Estadística General

Unidad 3: Sesión 8

Medidas de variabilidadAl finalizar la unidad el estudiante resuelve situaciones problemáticas vinculadas al ámbito empresarial calculando las medidas de variabilidad según el tipo de variable y lo solicitado por el problema.

Impacto Motivacional

https://www.youtube.com/watch?v=1MY0IVs2-fk

USOS DE MEDIDAS DE VARIABILIDAD

Si bien se estima los montos promedios requeridos para el mantenimiento del negocio, la variabilidad de los mismos pueden ayudar a identificar los ingresos máximos a los que se puede llegar en una buena temporada, como mínimos a los que se podría llegar cuando los ingresos disminuyen. Esta información podría facilitar las proyecciones de crecimiento e inversión anuales.

Tenemos: R : RangoDM : Desviación mediaS2 : VarianzaS : Desviación estándarCV : Coeficiente de Variación

Son indicadores que permiten medir el grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio.

Estadígrafos de Dispersión

x

RANGO

• La medida de variabilidad más sencilla es el Rango.

Rango = Valor mayor – Valor menor

• Debido a que sólo se incluye los valores mayores y menores, se considera que el riesgo de esta medida es la inclusión de valores extremos, lo cual afecta la variabilidad. En ese sentido, este rango es sólo un indicador de la variabilidad, más no el único criterio para definir la variabilidad.

RANGO: Ejemplo 1Ante la pregunta sobre número de hijos por familia, una muestra de 12 hogares, marcó las siguientes respuestas:

2 1 2 4 1 32 3 2 0 5 1

Calcula el rango de la variable

5 0 5Rango

SPSS

Ejemplo 2.

Hay dos conjuntos sobre la cantidad de lluvia (mm) en Taipei y Seúl en un año.

Calcula el rango en cada una de las ciudades.

Solución.

Aplicando la fórmula correspondiente tenemos:

Taipei

Seúl

En este caso se puede observar que el rango es el mismo para ambos casos aunque las cantidades sean diferentes.

Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov DicTaipei 86 135 178 170 231 290 231 305 244 122 66 71Seúl 40 77 83 89 147 168 184 252 209 101 32 13

305 66 239Rango mm mm mm

252 13 239Rango mm mm mm

SPSS

Interpretación. La máxima dispersión entre los gastos en pasajes de los trabajadores del distrito de San Miguel es de 21 soles.

10 - 13 3

13 - 16 7

16 - 19 9

19 - 22 12

22 - 25 15

25 - 28 6

28 - 31 4

N 56

Diferencia entre el dato máximo y el dato mínimo

R = X máx – X min

Para ejemplo:

R = 31 – 10 = 21

Rango (R)CASO I: Gastos de pasajes de trabajadores del distrito de San Miguel

VARIANZA

• Representa en cuanto difiere el valor de cada observación (xi) de la media de los datos.

• A diferencia de las medidas anteriores, la varianza emplea todos los datos disponibles de la variable.

• Se recomienda su uso cuando se compara las variabilidades de dos o más variables.

2

2 1

( )

1

n

ii

x xs

n

Muestral

VARIANZA: Ejemplo

Calcula la varianza para los siguientes datos : 2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1

Solución.Primero es necesario obtener la media. En este caso

Ahora aplicamos la fórmula correspondiente

2.16x

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 (2 2.16) (1 2.16) (2 2.16) (4 2.16) (1 2.16) (3 2.16) (2 2.16) (3 2.16) (2 2.16) (0 2.16) (5 2.16) (1 2.16)

12 1s

2 21.6672 1.969711

s

SPSSEXCEL

DESVIACIÓN ESTÁNDARLlamada también desviación estándar, es la medida de dispersión más importante y de mayor uso en trabajos estadísticos. Un valor relativamente grande, significa, que la generosidad de los datos están alejados de la media y así recíprocamente. Es la raíz cuadrada positiva de la varianza.

s= COEFICIENTE DE VARIACIÓNEs llamado también dispersión relativa. Esta medida es utilizada cuando se quiere comparar el grado de variabilidad o disociación entre dos o más grupos de observaciones. El coeficiente de variación es un número abstracto libre de unidad y generalmente se expresa en términos porcentuales y está definido para datos clasificados y no clasificados de la siguiente manera:

100xSCV

Si CV ≤ 40% entonces es homogéneaSi CV > 40% entonces es heterogénea

2

1

( )

1

n

ii

x xs

n

Muestral

DESVIACIÓN ESTÁNDAR. Ejemplo:Calcula la desviación estándar para los siguientes datos

2 1 2 4 1 3 2 3 2 0 5 1

Solución.

Una vez que hemos calculado la media y la varianza, sólo resta calcular la raíz cuadrada de la varianza.

2.16x

2 21.66721.9697

11s

1.40341.9697S

SPSS

EXCEL

f . X iiN

i=1S = - X2N

22

Varianza (Desviación estándar (S)

Coeficiente de variación (Cv)

INTERVALOS 10 13 3 11.5 34.5 132.25 396.7513 16 7 14.5 101.5 210.25 1471.7516 19 9 17.5 157.5 306.25 2756.2519 22 12 20.5 246 420.25 504322 25 15 23.5 352.5 552.25 8283.7525 28 6 26.5 159 702.25 4213.528 31 4 29.5 118 870.25 3481

n 56 1169 25646

𝑓 𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖2 𝑓 𝑖 𝑥𝑖2𝑓 𝑖𝑥𝑖

20.875435.76562522.1986607

s 4.71154547Cv 22.5702777%

𝑠2𝑥2𝑥

Si CV ≤ 40% entonces es homogéneaSi CV > 40% entonces es heterogénea

Por lo tanto la distribución es homogéneaCuando la distribución es homogénea significa que la media aritmética es representativa.

Desarrolle el siguiente CASO: Halle el Coeficiente de variación que contiene perímetros de cráneos (en centímetros) observados en 50 niños recién nacidos en un hospital:

[30 – 30,8[ 07

[30,8 – 31,6[ 11

[31,6 – 32,4[ 18

[32,4 – 33,2[ 09

[33,2 - 34[ 05

Total 50