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1

Resoluções das questões das seções Para praticar, Para aprimorar e Revisão

Conceitos trigonométricos básicos

Matemática

Capítulo – Conceitos trigonométricos básicos

Para praticar, página 23

1. ax

x rad) ºº

18075

75180

512

π π π⇒ 5 5

bx

x rad) ºº

180105

105180

712

π π π⇒ 5 5

cx

x rad) ºº

180150

150180

56

π π π⇒ 5 5

dx

x rad) ºº

180210

210

180

76

7

6

π π π⇒ 5 5

ex

x rad) ºº

180300

300

180

53

5

3

π π π⇒ 5 5

fx

x rad) ºº

180100

100

180

59

5

9

π π π⇒ 5 5

g) º

º

67 30 67 60 30 4050

180 180 60 10800

′ ′� � � �

� � � ′′

′′

10800

4050

4050

10800

38

3

8

π π πx

x rad⇒ � �

h

x

) º ·41 15 41 60 15 2475

10800

2475

′ ′

′′

� � �

π ⇒ xx rad� �247510800

1148

π π

2. ax

x) º º180

10

18010

118

ππ

ππ

⇒ 5 5∙ ∙

bx

x) º º180

5

1805

136

36

1

ππ

ππ

⇒ � � �∙

cx

x) º º18029

18029

140

ππ

ππ

⇒ 5 ∙ ∙ =

dx

x)º

º180

815

180815

196

ππ

ππ

⇒ � � ∙ =

ex

x

)º

º

18056

1805

6

1150

30

1

ππ

ππ

⇒

⇒ 5 ∙ ∙ =

fx

x

)º

º

18011

6

18011

6

1330

30

1

ππ

ππ

⇒

⇒ 5 ∙ ∙ =

gx

x

)º180

38

1803

8

1 1352

6745

2

ππ

ππ

⇒

⇒ � � ∙ = = ºº30′

hx

x

)º

º

180

16

18016

1 454

11 1545

4

ππ

ππ

⇒

⇒ 5 ∙ ∙ = = ′′

3.

150o

15o

60 3015

30min

minºº

mint

t5 5⇒

Logo, são 5h 30min.

4.

1 1 1 1 1

S1 S2 S3 S4 S5

3π ≡ 60o

S S S S S1 2 3 4 5

31

32

33

34

35

15

� � � � �

� � � � �=

=

p p p p p

p

∙ ∙ ∙ ∙ ∙

∙33

5� p cm

5. Cada roda dá:

1 2 30120 10

1 2 3 30125

voltavoltas

cmcm xx

5 5∙ ∙∙

∙ ∙π⇒

00 10

66667

5∙⇒

⇒ x voltas�

O número médio de rotações por minuto de

cada roda é:

66667120

555 56� , rpm

6.

5p6

2p3

11p6

7p6

5p33p

2

4p3

p A

p3

p6

p2

7. a

quadranteo

)

º ;

78060

360

2

60 1a =

b

quadranteo

)

º ;

114060

360

3

60 1a =

c

quadranteo

)

º ;

850130

360

2

130 2a =

d)15

22

15 42

112

112

211 4

272

ππ

π π π

ππ

π π π

� ��

�

� ��

�

;

72

27 4

232

32

ππ

π π π

απ

� ��

�

= rad eixo

e

rad quadrano

)

;

103

210 6

343

43

3

ππ

π π π

απ

� ��

�

= tte

f

rad quado

)

;

236

223 12

6116

116

4

ππ

π π π

απ

� ��

�

= rrante

g)92

29 4

252

52

25 4

2 2

ππ

π π π

ππ

π π π

α

� ��

�

� ��

�

��π2

;rad eixo

h)17

42

17 84

94

94

29 8

4 4

ππ

π π π

ππ

π π π

� ��

�

� ��

�

;απ

=4

1rad quadranteo

8. a x k com k) ,� �p

p6

2 ��

b x k com k) ,� �p

p4

��

2


Matemática

c x k com k ou

x k com k

) ,

( ) ,

� �

� �

p pp

2

2 1

�

�

��

d x k com k) ,� �23

2p

p ��

e x k com k) ,�� p

p3

2 ��

f x k com k) ,� �56p

p ��

9. a) 3o ou 4o quadrante

b) 2o ou 3o quadrante

c) 1o ou 4o quadrante

d) 1o ou 2o quadrante

e) 2o ou 4o quadrante

10. a sen sen sen)56 6 6

12

π π π π� � � �

b sen sen sen)43 3 3

32

π π π π� �� +

c sen sen sen) º ( º º ) º330 360 30 3012

� � ��

d) cos º cos ( º º ) cos º315 360 45 452

2� � � �

e) cos cos cos54 4 4

22

π π π π� �� +

f) cos cos cos23 3 3

12

π π π π� � ��

g tg tg tg) º ( º º ) º210 180 30 303

35 + = =

h tg tg tg)34 4 4

1π π π π

� � ��

i tg tg tg) ( º º ) º43

180 60 60 3p = + = 5

11. a) sen 90º 5 1

Fazendo a simetria em relação ao eixo Ox, encontramos sen 270º 5 21.

x

y

190o

270o

−1

x 5 270º

b sen)p6

12

=

Fazendo a simetria em relação ao eixo Oy,

encontramos sen .56

12

p=

x

y

p61

2

5p6

x ou x= =p p6

56

c sen)p3

32

=

Fazendo a simetria em relação ao eixo Oy,

encontramos sen .23

32

p=

x

y

p3

2p3

23

Como estamos no intervalo 02

, ,π

temos

somente uma solução: x =p3

.

d) cos º6012

=

Fazendo a simetria em relação ao eixo Ox,

encontramos cos º .30012

=

x

y

60o

300o

12

x 5 300º

e) Fazendo a simetria, encontramos

cos34

22

p=2 e cos

54

22

p=2 .

x

y

5π4

3π4

22−

Logo x ou x, .= =34

54

p p

f) Fazendo a simetria, encontramos

tg e tg x .34

174

p p= =2

x

y

7π4

−1

3π4

Como 0 , x , p, temos tg .34

1p=2 Logo,

x =34p

.

12. a

sen sen

)37

636

6 66

637

6 612

p p p p p

p p

= + = +

= =

b

sen sen sen

) º º º

( º ) º

360 225 135

225 135

2

2

=

= = 4452

2º =

c

sen sen

) 6 3 2

6 2 0

p pp p

=

= =

∙

d

sen sen sen

)19

416

434

434

194

34

p p p p p

p p

= + = +

= = pp4

22

=

e

sen sen

) º º º

º º

630 360 270

630 270 1

= += =2

f

sen sen sen

) 23

53

353 3

π π π

π π π

�

� � ��

=

= =

332

g

sen sen

)13

212

2 26

2 213

2 21

p p p p p p

p p

= + = + =

= =

h

sen sen sen

) º º º

º º (

930 2 360 210

930 210 1

= += =∙

880 30

3012

º º )

º

+ =

=� ��sen

13. a)

cos cos

94

84 4

24

94 4

22

p p p p p

p p

� � � �

� �

b) º º º º º

cos ( º )

� �� 330 360 30 1 360 30

330

+ ∙

− �� cos º303

2

c)

cos cos

92

82 2

42

2 22

92 2

p p p p p p p

p p

� � � � � �

�

∙

��0

3


Matemática

d) º º º

cos º cos º

1140 3 360 60

1140 6012

= ∙ �

� �

e)

cos cos

256

246 6

46

2 26

256

p p p p p p p

p

= � � � � �

�

∙

pp6

32

�

f)

cos

� ��

�

154

164 4

44

2 24

154

π π π π π π π

π

∙

� �cos

π4

22

g)

cos cos

11 10 5 2

11 1

p p p p pp p

� � � �

� ��

∙

h) º º º

cos º cos º cos (

570 360 210

570 210

� �

� � 1180 30

303

2

º º )

cos º

� �

��

14. 2° pertence ao 1o quadrante, portantocos 2° é positivo.

2 rad pertence ao 2o quadrante, portanto cos 2 é negativo.

Assim, cos 2° é maior do que cos 2.

15. b

Msen

tg

sen

º cos ºº

º cos

� �

�

2460 11102 205

300 3

∙

∙ 0045

360 603

21

603

23

2

ºº

( º º )

º

tg

sen

sen

=

=�

�

� ��

∙

∙ ∙− 332

34

��

16. d

cos ( )

cos ( )

π π

π

23

2

� � �

� � �

x sen x

x

∙

( )

( )

∙

∙

sen x

sen x senx senx senx sen

π �

� � ��

=

2xx

Para aprimorar, página 251. tg tg tg

tg tg tg

º º º

º ( º º ) (

10 50 110

10 60 10

∙ ∙

∙ ∙

=

= 2 1180 70

10 60 10 70

º º )

º ( º º ) ( º )

2

2 2

2

=

= =

=

tg tg tg

tg

∙ ∙

110 60 10 60 10

3 10

º ( º º ) ( º º )

( º )

∙ ∙

∙

tg tg

tg tg

2

2 2

+ =

= = º303

3=2

2. A

A

= + + + + +

+

cos º cos º cos º cos º

cos º

12 25 142 155

168

…

⇒ � ccos º cos º cos º

cos º cos º cos º co

12 25 38

51 64 77

+ + +

+ + + + ss º

cos º cos º cos º cos º

cos º cos

90

77 64 51 38

25 1

�

� � � � �

� � 22 90 0º cos º⇒ A = =

3. e

sen a sen a sen a

sen ase

n2 4 2

2

1

... ...� � � � �

�� nn a

sen aa

tg a2

2

2

2

cos� �

4. Como não há o símbolo de grau, trata-se de

3 rad. Assim, pertence ao 2o quadrante, pois

p/2 , 3 , p. Logo, sen 3 é positivo.

5. Nenhum, pois 21 < cos a < 1.

6. asen x x

sen x x)

cos

cos

� � �

� �

1

12 2

⇒

⇒ (( cos ) cos

cos cos cos

� �1 1

1 2

2 2

2

x x

x x

+ =+ + +

⇒⇒ ∙ 22

2

2

1

2 2 0

x

x x

x

= ⇒⇒ ⇒⇒

cos cos

cos

∙ ∙� �

� cos

cos (cos )

c

x

x x

�

� �

0

1 0

⇒⇒ ⇒⇒

∙oos cos

cos ,

x ou x

Para x sen x

� � �

� � � �

0 1

0 1 00 1

32

1 1

� �

�

� � � � �

.

, .

cos ,

Então x

Para x sen x

π

.

, .

tan , .

1 0

32

�

�

Então x

Por to x ou x

=

=

π

π π

b sen x sen x

sen x

) 2 214

1 114

34

� � � � �⇒ ⇒

⇒ �� ±3

2

Como x é do 4o quadrante, sen x .=23

2

c x x) cos cos

cos

916

1 19

167

162 2� � � � �⇒ ⇒

⇒ x � ±7

4

Como x é do 3o quadrante, cos .x =27

4

d sen x

sen x

) 2

2

2

3 25

1

1182

� � �

� �

⇒

⇒55

725

75

� �⇒ sen x ±

Como x é do 2o quadrante, sen x .=7

5

tg x =

753 2

5

75

5

3 2

7

3 2

2

2

146

1

1

�

� � �

� � � �

∙

ex

x)cos

cos

55 1

22 5

5� � � �⇒

Revisão1. d. Se 4 m é o raio da circunferência maior,

então 2 m é o raio da circunferência menor.

Logo:

m PC m CT m QT( ) ( ) ( )� � ��

�

2 2 42

2 2

∙ ∙ ∙p p p

p p= �� 2 6p p m

2. c

cos ... ...π π π π π π3 6 12 3 9 27

� � � � � � �

sen ��

�

�

�

�

cos

π π3

112

3

113

sen

cos

�

� � �� 23 2

12

112

π π

sen

3.

10

AA

C

O O

a x + 10

C B

10

x x10 3

a) Seja x a profundidade do lago. No OBC da figura, temos:

( ) ( )x x

x x x

� � �

� � � �

10 10 3

20 100 300

2 2 2

2 2

⇒

⇒ ⇒

⇒ 220 200 10x x cm� �⇒

b) No OBC, temos:

tgx

tg

tg rad

Então

m AB

:

(

α α

α α π

5

5 5

10 3 10 310

33

⇒ ⇒

⇒ ⇒

��)5 5π π3

1010

3∙ cm

4. d

[ ]1

2

o

400 m

360 2 400

12

400360

109

ºº

π

π π

∙

⇒

⇒

x

x = 5

5. d

1229

6 214

9122

914

949

p p p

p p p

� �

� � �

∙

sen sen sen

6. b

x � � � � � �cos º cos º cos º ... cos º

cos

2 4 6 176

+ 1178 180 2 4

6

º cos º cos º cos º

cos º ..

� � � �

� �

⇒ x

.. cos º cos º ( )

:

( , )

� � �

��

4 2 1

1

0 125 1

− ⇒⇒ = −x

Logo

18

81

�

�

4


Matemática

7. c. A circunferência foi dividida em

20 8

2 3 140 8

7 85p,

,,

,partes 5 5∙

partes,

sendo 7 partes inteiras.

Se é o arco da fatia N então, :

,

αα π

�

� �

1

7 0 8 2∙ ⇒⇒ ⇒⇒

, ,

,

αα

� �

�

2 314 56

0 68

∙rad

8. e

x

y

sen α

cos α– cos (β − 90o)

180o + (β − 90o)

cos (2π − γ)β − 90o

2π − γ

β

α

γ

Temos

sen

:

cos

cos ( º )

cos ( ) co

αβ βπ γ

� � � �

� �

90

2 ss γ

De acordo com a figura, cos b , 0 e cos g . 0.

Logo, cos b , cos g.

9. d

R = 60

R = 60

O 124 cm

A

B

θ

De acordo com a figura, o ângulo θ é igual a:

2 60360

124120

12012

πθ

θ∙º

º

:

cos º

� �

� �

⇒

Logo

10. b

L

r

r30o

r

r

r

R

C

E

Considerando o arco mede

r

, :

º º

ππ

5

5

3

2360 30

�� ⇒ �5

r2

Assim:

• Maria percorre 4 42

2�5 5∙ rr para ir à lan-

chonete e 5 52

52

�5 5∙ r r para ir ao restau-

rante.

• Cármen percorre 2 22

52

r rr r

� � � �� para

ir à lanchonete e 2r para ir ao restaurante.

• Sérgio percorre 252

rr

� �� para ir à lan-

chonete e 2 2 2 22

3r rr

r� � � �� ∙ para ir ao

restaurante.

Portanto, I, II e III são verdadeiras.

11. b

Adotando p 5 3,14, temos:

360 21

3602 314

57 32º º

,, º

απ α5 5⇒

∙�

12. e

B

A

1 cm

1 rad

1 cm

Seja a medida do menor arco AB� da figura. Então:

� ��

� � � � �

:

( )

1 1 1

2 1 1 1 1

∙

∙

⇒ cm

Logo

perímetro π 22 1 2

2 1

ππ

� �

�

⇒⇒

13. a

θ x

y

O 1

1

MP

tg θ

Q

A A Atg

A

OPQ setorOMQ( )

(

θ θ θ ππ

� � � �

12

12

2∙ ∙ ∙ ⇒

⇒ θθ θ θ)� �

tg2 2

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