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Desarrollo de series de fourier
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SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015 1
Series de FourierRoque Cilia Sergio , FCE, BUAP, Buenabad Acosta Donato, FCE,BUAP, Edgar Ibis Tacuapan
Moctezuma, FCE,BUAP, Vidal Crispın Santiesteban , FCE, BUAP, Francisco Galindo Sarmiento , FCE, BUAP
Abstract—En este articulo se calculan los coeficientes deponderacion ck para obtener la serie de fourier de diversassenales.
Index Terms—IEEEtran, journal, LATEX, paper, template.
I. INTRODUCCION
Una serie de Fourier es una serie infinita que convergepuntualmente a una funcion periodica y continua a
trozos (o por partes). Las series de Fourier constituyenla herramienta matematica basica del analisis de Fourierempleado para analizar funciones periodicas a traves dela descomposicion de dicha funcion en una suma infinitade funciones sinusoidales mucho mas simples (comocombinacion de senos y cosenos con frecuencias enteras).
Es una aplicacion usada en muchas ramas de la ingenierıa,adems de ser una herramienta sumamente util en la teorıamatematica abstracta. Areas de aplicacion incluyen analisisvibratorio, acustica, optica, procesamiento de imagenes ysenales, y compresion de datos. En ingenierıa, para el casode los sistemas de telecomunicaciones, y a traves del uso delos componentes espectrales de frecuencia de una senal dada,se puede optimizar el diseno de un sistema para la senalportadora del mismo.
Las series de Fourier tienen la forma:
f(t) =a02
+
∞∑n=1
an cosnω0t+ bn sinnω0t (1)
Donde an y bn se denominan coeficientes de Fourier de laserie de Fourier de la funcin f(x).
Si f(t) , es una funcin (o senal) periodica y su perıodo esT, la serie de Fourier asociada a f(t), es:
f(t) =a02
+
∞∑n=1
[an cos(2nπ
Tt) + bn sin(
2nπ
Tt
Donde a0, an, y bn, son los coeficientes de Fourier quetoman los valores:
a0 =2
T
T/2∫−T/2
f(t)dt, an =2
T
T/2∫−T/2
f(t) cos(2nπ
Tt)dt,
bn =2
T
∫ T/2
−T/2f(t) sin
(2nπ
Tt
)dt.
Por la identidad de Euler, las formulas de arriba puedenexpresarse tambien en su forma compleja:
f(t) =
∞∑n=−∞
cnej2π nT t.
Los coeficientes ahora seran:
cn =1
T
T/2∫−T/2
f(t)e−2πinT tdt.
Otra forma de definir la serie de Fourier es:
f(t) =a02
+
∞∑n=1
(an cosωnt+ bn sinωnt
donde ωn = nω y ω = 2πf = 2πT
siendo:
a0 =2
T
t0+T∫t0
f(t)dt, an =2
T
t0+T∫t0
f(t) cosωntdt,
bn =2
T
t0+T∫t0
f(t) sinωntdt.
a esta forma de la serie de Fourier se le conoce como laserie trigonometrica de Fourier.
II. SERIES DE FOURIER
A. Serie de fourier del seno
Sea
x(t) =
∞∑k=−∞
ckejkω0t
Donde
ck =1
Tp
Tp2∫
−Tp2
x(t)e−jkω0t dt (2)
Por definicion del seno
sinωt =ejωt − e−jωt
2j
− sinx = sin−x
Sustituyendo x(t) en la ecuacion 1, por la forma expandidadel seno tenemos:
SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015 2
Fig. 1. Seno
ck =1
Tp
Tp2∫
−Tp2
(ejωt − e−jωt
2j)e−jkω0t dt
Sea el periodo de la funcion senoidal igual a 2π, susti-tuyendo y agrupando la integral obtenemos
ck =1
j4π(
π∫−π
ejt(ω−ω0k dt −π∫−π
e−jt(ω+ω0k dt)
=1
j4π[ejt(ω−ω0k
j(ω − ω0k)+e−jt(ω+ω0k
j(ω + ω0k)]]π−π
Evaluando los limites
=1
j4π[ejπ(ω−ω0k
j(ω − ω0k)− e−jπ(ω−ω0k
j(ω − ω0k)+e−jπ(ω+ω0k
j(ω + ω0k)]
− ejπ(ω+ω0k
j(ω + ω0k)
=1
j4π[(ejπ(ω−ω0k
j(ω − ω0k)− e−jπ(ω−ω0k
j(ω − ω0k))
+(− ejπ(ω+ω0k
j(ω + ω0k)+
e−jπ(ω+ω0k
j(ω + ω0k))]
Agrupando observamos que existe la forma de un seno, porlo tanto
=1
j2π[sin(ω − kω0)
ω − ω0k− sin(ω + kω0)
ω + ω0k]
Sabemos que la funcion muestreo esta definida como:
sin(x ∗ π)(x ∗ π)
= Sinc(x)
Por lo tanto
ck =1
2j[Sinc(ω − ω0k)− Sinc(ω + ω0k)] (3)
Con lo cual la serie de Fourier del seno es
x(t) =1
2j
∞∑k=−∞
Sinc(ω−ω0k)−Sinc(ω+ω0k)ej2πkF0t (4)
B. Serie de fourier del coseno
Sea
x(t) =
∞∑k=−∞
ckejkω0t
Donde
ck =1
Tp
Tp2∫
−Tp2
x(t)e−jkω0t dt (5)
Por definicion del coseno
cosωt =ejωt + e−jωt
2
Fig. 2. Coseno
Sustituyendo x(t) en la ecuacion 1, por la forma expandidadel coseno tenemos:
ck =1
Tp
Tp2∫
−Tp2
(ejωt + e−jωt
2)e−jkω0t dt
Sea el periodo de la funcion es igual a 2π, sustituyendo yagrupando la integral obtenemos
ck =1
4π(
π∫−π
ejt(ω−ω0k dt +
π∫−π
e−jt(ω+ω0k dt)
=1
j4π[ejt(ω−ω0k
j(ω − ω0k)− e−jt(ω+ω0k
j(ω + ω0k)]]π−π
Evaluando los limites
=1
j4π[(ejπ(ω−ω0k
j(ω − ω0k)− e−jπ(ω−ω0k
j(ω − ω0k))
+(ejπ(ω+ω0k
j(ω + ω0k)− e−jπ(ω+ω0k
j(ω + ω0k))]
Agrupando observamos que existe la forma de un seno, porlo tanto
=1
2π[sin(ω − kω0)
ω − ω0k+
sin(ω + kω0)
ω + ω0k]
Sabemos que la funcion muestreo esta definida como:
sin(x ∗ π)(x ∗ π)
= Sinc(x)
SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015 3
Por lo tanto
ck =1
2[Sinc(ω − ω0k) + Sinc(ω + ω0k)]
=1
2[Sinc(ω) + Sinc(ω]
ck = Sinc(ω) (6)
Con lo cual la serie de Fourier del coseno es
x(t) =
∞∑k=−∞
Sinc(ω) ∗ ej2πkF0t (7)
C. Serie de fourier de tren de pulsos de amplitud A y anchoT
La funcion f(t) para un pulso cuadrado esta definida por
Fig. 3. Pulso cuadrado
cuadrado.PNG
f(t) =
−A ;−T2 < t < 0
A ; 0 < t < T2
(8)
Seaω0t]T2
=2π
T(T
2) = π
a0 =
T2∫
−T2
f(t)dt
=
0∫−T2
−Adt+0∫
−T2
−Adt
= 0
an =2
T
T2∫
−T2
f(t)(cosnωt)dt
=2
T[
0∫−T2
−A(cosnωt)dt+
T2∫
0
A(cosnωt)dt ]
=2
T[−A sinnω0t
nω0
]0−T2
+A sinnω0t
nω0
]T2
0]
=2
T{[ −1nω0
sin 0− sin (−nπ)] + [1
nω0(sin(nπ)− sin 0)]}
= 0 para n 6= 0
Seaω0t = (2π/T )T = 2π
bn =2
T
T2∫
−T2
f(t)(sinnωt)dt
=2
T[
0∫−T2
−A(sinnωt)dt+
T2∫
0
A(sinnωt)dt ]
=2
T
[A cosnω0t
nω0
∣∣∣0T2
+A cosnω0t
nω0
∣∣∣T20
]
=2
nω0T
{[1− cos−nπ]− [cos(nπ)− 1]
}Puesto que cos (nπ) = (−1)n
bn =
0, npar
4nπ , nimpar
(9)
De donde la serie de Forier queda expresada
f(x) =4
π
∞∑n=impar
1
nsin(nω0t) (10)
D. Serie de fourier de funcion triangular de amplitud A yancho T
Sea la funcion f(t) se puede expresar analiticamente como:
triangular.PNG
Fig. 4. Pulso triangular
bn =
1 + 4t
T ,−T2 < t < 0
1− 4tT , 0 < t < −T
2
(11)
Puesto que
SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015 4
a0 =2
T
T2∫
−T2
f(t)dt
=2
T
[ 0∫−T2
1 +4t
Tdt+
T2∫
0
1− 4t
Tdt]
Para obtener an
an =2
T
T2∫
−T2
f(t)(cosnωt)dt
=2
T
T2∫
−T2
(cosnωt)dt+2
T
0∫−T2
4
T(cosnωt)dt
− 2
T
T2∫
0
4
T(cosnωt)dt
La primera integral es igual a cero.Haciendo t = −τ en lasegunda integral se obtiene
an =8
T 2
0∫T2
(−τ) cos [nω0(−τ)]d(−tau)−8
T 2
T2∫
0
t cos [nω0t]dt
=8
T 2
0∫T2
(τ) cos [nω0(τ)]d(tau)−8
T 2
T2∫
0
t cos [nω0t]dt
= − 8
T 2
T2∫
0
(τ) cos [nω0(τ)]d(tau)−8
T 2
T2∫
0
t cos [nω0t]dt
=−16T 2
T2∫
0
t cos (nω0t)dt
Integrando por partes, se obtieneT2∫
0
t cos (nω0t)dt =1
nω0sin (nω0t)
]T2
0−
T2∫
0
sin (nω0t)dt
=1
(nω0)2cos (nω0t)
∣∣∣T20
=1
(n2π/T )2cos (nπ − 1)
De dondean = − 16
T 2cos (nπ − 1)
=4
n2π2(1− cosnπ)
Puesto que cos(nπ) = (−1)n
an =
0, Para n par
1− 8n2π2 , n impar
(12)
Analogamente para bn se tiene
bn =2
T
T2∫
−T2
f(t)(sinnωt)dt
=2
T
T2∫
−T2
(sinnωt)dt+2
T
0∫−T2
4
Tt(sinnωt)dt
− 2
T
T2∫
0
4
Tt(sinnωt)dt
La primera integral es igual a cero.Haciendo t = −τ en lasegunda integral se obtiene
=8
T 2
0∫T2
(−τ) sin [nω0(−τ)]d(−τ) −8
T 2
T2∫
0
t sin [nω0t]dt
=8
T 2
T2∫
0
(τ) sin [nω0(τ)]d(τ) −8
T 2
T2∫
0
t sin [nω0t]dt
= 0
De donde la serie de Fourier de la funcion triangular es
f(t) =
∞∑n=impar
n2π2 − 8
n2π2cos (nω0t) (13)
E. Serie de fourier de seno rectificado
Sea la funcion f(t) = | sin (ω0t)| se puede expresar analiti-camente como:
rect.PNG
Fig. 5. Seno rectificado
SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015 5
f(t) =
− sin (ω0t), −π2 < t < 0
sin (ω0t), 0 < t < π2
(14)
Puesto que
a0 =2
T
T2∫
−T2
f(t)dt
=2
T
[ 0∫−π2
− sinω0tdt+
π2∫
0
sinω0tdt]
=2
T
[ π2∫
0
sinω0t dt+
π2∫
0
sinω0t dt]
=4
T
[ π2∫
0
sinω0t dt
=−4πω0
cos (ω0t)∣∣∣π20
=−4πω0
[cos (ω0π
2) − 1]
a0 =4
πω0(15)
Para el coeficiente an
an =2
T
T2∫
−T2
f(t)(cosnωt)dt
=2
T
[ 0∫−π2
− sin (ω0t) cos (nω0t) dt+
π2∫
0
sin (ω0t) cos (nω0t) dt∣∣∣
=4
T
π2∫
0
sin (ω0t) cos (nω0t) dt
Por la identidad trigonometrica
sin a cos=¯1
2[sin(a+ b) + sin(a− b)]
Sustituyendo obtenemos
=2
π
π2∫
0
1
2[sin(1 + 2n)t + sin(1− 2n)t]dt
an =2
π[−1
1 + 2ncos (1 + 2n)t− 1
1− 2ncos (1− 2n)t
∣∣∣π20
=2
π[−1
1 + 2ncos (1 + 2n)π/2 +
1
1 + 2ncos (1 + 2n)0
− 1
1− 2ncos (1− 2n)π/2 +
1
1− 2ncos (1− 2n)0]
=2
π
2
1− 4n2(16)
De donde la serie de Fourier del seno rectificado es
f(t) =2
π+
4
pi
∞∑n=1
1
1− 4n2cos (nω0t) (17)
III. POTENCIA DE LAS SENALES
Px =1
Tp
∫ Tp2
−Tp2|x(t)|2dt (18)
A. Potencia de pulso triangular
f(t) =
A+ 2Atτ ;− τ2 < t < 0
A− 2Atτ ; 0 < t < τ
2
Px =1
Tp
∫ τ2
− τ2|(A+
2At
τ) + ((A− 2At
τ)|2dt
Px =1
Tp
∫ τ2
− τ2(2A)2dt
Px =4A2
Tp(τ
2+τ
2)
Px =4A2τ
Tp(19)
B. Potencia de seno
x(t) = Asen(2πf0t) (20)
Px =A2
2π
∫ π
−πsen2(ω0t)dt
Px =A2
2π
∫ π
−π
1
2− cos2(2πf0t)
2dt
Px =A2
2π[
∫ π
−π
1
2dt−
∫ π
−π
cos2(2πf0t)
2dt]
Px =A2
2π
t
2|π−π −
sen(4πf0t)
4πf0|π−π
Px =A2
2π[(π
2+π
2)− (
sen(4πf0π)
4πf0− sen(−4πf0π)
4πf0)]
SISTEMAS DE COMUNICACION, FEBRERO 2015 6
Px =A2
2π[π − (
sen(4πf0π)
4πf0+sen(4πf0π)
4πf0)]
Px =A2
2π[π − 2
sen(4πf0π)
4πf0] =
A2
2π[π − sen(2π)]
Px =A2
2(21)
C. Potencia de coseno
x(t) = Acos(2πf0t) (22)
Px =A2
2π
∫ π
−πcos2(ω0t)dt
Px =A2
2π
∫ π
−π
1
2+cos2(2πf0t)
2dt
Px =A2
2π[
∫ π
−π
1
2dt+
∫ π
−π
cos2(2πf0t)
2dt]
Px =A2
2π
t
2|π−π +
sen(4πf0t)
4πf0|π−π
Px =A2
2π[(π
2+π
2) + (
sen(4πf0π)
4πf0− sen(−4πf0π)
4πf0)]
Px =A2
2π[π + (
sen(4πf0π)
4πf0+sen(4πf0π)
4πf0)]
Px =A2
2π[π + 2
sen(4πf0π)
4πf0] =
A2
2π[π + sen(2π)]
Px =A2
2(23)
D. Potencia de pulso rectangular
f(t) =
0 ;−Tp2 < t < − τ2
A ;− τ2 < t < τ2
0 ; τ2 < t <Tp2
(24)
Px =1
Tp
∫ τ2
− τ2A2dt
Px =1
TpA2[
τ
2+τ
2]
Px =A2τ
Tp(25)
Fig. 6. Coseno
IV. RESULTADOS
A. Serie de fourier de coseno en matlab
B. Potencia seno rectificado
f(t) = |sen(2πf0t)| (26)
Px =1
2π
∫ π
−π|sen(2πf0t)|2dt
Px =1
2π
∫ π
−πsen2(ω0t)dt
Px =A2
2(27)
C. Conclusiones
Las series de fourier y su contenido espectral de potencia
REFERENCES
[1] Hwei. P. HSU, A Guide to LATEX, 1rd ed. Wayne State Univer-sity,Michigan: Prentice hall 1970.
