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Série numérique. Elaboré par M. NUTH Sothan. I. Définition. Soit la suite a 1 , a 2 , a 3 , ... ,a n , .... On note { a n }. L’expression : a 1 + a 2 + a 3 + ... + a n + ....= (1) s’appelle série numérique , - PowerPoint PPT Presentation
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1
Série numériqueElaboré par M. NUTH Sothan
2
Soit la suite a1 , a2 , a3 , ... ,an , .... On note {an }.
L’expression :a1 + a2 + a3 + ... + an + ....= (1)
s’appelle série numérique,où a1 , a2 , a3 , ... ,an , .... sont des termes de série et est an un terme
général.Les sommes :S1 = a1 ,
S2 = a1 + a2 ,
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an .
s’appellent sommes partielles d’une série (1).
I. Définition
1n
n
a
3
Déf. : La série (1) est dite convergente si
où S est la somme de série (1).R. : Si {Sn} est une suite convergente, alors la série (1)
est dite convergente.Ex.1 : Montrer que la série est convergente.
Ex.2 : Etudier la convergence la série :
Ex.3 : Etudier la convergence la série :
I. Définition...
lim , (2)nn
S S
1
1
( 1)n n n
1
1
( 1)n
n
1
1
, 0n
n
aq a
4
Th.1 : est convergente, ssi est convergente.
Th.2 : Si est convergente et sa somme est égale à ,
alors est aussi convergente et sa somme est égale
à c .
II. Propriété de la convergence
1n
n
a
1n
n k
a
1n
n
a
1n
n
ca
5
Th.3 : Si et sont convergentes admettant les
sommes S et respectivement, alors est
aussi convergente et sa somme est égale à S.
Th.4 (CN) : Si est convergente, alors
R.: Th4 n’est qu’une condition nécessaire.
Ex.4 :
II. Propriété de la convergence...
1n
n
a
1
( )n nn
a b
1
nn
b
1n
n
a
lim 0n
na
1
1
n n
6
Th.5 : Pour que soit convergente, il faut et il suffit que
la suite de la somme partielle {Sn} soit bornée.
Th.6 (Règle de comparaison 1) : Soit et tel que
0 ≤ an ≤ bn , n N. Alors :
1) Si est convergente, alors est aussi convergente
2) Si est divergente, alors est aussi divergente
III. Série à terme non-négatif
1n
n
a
1n
n
a
1n
n
b
1n
n
b
1n
n
a
1n
n
a
1n
n
b
7
Th.7 (Règle de comparaison 2) : Soit et tel
que an bn , an , bn ≥ 0, n N et
Alors :
et sont conv. ou div. simultanément.
Ex.5 : a) b)
III. Série à terme non-négatif…
1n
n
a
1n
n
a
1n
n
b
1n
n
b
11
1
( 1)nn n
1
1s
n n
lim 0,n
nn
ak
b
8
Th.8 (Règle de D’Alambert) : Soit , an ≥ 0, n N
et , alors :
1) Si < 1, est convergente
2) Si > 1 est divergentes.
R.: On ne peut pas dire si = 1.
III. Série à terme non-négatif…
1n
n
a
1 lim n
nn
a
a
1n
n
a
1n
n
a
9
Ex.6 : a) b) c)
d) f) g)
h) i) j)
III. Série à terme non-négatif…
1
1
!n n
1 !
n
n
n
n
1
1
n n
2
1
( !)
(2 )!n
n
n
2
2
1
( !)
2nn
n
1
2 !n
nn
n
n
1
3 !n
nn
n
n
1
!
3nn
n
2
1
!
2 nn
n
10
Th.9 (Règle de Cauchy) : Soit , an ≥ 0, n N et
, alors :
1) Si < 1, est convergente
2) Si > 1 est divergentes.
R.: On ne peut pas dire si = 1.
III. Série à terme non-négatif…
1n
n
a
lim nn
na
1n
n
a
1n
n
a
11
Ex.7 : a) b) c)
III. Série à terme non-négatif…
1 2 1
n
n
n
n
12
Th.10 (Règle d’intégrale) : Soit , où f (n) est
une valeur de f(x) positive et décroissante sur [1, +[.
Alors :
1) Si est conv. est aussi conv.
2) Si est div. est aussi div.
III. Série à terme non-négatif…
1
( )n
f n
1
( )f x dx
1
( )n
f n
1
( )f x dx
1
( )n
f n
13
Ex.8 : a) b) c)
III. Série à terme non-négatif…
1
1
n n
14
La série , où an > 0 (1)
est une série alternée.
Th.1 (Règle de Leibniz) : Si les valeurs absolues des
termes de (1) sont monotones décroissantes :
a1 > a2 > a3 > …. > an > …..
et , alors (1) est conv.
IV. Série alternée
1
1
( 1)nn
n
a
lim 0nn
a
15
Considérons : , (1)
où an peut être positif ou négatif.
Et , (2)
Th.2: Si (2) est conv. , alors (1) est conv. absolument.
Ex.8 : a) b)
IV. Série alternée…
1n
n
a
1n
n
a
1
1
( 1)n
n n
1
21
( 1)n
n n
16
Th.3 (Règle de Raabe):
La série (1) est conv. si L > 1.
Th.4 (Règle de Gauss):
Où pour n > N.
La série (1) est conv. si L > 1.
IV. Série alternée…
1lim 1 n
nn
an L
a
12
1n n
n
a cL
a n n
nc P
17
Une série : a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn + …= (1)
où an est un coefficient et x est une variable, s’appelle série de
puissante.
On peut poser Sn(x) = a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn
et S(x) =
L’ensemble de valeur x où la série (1) est convergente
s’appelle domaine de convergence.
IV. Série de puissante
0
nn
n
a x
0
nn
n
a x
18
Considérons :f(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + …. + an xn +…. (2)
Où le domaine de convergence est de (R, R).Alors, on dit que f(x) se développe en série de puissante
sur (R, R).Th.3 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur
(R, R), alors elle est différentiable sur cet intervalle etf’(x) = a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + …. + nan xn-1 +….
IV. Série de puissante…
19
Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors elle est intégrable sur cet intervalle et
IV. Série de puissante…
1 1
20 1 2
2 3 11 20
( ) ( ... ...)
... ...2 3 1
x xn
n
x x
nn
f x dx a a x a x a x dx
aa aa x x x x
n
20
Th.4 : Si f(x) se développe en série de puissante (2) sur (R, R), alors cet développement est unique et
Alors, (2) devient :
La série (3) s’appelle série Maclaurin.
IV. Série de puissante…
( ) (0)
!
n
n
fa
n
( )2'(0) "(0) (0)
( ) (0) ... ... (3)1! 2! !
nnf f f
f x f x x xn
21
En général :
Où
La série (4) s’appelle série de Taylor.
IV. Série de puissante…
( ) ( )
!
n
n
f aa
n
( )2'( ) "( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ... (4)1! 2! !
nnf a f a f a
f x f a x a x a x an
22
Th.5 : Pour que la série Maclaurin (5) soit convergente sur (R, R) et possède la somme égale à f(x), il faut et il suffit que
Où
Ex.1 : a) f(x)= ex b) f(x)=sin x c) f(x)=cos x
d)
IV. Série de puissante…
lim ( ) 0, ( , )nn
R x x R R
( 1)1( )
( ) , , 0 1 (5)( 1)!
nn
n
fR x x x
n
1( )
1f x
x