskaznog slova u formuli odgovara u stablu jedan čvor stepena 1. Ostalim čvorovima odgovaraju pojedine podformule dobijene primjenom odredbe 2 definicije 1. Defi-nitivno izgrađena formula sa pripisuje jednom čvoru koji se ponekad naziva korjenom stabla.Ako ne može da dođe do zabune u pogledu redoslijeda izvršavanja operacija, zagrade se u iskaznim formulama, u cilju kratkoće pisanja, izostavljaju. U vezi sa ovim postoje i slijedeće konvencije.Zbog asocijativnosti konjunkcije i disjunkcije višestruka konjukcija odnosno disjunkcija obilježavaju se na slijedeći način

Ako formule ((F1) (F2)), ((F1) (F2)) sadrže samo jedan simbol odnosno navedene zagrade se izostavljaju, tj. piše se F1 F2, F1 F2. Isto tako, formula (F1*F2), gdje su F1 i F2 formule a * jedna binarna logička operacija, piše se u obliku F1*F2.

U daljem tekstu smatraćemo da su iskazne formule interpretirane u iskaznoj algebri.

Definicija 2. Iskazna formula, koja za sve vrijednosti svojih iskaznih slova ima vrijednost 1, naziva se tautologija.

Ako je formula A tautologija, piše se A a ovaj simbol se čita: A je tautologija.

10

Provjeravanje da li je izvijesna formula tautologija vrši se sistematskim izračunavanjem vrijednosti formule za sve mogućne vrijednosti iskaznih slova. U složenim formulama postupno se izračunavaju vrijednosti pojedinih podformula. Izračunavanja se izvode i pregledno predstavljaju u tabelama koje su poznate kao tablice istinitosti.

Primjer 2. Ispitati da li je slijedeća formula tautologija

Odgovarajuća tablica istinitosti ima slijedeći oblik:

Ako formula sadrži jednu ili više operacija implikacije pogodno je koristiti se činjenicom da je p q=0 ako i samo ako je p = 1 i q = 0.

Primjer 3. Ispitati da li je slijedeća formula tautologija

(1)

Ako (1) nije tautologija postoje vrijednosti iskaznih slova za koje (1) ima vrijednost 0.Tada je lz druge od ovih relacija se dobija

što zamjenom u prvu relaciju dovodi do kontradikcije:

Dakle, (1) je tautologija.

Tautologije se ponekad mogu verifikovati korišćenjem matematičke indukcije.

11

Primjer 4. Dokazati da je slijedeća formula tautologija

(2)

Za n=1 (2) se svodi na (p1 p) (p1 p) i to je očigledno tautologija. Pretpostavimo da je (2) tautologija za neko n i dokažimo da je

(3)

takođe tautologija.

Za pn+1 = l lijeva strana ekvivalencije (3) ima istu vrijednost kao lijeva strana ekvivalencije (2). Na desnoj strani je Pn+1 +1 p=p (jer je pn+1 = l) pa se i desna strana od (3) svodi na desnu stranu od (2). Postoje (2) po induktivnoj pretpostavci tautologija, (3) ima vrijednost 1.Ako je pak pn+1=0, direktnim izračunavanjem se dobija da je vrijednost obje podformule, na lijevoj i desnoj strani ekvivalencije (3), jednaka 1 pa (3) ima opet vrijednost i.Dakle, (3) je tautologija.

Ako se iskazna slova u tautologiji interpretiraju kao sudovi onda tautologija predstavlja složeni sud koji je istinit bez obzira na vrijednost istinitosti sudova od kojih je obrazovan. Dakle, tautologije predstavljaju model za obrazovanje uvijek istinitih sudova. U stvari, tautologije opisuju zakone pravilnog formalnog zaključivanja.Bez teškoća se provjerava da su, na primjer, slijedeće formule tautologije (uz tautologije su navedena i njihova imena):

zakon isključenja trećegzakon neprotivrječenostizakon dvojne negacijezakon tranzitivnosti za implikaciju

zakon kontrapozicije

zakon tranzitivnosti za ekvivalencijuzakon idempotencije za disjunkcijuzakon idempotencije za konjunkciju

9. zakon komutativnosti za disjunkcijuzakon komutativnosti za konjunkcijuzakon asocijativnosti za disjunkciju

zakon asocijativno za konjunkciju

zakon apsorptivnosti disjunkcije prema konjunkciji

zakon apsorptivnosti konjunkcije prema disjunkciji

zakon distributivnosti disjunkcije prema konjunkciji

zakon distributivnosti konjunkcije prema disjunkciji

De Morganov -zakon

De Morganov zakon

12

Tautologije oblika , gdje su A i B iskazne formule, mogu se interpretirati na još jedan način na osnovu slijedeće teoreme, u kojoj formule shvatamo kao izraze u iskaznoj algebri i čiji dokaz zbog očiglednosti ne navodimo.

Teorema 1. Formula , gdje su A i B formule, je tautologija ako i samo ako je A=B. Na osnovu ove teoreme, na primjer, tautologije 7, 10, 12 iz naprijed navedene tabele možemo interpretirati redom na slijedeći način:

U ovom obliku tautologije izražavaju osobine operacija iskazne algebre (idempotentnost disjunkcije, komutativnost konjunkcije, asocijativnost konjunkcije). Naprijed navedeni nazivi tautologija (zakon asocijativnosti za konjunkciju, itd.) odnose se kako na osobine operacija u iskaznoj algebri tako i na osobine odgovarajućih operacija nad rečenicama.Iskazne formule u kojima se od operacijskih simbola pojavljuju samo , i , pri čemu djeluje samo na iskazna slova, imaju jednu interesantnu interpretaciju koja predstavlja jedan od osnova primjene matematičke logike u tehnici. U vezi sa ovom interpretacijom struktura (B, ,

, ) naziva se ponekad prekidačka algebra.

Iskazna slova interpretiramo kao tzv. normalno otvorene prekidače (sl. 2 a), a negacije iskaznih slova kao tzv. normalno zatvorene prekidače (sl. 2 b). Ako iskazno slovo p ima vrijednost 1, smatra se da se prekidač na sl. 2 a zatvara, tj. da provodi struju, a da je za p=0 otvoren. Nasuprot tome, normalno zatvoren prekidač se otvara za p=1 a ostaje zatvoren p=0.

Formula se interpretira kao mreža sa dva kraja sastavljena od prekidača koji su povezani paralelno ili serijski. Ako su formule A i B interpretirane kao prekidačke mreže na sl. 2c i 2d, onda se formule A B i A B intepretiraju kao prekidačke mreže na sl. 2e i 2f, respektivno.

13

Na primjer, formuli p {q r) odgovara mreža na sl. 3a, a formuli (p q) (p r) odgovara mreža na sl. 3b. Ako se iskaznim slovima pripišu određene vrijednosti a vrijednost formule bude 1, odgovarajuća prekidačka mreža provodi struju (sa jednog na drugi kraj). Ako je vrijednost formule 0, mreža ne provedi struju. Tautologijama odgovaraju mreže koje uvek provede struju.

Pri ovome se podrazumijeva da su svi prekidači koji su označeni istim iskaznim slovom istovremeno ili otvoreni ili zatvoreni. Isto tako, prekidač označen, na primjer, sa p je otvoren ako i samo ako je prekidač označen sa p zatvoren.Ako je A=B mreže koje odgovaraju formulama A, odnosno B, su ekvivalentne u smislu što one uvijeek istovremeno provode (odnosno ne provede) struju. Pošto je formula iz primjera 2 tautologija mreže na sl. 3 su ekvivalentne.

4. ELEMENTI TEORIJE SKUPOVA4.1. KARDINALNI BROJ SKUPA

Kardinalni broj kA (ili ) konačnog skupa A je broj elemenata toga skupa. Za beskonačne skupove kardinalni brojevi se označavaju posebnim simbolima. Kardinalni broj kN skupa prirodnih brojeva N se obilježava sa (čitati: alef nula). Kardinalni broj kR skupa realnih brojeva R obilježava se sa c.

Kardinalni brojevi beskonačnih skupova takođe imaju smisao broja elemenata u skupu ali je ovdje situacija bitno komplikovanija u odnosu na konačni slučaj. Radi lakšeg manipulisanja sa kardinalnim brojevima uvodi se sljedeća definicija.

Definicija 1. Skupovi A i B imaj isti kardinalni broj (ili imaju istu moći ili ekvivalentni su) ako postoji preslikavanje f: A B koje je bijekcija.

Ako su skupovi A i B konačni; njihova ekvivalentnost znači da imaju isti broj elemenata. Ovakvo tumačenje ekvivalentnosti skupova prihvata se i za slučaj beskonačnih skupova.

Relacija ekvivalentnosti skupova je relacija ekvivalencije. A je ekvivalentno sa A jer je identičko preslikavanje skupa A bijekcija iz A u A (refieleksivnost). Ako je A ekvivalentno sa B, onda postoji koje je bijekcija, inverzno preslikavanje

je takođe bijekcija i B je ekvivalentno sa A (simetričnost). Ako je A ekvivalentno sa B i B ekvivalentno sa C onda postoje bijekcije no tada je takođe bijekcija i A je ekvivalentno sa C (tranzitivnost).

Klase ekvivalencije relacije ekvivalentnosti skupova sadrže skupove istog kardinalnog broja.

Kardinalni broj skupa je dakle zajednička karakteristika posmatranog skupa i svih njemu ekvivalentnih skupova. Sasvim apstraktno, kardinalni broj skupa se može definisati kao klasa ekvivalencije (u odnosu na relaciju ekvivalentnosti skupova) kojoj skup pripada.

14

Neobična činjenica u vezi kardinalnih brojeva se sastoji u tome što kardinalni brojevi beskonačnih skupova nisu svi isti. Do tog zaključka dolazimo na osnovu slijedeće teoreme.

Teorema 1. Skup A i njegov partitivni skup P( A) imaju različite kardinalne brojeve.

Dokaz. Pretpostavimo suprotno, da A i P(A) imaju iste kardinalne brojeve. Tada: prema definiciji 1 postoji bijekcjja .

Posmatrajmo skup , , tj. skup svih elemenata iz A koji nisu elementi svoje slike (a). ( (a) je element skupa P(A), tj. podskup skupa A). Pošto je Z P(A) i pošto je bijekcija, postoji b A takvo da.je .Razmotrimo da li je b Z. .

Ako je b , onda b , tj. b Z.

Ako , onda , tj. b Z.

U oba slučaja dobijamo kontradikciju. Dakle, bijekcija ne postoji. Ovim je teorema dokazana.

Napomena. Ako je A konačan skup sa n elemenata, onda je , pa se odmah vidi da su

kardinalni brojevi različiti. Ustvari, Gornji dokaz važi u opštem slučaju.

Na osnovu teoreme 1 skup P(A) ima veći kardinalni broj od skupa A. To je evidentno za konačne skupove a za beskonačne skupove A i B se usvaja da A ima manji kardinalni broj od B ako se A može preslikati nekom injekcijom na podskup od B a B se ne može preslikati na podskup od A.

Dakle, svaki skup niza skupova N,P{N), P2(N),. . . ima veći kardinalni broj: od prethodnog. Svi ovi kardinalni brojevi su beskonačni (transfinitni).

Definicija 2. Skup je prebrojiv ako je ekvivalentan skupu prirodnih brojeva N. Beskonačni skupovi koji nisu ekvivalentni sa N nazivaju se neprebrojivi..

Prebrojivi skupovi imaju, naravno, kardinalni broj N0 i oni se karakterišu činjenicom što se njihovi elementi mogu poredati u niz. Naime, po definiciji, niz je funkcija , a ako su svi elementi od S u nizu onda je bijekcija a to znači S je ekvivalentno sa N.

Konačni i prebrojivi skupovi nazivaju se diskretni skupovi.Teorema 2. Skup realnih brojeva je neprebrojiv.

Dokaz. Skup realnih brojeva R je ekvivalentan sa intervalom (0, 1) jer je funkcija bijekcija

iz R u (0, 1). Dokazaćemo daje interval (0, 1) neprebrojiv skup.

Elementi ovog intervala se na jedinstven način mogu prikazati pomoću decimalnih brojeva koji imaju beskonačno mnogo cifara iza decimalnog zareza. To važi i za racionalne brojeve jer se, na primjer, broj 0,543 može predstaviti kao 0,542999...

Pretpostavimo daje (0, 1) prebrojiv. Tada se njegovi elementi mogu svrstati u niz. Neka je taj niz predstavljen sljedećom šemom u kojoj označava j-tu cifru i-tog broja u nizu

15

Tzv. Kantorovim dijagonalnim postupkom određujemo broj koji pripada intervalu (0, 1) a koji se ne nalazi u navedenom nizu brojeva. To je, na primjer, broj , gdje je

Ovako formiran broj različit je od prvog broja niza jer im se prve cifre razlikuju. Slično tome, taj broj je različit od n-tog člana niza jer razlika postoji u n-toj cifri.Ovim je teorema dokazana.

Dakle, N0<c. Može se takođe dokazati da je kardinalni broj partitivnog skupa P(N) skupa prirodnih brojeva N upravo jednak c.Imajući u vidu odgovarajuću relaciju za konačne skupove piše se simbolički

.U vezi sa navedenim postavlja se i pitanje egzistencije skupa čiji se kardinalni broj nalazi između N0 i c.Ovaj problem je poznat kao hipoteza kontinuuma. On je rješen 1964. g. od strane P. Cohena. na taj način što je dokazano da se hipoteza kontinuuma ne može ni dokazati ni opovrgnuti polazeći od aksioma teorije skupova. Dakle, radi se o novoj aksiomi i teorija skupova se može dalje izgrađivati bilo prihvatanjem bilo odbacivanjem te aksiome.

16

5.KVANIFIKATORSKI RAČUN PRVOG REDA5.1.INTERPRETACIJE FORMULA KVANTIFIKATORSKOG RAČUNA

Interpretacija formule kvantifikatorskcg računa je složen pojam koji najprije objašnjavamo opisno a zatim formalno definišemo.Za domen interpretacije usvaja se neki neprazni skup D. Promjenljive se interpretiraju kao promjenljive koje variraju u skupu D. Konstante se interpretiraju kao određeni elementi skupa D. Funkcijska slova označavaju izvjesne konkretne operacije skupa D odgovarajućih dužina. Zbog toga termi predstavljaju »algebarske izraze« promenljivih skupa D. Ako se zamisli da promjenljive za momenat postanu konkretni objekti iz D tada term označava takođe jedan konkretni objekt iz D.

Primjer 1. Term može se interpretirati u skupu realnih brojeva R kao izraz x+5y

gdje je konstanta interpretirana kao broj 5 i operacijska slova redom kao operacije sabira-nja i množenja. x i y su onda realne promjenljive. Isti term se u skupu dijelova nekog skupa može interpretirati kao »skupovni izraz« gdje je interpretirano kao prazan skup a operacijski simboli kao unija i simetrična diferencija. x i y označavaju tada skupovne promjenljive.

Relacijsko slovo dužine n interpretira se kao n-arna relacija skupa D, odnosno kao predikat dužine n. Elementarna formula označava stoga rečenicu: , t2, . . . , tn su u relaciji

.Simboli interpretiraju se kao implikacija, negacija i univerzalni kvantifikator, respektivno. Stoga, proizvoljna formula kvantifikatorskog računa predstavlja složenu rečenicu komponovanu po pravilima opisanim u odjeljku 1.1 od rečenica koje odgovaraju elementarnim formulama od kojih je posmatrana formula sastavljena. Složena rečenica koja se na opisani način dobija kao interpretacija kvantifkatorske formule je predikat čija dužina, zavisi od broja promjenljivih u formuli ali i od prisustva i rasporeda kvantifikatora što će biti objašnjeno kasnije.

Primjer 2. Formuli mogućno je dati sljedeću interpretaciju. Neka je

domen interpretacije skup realnih brojeva R, neka , označava sabiranje realnih brojeva i neka je Rt relacija jednakosti. Tada je interpretacija formule sljedeća rečenica:

Za sve realne brojeve x i y važi x+y=y+x.

17

Interpretacija formule je, dakle, određena ako je zadat domen interpretacije i ako se navede značenje konstanti, funkcijskih i relacijskih slova koja se pojavljuju u formuli. Stoga se uvodi sljedeća definicija.

Definicija 1. Interpretacija I formule F kvantifikatorskog računa je definisana pomoću ,gdje je D neprazan skup a φ preslikavanje čiji je domen skup konstanti, operacijskih slova i relacijskih slova formule F, pri čemu je slika konstante element skupa D, slika funkcijskog slova operacija skupa D odgovarajuće dužine i slika relacijskog slova relacija skupa D odgovarajuće dužine.Interpretacija formule F određuje tri međusobno ekvivalentna objekta u vezi sa skupom D od kojih svaki možemo po potrebi uzeti za opisnu interpretaciju formule F:

1. jednu rečenicu (predikat) koja govorio elementima skupa D..2. jednu relaciju određene dužine u D, definisanu predikatom 1,3. odgovarajuću iskaznu funkciju.

Vrijednost formule F definiše se pomoću odgovarajuće iskazne funkcije, vrijednost formule zavisi od parametara odgovarajućeg predikata koji se pojavljuju kao argumenti iskazne funkcije. Vrijednost formule je po definiciji jednaka vrijednosti odgovarajuće iskazne funkcije.

Definicija 2. Formula F je tačna pri interpretaciji I ako pri toj interpretaciji ima, uvijek vrijednost 1 (nezavisno od parametara odgovarajućeg predikata).

Primjer 3. Navešćemo dvije interpretacije formule .1. Domen interpretacije je skup cijelih brojeva Z a , se interpretira kao relacija

kongruencije po modulu m. Stoga formula označava rečenicu: Ova rečenica je tačna za svako x, y Z. Stoga je navedena

formula tačna pri interpretaciji .2. Neka je interpretacija kod koje je domen skup prirodnih brojeva N a relacija

djeljivosti |. Pri formula predstavlja rečenicu koja je tačna, na primjer, za x=3, y=5 a netačna, na primjer, za x= 3, y=6.

Uopšte, formula je tačna za sve interpretacije u kojima se interpretira kao simetrična binarna relacija.

Postoje, međutim, i formule koje su tačne pri svim interpretacijama.

Primjer 4. Formula

je tačna pri svakoj interpretaciji. Posmatrajmo proizvoljnu interpretaciju. Podformula može pri datoj interpretaciji biti ili netačna ili tačna (može da predstavlja neistinit ili istinit sud). Ako je ona netačna, formula (l) je tačna jer implikacija ima vrijednost 1 bez obzira na vrijednost

.Ako je pak tačno, onda za svako x iz domena važi pa mora da važi i za x = y Stoga (1) opet ima vrijednost 1.

Definicija 3. Formula koja je tačna pri svim interpretacijama naziva se valjana formula.

18

Činjenicu daje formula F valjana obilježavamo sa |=F a to čitamo: F je valjana formula.Simbol |=ne pripada skupu simbola kvantifikatorskog računa.

Valjane formule su od posebnog značaja. One u kvantifikatorskom računu igraju onu ulogu koju tautologije igraju u iskaznoj algebri. Valjane formule predstavljaju, kao i tautologije, modele uvijek istinitih rečenica, te stoga izražavaju zakone ispravnog zaključivanja. Kvantifikatorske formule su u odnosu na iskazne formule izražajnije jer se pomoću predikata i kvantifikatora mogu da izraze i analiziraju unutrašnja svojstva rečenica što nije mogućno pomoću sudova.

S obzirom na značaj valjanih formula od interesa su postupci za utvrđivanje da li je zadata formula valjana. U iskaznoj algebri postoji efektivan postupak (tablice istinitosti) za analogan problem (utvrđivanje da li je zadata iskazna formula (antologija) jer se ispitivanje svodi na provjeravanje konačno mnogo slučajeva.U kvantifikatorskom računu valjanost formule zavisi od vrijednosti formule pri beskonačno mnogo mogućih interpretacija a i pri jednoj jedinoj interpretaciji, ako je domen interpretacije beskonačan, problem utvrđivanja tačnosti formule može da bude veoma težak. Stoga nije iznenađujuće da opšti i efektivan postupak za utvrđivanje valjanosti formule kvantifikatorskog računa ne postoji.

Ipak, iako problem nije u opštem slučaju rješiv na zadovoljavajući način, za specijalne klase kvantifikatorskih formula možemo bez teškoća utvrditi da li su valjane ili ne. Treba najprije imati u vidu slijedeće dvije opšte napomene:

Da bi se utvrdilo da jedna formula nije valjana dovoljno je navesti jednu jedinu interpretaciju pri kojoj ona nije tačna. Ako formula ima dovoljno jednostavnu strukturu mogućno je odjednom razmatrati sve njene interpretacije.U specijalnim slučajevima mnogobrojni drugi rezoni omogućavaju utvrđivanje valjanosti formula.

Među osnovnim simbolima kvantifikatorskog računa nalaze se simboli samo dvije operacije iskazne algebre: .No uzimajući u obzir činjenicu da je ( , =>) baza iskazne algebre sve druge logičke operacije se mogu ipak izraziti. S obzirom na sljedeće jednakosti u iskaznoj algebri

slijedećom definicijom se uvode neki novi simboli kvantifikatorskog računa koji predstavljaju »skraćenice« za izvjesne nizove osnovnih simbola.

Definicija 4. Ako su A i B formule kvantifikatorskog računa, onda se 1. niz ( ) zamjenjuje sa (A\/B), 2. niz zamjenjuje sa ( ),

19

3. niz zamjenjuje sa (A<=>B).

Pri pisanju formula kvantifikatorskog računa služimo se konvencijama o izostavljanju zagrada kao u iskaznoj algebri.Egzistencijalni kvantifikator takođe nije predviđen u skupu osnovnih simbola kvantifikatorskog računa. Međutim, i on se može na pogodan način izraziti pomoću drugih simbola.Ako je P proizvoljna rečenica, onda rečenice:Postoji x takvo da važi P;Nije tačno da za svako x ne važi P; Očigledno imaju isto značenje. Stoga se uvodi sljedeća definicija.

Definicija 5. Ako je A formula kvantifikatorskog računa i u promljeniva, onda se niz simbolu zamjenjuje sa ( u) A.

Novouvedeni simbol interpretira se na isti način kako je to objašnjeno u odjeljeku 1.1.

20

6.GRUPE6.1.PERMUTACIONE GRUPE

Posmatrajmo permutacije skupa X={1, 2,..., n}. Permutacija je svaka binjekcija p : X→X. Permutacije možemo predstaviti matricama tipa 2 n, gde se u prvoj vrsti nalaze elementi skupa X (pri čemu redoslijed navođenja elemenata nije bitan) a u drugoj odgovarajuće slike u odnosu na preslikavanje p:

Broj permutacija p skupa X je jednak n!.

Neka je Pn={p} skup svih permutacija p. Struktura (Pn, ∙), gde je množenje permutacija definisano kao množenje (kompozicija) preslikavanja, predstavlja grupu što dokazuju sljedeći navodi.Proizvod p1∙ p2 permutacija p1 i p2 je opet permutacija skupa X jer je proizvod bijekcija takođe bijekcija i p1 p2 : X→X, te (Pn, ∙) predstavlja grupoid. Proizvod preslikavanja je asocijativna operacija. Neutralni element je identičko preslikavanje. Svaki element p grupoida je invertibilan jer postoji p-1 koje je bijekcija i p-1 : X→X.

Grupa (Pn, ∙ ) se naziva simetrična grupa reda n i obilježava se sa Sn. (Red simetrične grupe Sn reda n je, međutim, n!. Ovde je termin red upotrebljen u dva različita smisla).

Primjer 1. Neka je X={1,2, 3, 4, 5 } .

Proizvod permutacija i

je

Dalje je: i

Permutacije se obilježavaju i u vidu »proizvoda ciklusa«. Ne upuštajući se u formalnu definiciju, navodimo da se permutacije iz primjera 1 pišu prema tom načinu predstavljanja u obliku p1=(1235) (4), p2=(14) (25) (3). jer se kod p1 broj i preslikava u 2, 2 u 3, 3 u 5 i 5 u 1 dok 4 ostaje neprornenjeno pri preslikavanju a kod p2 se 1 preslikava u 4 i 4 u 1, 2 se preslikava u 5 a 5 u 2 pri čemu 3 ostaje invarijabilno.

21

Primjer 2. Simetrija geometrijske figure je preslikavanje figure na figuru koje »čuva« rastojanje tačaka. Kod nekih geometrijskih figura skup simetrija je konačan. Na primjer, simetrija pravougao-nika određena je jednom permutacijom skupa njegovih tjemena {1,2,3,4} (vidjeti sl.1).

Neka je E identičko preslikavanje, X simetrija u odnosu na x osu, Y simetrija u odnosu na y osu, O preslikavanje u odnosu na koordinalni početak. To su sve simetrije pravougaonika. Skup {E, X, Y, O} je grupa u odnosu na proizvod preslikavanja, što se vidi iz sljedeće Cayleyjeve tablice

Navedena grupa se naziva Klilnova četvorna grupa (Vltrtrgruppe). Ista grupa se može predstaviti i kao permutaciona grupa skupa {1, 2, 3, 4} tjemena pravougaonika. Permutacije koje odgovaraju simetrijama E, X, Y, O su

One se mogu predstaviti i u obliku

Simetrična grupu S4 ima 4!=24 elementa. Kleinova grupa je izomorfna jednoj podgrupi simetrične grupe S4.Zaključak iz primjera 2 se može generalisati.

Teorema 1. (Cayloyeva teorema) Svaka konačna grupa je izomorfna nekoj permutacionoj grupi, tj. Nekoj podgrupi simetrične grupe.

Dokaz. Neka. je data grupa (G, ∙) gde je G={x1, x2,. .., xn}. Za svako x1 G formirajmo permutaciju pxi skupa G definisanu pomoću

22

Neka je Strukturu (PG, ∙ ), gdje sada ∙ označava proizvod permutacja, je izomorfna

grupi (G, ∙) jer je preslikavanje f: G→PG definisano pomoću f{xi)=pxi izomorfizam. Naime, f je bijekcija i važi

Stoga je (PG, ∙ ) (permutaciona) grupa,Ovim je dokaz, teoreme završen,Teorema se bez teškoća dokazuje i za beskonačne grupe.

23

7.ALGEBARSKE STRUKTURE SA VIŠE OPERACIJA7.1.PRSTEN

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gdje su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva sa prsten ako su ispunjeni slijedeći uslovi:

1. (S, +) je Abelova grupa;2. (S, ∙ ) je semigrupa, (tj. ∙ je asocijativna operacija);3. (tj. operacija ∙ je distributivna u

odnosu na operaciju +).

Neutralni element (aditivne) grupe (S, +) obilježava se sa 0 i zove se nula prstena (S, + , ∙ ). Inverzni element elementa a S u odnosu na operaciju + obilježava se sa -a, Umjesto a+(-b) piše se a-b. Operacije +, ∙ ne moraju, naravno, da budu sabiranje i množenje brojeva.

Primjer 1. Skup cijelih brojeva Z snabdjeven operacijama sabiranja i množenja predstavlja vrlo važan primjer prstena. Osim (Z, +, ∙) postoje i drugi prsteni brojeva: (Q, +, ∙ ), (R, +, ∙ ), (C, +, ∙ ). U navedenim primjerima prsteni su beskonačni. Postoje i konačni prstenovi; na primjer, (M, , ), gdje je M ={ 1,2,..., m-1} a i označavaju sabiranje i množenje pomeduiu m, respektivno.

Teorema 1. U proizvoljnom prstenu (S, +, ∙ ) važi relacija

Dokaz. x ∙ 0 = x ∙ (0+0) = x ∙ 0 + x ∙ 0. Označavajući x ∙ 0 sa y dobijamo y=y+y. »Dodavanjem« elementa (- j) obijema stranama ove relacije dobija se y=0, tj. x ∙ 0 = 0. Na analogan način se dokazuje relacija 0 ∙ x = 0.Ovim jo dokaz završen.

Konstruisaćemo sve prstenove sa 1 i 2 elementa. Postoji samo jedan prsten sa jednim elementom. Obilježimo jedini element prstena sa 0. Cayleyjeve tablice za operacije + i ∙ su

Postoje dva prstena sa dva elementa

Aditivna grupa je u oba slučaja jedina grupa sa dva elementa (ciklička grupa).U konstrukciji Cayleyjevih tablica za ∙ teorema 1 ograničava broj mogućnosti.

24

Prvi od ova dva prstena naziva se nula prsten.Drugi prsten je izomorfan sa prstenom ({0, 1}, , ) koji je konstruisan u vezi sa iskaznom algebrom. Izomorfnost se uviđa upoređivanjem Cayleyjevih tablica

sa ranije navedenim tablicama.Primjetimo da ovaj prsten ima neutralni (jedinični) element za drugu operaciju. Elementi ovog prstena su idempotentni u odnosu na ∙ , tj. za svako x je x ∙ x = x.

Definicija 2. Ako operacija ∙ u prstenu (S, + , ∙ ) ima neutralni element, prsten (S, + , ∙ ) se naziva prsten sa jedinicom. Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni naziva se Booleov prsten.Dakie, prsten iz posljednjeg primjera je Booleov prsten.

Definicija 3. Prsten (S, +, ∙ ) je komutativan ako je operacija ∙ komutativna.

Definicija 4. Element a 0 prstena (S, +, ∙ ) je lijevi (odnosno, desni) djeljitelj nule ako postoji b0 (b S) takvo da važi a ∙ b=0 (odnosno, b ∙ a=0).

Prsten sa bar dva elementa u kome ne postoje djeljitelji nule naziva se oblast cijelih (ili područje integriteta).

Primjer 2. U prstenu ({0,1, 2, 3, 4, 5}, , ), gdje odnosno označavaju sabiranje odnosno množenje po modulu 6, postoje djeljitelji nule. Pošto je 2 3 = 3 2=0, 2 i 3 su djeljitelji nule. Prsten (M, , ) iz primjera 1 je oblast cijelih ako je m prost broj.U području integriteta važi implikacija

Analogno pojmu podgrupe kod grupa uvodi se za prstenove pojam podprstena.

Definicija 5. Ako je (S, +, ∙ ) prsten i ako je (T, +, ∙ ), gde je T S, takođe prsten, onda se (T, +, ∙ ) naziva podprsten prstena (S, +, ∙ ).

Prema ovoj definiciji (T, +, ∙ ) je podprsten prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni slijedeći uslovi:1. (T, +) je podgrupa Abelove grupe (S, +), tj. x, y T x - y T.2. (T, ∙ ) je semigrupa, tj. x, y T x ∙ y T.

Svaki prstenje podprsten samoga sebe. Takođe, skup koji sadrži samo nulu jednog prstena je podprsten tog prstena. Ovakvi podprstenovi nazivaju se trivijalni podprstenovi.

Specijalni tipovi podprstena pojavljuju se prilikom generalizacije pojma relacije kongruencije po modulu prirodnog broja. Navedimo najprije neke osobine ove relacije definisane u skupu cijelih brojeva Z,

25

Relacija kongruencije po modulu m je relacija ekvivalencije u Z i ona je saglasna sa operacijama + i ∙ u Z u slijedećem smislu:

Drugim riječima klasa ekvivalencije (u odnosu na relaciju kongruencije po modulu m) zbira, odnosno proizvoda, dva cijela broja zavisi samo od klasa ekvivalencije tih brojeva a ne i od toga koje smo konkretne brojeve iz tih klasa ekvivalencije izabrali.(Ova osobina relacije kongruencije objašnjava na još jedan način zašto se takve osobine operacija + i ∙ u Z, kao što je, na primjer, asocijativnost, preinose na operacije i sabiranja i množenja po modulu m.U proizvoljnoj algebarskoj strukturi pod relacijom kongruencije podrazumijeva se svaka relacija ekvivalencije koja je saglasna sa svim operacijama strukture.Može se pokazati da je relacija kongruencije po modulu m jedina relacija kongruencije u prstenu cijelih brojeva.U proizvoljnom prstenu relacije kongruencije se definišu pomoću specijalnih podprstenova koji se zovu ideali.

Definicija 6. Skup I se naziva lijevi, odnosno desni, ideal prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni slijedeći uslovi:(1, +) je podgrupa grupe (S, +);

odnosno

Ako je I i lijevi i desni ideal, on se naziva ideal.Očigledno je svaki ideal podprsten. U komutativnom prstenu je svaki lijevi ideal istovremeno i desni, i obrnuto.Idealski uslovi 2 iz definicije 6 se izražavaju pogodno pomoćuS ∙ I I, I - S I,gde je uveden »proizvod« A ∙ B skupova A i B (A, B S) pomoću

U prstenu cijelih brojeva ideali su skupovi oblika Im={m ∙ a | a Z}. Za m=2 dobijamo da skup parnih brojeva predstavlja jedan ideal. Taj ideal je ujedno jedan od klasa ekvivalencije u odnosu na relaciju (mod 2).U proizvoljnom prstenu definiše se kongruencija po modulu nekog ideala.

Definicija 7. Neka je I ideal prstena (S, +, ∙ ). Relacija kongruencije po modulu ideala I u skupu S definiše se pomoću

26

Ideal igra kod prstenova onu ulogu koju invarijantne podgrupe igraju kod grapa. (Uporediti relaciju kongruencije po modulu ideala sa relacijom kongruencije po modulu invarijantne podgrupe)!Neka je S/I količnički skup skupa S u odnosu na relaciju kongruencije po modulu ideala I. Lako se uviđa da je

gdje je

Vidi se da je I+x klasa razvoja po invarijantnoj podgrupi (I,+) grupe (S, +).Skupovi I+x zovu se klase razvoja po idealu I.U skup S/I uvode se operacije i pomoću

Može se pokazati da su ovako definisane operacije »dobro« definisane.Struktura (S|I, , ) je prsten koji se naziva količnički prsten. On je homo-morfna slika polaznog prstena (S, +, ∙).

Primjer 3. Količnički prsten prstena (Z, +, ∙) u odnosu na ideal I=mZ={m ∙ n | n Z} je prsten ({0,1,2,... ,m-1}, , ) iz primjera 1.

27

8.TEORIJA GRAFOVA8.1.IZOMORFIZAM GRAFOVA

Definicija 1. Dva grafa su izomorfna ako postoji uzajamno jednoznačno preslikavanje skupova njihovih čvorova (iz jednog na drugi) koje održava osobinu susjednosti čvorova.

Grafovi na sl. 1 su izomorfni, jer preslikavanje čvorova (x)=x' održava osobinu susjednosti.Za svaki par indeksa i, j(i j) neposredno možemo provjeriti da su parovi čvorova xi, xj i xi', xj' ili oba parovi susjednih čvorova ili oba parovi nesusjednih čvorova.Graf čije su dvije reprezentacije prikazane na sl. 1 naziva se Petersenov graf. On igra veliku ulogu u teoriji grafova.

Lako se može pokazati da su i grafovi na sl. 2 izomorfni.

Definicija 2. Za proizvoljne grafove G1 = (X1, U1) i G2=(X2, U2) kažemo da su izomorfni ako i samo ako postoji biunivoko preslikavanje skupa X1 na skup X2 za koje važi

Ako se graf predstavlja pomoću tačaka i linija u trodimenzionalnom prostoru, dvije grane se uvijek mogu predstaviti tako da se međusobno ne sijeku i ne dodiruju (izuzev u čvoru koji je zajednički za te dvije grane).Deformacija geometrijskog reprezenta grafa u trodimenzionalnom prostoru, pri kojoj se čvorovi, eventualno, pomjeraju ali se međusobno ne preklapaju, a grane izdužuju, skraćuju i savijaju ali se ne prekidaju i ne sljepljuju sa drugim granama, naziva se neprekidna deformacija.

28

Izomorfni grafovi mogu se pomoću neprekidne deformacije dovesti do geometrijske podudarnosti, ako se još dopusti proces pri kojem se grana otkida od jednog svog čvora ali se na kraju opet vezuje za taj čvor.Da je ova poslednja operacija potrebna uviđa se na primjeru regularnog grafa stepena 2 sa dvije komponente povezanosti. Pri geometrijskoj reprezentaciji dvije konture ovog grafa mogu da se obuhvataju kao karike na lancu a mogu da budu i sasvim odvojene.

Definicija 3. Dva multigrafa G1=(X1, U1) i G2=(X2, U2) su izomorfna ako postoji bijekcija : X1→X2 sa osobinom da se za svako x i y iz X1 u multigrafu G1 nalazi točno onoliko grana oblika (x, y) koliko se u multigrafu G2 nalazi grana oblika ( (x), (y)).

Relacija izomorfnosti dva grafa (ili multigrafa) je refleksivna simetrična i tranzitivna (tj. graf je izomorfan sa samim sobom; ako je G1 izomorfan sa G2 onda je i graf G2 izomorfan sa grafom G1; ako je G1 izomorfno sa G2 a G2 sa G3, onda je i G1 izomorfno sa G3).Dakle, relacija izomorfnosti je relacija ekvivalencije u skupu svih grafova pa je možemo proglasiti za relaciju jednakosti grafova. Prema tome, grafovi su jednaki ako i samo ako su izomorfni.Iz same definicije uviđamo da su izomorfni grafovi, u stvari, isti grafovi ali različito predstavljeni, odnosno nacrtani. Stoga je značajno pitanje kako možemo prepoznati graf, tj. utvrditi da li su dva grafa izomorfna.Interesantno je da do danas nije poznat odgovarajući algoritam bitno različit od neposrednog provjeravanja. Takav algoritam možda i ne može da postoji ako se ne ograničimo na neke specijalne klase grafova.U vezi sa ovim je i pitanje načina zadavanja odnosno predstavljanja grafa. Nedostatke pokazuju svi navedeni načini, ali drugi bitno različiti načini zadavanja grafa, koji bi bili efikasniji, nisu poznati. Vjerovatno već iz ove činjenice proističu ogromne teškoće koje se pojavljuju pri rješavanju pojedinih problema.Dok u neprekidnoj matematici izvod i integral, zasnovani na pojmu granične vrijednosti, rješavaju bezmalo sve probleme, u diskretnoj matematici, u koju spada i teorija grafova, još ne postoji (i pitanje je da li može da postoji) ni približno tako moćno sredstvo. Ovaj nedostatak se djelimično ali samo prividno otklanja upotrebom elektronskih računara, jer se u praksi već sada pojavljuju grafovi sa nekoliko stotina i više čvorova, čije tretiranje i za brzu elektronsku mašinu predstavlja krupan zadatak.Težina problema izomorfizma grafova vidi se, donekle, iz slijedećeg razmatranja. Očigledno je da izomorfni grafovi moraju imati isti broj čvorova i isti broj grana.Međutim, ispunjenje ovih uslova ne garantuje da su grafovi izomorfni.

Na sl. 3 je dat kontraprimjer u kojem dva neizomorfna grafa imaju svaki po četiri čvora i četiri grane.Grafovi na sl. 3 imaju različite stepene čvorova, pa to navodi na pretpostavku da je, možda, za izomorfizam grafova dovoljno da su skupovi stepena njihovih čvorova jednaki.

Međutim, na sl. 4 su data dva neizomorfna grafa kod kojih svi čvorovi imaju stepen 3, pa se i ovaj kriterijum pokazuje kao nedovoljan

29

Izomorfni grafovi mogu imati različite matrice susjedstva.Na sl. 5 su data dva izomorfna grafa (tj. jedan graf sa dvije različite numeracije čvorova). Ovim grafovima odgovaraju matrice susjedstva

Dakle, A1 A2.Međutim, iz načina formiranja matrice susjedstva vidi se da se različite matrice susjedstva istog grafa mogu dobijati jedna iz druge prenumeracijom čvorova grafa, odnosno permutovanjem vrsta i kolona matrica. Pri ovom je bitno da se ista permutacija primjenjuje i na vrste i na kolone.

30

Tako, na primjer, A1 se može dobiti iz A2 ako se najprije u A2 prva vrsta stavi na mjesto treće, treća na mjesto druge i druga na mjesto prve, a zatim se iste operacije izvrše sa kolonama.Formulisaćemo i analitički uslov izomorfnosti grafova čije su matrice susjedstva A1 i A2,Za to je potrebno objasniti pojam permutacione matrice.

Permutaciom matrica je kvadratna matrica koja u svakoj vrsti i svakoj koloni ima tačno jedan element koji je jednak jedinici, ostali, elementi matrice su jednaki nuli. Skup permutacionih matrica reda n obrazuje grupu izomorfnu sa simetričnom grupom reda n. Ako se matrica A pomnoži permutacionom matricom P sa desna, dobija se matrica koja nastaje iz A permutovanjem kolona. Permutovanje vrsta matrica A istom permutacijom može se postići ako se A pomnoži s lijeva matricom Pt.Na osnovu izloženog, matrice susjedstva A1 i A2 izomorfnih grafova zadovoljavaju relaciju A1 =Pt

A2 P, gdje je P neka permutaciona matrica.

Napominjemo da su permutacione matrice ortogonalne, tj.da je Pt=P-1,gdje je P-1 Inverzna matrica matrice P. Stoga se uslov izomorfnosti može formulisati I ovako:Grafovi čije su matrice susjedstva A1 i A2 su izomorfni ako i samo ako postoji permutaciona matrica P takva da je A1 = P-1 A2P.

Za matrice susjedstva grafova na sl. 5. važi relacija A1=P-1A2P, gdje je

Izomorfizam grafa sa samim sobom naziva se automorfizam. Skup svih automorfizama jednog grafa obrazuje grupu.

31

9.FORMALNE TEORIJE I IZRAČUNLJIVOST9.1.REKURZIVNE I IZRAČUNLJIVE FUNKCIJE

Na više mjesta u ranijim izlaganjima spominjali smo efektivni postupak shvatajući taj pojam intuitivno. U ovom odjeljku prilazimo ovom pojmu sa većom preciznošću.

Efektivni postupak nazivamo i algoritam. Intuitivno pod algoritmom shvatamo otprilike ono što je dato slijedećom definicijom.Algoritam za rješenje nekog tipa problema iz unaprijed fiksirane klase partikularnih slučajeva toga problema je konačan spisak pravila postupajući po kojima dolazimo do rješenja bilo kojeg od partikularnih slučajeva problema iz zadate klase.Ovo je opisna definicija algoritma koja samo djelimično zadovoljava. Na primjer nije jasno šta u gornjoj definiciji znači pravilo. Stoga su date razne striktne definicije algoritma.

Posmatraćemo tzv. aritmetičke funkcije, tj. funkcije f obiika f : Nn→N, gdje je N skup prirodnih brojeva, za ovu priliku, po tradiciji, proširen brojem 0. Problem koji posmatramo sastoji se u izračunavanju vrjednosti funkcije f za zadatu n-torku prirodnih brojeva. Vrlo široka klasa problema se može svesti na problem izračunavanja vrijednosti jedne numeričke funkcije što će biti pokazano u slijedećem odjeljku.Definisaćemo jednu klasu aritmetičkih funkcija za koje postoji algoritam (za svaku od njih u opštem slučaju različit) za izračunavanje njihovih vrijednosti. To su. tzv, rekurzivne funkcije koje uvodimo poslije neophodnih prethodnih objašnjenja..

Neka su funkcije N(x), S(x) i određene jednakostimaN (x) = 0, S (x) = x + I, (x1 , x2, ..... , xn) =xi.Prvu funkciju zovemo nula-funkcija, drugu nasljednička funkcija, a treću funkcija identifikovanja i-te promjenljive ili projekcijska funkcija. Navedene funkcije nazivaju se osnovne rekurzivne ili polazne funkcije.

Određenim postupcima formiramo od zadatih funkcija nove funkcije. Razmatraćemo slijedeće postupke formiranja novih funkcija: supstitucija, rekurzija i mikrorekurzija.

Ako su h1, h2, ... , hk funkcije n-promjenjivih a g funkcija k promjenijivih, za funkciju n promjenijivih određenu pomoću f(x1, x2, ... , xn) = g (h1 (x1, x2,... xn), h2 (x1, x2, ... , xn), ... , hk (x1, x2, ..., xn)) kažemo da je dobijena supstitucijom pomoću funkcija g, h1, h2, . . . hk.

Neka je g funkcija n promjenijivih i neka je h funkcija n+2 promjenljive. Tada se može definisati funkcija f od n+1 promjenijivih pomoću

Kaže se da je f dobijena od g i h pomoću rekurzije.

32

Kod mikrorekurzije polazi se od funkcije g(x1, x2,. . . ,xn, y) (koja zavisi od n+1 promjenljivih) i pomoću nje se definiše funkcija f(x, x2, . . . , xn) od n promjenijivih. Pretpostavimo da g ima osobinu:

(1)

Neka je y(g(x1, x2 , ..., xn, y)=0) najmanje rješenje po y jednačine g{x1, x2, . . ., xn, y)=0. Tada se definišef(x1, x2,..., xn) = y (g(x1, x2,..., xn, y) = 0)i kaže da je f dobijena od g pomoću mikrorekurzije (ili pomoću -operatora).

Definicija 1. Funkcija f: Nn→N je rekurzivna funkcija ako postoji niz funkcija f1 ,f2, ... , fm=f takav da je svaki član niza ili osnovna rekurzivna funkcija ili je dobijena supstitucijom, rekurzijom ili mikrorekurzijom od prethodnih članova niza.

Primjer 1. Funkcija dvije promjenljive f1(x,y)=x+y je rekurzivna zbog egzistencije slijedećeg niza funkcija (x)=x,S(x)=x+1, f1(x, y)=+-y, jer se f1 dobija iz (x) i S(x) rekurzijom:

f1(x,0) = x = (x) i f1(x, y)=S (f1 (x, y - 1)). Takođe je f2 (x, y)=xy rekurzivna funkcija zbog niza

, S(x), f1(x, y), N(x), f2(x, y) ∙ f2 se dobija rekurzijom pomoću N(x) i f1(x, y) jer je f2(x, 0)=N( ) i f1(x, y)=-f1(f2 ,y - 1),x)

Ako se u izgradnji funkcija po šemi iz definicije 1 dopusti upotreba samo supstitucije i rekurzije, dobijene funkcije se nazivaju primitivno rekurzivnim. Dalje, ako se izostavi zahtjev (1) a dopusti primjena mikrorekurzije dobijaju se funkcije koje ne moraju biti definisane za sve n-torke iz Nn. Takve funkcije se nazivaju parcijalne rekurzivne funkcije.

Rekurzivna funkcija ima osobinu da za izračunavanje njene vrijednosti postoji efektivni postupak (u intuitivnom smislu ili po navedenoj opisnoj definiciji). Taj efektivni postupak je sugerisan načinom konstrukcije funkcije. Dakle, rekurzivne funkcije spadaju u izračunljive funkcije (u intuitivnom smislu).

Obrnuto, vjeruje se da je svaka izračunljiva funkcija rekurzivna, tj. da se skup izračunljivih funkcija poklapa sa skupom rekurzivnih funkcija. Ovo vjerovanje naziva se Churchova teza.

Postoje argumenti koji idu u prilog ove teze no ona se ne može dokazati u matematičkom smislu jer, njeno tvrđenje nije striktno definisano (u tezi figuriše intuitivno uveden pojam izračunljive funkcije).No Churchova teza predstavlja osnovu da se prihvati definicija da za neki problem postoji efektivni postupak ako se rješenje tog problema svodi na izračunavanje vrijedriosti jedne rekurzivne funkcije. Dakle, rekurzivna funkcija je jedan opšti model algoritma. Postoje i drugi modeli algoritma koji su ekvivalentni sa modelom rekurzivne funkcije (Turingova mašina itd.) ali se nećemo upuštati u njihov opis.

33

10.RAČUN VJEROVATNOĆE10.1.SLUČAJNE VELIČINE

Jedan od osnovnih pojmova računa vjerovatnoće je, pored pojma slučajnog događaja, pojam slučajne veličine. Upoznajmo se ovim pojmom kroz primjere.

a) Broj tačkica koje se pojavljuju na gornjoj strani kocke prilikom njenog bacanja je veličina nepoznata unaprijed.Ona može da ima vrjednosti 1, 2, 3, 4, 5 i 6.

Svaka od ovih vrijednosti se pojavljuje, kao što znamo, sa vjerovatnoćom .

b) Broj automobila koji se zaustave pred semaforom za vrijeme crvenog signala je očigledno, slučajna veličina. Za datu raskrsnicu i dato vrijeme moguće je izračunati vjerovatnoću da pred semaforom čeka 0, 1, 2, ... automobila.

c) Količina atmosferskog taloga u toku, na primjer, jednog mjeseca varira od mjeseca do mjeseca. Za dato podneblje i dati mjesec moguće je, na osnovu, statističkih podataka, odrediti vjerovatnoću da će se u toku posmatranog mjeseca količina padavina kretati, na primjer, između nula i deset milimetara, ili između deset i dvadeset milimetara itd.

Iz navedenih primjera se vidi da je slučajna veličina ona čija brojna vijrednost nije unaprijed poznata. Ona poslije eksperimenta (bacanje kocke, prebrojavanje automobila, pred semaforom itd.) uzima ovu ili onu vrijednost. Svakoj vrijednosti koju može da, uzme slučajna veličina poslije eksperimenta, je pridružena vjerovatnoća s kojom se ta vrijednost ostvaruje.

Kod slučajne veličine osnovno je da se ustanovi koje vrijednosti ona može da uzme. U primjeru a) ovaj skup vrijednosti je: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pod b) slučajna veličina može da uzme vrijednost nula ili bilo koju iz niza prirodnih brojeva 1, 2, 3,. . . (Teorijski, broj automobila pred semaforom može da bude proizvoljno velik). Slučajna veličina iz c) je nešto drukčije prirode. Ona može da uzme bilo koju vrijednost od 0 do nekog veoma velikog broja milimetara, računajući tu ne samo cijelobrojne vrijednosti već i sve ostale.

Slučajne veličine koje mogu imati bilo koju vrijednost iz nekog intervala brojeva zovu se kontinualne slučajne veličine. Drugu grupu čine diskretne slučajne veličine. Ove veličine mogu da uzmu ili konačan broj vrijednosti (u primjeru a) šest vrijednosti) ili beskonačan broj vrijednosti, ali takav da se sve ove vrijednosti mogu da poredaju u jedan niz (u primjeru b) ovaj niz ima oblik 0, 1,2,. . .).

U cilju uprošćenja, u razmatranju koje slijedi posmatraćerno slučajnu veličinu koja može da uzme samo tri vrijednosti. Rezultate ćemo uopštiti na slučaj proizvoljnog broja vrijednosti slučajne veličine.

34

Neka je X slučajna veličina koja sa vjerovatnoćom p1 uzima vrjednost x1, sa vjerovatnoćom p2 vrijednost x2 i sa vjerovatnoćom p1 vrijednost x3. Ovo ćemo kratko obilježiti sa P(X=x1)=p1, P(X=x2)=p2, P (X=x3)=p3. Pošto su događaji X=x1, X=x2 i X=x3 uzajamno isključujući i predstavljaju sve načine za realizaciju velične X, mora bili p1+p2+p3=1Postavlja se pitanje da li se umjesto opisivanja veličine X preko skupa njenih vrijednosti x1, x2, x3 i odgovarajućih vjerovatnoća p1, p2, p3, može uvesti neka druga, veličina koja bi na neki način karakferisala posmatranu slučajnu veličinu. Odgovor je potvrdan. Slučajne veličine se mogu opisivati svojim tzv. brojnim karakteristikama kao što su: srednja vrijednost slučajne veličine, srednje odstupanje slučajne velične od srednje vrijednosti i dr.

Srednju vrijednost slučajne veličine definisaćemo na slijedeći način. Izvršimo veliki broj eksperimenata i zabilježimo vrijednosti koje je dobila slučajna veličina u svakom eksperimenutu. Saberimo sve ove vrijednosti i podjelimo sa brojem eksperimenata. Dobijeni broj možemo smatrati srednjom vrijednošću slučajne veličine, ako je broj eksperimenata bio vrlo velik.

Neka je izvršeno n eksperimenata i neka je veličina X vrijednost x1 dobila n1 puta, n2 puta vrijednost x2 i n3 puta vrijednost x3; Tada je srednja vrijednost veličine X jednaka:

Na osnovu zakona velikih brojeva možemo uzeti da je: , , pa je

=p1x1+p2x2+p3x3.

Dakle, srednja vrijednost je jednaka zbiru proizvoda pojedinih vrijednosti slučajne veličine i odgovarajućih vjerovatnoća. Srednja vrijednost se naziva i matematička nada ili matematičko očekivanje slučajne veličine.

Slično se za slučajnu veličinu Y, koja dobija vrijednosti y1, . . ., ym sa vjerovatnoćama p1, ...,pm, dobija srednja vrijednost =p1 y1 + ... +pm, ym.

Ako je X slučajna veličina iz primjera a) onda je

P (X=1)=P (X=2)= P(X=3) = P(X=4) = P(X=5)=P(X=6) =

i srednja vrijednost

35

11.ELEMENTI TEORIJE IGARA11.1.KOMBINOVANE STRATEGIJE

Posmatrajmo igru određenu matricom

( 1 )

Ova matrica ne posjeduje sedlastu tačku jer je , dok je Ako igrač X primjenjuje maksiminsku strategiju x1 on ima zagarantovan dobitak ne manji od 1. Slično tome, ako Y primjenjuje minimaksnu strategiju y2, njegov gubitak ne može bili veći od 2.

Međutim, ako se igra ponavlja i ako Y uoči da X stalno primjenjuje strategiju x1, Y može da pređe na strategiju y1 i na taj način smanji svoj gubitak sa 2 na 1. Ali tada X može da primjeti da je Y promijenio strategiju pa da i sam pređe na novu strategiju, tj. x1 i poveća dobitak na 3. No, tada bi Y ubrzo prešao na y2 i smanjio gubitak sa 3 na 0 itd.

Vidi se da pri l ikom većeg broja odigravanja igre koja nema sedlastu tačku igrači ne smiju da se stalno pridržavaju određenih čistih strategija. Međutim, mijenjanje strategija ne smije da se vrši po nekom unaprijed utvrđenom sistemu jer bi protivnik eventualno mogao na neki način da se upozna sa tim sistemom i na odgovarajući način podesi primjenu svojih strategija u svoju korist. Stoga se izbor čiste strategije mora prepustili slučaju. Igrač treba samo da odredi sa kojim vjerovatnoćama će podesno odabran slučajni mehanizam (na primjer, izvlačenje raznobojnih kuglica iz urne) da određuje pojedine čiste strategije.

Neka u gornjem primjeru igrač X odabire (pomoću slučajnog mehanizma) strategiju x1 sa vjerovatnoćom p1 a strategiju x2 sa vjerovatnoćom p2. Slično tome, neka Y odabire strategije y1 i y2 sa vjerovatnoćama q1 i q2 respektivno. Pri ovom važi

(2) p1+p2 = 1 q1 +q2= 1.

Odredićemo optimalne vrijednosti ovih vjerovatnoća za igrače X i Y.Sa vjerovatnoćom p1q1 desiće se da igrač X izabere strategiju x i da Y izabere strategiju y1. Dobitak igrača X iznosi tada 1. Slično tome, sa vjerovatnoćom p1q1 igrač X ostvaruje dobitak 2, sa vjerovatnoćom p2 q1 dobitak 3 i sa vjerovatnoćom p2q2 dobitak 0. Srednja vrijednost dobitka igrača X iznosi

(3)

Iz relacija (3) i (2) dobija se izraz

36

Vidi se da je za igrača X optimalno da izabere , dok je za igrača Y optimalna

vrijednost . Na taj način srednja vrijednost dobitka igrača X odnosno srednja

vrijednost gubitka igrača Y iznosi D= Ako bi, na primjer, igrač X izabrao , igrač

Y bi mogao, pogodnim izborom veličine q1, svoj gubitak da smanji ispod .

(Za p 1 > treba uzeti q1 =1 a u suprotnom slučaju q1 =0).

Na opisanom primjeru se vidi da kod igara bez sedlaste tačke ne postoje optimalne čiste strategije. Najbolji rezultati se postižu ako se pojedine čiste strategije primjenjuju sa određenim vjerovatnoćama. Tako dolazimo do pojma kombinovane strategije.

Kombinovana strategija igrača X je strategija čijom primjenom X odabire i-tu vrstu (i=1, 2, . . . , m) matrice igre sa vjerovatnoćom pi, pri čemu je p1+p2+ ... + pm=1. Kombinovana strategija igrača Y je strategija na osnovu koje Y bira j-tu kolonu (j=1, 2, , ... , n). sa vjerovatnoćom qj, gde je q1+q2+ ... +qn=1. Pomenute strategije se predstavljaju uređenim k-torkarna (p1+p2+ ... + pm) i (q1+q2+ ... +qn). Čista strategija je specijalan slučaj kombinovane strategije, na primjer, x1=(1, 0,..., 0).

Dobitak igrača X (odnosno srednja vrijednost dobitka ako se radi o kombinovanim strategijama) kada oba igrača primjenjuju optimalne strategije naziva se cijena igre i označava sa v. Bez dokaza navodimo da u opštem slučaju važi ≤v≤ .

Princip, koji leži u osnovi teorije igara a po kome svaki igrač odabire svoju strategiju računajući sa najboljim mogućnim odgovorom protivnika, naziva se princip minimaksa.

Cijena igre određene sa (1) je v = .

Optimalna strategija igrača X je

a igrača Y

Na sličan način se može riješiti proizvoljna igra čija je matrica tipa 2 2. Nalaženje rješenja igre sa matricom većeg formata skopčano je sa zametnim izračunavanjima. Egzistencija rješenja je obezbijeđena na osnovu slijedeće teoreme koja predstavlja fundamentalnu teoremu teorije igara a koju navodimo bez dokaza.

Teorema 1. Svaka matrična igra ima rješenje u skupu kombinovanih strategija.Ovo je rezultat J. von Neumanna iz 1928. god.

37

12.ZAKLJUČAK12.1.OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE

Matematičke misli se izražavaju nekom od postojećih jezika (npr. bosanskom, hrvatskom, srpskom) koji je upotpunjen izvjesnim brojem specijalnih matematičkih simbola.Osnovne cijeline u jednom jeziku su rečenice. Od posebnog interesa su afirmativne rečenice koje imaju neki smisao. Ovakve rečenice se pod izvjesnim uslovima nazivaju sudovima i predikatima.

Definicija 1. Afirmativna rečenica koja ima smisla i koja je ili istinita ili neistinita naziva se sud.Sud ne može istovremeno biti istinit i neistinit (princip kontradikcije), a isto tako sud ne može biti ni istinit ni neistinit (princip isključenja trećeg). Sudove obično obilježavamo velikim slovima latinice, npr.: P, Q, R, ... Za svaki sud P definiše se njegova vrijednost istinitosti . Za vrijednost istinitosti sudova mogu se uzeti bilo koja dva različita objekta, odnosno simbola. Tako su u matematičkoj literaturi u čestoj upotrebi simboli T i umjesto, redom, 1 i 0. Simbol T se čita »te« i potiče od engleske riječi »true« (istinit). Simbol čita se »ne te«.

Postoje i rečenice koje tvrde nešto što ima smisla ali za koje ne možemo tvrditi ni da su istinite ni da su neistinite. Na primjer, rečenica » x1 = 1« je istinita ako je x = 1 ili x = - 1. Međutim, ona je neistinita, na primjer, za x = 2. Ovakvi primjeri opravdavaju uvođenje sljedeće definicije.

Definicija 2. Afirmativna rečenica, koja ima smisla, koja sadrži jedan ili više projenjivih parametara i koja postaje sud uvjek kada parametri iz rečenice dobiju konkretne vrijednosti, naziva se predikat.

Definicija 3. Ako su P i Q rečenice, onda se rečenice P i Q, P ili Q, ne P, ako P onda Q, ako P onda Q i ako Q onda P, P ili Q ali ne oba, označavaju redom sa

i nazivaju konjunkcija, disjunkclja, negacija, implikacija, ekvivalencija, ekskluzivna disjunkcija rečenica P i Q (odnosno rečenice P kod negacije).

Iz definicije 3 neposredno proizlazi da je rečenica P Q identična sa rečenicom i da je rečenica P\/Q identična sa rečenicom Od predikata se mogu formirati nove rečenice upotrebom tzv. kvantifikatora. Postoje dva kvantifikatora: univerzalni i egzistencijalni .

Simbol se čita *svaki* (ili *za svako*) a u vezi je sa početnim slovom njemačke riječi »alle« (svi) odnosno engleske »all«. Simbol se čita »postoji« i potiče od odgovarajućeg njemačkog izraza »es gibt«, odnosno engleskog »exist«. Kvantifikatori se upotrebljavaju ispred predikata i obično se vezuju za neku promenljivu (parametar) iz predikata.

38

12.2.KOMBINATORIKA

U kombinatornim zadacima prebrojavanja veliku ulogu igraju funkcije generatrise.Posmatrajmo beskonačni niz

(1)

Definicija 1. Funkcija naziva se funkcija generatrisa niza (1).

Definicija 2. Funkcija naziva se eksponencijalna funkcija gene-ratrisa niza (1).

Ako su poznate funkcije generatrise za niz (1), članovi niza se mogu odrediti pomoću formula

.

U kombinatorici se pod particijom podrazumijeva rastavljanje prirodnog broja n na sabirke koji su prirodni brojevi pri čemu redoslijed sabiraka nema uticaja. Ako se vodi računa o redoslijedu sabiraka, rastavljanje prirodnog broja na sabirke se naziva kompozicija. Particije i kompozicije nekih prirodnih brojeva su navedene u slijedećoj tabeli:

Particije se predstavljaju i tzv. Ferersovim dijagramom koji se sastoji od tačaka. Ferersov dijagram particije 5+3+2 dat je na sl. 1. Ako se ovaj dijagram »pročita« po kolonama dobija se particija 3+3+2+1 + 1 koja se naziva konjugovana particija patricije 5+3+2.

Problem određivanja broja particija nije jednostavan i on će biti tretiran ovdje tehnikom funkcija generatrisa. Broj kompozicija je određen u zadatku 9 na kraju ovog poglavlja.

Izvodimo funkcije generatrise za brojeve p(n) particija

12.3.ISKAZNA ALGEBRA

U simbole iskazne algebre spadaju iskazna slova, simboli operacija ( ) i zagrade (»otvorena« zagrada (i »zatvorena« zagrada). Iskazna slova su izvjesni dogovorom usvojeni simboli: p,q,r,p 1 ,q 1 ,r 1 .. .Izvjesne nizove sastavljene od iskaznih slova, operacijskih simbola i zagrada nazivamo iskaznim formulama.

39

Definicija 1. 1. Iskazna slova su iskazne formule 2. Ako su nizovi simbola A i B iskazne formule, tada su iskazne formule i A, (A B), (A B), (A B), (A B), (A B), 3° Iskazne formule mogu se obrazovati jedino pomoću konačnog broja primjena odredbi 1. / 2.

Iskazne formule se mogu interpretirati na više načina. Navodimo dvije moguće interpretacije:

1. Ako iskazna slova interpretiramo kao promjenljive u iskaznoj algebri (tj. kao promjenjive koje uzimaju vrijednosti iz skupa B) a simbole , , itd. interpretiramo kao operacije u iskaznoj algebri, onda formule predstavljaju »algebarske izraze« iskazne algebre.

2. Ako se u formuli fiksiraju vrijednosti svih promjenljivih i izvrše naznačene operacije dobija se vrijednost formule, koja, naravno, može biti 0 ili 1. Na primjer, vrijednost posljedne formule iz primjera 1 za vrijednosti promjenjivih p=q=r=l je (( 1 1) (l

1))=((0 1) l)=(l 0)=0.

Definicija 2. Iskazna formula, koja za sve vrijednosti svojih iskaznih slova ima vrijednost 1, naziva se tautologija.

Ako je formula A tautologija, piše se A a ovaj simbol se čita: A je tautologija.

12.4.ELEMENTI TEORIJE SKUPOVA

Kardinalni broj kA (ili ) konačnog skupa A je broj elemenata toga skupa. Za beskonačne skupove kardinalni brojevi se označavaju posebnim simbolima. Kardinalni broj kN skupa prirodnih brojeva N se obilježava sa (čitati: alef nula). Kardinalni broj kR skupa realnih brojeva R obilježava se sa c.

Definicija 1. Skupovi A i B imaj isti kardinalni broj (ili imaju istu moći ili ekvivalentni su) ako postoji preslikavanje f: A B koje je bijekcija.

A je ekvivalentno sa A jer je identičko preslikavanje skupa A bijekcija iz A u A (refieleksivnost). Ako je A ekvivalentno sa B, onda postoji koje je bijekcija, inverzno preslikavanje

je takođe bijekcija i B je ekvivalentno sa A (simetričnost). Ako je A ekvivalentno sa B i B ekvivalentno sa C onda postoje bijekcije no tada je takođe bijekcija i A je ekvivalentno sa C (tranzitivnost).

Kardinalni broj skupa je dakle zajednička karakteristika posmatranog skupa i svih njemu ekvivalentnih skupova.

12.5.KVANIFIKATORSKI RAČUN PRVOG REDA

Simboli interpretiraju se kao implikacija, negacija i univerzalni kvantifikator, respektivno. Stoga, proizvoljna formula kvantifikatorskog računa predstavlja složenu rečenicu komponovanu

40

po pravilima opisanim u odjeljku 1.1 od rečenica koje odgovaraju elementarnim formulama od kojih je posmatrana formula sastavljena. Složena rečenica koja se na opisani način dobija kao interpretacija kvantifkatorske formule je predikat čija dužina, zavisi od broja promjenljivih u formuli ali i od prisustva i rasporeda kvantifikatora.

Definicija 1. Interpretacija I formule F kvantifikatorskog računa je definisana pomoću ,gdje je D neprazan skup a φ preslikavanje čiji je domen skup konstanti, operacijskih slova i relacijskih slova formule F, pri čemu je slika konstante element skupa D, slika funkcijskog slova operacija skupa D odgovarajuće dužine i slika relacijskog slova relacija skupa D odgovarajuće dužine.Interpretacija formule F određuje tri međusobno ekvivalentna objekta u vezi sa skupom D od kojih svaki možemo po potrebi uzeti za opisnu interpretaciju formule F:

1. jednu rečenicu (predikat) koja govorio elementima skupa D..2. jednu relaciju određene dužine u D, definisanu predikatom 1,3. odgovarajuću iskaznu funkciju.

12.6.GRUPE

Neka je Pn={p} skup svih permutacija p. Struktura (Pn, ∙), gde je množenje permutacija definisano kao množenje (kompozicija) preslikavanja, predstavlja grupu što dokazuju sljedeći navodi.Proizvod p1∙ p2 permutacija p1 i p2 je opet permutacija skupa X jer je proizvod bijekcija takođe bijekcija i p1 p2 : X→X, te (Pn, ∙) predstavlja grupoid. Proizvod preslikavanja je asocijativna operacija. Neutralni element je identičko preslikavanje. Svaki element p grupoida je invertibilan jer postoji p-1 koje je bijekcija i p-1 : X→X.

Grupa (Pn, ∙ ) se naziva simetrična grupa reda n i obilježava se sa Sn. (Red simetrične grupe Sn reda n je, međutim, n!.

12.7.ALGEBARSKE STRUKTURE SA VIŠE OPERACIJA

Definicija 1. Algebarska struktura (S, +, ∙ ), gdje su + i ∙ binarne operacije skupa S, naziva sa prsten ako su ispunjeni slijedeći uslovi:

1. (S, +) je Abelova grupa;2. (S, ∙ ) je semigrupa, (tj. ∙ je asocijativna operacija);3. (tj. operacija ∙ je distributivna u

odnosu na operaciju +).

Definicija 2. Ako operacija ∙ u prstenu (S, + , ∙ ) ima neutralni element, prsten (S, + , ∙ ) se naziva prsten sa jedinicom. Prsten sa jedinicom u kome su svi elementi idempotentni naziva se Booleov prsten.Dakie, prsten iz posljednjeg primjera je Booleov prsten.

Definicija 3. Prsten (S, +, ∙ ) je komutativan ako je operacija ∙ komutativna.

41

Definicija 4. Element a 0 prstena (S, +, ∙ ) je lijevi (odnosno, desni) djeljitelj nule ako postoji b0 (b S) takvo da važi a ∙ b=0 (odnosno, b ∙ a=0).

4. Prsten sa bar dva elementa u kome ne postoje djeljitelji nule naziva se oblast cijelih (ili područje integriteta).

Definicija 5. Ako je (S, +, ∙ ) prsten i ako je (T, +, ∙ ), gde je T S, takođe prsten, onda se (T, +, ∙ ) naziva podprsten prstena (S, +, ∙ ).

Prema ovoj definiciji (T, +, ∙ ) je podprsten prstena (S, +, ∙ ) ako su ispunjeni slijedeći uslovi:1. (T, +) je podgrupa Abelove grupe (S, +), tj. x, y T x - y T.2. (T, ∙ ) je semigrupa, tj. x, y T x ∙ y T.

12.8.TEORIJA GRAFOVA

Definicija 1. Dva grafa su izomorfna ako postoji uzajamno jednoznačno preslikavanje skupova njihovih čvorova (iz jednog na drugi) koje održava osobinu susjednosti čvorova.

Definicija 2. Za proizvoljne grafove G1 = (X1, U1) i G2=(X2, U2) kažemo da su izomorfni ako i samo ako postoji biunivoko preslikavanje skupa X1 na skup X2 za koje važi

Definicija 3. Dva multigrafa G1=(X1, U1) i G2=(X2, U2) su izomorfna ako postoji bijekcija : X1→X2 sa osobinom da se za svako x i y iz X1 u multigrafu G1 nalazi točno onoliko grana oblika (x, y) koliko se u multigrafu G2 nalazi grana oblika ( (x), (y)).

Dok u neprekidnoj matematici izvod i integral, zasnovani na pojmu granične vrijednosti, rješavaju bezmalo sve probleme, u diskretnoj matematici, u koju spada i teorija grafova, još ne postoji (i pitanje je da li može da postoji) ni približno tako moćno sredstvo.

12.9.FORMALNE TEORIJE I IZRAČUNLJIVOST

Algoritam za rješenje nekog tipa problema iz unaprijed fiksirane klase partikularnih slučajeva toga problema je konačan spisak pravila postupajući po kojima dolazimo do rješenja bilo kojeg od partikularnih slučajeva problema iz zadate klase.

Neka su funkcije N(x), S(x) i određene jednakostimaN (x) = 0, S (x) = x + I, (x1 , x2, ..... , xn) =xi.Prvu funkciju zovemo nula-funkcija, drugu nasljednička funkcija, a treću funkcija identifikovanja i-te promjenljive ili projekcijska funkcija. Navedene funkcije nazivaju se osnovne rekurzivne ili polazne funkcije.

42

Definicija 1. Funkcija f: Nn→N je rekurzivna funkcija ako postoji niz funkcija f1 ,f2, ... , fm=f takav da je svaki član niza ili osnovna rekurzivna funkcija ili je dobijena supstitucijom, rekurzijom ili mikrorekurzijom od prethodnih članova niza.

12.10.RAČUN VJEROVATNOĆE

Jedan od osnovnih pojmova računa vjerovatnoće je, pored pojma slučajnog događaja, pojam slučajne veličine.Slučajne veličine koje mogu imati bilo koju vrijednost iz nekog intervala brojeva zovu se kontinualne slučajne veličine. Drugu grupu čine diskretne slučajne veličine. Ove veličine mogu da uzmu ili konačan broj vrijednosti ili beskonačan broj vrijednosti, ali takav da se sve ove vrijednosti mogu da poredaju u jedan niz npr. koji ima oblik 0, 1,2,. . .).

Srednju vrijednost slučajne veličine definišemo na slijedeći način. Izvršimo veliki broj eksperimenata i zabilježimo vrijednosti koje je dobila slučajna veličina u svakom eksperimenutu. Saberimo sve ove vrijednosti i podjelimo sa brojem eksperimenata. Dobijeni broj možemo smatrati srednjom vrijednošću slučajne veličine, ako je broj eksperimenata bio vrlo velik.

Srednja vrijednost je jednaka zbiru proizvoda pojedinih vrijednosti slučajne veličine i odgovarajućih vjerovatnoća. Srednja vrijednost se naziva i matematička nada ili matematičko očekivanje slučajne veličine.

12.11.ELEMENTI TEORIJE IGARA

Pril ikom većeg broja odigravanja igre koja nema sedlastu tačku igrači ne smiju da se stalno pridržavaju određenih čistih strategija. Mijenjanje strategija ne smije da se vrši po nekom unaprijed utvrđenom sistemu jer bi protivnik eventualno mogao na neki način da se upozna sa tim sistemom i na odgovarajući način podesi primjenu svojih strategija u svoju korist. Stoga se izbor čiste strategije mora prepustili slučaju. Igrač treba samo da odredi sa kojim vjerovatnoćama će podesno odabran slučajni mehanizam (na primjer, izvlačenje raznobojnih kuglica iz urne) da određuje pojedine čiste strategije.

Najbolji rezultati se postižu ako se pojedine čiste strategije primjenjuju sa određenim vjerovatnoćama. Tako dolazimo do pojma kombinovane strategije.Dobitak igrača X (odnosno srednja vrijednost dobitka ako se radi o kombinovanim strategijama) kada oba igrača primjenjuju optimalne strategije naziva se cijena igre i označava sa v. Bez dokaza navodimo da u opštem slučaju važi ≤v≤ .

Princip, koji leži u osnovi teorije igara a po kome svaki igrač odabire svoju strategiju računajući sa najboljim mogućnim odgovorom protivnika, naziva se princip minimaksa.

Teorema 1. Svaka matrična igra ima rješenje u skupu kombinovanih strategija.Ovo je rezultat J. von Neumanna iz 1928. god.

43

13.LITERATURA

Prof. Dr Esad Jakupović, Diskretne matematičke strukture, Banja Luka, 2008 god.

44

45

46