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DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL
Ecuación de Difusión 1DDiferencias Finitas
Sesión 1
Armando Blanco A.
2IntroducciónEn el flujo de fluidos encontramos una gran diversidad de procesos y escalas.Transporte por difusión y convección, flujos multifásicos, cambios de fase, reacciones químicas, etc.Este capítulo introductorio se centra en procesos de difusión y permite introducir esquemas numéricos explícitos así como el análisis del error debido a la discretización de las ecuaciones diferenciales parciales.Se aplican conceptos vistos en el curso anterior de métodos numéricos como estabilidad, convergencia y consistencia .Finalmente se culmina con una aplicación que permitirá poner en práctica los conceptos aprendidos.
3
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
4Ecuación de Difusión 1D
2
2
x
T
t
T
Desde un punto de vista numérico, la ecuación de difusión contiene los mismos mecanismos, relativos a la disipación, que se presentan en problemas de flujo de fluidos.Consideremos la ecuación de difusión del calor 1D
Esta ecuación modela el flujo de calor en una columna de sección uniforme, aislada en su cuerpo pero que puede transferir calor a los alrededores a través de sus extremos.
(1)
aislante
aislante
A B
A
A
x
T
T
conocidas
o
B
B
x
T
T
conocidas
o
xTxT 0)0,( Condiciones iniciales
5
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
6Métodos Explícitos: FTCS
Consideremos la discretización explícita en el espacio de esta ecuación. Expresando las derivadas en primer orden en tiempo
3
,
2
22
,
1
!2!1,, tO
t
Tt
t
TttxTttxT
txtx
2
,
2
21
, 2tO
t
Tt
t
TT
t
T
tx
nj
nj
tx
donde hemos retenido el primer término del error. Similarmente, para la discretización espacial en segundo orden tendremos
6
,
5
55
,
4
44
,
3
33
,
2
22
,
1
6
,
5
55
,
4
44
,
3
33
,
2
22
,
1
!5!4!3!2!1,,
!5!4!3!2!1,,
xOx
Tx
x
Tx
x
Tx
x
Tx
x
TxtxTtxxT
xOx
Tx
x
Tx
x
Tx
x
Tx
x
TxtxTtxxT
txtxtxtxtx
txtxtxtxtx
(2)
7Métodos Explícitos: FTCS
42
,
4
42
,
2
2
211
1
,122
2xtO
x
Tx
t
Tt
x
TTT
t
TT
txtx
nj
nj
nj
nj
nj
Sumando estas dos ecuaciones y cambiando la notación a índices tenemos
Definiendo
(5)
4
,
4
42
211
,
2
2
12
2xO
x
Tx
x
TTT
x
T
tx
ni
ni
ni
tx
(3)
Con (2) y (3) en (1) obtenemos
(4)
2x
ts
Término principal del error
Expresión discreta
8Métodos Explícitos: FTCS
obtenemos de (4)
(6)
Este esquema se denomina FTCS (Forward Time Centred Space).
nj
nj
nj
nj sTTssTT 11
1 )21(
n
n+1
j-1 j+1j
Este esquema es de dos niveles (n, n+1). En consecuencia, los valores de T del nivel n deben ser almacenados para poder calcular los valores en el nivel n+1.
9
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
10Estabilidad FTCS
Hagamos un análisis de estabilidad de von Neumann.
Analicemos el crecimiento de una perturbación. Para ello consideremos que podemos escribir la solución aproximada añadiéndole un error “espontáneo” de manera que la solución a (6) incluya ahora el error en cada nodo j en el tiempo t
njnj
nj TtxTe -, (7)
Tendremos entonces
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj
nj eTseTseTseT 1111
11 21 (8)
Obteniendo al restarle a (8) la ec. (6)
nj
nj
nj
nj seessee 11
1 21 (9)
Luego, la ecuación discretizada de la perturbación es la misma que la de la Temperatura.
11
Estabilidad FTCS
Consideremos que el error se expresa en términos de los componentes de Fourier de esa función y de un factor de amplificación en el tiempo. Luego podemos escribir
donde G se interpreta como el factor de amplificación en el tiempo para esa componente de Fourier. Tendremos que la relación
(11)
(10) )exp( jiGe nnj
GjiGjiG
e
en
n
nj
nj
)exp()exp(11
Luego, si |G|>1 entonces la perturbación crecerá en el tiempo mientras que |G|1 implica que ésta se atenuará. En consecuencia, |G| nos permitirá determinar bajo que condiciones el esquema propuesto es estable.
12
Sustituyendo (10) en (9) tendremos
(12) 1exp
exp211exp)exp(1
jisG
jiGsjisGjiGn
nnn
Estabilidad FTCS
Despejando G de (12) llegamos a
Simplificando
)exp(21)exp( issisG
1expexp211exp)exp( jisjisjisjiG
13
Luego,
isinssisinsG cos21cos
cos121cos221 sssG
Utilizando que
2cos1
22 sin
Estabilidad FTCS
Llegamos a
G es el factor de amplificación del error y su módulo debe ser menor a 1 para que el esquema sea estable.
241 2 ssinG (13)
14
Imponiendo la condición de estabilidad tendremos que
Luego, para todo
Estando la función
(14)
12
41 1 2 ssinG
12
411 2 ssin
12
0 2 sin
Estabilidad FTCS
Llegamos a que, para verificar (14) para todo necesitamos que
(15)21s Condición de estabilidad para el esquema FTCS
15
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
16
Analicemos el término principal del error
entonces
Precisión FTCS
42
,
4
42
,
2
2
,122
xtOx
Tx
t
TtE
txtx
Puesto que
2
2
x
T
t
T
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
T
xt
T
xx
T
tt
T
tt
T
4
42
2
2
x
T
t
T
(16)
(17)
17
Con (17) en (16) llegamos a:
Precisión FTCS
42
,
4
42
42
,
4
4
22
42
,
4
42
,
4
42
42
,
4
42
,
2
2
,6
1
2
1
,6
1
2
1
,122
,122
xtOx
TsxE
xtOx
T
x
txE
xtOx
Tx
x
TtE
xtOx
Tx
t
TtE
tx
tx
txtx
txtx
(16)
En consecuencia, para s=1/6 el término dominante del error, de orden (Δt,Δx2) se anula y el esquema es preciso en orden (Δt2,Δx4)
18
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
19Análisis del Error
2
2
x
T
t
T
Consideremos la solución numérica de la ecuación de difusión del calor 1D
utilizando el esquema FTCS, en la situación siguiente:
aislante
aislante
A B
100AT 100BT
1,0 ,0)0,( xxT
cuya solución analítica es:
01.0
1
120
22
12sin12
141
m
tmexmm
TT
20Análisis del Error
25.001.0
1.025.0
22
x
st
Utilicemos s=0.25 y 11 nodos. Entonces tendremos que Δt viene dado por:
Los resultados para t=0,1,2,…10 se ilustran en la gráfica siguiente:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
T
T FTCST exacta A primera impresión, una excelente concordancia
entre la solución numérica (azul) y la exacta (verde) se aprecia en la figura.
21Análisis del Error
0.08261
2
nx
TT
RMS
nx
j
jnumexacta
El error RMS en t=10 es dado por:
En el caso anterior, la contradicción entre la condición inicial (T=0) en todas partes, y la condición de borde fue ignorada. Con la finalidad de darle peso a ambas condiciones, supongamos que en t=0 hacemos:
0.0461
nx
TT
RMS
nx
jjnumexacta
052
0 010
TTT xx
Repitiendo el cálculo anterior obtenemos:
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
x
T
T FTCST exacta
22Análisis del Error
El error RMS se reduce sustancialmente. En consecuencia la imposición más “real” de la condición de borde permite obtener resultados más precisos.Analicemos el efecto de la condición inicial en la tasa de convergencia. Para ello, manteniendo el valor de s constante, consideremos tres mallas, variando la cantidad de nodos en dirección x, de manera que el espaciamiento se reduzca a la mitad de manera sucesiva. Tendremos,
2r
3.2r
Cond. Borde “promedio” presenta:•Mayor precisión•Mayor tasa de convergencia
23Análisis del Error
Examinemos el caso s=1/6 para el cual la precisión esperada es de orden Δx4
2r
9.3r
Únicamente la Cond. Borde “promedio” presenta:•Precisión de orden 4El error cometido al “degradar” la condición de borde se propaga y perturba toda la solución en el tiempo
24
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
25Ec. de Dif. 1D: Esquema de DuFort-Frankel
La búsqueda de esquemas más precisos en el tiempo llevó a Richardson a plantear el esquema:
222
1111
,2
2xtO
x
TTT
t
TT nj
nj
nj
nj
nj
No obstante, un análisis de estabilidad de von Neumman muestra que este esquema es incondicionalmente inestable para s>0.Sin embargo, un esquema estable, conocido como DuFort-Frankel puede ser obtenido si se sustituye
2
11
nj
njn
j
TTT
(17)
(18)
en (17) para obtener
2
111
111
2 x
TTTT
t
TT nj
nj
nj
nj
nj
nj
26Ec. de Dif. 1D: Esquema de DuFort-Frankel
Esta expresión, con la definición de s puede ser escrita como:
(19)
El esquema Dufort-Frankel es un esquema de tres niveles en el tiempo a menos que s=1/2.
111
1
2121
212
n
jnj
nj
nj T
ss
TTs
sT
n
n+1
j-1 j+1jn-1
En consecuencia, (a)dos niveles de tiempo deben ser almacenados (n, n-1) para calcular el nivel siguiente (n+1) y,(b)mucho cuidado debe tenerse en el cálculo del primer nivel.
27Ec. de Dif. 1D: Esquema de DuFort-Frankel
Un análisis de estabilidad muestra que en el caso del esquema de DuFort-Frankel, el factor de amplificación del error es:
s
ssG
21
sin41cos2 22
En consecuencia, este esquema es estable para cualquier valor de s.Adicionalmente, el término principal del error se escribe como:
(20)
(21)
Por lo que el esquema es de orden Δx4 cuando s=(1/12)1/2.
4
422
12
1
x
TsxE
28Ec. de Dif. 1D: Esquema de DuFort-Frankel
A pesar de las bondades del esquema de DuFort-Frankel (explícito, independencia del valor de t, alta precisión espacial), debe tenerse cuidado en su utilización. Un análisis de consistencia (sustitución de la expansión de la solución exacta en serie de Taylor alrededor del nodo j,n lleva a:
En consecuencia, para consistencia del esquema con la ecuación diferencial
(22) 0, 222
22
2
2
xtOtT
xt
xT
tT
n
j
0
xt
cuando x 0 y t 0, debemos garantizar que
xt
29Ec. de Dif. 1D: Esquema de DuFort-Frankel
De la definición de s podemos ver que:
En problemas de difusión esperamos que s sea O(1) por lo que el esquema será poco preciso si st es grande.Luego la restricción en el paso de tiempo del esquema de DuFort-Frankel está relacionada mas con la consistencia y precisión que con la estabilidad del esquema.
(23)tsxt
txt
xt
s
2
2
2
2
2
1
30
Ecuación de Difusión y problema base
Formulación del método explícito FTCS
Análisis de estabilidad FTCS
Precisión FTCS
Análisis de errores
Esquema de DuFort-Frankel
Aplicación
31
AplicacionesEjercicio 1:Obtenga las tendencias de los resultados mostrados para el esquema FTCS con s=0.30 y 0.41.Usted utilizará estos resultados para compararlos con los obtenidos en el ejercicio 2.
32
AplicacionesEjercicio 2:Realice el análisis de la tasa de convergencia del esquema de DuFort-Frankel considerando la ecuación de difusión del calor para una barra 1D, con temperatura T=100 en los bordes, entre los instantes t=2 y t=10, imponiendo la condición inicial a partir de la solución analítica :
•Grafique el error RMS y DIF en función del tiempo con s=0.25, s=(1/12)1/2, s=0.30 y s=0.41 y compare con FTCS.
•Estudie el efecto de incrementar el paso de tiempo para una malla con espaciamiento espacial fijo.
1
120
22
12sin12
141
m
tmexmm
TT
nx
TT
DIF
nx
jj
nn
1
21
33
AplicacionesEjercicio 3:Consideremos el flujo que se origina por la oscilación armónica de una placa infinita paralelamente al plano que la contiene, con las condiciones
Las ecuaciones de Navier-Stokes se reducen a
La solución analítica viene dada por:
x
y)cos(),0( tUtu
2
2
y
u
t
u
finitatyu ),(
ytUetyu
yn
2cos),( 2
34
AplicacionesEjercicio 3:Resuelva numéricamente este problema utilizando el esquema FTCS, considerando los siguientes valores:
U=1; = 10; =1; Δt=0.003; Δy=0.4; tmax=20;
a)Determine la influencia de la ubicación de la frontera y= en el error RMS para t=1
b)Calcule Δt a partir de la condición de estabilidad y determine el valor RMS del error para t=1 para s=0.25 y s=(1/12)1/2
c)Grafique el valor del error del esfuerzo cortante en la pared (suponga =1) para tres mallas distintas con Δy=0.4; 0.8 y 1.6.
35
DINAMICA DE FLUIDOS COMPUTACIONAL
Ecuación de Difusión 1DDiferencias Finitas
Sesión 1
Armando Blanco A.