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Walter Orlando Gonzales Caicedo www.goncaiwo.wordpress.com
SESIN DE APRENDIZAJE N 07
FACULTAD DE :
ESCUELA PROFESIONAL DE :
DOCENTE : Walter Orlando Gonzales Caicedo CICLO: I
ASIGNATURA : Lgico Matemtica FECHA:
TEMAS: Ecuaciones cuadrticas, discriminante, relacin entre los coeficientes y races de una ecuacin de segundo
grado. Ecuaciones de grado mayor que 2, ecuaciones Bicuadradas, ecuaciones recprocas, ecuaciones racionales y ecuaciones irracionales
TIEMPO: 08 horas acadmicas.
COMPETENCIA:
Resuelve y aplica operaciones matemticas, relacionadas a ecuaciones cuadrticas as como su aplicacin en el campo prctico de la vida cotidiana.
CAPACIDADES:
Diferencia una ecuacin de una inecuacin. Calcula el discriminante de una ecuacin Plantea y resuelve problemas de su especialidad, que requieren de las ecuaciones cuadrticas. Grafica e interpreta una funcin cuadrtica y de grado superior.
ACTITUDES:
RESPONSABILIDAD: Manifiesta compromiso e identificacin en su trabajo acadmico. PUNTUALIDAD: Revela respeto a los dems y a si mismo asistiendo puntualmente a las clases. PARTICIPACIN: Muestra disposicin a enfrentarse a situaciones problemticas novedosas. Participa activamente
en el desarrollo de las clases.
E
V
A
L
U
A
C
I
N
MOMENTOS O FASES
DESCRIPCIN DETALLADA DE ESTRATEGIAS Y METODOLOGA
MEDIOS Y MATERIALES
TIEMPO
EVALUACIN
INDICADORES
INSTRUMENTO
Motivacin y exploracin
MOTIVACION:
(ANEXO N 01)
EXPLORACION: El docente presenta en la pizarra una lista de ejercicios relacionadas a operaciones con ecuaciones de segundo grado (Lluvia de ideas, Tcnica interrogativa) El uso para seguir la
secuencia.
(ANEXO N 01)
Material Impreso.
Pizarra
Plumones
acrlicos
Mota
Palabra hablada.
50 min.
Inters por el tema, participacin individual y en
grupo.
Observacin espontnea. Intervencin oral
Problematizacin
Se plantea las siguientes
interrogantes:
Serias capaz de
plantear ejercicios
con ecuaciones de
segundo grado?
Qu clase de
ecuaciones
observan en los
ejercicios
planteados?
Qu es un
Exposicin oral
45 min.
Dadas las diferentes propiedades y operaciones que se realizan con ecuaciones de segundo grado, desarrollan los ejercicios
planteados. Participacin activa
Ficha de evaluacin (ANEXO N 05) Ficha de autoevaluacin (ANEXO N 06)
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discriminante?
Existe relacin
entre los
coeficientes y las
races de la
ecuacin de
segundo grado?
Construccin del conocimiento
Se forma 7 grupos.
Modulo de lgica
matemtica
- (ANEXO N 03)
- Los estudiantes
plantean sus
ejemplos con
ecuaciones
cuadrticas,
bicuadradas,
racionales e
irracionales.
Se realizan
indicaciones en la
pizarra sobre
conceptos bsicos,
dadas en la hoja
tcnica.
(ANEXO N 04)
Se realiza la
sistematizacin de
lo aprendido.
Los estudiantes
plantean y
desarrollan un
laboratorio con
ejercicios.
(ANEXO N 05)
Papelgrafo. Mdulo lgico matemtico (ANEXO N03) Textos auxiliares. cinta adhesiva
185 min.
Aplicacin de la teora en la solucin de problemas especficos. A partir de los ejemplos establecidos en clase realizan problemas relacionas a su carrera. Trabaja en forma individual y grupal , comentan ,discuten
Ficha de evaluacin (ANEXO N 05) Ficha de autoevaluacin (ANEXO N 06)
Transferencia del conocimiento
L
Los estudiantes
resuelven los
ejercicios
planteados en su
mdulo de trabajo.
Los estudiantes
participan
Hoja impresa Folder de trabajo.
120 min.
Aplica estrategias metacognitivas para representar la solucin de los
Ficha de evaluacin (ANEXO N 05) Folder de trabajo.
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anotando sus
respuestas en la
pizarra
Los estudiantes
elaboran
ejercicios referidos
a operaciones con
los diferentes tipos
de ecuaciones de
segundo grado
(Hoja de
informacin ,Grupo
de estudio ,
trabajo en equipo;
exposicin del
problema
planteado.(ANEXO
N04)
Los alumnos
resuelven en
grupo una ficha de
trabajo:Leo,
analizo y resuelvo
( ANEXO N 03 )
que les permitir
descubrir
procedimientos
para reconocer e
interpretar a las
proposiciones.
El docente destaca
los resultados a
travs de la
evaluacin del
trabajo realizado..
Los alumnos
desarrollan
ejercicios
propuestos del
modulo
correspondiente
Ecuaciones de
segundo grado.
ejercicios planteados. Presentacin de trabajo individual o grupal
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BIBLIOGRAFA Gonzales Caicedo, Walter Orlando y Otros. (2009). Modulo de Lgico Matemtica. Lambayeque Per. Moiss, Lzaro. (2007). Matemtica Bsica Tomos I y II. Editorial Moshera. Per. Venero Baldeon, Armando. Matemtica Bsica. Espinoza Ramos, E. (2002). Matemtica Bsica. Editorial Servicios Grficos JJ. Per.
ANEXO N 01
Si usted quiere exportar productos agrarios y desea saber que dimensiones debe tener una caja cuyo volumen es 1500cm3, sabiendo que debe tener 5 cm de altura y de ancho cinco cm. ms que de largo. Calcular la longitud y la anchura.
SOLUCION:
Sabemos que el volumen se representa por:
V= a.b.c
1500 = 5.x. (x + 5)
Pues, aqu se plantea una ecuacin de segundo grado, es decir: Desarrollando queda 5x2 + 20x - 1500 = 0. Resolviendo la ecuacin obtenemos x1 = -20 y x2 = 15. La primera solucin (-20) no vale, por lo tanto la solucin es x = 15 cm de largo. La caja mide: 5 x 15 x 20
ANEXO N 02
Recuerda: Cuanto menos habla el hombre de sus virtudes, ms lo apreciamos. Emerson Objetivo : Lograr motivar a los estudiantes y reflexionar.
ANEXO N 03
USS. MODULO DE LGICO MATEMTICA
ECUACINES DE SEGUNDO GRADO
1. CONCEPTO: Denominada tambin ECUACIN CUADRTICA, es aquella ecuacin polinomial de una incgnita de la forma general:
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ax2 + bx + c = 0; a 0
2. RESOLUCIN DE LA ECUACIN DE SEGUNDO GRADO:
Sea: ax2 + bx + c = 0; a 0 ...... (1)
Multiplicando por 4a la ecuacin (1), tenemos:
4a2x2 + 4abx + 4ac = 0 4a2x2 + 4abx = -4ac
Sumando b2 en ambos miembros, para formar en el primero un trinomio cuadrado perfecto:
4a2x2 + 4abx + b2 = b2 4ac Luego:
(2ax + b)2 = b2 4ac Extrayendo raz cuadrada, se tiene:
ac4bbax2 2
2ax + b = ac4b2
Despejando la incgnita x, resulta:
a2
ac4bbx
2
Que viene a ser la solucin general de la ecuacin cuadrtica (1). Establecida por FRANCOISE VIETE en el siglo XVI.
3. DISCRIMINANTE O VARIANTE Se denomina as a la cantidad subradical de la solucin general: b2 4ac, y se le simboliza por la letra griega mayscula ; es decir:
ac4b2
4. RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA De la solucin general, se obtienen:
a2
bx1
a2
bx2
Para conocer los valores de estas races, a partir de la ecuacin polinomial:
ax2 + bx + c = 0; a 0 Se reemplazan directamente los valores de los parmetros a, b y c. Pero. Si el polinomio cuadrtico se puede factorizar fcilmente, entonces se realiza este procedimiento, obtenindose dos factores lineales; para luego igualar a cero cada uno de stos.
5. DISCUSIN DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA CON COEFICIENTES REALES Tenemos: ax2 + bx + c = 0 La naturaleza de las races de la ecuacin:
ax2 + bc + c; a, b, c R y a 0
Viene caracterizada por el valor que asume el discriminante , es decir:
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CASO 1:
Si > 0, las races sern reales y diferentes. Ejemplo: Resolver: 3x2 5x +1 = 0
Solucin: Clculo del discriminante:
= (-5)2 4(3)(1) = 13 donde: > 0 Luego, reemplazando en la solucin general:
X = )3(2
13)5(
De aqu: x1 = 6
135 x2 =
6
135
Las races son reales y diferentes.
CASO 2:
Si > 0, las races sern reales e iguales; esto es, una raz real doble.
Ejemplo: Resolver: 4x2 12x + 9 = 0 Solucin:
Anlogamente: = (-12)2 4(4)(9)=0
En la solucin general: x = )4(2
0)12(
De aqu: x1 = x2 = 2
3
CASO 3:
Si
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y = g(x) = 0
Si: f(x) = g(x)...... ( ) Se obtiene la ecuacin cuadrtica:
ax2 + bx + c = 0; a 0
De la igualdad de funciones ( ), se deben calcular aquellos x (x1 y x2) para los cuales las ordenadas de ambas funciones (y1 y y2) son las mismas; es decir, geomtricamente, hallar los puntos de interseccin de las grficas de estas funciones, como se muestra en la figura:
Donde y1 = y2 = 0 y x1 x2 Siendo las abcisas de los puntos de interseccin (x1; 0) y (x2, 0) de las grficas
de f y g, las races de la ecuacin cuadrtica: ax2 + bx + c = 0; a 0 Ejemplo Resolver grficamente: 2x2 x 15 = 0 Solucin: Tenemos la grfica de la funcin cuadrtica
y = f(x) = 2x2 x 15
Las abcisas de los puntos P y Q de interseccin de la grfica de F y el eje horizontal, nos representan las races o soluciones de la ecuacin. Observar que; para:
Y
y =f(x)
y = g(x)
X
(x1,y1) (x2,y2)
Y
y =f(x)
F
P Q X
(-5/2,0) (3,0)
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)0;3(Q
0;2
5P
:puntoslosgeneranSe
0Fy3x
02
5y
2
5x
)3(
7. INTERPRETACION GEOMTRICA DE LA DISCUSIN DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA DE COEFICIENTES REALES.
En la ecuacin cuadrtica: ax2 + bx + c = 0; a 0 sabemos que la naturaleza de
sus races viene dada por el valor del discriminante . Segn esto, geomtricamente, se obtienen grficamente lo siguiente:
CARACTERISTICAS DEL DESCRIMINANTE
COEFICIENTE PRINCIPAL
REPRESENTACIN GEOMETRICA
NATURALEZA DE LAS RAICES
> 0
a > 0 X1 X2 LOS RACES SON
REALES Y DIFERENTES
X1 X2
a < 0 X1 X2
= 0
a > 0 X1 = X 2 LAS RACES SON
REALES E IGUALES X1 = X2 O UNA RAZ
REAL DOBLE a < 0
X1 = X2
< 0
a > 0 LAS RACES SON
IMAGINARIAS Y CONJUGADAS
a < 0
OBSERVACION: Dada la ecuacin cuadrtica con coeficientes racionales:
ax2 + bx + c = 0; a 0
Si su discriminante es un nmero cuadrado perfecto, las races de dicha ecuacin siempre sern racionales. Si no es as, sern irracionales y conjugados. Ejemplo: Resolver: 2x2 x 6 = 0 Clculo del discriminante:
= (-1)2 4(2)(-6)= 49 (cuadrado perfecto) Luego reemplazando en la solucin general:
X = ;)2(2
49)1( de la cual se obtienen:
X1 = 2 x2 = -3/2 Las cuales son nmeros racionales.
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8. PROPIEDADES DE LAS RACES DE LA ECUACIN CUADRTICA (Teoremas de Vite) Si x1 y x2 son races de la ecuacin cuadrtica:
ax2 + bx + c = 0; a 0 Entonces, se verifica las siguientes propiedades: TEOREMA 1: Suma de Races
x1 + x2 = -a
b
TEOREMA 2: Producto de Races
x1 x2 = a
c
TEOREMA 3: Diferencia de Races
X1 x2 = a
Las anteriores propiedades se verifican en una ecuacin cuadrtica con coeficientes de naturaleza arbitraria (reales o complejos). Ejemplo: Si x1 y x2 son races de la ecuacin cuadrtica: 2x
2 + 6x + 3 = 0 Se cumplen las relaciones de Vite:
x1 + x2 = 2
6= 3
x1 x2 = 2
3
Tenemos: = (6)2 4(2)(3)=12; entonces:
x1 x2 = 32
32
2
12
OBSERVACION: Propiedades auxiliares.
TEOREMA 4: (X1 + X2)2 + (X1 X2)
2 = 2(X12 + X2
2) TEOREMA 5: (X1 + X2)
2 (X1 X2)2 = 4X1X2
9. FORMACIN DE UNA ECUACIN CUADRTICA A PARTIR DE SUS
RACES (Teorema Recproco de Vite). Demostracin Inductiva: Sean x1 y x2 las races de cierta ecuacin cuadrtica de incgnita x; es decir:
x = x1 x = x2 Por transposicin de trminos, se tienen:
x x1 = 0 x x2 = 0 Los cuales se obtienen a partir de:
(x x1) (x x2) =0 Efectuando: x2 (x1 + x2)x +x1 x2 = 0 Llamando
a: x1 + x2 = S y: x1 x2 = P
Se obtiene: x2 Sx + P = 0 ....... ( )
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(A esta ecuacin se le denomina cannica, normalizada u ordinaria, debido a que su coeficiente principal es la unidad). Ejemplo:
Formar una ecuacin de segundo grado, cuyas races sean 10
293
10
293
Solucin: Tenemos: Asumiendo que dichos valores son x1 y x2 respectivamente. Calculemos S y
P por separado:
S = 5
3
10
6
10
293
10
293
P = 5
1
100
20
100
293
10
293
10
29322
Aplicando la frmula , se tiene:
X2 - 05
1x
5
3
Que expresa con coeficientes enteros, resulta: 5x2 3x 1 = 0
Ejemplo:
Construir una ecuacin cuadrtica que acepte como races a:
2
i3 (-1 + 2i)
Solucin: Calculando S y P se tienen:
S = 2
i3+(-1+2i)=
2
i51
P = 2
i3(-1 + 2i) =
2
i55
La ecuacin formada, ser:
x2 - 02
i55x
2
i51
La cual reduce a: 2x2 (1 + 5i)x 5 + 5i = 0
Siendo: i = 1 , la unidad imaginaria.
PROBLEMAS RESUELTOS
1. Siendo x1 y x2 las races de la ecuacin:
x2 3x + 1 = 0 Calcular el valor de:
Q = x1 (x12 + 1) +x2 (x2
2 + 1) SOLUCIN: En la Ecuacin: x2 3x + 1 = 0 Por propiedades: (I) x1 + x2 = 3 (II) x1 . x2 = 1
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Elevando (I) al cubo
(x1+x2)3=33 x1
3+x23+3(x1 . x2)(x1+x2)=27
x13 + x2
3+3(1)(3) = 27 x1
3 + x23 = 18
En: Q = x1 (x1
2 + 1) +x2 (x22 + 1)
Q = (x13 + x1) + (x2
3 + x2) Q = (x1
3 + x23) + (x1+ x2)
Q = 18 +3 Q = 21
2. Calcular las races de: 33 x16x72 =2
SOLUCIN: Elevando al cubo:
333 x16x72 =23
72x16+x-3 3333 x16x72x16x72 =8
56 - 3 3 )x16)(x72( 2 = 8
48 = 6 3 2xx881152
Elevando al cubo: 512 = 1152 88x + x2 0 = x2 88x + 640
Luego:(x - 80) (x - 8) = 08x
80x
2
1
3. Resolver x en la ecuacin:
cbax
1
c
1
ba
1
x
1
SOLUCIN: Transponiendo se tiene:
x
1
cbax
1
c
1
ba
1
Efectuando miembro a miembro:
)cbax(x
cbaxx
)ba(c
bac
)cbax(x
)cba(
)ba(c
cba
Simplificando:
)cbax(x
1
)ba(c
1
Entonces: x(x+a+b+c) = -c(a+b) x2 + (a+b+c)x + c(a+b)=0 Factorizando: (x+a+b)(x+c)=0 Luego:
x + a + b = 0 v x +c = 0
x1 = -a b x2 = -c
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ANEXO N04
ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE N07
I. RESOLVER CADA UNA DE LAS SIGUIENTES PROBLEMAS:
1. Resolver la ecuacin: 2235x12x27x12x 22 . Indicando una raz.
2. Calcular m, si las races de la ecuacin: (m+1)x2 2mx + (m-3) = 0. Son iguales.
3. En la ecuacin: bc
a1
b
xa
c
xa
bc
)a2x(x 2Una de las races es.
4. Formar la ecuacin de 2do. Grado cuyas races son:
m33
33x;
m33
33x 21
5. Indicar una de las races de x luego de resolver la ecuacin: 9mx2 + 12(m+1)x + 8 = m3
6. Indicar la suma de las races que admite la ecuacin: 2
5
x2
x6
x6
x2
7. Hallar m en: x2 + 2(m1)x + (m-1)2 = 0 m>1 Si: 11
58
x
x
x
x
1
2
2
1 (x1 y x2 races
de la ecuacin). 8. Siendo x1; x2 las races de la ecuacin: x
2 + 5x + 7 = 0. Determinar: E
= 32
21
22
31
xxxx
9. Formar la ecuacin cuadrtica cuyas races sean 5 veces las races de la ecuacin: 3x2x+1 = 0
10. Si una de las races de x2 + ax + b = 0 es el cubo de la otra hallar: b[(b-1)2+4a2]
11. Determine p+1 tal que la ecuacin en x, 2px2 +4px+5p=3x2+x+8 el producto de sus races sea igual a 2 veces su sumas.
12. Sea la ecuacin ax2 8x + 6=0 encontrar el valor de a para que su
conjunto solucin sea {00
3; rr }
13. Escr ib i r una ecuacin de segundo grado cuyas soluc iones son: 3 y 2.
14. La suma de dos nmeros es 5 y su producto es 84. Hal la dichos nmeros.
15. Dent ro de 11 aos la edad de Pedro ser la mi tad del cuadrado de la edad que tena hace 13 aos. Calcula la edad de Pedro.
II. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES
16. 25x2 - 1 = 0
17. x3 + 10x2 + 25x = 0
18. x3 + x2 - 6x = 0
19. x2 + 2x - 5 = 0 (sugerencia: puede escribirse como x2+2x+1-6=0)
20. x4 + x3 -9x2 - 9x = 0 21. x2 = 81 22. 14x2 - 28 = 0 23. (x + 6)(x - 6) = 13 24. (2x - 5)(2x + 5) - 119 = 0 25. (x + 11)(x - 11) = 23
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26. x2 = 7x 27. 21x2 + 100 = - 5 28. 2x2 - 6x = 6x2 - 8x 29. (x - 3)2 - (2x + 5)2 = - 16 30. (4x - 1)(2x + 3) = (x + 3)(x - 1)
III. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES RACIONALES
31. Desarrollar:
Solucin:
2
1 x
12x 12x2x
Luego: La soluc in es:
A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios
32. 4x
1
2x
1
2x
12
33. 6
13x1
x
3
34. Hal la un nmero entero sabiendo que la suma con su
inverso es 26/5.
35. 09
28
4
322
2
x
x; Solucin: x1=5, x2=-5, x3= 4, x4=-4
36. 32 33
xx
x
x ; Solucin: x1= i, x2= -i,
IV. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES BICUADRADAS
Son ecuaciones de cuarto grado sin trminos de grado impar: ax4 + bx 2 + c = 0 Para resolver ecuaciones bicuadradas , efectuamos el cambio x 2 = t , x 4 = t 2 ; con lo que genera una ecuacin de segundo grado con la incgni ta t : at 2 + bt + c = 0 Por cada valor posit ivo de t habr dos valores de x:
Ejemplo: Solucin:
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Sea: Tenemos:
Entonces:
Luego:
OBSERVACIN: El mismo procedimiento podemos ut i l izar para resolver las ecuaciones del t ipo: ax6 + bx3 + c = 0 ax8 + bx4 + c = 0 ax1 0 + bx5 + c = 0
A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios
37. 06x7x36
38. x4 10x2 + 9 = 0
39. 036x13x34
40. x4 61x2 + 900 = 0 41. x4 25x2 + 144 = 0 42. x4 16x2 225 = 0
V. CALCULAR LAS RAICES DE CADA UNA DE LAS ECUACIONES
IRRACIONALES Para la resoluc in de ecuaciones i r rac ionales se debe tener en cuenta lo s iguiente: 1 Se as la un radical en uno de los dos miembros, pasando al ot ro miembro e l resto de los trminos, aunque tengan tambin radicales. 2 Se e levan a l cuadrado los dos miembros. 3 Se resuelve la ecuacin obtenida. 4 Se comprueba si las soluciones obtenid as ver i f ican la ecuacin inicial . Hay que tener en cuenta que a l e levar a l cuadrado una ecuacin se obt iene otra que t iene las mismas soluc iones que la dada y, adems las de la ecuacin que se obt iene cambiando e l s igno de uno de los miembros de la ecuacin. 5 Si la ecuacin t iene var ios radicales, se repi ten las dos pr imeras fases del proceso hasta e l iminar los todos.
Ejemplo: Desarro l lar 1x3x2
Solucin: 1 Ais lamos e l radical :
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1x3x2
2 Elevamos al cuadrado los dos miembros:
)1()32( 2 xx
1x2x3x22
3Resolvemos la ecuacin:
04x4x2
Es decir :
0)2(x
4Comprobamos:
1232.2
Luego: La ecuacin t iene por soluc in x = 2 .
A partir del ejemplo anterior desarrollar los siguientes ejercicios
43. 24xx
44. 1x3x2
45. x214x5
46. x2111x3
47. 64x1x2
48. 21311 x ; Solucin: x= 2601
49. 11213 xx ; Solucin: x1=1, x2= 5,
50. 4
144
x
xxx
; Solucin: x= 5