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MATERIAL DIDÁTICO Professora Sílvia Victer CÁLCULO 2
SÉRIES DE POTÊNCIAS
Definição: Séries de Potências é uma série infinita de termos variáveis. Elas podem ser usadas em várias aplicações, como por exemplo, encontrar aproximações de números
irracionais como e também para encontrar valores de integrais que não podem ser
integrados na forma analítica (ex:
e são importantes para auxiliarem na resolução de
equações diferenciais. Um série de potências em :
onde: - as constantes , são os coeficientes da série. - a constante é o centro da série. Para temos :
que é a ideia de um polinômio. A série pode convergir para alguns valores de mas pode divergir para outros valores de . Quando , a série converge com soma . O teste da razão é usado para se determinar os valores de para os quais a série de potências converge. Exemplos: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge.
para , a série converge para 0. E para ? Usar o teste da razão:
De acordo com o teste da razão, a série converge se :
Assim, a série converge para . E diverge para , para , ou seja para e para .
2
Para , que equivale a , o teste da razão é inconclusivo.
A série é divergente de acordo com a propriedade:
A série também é divergente de acordo com a propriedade:
Portanto, a série converge apenas para valores de no intervalo aberto .
Teste da razão:
Teste da razão:
3
Exercícios: Encontre os valores de para os quais a série de potências converge.
1-
2-
Resposta: a) Converge para todos os valores de . b) Converge apenas para .
Intervalo de convergência:
O conjunto de todos os números para os quais uma série de potências converge.
do Exemplo 1) do Exemplo 2) do Exemplo 3) é o "intervalo" contendo unicamente o número 0. Para qualquer série de potências, assume uma das três formas: Caso 1: é um intervalo limitado com centro e pontos extremos e , onde é um número real positivo. é chamado de Raio de convergência da série de potências. Caso 2: é infinito. Caso 3: consiste apenas em um único número . . Caso 1: A série diverge para
? ?
Converge Absolutamente para Nota: os pontos extremos e do intervalo de convergência podem ou não pertencer a . No exemplo 1, é um intervalo aberto. Em geral, a série pode divergir, convergir absolutamente ou convergir condicionalmente num ponto extremo de . Assim, o intervalo de convergência pode assumir uma das formas: , , , ) (neste caso, a série de potência sempre converge absolutamente). Teorema 1: Raio de convergência de uma série de potências Seja uma série de potências
com raio de convergência
4
Suponha que
, onde L é um número real não negativo ou .
Verificar uma das três condições para se encontrar o raio :
(i) Se é um número real positivo, então
.
(ii) Se , então . (iii) Se , então . Observações:
1- A razão
é a razão entre os coeficientes e não entre os termos da série de potência.
2- O Teorema 1 não se aplica a séries de potência da forma , para . Nesse
caso, o raio de convergência pode ser encontrado aplicando-se o teste da razão. 3- O Teorema 1 é válido para
, para . Exercícios: Encontre o Centro a, o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências. Confira também a divergência, convergência absoluta ou convergência condicional da série de potências nos pontos extremos de
1-
Solução: Centro ; Teorema 1:
e
.
Assim,
Logo,
.
Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado . E para os valores (pontos extremos) ?
Para na série, obtém-se a série harmônica
que diverge.
Para na série, obtém-se a série harmônica alternada
que converge pelo teste
das séries alternadas (vistas em séries infinitas) e diverge pela soma do módulo (convergência condicional). Conclusão: Divergência no ponto extremo 1 e convergência condicional no ponto extremo -1. -1 0 1
2-
Solução: Centro ; Teorema 1:
e
.
Assim,
Logo, . (Teorema 1 (i)).
Portanto, a série converge Absolutamente para valores de no intervalo aberto e diverge para valores de fora do intervalo fechado . E para os valores (pontos extremos) ? Para na série, obtém-se a série alternada
que diverge (o termo geral não tende a zero). Para na série, obtém-se a série
que também diverge. Conclusão: Divergência nos dois pontos extremos: -6 e 0.
5
-6 -3 0
3-
Solução: Centro ; Teorema 1:
e
.
Assim,
Logo,
(Teorema 1 (ii)).
Portanto, 4-
Solução: Centro ; Teorema 1: e .
Assim,
Assim
(Teorema 1 (iii)).
consiste no único número 0.
5-
Solução: Centro ; Podemos usar o teorema 1? NÃO!! (Conforme visto na observação (2) do Teorema 1).
Pois
não é o coeficiente da n-ésima potência de .
Neste caso, aplica-se o teste da razão original (usa-se o n-ésimo) termo, e NÃO o coeficiente da série.
.
Logo,
A série converge Absolutamente quando , ou seja, quando
E diverge para
Logo,
E para os valores
(pontos extremos) ?
Para os dois valores
e
a série fica:
que é a
série-p convergente.
6
Assim, a série converge absolutamente em todo o seu intervalo de convergência:
Os exercícios abaixo foram extraídos do Munem, página 658.
6- 7-
8-
9-
10-
11-
12-
13-
14-
15-
16-
Respostas:
6)
7)
8) 9)
10) 11)
12) 13) 14) 15) 16) .
Integração e Diferenciação de Séries de Potências
Seja onde
é a série de potências dada. Domínio de : intervalo de convergência da série de potências. +..... Derivada da (Diferenciação termo a termo): + + + Integração de (Integração termo a termo):
Apenas para , onde R é o raio de convergência da série de potências.
Propriedades de e
1) A função é contínua no intervalo aberto . 2) As três séries de potências abaixo possuem o mesmo raio de convergência R.
7
3) Para ,
4) Para ,
5) Para ,
Exemplos:
1) Encontre
Solução: Pelo Teorema 1, o raio de convergência da série de potências é :
Pelas propriedades 2 e 3, isto é,
para
2) Encontre para Solução: Pela propriedade 4:
isto é,
, para .
3) Use a fórmula
, que dá a soma da série geométrica para
, para escrever a expressão dada como a soma de uma série infinita.
a)
Solução:
para .
b)
8
Solução: substituindo por em
, obtém-se:
para , ou seja, para .
c)
Obs: a função logarítmica natural, denotada por , é definida por:
Dessa
forma, a solução deve ser alcançada considerando esta definição (diferente do teorema que diz que,
para
).
Solução: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,
para .
d)
Solução: substituindo por em
, obtém-se:
para .
Obs: a convergência da série ocorre quando Mas se verifica exatamente quando .
e) Solução: Usando o resultado anterior e a propriedade 5,
para .
f)
Solução:
Substituindo por em
obtemos:
para .
g)
Solução: Divide por frações parciais, depois resolve cada uma (encontra um série de potências para cada uma) e depois efetua a soma.
Divisão por frações parciais:
Analisando cada série separadamente:
(do enunciado) e
(do exemplo f)
Usando o resultado anterior, temos:
9
para Obs: Verificar o raio de convergência pelo Teorema 1.
4) Seja
para (Teorema 1, R=1).
Represente como uma série infinita.
Solução: Para ,
Obs: Conferir se o resultado está correto (ou seja, através da resolução da derivada)
5) Seja
Represente
como uma série infinita.
Solução: Como a série de potências está elevado a e não apenas a , devemos usar o teste da razão. Primeiro: obter o raio de convergência da série de potências:
Ou seja, o raio de convergência . Assim, é definida para todos os valores de . Segundo: Representar a integral fornecida como uma série infinita.
Exercícios:
Use a fórmula
, para , para escrever a expressão dada como a soma de uma
série infinita que represente cada expressão. Especifique os valores de para os quais a representação é correta.
1)
2)
3)
4)
5) obs:
6)
7)
Respostas: 1) 2)
3)
4)
5) -
6) -
7)
Escreva uma série de potências para e encontre o raio de convergência.
1) 2)
Respostas: 1) 2)
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Série de Taylor
A partir de uma função f, tentar encontrar uma série de potências que convirja para ela, ou seja, tentar
expandir f como uma série de potências.
Função infinitamente diferenciável:
Definição: Uma função f definida em um intervalo aberto J é dita ser infinitamente diferenciável em J
se ela possui derivadas de todas as ordens k.
Seja f uma função infinitamente diferenciável em um intervalo aberto J e seja 'a' um número em J.
Então, a série de Taylor para f em 'a' é a série de potências:
onde
para
OBS: a série de MacLaurin é a série de Taylor para em .
Exemplos (encontrar as séries de Taylor e o intervalo de convergência de cada série):
1) Encontre a série de Taylor para
.
Solução:
... ...
Coeficientes da série de Taylor:
(onde os sinais alternar em pares)
Logo, a série de Taylor
para
é dada por:
2) Encontre a série de MacLaurin para .
Solução: ...
Logo,
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A série de MacLaurin é dada por:
OBS: embora uma função infinitamente diferenciável tenha uma série de Taylor, essa série não
precisa convergir para a função.
3) Encontre a série de MacLaurin para .
Solução:
... A série de MacLaurin
é dada por:
,
4) Encontre a série de MacLaurin para . Solução: ... A série de MacLaurin
é dada por:
,
Esta série de potências pode ser obtida diretamente diferenciando-se a série de potências para o seno,
já que
5) Encontre a série de MacLaurin para .
,
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OBS: séries de potências adicionais podem ser obtidas através desses exemplos por várias
substituições: Exemplo:
, substituindo-se por na série de
potências para .
Exercícios: Encontre as séries de Taylor para as funções abaixo:
a)
b) . c)
.
d) . e) .
f)
. (sugestão: usar o resultado da expansão de e resolver primeiro o
numerador)
g)
h)
i)
j)
Respostas: a)
, b)
c)
, d)
,
e)
, f)
g) , h)
,
i)
, j)
,
Série Binomial
Teorema 1: Expansão de uma série binomial Se tivermos o problema para encontrar o desenvolvimento em série de MacLaurin da função f definida
por , onde p é um número real qualquer e usaremos a expansão em série
binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin.
A série binomial é a série de potências definida da forma:
onde p uma constante qualquer positiva diferente de zero e não pode ser um inteiro positivo. n fatores
Define-se , e para cada inteiro positivo n,
Assim:
13
.
e assim por diante.
A série binomial
tem raio de convergência . Para ,
Exemplos:
1) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para
, Solução: Do Teorema 1, . Assim,
...
em geral:
E, portanto,
2) Use os primeiros três termos da expansão obtida no exemplo 1 para aproximar
Solução:
=
Fazendo
na expansão do exemplo 1:
Assim,
Valor real de
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3) Encontre uma expansão em série de MacLaurin para
,
Solução:
Do Teorema 1, . Assim,
...
E, portanto,
4) Estime o valor de
considerando os três primeiros termos da série.
Solução:
Pelo Exemplo 1, para , temos:
Substituindo por , obtemos:
Portanto,
Considerando então os três primeiros termos da série, obtemos:
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Exercícios:
1- Usar a expansão em série binomial para encontrar um desenvolvimento em série de MacLaurin.
a)
b)
c)
Resposta: a) 1+
b) 1+
c)
2- Use os três primeiros termos de uma série binomial apropriada para estimar cada número.
a)
( ) b) ( )
c)
( ...) d) ( )
e)
( ...)
Bibliografia:
1- Cálculo com geometria analítica. Vol.2 Swokowski. 2- Cálculo. Vol. 2. Munem - Foulis 3- Cálculo. Vol. 2. James Stewart.