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Série de Fourier
Qualquer onda periódica, pode ser expressa como uma série de senóides
harmônicas, senóides onde as freqüências são múltiplas de uma freqüência fundamental,
também chamada de primeiro harmônico. De uma forma geral, a onda periódica pode ser
expressa como:
12
cos cos 2 cos 3 2
3
12
cos
O termo 1 2 representa a média ou o componente DC de . Então, a onda
periódica pode ser expressa pela média DC mais as senóides de freqüências múltiplas.
Cálculo dos Coeficientes
Não é complicado calcular os coeficientes e pois as funções seno e cosseno são
funções ortogonais, ou seja, o produto entre funções senoidais e cossenoidais em uma integral
que varia entre 0 e 2 é sempre igual a zero. Consideremos as seguintes funções:
0
cos 0
· cos 0
A integral do produto também pode ser zero desde que:
·12
Se e são números diferentes:
· 0
Somente se:
· cos cos
cos cos 0
Pois:
cos · cos
Agora, se tivermos nas expressões das integrais dos produtos dos senos e dos cossenos :
cos
As figuras abaixo mostram o gráfico das funções e cos :
Para comprovar a aplicação das propriedades da ortogonalidade das funções seno e cosseno
utilizaremos a primeira expressão de :
12
cos cos 2 cos 3 2
3
Utilizando 1 por conveniência:
12
cos cos 2 cos 3 2
3
E multiplicando cada lado da expressão por 2 , teremos:
212
· 2 cos · 2 cos 2 · 2
cos 3 · 2 · 2 2 3
· 2
Integrando cada lado da função no período entre 0 e 2 :
2
12
· 2 cos · 2
cos 2 · 2 cos 3 · 2
· 2 2
3 · 2
Observando a equação anterior nota‐se que todos os termos do lado direito são iguais a zero
exceto:
2
Logo:
2 2 ·
12
Para calcular o coeficiente basta fazer a seguinte substituição:
1
Para calcular todos os coeficientes utilizaremos todo o método descrito acima, bastando
somente realizar uma substituição: A troca da função senoidal pela função cossenoidal.
Com isso, todos os termos serão zerados com a exceção do termo , que será igual:
2 2 ·
Assim:
12
1
Simetria nas Séries de Fourier
Existem três tipos de simetria nas Séries de Fourier que são estudados. São do tipo:
1. Simetria Ímpar: Se a onda tem simetria ímpar, a função é uma função ímpar e
com isso, a série consiste de termos senoidais. Se é uma função par,
todos os coeficientes , inclusive , serão iguais a zero.
2. Simetria Par: Se a onda tem simetria par, a função é uma fnção par e a série
consiste de termos cossenoidais e pode ou não ser igual a zero. Se é
uma função par, todos os coeficientes serão iguais a zero.
3. Simetria de Meia Onda: Se a onda tem simetria de meia onda, apenas os
harmônicos ímpares estarão definidos, e todos os harmônicos pares serão
iguais a zero.
Simetria Observação Par 0 0 0
Integrar ao longo de 2 e multiplicar por 2 para achar os coeficientes
Ímpar 0 0 0Meia ‐ Onda 0 0
00
0Tabela 1 ‐ Tabela Resumida Sobre os Coeficientes em Relação à Simetria na Série de Fourier
Simetria nas Formas de Onda
Forma de Onda Quadrada
Em uma onda quadrada, o valor médio em um período é igual a zero e assim, 0.
É também uma função ímpar e tem simetria de meia onda desde que – e
– 2
T
T/2
A
- A
2ππ0
Para testar se existe a simetria em meia onda basta escolher qualquer período de
2 no eixo do tempo. Neste caso, os valores de em ambos os lados devem ser iguais,
porém com sinais opostos.
Forma de Onda de Dente de Serra
Para esta forma de onda, o valor médio de um período é igual a zero e então:
0. É também uma função ímpar já que – . Mas não existe simetris de meia
onda pois – 2 .
Forma de Onda Triangular
Para esta forma de onda, o valor médio no período é zero, logo: 0. E ela é uma
função ímpar pois – . Além diso, possui simetria de meia onda, já que –
2 .
Série de Fourier para as Formas de Onda mais Importantes
Forma de Onda Quadrada
Como a forma de onda quadrada é uma forma de onda ímpar, a série consiste
apenas de termos senoidais apenas. E por ser uma forma de onda com simetria de meia onda,
somente harmônicos ímpares estarão presentes. Assumindo que 1:
1cos
1cos cos
2 · · 2
Substituindo:
2 · · 2 0
2 · · 2 · 2 · 2 0
Calculando agora os coeficientes de :
1
1
1 2 cos cos 2 ·
Quando for um número par:
· 1 2 1 0
Quando for um número ímpar:
1 2 14
Então, teremos como Série de Fourier para uma onda quadrada de simetria de meia
onda:
4 13
315
54 1
·í
E no caso da onda quadrada ter simetria de meia onda par, iremos resolver a integral
de 0 a 2 e multiplicar o resultado por 4. Para determinar os coeficientes :
41
cos4
cos4
2
Se for um número par, todos os coeficientes serão zero, e todos os harmônicos
também serão zero.
Se for um número ímpar, 1, dependendo do valor do número ímpar,
logo:
4
Para 1, 5, 9, 13,
4
Para 3, 7, 11, 15,
4
Então, a Série Trigonométrica para esta onda quadrada é:
4 13
315
54
1 1
cosí
Forma de Onda de Dente de Serra
O formato de dente de serra visto anteriormente é uma função ímpar sem simetria
de meia onda. Então irá conter termos senoidais com harmônicos pares e ímpares. Neste caso,
precisa‐se encontrar somente os termos em função de :
Como:
· , 0
· 2 , 2
Utiliza‐se a integração entre 0 e e multiplica‐se o resultado por 2.
Observando a tabela de integrais:
· 1
cos
Então:
2·
2 ·
Para par:
0cos 1
2 2
Para ímpar:
0cos 1
2 2
Então para a Série de Fourier com simetria ímpar:
2·
12
213
32
· 1 ·1
·
Forma de Onda Triangular
A forma de onda triangular é uma função ímpar com simetria de meia onda, então a
Série será composta por termos senoidais com harmônicos ímpares. Para calcular a Série basta
integrar de 0 a 2 e multiplicar a integral por 4.
Inicialmente a componente DC é zero. Observando a tabela de integrais:
1
cos
4 2·
82 2
·2
Mas:
cos2
0
E para ímpar tem‐se:
2
1 , 1,5,9, 8
1, 3,7,11, 8
Logo, a Série de Fourier é escrita:
8
19
31
25 5
149
7
81
1
í
Retificador de Meia Onda
O circuito abaixo é o equivalente ao retificador de meia onda cuja entrada é uma
senóide e a saída é definida como:
, 00, 2
Assumindo que 1:
A função não possui média zero e a forma de onda não possui simetria par, nem
ímpar.
Calcula‐se os coeficientes da seguinte forma:
1cos cos 0 cos
Observando a tabela de integrais:
coscos
2cos
2,
2 1 11
11
1
Assim:
2cos1 1
21
Para o cálculo dos coeficientes de utilizaremos a equação anterior para resolver
todos os coeficientes exceto para o cálculo de . Neste caso utilizaremos a seguinte
expressão para o cálculo:
cos 0
·cos 2 1
1 223
·cos 3 1
1 30
·cos 4 1
1 42
15
Ou seja, para todos os números inteiros ímpares, 0. E para todos os números
inteiros pares, obtém‐se:
21 ·
Agora, realiza‐se o cálculo dos coeficientes de . Para isso utiliza‐se a seguinte
relação:
1 0 ·
Utilizando a tabela de integrais:
2
2
·12
11
11
0
Assim, todos os coeficientes de 0. Para :
2
Assim, temos como a Série de Fourier:
2
cos 23
cos 415
Retificador de Onda Completa
O retificador de onda completa de acordo com a figura abaixo tem como formas de
onda de entrada e de saída:
Observando a forma de onda, a média vale zero. Escolhe‐se o período de entrada
para fazer com que a saída possa ser expressada em função da fundamental. Fazendo o
período entre – e a forma de onda terá simetria par, fazendo que apenas termos
cossenoidais estejam presentes.
Os coeficientes são calculados como:
1cos
2 cos
Observando a tabela de integrais:
coscos
2cos
2,
Assim:
1 cos 1
cos 11
Simplificando a expressão:
2 cos 11
, 1
Substituindo por 0 tem‐se:
4
Para todos os números ímpares, 0, 1.
Então:
12
| 0
Para todos os números pares:
2 cos 2 12 1
43
2 cos 4 14 1
415
2 cos 6 16 1
435
2 cos 8 18 1
463
Combinando todos os termos da função:
2 4 cos 23
cos 415
cos 635
cos 863
Exemplo
Calcule os cinco primeiros termos da série de Fourier para a forma de onda a seguir:
3
1
2 2
1
13 cos 1 cos
3 |
1 |
2
2
Para qualquer número par, 0. Para número ímpar:
2
23
O valor DC é igual a:
12
12
3 132
Para o cálculo dos coeficientes de utiliza‐se a seguinte expressão:
13 sen 1 sen
3 |
1 |
2
Assim:
2
1
23
12
A Série fica escrita da seguinte forma:
cos cos 3 2 3
