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UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
DINÁMICA - Docente E. Rodríguez B. 1
UNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJOUNIVERSIDAD CÉSAR VALLEJO
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVILESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
CURSO: DINÁMICACURSO: DINÁMICACURSO: DINÁMICACURSO: DINÁMICA
SESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULASESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULASESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULASESIÓN 1: CINEMÁTICA DE UNA PARTÍCULA
1
Lic. Eduar Rodríguez Beltrán
� Describir el movimiento curvilíneo de unapartícula.
� Establecer las características y propiedadesdel movimiento curvilíneo.
� Expresar las cantidades cinemáticas encoordenadas rectangulares, componentesnormal y tangencial.
2
OBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOSOBJETIVOS
El movimiento curvilíneo ocurre cuando lapartícula se mueve a lo largo de una trayectoriacurva. Esta trayectoria a menudo se describe entres dimensiones, por lo tanto es importante eluso del análisis vectorial para formular laposición, velocidad y aceleración de lapartícula.
MOVIMIENTO CURVILÍNEOMOVIMIENTO CURVILÍNEOMOVIMIENTO CURVILÍNEOMOVIMIENTO CURVILÍNEO
Es aquel vector dirigido desde el origen de unsistema coordenado hacia el punto de ubicacióninstantánea P la partícula. Se representa por r = r(t).
Vector de PosiciónVector de PosiciónVector de PosiciónVector de Posición
Supongamos ahora que la partícula se muevedurante un pequeño intervalo de tiempo ∆t hasta elpunto P’, entonces su posición será r’ (t + ∆∆∆∆t). Eldesplazamiento es vector dirigido desde P a P’ y seexpresa:
Vector desplazamientoVector desplazamientoVector desplazamientoVector desplazamiento
Cuando la partícula se mueve de P a P’ experimenta un
desplazamiento ∆r en un intervalo de tiempo ∆t. la velocidad
media se define como :
Velocidad mediaVelocidad mediaVelocidad mediaVelocidad media
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Si el intervalo de tiempo se hace cada ves más pequeño
(∆t→0), el desplazamiento también tiende a cero. Llevando al
límite la velocidad media se obtiene la velocidad instantánea. Es
decir.
Velocidad instantáneaVelocidad instantáneaVelocidad instantáneaVelocidad instantáneaEn la figura se observa las velocidades instantáneas de la partícula
en P y Q. El cambio de velocidades durante ∆t es ∆v. La aceleración
media es el cambio de velocidades en el intervalo de tiempo. Es
decir
La aceleración media esun vector paralelo a ∆vy también depende dela duración del intervalode tiempo.
Aceleración mediaAceleración mediaAceleración mediaAceleración media
Se obtiene llevando al límite la aceleración media es decir haciendo
cada ves mas y mas pequeños los intervalos de tiempo
La aceleración instantáneaes un vector que tienemisma dirección que elcambio instantáneo de lavelocidad es decir apuntahacia la concavidad de lacurva
Aceleración instantáneaAceleración instantáneaAceleración instantáneaAceleración instantánea Coordenadas rectangularesCoordenadas rectangularesCoordenadas rectangularesCoordenadas rectangulares
vector de posición de un punto será:
y derivando:
En cualquier instante la posición horizontal del globometeorológico está definida por x = (9t) m, donde t esel segundo. Si la ecuación de la trayectoria esy = xª/30, donde a = 2. Determinar la distancia delglobo a la estación A, la magnitud y la dirección de lavelocidad y de la aceleración cuando t = 2 s
EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO EJEMPLO 1111
� Cuando t = 2 s, la posición del
globo es
� La distancia en línea recta será
� Las componentes de la
velocidad son
� La magnitud ydirección de lavelocidad para t = 2 sson:
EJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: Solución
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Las componentes de la
aceleración será
La magnitud y dirección de la
aceleración son
EJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: SoluciónEJEMPLO 1: Solución
El movimiento de la caja B está
definida por el vector de posición
donde t esta en segundos y el
argumento para el seno y el
coseno está en radianes.
Determine la localización de la
caja cuando t = 0,75 s y la
magnitud de su velocidad y
aceleración en este instante
EJEMPLO 2EJEMPLO 2EJEMPLO 2EJEMPLO 2
� La posición de la partícula cuando t = 0,75 s es
� La distancia medida desde el origen será
� La dirección es
EJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: Solución
� La velocidad de la partícula cuando t = 0,75 s es
� La aceleración de la partícula cuando t = 0,75s
a = 2 m/s2
EJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: SoluciónEJEMPLO 2: Solución
Es caso mas simple del
movimiento plano, en el
cual ax = 0 y ay = - g = -
9,81 m/s2 =-32,2 pies/s2.
En la figura se muestra
este movimiento y su
trayectoria.
MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO MOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICOMOVIMIENTO PARABÓLICO
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Conociendo la función de posición de unapartícula, obtener las funciones de velocidad yaceleración. Utiliza las funciones obtenidas ycalcula la posición, velocidad y aceleración dela partícula a los 5 segundos de iniciado elmovimiento.
PROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS
r (t) = e-t i + 4j.
Componentes normal y tangencialComponentes normal y tangencialComponentes normal y tangencialComponentes normal y tangencial
Cuando un auto se mueve en unacurva experimenta una aceleración,debido al cambio en la magnitud o enla dirección de la velocidad.¿Podría Ud. preocuparse por laaceleración del auto?.
Si el motociclista inicia su movimientodesde el reposo e incrementa suvelocidad a razón constante.¿Cómo podría determinar suvelocidad y aceleración en la partemás alta de su trayectoria.
Componentes normal y tangencial: AplicacionesComponentes normal y tangencial: AplicacionesComponentes normal y tangencial: AplicacionesComponentes normal y tangencial: Aplicaciones
Cuando la trayectoria de unapartícula es conocida, a veceses conveniente utilizar lascoordenadas normal (n) ytangencial (t) las cuales actúanen las direcciones normal ytangencial a la trayectoria.
En un movimiento plano seutilizan las vectores unitariosun y ut
El origen se encuentra ubicadosobre la trayectoria de lapartícula.
El eje t es tangente a latrayectoria y positivo enla dirección delmovimiento y el eje n esperpendicular al eje t yesta dirigido hacia elcentro de curvatura
Componentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: Posición
El radio de curvatura ρ, es ladistancia perpendicular desdecurva hasta el centro decurvatura en aquel punto.
La posición es la distancia Smedida sobre la curva a partirde un punto O considerado fijo.
Componentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: PosiciónComponentes normal y tangencial: Posición
Debido a que la partícula se estamoviendo, la posición S estácambiando con el tiempo.
La velocidad v es un vector quesiempre es tangente a latrayectoria y su magnitud sedetermina derivando respecto deltiempo la posición S = f(t).Por lo tanto se tiene:
Componentes normal y tangencial: VelocidadComponentes normal y tangencial: VelocidadComponentes normal y tangencial: VelocidadComponentes normal y tangencial: Velocidad
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Consideremos el movimiento deuna partícula en una trayectoriacurva plana
En el tiempo t se encuentra en Pcon una velocidad v en direccióntangente y una aceleración adirigida hacia la concavidad de lacurva. La aceleración puededescomponerse en unacomponente tangencial at
(aceleración tangencial)paralela a la tangente y otraparalela a la normal an
(aceleración normal)
La aceleración tangenciales la responsable delcambio en el modulo dela velocidad. responsabledel cambio en ladirección de la velocidad
Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración
Tracemos en A un vectorunitario . La aceleración será:
Si la trayectoria es una recta,el vector sería constante enmagnitud y dirección, por tanto
Pero cuando la trayectoria escurva la dirección de cambiapor lo tanto:
Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración
Introduzcamos el vectorunitario normal a la curvay dirigido hacia el lado cóncavode la curva. Sea β el ánguloque forma la tangente en A conel eje x. Entonces se tiene
La derivada del vector unitariotangente será
Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración
� Por otro lado se tiene que
� Donde dS es el pequeñoarco a lo largo delmovimiento en un dt.
� Las normales a la curva enA y A´ se intersecan en C.Entonces
� La razón de cambio delvector unitario tangenciales
Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración
Remplazando estaecuación en la aceleraciónse tiene:
Es decir las aceleracionestangencial y normal seescriben:
� La magnitud de la aceleración
total será:
Componentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: AceleraciónComponentes normal y tangencial: Aceleración
� Un esquiador viaja con una rapidez de 6 m/s la se está
incrementando a razón de 2 m/s2, a lo largo de la trayectoria
parabólica indicada en la figura. Determine su velocidad y
aceleración en el instante que llega a A. Desprecie en los cálculos
el tamaño del esquiador.
PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1PROBLEMA 1
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� Estableciendo los ejes n y
t mostrados se tiene.
� La velocidad de 6 m/s es
tangente a la trayectoria y
su dirección será
� Por lo tanto en A la
velocidad forma 45° con el
eje x
PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN� Se sabe que la aceleración
tangencial es constante e
igual a
� La aceleración normal será
� La aceleración total será
� La velocidad en este
instante será
PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 PROBLEMA 2 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN
� La aceleración se determina
aplicando la ecuación
� Para ello se determina el
radio de curvatura
PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN
� La magnitud y la dirección de la
aceleración serán
PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 PROBLEMA 1 ---- SSSSOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓNOLUCIÓN
� Un carro de carreras C viaja alrededor de una pista horizontal
circular que tiene un radio de 90 m. Si el carro incrementa su
rapidez a razón constante de 2,1 m/s2 partiendo desde el
reposo, determine el tiempo necesario para alcanzar una
aceleración de 2,4 m/s2. ¿Cuál es su velocidad en ese instante.
PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2PROBLEMA 2
Una caja parte del reposo en A e
incrementa su rapidez a razón deat = (0.2t) m/s2 y viaja a lo
largo de la pista horizontal
mostrada. Determine la magnitud
y dirección de la aceleración
cuando pasa por B
PROBLEMA 3PROBLEMA 3PROBLEMA 3PROBLEMA 3
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La posición de la caja en
cualquier instante es S medida a
partir del punto fijo en A.
La velocidad en cualquier instante
se determina a partir de la
aceleración tange:cial, esto es
PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 ---- SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN
Para determinar la velocidad en
B, primero es necesario
determinar S = f(t), después
obtener el tiempo necesario para
que la caja llegue a B. es decir
De la geometría se tiene
sB = 3 + 2π(2)/4 = 6.142 m.
Entonces tenemos
PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 ---- SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN
Remplazando el tiempo en las
ecuaciones (1) y (2) resulta
En el punto B el radio de curvatura
es ρ = 2 m, entonces la
aceleración será
La aceleración total será
Su modulo y dirección serán
PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 PROBLEMA 3 ---- SOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓNSOLUCIÓN
� Un avión viaja a lolargo de unatrayectoria parabólicavertical . En elpunto A el avión tieneuna velocidad de 200m/s la cual seincrementa a razón de0,8 m/s2. Determine lamagnitud de laaceleración del avióncuando pase por A.
PROBLEMA 4PROBLEMA 4PROBLEMA 4PROBLEMA 4
� Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo con la ley ax=0, ay=4cos(2t) m/s2. En el instante t=0, el móvil se encontraba en x=0, y=-1 m, y tenía la velocidad vx=2, vy=0 m/s.
� Hallar las expresiones de rrrr(t) y vvvv(t).� Dibujar y calcular las componentes tangencial
y normal de la aceleración en el instante t=π/6 s.
PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 5555
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El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por vvvv=(3t-2)iiii+(6t2-5)jjjj m/s.... Si la posición del móvil en el instante t=1 s es rrrr=3iiii-2jjjj m. Calcular� El vector posición del móvil en cualquier
instante.� El vector aceleración.� Las componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante t=2 s. Dibujar el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante.
PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 6666
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Una partícula se mueve en el plano XY de acuerdo a la ley ax=0, ay=2cos(πt/2) m/s2. En el instante inicial t=0,x=0,y=-8/π2, vx=2, vy=0. Encontrar:� El vector posición y el vector velocidad en
función del tiempo.� La ecuación de la trayectoria, representarla� Representar la aceleración, aceleración
tangencial y normal sobre la trayectoria en los instantes t=1 y t=2s.
PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 7777
SOLUCIÓN PROBLEMA 7SOLUCIÓN PROBLEMA 7SOLUCIÓN PROBLEMA 7SOLUCIÓN PROBLEMA 7
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Se lanza una pelota verticalmente haciaarriba con una velocidad de 20 m/s desde laazotea de un edificio de 50 m de altura. Lapelota además es empujada por el viento,produciendo un movimiento horizontal conaceleración de 2 m/s2, (tómese g=10 m/s2).Calcular:� La distancia horizontal entre el punto de
lanzamiento y de impacto.� Las componentes tangencial y normal de la
aceleración en el instante t=3 s
PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA PROBLEMA 8888
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