Series de Fourier

1

Capıtulo III: Series de Fourier

Profesor: Raul Fierro P.

1 Espacios vectoriales de dimension infinita

En lo que sigue, IK denotara el campo R de los numeros reales, o bien, el campo C

de los numeros complejos.

1. Definicion Sea V un espacio vectorial sobre IK. Una norma sobre V es una

funcion ‖ · ‖ : V → [0,∞[ que satisface las tres propiedades siguientes:

(1.1) ‖v‖ = 0, si y solo si, v = 0.

(1.2) Para todo α ∈ IK y todo v ∈ V , ‖αv‖ = |α|‖v‖.

(1.3) Para todos v, w ∈ V , ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖.

Si ‖·‖ es una norma sobre V , entonces se dice que (V, ‖·‖) es un espacio normado.

2. Ejemplos

(2.1) La funcion modulo | · | : C → [0,∞[ es una norma sobre C.

(2.2) Sea V = C([a, b],C) el espacio de las funciones continuas de [a, b] en C.

Para f ∈ V se define

‖f‖∞ = supa≤t≤b

|f(t)|.

Luego, es facil ver que ‖ · ‖∞ es una norma sobre V .

(2.3) Como en (2.2), sea V = C([a, b],C) y para f ∈ V , sea

‖f‖1 =

∫ b

a

|f(t)| dt.

Se verifica que ‖ · ‖1 es una norma sobre C([a, b],C).

3. Definicion Sean V un espacio vectorial sobre IK. Un producto interno sobre V

es una funcion < ·, · >: V × V → IK que satisface las cuatro propiedades siguientes:

2 Fierro

(3.1) Para todo v ∈ V , < v, v >≥ 0.

(3.2) Para todo v ∈ V , < v, v >= 0, si y solo si, v = 0.

(3.3) Para todos α, β ∈ IK, y todos u, v, w ∈ V ,

< αu+ βv, w >= α < u,w > +β < v,w > .

(3.4) Para todos u, v ∈ V,< u, v >= < v, u >.

4. Ejemplos En los casos siguientes, es facil verificar que las definiciones dadas

efectivamente son productos internos definidos sobre los correspondientes espacios

vectoriales.

(4.1) Si V = Cn, entonces

< v,w >=n

∑

j=1

vjwj (v = (v1, . . . , vn) y w = (w1, . . . , wn)),

es un producto interno sobre V .

(4.2) Si V = C([a, b],C), entonces

< f, g >=

∫ b

a

f(t)g(t) dt, (f, g ∈ C([a, b],C))

es un producto interno sobre V .

5. Notacion Sean V un espacio vectorial sobre IK con producto interno < ·, · > y

v ∈ V .

(5.1) ‖v‖ =√< v, v >.

6. Teorema (Desigualdad de Cauchy-Schwarz.) Sea V un espacio vectorial sobre IK

con producto interno < ·, · >. Entonces, para todos v, w ∈ V ,

(6.1) | < v,w > | ≤ ‖v‖‖w‖ .

7. Teorema Sea V un espacio vectorial sobre IK con producto interno. Entonces,

‖ · ‖ es una norma sobre V .

8. Definiciones Sean V un espacio vectorial sobre IK con producto interno < ·, · >y S ⊆ V .

3

Se dice que

(8.1) S es un conjunto ortogonal, si y solo si, para todos x, y ∈ S tales que

x 6= y, se tiene < x, y >= 0.

(8.2) S es un conjunto ortonormal, si y solo si, S es un conjunto ortogonal y

para todo x ∈ S, ‖x‖ = 1.

9. Ejemplo Sea V = C([0, 2π],C) el espacio vectorial sobre C de todas las funciones

continuas de [0, 2π] en C. Sea S = {ϕn : n ∈ N}, donde ϕn : [0, 2π] → C esta definida

mediante ϕn(t) = eint /√

2π. Luego, S es un conjunto ortonormal con el producto

interno < ·, · > definido por

< f, g >=

∫

2π

0

f(t)g(t) dt.

10. Proposicion (Pitagoras.) Sean V un espacio vectorial sobre IK con producto

interno, {ϕ1, . . . , ϕn} un conjunto ortogonal y ϕ = Σnk=1

ϕk. Entonces,

(10.2) ‖ϕ‖2 =n

∑

k=1

‖ϕk‖2.

11. Proposicion Todo conjunto ortogonal que no contiene el vector nulo es lineal-

mente independiente.

12. Lema Sean V un espacio vectorial sobre IK con producto interno < ·, · >,

{ϕ1, . . . , ϕn} un conjunto ortonormal, α1, . . . , αn ∈ IK y ϕ =∑n

k=1αkϕk.

Entonces, para todo ψ ∈ V ,

(12.1) ‖ψ − ϕ‖2 = ‖ψ‖2 +n

∑

k=1

|αk− < ψ,ϕk > |2 −n

∑

k=1

| < ψ,ϕk > |2.

13. Observaciones Sean V un espacio vectorial sobre IK con producto interno

< ·, · >, ψ ∈ V y (ϕk; k ∈ N) una sucesion ortonormal en V .

(13.1) Sea Wn =< ϕ1, . . . , ϕn >. ¿Cual es la mejor aproximacion de ψ mediante

algun vector ϕ ∈Wn?

Se debe minimizar f(ϕ) = ‖ϕ− ψ‖. Pero por (12.1), el mınimo de esta expresion

se obtiene cuando para todo k ∈ {1, . . . , n}, αk =< ψ,ϕk >.

4 Fierro

Figure 1: Mejor aproximacion

Por lo tanto, la mejor aproximacion de ψ mediante algun vector ϕ ∈ Wn se obtiene

para ϕ =∑n

k=1< ψ,ϕk > ϕk.

Otra consecuencia de (12.1) es que para toda sucesion (αk; k ∈ N) en IK y todo

ψ ∈ V se tiene

‖ψ‖2 +∑n

k=1|αk− < ψ,ϕk > |2 − ∑n

k=1| < ψ,ϕk > |2 ≥ 0.

En particular, evaluando lo anterior en αk =< ψ,ϕk > se tiene que para todo

n ∈ N,

‖ψ‖2 ≥n

∑

k=1

| < ψ,ϕk > |2.

Por lo tanto,

(13.2)∞

∑

k=1

| < ψ,ϕk > |2 ≤ ‖ψ‖2. (Desigualdad de Bessel.)

Como la serie en (13.2) converge, entonces

(13.3) limn→∞

| < ψ,ϕn > | = 0. (Lema de Riemann-Lebesgue.)

Vale la pena notar que si en (12.1) hacemos ψ =∑n

k=1αkϕk entonces

αk =< ψ,ϕk > (k ∈ 0, 1, ..., n), ψ = ϕ y ademas,

(13.4) ‖ψ‖2 =n

∑

k=1

| < ψ,ϕk > |2 .

5

2 Series trigonometricas

1. Definicion Sea T > 0. Una serie trigonometrica de perıodo T es una serie de la

forma

(1.1) a0 +∞

∑

k=1

[ak cos(2kπx/T ) + bksen(2kπx/T )],

donde (ak; k ∈ N) y (bk; k ∈ N) son sucesiones en R.

2. Observaciones Supongamos que las sucesiones reales (ak; k ∈ N) y (bk; k ∈ N)

satisfacen

(2.1)∞

∑

k=1

(|ak| + |bk|) <∞.

Entonces la serie trigonometrica definida por (1.1) converge uniformemente en R.

Sea f : R → R tal que

f(x) = a0 +∞

∑

k=1

[ak cos(2kπx/T ) + bksen(2kπx/T )].

Luego, f es periodica de perıodo T y la convergencia uniforme de la serie nos permite

concluir que

(2.2) a0 =1

T

∫ T/2

−T/2

f(x) dx,

(2.3) ak =2

T

∫ T/2

−T/2

f(x) cos(2kπx/T ) dx, y bk =2

T

∫ T/2

−T/2

f(x)sen(2kπx/T ) dx,

si k ≥ 1.

Los coeficientes en (2.2) y (2.3) pueden definirse de esta forma para cualquier

funcion f : [−T/2, T/2] → R integrable en el sentido de Riemann, sin importar si ella

coincide o no con la serie trigonometrica, e incluso, estos coeficientes pueden definirse

como en (2.2) y (2.3) en el caso que la serie trigonometrica sea divergente. Estas

constantes reales se conocen como coeficientes de Fourier f , y la serie trigonometrica

definida en (2.1) con estos coeficientes, recibe el nombre de serie de Fourier de f de

perıodo T .

Anotaremos en este caso,

6 Fierro

f(x) ∼ a0 +∞

∑

k=1


3. Definiciones Sea f : R → R. Se dice que

(3.1) f es par, si y solo si, para todo x ∈ R, f(−x) = f(x).

(3.2) f es impar, si y solo si, para todo x ∈ R, f(−x) = −f(x).

4. Observacion Como se muestra en Figura 2, el grafico de una funcion par es

simetrico respecto del eje vertical, en tanto que, el grafico de una funcion impar es

simetrico respecto del origen.

Figure 2: Funciones Par e Impar

5. Proposicion Sea f : R → R y g : R → R.

(5.1) Si f es par y g es par, entonces fg es par.

(5.2) Si f es par y g es impar, entonces fg es impar.

(5.3) Si f es impar y g es impar, entonces fg es par.

6. Corolario Sea f : R → R una funcion continua por tramos y periodica de perıodo

T , y, a0, ak y bk (k ≥ 1), los coeficientes de Fourier de f .

(6.1) Si f es par, entonces para todo k ≥ 1, bk = 0.

(6.2) Si f es impar, entonces a0 = 0 y para todo k ≥ 1, ak = 0.

7

7. Ejemplos

(7.1) Sea f : [−1, 1] → R tal que f(x) = |x|. Determinar la serie de Fourier de

perıodo 2 para esta funcion.

(7.2) Sea f : [−π.π] → R tal que

f(x) =

{

−π/4 si −π ≤ x < 0

π/4 si 0 ≤ x ≤ π.

Determinar la serie de Fourier de f de perıodo 2π y notar que esta serie evaluada

en 0 difiere de f(0).

(7.3) Sea f : [−1, 1] → R tal que

f(x) =

{

0 si −1 ≤ x < 0

x si 0 ≤ x ≤ 1.

Determinar la serie de Fourier de perıodo 2 para f .

3 Convergencia puntual

1. Definicion Para cada n ∈ N∗, la funcion Dn

T : R → R definida por

DnT (x) =

sen[(2n+ 1)πx/T ]

2sen[πx/T ]si ∀k ∈ N, x 6= kT

n+ 1

2si ∃k ∈ N, x = kT.

se conoce como nucleo de Dirichlet.

2. Proposicion Para cada n ∈ N∗ y T > 0, el nucleo de Dirichlet esta dado por

(2.1) DnT (x) =

1

2+

n∑

k=1

cos(2kπx/T ).

Ademas,

(2.2)2

T

∫ T/2

−T/2

DnT (u) du = 1.

8 Fierro

3. Lema Sea f : R → R una funcion continua por tramos y periodica de perıodo

T > 0. Supongamos ademas que

f(x) ∼ a0 +∞

∑

k=1


y sea

(3.1) snT (f, x) = a0 +

n∑

k=1


Entonces,

(3.2) snT (f, x) =

2

T

∫ T/2

−T/2

f(u)DnT (x− u) du. y

(3.3) snT (f, x) =

2

T

∫ T/2

−T/2

f(x+ u) + f(x− u)

2Dn

T (x− u) du.

4. Definicion Sean x0 ∈ R y f : R → R una funcion continua por tramos. Se

dice que f satisface la condicion de Dirichlet en x0, si y solo si, existen los lımites

siguientes:

(4.1) f ′+(x0) = lim

x→x+

0

f(x) − f(x+

0 )

x− x0

y

(4.2) f ′−(x0) = lim

x→x−

0

f(x) − f(x−0 )

x− x0

.

5. Teorema Sean x0 ∈ R y f : R → R una funcion continua por tramos y periodica

de perıodo T > 0. Supongamos ademas que

(5.1) f satisface la condicion de Dirichlet en x0 y

(5.2) f(x) ∼ a0 +∞

∑

k=1


Entonces,

(5.3)f(x+

0 ) + f(x−0 )

2= a0 +

∞∑

k=1

[ak cos(2kπx0/T ) + bksen(2kπx0/T )].

6. Corolario Si ademas de las hipotesis del teorema precedente se supone que f es

continua en x0, entonces

9

(6.1) f(x0) = a0 +∞

∑

k=1

[ak cos(2kπx0/T ) + bksen(2kπx0/T )].

7. Ejemplo Sea f : R → R periodica de perıodo 2π y tal que

f(x) =

{

−π/4 si −π ≤ x < 0

π/4 si 0 ≤ x ≤ π.

Demostrar que∞

∑

k=1

(−1)k+1

2k − 1=π

4.

8. Definiciones Sean f : R → R integrable en [−T/2, T/2], x ∈ R, n ∈ N∗ y

snT (f, x) = a0 +

n∑

k=1


La n-esima media de Cesaro de perıodo T en x se define como

(8.1) σnT (f, x) =

1

n

n∑

k=1

skT (f, x).

El n-esimo kernel de Fejer de perıodo T en x se define como

(8.2) KnT (x) =

1

n

n∑

k=1

DkT (f, x).

9. Proposicion Para cada n ∈ N∗ y T > 0, el n-esimo kernel de Fejer de perıodo T

en x esta dado por

(9.1) KnT (x) =

1

2n

[

sen(nπx/T )

sen(πx/T )

]2

si ∀k ∈ N, x 6= kT

n/2 si ∃k ∈ N, x = kT.

Ademas,

(9.2)2

T

∫ T/2

−T/2

KnT (u) du = 1.

10. Teorema (Fejer) Sean T > 0 y f : R → R continua de perıodo T . Entonces, la

sucesion (σnT ;n ∈ N

∗) de medias de Cesaro de f converge uniformemente a f .

11. Corolario (Identidad de Parseval.) Sea f : R → R continua de perıodo T > 0 y

tal que

10 Fierro

(11.1) f(x) ∼ a0 +∞

∑

k=1


Entonces,

(11.2)2

T

∫ T/2

−T/2

f(x)2 dx = 2a2

0 +∞

∑

k=1

(a2

k + b2k).

12. Ejemplo Sea f : R → R tal que f(x) = |x| si −1 ≤ x ≤ 1 y para todo x ∈ R,

f(x+ 2) = f(x). Usar el hecho que

f(x) ∼ 1

4− 2

π2

∞∑

k=0

cos[2π(2k + 1)x]

(2k + 1)2

para calcular∞

∑

k=0

1

(2k + 1)4.

13. Observaciones Sean a > 0 y f : [0, a] → R. ¿Como representar f mediante el

desarrollo de una serie trigonometrica?

Una respuesta a esto, consiste en extender de manera natural la funcion f a una

funcion periodica de perıodo a, desarrollar (si es posible) en serie de Fourier esta

funcion, y luego en particular, f tambien se representara mediante este desarrollo en

serie.

Sin embargo, es mas conveniente extender f a la funcion fp : R → R periodica de

perıodo 2a definida sobre [−a, a] como

(13.1) fp(x) =

{

f(−x) si −a ≤ x < 0

f(x) si 0 ≤ x ≤ a.

La ventaja de esto es que fp es una funcion par, y en consecuencia, su desarrollo

en serie de Fourier no contiene senos.

En el caso que f(0) = 0, f admite tambien una extension impar fi : R → R, la

cual es periodica de perıodo 2a y esta definida sobre [−a, a] mediante

(13.2) fi(x) =

{

−f(−x) si −a ≤ x < 0

f(x) si 0 ≤ x ≤ a.

Por ser fi una funcion impar, su desarrollo en serie de Fourier no contendra los

terminos cosenos, lo cual reduce bastante los calculos.

11

Estas funciones fp y fi se conocen como extensiones par e impar de f , respectiva-

mente.

14. Ejemplo Sea f : [0, 1] → R tal que f(x) = x. Determinar las extensiones par e

impar de f y sus correspondientes desarrollos en serie de Fourier.

Ejercicios propuestos

1.- Sea V = C([a, b],C) el espacio de las funciones continuas de [a, b] en C. Para

f ∈ V se define

‖f‖∞ = supa≤t≤b

|f(t)|.

Demuestre que ‖f‖∞ es una norma sobre V .

2.- Sea V = C([a, b],C) y para f ∈ V , sea ‖f‖1 =∫ b

a|f(t)| dt.

Demuestre que ‖ · ‖1 es una norma sobre C([a, b],C).

3.- Sean V = Cn y

< v,w >=n

∑

j=1

vjwj (v = (v1, . . . , vn) y w = (w1, . . . , wn)).

Demuestre que < ·, · > es un producto interno sobre V y que la norma de v =

(v1, . . . , vn) asociada a este producto interno esta dada por ‖v‖ =[

∑nj=1

|vj|2]1/2

.

4.- Sean V = C([0, 2π],C) y

< f, g >=∫

2π

0f(t)g(t) dt, f, g ∈ V

(4.1) Demuestre que < ·, · > es un producto interno sobre V y que la norma

de f asociada a este producto interno esta dada por ‖f‖ =(

∫

2π

0|f(t)|2 dt

)1/2

.

(4.2) Demuestre que la sucesion (ϕk; k ∈ N) en V definida por ϕk(t) =

eikt /√

2π, (t ∈ [0, 2π]), es ortonormal.

(4.3) Sean Wn =< ϕ1, . . . , ϕn > y ψ : [0, 2π] → C tal que ψ(t) = t. Determine

la mejor aproximacion de ψ mediante algun vector ϕ ∈Wn.

5.- Sean V = C([−π, π],R), < f, g >=∫ π

−πf(t)g(t) dt, (f, g ∈ V ), y (ϕk; k ∈ N) la

sucesion en V definida por ϕ0(x) = 1/√

2π y ϕk(x) = cos(kx)/√π si k ≥ 1.

12 Fierro

(5.1) Demuestre que (ϕk; k ∈ N) es una sucesion ortonormal.

(5.2) Exprese la desigualdad de Bessel en relacion a la sucesion (ϕk; k ∈ N).

(5.3) Demuestre que para toda ϕ ∈ V , limn→∞

∫ π

−πϕ(x) cos(nx) dx = 0.

(5.4) Sean Wn =< ϕ1, . . . , ϕn > y ψ : [−π, π] → R tal que

ψ(t) =

−1 si −π ≤ t < 0

0 si t = 0

1 si 0 < t ≤ π.

Determine la mejor aproximacion de ψ mediante algun vector ϕ ∈ Wn.

6.- Sean V = C([−π, π],R), < ϕ,ψ >=∫ π

−πϕ(t)ψ(t) dt, (ϕ, ψ ∈ V ) y (ψk; k ∈ N

∗) la

sucesion en V definida por ψk(t) = sen(kt)/√

2π.

(6.1) Demuestre que (ψk; k ∈ N∗) es una sucesion ortonormal.

(6.2) Exprese la desigualdad de Bessel en relacion a la sucesion (ψk; k ∈ N∗).

(6.3) Demuestre que para toda ϕ ∈ V , limn→∞

∫ π

−πϕ(t)sen(nt) dt = 0.

(6.4) Si |r| < 1 y ψ(t) =∑∞

k=1rkψk(t), calcule ‖ψ‖.

7.- Determine la serie de Fourier de la funcion periodica f : R → R de perıodo T en

los casos siguientes:

(7.1) T = 2π, f(x) =

0 si −π ≤ x < 0

−1 si 0 ≤ z < π/2

1 si π/2 ≤ x ≤ π.

(7.2) T = 2π, f(x) =

−1 si −π ≤ x < −π/20 si −π/2 ≤ x < 0

1 si 0 ≤ x < π/2

2 si π/2 ≤ x ≤ π.

(7.3) T = 2, f(x) =

{

−1 si −1 ≤ x < 0

1 si 0 ≤ x ≤ 1.

(7.4) T = 4, f(x) =

{

1 si −1 ≤ x < 1

0 si 1 ≤ x ≤ 3.

13

(7.5) T = 2, f(x) = x2 si |x| ≤ 1.

(7.6) T = 4, f(x) = x si |x| ≤ 2.

8.- Sea f : R → R. Demuestre que existen unicas funciones u y v de R en R tales

que u es par, v es impar y f = u+ v.

Determine estas funciones u y v en los casos siguientes:

(8.1) f(x) = ex . (8.2) f(x) = |x|. (8.3) f(x) = sen(x).

9.- Sea f : R → R una funcion derivable. Demuestre que si f es par, entonces f ′ es

impar, y que si f es impar, entonces f ′ es par.

10.- Sea f : R → R una funcion continua por tramos y periodica de perıodo T .

Demuestre que para todo c ∈ R,

(10.1)

∫ T

2+c

−T

2+c

f(u) du =

∫ T

2

−T

2

f(u) du.

11.- Sean a > 0 y f : [0, a] → R. En los casos siguientes, representar f mediante el

desarrollo en serie de Fourier de la extension par e impar de f .

(11.1) f(x) = 1, a = π. (11.2) f(x) = 1, a = 1.

(11.3) f(x) = x, a = π. (11.4) f(x) = x, a = 2.

(11.5) f(x) = ex, a = π. (11.6) f(x) = ex, a = 1.

(11.7) f(x) =

{

0 si 0 ≤ x ≤ a/2

1 si a/2 < x ≤ a.

(11.8) f(x) =

{

1 si 0 ≤ x ≤ a/2

0 si a/2 < x ≤ a.

12.- Demuestre que

(12.1)∞

∑

k=0

cos[(2k + 1)x]

(2k + 1)2=

{

π2

8− πx

4si 0 ≤ x ≤ π

πx4− 3π2

8si π ≤ x ≤ 2π.

(12.2)∞

∑

k=0

sen[(2k + 1)x]

(2k + 1)3=

{

πx8

(π − x) si 0 ≤ x ≤ ππx8

(x− 3π) − π3

4si π ≤ x ≤ 2π.

14 Fierro

(12.3)∞

∑

k=0

cos[(2k + 1)x]

(2k + 1)4=

π

48(π

2− x)(π2 + 2πx− 2x2) si 0 ≤ x ≤ 2π.

13.- Use el ejercicio precedente para calcular las series siguientes:

(13.1)∞

∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)3. (13.2)

∞∑

k=0

1

(2k + 1)4.

(13.3)∞

∑

k=1

(−1)k

[

1

(4k − 1)2+

1

(4k + 1)2

]

. (13.4)∞

∑

k=0

(−1)k

(4k + 1)2.

(13.5)∞

∑

k=1

(−1)k

[

1

(4k − 1)4+

1

(4k + 1)4

]

. (13.6)∞

∑

k=0

(−1)k

(4k + 1)4.

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