Serie de Fourier - Integral Gráfica

8/15/2019 Serie de Fourier - Integral Gráfica

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Electrotecnia II

UTNFRA

Ing Raul J Corcos

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Resolución en serie de Fourier – Integración Gráfica

La serie de Fourier permite transformar una función periódica no sinusoidal , enuna suma de funciones sinusoidales de frecuencias múltiplos enteros de lafrecuencia fundamental (campo de frecuencias discretas) o propagar comofunción periódica una que solo esta definida en un intervalo que tomamos como

periodo base.El proceso de descomponer una onda en una suma de ondas y viceversa es útil alanálisis de circuitos y a la síntesis de ondas ( reconstrucción de una onda a partirde otras) de aplicación en la electrotecnia.

Para ello Fourier da la siguiente relación:

)(..)(1)cos(...)cos(1)( t nsen Bnt sen Bt n Ant A Aot F ω ω ω ω ω ×++×+×++×+=

Donde los coeficientes Ao ...An y Bn ,son coeficientes que se obtienen de lasiguiente manera:

Si)(..)(1)cos(...)cos(1)( t nsen Bnt sen Bt n Ant A Aot F ω ω ω ω ×++×+×++×+=

Entonces :

)()(..

)()(1)()cos(...)()cos(1)()()(

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

t d t nsen Bn

t d t sen Bt d t n Ant d t At Aod t d t F

ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω

π

π π π π π

×+

×+×++×+=

∫

∫∫∫∫∫

Pero las integrales

0)()(..

..)()(1)()cos(...)()cos(1

2

0

2

0

2

0

2

0

=×=

==×=×==×

∫

∫∫∫

t d t nsen Bn

t d t sen Bt d t n Ant d t A

ω ω

ω ω ω ω ω ω

π

π π π

Ya que todos los n son enteros y por lo tanto existen un numero entero de ciclosen 0-2π

π π ω ω ω

π π

2)02()()()(

2

0

2

0

Aox Aoxt Aod t d t F =−== ∫∫

)()(.2/1

2

0

t d t F Ao ω ω π

π

∫=

Si multiplicamos F(ωτ) por sen (nωτ) e integramos en el intervalo de un periodo dela funfamental 0-2π entonces obtenemos lo siguientes.


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)()()(..)()()(1

)()()cos(...)()()cos(1)()()()()(

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

2

0

t d t nsent nsen Bnt d t nsent sen B

t d t nsent n Ant d t nsent At d t n Aosent d t nsent F

ω ω ω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

π π

π π π π

×++×

+×++×+=

∫∫

∫∫∫∫

)()()(1

)()()cos(...)()()cos(1)()(0

2

0

2

0

2

0

2

0

t d t nsent sen B

t d t nsent n Ant d t nsent At d t n Aosen

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω

π

π π π

×

=×==×==

∫

∫∫∫

Ya que las integrales a lo largo de un periodo o numero entero de periodos de lasfuncionesSen(ωt) , Sen(nωt).cos(nωt), sen(nωt).sen(mωt) (n≠m) son nulos.

Y la integral de sen2(nωt) no es nula

)()()()()()()()(2

2

0

2

0

2

0t d t nsen Bnt d t nsent nsen Bnt d t nsent F ω ω ω ω ω ω ω ω

π π π

∫∫∫ =×=

Como

Cos2α+sen2α= cos(α-α)=cos0=1

Cos2α-sen2α= cos(α+α)=cos(2α)

Entonces

Cos2(α)= 1/2+cos(2α) /2

Sen2(α)= 1/2-cos(2a) /2

Reemplazando podemos escribir

π ω ω ω ω ω ω ω ω

π π π π

.)()2(.)(.2/1)()()()()(

2

0

2

0

2

2

0

2

0

Bnt d t nsen Bnt d Bnt d t nsen Bnt d t nsent F =+== ∫ ∫∫∫

( ) )()()(/1.2

0

t d t nsent F Bn ω ω ω π

π

∫=

Analogamente multiplicando por cos(nωt) e integrando a lo largo de un periodo dela fundamental

( ) )()cos()(/1.2

0

t d t nt F An ω ω ω π

π

∫=

Resumiendo los coeficientes se calculan utilizando las siguientes expresionesintegrales.


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∫

∫

∫

×××÷=

××÷=

××÷=

π

π

π

ω π

ω π

π

2

0

2

0

2

0

)()()1(

)cos()()1(

)(.21

dt t nsent F Bn

dt t nt F An

dt t F Ao

Se puede expresar la serie de Fourier como serie de cosenos de las siguienteforma

)cos(...)cos()( 11 nn t nC t C Aot F ϕ ω ϕ ω +×+++×+=

Donde los coeficientes C y los argumentos φ responden a las siguientesrelaciones:

)/(

22

nnn

nnn

A Barctg

B AC

=

+=

ϕ

Donde los coeficientes Cn son la magnitud de la armonica enesima y losargumentos φn = n.ω.t0 son el desplazaminto inicial de dichas funciones.

Podemos graficar y representar la funcion en el dominio de frecuencias como unaserie de valores Ao , C1, …;Cn ; φo…φn correspondientes a las frecuenciasω,…..,nω

Tambien si queremos obtener el contenido de un particular armonico de unafuncion , solo debemos calcular los coeficintes correspondientes a dichoarmonico.

La serie de Furier es la respuesta de un filtro de frecuencias de paso numeroentero de la fundamental y de coeficiente de atenuacion unitario.

Condiciones que debe cumpli r la funcion:

Para que podamos obtener la serie de Fourier es necesario obtener suscoeficientes lo que requiere que la función F(t) sea integrable en el intervalo.

Cuando la función tiene una expresión algebraica la obtención de los coeficienteses mas o menos compleja pero realizable , ¿pero que sucede cuando la funciónesta expresada en forma gráfica o en pares de puntos?, ya no podemos integrarsino en forma grafica.

Integración Grafica:Que es la integración grafica


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La integral de una función definida en el plano x-y, en un tramo a lo largo del ejex es en términos sencillos igual a la superficie encerrada entre la función y el ejex en dicho tamo.

La obtención grafica de la función integral se reduce a encontrar la superficie bajo

la curva F(t) entre los puntos a y b del eje t .Recordemos que el símbolo integral es una S estilizada originada en la palabrasuma que adopta Leibnitz para designar la función integral .Para ello dividimos el eje t entre los puntos a y b en segmentos de igual longitudy de tal magnitud que entre ambos extremos de cada segmento la función puedaconsiderarse razonablemente lineal. Es lógico pensar que debe existir unamagnitud máxima y por lo tanto un número mínimo de partes en que se divide elsegmento ab que cumple con esta condición .Oportunamente volveremos sobreello.En esas condiciones podemos establecer las siguientes relaciones.

∫∑ →Δ×=

−+=

÷=Δ

=

dt t F t it F S

tiF tiF it F

mTabt

m

i

).()(

))1()(.(2/1)(

0

Aplicando estas sencillas reglas a nuestra función en forma grafica, podemosobtenerlos los coeficientes de la serie de Fourier , acordando que las funcionesauxiliares sen(ωt) y cos (ωt) quedan definidas del mismo modo en el intervalo deintegración como definimos F(t)i

F(t)

S

a b

t

∫ ×=b

a

dt t F S )(


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t titi

tisentisenit Sen

Δ+−=

−+=

1

)1()(.2/1)(

ω ω

ω ω

La convergencia entre el valor de la integral y el valor de la sumatoria queobtenemos se produce a medida que ∆t → 0 lo que implica que m→∞ . y nosolo afecta la integral de F(t) sino en modo adicional a las integrales de F(t) xsen(ωt)Es así que la adopción de un determinado numero ( m ) de partes en que sedivide el intervalo es un compromiso entre la capacidad de tomas de muestras ycalculo y la representatividad de la función que se obtiene , no solo en lafundamental sino en los armónicos superiores.La elección del numero de muestras(m) por periodo de l a fundamental no soloreemplaza a la función F(X) por un numero m de escalones si no también a lasfunciones sen(nx) y cos (nx) por funciones de número de escalones m/n , tantomenor cuanto crece el orden de armónica n .Asi la representatividad de lamuestra decrece rápidamente con orden de la armónica.La función que tiene puntos singulares de altos valores y corta duración (asociado a frecuencias altas ) nos obliga a adoptar valores de m superiores.Normalmente el numero m no puede ser menor a 16 para poder discriminar

armónicos de orden 5 o 7 con cierta precisión .

Siguiendo con la serie de Fourier definimos ahora las expresiones para obtenerlos coeficientes como:

∑

∑

∑

Δ××=

Δ××=

Δ×=

=

=

m

i

m

i

m

i

t it nsenit F Bn

t it nit F An

t it F Ao

00

0

0

)()()./1(

)cos()()./1(

)()..2/1(

ω π

ω π

π

Procedimiento:

1.-Datos:

Los datos de origen son una grafica ( oscilograma de la función) o una serie depares de puntos(x;y) de la función.Como los ∆t deben ser regulares en el caso de partir de una serie de pares depuntos que no estén a intervalos regulares los transformamos en un grafica.

2.-Ordenamiento:

Elegimos un numero m , entero , de intervalos en que dividimos el intervalodefinido como periodo ( tres ceros consecutivos normalmente) y construimos lasiguiente tabla en excell.


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F(Xi) xi F(xi)

N° ∆X=T/m Xi Yi = F(Xi) (Xi+1 +Xi)/2 (Yi+1 +Yi)/2 Sen(nxI) Cos(nxi) F(xi)*sen(n.xi)F(xi)*cos (n.xi)

1

2

3

45

6

7

n = número de orden de armónica

Ao= 1/T.( ΣF(xi*cos n xi)) = 1/T*ΣF(xi) para n=0

An= 2/T* ΣF(xi*cos n xi)) para todo n entero positivo ≠ 0

Bn= 2/T* ΣF(xi*sen n xi)) para todo n entero positivo ≠ 0

C=√(An)2+(Bn)2)

Φn= arctg( An/Bn)

...)3.3cos(*3)1cos(*1)( +Φ++Φ++= xiC XiC Ao xiF

3.-Calculo del error:

En el Tp partimos de una grafica de una señal eléctrica , mediante medición de lamagnitud correspondiente a distintos instantes construimos una tabla de valores[x,y].

Introduciendo estos valores en la planilla de calculo Excell Serie de Fourierobtenemos una función poliarmonica.Para conocer en que medida la función hallada se ajusta a los valores de latabla que representa la función debemos medir el error.Que entendemos como error : es la discrepancia ente el valor de Y icorrespondiente al valor Xi de tabla y el valor de Yi= F(Xi) resultante de aplicar lafunción hallada (F(X)) al número Xi

Ei= F(Xi)-Yi

El error absoluto tiene signo puede ser por exceso (+) o por defecto (-) . por lo quesumamos todos los errores y lo promediamos pueden dar una compensación delos mismos y una falsa idea de precisión y exactitud , asimismo como no estarelacionado con las cantidades medidas no nos da idea de en cuanto nosaproximamos al valor verdadero.Para solucionar estos problemas utilizamos el concepto de error medio cuadrático,que resulta de la siguiente expresión:


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1. Elevamos los errores al cuadrado de modo que todos son positivos2. Sumamos todos los cuadrados de los errores y los dividimos por el numero

de mediciones m3. Hallamos la raíz cuadrada.

Para cuantificar nuestro error dentro de la magnitud medida ( error ponderado)podemos calcular el error relativo según los siguientes criterios:

1. Consideramos el error medio cuadrático relativo al valor máximo de lafunción (Recomendado).

emcr= EMC/Ymax =1/Ymax*

emcr%=100/Ymax*

2. Considerar el error relativo medio cuadrático ( no recomendado) es calcularel error relativo en cada medición y luego hallar el promedio cuadrático,tiene el problema que los valores pequeños de Yi magnifican la

apreciación del error , en extremo para un valor Yi =0 , el error no tienelimite.


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Valores deX(Dominio)

Valores de Y(

Valoresqueresultande AplicarF(x) a Xi

Error Error cuadrado

X1 Y1 F(X1) F(X1)-Y1 (F(X1)-Y1)2

Xi Yi F(Xi) F(Xi)-Yi (F(Xi)-Yi)2

Xm Ym F(Xm) F(Xm)-Ym (F(Xm)-Ym)2

Ymax=[max(Yi)]

EMC=

emcr% = 100*EMC/Ymax

Entonces siguiendo la recomendación calculamos el emcr, y ahora qué? ¿Cuál esel criterio para decidir si el error es razonable o no?

Bueno podemos utilizar distintos argumentos, uno seria tomar el grado derepresentación de la serie de valores con prescindencia de la representatividadque tenga esta de la realidad, aquí un criterio del 2 al 5 % puede ser razonableen un análisis de mediciones de campo donde la seguridad del conocimiento de larealidad está afectada por errores muchos mayores , en el caso de mediciones delaboratorio un criterio más ajustado del 0.5 al 1%.

Se busca con este pequeña introducción al cálculo de error , que los estudiantes

del curso tomen conocimiento de la existencia y producción de error , comprendanel mecanismo de evaluación del error de método , y evalúen el mismo .Una medición informada sin su cota de error no es confiable y no es una prácticaingenieril conforme.De este modo aproximamos la experiencia de clase o laboratorio a una prácticaprofesional.

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