Matemática A

Novembro de 2009

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade – Página 1

No Teste intermédio, que se irá realizar no dia 29 de Janeiro de 2010, os itens de grau

de dificuldade mais elevado poderão ser adaptações de alguns dos itens que a seguir

se apresentam.

Matemática A

Itens – 10.º Ano de Escolaridade

Matemática A - 10.º Ano de Escolaridade - Página 2

Nota: quando, para um resultado, não é pedida a aproximação, apresente o valor exacto.

1. Na figura 1 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico , a circunferência deBSC

equação e o rectângulo� � � �B � # � C � $ œ & ÒEFGHÓ# #

Sabe-se que: • os vértices do rectângulo pertencem àÒEFGHÓ

circunferência • a recta tem equação EF C œ &

1.1. Determine as coordenadas dos vértices do rectângulo

ÒEFGHÓ

1.2. Considere a região do círculo que está acima da recta

EF e a região do círculo que está à esquerda do eixo

das ordenadas. As duas regiões têm áreas iguais. Justifique a afirmação anterior.

1.3. Escreva uma condição que defina a região representada

a sombreado, incluindo a fronteira.

Figura 1

2. Na figura 2 está representada, num referencial ortogonal e monométrico , a circunferência deBSC

centro no ponto , definida pela equaçãoE

ÐB � %Ñ � ÐC � 'Ñ œ #&# #

Tem-se:

• é a corda que está contida no eixo ÒGKÓ SC

• é uma corda paralela ao eixo ÒGHÓ SB

• é um raio da circunferência, paralelo ao eixo ÒEJ Ó SC

• é um trapézio rectânguloÒEFGHÓ

• é um losangoÒEHIJÓ

2.1. Mostre que o ponto tem coordenadas e queG Ð!ß *Ño ponto tem coordenadas H Ð � )ß *Ñ

Figura 2

2.2. Determine uma equação da mediatriz do segmento ÒEHÓ Apresente a sua resposta na forma C œ + B � , e designam números reaisÐ+ , Ñ

2.3. Defina, por meio de uma condição, a região representada a sombreado, incluindo a fronteira.

2.4. Determine o perímetro do trapézio ÒEFGHÓ

2.5. Determine a área do losango ÒEHIJÓ

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3. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , a circunferência de centro na origem doBSC

referencial e raio igual a È' Sejam e os pontos dessa circunferência com abcissa igual a , considerando que, destes doisE F #

pontos, o ponto é o que pertence ao primeiro quadrante.E Seja o ponto da circunferência que pertence ao semi-eixo negativo G SB

3.1. Determine as coordenadas de e as coordenadas de E F

3.2. Mostre que metade da área do triângulo é um valor aproximado de com erro inferiorÒEFGÓ 1

a !ß !"

4. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , a semi-recta que é a bissectriz do BSC

1.º quadrante.

Sejam e os pontos dessa semi-recta com abcissas e , respectivamente.E F " $

4.1. Seja um ponto que pertence à mediatriz do segmento de recta . Sabe-se que a ordenadaT ÒEFÓdo ponto é igual ao dobro da sua abcissa.T

Determine as coordenadas do ponto T

4.2. Considere que a semi-recta roda º em torno da origem, no plano . Nessa rotação,SE %& BSCÞ

o segmento de recta , que está contido na semi-recta , descreve uma região que é parteÒEFÓ SEÞ

de uma coroa circular.

Determine a área dessa região.

5. Na figura 3 estão representados, num referencial ortogonal e monométrico , um triângulo e BSC ÒESFÓ

a respectiva circunferência circunscrita.

Sabe-se que: • a semi-recta é a bissectriz do 2.º quadranteSE

Þ

• a semi-recta é a bissectriz do 1.º quadranteSÞF

• a ordenada do ponto excede em unidades aF $

ordenada do ponto E • a área do triângulo é igual a ÒESFÓ "!

5.1. Determine as coordenadas dos pontos e E F

5.2. é um diâmetro da circunferência.ÒEFÓ Justifique esta afirmação.

Figura 3

5.3. Seja o ponto médio de Q ÒEFÓ Prove que as áreas dos triângulos e são iguais.Ò Ó ÒSQFÓEQS

5.4. Assinale, na figura, a intersecção do círculo com a definida pela condição região

C   B • C   � B

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6. Num referencial ortogonal e monométrico BSC , considere:

• o ponto de coordenadas T Ð!ß "Ñ

• um ponto tal que o quadrado da sua abcissa é igual ao quádruplo da sua ordenadaU ,

Seja a ordenada do pontoC U

Mostre que a distância do ponto ao ponto é U T C � "

7. Na figura 4 está representado, num referencial ortogonal e

monométrico ,SBCD um sólido que pode ser decomposto

num prisma quadrangular regular e num sólido que é parte de

uma esfera. As duas partes em que o sólido representado pode

ser decomposto têm em comum um círculo de raio , cujo)

centro é também o centro da base superior do prisma.

Sabe-se ainda que:

• uma das arestas do prisma está contida no eixo , outraSBno eixo e outra no eixo SC SD

• um dos vértices do prisma tem coordenadas Ð$!ß $!ß "&Ñ

• o ponto do sólido que tem cota máxima tem cota igual a $"

7.1. Determine a área total do prisma.

Figura 4

7.2. Escreva uma equação do plano mediador da diagonal espacial do prisma que tem a origem do

referencial como um dos extremos. Apresente a sua resposta na forma +B � ,C � -D œ . ( , , e designam números reais)+ , - .

7.3. Defina, por meio de uma condição, a face do prisma que está contida no plano BSD

7.4. Tal como foi referido, o sólido representado na figura 4 pode ser decomposto num prisma e num

sólido que é parte de uma esfera. Defina, por meio de uma condição, o sólido que é parte de uma esfera.

8. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , a superfície esférica cujo centro é o pontoSBCD

de coordenadas e que é tangente ao plano de equação � � È"ß "ß " D œ " � $

8.1. Esta superfície esférica contém apenas dois pontos que têm as três coordenadas iguais. Determine as coordenadas desses dois pontos.

8.2. O segmento de recta cujos extremos são os pontos da superfície esférica que têm as três

coordenadas iguais é um diâmetro dessa superfície esférica. Justifique esta afirmação.

8.3. Determine o volume de um cubo inscrito nessa superfície esférica.

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9. Considere, num referencial ortogonal e monométrico , dois pontos, e SBCD T U

Sabe-se que:

• o ponto tem coordenadas , sendo um número realT aÐ" � +ß + � #ß & ÑÈ

• o ponto é o ponto simétrico do ponto em relação ao eixo das ordenadasU T ,

9.1. Determine o conjunto dos valores de para os quais o ponto pertence ao 3.º octante (não + Tincluindo os planos coordenados).

9.2. Determine os valores de para os quais o ponto pertence à superfície esférica de centro a TÐ"ß � %ß !Ñ e raio igual a 5

9.3. Mostre que a área de um quadrado que tenha [ ] como diagonal é dada, em função de , TU +por #+ � %+ � "##

10. Na figura 5 está representada, num referencial ortogonal e

monométrico , a pirâmide quadrangular regularSBCD

ÒZ SEFGÓ E G cujos vértices e pertencem aos eixos

coordenados e , respectivamente.SB SC

Sabe-se que:

• B � C � D � %B � % C � "' D œ !# # # é uma equação da

superfície esférica que tem centro no ponto e queZcontém os quatro vértices da base da pirâmide ÒZ SEFGÓ

• o quadrado é a secção produzida na pirâmideÒHIJKÓÒZ SEFGÓ BSC por um plano paralelo ao plano

• o volume da pirâmide é a oitava parte doÒZ HIJKÓvolume da pirâmide ÒZ SEFGÓ

10.1. Calcule o volume da pirâmide ÒZ SEFGÓFigura 5

10.2. Determine as coordenadas dos vértices da base da pirâmide ÒZ HIJKÓ

10.3. Considere a esfera que tem um diâmetro contido na altura da pirâmide e que é tangente quer à

base da pirâmide , quer à base da pirâmide ÒZ HIJKÓ ÒZ SEFGÓ Escreva uma condição que defina essa esfera.

10.4. Defina analiticamente a linha descrita pelo ponto quando a pirâmide dá uma volta completaV

em torno da aresta ÒESÓ

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11. A figura 6 representa, num referencial ortogonal e monométrico um sólido que se podeSBCDß

decompor num cubo e num cilindro.

Sabe-se que:

• A base superior do cilindro tem centro em e está contidaO

no plano BSC

• A face inferior do cubo está inscrita na base superior do

cilindro e tem as diagonais contidas nos eixos e SB SC

• A altura do cilindro e a aresta do cubo são iguais

• O volume total do sólido é igual a 32� �1 � #

11.1. Mostre que o cubo tem aresta igual a 4

11.2. Determine as coordenadas dos vértices do cubo.

11.3. Defina analiticamente:

11.3.1. A aresta [ ]HL

11.3.2. A base inferior do cilindro

11.4. Calcule a área da secção determinada no sólido pelo

plano de equação C œ #ÈFigura 6

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Itens – 10.º Ano de Escolaridade – Soluções

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Itens de Matemática A - 10º Ano de Escolaridade

Soluções

1.1. E Ð"ß &Ñ F Ð$ß &Ñ G Ð$ß "Ñ H Ð"ß "Ñ

1.2. As áreas são iguais porque as cordas que limitam as duas regiões têm igual comprimento.

1.3. � � � �B � # � C � $ Ÿ & • ÐB Ÿ " ” B   $ ” C Ÿ " ” C   &Ñ# #

2.2. C œ B �% $"

$ #

2.3. � � � �B � % � C � ' Ÿ #& • B   � % • B Ÿ ! • C Ÿ '# #

2.4. 20

2.5. 20

3.1. E Ð#ß #Ñ FÐ#ß � #ÑÈ È e

4.1. T ߊ ‹% )

$ $

4.2. #1

5.1. E Ð � #ß #Ñ F Ð&ß &Ñe

5.2. As semi-rectas SÞE SF

Þ e são perpendiculares. Logo, o ângulo inscrito é recto, pelo que oESF

arco tem ° de amplitude. Portanto é um diâmetro da circunferência.EF ")! ÒEFÓ

5.3. A altura do triângulo eÒESFÓ ÒEFÓ, relativa à base é também a altura dos triângulos Ò ÓEQS

ÒSQFÓ ÒEQÓ ÒQFÓ, relativa às bases e , respectivamente. Como estas duas bases são iguais, os dois

triângulos têm bases iguais e alturas iguais, pelo que têm áreas iguais.

: Outro processo Traçando a altura do triângulo ÒSQFÓ Qß ÒSQFÓ a partir de o triângulo fica

dividido em dois triângulos geometricamente iguais, semelhantes ao triângulo Como é oÒESFÓ Þ Q

ponto médio do segmento , a razão de semelhança é igual a e, portanto, a área de cada umÒEFÓ"

#

destes dois triângulos é igual a da área do triângulo . Assim, a área é"

%ÒESFÓ ÒSQFÓdo triângulo

metade da área do triângulo , pelo que ÒESFÓ as áreas dos triângulos e são iguais.Ò Ó ÒSQFÓEQS

5.4.

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7.1. 3600

7.2. %B � %C � #D œ "$&

7.3. ! Ÿ B Ÿ $! • C œ ! • ! Ÿ D Ÿ "&

7.4. � � � � � �B � "& � C � "& � D � #" Ÿ "!! • D   "&# # #

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10.4. � �B � � C � D œ ') • B œ #2 # # #

11.2. E Ð# #ß !ß !Ñ F Ð!ß # #ß !Ñ G Ð � # #ß !ß !Ñ H Ð!ß � # #ß !ÑÈ È È È I Ð# #ß !ß %Ñ J Ð!ß # #ß %Ñ K Ð � # #ß !ß %Ñ L Ð!ß � # #ß %ÑÈ È È È11.3.1. B œ ! • C œ • ! Ÿ D Ÿ %� # #È

11.3.2. B � C � D � % Ÿ ) • D œ � %# # #� �

11.4. ) # � ) 'È È