Matematik ve Bilim

SEVDİM

SENİ MATEMATİK Beynimdeki Garip Denklemler

Mushab Bedirhan Andız ALTIN NOKTA YAYINEVİ

İZMİR - 2017

Copyright© ALTIN NOKTA BASIM YAYIN DAĞITIM

ISBN 978-605-5255-98-5

Sevdim Seni Matematik Beynimdeki Garip Denklemler

Mushab Bedirhan Andız

Bu kitabın her hakkı saklıdır. Tüm hakları ALTIN NOKTA YAYINEVİ’NE aittir. Kısmen de olsa alıntı yapılamaz. Metinler, kitabı yayımlayan ku-

rumun önceden izni olmaksızın elektronik, mekanik, fotokopi ya da

herhangi bir kayıt sistemiyle çoğaltılamaz, yayımlanamaz. Kitapta yer

alan metinlerin sorumluluğu tamamen yazarına aittir.

Genel Yayın Yönetmeni

Halil İ. AKÇETİN

Kapak-Dizgi

Altın Nokta Dizgi-Grafik

Yayın - Dağıtım ALTIN NOKTA BASIM YAYIN DAĞITIM BİLİŞİM

859 Sk. No:1/Z-4 Konak / iZMiR

Tel/Faks: +90 (232) 441 25 95 / +90 551 402 79 20 www.kitapana.com.tr / www.altinnokta.com.tr

www.nokta2000.com

kitapana@kitapana.com.tr - nokta@nokta2000.com

altinnokta@altinnokta.com.tr

Baskı

KANYILMAZ MATBAA

Sanat Cad. 5609 Sk. No:13 Çamdibi İş Merkezi

Bornova / İZMİR Tel: 0 (232) 449 14 43

Birinci Basım Ekim - 2017

ÖN SÖZ - TEŞEKKÜR

Mühendis Beyinler ortamında yazdığım yazıların bir kısmını okuyucuyu

sıkmadan toparlamak istedim. Genel matematik, matematik tarihi ve

matematiğin eğlenceli yüzünü bu kitapta bulabilirsiniz. Kitabın bu kadar

ince olması sizin şevkinizi hiç kırmasın. Uzun kitaplar kadar sizi içine çe-

kecek ve heyecandan kalbinize ağrılar girecektir. Bu kitap bir seri biçi-

minde devam edecek olup ilk kitap olarak sizlerin beğenisine sunduk.

Matematiğin içindeki heyecanlı anları sizlerle buluşturduk. İlköğretim ve

Lise öğrencileri için yazılar dillerine uygun hazırlanmış olup üniversite

öğrencileri için dil daha basit gelebilir. Yazıların başlığına ilişkin her-

hangi bir ipucu verilmemiş olup okurun ilgisi dâhilinde araştırma yap-

ması beklenmektedir. Oğuzhan Mallı ve Furkan Gümüş’e yaptıkları tüm

bilimsel çalışmalardan dolayı en içten sevgilerimi gönderiyorum. Onla-

rın sayesinde yazılarımda üretkenliğim kademelerce yükseldi. Verdikleri

destek ise hiç yadsınamaz düzeyde…

Kitabın sıkılmadan okunması için okurun mutlaka yanında kahve ya da

çay bulundurmasını tavsiye ediyorum. Kitaptan bir cümle ile etkilenip

matematikçi olma yoluna koyulan genç bilim severlerin ise yollarından

hiçbir zaman şaşmamasını temenni ediyorum. Hayatta tek amacım ise

matematiği insanlara sevdirmek, bu bilimin büyüsünden vazgeçmemeyi

defalarca anlatmaktır. Özellikle bana fonksiyonlarının gizemli dünyasını

bastıra bastıra anlatmaya çalışan matematikçi Hasan Güveli’ye, destek-

lerini esirgemeyen Zeynep Seçkin’e teşekkürü borç biliyorum…

İÇİNDEKİLER

Matematikçi Olmanın Hazzı ................................................................................. 5

Matematiksel Belirsizlikler ................................................................................... 7

Matematiğin Doğası ............................................................................................. 9

Mühendislerin Olmazsa Olmazı: Diferansiyel Denklemler............................... 12

Matematiğin Gizemli Dünyası: Asal Sayılar ........................................................ 14

Matematiğin Babası: Leonhard Euler ................................................................. 17

Modern Matematiğe Giriş: Kümeler Teorisi ...................................................... 23

Kaos Teorisi ve Matematiksel Tabanlar .............................................................. 26

Matematik ve Düşünce Delikleri ........................................................................ 29

Andrew Wiles ve Fermat’ın Meşhur Teoremi .................................................... 31

Sayılara Hükmeden Matematikçi: C. F. Gauss ................................................... 35

Depremin Arkasındaki Matematik ...................................................................... 40

Evren ve Matematik .............................................................................................. 43

İki Kardeş: Mühendislik ve Matematik ................................................................ 46

Sonsuzu Anlamak: Hilbert’in Sonsuzluk Oteli .................................................... 49

Matematiğin Dönüm Noktası: Gödel ve Eksiklik Kuramı .................................. 51

Olasılık ve Sonsuz Deneyler ................................................................................ 54

Matematiksel Oyunlar ve Zeka ............................................................................ 57

Erken Ölüm ve Dahi: Evaristo Galois ve Gruplar Kuramı ................................. 59

Riemann Geometrisinin Cilvesi ........................................................................... 63

Doğanın Matematiği: Fraktal Geometrisi........................................................... 65

Ali Kuşçu ve Matematiğe Katkıları ...................................................................... 70

Hayatımızın Baş Belası: Uğursuz Sayılar ............................................................. 73

Topolojinin Doğuşu ve Köningsberg Problemi ................................................ 79

Serilere Giriş: Sonsuza Giden Üçgenler ............................................................. 82

Sabun Köpüğündeki Matematik ......................................................................... 84

Möbius Şeridi & Matematiksel Görünmezlik ..................................................... 86

Klein Şişesi ve İllüzyon .......................................................................................... 89

3 Boyuttan Daha da Öte ...................................................................................... 93

Alice ve Lewis Carroll: Başucu Problemim ......................................................... 96

Sonsuzluk Sandığımızdan Daha Zor ................................................................... 100

Matematik Felsefe Okulunda Bir Kol: Sezgiciler ............................................... 102

İki Matematikçi: Ramanujan ve Hardy ................................................................ 105

Milenyum Problemi: Riemann Hipotezi............................................. ................. 108

Kaynakça . ............................................................................................................. 112

MATEMATİKÇİ OLMANIN HAZZI

Matematik? Kimilerine göre baş belası kimilerine göre aşk, heyecan ve serüven. Bilhassa kendini matematikçi hisseden herkes ikinci kısımdaki duyguların benzerlerini yaşar. Sakın yanlış anlamayın bizim gibi derin matematik ile ilgilenen kimseler gerçek matematikçidir demek ya da matematikte doktora yapmayan kimseler matematikçi değildir demek yanlış hatta yasaktır. Bu söyleme bağlı olarak her matematik problemi çözen kimse de matematikçi değildir.

Matematikçi olmak öyle kolay bir durum değildir. Matematiksel ifadele-ri kendine uyarlamak onlardan bir çıkarım yapmak esastır doğasında. Bazen saatlerce bazen haftalarca bazen de yıllarca araştırma yapmak bir şeyler ortaya koymak bu durumu açıklar niteliktedir. Kendini bilimin içinde bulan ya da bilimsel aktiviteler yapan her insan araştırma yapar. Matematiğin cilvesi de olmaz mı? Masanın başında bir teoremin kanıtını anladığınızda ya da kendiniz ispatladığınız da (Doktora düzeyinde) he-yecandan uyuyamazsınız ki bizler böyleyiz. Makale yazmak için girilen çabalar uykusuz günler ya da beyinin ısınması tabiri daha doğru olacak-tır ki çok çalışmaktan kaynaklanan bir takım hastalıklar hepsi gülün di-keni sanki…

Matematikçi olmak isteyenler varsa çok açık söyleyebilirim ki aşırı heye-canlı bir bilim dalı. Eğer heyecanlanma konusunda uzman değilseniz sizi kendinizden alabilir. Benim pek uzman olduğum söylenmez, ilk teore-mimi kanıtladığım zaman bütün çalışma kağıtlarımı odanın her tarafına fırlatmıştım. Sakın yanlış anlaşılmasın matematikçi dediğin çalışmalı, çaba-

Sayfa 5

Beynimdeki Garip Denklemler

lamalı ve saatlerce düşünmelidir. Zaten en zor şey düşünmek eylemini gerçekleştirmektir. Matematiği zor kılan şey de bu zaten. Ayrıca genelde duyarız; “Matematik basit de çalışılırsa yapılır” sözü dünyanın en yalan şeyidir.

Matematik bilimlerin anası babası her şeyi…. Bazen öyle durumlarla karşı karşıya geliyoruz ki bir teoremi anlamak için 5-6 araştırmacı gün-lerce o yargıyı anlamak için deveye ip atlatıyoruz. Tabi tanıdığım ne ka-dar çok dahi varsa günün 14 saatini çalışarak harcıyorlar. Mükemmel bir beyin, konu hakimiyeti, alanlarında bir sürü makale ama yine çalışıyorlar ve biz de soruyoruz neden bu kadar çalışma? Net cevapları var: “Heye-can olmadan yaşam olmaz, içimizdeki heyecanı sıcak tutmamız gerek” şeklinde bir cevap alıyoruz. Eğer içinde en ufak bir şüphe varsa ve ma-tematikçi olmak nasıl bir duygu diye bir düşüncen varsa mutlaka iç sesi-ni dinle! İnsan mutlu olacağı mesleği seçmeli para pul hepsi gelip geçici dünyevi şeyler. Bu yazının nasıl biteceği konusunda şüpheniz varsa ünlü Matematikçi Poisson’nun müthiş sözü ile bitirmek istiyorum:

“Hayat sadece iki şey için güzel; Matematiği keşfetme ve öğretme”

Sayfa 6

Beynimdeki Garip Denklemler

MATEMATİKSEL BELİRSİZLİKLER

Matematiksel bilimler ya da doğa bilimlerinde “çıkmaz, kestirim ya da belirsizlik” ifadeleriyle çokça karşılaşmışızdır. Yüzyıllardan beri matema-tikçilerin yaptığı çalışmalar sonucunda bir türlü açığa çıkaramadığı ya da bir türlü veri elde edemediği bazı belirsizlikler vardır. Bu yazıda sadece iki en önemli çıkmazdan bahsetmek istiyorum. Ama bir matematikçi olarak şunu açıkça belirtmeliyim ki insanoğlu için bu bilinmeyenler her zaman heyecan vermiştir ve vermeye de devam edecektir.

İlk olarak sizlerle nokta kavramını tartışalım. Nokta ne demek? Ne anlam ifade eder? Hemen hemen matematik kitaplarında şu tanım ile karşılaşı-rız: “Kalem ucunun kağıda bıraktığı iz.” Sizce bu tanım doğru mu? Ya da doğruysa ne kadar doğru? Biz matematikçiler olarak noktayı tanımla-maktan çekiniriz. Daha doğru söyleyişle noktanın gerçek bir tanımı yok-tur. Belirsizlik olarak bunu kabul eder misiniz bilmiyorum ama asıl heye-can verici şey şudur:

Öklid 5 postulat’ını tanımlarken nokta kavramının ne olduğuna değin-memiştir. Museum’da dersler gören kadın matematikçi Hypatia nokta ile ilgili şu teoremi vermiştir: “Nokta boyutsuzdur.” Çok açık ve net….

Sayfa 7

Beynimdeki Garip Denklemler

Noktanın boyutsuz olduğunu geometriciler (Öklid ve Riemann geomet-ricileri de dahil) kabul ediyor. O yıllardan beri sorgulansa da nokta bo-yutsuz olarak kabul ediliyor. Peki “doğru” dediğimiz ve geometride ol-mazsa olmaz tek boyutlu şekil. Noktalar birleşimi ile doğruyu oluşturur. Milyonlarca nokta düzlem üzerinde kaynaşarak doğruyu oluşturur. Peki soru şu: “Boyutu olmayan noktalar birleşerek nasıl boyutu olan doğruyu (tek boyutlu) oluşturur?”

Bu noktada paradoks ile ilgili şu çözüm yolu karşımıza çıkıyor. Nokta boyut ötesi bir izlenimdir. Boyut ötesi de ne demek? Boyut ötesi meka-nik ve kuantum fiziğinde boyutu soyutlanmış yani kaç boyutlu olduğu bilinmeyen öklid nesneleridir. Bu matematiksel paradoks, ama fizikçile-re göre doğru! Fiziksel anlamda bu noktaların birleşmesi ile doğru oluşması mümkündür. Kum paradoksu bunların en güzel ve önemli ör-neğidir. “Kumsalda bulunan milyarlarca kum tanesi birleşerek bir biri-kinti, koy, sahil oluşturur. Ama kum tanesinin boyutu yok. Boyutu olma-yan şeyden yan yana, üst üste koyarak nasıl boyut oluşturulur ki?

Ünlü ressam ve matematik düşünürü Escher matematik ile diğer tüm bilimlerin ayrı tutulması görüşünde. Onun yaptığı tüm çalışmalar mate-matiksel ahenk ve bir uyum içindedir. Noktanın matematik ile ilgili bir kavram olup olmadığı tartışmaya açık bir konu olduğuna değinmiştir. Biz matematikçiler derin düşünceler ile bu ve buna benzer çıkmazların üzerinde düşüne durmaktayız yüzyıllar boyunca.

Sayfa 8

Beynimdeki Garip Denklemler

MATEMATİĞİN DOĞASI

Matematik evrensel bir dildir. Dünyanın neresine giderseniz gidin bu dil hep aynı kalacaktır. Matematik diğer tüm lisan dilleri gibi hep gelişmek-te ve gelişiminin sonunun olmayacağı tahmin edilmektedir. Bu tanım bazı ekol matematikçilerin tanımıdır.

Bir de şu tanım vardır: “Matematik, tanrının doğaya bıraktığı izlerdir.” Bu tanım bize matematiğin doğada olduğunu, bulunduğunu söyleyen bir cümledir ki doğruluğu kesindir. Peki doğada matematik var mı?

Detaylı olarak bu yazıda anlatmam mümkün değil, fakat dış hatları ile size anlatmaya çalışacağım. Doğada bulunan hayvanlarda bir kaç örnek-le başlayalım. Bir sığırın ağırlığı matematiksel modelleme ile hesapla-nabilir. Göğüs çevresinin karesi ile yerden yüksekliği ve 87.5 katsayısını çarptığımız zaman o sığırın ağırlığını bulmaktayız ki bu tüm büyükbaş hayvanların hemen hemen ağırlığını hesaplamaya yardım etmektedir. Ama kantar veya ağırlık ölçme araçları çıktıktan sonra mertlik bozuldu. Diğer bir husus eski Hindistan’dan gelen bir hesaplama tekniğidir ki çok şaşırtıcıdır.

Fillerin ayaklarının yuvarlak olduğunu ve dairenin çevresi ile ayak çev-resinin ölçülmesi ile elde edilen uzunluğun 2 katı kadar yüksekliğe sahip olduğunu bazı kaynaklarda belirtmişlerdir. Altın Oran’ı bilmeyen yoktur. Salyangozların kabukları meşhur altın oran kalıbı ile hazırlanmış bir tasa-rımdan ibarettir. Ayrıca geceleri ses çıkaran ve halk arasında cırcır bö-ceği olarak bilinen böceğin sesinin titreşim uzunluğunun 0.3 katı kadar sıcaklık değişiminin hesaplandığı ve şayet hava sıcaklığı artarsa ses çı-karma aralığının da sıklaştığı biyologlar tarafından ispatlanmıştır.

Altın oran konusuna değinmek istemiyorum bu yazıda. Nedeni ise Altın oranın öyle hafife alınacak bir konu olmamasıdır. Deniz yıldızlarının için-de bulunan kentris denilen zar mikroskopta incelendiğinde fraktal de-diğimiz iç içe geçmiş ve her şekil bir önceki şeklin aynısı olacak şekilde sonsuzluk içeren bir kavramsal yapının olduğu görülmüştür.

Sayfa 9

Beynimdeki Garip Denklemler

Fibonacci dizisinin ne olduğunu biliriz. Matematiksel olarak bir teorem yazmayacağım sadece her terim kendinden önceki iki terimin toplamı olan ve bölümlerinin limitleri altın oran olan ve Fi sayısını veren bir arit-metik dizidir. Işığın bir yüzeyinde yansıyan ışıklar tek ışık için 1, iki ışık için 1, üç ışık için 2, dört ışık için 3, beş ışık demeti için ise 5 adet yansı-

Sayfa 10

Beynimdeki Garip Denklemler

ma yüzeyi oluşturmuştur ki bu n tane ışık demeti için de hesaplamaya olanak sağlamıştır.

Ayrıca Mayoz bölünmede gerçekleşen bölünme biçimi bir matematiksel modelleme ile gösterilir. 2n kromozomlu olan bir hücre mayoz bölünme geçirdiği zaman 4 adet n kromozomlu hücre oluştuğu gibi mitoz bö-lünme için de 2 tane yeni hücre oluşacağını biyologlar söyler.

“Matematik günlük hayatta hiçbir işime yaramıyor” diyen insanlara sesleniyor bu yazı. Şayet öyle bir düşüncesi olan varsa düşüncesini devam ettirmeye çalışmasın mazallah günah olabilir! Fraktal konusunda yukarıda birkaç şey açıklamamıza örnek olarak 1975 yılında Matematikçi Mandelbrot bu teoriyi ortaya attıktan sonra Akışkanlar Mekaniği, Fizikokimya ve Matematiğin araş-tırılmaya ve gelişimine önemli derecede katkı oluşmuştur. Bugün birçok tarihi yapılarda matematiksel fraktalları görmek mümkündür. Matematik sanattır kelimesinin ana felsefesini doğuran şeylerden yalnızca bir tanesi budur. Doğanın en çok çalışan hayvanlarından arılar tam bir matematik pro-fesörleridir. Yaptıkları petekler en az şekilde ve tasarrufu güçlendirmek ama-cıyla peteklerini altıgen yapmaktadırlar. Bu durum bilim tarafından hayretle karşılanmaktadır. 70 derecelik bir açı ile ballarını dökerlerken bu oran mili-metrik hesaplar sonucunda hesaplanmaktadır. Matematiksiz bir evrende sadece kaos olurdu ve yaşam çok güç olabilirdi.

Sayfa 11

Beynimdeki Garip Denklemler

MÜHENDİSLERİN OLMAZSA OLMAZI: DİFERANSİYEL DENKLEMLER

Başlığı görünce matematik okuyan kişilerin pek ilgili olduklarını ve ça-lışmaktan zevk alanların bir hayli yüksek olduğunu ne yazık ki söyleye-ceğim. İstisnaları göz ardı edelim. Diferansiyel denklemler özellikle ma-tematikte ve mühendislikte vazgeçilmez yeri olan bir branştır.

Diferansiyel denklemleri anlamak bir problem olduğu gibi denklemler üzerinde kestirim ve çözüm yapmak bir hayli güçtür. 18. ve 19. yy’da matematiksel analizin gelişimi bilhassa türevin ve kısmı integrasyonun bulunması diferansiyel kavramının gelişimine yol açtı. Euler ve Bernoulli bu ekolün yadsınamaz temsilcilerindendirler. Daha çok uygulamalı ma-tematikçilerin çalıştığı konuların başında gelse de profesyonel anlamda matematik ile uğraşan herkes diferansiyel denklemler ile haşir neşir ol-muştur.

Bugün bilinen ve günlük hayatımızda işimizi kolaylaştıran makinelerin prensipleri klasik diferansiyel denklemler ile düzenlenmektedir. Dife-ransiyel denklemler klasik ve modern şekilde ikiye ayrılsa da bazı ma-tematikçiler bu dönemlerin olmaması tarafında…

Sayfa 12

Beynimdeki Garip Denklemler

Mühendislik ve matematikçilerin ortak konusu olması diferansiyel denk-lemlerin gelişimini hızlandırdı ve yeni sorular, denklemlerin üretilmesine neden oldu. Uzay bilimlerinde dünya yörünge dışına atılan uydular ve hava araçlarının birçoğu bu denklemlerin oluşturduğu çözümler sonu-cunda oluşmaktadır. 18. yy ve gelmiş geçmiş en iyi ve en üretken ma-tematikçi olan Leonhard Euler, akışkanlar mekaniğini analiz konularının parçası yaparak diferansiyel denklemler ile ilgili 100’e yakın açıklama getirmiştir.

Bugün denizaltı araçlarının basınç ve derinlikle ilgili çalışmalarının bir çoğu bu branşın çalışmaları arasında incelenmektedir. Denizaltı araçla-rının suyun ne kadar derine ineceği konusunda sizlerinde bir fikri olaca-ğı yönündeyim. Tarihte matematiksel olarak bilim yapmayan devletlerin bu girişimleri patlamalarla sonuçlanmıştır.

Fizikçilerin daha çok ilgilendiği katı hal fiziği başlı başına diferansiyel denklemler ile yoğrulmuş bir alt daldan başka bir şey değildir. Isı, sıcaklık ve fazlar ile ilgili yapılan deneyler bazı denklemlerin doğmasına neden olmuştur. Bu denklemler de bazı parametrelere bağlı olarak diferansiyel denklemlerin bazı eliptik denklemlerinin ortaya çıkmasına neden olmuş-tur. Diferansiyel ve Analiz’in babalarından Euler (detaylı bilgi için mate-matik tarihi notlarına bakınız) diferansiyel denklemler ve akışkanlar meka-niği ile o kadar eser bırakmıştır ki yayınladığı eserler ölümünden sonra bile yayınlanmaya devam etmiştir. Matematiğin günlük hayatta nerede kullanıldığı kişiden kişiye göre değiştiğini söylemekten kaçınmayalım. Matematiğin alt dallarından olan bu branş fizik ile harmanlanınca çok önemli uygulamaları olan bir uğraş haline gelmektedir. Bazı bilinen dife-ransiyel denklemler analiz branşında çözülemeyen problemlerin varlığın-dan doğmuştur. Bilhassa Bernoulli ve Jacobi ortak notasyonlar ve çalış-malar sürdürerek ileri dönüm noktaları için zemin hazırlamıştır. Ve bize düşen en önemli görev ise, bilimi her okuyuşta onları derin bir saygı ile yad etmektir.

Sayfa 13

Beynimdeki Garip Denklemler

MATEMATİĞİN GİZEMLİ DÜNYASI: ASAL SAYILAR

Asal sayılar denildiği zaman hemen hemen herkesin kafasında bir tanım oluşmuştur. Bu yüzden asal sayılar için şu bu gibi tanım yapmak istemi-yorum. Bu yazıda biraz daha derinlere dalmak istiyorum. Asal sayılar eskilerden beri sadece matematikçilerin değil tüm insanların ilgisini çekmiştir ki bu sadece bilim ile uğraşan insanlardır. Bir sayının asal sayı olup olmadığını anlamak için herhangi bir formül yoktur. Bu formül de-diğimiz denklem biçiminde matematiksel bir terimden başka bir şey değildir. Asal sayıları hesaplamak için kullanılan bilgisayarlar artık ilgi ve alakadan bıkmış olması gerek ki bazı bilgisayarlar maalesef hesaplama sırasında bazı hatalar ve çöküşlere maruz kalmaktadır. Bu sayılar için 300 basamaklı olarak hesapladığım bir asal sayıyı sizlere vereyim.

303956878386401977405765866929034577458793993314348263094772646453283062722701277632936616063144088173312372882677123879538709400158306567338328279154499698366071906766440037074217117805690872792848149112022286332144876183376326512083574821647933992961249917319836219304274280243803104015000563790123

Asal sayıların tarihi matematiğin tarihi kadar eskidir. Meşhur Keops Pi-ramidinin incelenmesi sırasında bazı bulgulara rastlanması piramitlerin de inşa edildiği yılların göz önüne alınmasıyla geçmişinin köklü olduğu bilmekteyiz. Asal sayılar genelde herkes tarafından bilinen Öklid’in Ele-mentler kitabında da bulacağınız “Asal sayılar sonsuzdur” ibaresinin ispatını olmayana ergi yöntemi ile vermiştir. Bu ispatı vermek istemesem de okuyucunun konu hakkında daha derin düşüncelere sahip olmasını sağlamak için ön koşul olarak verelim.

Kanıt: Matematikte kullanılan ispat yöntemlerinden olmayana ergi yön-temiyle sonuca ulaşmaya çalışalım. Diyelim ki asal sayılar sonlu olsun. Bu sonlu asal sayı dizisinde n tane eleman olduğunu farz edelim. Bu sayıların hepsi sırasıyla;

P1 , P2 , P3 … Pn olsun. Bu durumda P1 = 2 , P2 = 3 , P3 = 5 …. olur.

Şimdi tüm asal sayıları çarpıp, bu çarpıma 1 ekleyelim. Oluşan sayıya A diyelim;

Sayfa 14