Marcos Vílchez Macurí

Sexto Grado de Primaria

Libro de Consulta

MATEMÁTICA

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

Nevado HuandoyHuaraz - Perú

Este libro pertenece a:

Nombre: ........................................................................................

I. E. : .................................................................................................

Grado: .................................... Sección: ....................................

Dirección: ......................................................................................

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Divertinúmeros es una obra del área de Matemática, cuya pro-puesta está dirigida al desarrollo de hábitos de pensamiento, de la capacidad creativa y del descubrimiento de los conceptos de "orden" y "medida". Su contenido tiene la finalidad de elevar el nivel matemá-tico de los estudiantes de primaria, así como brindar al profesor una guía pedagógica para el arte de enseñar matemática.

Es preciso mencionar que en esta serie se ha seguido el orden del programa oficial; sin embargo, se han agregado otros componentes del área como proposiciones (lógica), álgebra, geometría, estadística, probabilidades y trigonometría, desarrollados en forma secuencial y considerando la capaci-dad mental de los alumnos de los diferentes grados de estudio.

Respecto al contenido, cada unidad se inicia con una portada referida al tema a tratar, la misma que el niño deberá observar e interpretar para respon-der a las preguntas propuestas.

En las obras de esta serie nos hemos propuesto brindar al profesor y pa-dres de familia las herramientas necesarias para que el niño o niña puedan entender la matemática y cultiven "el arte de ver con los ojos de la mente", poniendo así en juego lo mejor de sus recursos mentales, su espíritu de obser-vación y su imaginación.

Finalmente, expreso a los profesores mi gratitud por utilizar esta obra que, con el aporte de su creatividad, aspira a convertirse en un elemento di-dáctico que les permita alcanzar satisfacciones en su vida profesional.

El autor

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

FRACCIONES

DECIMALES

Í N D I C E

A R I T M É T I C A

LÓGICA PROPOSICIONAL Y CONJUNTOS1

SISTEMAS DE NUMERACIÓN. LOS NÚMEROS NATURALES.

OPERACIONES2

4

5

MÚLTIPLOS, DIVISORES Y DIVISIBILIDAD3

RAZÓN Y PROPORCIONALIDAD6

1.1 Proposiciones ............................................................ 8 Proposición compuesta o molecular ................ 91.2 Tablas de verdad ....................................................10 Tabla de verdad de la condicional y

la bicondicional ......................................................11 Negación de una proposición simple ............121.3 Cuantificadores ......................................................131.4 Conjuntos .................................................................14

Operaciones con conjuntos ...............................15 Diferencia y complemento de conjuntos .....16 Diferencia simétrica de conjuntos ...................17 Producto cartesiano de conjuntos ..................18 Problemas sobre conjuntos ...............................19

3.1 Múltiplos de un número .....................................42 Número de divisores de un número ...............44 Criterios de divisibilidad ......................................46 Números primos, compuestos y

primos entre sí ........................................................49

5.1 Escritura y lectura de números decimales ..................................................................70

5.2 Comparando y ordenando números decimales ..................................................................71

5.3 Conversión de fracciones a decimales y viceversa ................................................................72

5.4 Operaciones con decimales ...............................75 Producto y potencia de números

decimales ..................................................................76 Cociente de números decimales ......................77

Operaciones combinadas con números decimales ..................................................................78

Problemas resueltos .............................................795.5 Sucesiones................................................................805.6 Ecuaciones con números decimales ...............81

6.1 Proporciones geométricas .................................846.2 Proporcionalidad ...................................................86

4.1 Escritura y lectura de fracciones .......................54 Fracción de un número y

número mixto .........................................................55 Fracciones equivalentes y

simplificación de fracciones...............................564.2 Compara y ordena fracciones ...........................574.3 Operaciones con fracciones ...............................58 Producto y cociente de fracciones ..................59 Potencia y raíz de una fracción .........................60 Operaciones combinadas con fracciones .....63 Problemas resueltos con fracciones ...............644.4 Sucesiones................................................................654.5 Ecuaciones e inecuaciones con

fracciones .................................................................66

2.1 Sistemas de numeración .....................................22 Conversión de sistemas de numeración .......24

2.2 Lectura y escritura de números naturales ..................................................................27

Codificar y decodificar un número natural ........................................................................28

Comparacion de números naturales ..............292.3 Operaciones con los números naturales .......30 Producto y cociente de números

naturales ...................................................................31 Propiedades de la adición y la

multiplicación .........................................................32 Potencia de un número natural ........................33 Raíz como operación inversa de la

potenciación en N .................................................362.4 Sucesiones................................................................37

3.2 Mínimo común múltiplo y máximo común divisor de números naturales ............50

Máximo común divisor de dos o más números ...........................................................51

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Aritm

ética

GEOMETRÍAESTADÍSTICA

ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD

GEOMETRÍA

99.1 Línea recta ............................................................. 1329.2 Ángulos .................................................................. 134 Ángulos determinados por dos rectas

paralelas y una secante .................................... 1359.3 Triángulos y cuadriláteros .............................. 136 El triángulo rectángulo .................................... 137 Cuadriláteros y sus propiedades ................... 1389.4 Área de triángulos y cuadriláteros ............... 1399.5 Polígonos ............................................................... 140 Área de polígonos regulares e

irregulares ............................................................. 1419.6 Circunferencia y círculo ................................... 1429.7 Áreas y volúmenes de cuerpos

geométricos .......................................................... 1439.8 Áreas y volúmenes de cuerpos de

revolución.............................................................. 144 Problemas de áreas y volumen del prisma,

pirámide, cilindro, cono y esfera ................... 145

10.1 Razones trigonométricas de ángulos agudos en el triángulo rectángulo ............. 148

10.2 Razones trigonométricas de ángulos notables ................................................................ 149

Valores de las razones trigonométricas de ángulos de 37º y 53º ................................. 150

10.3 Resolución de triángulos rectángulos ....... 151

7.1 Recolección y organización de datos .......... 1007.2 Elaboración de datos estadísticos ................ 1017.3 Medidas de tendencia central ....................... 1027.4 Experimentos aleatorios o de azar ............... 103

8.1 El conjunto de los números enteros ............ 106 Valor absoluto de un número entero .......... 1078.2 Igualdad y desigualdad de números

enteros .................................................................... 1088.3 Operaciones con números enteros .............. 109 Producto y cociente de números

enteros .................................................................... 110 Potenciación y radicación de un

número entero ..................................................... 111 Operaciones combinadas con números

enteros .................................................................... 1128.4 Ecuaciones e inecuaciones en Z .................... 1138.5 Expresiones algebraicas ................................... 115 Reducción de términos semejantes ............. 116 Valor numérico de expresiones

algebraicas ............................................................ 1178.6 Operaciones con polinomios ......................... 118 Producto y cociente de polinomios ............. 119 Potencia de monomios y binomios ............. 1208.7 Valor numérico de expresiones

algebraicas ............................................................ 121 Valor numérico con decimales ...................... 122

Aplicación de la propiedad fundamental de la proporción geométrica .............................87

6.3 Regla de tres simple ..............................................886.4 Porcentaje ................................................................896.5 Interés simple ..........................................................906.6 Unidades de longitud y masa del SI................93 Unidades de masa y conversiones ..................946.7 Unidades de tiempo del SI .................................956.8 Unidades de superficie y volumen del SI ......96 Conversiones ...........................................................97

8.8 Problemas con ecuaciones e inecuaciones ........................................................ 123

8.9 Productos notables ............................................ 1248.10 Factorización de polinomios ......................... 127 Factorización de una diferencia de

cuadrados ............................................................. 128 Factorización de un trinomio cuadrado

perfecto .................................................................. 129

7

ÁLGEBRA

ÁLGEBRA

8

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO10TRIGONOMETRÍA

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Óscar, ¿"x < 7" es un enunciado abierto?

Karina, ¿dos proposi-ciones simples pueden formar una proposición

compuesta?

Raquel: si el conjunto A tiene 3 elementos y el conjunto B 2 elementos, ¿cuántos elemen-tos tendrá el producto carte-

siano A x B?

Luis, ¿podrías dar un ejemplo de una proposición simple?

Raquel

Rolo

Óscar

Karina

Luis

Unidad

1Aritmética

Lógica proposicional y conjuntos

Lógica proposicional y conjuntos

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Aprenderé a ...Aprenderé a ...

Los niños están conversando sobre lógica, proposiciones y conjuntos. De acuerdo a la conversación que tienen, ayúdalos a responder las siguientes preguntas:

1. ¿Cuál es la repuesta correcta a la pregunta de Raquel? aUn enunciado abierto es igual que un

enunciado exclamativo. aEn: "x < 7" no podemos afirmar si es

verdadero o falso. aSolo cuando “x” toma un valor numé-

rico se hace verdadero o falso.

2. ¿Cuál sería el ejemplo a lo que dice Karina? aProhibido pisar el césped. aDeténgase. aCinco es menor que nueve.

3. ¿Cuál es la palabra que se relaciona con la pregunta de Luis?

aEnunciados aConectivos aProposición

4. ¿Cuál sería tu respuesta a la pregunta de Óscar?

Representar y simbolizar proposiciones.

Elaborar y argumentar tablas de verdad.

Identificar y aplicar los cuantificadores.

Matematizar y simbolizar conjuntos.

Elaborar estrategias para resolver pro-blemas con conjuntos.

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Ari

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PROPOSICIONESProposiciones simples y su valor de verdad

Las expresiones que manifiestan los niños se llaman enunciados.Los enunciados de Beto y Rolo son PROPOSICIONES SIMPLES porque cada una tiene un valor de verdad que puede ser verdadera (V) o falsa (F).

Los enunciados de Raúl y Karina no son proposiciones, ya que no se pueden determinar si son verdaderos o falsos.

Aplicación.De los siguientes enunciados, indica cuáles son proposiciones lógicas:

1. Los leones son mamíferos. Sí es proposición.

2. ¿Cuándo es tu cumpleaños? No es proposición.

3. El ácido sulfúrico corroe la madera. Sí es proposición.

4. Sé honesto y trabajador. No es proposición.

5. Nueve es un número par. Sí es proposición.

Las proposiciones simples se representan con letras minúsculas.

Así tenemos:

p: La bandera peruana es roja y blanca. Luego, p es verdadero.

q: Los leones son mamíferos. Luego, q es verdadero.

r: Nueve es un número par. Luego, r es falso.

Ojalá llegue temprano a clases” es un enunciado

PROPOSICIÓN

Es todo enunciado que tiene la cualidad de ser verdadero o de ser falso, pero nunca puede ser verdadero y falso a la vez.

Observa.

¡Mira los aviones!

Cómo quisiera ir de viaje.

Óscar Beto Karina Raúl Raquel Rolo

¡Recuerda!En tu libro de actividades

hay más ejercicios y problemas.

Un avión es del Brasil.

La bandera es peruana.

1.1

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Aritm

ética

• Labicondicional(siysolosi):......• Lanegación(no):......

Proposición compuesta o molecular

Las expresiones de Óscar, Sofía, Santiago y Ana son PROPOSICIONES COMPUESTAS.Así tenemos:

• LaproposicióndeÓscar: "Megusta labicicleta y las zapatillas" es una CONJUNCIÓN. Esta unida por el conectivo "y". (Ù)

• Laproposiciónde Sofía: “Compraré unpantalóno un polo” es una DISYUNCIÓN. Está unida por el conectivo "o". (Ú)

• La proposición de Santiago: “Esa bicicleta no es amarilla”es una NEGACIÓN. Está afectada por el adverbio de negación (no). (~)

• LaproposicióndeAna: Si las zapatillas cuestanmenosde S/. 80,entonces las podré comprar” es una CONDICIONAL. Está unida por el conectivo si, "entonces" (Þ)

Observa.

7 es mayor que 5 y 5 es mayor que 2 = p Ù q

• Laconjunción(y):......• Ladisyuncióndébil(o):......• Lacondicional(si,entonces):......

Ù

ÚÞ

Û

~

p

p

p

p

q

q

q

7 es un número primo o número impar = p Ú q

Si 7 es un número primo entonces es impar = p Þ q

El número 2 no es un número primo = ~ p

n LOS CONECTIVOS LÓGICOS que usaremos son:

nDada las proposiciones compuestas, observa cómo se simbolizan:

Me gusta la bicicleta y las zapatillas.

Compraré un pan-talón o un polo.

Esa bicicleta no es amarilla.

Óscar

SofíaAna

SantiagoSi las zapatillas cuestan menos de S/. 80, enton-ces las podré comprar.

¡Recuerda! El símbolo " Ù ".Se lee: y, pero, luego, aunque,

sin embargo, etc.

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Sobre la verdad o falsedad se pueden presentar las siguientes posibilidades:

La DISYUNCIÓN es p Ú q y las posibilidades de su verdad se presentan en la siguiente tabla:

La proposición compuesta: "13 divide a 39 o el pentágono tiene 6 lados" ¿es una proposición disyuntiva verdadera?

De la misma forma tenemos la proposición: Óscar estudia o trabaja.

p Ù q luego p Ù qV V V

p Ù q luego p Ù qV F F

p Ù q luego p Ù qF V F

p Ù q luego p Ù qF F F

I. Cuando ambas proposiciones simples son verdaderas.

III. Cuando una proposición es falsa y la otra es verdadera.

II. Cuando una proposición es verdadera y la otra es falsa.

IV. Cuando ambas proposiciones simples son falsas.

Observa la figura.¿Qué hace Alfonso? ……......……………….

¿Qué hace Meche? ………………………...

Formemos proposiciones:

p: Alfonso juega.

q: Meche estudia.

Luego, la CONJUNCIÓN será:

p q p Ù q

V VV FF VF F

VFFF

p q p Ú q

V VV FF VF F

VVVF

¡Ah ya!La disyunción es falsa solo cuando ambas

proposiciones simples son falsas.

¡Ah ya!La conjunción es verda-dera solo cuando ambas

proposiciones simples son verdaderas. Esta es

su tabla de verdad.

1.2 TABLAS DE VERDAD

Tabla de verdad de la conjunción y la disyunción

p q

estudia

Estudia

Juega

p Ù q: Alfonso juega y Meche

AlfonsoMeche

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Aritm

ética

p Þ q: Si pago la entrada, entonces ingreso al cine.

V(p) = ..... ; V(q) = ..... , Luego: V(pÞq) = .....

Tabla de verdad de la condicional y la bicondicional

Formemos la tabla de verdad de una condicional.1º Raquel gana el concurso (V), Mariela le regala el celular (V)

Se cumple, luego: V(pÞq) = V

2º Raquel gana el concurso (V), Mariela no le regala el celular (F)

No se cumple, luego: V(pÞq) = F

3º Raquel no gana el concurso (F), Mariela le regala el celular (V)

Se cumple, luego: V(pÞq) = V

4º Raquel no gana el concurso (F), Mariela no le regala el celular (F)

Ambas no se cumplen, luego: V(pÞq) = V. Observa la tabla.

Observa y lee.Mariela le dice a Raquel que si gana el concurso le regala un celular.Esta proposición es una condicional.Las proposiciones simples que forman esta condicional son:

p: Raquel gana el concurso.

q: Mariela le regala un celular.

Se representa: p Þ q, y se lee: p entonces q.

Iré a la fiesta si y solo si tengo ropa nueva

TABLA DE VERDAD DE LA BICONDICIONAL

p: Si pago la entrada q: Ingreso al cineLa condicional y su valor de verdad es:

p: 9 es impar q: 9 es múltiplo del 3 r:4esdivisordel10El significado de la siguiente simbolización y su valor de verdad es:

nDadas las proposiciones:

nDadas las proposiciones:

¡Ah ya! La condicional solo es falsa cuando la primera proposición es verdade-ra y la segunda es falsa.

¡Fácil!

¡Ah ya! La bicondicional es verdade-ra, si ambas proposiciones

son verdaderas o ambas son falsas. En caso contrario, es

falsa.

Si ganas el concurso,

entonces te regalo un

celular.

¡Yaaaaa! ¡Sí voy a ganar!

p q p Þ q

V VV FF VF F

VFVV

p q p Û q

V VV FF VF F

VFFV

p Þ (q Ú r): 9esimpar,entonces,9esmúltiplode3o4esmúltiplode10.

V(p) = ..... , V(q) = ..... V(r) = .....

V(p) = ..... , V(qÚr) = ..... , Luego: VpÞ(qÚr) = .....

Ûp q

V

V

V V V

V F

V V

Mariela

Raquel

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Observa.

nObserva la negación de las siguientes proposiciones y su valor de verdad:

Es decir:

Ahora, observa la negación de la proposición:

p : 7 es menor que 9

Entonces: ~p : 7 no es menor que 9

p : 5 es un número par. V(p) = ..........

~p : No es cierto que 5 es un número par. V(~p) = ..........

q : Mario Vargas Llosa es peruano. V(q) = ..........

~q : Mario Vargas Llosa no es peruano. V(~q) = ..........

~ r : No es cierto que Lima es la capital del Perú. V(~r) = ..........

~(~r) : Lima es la capital del Perú. V[~(~r)] = ..........

s : El cuadrilátero tiene 3 ángulos. V(s) = ..........

~s : No es cierto que el cuadrilátero tiene 3 ángulos. V(~s) = ..........

El perro no ladra.

El perro ladra.

¡Ah ya!Al negar una pro-

posición cambia su valor de verdad.

La negación de una proposición simple y su tabla de verdad

¿Cuál es el valor de verdad de la proposi-ción: "El perro ladra"?

¿Cuál es el valor de verdad de la proposi-ción: "El perro no ladra"?

Como se ve, la diferencia entre estas dos proposiciones es el conectivo NO, que es la negación de la primera proposición.

Si el perro ladra, su negación es: no es cierto que el perro ladra. p p

p ~ p

VF

FV

TABLA DE VERDAD

CONCLUSIÓN

Dada una proposición "p", la negación de "p" es otra proposición que se denota por "~p" y se lee: "no p" o "no es cierto que p".

Verdadero

Falso

F

V

V

F

F

V

F

V

~

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Aritm

ética1.3CUANTIFICADORES

Proposiciones usando los cuantificadores "todos", "algunos", "ninguno" y su valor de verdad

n Cuantificando las proposiciones, se leen:

nSe tiene el enunciado:

nAhora en el enunciado: x – 5 > 9, observa su verdad y falsedad.

Observa las palabras que están usando los niños para darnos la idea de cantidad.

Estas expresiones o palabras se llaman CUANTIFICADORES.

"Los árboles dan frutos"

...............................................................

...............................................................

...............................................................

"Una estrella produce luz"

...............................................................

...............................................................

...............................................................

I. Todas las x ∈ N son tales que x + 7 = 9 . Es una proposición, pero falsa, puesto que se cumple para x = 2, pero no para todos los números.

II. Algún x ∈ N es tal que x + 7 = 9 . Es una proposición y verdadera, puesto que se cumple para un x = 2.

III. Ningún x ∈ N es tal que x + 7 = 9 . Es una proposición, pero falsa.

...................... x ∈ N son tales que x – 5 > 9 . Proposición falsa

...................... x ∈ N son tales que x – 5 > 9 . Proposición verdadera

...................... x ∈ N es tal que x – 5 > 9 . Proposición falsa

x ∈ N, tal que x + 7 = 9 . ¿Es una proposición?

No es proposición, porque no se puede afirmar si es verdadera o falsa.Pero si la cuantificamos:

Todos los niños del aula están

de paseo.

Algún compañero olvidó su mochila.

Mi pelota está conmigo.

Ningún compa-ñero se queda.

Todos los árboles dan frutos

Algunos árboles dan frutos

Ningún árbol da frutos

Raquel

Santiago

FelipeSofía

Ricardo

“Todos”

“Algún”

“Ningún”

Todas las estrellas producen luz.

Algunas estrellas producen luz.

Ninguna estrella produce luz.

Todos las

Algunas

Ningún

x – 5 > 9

x – 5 > 9

x – 5 > 9

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nDeterminación de conjuntos

I. CONJUNTO FORMADO POR EXTENSIÓN Un conjunto se determina por extensión, nombrando uno a uno todos los elementos que

lo constituyen.

Ejemplo:

A = {a; e; i; o; u} ; B = {lunes; martes; miércoles; jueves; viernes; sábado}

II. CONJUNTO FORMADO POR COMPRENSIÓN Un conjunto se determina por comprensión enunciando la característica, condición o

propiedad común que identifica los elementos del conjunto.

Ejemplo 1.

Q={x/xesunpostulantealauniversidad}

Ejemplo 2. A = {Estaciones del año} Otra forma: A={x/xesunaestacióndelaño}

Se lee: " Q es el conjunto formado por todos los elementos x , tal que x , es un postulante a la universidad".

Se lee: "A es el conjunto de los elementos x , tal que x , es una estación del año".

A = {Raquel; Karina; Sofía; Mayra}

B = {a ; b ; c ; d ; e ; f}

Nombre genérico de los elementos

características de los elementos

tal que

1.4 CONJUNTOS

Determinación de conjuntos

nNotación.

Se representa a los conjuntos mediante la forma clásica de { } "entre llaves" e identificándolos por la letras mayúsculas: A, B, C, D, ..... En caso de que los elemen-tos sean letras, se les representa por letras minúsculas: a, b, c, d, e,...Observa el ejemplo: El conjunto

A tiene 4 elementos

El conjunto B tiene 7 elementos

No, el conjun-to B tiene 6 elementos

Se lee: "A es el conjunto formado por: Raquel, Karina, Sofía y Mayra".

"B es el conjunto formado por las letras: a , b , c , d , e y f".

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Aritm

ética

Veamos: Sea A el conjunto de sabores de los helados que prefiere Karina. Sea B el conjunto de sabores de los helados que prefiere Luis.Es decir: A = {vainilla; fresa; lúcuma; chocolate} B = {coco; fresa; chocolate; melón}

Los sabores de helados que prefieren en común Karina y Luis son de fresa y chocolate.Entonces estos 2 elementos forman el conjunto INTERSECCIÓN de A y B.O sea: A ∩ B = {fresa; chocolate}

Los otros sabores de helados que prefieren Karina y Luis forman el conjunto UNIÓN de A y B.O sea: A U B = {vainilla; fresa; chocolate; lúcuma; coco; melón}

Veamos ambos conjuntos en forma gráfica:

A ∩ BA U B

nObserva el gráfico.

•vainilla •vainilla

•lúcuma

•lúcuma

•coco•coco

•fresa•fresa

•melón •melónB

B

A

A

Los hela-dos que me

gustan son de vainilla, fresa, lúcuma y cho-

colate.

A mí me gustan los que tienen sabor a coco, fresa, chocolate y melón.

Estas son algunas de las propiedades de la intersección.

A ∩ B = B ∩ A , es conmutativa. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C es asociativa.

A ∩ Ø = Ø ; A ∩ A = A

OPERACIONES CON CONJUNTOSIntersección y unión de conjuntos

Observa.

De los sabores de helados que les gustan a Karina y Luis: ¿algunos son comunes? La respuesta es sí.

A = {.............................}

B = {..........}

C = {..........}

A ∩ B = {..........}

A U B = {.............................}

(A ∩ B) U C = {..........} U {..........} = {...............}

•chocolate

•chocolate

A

BC

•2

•1•11

•7•9

•3

Además, las propiedades de la unión son:.

A U B = B U A, es conmutativa. (A U B) U C = A U (B U C) es

asociativa.A U Ø = A ; A U A = A

2 ; 3 ;7 ; 9 ; 11

2 ; 3 ;7 ; 9 ; 11

2 ; 3

1 ; 3

1 ; 3 1 ; 2 ; 32 ; 3

2 ; 3

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¿Quiénes compraron solo gaseosas?Entonces, los niños que compraron solo gaseosas pero no pasteles forman el conjunto DIFERENCIA.Veamos: G – P = {Óscar; Rolo; Karina}

COMPLEMENTO DE CONJUNTOS Considerando el conjunto universal: U = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} y los conjuntos: A = {1; 2; 3} y B = {2; 5}se tiene que: AC = {4; 5; 6; 7} BC = {1; 3; 4; 6; 7}

Un grupo de niños y niñas están en una tienda donde hay oferta de gaseosas y pasteles y hacen las siguientes compras:Gaseosas (G)G = {Sofía; Óscar; Luis; Rolo; Karina}Pasteles (P)P = {Sofía; Ricardo; Santiago; Luis; Ana}

¡Ah ya! AC se lee complemento de A.A' se lee complemento de A.U es el conjunto universal.

Observa y completa.

nDados los conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {c, f}, C = {g, h} y D = {a, d},observa el dia-grama para cada conjunto.

Diferencia y complemento de conjuntos

CONCLUSIÓN

La diferencia de los conjuntos "A" y "B" (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos de "A" que no pertenecen a "B".

A–B={x/xÎ A Ù x Ï B}

A – B = {..............}

A – B

A

A A

B

B B

A – DB – C

B C AD

B – C = {..............} A – D = {..............}

•f•f

•a

•a•c

•c

•c

•d

•d•g

•b•b

•h

•Óscar•Santiago

•Ana•Rolo

•Karina

•Sofía•Luis

G

G – P

P

•1 •1

•4 •4

U U

•5 •5

•6 •6•7 •7•3 •3

•2 •2

D

a, b, c c, f b, c

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Aritm

ética

Observa.

Rpta.

Diferencia simétrica de conjuntos

Entonces, la DIFERENCIA SIMÉTRICA es el conjunto: {zapato, pantalón, trusa, zapatillas}, que viene a ser (A – B) U (B – A).Es decir, la diferencia simétrica se denota así: A D B = {zapato, pantalón, trusa, zapatillas}

Arturo y Beto están en una tienda comercial de ropa y han comprado:A = {camisa, pantalón, zapato, medias, polo}B = {polo, medias, zapatillas, camisa, trusa}¿Cuáles son las prendas en común que compraron?

nObserva los diagramas.

nDado los conjuntos: P = {x ÎN/4≤x≤11}yQ={xÎN/7<x≤15},hallarPD Q.

CONCLUSIÓN

La diferencia simétrica de los conjuntos "A" y "B" es el conjunto formado por los elementos de "A" o "B", pero no de ambos a la vez.

AB={x/xÎ A U B Ù x Ï A ∩ B} = (A – B) U (B – A)

Ejemplo: DadosA={1;2;3;5;6}yB={2;3;5;7;8;9}Buscamos ambas diferencias:A – B = {1; 6}B–A={7;8;9}Luego: (A – B) U(B–A)={1;6;7;8;9}

A D B = {.....................}

Solución Escribiendo los conjuntos por extensión:

P = {4; 5; .........................................}

Q={8;9; }

A D B = {.....................}

P D Q = { }

M DQ={x/x }

A D B

¡Ah ya! La diferencia simétrica se sim-boliza como D, y se sombrean los elementos de A y B que no

están en la intersección.•7

•7

•12

•1

•4

•9

•14•15•11

•10

•8

•13

•6

•6

•2

•8

•3

•9

•5

•5

B

B

Q

Q

A

A

P

Msudamericanos

•p peruanos

•q

•e•a

•d

•h

•i•b

Polo, camisa y medias

h; i; e; p; q son sudamericanos

1; 6; 7; 8; 9

6; 7; 8; 9; 10; 11

4; 5; 6; 7; 12; 13; 14; 15

10; 11; 12; 13; 14; 15

.... d E D 1 To R Es S . A.C.

18

Ari

tmét

ica

nAhora se tienen los conjuntos:

Observa.

Producto cartesiano de conjuntos

Entonces, Timoteo para combinar las prendas de vestir debe multiplicar el conjunto. P (polos) por el conjunto T (trusas) y el resultado de este producto, es el conjunto de pares ordenados, es decir, las combinaciones.Veamos: P x T = {(a,v) ; (a,r) ; (a,n) ; (b,v) ; (b,r) ; (b,n)}Como se ve, hay 6 pares ordenados o 6 combinaciones.

Timoteo tiene 2 polos de color amarillo y blanco y 3 tru-sas de color verde, roja y naranja. ¿De cuántas maneras puede combinar Timoteo dichas prendas para vestirse (polo – trusa)?Para saberlo, formamos los conjuntos:P es el conjunto de polos: P = {a; b}T es el conjunto de trusas: T = {v; r; n}

P x T es el PRODUCTO CARTESIANO de P y T no vacío.Definición simbólica:

A x B = {(a, b) / a Î A Ù b Î B}

¡Ah ya! El producto cartesiano se puede representar por pares ordenados

en el plano cartesiano.

A = {1; 2}, B = {2; 4; 6}, entonces A x B = {(1, 2); (1, 4); (1, 6); (2, 2); (2, 4); (2, 6)}Gráfica:

Diagrama

(1; 2)(1; 4)(1; 6)

246

246

2

1

A A x BB

(2; 2)(2; 4)(2; 6)

Observación: Si A y B son conjuntos finitos, entonces n(A x B) = n(A) por n(B).

En el plano cartesianoDiagrama de árbol

n(A) es el número de elementos de A. n(B) es el número de elementos de B.n(A x B) es el número de elementos de A × B.

Donde

1 2 3 4 5 6

1

2

3

4

5

6(1,6)

(1,4)

(1,2)

(2,6)

(2,4)

(2,2)

0

•blanco

•amarillo•verde

•rojo•naranja .... d

E D 1 To R Es S . A.C.

19

Aritm

ética

Problemas sobre conjuntos

1. Deungrupode86estudiantes,sesabeque:59estudianinglés,25estudianalemán,38estudian francés, 6 estudian los tres idiomas, 13 estudian solo alemán y todos estudian por lo menos un idioma. Determina cuántos de ellos estudian solo uno de los idiomas y los tres idiomas.

Interpretando y graficando:

2. En una encuesta a 30 alumnos de un colegio sobre cuál es su plato preferido, se obtienen los siguientes datos: a 16 les gusta el arroz con pollo y a 24 el lomo saltado. ¿Cuántos alumnos comen ambos platos?

Graficando:

3. Dados los conjuntos: A = {a; c; g; h; i}, B = {b; c; d; e; f; g; h; i} y C = {b; c; d}, determinar los elementos que están en la parte pintada del diagrama.

Observa.

Sea x los que prefieren ambos platos.Gustan solo arroz con pollo: ................Gustan solo lomo saltado: ..................Comoeltotaldealumnoses30,setiene:

Al observar el diagrama, tenemos que los elementos que están en la parte pintada son: g, h, i.

Del gráfico se tiene:59+b+c+13=86 b + c = 14Además:b+c+6+n=38n=18

También25+a+b+n=86 a + b + n = 61

a + b = 43

Portanto,gustanambosplatos10alumnos.

Nota: Para hacer el diagrama primero se ubica los elementos que están en la intersección de los tres conjuntos.

Por tanto:Estudian solo un idioma y los tres: 43 + 13 + 6 = 62

16–x+x+24–x=30 ............... = .......

LA

U

16 – x 24 – x

1318

A(25)

F(38)

I(59)

b

da

c6

86

n

x

A B

C

16 – x24 – x

40–x

10=x

30

•a •c•d

•f•b •e•h

•g

•i

.... d E D 1 To R Es S . A.C.