Sesión 13: Lógica Difusa

“Esto es lo vago e incierto. Acercate y no verás su cabeza; siguelo y no verás

su parte posterior” [Lao Tzu]

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Técnicas Alternativas

• Lógica Difusa• Conjuntos difusos

• Lógica difusa

• Reglas de producción difusas

• Aplicaciones

• Ventajas y desventajas

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Conjuntos

• Los conjuntos difusos se pueden ver como una extensión de los conjuntos “clásicos” para representar conceptos no bien definidos

• Conjuntos clásicos – se puede determinar sin ambigüedad si algo es miembro o no del conjunto (el conjunto es claro y preciso)

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Ejemplos – Conjuntos Clásicos

• Miembros del club de tennis

• Números menores a 10

• Persona que mide más de 1:70 m de altura

• Un conjunto se puede representar gráficamente mediante un diagrama de Venn o un diagrama de verdad

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Diagrama de Verdad(números menores a 10)

10

0

1

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Conjuntos Difusos

• En un conjunto difuso el límite no está bien definido, los miembros pueden tener un grado de membresía en cualquier nivel – desde completamente miembro hasta no-miembro

• Elemplos:– Jugadores de tennis– Personas altas– Números pequéños

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Función de Membresía(números positivos pequeños)

10

0

1

(X)

X

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Conjuntos Difusos

• Formalmente un conjunto difuso es una función del conjunto A, llamado dominio, al intervalo [0,1]:

: A [0,1]• El conjunto de valores de A para las cuales > 0

es llamado el soporte de • Para cualquier elemento a A, (a) es el grado de

membresía de a en A – se representa gráficamente mediante la función de membresía

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Operaciones Difusas

• Complemento:

NOT (a) = 1 – (a)

• Intersección:

(a) = min [(a), (a) ]

• Unión:

(a) = max [(a), (a) ]

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Ejemplo – “alto y bajo”

1:70

0

1

(A)

A

“bajo” “alto”

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Ejemplo – “alto o bajo”

1:70

0

1

(A)

A

“bajo” “alto”

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Ejemplo – “no alto”

1:70

0

1

(A)

A

“alto”

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Relaciones Difusas

• La relación difusa sobre dos conjuntos, A y B, es un subconjunto difuso sobre su producto cartesiano – a cada miembro del conjunto producto se le asigna un grado de membresía

• Ejemplo:

B \ A 0 1 2

0 0.1 0.7 0.9

1 0 0.6 0.5

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Relaciones Difusas - Ejemplo

• La relación difusa – “a es similar a b”

B \ A 0 1 2 3

0 1 0.7 0.3 0

1 0.7 1 0.7 0.3

2 0.3 0.7 1 0.7

3 0 0.3 0.7 1

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Operaciones

• Las operaciones básicas sobre conjuntos difusos se extienden directamente a relaciones difusas

• La composición de dos relaciones difusas se define como:

°(a, b) = SupB min [(a, b´), (b´, c) ]

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Ejemplo de Composición• Relación a-b:

b1 b2 b3 b4 b5a1 0.1 0.2 0 1 0.7a2 0.3 0.5 0 0.2 1a3 0.8 0 1 0.4 0.3

• Relación b-c:c1 c2 c3 c4b1 0.9 0 0.3 0.4b2 0.2 1 0.8 0b3 0.8 0 0.7 1b4 0.4 0.2 0.3 0b5 0 1 0 0.8

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Ejemplo de Composición

• Resultado - relación a-c:

c1 c2 c3 c4

a1 0.4 0.7 0.3 0.7

a2 0.3 1 0.5 0.8

a3 0.8 0.3 0.7 1

• Para cada término – se toma el mínimo de cada valor del renglón de la primera matriz con la columna de la segunda, y el máximo de éstos. Por ejemplo:

R(1,1) = MAX [min(0.1,0.9), min(0.2,0.2), min(0,0.8), min(1,0.4), min(0.7,0) ] = 0.4

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Reglas de Producción Difusas

• Extienden las reglas de producción tradicionales con la inclusión de términos difusos.

• Ejemplos de reglas difusas:– Si el clima es caluroso entonces la alberca está llena– Si el agua está fría entonces cierra ligeramente la llave– Si el obstáculo está cerca entonces detente

• Cada término (premisa, conclusión) corresponde a un conjunto difuso.

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Inferencia

• Una regla difusa se puede representar como una relación difusa – expresando los valores de membresía de la conclusión para cada uno de los valores de las premisas

• Ejemplo: Si agua fría entonces cierra llaveTemp \ Grados cierre 0 45 90

10 0 0.4 0.915 0.2 0.7 0.3

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Inferencia

• Dada una entrada, mediante una función de membresía, la función conclusión se obtiene mediante la regla de composición

• Regla composicional de inferencia:

f(x) – función de membresía de la entrada

g(x,y) – relación que expresa la regla

h(y) – función de membresía de la conclusión

h(y) = f°g(y) = SupX min [ f(x), g(x,y) ]

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Inferencia - ejemplo

• Regla: Si agua fría entonces cierra llaveTemp \ Grados cierre 0 45 90

10 0 0.4 0.915 0.2 0.7 0.3

• Entrada: agua fríaTemp 10 – 0.8 15 – 0.3

• Salida:Grados cierre 0 45 90

0.2 0.4 0.8

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Defuzificación

• La “salida” de una regla difusa es un conjunto difuso

• En muchas aplicaciones es necesario transformar esta salida:– Aproximación lingüística – se transforma en

una descripción “verbal”– Defuzificación aritemétcia – se extrae un valor

escalar que represente al conjunto difuso

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Defuzificación

• Defuzificación aritemétcia – dos formas básicas:– Valor máximo– Centro de área (o de momentos)

0

1

X

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Defuzificación

• Para el ejemplo de la regla:• Salida:

Grados cierre 0 45 900.2 0.4 0.8

• Máximo: 90• Momentos: (0*0.2 + 45*0.4 + 90*0.8)/1.4

= 64.28

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Ejemplo de Reglas Difusas –control de temperatura

• Reglas para el control de temperatura de una regadera (tibia):– Si agua es FRIA entonces incrementar aprox. en 2

unidades– Si agua es FRESCA entonces incrementar aprox. en

1 unidad– Si agua es TIBIA entonces incrementar aprox. en 0

unidades– Si agua es CALIENTE entonces decrementar en

aprox. en 1 unidad

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Ejemplo control de regadera – temperatura

0

1

(T)

T

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Ejemplo control de regadera – salida de control

0

1

(C)

C

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Ejemplo control de regadera – reglas

0

1

(T,C)

T

C

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Ejemplo control de regadera – inferencia (OR implicito)

0

1

(T,C)

T

C

Temp Entrada

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Ejemplo control de regadera – salida

0

1

(C)

C

Centro de Momento

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Aplicaciones

• Control de procesos

• Sistemas embebidos (lavadoras, cámaras, etc.)

• Sistemas expertos difusos

• Percepción

• Robótica

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Ventajas

• Analogía con forma de expresión humana

• Simplicidad y eficiencia computacional

• Aplicaciones exitosas

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Desventajas

• Dificultad de interpretación de valores difusos (semántica no clara)

• Mútiples difiniciones de operadores y reglas de inferencia difusas

• No hay una buena justificación de operadores difusos

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Referencias

• L.A. Zadeh, “Fuzzy Sets”, Information and Control 8, 1965

• I. Graham, P. Jones, “Expert Systems”, Chapman and Hall, 1988 – Capítulo 5

• H. Zimmermann, “Fuzzy Set Theory and its Applications”, Kluwer, 1985

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Actividades

• Entrega de proyecto final– Reporte escrito (formato reportes técnicos)– Presentación y demo. programa (máximo 20

minutos)