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ESTAOisTICA

TERCERA EDICION

508 problemas resueltos

694 problemas practicos adicionales

Es ideal para estudiar por tu cuenta

f

Murray R. Spiegel Larry J. Stephens

Incluye soluciones por computadora a cientos de problemas

Puede adaptarse a cualquier curso de estadfstica

autorizadoTypewritten TextJOSE ELVIS MUJICA RANGELautorizadoTypewritten Text

, ESTADISTICA

. I

, ESTADISTICA

30. edicion

Murray R. Spiegel Rensselaer Polytechnic Institute

Larry J. Stephens University of Nebraska at Omaha

Traduccion: Leticia Esther Pineda Ayala

Traductora profesional

Revision tecnica: M.C. Abel Valdes Ramirez

Jefe de Matematicas Escuela Superior de Ingenieria Quimica e Industrias Extractivas

Instituto Politecnico Nacional

Mtra. Cecilia Balbas Diez Barroso Docente en Mitodos Avanzados de Investigaci6n y Estadistica

Escuela de Psicologia Universidad Anahuac

MEXICO BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA LISBOA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTAFE DE BOGOTA SANTIAGO

AUKLAND LONDRES MILAN MONTREAL NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO

Amimadre M.R.S.

A mi madre y mi padre, Rosie y Johnie Stephens L.J.S.

Contenido

ACERCA DE LOS AUTORES XV

PREFACIO XVII , .. CAPITULO 1 Variables y graficas 1

Estadfstica 1 Poblaci6n y muestra; estadfstica descriptiva y estadfstica

inductiva 1 Variables: discretas y continuas 1 Redondeo de datos 2 Notaci6n cientffica 2 Cifras significativas 3 Calculos 3 Funciones 4 Coordenadas rectangulares 4 Graficas 5 Ecuaciones 5 Desigualdades 5 Logaritmos 6 Antilogaritmos 7 Cruculos usando logaritmos 7 Problemas resueltos 8 Problemas complementarios 28

, CAPITULO 2 Distribuciones de frecuencias 35

Datos sueltos 35 Ordenaci6n 35 Distribuciones de frecuencias 35 Intervalos de clase y lfmites de clase 36 Fronteras de clase 36 Tamafio 0 amplitud de un intervalo de clase 36 Marca de clase 37 Reglas generales para construir distribuciones de frecuencia 37 Histogramas y polfgonos de frecuencias 37 Distribuciones de frecuencias relativas 38 Distribuciones de frecuencias acumuladas y ojivas 38 Distribuciones de frecuencias relativas acumuladas y ojivas

de porcentajes 39

(

VIII Contenido

CAPiTULO 3

CAPiTULO 4

CAPiTULO 5

Curvas de frecuencia y ojivas suavizadas Tipos de curvas de frecuencias Problemas resueltos Problemas complementarios

Media, mediana, moda y otras medidas de tendencia central Notacion de indices Notacion de sumatoria Promedios 0 medidas de tendencia central La media aritmetica La media aritmetica ponderada Propiedades de la media aritmetica Cruculo de la media aritmetica para datos agrupados La mediana Lamoda Relacion empirica entre media, mediana y moda La media geometrica G La media armonica H Relacion entre las medias aritmetica, geometric a y armonica La media cuadnitica (MC) Cuartiles, deciles y percentiles Problemas resueltos Problemas complementarios

la desviacion estandar y otras medidas de dispersion Dispersion 0 variacion EI rango La desviacion media EI rango semiintercuartilar EI rango percentilar 10-90 La desviacion estandar La varianza Metodos cortos para calcular la desviacion estandar Propiedades de la desviacion estandar Comprobacion de Charlier Correccion de Sheppard para la varianza Relaciones empiric as entre medidas de dispersion Dispersion absoluta y relativa: coeficiente de variaci6n Variable estandarizada: medidas estandar Problemas resueltos Problemas complementarios

Momentos, asimetrias y curtosis Momentos

39 40 40 54

58 58 58 58 59 59 60 60 61 61 62 62 62 63 63 63 64 82

89 89 89 89 90 90 90 91 91 92 93 93 93 93 94 94

109

114 114

CAPiTULO 6

r

CAPiTULO 7

CAPiTULO 8

Contenido. IX

Momentos para datos agrupados 114 Relaciones entre momentos 115 Cruculo de momentos para datos agrupados 115 Comprobaci6n de Charlier y correcciones de Sheppard 115 Momentos adimensionales 116 Asimetrfa 116 Curtosis 116 Momentos, asimetrfa y curtosis de la poblaci6n 117 Problemas resueltos 117 Problemas complementarios 124

Teoria elemental de probabilidad Definiciones de probabilidad Probabilidad condicional: eventos independientes y dependientes Eventos mutuamente excluyentes Distribuciones de probabilidad Esperanza matematica Relaci6n entre poblaci6n, media muestral y varianza AmHisis combinatorio Combinaciones Aproximaci6n de Stirling para n! Relaci6n de la probabilidad con la teorfa de conjuntos Problemas resueltos Problemas complementarios

Las distribuciones binomial, normal

127 127 128 129 129 131 131 131 132 133 133 134 151

y de Poisson 157 La distribuci6n binomial 157 La distribuci6n normal 158 Relaci6n entre distribuci6n binomial y distribuci6n normal 159 Distribuci6n de Poisson 159 Relaci6n entre la distribuci6n binomial y la distribuci6n de Poisson 160 Distribuci6n multinomial 160 Ajuste de distribuciones te6ricas a distribuciones

de frecuencia muestrales Problemas resueltos Problemas complementarios

Teoria elemental de muestreo Teorfa de muestreo Muestras aleatorias y numeros aleatorios Muestreo con y sin reemplazamiento Distribuciones de muestreo Distribuci6n muestral de medias Distribuci6n muestral de proporciones Distribuci6n muestral de diferencias y sumas Errores estandar

160 161 179

183 183 183 184 184 184 185 185 187

x Contenido

CAPiTULO 9

CAPiTULO 10

CAPiTULO 11

CAPiTULO 12

Problemas resueltos Problemas complementarios

Teoria de estimacion estadistica

188 200

203 Estimacion de parametros 203 Estimados sin sesgo 203 Estimados eficientes 204 Estimados por punto y estimados por intervalo; su confiabilidad 204 Estimados por intervale de confianza de parametros poblacionales 204 Error probable 207 Problemas resueltos 207 Problemas complementarios 215

Teoria de decision estadistica Decisiones estadisticas -Hipotesis estadisticas Pruebas de hipotesis y significancia 0 reglas de decision Errores tipo I y tipo II Nivel de significancia Pruebas que consideran distribuciones normales Pruebas unilaterales y bilaterales Pruebas especiales Curvas de operacion caracteristicas; el poder de una prueba Graficas de control de cali dad Pruebas que consideran diferencias muestrales Pruebas que consideran distribuciones binomiales Problemas resueltos Problemas complementarios

, Teoria de muestras pequenas Muestras pequefias Distribucion t de Student Intervalos de confianza Pruebas de hipotesis y significancia La distribucion chi cuadrada Intervalos de confianza para X2 Grados de libertad La distribucion F Problemas resueltos Problemas complementarios

la prueba chi cuadrada Frecuencias observadas y teoricas Definicion de X2 Pruebas de significancia

218 218 218 219 219 219 219 220 n1 221 222 222 223 223 240

244 244 244 245 246 246 247 247 248 249 259

263 263 263 264

CAPiTULO 13

CAPiTULO 14

Contenido. XI

Prueba chi cuadrada para la bondad de ajuste 264 Tablas de contingencia 264 La correcci6n de Yates por continuidad 265 F6nnulas simples para calcular X2 266 Coeficiente de contingencia 266 Correlaci6n de atributos 267 Propiedad aditiva de X2 267 Problemas resueltos 267 Problemas complementarios 279

Aiuste de curvas y el metodo de minimos cuadrados Relaci6n entre variables Ajuste de curvas Ecuaciones de curvas de aproximaci6n Metodo de ajuste de curvas a mana La linea recta El metoda de minimos cuadrados La recta de minimos cuadrados Relaciones no lineales La parabola de minimos cuadrados Regresi6n Aplicaciones a series de tiempo Problemas con mas de dos variables Problemas resueltos Problemas complementarios

Teoria de correlacion Correlaci6~ y regresi6n Correlaci6n lineal Medidas de correlaci6n Rectas de regresi6n de minimos cuadrados Error estandar de estimaci6n Variaci6n explicada e inexplicada Coeficiente de correlaci6n Observaciones sobre el coeficiente de correlaci6n F6nnula producto-momento para el coeficiente

de correlaci6n lineal F6nnulas breves de ca1culo Rectas de regresi6n y coeficiente de correlaci6n lineal Correlaci6n de series de tiempo Correlaci6n de atributos Teorfa muestral de correlaci6n Teorfa muestral de regresi6n Problemas resueltos Problemas complementarios

284 284 284 285 286 286 286 287 288 288 288 289 289 289 310

314 314 314 315 315 316 317 317 317

318 319 319 320 320 320 321 322 343

XII Contenido

CAPiTULO 15

CAPiTULO 16

CAPiTULO 17

Correlacion multiple y parcial Correlaci6n mUltiple Notaci6n de subindices Ecuaciones de regresi6n y pIanos de regresi6n Ecuaciones normales para el plano de regresi6n

de mfnimos cuadrados PIanos de regresi6n y coeficientes de correlaci6n Error estandar de estimaci6n Coeficiente de correlaci6n multiple Cambio de la variable dependiente Generalizaciones a mas de tres variables Correlaci6n parcial Relaciones entre los coeficientes de correlaci6n

multiple y parcial Regresi6n multiple no-lineal Problemas resueltos Problemas complementarios

Analisis de varianza El prop6sito del an,Hisis de varianza Clasificaci6n simple 0 experimentos de un factor Variaci6n total, variaci6n dentro de tratamientos

y variaci6n entre tratamientos Metodos cortos para calcular variaciones Modelo matematico para el anaIisis de varianza Valores esperados de las variaciones Distribuciones de las variaciones La prueba F para la hip6tesis nula de medias iguales Tablas de anaIisis de varianza Modificaciones para numeros diferentes de observaciones Clasificaci6n doble 0 experimentos de dos factores Notaci6n para experimentos de dos factores Variaciones para experimentos de dos factores Analisis de varianza para experimentos de dos facto res Experimentos de dos factores con replica Disefio experimental Problemas resueltos Problemas complementarios

Pruebas no parametricas Introducci6n La prueba de los signos Prueba U de Mann-Whitney Prueba H de Kruskal-Wallis Prueba H corregida para empates Prueba de rachas para aleatoriedad

348 348 348 348

349 349 350 350 350 351 351

352 352 352 363

365 365 365

366 366 367 367 368 368 369 369 370 370 370 371 372 375 .376 398

404 404 404 405 406 407 407

CAPiTULO 18

CAPiTULO 19

Contenido. XIII

Otras aplicaciones de la prueba de rachas 408 Correlaci6n de rangos de Spearman 408 Problemas resueltos 408 Problemas complementarios 430

Analisis de series de tiempo 436 Series de tiempo 436 Gnificas de las series de tiempo 436 Movimientos caracteristicos de las series de tiempo 437 Clasificaci6n de los movimientos de las series de tiempo 437 Amilisis de las series de tiempo 438 Promedios m6viles; suavizaci6n de las series de tiempo 438 Estimaci6n de la tendencia 439 Estimaci6n de las variaciones estacionales; fndice estacional 440 Desestacionalizaci6n de los datos 440 Estimaci6n de las variaciones cfclicas 441 Estimaci6n de las variaciones irregulares 441 Comparaci6n de los datos 441 Predicci6n 441 Resumen de los pasos fundamentales en el amilisis

de las series de tiempo 441 Problemas resueltos 442 Problemas complementarios 464

Control estadistico de procesos y capacidad de procesos Explicaci6n general de las gnificas de control Gnificas de control de variables y de atributos Gnificas de X y de R Pruebas para causas especiales Capacidad del proceso Gnificas P y gnificas NP Otras gnificas de control Problemas resueltos Problemas complementarios

Respuestas de los problemas complementarios

Apendices

indice

472 472 473 473 475 476 478 481 482 491

496

519

533

r

Acerca de los autores

MURRAY R. SPIEGEV obtuvo su maestrfa en ffsica y su doctorado en matematicas en Cornell University. Trabaj6 en Harvard University, Columbia University, Oak Ridge and Rensselaer Polytechnic Institute; ademas fue asesor en matematicas para diversas compa-iifas. Su ultimo cargo fue como profesor y presidente de matematicas en el Hartford Graduate Center de Rensselaer Polytechnic Institute. Su interes por las matematicas 10 acompaii6 durante toda su trayectoria, en especial en la rama que compende la aplicaci6n de la ffsica y de los problemas en ingenierfa. Fue autor de numerosos artfculos periodisticos y de 14 libros sobre temas matematicos.

LARRY J. STEPHENS es profesor de matematicas en University of Nebraska. Obtuvo su licenciatura en matematicas en Memphis State University y su maestrfa en matematicas por Oklahoma State University. Ha colaborado en 40 publicaciones a nivel profesional y cuenta con 25 aiios de experiencia enseiiando estadfstica. Su labor docente se ha desarrollado en instituciones como University of Arizona, Christian Brothers College, Gonzaga University, Oklahoma State University, University of Nebraska at Kearney y University of Nebraska at Omaha. Es autor de numerosos bancos de pruebas computarizados, junto con textos ele-mentales de estadfstica. Ha trabajado para la NASA, el Livermore Radiation Laboratory y el Los Alamos Laboratory. Desde 1989, el doctor Stephens es consultor e instructor en seminarios de estadfstica para grupos de ingenierfa en 3M en la planta de Nebraska.

Prefacio

PREFACIO DE LA TERCERA EDICION

AI preparar esta tercera edici6n de Schaum's Outline of Statistics. he reemplazado proble-mas antiguos por problemas que reflejan los cambios tecnol6gicos y sociol6gicos ocurridos desde que se public6 la primera edici6n en 1961. Por ejempl0. uno de los problemas en la segunda edici6n trata del tiempo de vida de los bulbos de radio. Como la mayorfa de las personas menores de 30 aiios probablemente no sepan 10 que es un bulbo de radio, este problema, 10 rnismo que muchos otros, fue sustituido por ejercicios que se refieren a temas actuales como el cuidado de la salud, el sida, Internet, los telefonos celulares, etcetera. Los asuntos matematicos y estadfsticos no han cambiado, s610 10 hicieron las areas de aplica-ci6n y los aspectos de calculo en estadfstica.

Otra mejora es la introducci6n en el texto de software para estadfstica. EI desarrollo de software para estadfstica, como SAS, SPSS Y Minitab, ha variado drasticamente las aplica-ciones de la estadfstica a problemas de la vida real. EI software para estadfstica mas usado, tanto en el medio academico como en el industrial, es el Minitab (Minitab Inc., 3081 Enterprise Drive, State College, PA 16801-3008). Quiero agradecer a Minitab Inc., por haberme otorgado el permiso para incluir, a 10 largo de todo ellibro, resultados de Minitab. Muchos de los textos modernos de estadfstica traen, como parte del libro, resultados de algun paquete de software para estadfstica. En esta obra decidf emplear Minitab, ya que es muy usado y porque es muy ami gable.

Una vez que el estudiante aprende las diversas estructuras de archivos de datos necesa-rias para usar Minitab, asf como la estructura de los comandos y subcomandos, puede trans-ferir con facilidad este conocimiento a otros paquetes de software para estadfstica. Gracias ala introducci6n de menus y cajas de dialogo, el software resulta muy ami gable. La obra adiciona tanto los menus como las cajas de dialogo que presenta Minitab. En muchos de los problemas nuevos se discute el importante concepto de pruebas estadfsticas. Cuando se public6 la primera edici6n, en 1961, el valor p no se utilizaba tan ampliamente como ahora, debido a que con frecuencia resulta diffcil determinarlo sin la ayuda de un software. En la actualidad, el software para estadfstica da el valor p de manera rutinaria, puesto que, con este apoyo, su calculo es, a menudo, un asunto trivial.

Un nuevo capftulo titulado "Control estadfstico de procesos y capacidad de procesos" reemplaz6 al capftulo 19, "Numeros fndices". Estos temas tienen gran aplicaci6n industrial, por 10 que se agregaron en ellibro. La inclusi6n, en los paquetes de software modernos, de las tecnicas de control estadfstico de procesos y de capacidad de procesos ha facilitado su utilizaci6n en muchos campos industriales. El software lleva a cabo todos los calculos, que son bastante laboriosos. Decidf usar Minitab porque me parece que es de los mejores pa-quetes para SPC.

Quiero agradecer a mi esposa Lana por su comprensi6n durante la preparaci6n de este libro; a mi amigo Stanley Wileman, por la ayuda computacional que me brind6; y a Alan Hunt y equipo, de Keyword Publishing Service Ltd., London, England, por su minucioso trabajo de producci6n. Por ultimo. quiero agradecer al equipo de McGraw-Hill su coopera-ci6n y ayuda.

Larry J. Stephens

XVIII Prefacio

PREFACIO DE LA SEGUNDA EDICI6N

La estadfstica, 0 los metodos estadfsticos, como se llama algunas veces. desempena un papel cada vez mas importante en casi todas las areas del quehacer humano. Aunque en un principio tenfa que ver solamente con asuntos de Estado. a 10 que debe su nombre. en la actualidad la influencia de la estadfstica se ha extendido a la agricultura. la biologia, el comercio. la qufmica. la comunicaci6n, la economfa, la educaci6n, la electr6nica, la medi-cina, la ffsica, las ciencias politicas, la psicologia, la sociologfa y a muchos otros campos de la ciencia y de la ingenierfa.

El prop6sito de esta obra es presentar una introducci6n a los principios generales de la estadfstica, que Ie sera util a todos los individuos sin importar su campo de especializaci6n. Se diseii6 para usarse ya sea como consulta para todos los textos estandar modernos 0 como libro para un curso formal de estadfstica. Sera tambien de gran valor como referencia para todos aquellos que esten aplicando la estadistica en su campo de investigaci6n particular.

Cada capftulo empieza con una presentaci6n clara de las definiciones correspondien-tes, los teoremas y principios, junto con algunos materiales ilustrativos y descriptivos. A esto Ie sigue un conjunto de problemas resueltos y complementarios, que en muchos casos usan datos de situaciones estadfsticas reales. Los problemas resueltos sirven para ilustrar y ampliar la teorfa, hacen enfasis en aquellos pequeiios puntos importantes sin los cuales el estudiante se sentirfa continuamente inseguro; ademas, proporciona una repetici6n de los principios basicos, aspecto que es vital para una enseiianza eficiente. En los problemas resueltos se incluyen numerosas deducciones de f6rmulas. La cantidad de problemas com-plementarios con respuestas son una revisi6n completa del material de cada capftulo.

Los unicos conocimientos matematicos necesarios para la comprensi6n de todo ellibro son la aritrnetica y el algebra elemental. En el capitulo I viene una revisi6n de los conceptos matematicos importantes, que se pueden leer al principio del curso 0 despues, cuando la necesidad se presente.

Los primeros capftulos se ocupan del analisis de las distribuciones de frecuencia y de las correspondientes medidas de tendencia central, dispersi6n, sesgo y curtosis. Lo anterior lIeva, de manera natural, a una discusi6n de la teorfa de probabilidad elemental y sus aplica-ciones, 10 que prepara el camino para el estudio de la teona del muestreo. De entrada, se abordan las tecnicas de las muestras grandes, que comprenden la distribuci6n normal, asf como las aplicaciones a la estimaci6n estadfstica y a pruebas de hip6tesis y de significancia. La teorfa de las muestras pequeiias, que comprende la distribuci6n t de Student, la distribu-ci6n chi cuadrada y la distribuci6n F, junto con sus aplicaciones, aparecen en un capftulo posterior. Otro capftulo sobre ajuste de curvas y el metoda de mfnimos cuadrados lIeva, de manera 16gica, a los temas de correlaci6n y regresi6n que involucran dos variables. La correlaci6n multiple y la parcial, que involucran mas de dos variables, son tratadas en un capftulo aparte. A este tema Ie siguen capitulos sobre el analisis de varianza y metodos no parametricos, que son nuevos en esta segunda edici6n. Dos capftulos finales tratan de series de tiempo y numero indice, en ese orden. Ademas, se ha incluido mas material del que se alcanza a cubrir en un primer curso. El objetivo es hacer ellibro mas flexible para propor-cionar una obra de referencia mas util y estimular un posterior interes en estos temas. La obra permite cambiar el orden de muchos de los ultimos capftulos u omitir algunos sin dificultad. Por ejemplo, los capftulos 13 al 15 y 18 y 19 pueden ser introducidos, en su mayor parte, inmediatamente despues del capitulo 5, si se desea tratar correlaci6n, regre-si6n, series de tiempo y numeros fndice antes de la teorfa del muestreo. De igual manera, dejar a un lado la mayor parte del capftulo 6, si no se desea dedicar mucho tiempo a proba-bilidad. En un primer curso, en ocasiones el capftulo 15 se ignora en su totalidad. EI orden se plantea debido a que en los cursos modernos hay una tendencia creciente a introducir teoria del muestreo y la inferencia estadfstica tan pronto como sea posible.

Quiero agradecer a varias instituciones, tanto publicas como privadas, su cooperaci6n al proporcionar datos para tablas. A 10 largo dellibro se dan las referencias apropiadas para esas fuentes. En particular, agradezco al profesor sir Ronald A. Fisher, F.R.S . Cambridge; al doctor Frank Yates, F.R.S., Rothamster; y a Messrs. Oliver and Boyd Ltd., Edinburgh, por

Prefacio XIX

haber otorgado el penniso para usar los datos de la tabla m de su libro Statistical Tables for BioLogicaL. AgriculturaL. and MedicaL Research. Tambien quiero agradecer a Esther y Meyer Scher. su apoyo. y al equipo de McGraw-Hili. su cooperaci6n.

Murray R. Spiegel

Problemas complementarios 435

17.63 Los precios de una acci6n al cierre, durante 25

Analisis de series de tiempo

, CAP T 01

FIGURA 18-1

Ventas trimostralos do discos com-pactos por OCOCO Inc.

SERIES DE TIEMPO

Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones tomadas en momentos 0 tiempos especfficos, generalmente a intervalos iguales. Ejemplos de series de tiempo son: la produc-ci6n anual total de acero en Estados Unidos durante cierto numero de arios, el precio diario de una acci6n al cierre en la bolsa de valores, las temperaturas a cada hora anunciadas por el centro meteorol6gico de una ciudad 0 el total de ventas mensuales de un supermercado.

Matematicamente, una serie de tiempo se define por medio de los valores YI , Y2, de una variable Y (temperatura, precio al cierre de una acci6n, etcetera) en los tiempos t l , t2, Por 10 tanto, Yes una funci6n de t; esto se denota por Y = F(t).

GRAFICAS DE LAS SERIES DE TIEMPO

Una serie de tiempo que involucra una variable Yesta representada por la construcci6n de una grafica de Y respecto de t, como ha ocurrido muchas veces en capftulos anteriores. Por ejemplo, la figura 18-1 es la grafica de una serie de tiempo que muestra las ventas trimestra-les de discos compactos por Desert Compact Discs and Cassettes Distributors (DCDCD Inc.). Los datos de las ventas cubren los cuatro trimestres de 1994 hasta los de 1997.

250

200 ,."

(/I 150 as -c:: ~ 100

50

0

Trimestre 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4 1 2 3 4

Ano 1994 1995 1996 1997

/

C/asificaci6n de los movimienfos de las series de fiempo _

MOVIMIENTOS CARACTERisTICOS DE LAS SERIES DE TIEMPO

437

Es interesante pensar en una gntiica de series de tiempo (como la que se presenta en la figura 18-1) como una gntiica que describe un punto moviendose con el paso del tiempo, analogo en muchos aspectos a la trayectoria de una partfcula ffsica que se mueve bajo la influencia de fuerzas ffsicas. Sin embargo, el movimiento puede resultar de una combina-ci6n de fuerzas econ6micas, sociol6gicas, fisiol6gicas, etcetera en lugar de ser por fuerzas ffsicas .

La experiencia con muchos ejemplos de series de tiempo ha revelado ciertos movi-mientos caracteristicos 0 variaciones, los cuales estan presentes en distintos grados. El analisis de dichos movimientos es valioso en muchas relaciones, entre las que una de elIas es el problema de predecir movimientos futuros . En consecuencia, no deb.e sorprender que muchas industrias y agencias del gobierno esten relacionadas con tan importante tema.

CLASIFICACION DE LOS MOVIMIENTOS DE LAS SERIES DE TIEMPO

Los movimientos caracterfsticos de las series de tiempo pueden clasificarse en cuatro tipos principales, lIamados componentes de las series de tiempo.

I . Movimientos a largo plazo 0 seculares. Estos se refieren a la direcci6n general en la que la grafica de series de tiempo parece seguir sobre un intervalo grande de tiempo. En fa figura 18-1, tal movimiento secular (0 variaci6n secular 0 tendencia secular, como tambien se Ie conoce) esta indicado poruna recta de tendencia, que se muestra discontinua. Para algunas series de tiempo puede ser mas adecuada una curva de tendencia. En el capftulo 13 se estudi61a determinaci6n de dichas rectas 0 curvas de tendencia por medio del metodo de minimos cuadrados. En este capftulo se analizan otros metodos.

2. Movimientos ciclicos 0 variaciones cfclicas. Estos tienen que ver con las oscilaciones o los movimientos respecto de una recta 0 curva de tendencia. Estos cielos, como se les denomina en ocasiones, son 0 no peri6dicos; es decir, pueden 0 no seguir patrones exactamente similares, despues de intervalos iguales de tiempo. En los negocios y las actividades econ6micas, los movimientos son considerados cfclicos s610 si se repiten despues de interval os mayores a un aDo. Un ejemplo importante de los movimientos cfclicos son los lIamados cielos de negocios, que representan intervalos de prosperi-dad, recesi6n, depresi6n 0 recuperaci6n. Los movimientos cfclicos, en cuanto a la recta de tendencia, son bastante claros en la figura 18-1.

3. Movimlentos estacionales 0 variaciones estacionales. Estos se relacionan con los pa-trones identicos 0 casi identicos que las series de tiempo parecen seguir durante los meses 0 trimestres correspondientes de aDos sucesivos. Tales movimientos se deben a eventos recurrentes que suceden anualmente, como el repentino incremento en las ven-tas de las tiendas de departamentos, previo ala Navidad. Los movimientos estacionales pueden verse facilmente en la figura 18-1; las ventas del cuarto trimestre son las mas altas en cada uno de los cuatro afios. Aunque los movimientos estacionales suelen co-nocerse en la teorfa de negocios 0 economfa como periodicidad anual, las ideas impli-cadas lIegan a extenderse para un periodo determinado (como dias, horas, semanas), dependiendo del tipo de datos disponibles.

4. Movimientos irregulares 0 aleatorios. Estos se refieren a los movimientos esporlirli-cos de las series de tiempo, debidos a eventos aleatorios tales como: inundaciones, huelgas 0 elecciones. Aunque generalmente se considera que tales eventos producen variaciones que duran poco tiempo, cabe la posibilidad de que sean tan intensos que resulten en nuevos movirnientos cfclicos 0 de otro tipo.

------------------- ------------------- --------

438 CAPfTULO 18 An6lisis de series de fiempo

ANALISIS DE LAS SERIES DE TIEMPO El anaIisis de series de tiempo consiste en una descripci6n (generalmente matematica) de los movimientos componentes presentes. Para comprender los procedimientos involucra-dos en dicha descripci6n, considerese la figura 18-2, que muestra las series de tiempo idea-les. La figura 18-2a) es la grafica de una recta de tendencia a largo plazo 0 secular (en lugar de una curva de tendencia, que se pudo haber utilizado tambien). La figura 18-2b) muestra esta recta de tendencia a largo plazo, con un movimiento cfclico sobrepuesto (que se supone peri6dico) y la figura 18-2c) contiene un movimiento estacional sobrepuesto ala figura 18-2b). Si se colocara alg\1n movimiento irregular 0 aleatorio sobre la figura 18-2c), el resulta-do serfa mas parecido a las series de tiempo reales que ocurren en la practica.

FIGURA 18-2 y y y

~--------------------t ~--------------------t ~--------------------t a) Tendencia a largo plazo b) Tendencia a largo plazo

y movimiento ciclico c) Tendencia a largo plazo

y movimientos ciclicos e~taciona1es

Los conceptos ilustrados en la figura 18-2 sugieren una tecnica para analizar las series de tiempo. Sup6ngase que la variable Y de series de tiempo es un producto de las variables T, C, S e [, que producen los movimientos cfclicos, estacionales e irregulares, respectiva-mente. Esto se denota como:

Y = T X C X S X [= TCS[ (1)

El anaIisis de las series de tiempo equivale a investigar los factores 1; C, S e [ y suele llamarse descomposicion de series de tiempo, en sus movimientos componentes basicos.

Cabe mencionarque algunos estadisticos prefieren considerar a Y como la suma T + C + S + [de las variables basicas implicadas. Aunque aqui se asumira la descomposici6n dada por la ecuaci6n (1), al examinar los metod os estudiados en este capitulo se presentan procedimien-tos analogos cuando se considera una suma. En la practica, decidir que metoda de des compo-sici6n debe adoptarse, dependera del grado de exito logrado al aplicar cada uno de ellos.

PROMEDIOS MOVILES; SUAVIZACION DE LAS SERIES DE TIEMPO

Dado un conjunto de numeros

un promedio movil de orden N se define como la secuencia de medias aritrneticas:

Yt+ Y2+ + YN Y2+Y3++ YN+1 Y3+Y4 ++YN +2 N N N , ...

(2)

(3)

Las sumas en los numeradores de la secuencia (3) se llaman totales m6viles de orden N.

EJEMPLO 1 Dados los numeros 2, 6,1,5,3,7 Y 2, un promedio m6vil de orden 3 estli dado por la secuencia 2+6+1

3 6+1+5 -----

3 1+5+3

3 5+3+7

3

3+7+2 3 0 3,4,3,5,4

Esfimoci6n de 10 tendencio 439

Se acostumbra localizar cada mlmero del promedio m6vil en su posici6n apropiada, relacionada con los datos originales. En este ejemplo se escribirfa

Datos originales 2,6, 1,5,3,7,2 Promedio m6vil de orden 3 3,4, 3, 5,4

donde cada mlmero del promedio m6vil es la media de los tres numeros inmediatamente por encima de ~l.

Si los datos se dan anual 0 mensualmente, un promedio m6vil de orden N se denomina, en ese orden, promedio m6vil de Nanos 0 promedio m6vil de N meses. Asf, se habla de promedios m6viles de 5 aiios, 12 meses, etcetera. Por obcedad, tambien puede usarse cual-quiera otra unidad de tiempo.

Los promedios m6viles tienen la propiedad de tender a reducir la cantidad de variaci6n presente en un conjunto de datos. Para las series de tiempo, esta propiedad suele usarse para eliminar fluctuaciones no deseadas y el proceso se llama suavizaci6n de las series de tiempo.

Si se utili zan medias aritmeticas ponderadas en la secuencia (3), con pesos especifica-dos de antemano, entonces la secuencia resultante se conoce como promedio m6vil ponde-rado de orden N.

EJEMPLO 2 Si los pesos I, 4 Y 1 se utilizan en el ejemplo I, un promedio m6vil ponderado de orden 3 est;1 dado por la secuencia

1(2) +4(6) + 1(1) 1+4+1

1(6) + 4(1) + 1(5) 1(1) + 4(5) + 1(3) 1(5) + 4(3) + 1(7) 1+4+1 1+4+1 1+4+1

1(3) + 4(7) + 1(2) 1+4+1

---- -- --------

04.5. 2.5. 4.0.4.0, 5.5.

ESTIMACION DE LA TENDENCIA Una tendencia puede estimarse de diferentes maneras:

1. Metodo de los mrnlmos cuadrados. Este metodo, descrito en el capftulo 13, puede usarse para calcular la ecuaci6n de una recta 0 curva de tendencia apropiada. Con esta ecuaci6n se suelen calcular los val ores de tendencia T.

2. Metodo na mano". Este metodo, que consiste en trazar una recta 0 curva de tendencia simplemente mirando la grafica, puede usarse para estimar T. Sin embargo, tiene la obvia desventaja de depender demasiado del juicio individual.

3. Metodo del promedlo m6vll. Por medio de promedios m6viles de orden adecuado, se pueden eliminar patrones cfclicos, estacionales e irregulares, dejando asf s610 el movi-miento de tendencia.

Una desventaja de este metodo es que los datos al inicio y final de las series se pierden, como en el ejemplo I, donde se inici6 con siete numeros y con un promedio m6vil de orden 3 se lleg6 a cinco numeros. Otra desventaja es que los promedios m6vi-les pueden generar ciclos u otros movirnientos que no estaban en los datos originales. Una tercera desventaja es que los promedios m6viles se yen muy afectados por val ores extremos. Para superar esto de alguna manera, algunas veces se utiliza un promedio m6vil ponderado con pesos adecuados; en tal caso, se da al dato 0 a los datos centrales el mayor peso y a los valores extremos se les proporcionan pesos pequeiios.

4. Metodo de los semlpromedlos. Este consiste en separar los datos en dos partes (de preferencia iguales) y calcular el promedio de los datos en cada parte, con 10 que se obtienen dos puntos en la grafica de series de tiempo. Despues se traza una recta de tendencia entre estos dos puntos. Los val ores de tendencia se deterrninan a partir de la recta de tendencia, pero tambien pueden deterrninarse de manera directa, sin grafica (vease el problema 18.6).

A pesar de que este metoda es sencillo de aplicar, suele conducir a resultados pobres cuando se utiliza en forma indiscriminada. Ademas, s610 es aplicable cuando la tenden-cia es lineal 0 aproximadamente lineal, aunque llega a extenderse a cas os en donde los datos pueden separarse en varias partes, en cada una de las cuales la tendencia sea lineal.

------ ----

440 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

ESTIMACION DE LAS VARIACIONES ESTACIONALES; iNDICE ESTACIONAL

Para detenninar el factor estacional S en la ecuaci6n (1), se debe estimar c6mo varian los datos en las series de tiempo de un mes a otro, considerando un afio tipico. Un conjunto de mlmeros que muestra los valores relativos de una variable durante los meses del afio se llama indice estacional de la variable. Por ejemplo, si se conoce que las ventas durante enero, febrero, marzo, etcetera, son de 50, 120,90, ... por ciento del promedio de las ventas mensuales para todo el afio, entonces los mlmeros 50, 120,90, ... proporcionan el fndice estacional del afio; estos mlmeros suelen llamarse numeros indice estacionaLes. EI prome-dio (media) del indice estacional para todo el afio debe ser 100, es decir, la suma de los mlmeros fndice de los 12 meses tiene que ser 1 200%.

Diversos metodos estan disponibles para calcular el fndice estacional:

1. Metodo de porcentale promedlo. En este metodo, los datos de cada mes se expresan como porcentajes del promedio del afio. Entonces, se promedian los porcentajes de los meses correspondientes de diferentes afios, usando una media 0 una mediana; si se usa la media, es mejor evitar cualquier valor extremo que pueda presentarse. Los 12 por-centajes resultantes dan el fndice estacional. Si su media no es 100% (es decir, si la suma no es 1 200%), entonces deben ajustarse, 10 que se logra multiplicandolos por un factor adecuado.

2. Metodo del porcentale de la tendencla 0 de la raxon de la tendencla. En este meto-do, los datos de cada mes se expresan como porcentajes de val ores de la tendencia mensual. Un promedio adecuado de los porcentajes para los meses correspondientes proporciona, entonces, el fndice requerido. Igual que en el metodo 1, estos se ajustan si no promedian 100%.

Observese que dividir cada valor mensual Y entre el valor de tendencia T correspon-diente, proporciona YIT = CSI, de la ecuaci6n (1), y que el siguiente promedio de YIT produce los indices estacionales. Mientras estos fndices incluyan variaciones cfclicas e irregulares, estas pueden ser una desventaja importante del metodo, especialmente si las variaciones son grandes.

13. Metodo del porcentale del promedlo movll 0 la raxon del promedlo movll. En este metodo se calcula un promedio m6vil de 12 meses. Dado que los resultados asf obteni-dos caen entre meses sucesivos, en lugar de en la rnitad del mes (que es donde caen los datos originales), se busca un promedio m6vil de 2 meses, de este promedio m6vil de 12 meses. EI resultado suele llamarse promedio m6vil centrado de I2 meses.

Despues de esto, se expresan los datos originales de cada mes como un porcentaje del promedio m6vil centrado de 12 meses correspondiente a los datos originales. Lue-go se promedian los porcentajes de los meses correspondientes, con 10 que se obtiene el fndice requerido. Como antes, si estos no promedian 100%, se hace un ajuste.

Observese que el razonamiento 16gico de este metodo parte de la ecuaci6n (1). Un promedio m6vil centrado de 12 meses de Y sirve para eliminar los movirnientos estacionales e irregulares S e I; por 10 tanto, es equivalente a los valores dados por TC. Entonces, al dividir los datos originales entre TC, se obtiene SI. Los promedios siguien-tes para los meses correspondientes sirven para eliminar la irregularidad I y producen en consecuencia, un fndice adecuado de S.

DESESTACIONALIZACION DE LOS DATOS

Si los datos mensuales originales se dividen entre los mlmeros Indice estacionales co-rrespondientes, los datos resultantes se Haman datos desestacionaLizados 0 ajustados a La variaci6n estacional. Tales datos aun incluyen movirnientos de tendencia, cfclicos e irregu-lares.

Resumen de los pasos fundamentales en el analisis 441

ESTIMACION DE LAS VARIACIONES CiCLICAS

Una vez que los datos han sido ajustados a las variaciones estacionales, tambien suelen ajustarse a la tendencia dividiendolos, sencillamente, entre los valores de tendencia corres-pondientes. De acuerdo con la ecuaci6n (1), el proceso de ajuste a la variaci6n estacional y a la tendencia es equivalente a dividir Yentre ST, que resulta en CI (las variaciones delicas e irregulares). Un promedio m6vil adecuado de pocos meses de duraci6n (como 3, 5 07 meses , de modo que en consecuencia no se necesita centrado) sirve, entonces, para suavizar las variaciones irregulares I y para dejar unicamente las variaciones dclicas C. Una vez que se han aislado estas variaciones dclicas, es posible estudiarlas en detalle. Si se presenta una periodicidad 0 periodicidad aproximada de cielos, se pueden construir indices dclicos de la misma manera que los fndices estacionales.

ESTIMACION DE LAS VARIACIONES IRREGULARES

Las variaciones irregulares (0 aleatorias) pueden estimarse ajustando los datos a las varia-ciones de tendencia, estacionales y cfclicas. Esto equivale a dividir los datos originales Y entre T, S Y C, 10 que [por la ecuaci6n (1)] da I. En la pnktica se encuentra que los movi-mientos irregulares se inelinan a tener una pequefia magnitud y suelen seguir el patr6n de una distribuci6n normal; es decir, las pequefias desviaciones ocurren con gran frecuencia y las desviaciones grandes suceden con poca frecuencia.

COMPARACION DE LOS DATOS

Al comparar datos, siempre se debe tener cuidado de que dicha comparaci6n este justifica-da. Por ejemplo, al comparar los datos de marzo con los de febrero, habra que tomar en cuenta que marzo tiene 31 dfas, mientras que febrero tiene 28 0 29 dfas; al comparar los datos de febrero de diferentes afios, se debe recordar que en un afio bisiesto febrero tiene 29 y no 28 dfas. Considerese otro ejemplo en el cual el nl1mero de dfas laborales, en diversos meses del mismo 0 de diferentes afios, puede variar debido a vacaciones, huelgas, dfas festivos, etcetera.

En la practica, no existe una regia definitiva para hacer los ajustes de dichas variacio-nes. La necesidad de tal ajuste se deja a elecci6n del investigador.

PREDICCION

Los metodos y principios anteriores se utilizan en el importante trabajo de predecir series de tiempo. Obviamente, se debe tener en cuenta que el tratamiento matematico de los datos no resuelve por sf mismo todos los problemas. Sin embargo, unido al sentido comun, a la experiencia, al ingenio y buenjuicio del investigador, el analisis matematico ha probado ser valioso para la predicci6n a corto y a largo plazos.

RESUMEN DE LOS PASOS FUNDAMENTALES EN EL ANALISIS DE LAS SERIES DE TIEMPO

1. Obtener datos para las series de tiempo, haciendo todo el esfuerzo para que estos datos sean confiables. Tener siempre en cuenta el prop6sito eventual del analisis de las series de tiempo; por ejemplo, si se desea predecir una serie de tiempo dada, puede ser util lograr series de tiempo relacionadas (asf como tambien otra informaci6n). Si es nece-sario, hay que ajustar los datos para compararlos, como sucede en afios bisiestos y vacaciones, etcetera.

442 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

2. Graficar las series de tiempo, sefialando cualitativamente la presencia de variaciones estacionales, de tendencia a largo plazo y cfclicas.

3. Construir la curva 0 recta de tendencia a largo plazo y obtener los valores de tendencia adecuados, usando los metodos de minimos cuadrados, "a mano", promedios m6viles o semipromedios.

4. Si existen variaciones estacionales, sacar un indice estacional y desestacionalizar los datos (es decir, ajustar los datos a la variaci6n estacional).

5. Ajustar los datos desestacionalizados a la tendencia. Los datos resultantes contienen (de manera te6rica) unicamente la variaci6n ciclica y la irregular. Un promedio m6vil de 3, 5 07 meses servira para eliminar las variaciones irregulares, revelando las varia-ciones cfclicas.

6. Dibujar las variaciones ciclicas obtenidas en el paso 5, sefialando cualquier periodici-dad 0 periodicidad aproximada que pueda presentarse.

7. Si se desea predecir, bay que combinar los ' resultados de los pasos 1 al 6 Y utilizar tambien cualquier otra informaci6n disponible. Identificar y evaluar todas las posibles fuentes de error y sus magnitudes.

Problemas resueltos

Movimientos caracteristicos de las series de tiempo

18.1 "Con cual movimiento caracteristico de una serie de tiempo asociaria a) el incen-dio en una fabrica, que retrasa su producci6n por 3 semanas, b) una epoca de prosperidad; c) una venta posvacacional en una tienda departamental; d) la necesi-dad de un incremento en la producci6n de trigo, debida al crecimiento constante de la poblaci6n, y e) el numero mensual de pulgadas .de lluvia en una ciudad durante 5 afios?

SOLUCI6N

Los movimientos caracterfsticos son a) irregular, b) ciclico, c) estacional, d) a largo plazo y e) estacional.

Promedios moviles; suavizacion de las series de tiempo

18.2 La tabla 18-1 muestra el numero de asesinatos (en miles) en Estados Unidos du-rante los afios 1985-1995. Construya a) un promedio m6vil de 5 afios y b) un promedio m6vil de 4 afios.

Tabla 18-1

Ano 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Asesinatos (en miles) 19.0 20.6 20.1 20.7 21.5 23.4 24.7 23.8 24.5 23.3 21.6

Fuente: Oficina Federal de Investigaci6n de Estados Unidos.

SOLUCI6N

a) Refierase a la tabla 18-2. En la columna 3, el primer total m6vil, 101.9, es la suma de la primera a la quinta entradas de la columna 2; el segundo total m6vil, 106.3, es la

Ano

1985

1986

1987

1988

1989

1990

1991

1992

1993

1994

1995

,

Problemas resue/tos 443

suma de la segunda a la sexta entradas de la columna 2, etcetera. Al dividir cada total m6vil entre 5 se obtiene el promedio m6vil requerido (columna 4).

b) Refierase a la tabla 18-3. Los totales m6viles de 4 aDos se obtienen igual que en el inciso a), excepto que en lugar de sumar 5 entradas de la columna 2, se suman 4 entradas. Observese que, a diferencia del metodo en el inciso a), los totales m6viles se centran entre ai'los sucesivos. Esto sucede siempre que un mlmero par de aDos se toma como el promedio m6vil. Los promedios m6viles de 4 aDos se obtienen divi-diendo los totales m6viles de 4 afios entre 4.

Tabla 18-2 Tabla 18-3

Datos

19.0

20.6

20.1

20.7

21.5

23.4

24.7

23.8

24.5

23.3

21.6

Total m6vil de 5 afios

101.9

106.3

110.4

114.1

117.9

119.7

117.9

Promedio Promedio m6vil de Total m6vil m6vil de 5 aDos Ano Datos de 4 afios 4 aDos

1985 19.0

1986 20.6 80.4 20.100

20.38 1987 20.1 82.9 20.725

21.26 1988 20.7 85.7 21.425

22.08 1989 21.5 90.3 22.575

22.82 1990 23.4 93.4 23.350

23.58 1991 24.7 96.4 24.100

23.94 1992 23.8 96.3 24.075

23.58 1993 24.5 93.2 23.300

1994 23.3

1995 21.6

Los promedios m6viles se calculan usando software estadfstico, mas que "a mano". Los promedios m6viles dados en las tablas 18-2 y 18-3 se calculan facilmen-te usando Minitab. Si se utilizan los menus Stat -t time ri.. -t aoviDg ave-rag., se pueden determinar promedios m6viles de cualquier tamafio. Los promedios m6viles de tamafio cuatro calculados con Minitab resultan como sigue:

MTB > print c1 c2

Data Display

Row Murders AVER1

1 19.0 * 2 20.6 * 3 20.1 * 4 20.7 20.100 5 21.5 20.725

6 23 . 4 21.425 7 24.7 22.575

8 23.8 23.350

9 24.5 24.100 10 23.3 24.075 11 21.6 23.300

Observese que los promedios m6viles en la columna denorninada AVJ:Rl son iguales a aqueUos dados en la columna 4 de la tabla 18-3.

18.3 Construya un promedio m6vil centrado de 4 aDos para los datos del problema 18.2. Ademas, utilice Minitab para obtener el promedio m6vil centrado de 4 aDos.

444 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

SOLUCI6N

Primer metodo

Primero se calcula un promedio m6vil de 4 alios, como en el problema 18.2b); estos valo-res estan centrados entre alios sucesivos, como se muestra en la tabla 18-4. Si ahora se busca un total m6vil de 2 aiios de estos promedios m6viles, los resultados se centran en los alios requeridos. Al dividir los resultados de la columna 4 entre 2, se obtiene el prome-dio m6vil centrado requerido (columna 5).

Tabla 18-4

Promedio Promedio m6vil m6vil de Total m6vil de 2 alios eentrado de 4 alios

Aiio Datos 4 alios de la columna 3 (columna 4 + 2)

1985 19.0

1986 20.6 20.100

1987 20.1 20.725

40.825 20.413

1988 20.7 21.425

42.150 21.075

1989 21.5 22.575

44.000 22.000

1990 23.4 23.350

45.925 22.963

1991 24.7 24.100

47.450 23.725

1992 23.8 24.075

48.175 24.088

1993 24.5 23.300

47.375 23.688

1994 23.3

1995 21.6

Segundo metodo

Primero se calcula un total m6vil de 4 alios, como en el problema 18.2b); estos valores estan centrados entre alios sucesivos, como se muestra en la tabla 18-5. Si se busca un total m6vil de 2 alios de estos totales m6viles de 4 alios, los resultados se centran en los alios requeridos. AI dividir los resultados de la columna 4 entre 8 (2 x 4), se obtiene el promedio m6vil requerido.

Tabla 18-5

Promedio Promedio m6vil m6vil de Total m6vil de 2 alios centrado de 4 alios

Aiio Datos 4 aiios de la columna 3 (columna 4 + 8)

1985 19.0

1986 20.6 80.4

1987 20.1 82.9

163.3 20.413

1988 20.7 85.7

168.6 21.075

1989 21.5 90.3

176.0 22.000

1990 23.4 93.4

183.7 22.962

1991 24.7 96.4

189.8 23.725

1992 23.8 96.3

192.7 24.087

1993 24.5 93.2

189.5 23.688

1994 23.3

1995 21.6

La soluci6n de Minitab procede de la siguiente manera: Se introducen los datos en la columna I y despues se utilizan los menus Stat time -+ aeriea -+ moving average para calcular el promedio m6vil centrado. Ahora se muestran los promedios m6viles cen-trados de tamalio cuatro, calculados con Minitab.

,.

,..

Problemas resueltos 445

MTB > pr int cl c2

Data Display

Row Murders AVER 1

1 19.0 * 2 20.6 * 3 20.1 20.413

4 20.7 21.075

5 21. 5 22.000

6 23.4 22.962

7 24.7 23.725

8 23.8 24.087

9 24.5 23.688

10 23.3 * 11 21. 6 *

Estos son los mismos promedios m6viles centrados que se encuentran en las tablas 18-4 y 18-5.

18.4 Demuestre que el promedio m6vil centrado de 4 aiios del problema IS.3 es equiva-lente a un promedio m6vil ponderado de 5 aDos, con pesos 1,2,2,2 Y 1, respecti-vamente.

SOLUCI6N

La tabla 18-6 muestra el caIculo de los promedios m6viles ponderados de 5 aiios. La pri-mera entrada en la columna 3 es igual a 19.0 + 2(20.6) + 2(20.1) + 2(20.7) + 21.5 = 163.3 Y la primera entrada en la columna 4 es iguaI a 163.3 + 8 = 20.4125 0 20.413 con 3 decimales. Las entradas en las colurnnas 3 y 4 se caIculan de manera similar. Observese que los promedios m6viles ponderados de 5 aiios de la tabla 18-6 son iguaIes a los pro me-dios m6viles centrados de 4 aiios de la tabla 18-4.

Tabla 18-6

Total m6vil ponderado Promedio m6vil Ano Datos de 5 aiios ponderado de 5 aiios

1985 19.0

1986 20.6

1987 20.1 163.3 20.413

1988 20.7 168.6 21.075

1989 21.5 176.0 22.000

1990 23.4 183.7 22.963

1991 24.7 189.8 23.725

1992 23.8 192.7 24.088

1993 24.5 189.5 23.688

1994 23.3

1995 21.6

18.5 Grafique el promedio m6vil del problema IS.2a) y los datos originales de la tabla IS-I.

SOLUCI6N

La grMica de los datos originaIes se indica con una Ifnea continua en la figura 18-3 y la grMica del promedio m6vil, con una Ifnea discontinua. Observese c6mo el promedio m6-

446 CAPiTULO 18 An6lisis de series de fiempo

vii ha suavizado la grMica de los datos originales, mostrando c1aramente la recta de ten-dencia. Una desventaja del promedio m6vil es que los datos del final y del inicio de las series de tiempo se pierden. Esto suele ser serio cuando la cantidad de datos no es muy grande.

FIGURA 18-3 25

Ano

'iii' 24 .!! E 23 c .!. (/)

22 0 .. as c 'iii 21 CII (/) c(

20

19

Ano

Estimacion de la tendencia

18.6 Usando el metodo de semipromedios, obtenga los valores de tendencia para los datos del problema 18.2 tomando como promedio a) la media y b) la mediana.

SOLUCI6N

a) Se dividen los datos en dos partes iguales (omitiendo el ano central, 1990), como se muestra en la tabla 18-7. Despues se cal cuI a la media de los datos en cada parte. La media 20.38 corresponde a 1987 y la media 23.58 a 1993.

1985

Tabla 18-7

1985 19.0 1991 24.7

1986 20.6 1992 23.8

1987 20.1 1993 24.5

1988 20.7 1994 23.3

1989 21.5 1995 21.6

Media = 20.38 Media = 23.58

La ecuaci6n de la recta que une los puntos (1987, 20.38) Y (1993, 23.58) es y -20.38 = 0.5333(x - 1987), donde x representa el aflo y y el mlmero de asesinatos. AI evaluar y para x igual a los aflos de 1985 a 1995, se pueden encontrar los valores de tendencia. Estos se presentan en la tabla 18-8.

Tabla 18-8

1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Valor de tendencia 19.31 19.85 20.38 20.91 21.45 21.98 22.51 23.05 23.58 24.11 24.87

b) La mediana de los anos 1985 a 1989 es 20.6 y la mediana de los aflos 1991 a 1995 es 23.8. La ecuaci6n de la recta que une los puntos (1987, 20.6) y (1993, 23.8) es y-20.6 = 0.5333(x - 1987), donde x representa el ano y y el mlmero de asesinatos. AI evaluar y para x igual a los aflos de 1985 a 1995, se pueden encontrar los valores de tendencia. Estos se presentan en la tabla 18-9.

Problemas resue/tos 447

Tabla 18-9

Ario 1985 1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Valor de tendencia 19.53 20.07 20.60 21.13 21.67 22.20 22.73 23.27 23.80 24.33 24.87

Cuando se usan las medianas, algunas veces el metoda se llama metoda de semimedianas. Si no se especifica el tipo de promedio, entonces se considera a la media.

18.7 Describa c6mo utilizar a) el metodo "a mano" y b) el metodo de promedios m6-viles para calcular los val ores de tendencia para los datos del problema 18.2.

SOLUCI6N

a) Usando el metoda "a mano", simplemente se construye una recta 0 una curva que se aproxime bastante a la grMica de la figura 18-3 y despues se leen los valores de tendencia a partir de esta recta 0 curva.

b) En el problema 18.5 se via que el promedio m6vil de 5 arios suaviz6 considerable-mente los datos de las series de tiempo. Se pueden utilizar los promedios m6viles de la tabla 18-2 como valores de tendencia para los arios 1987-1993.

18.8 a) Utilice Minitab para ajustar una recta a los datos del problema 18.2. Use la ecua-ci6n de esta recta de mfnirnos cuadrados para ca1cular los val ores de tendencia.

b) Utilice Minitab para ajustar una parabola a los datos del problema 18.2. Use la ecuaci6n de esta curva de minimos cuadrados para ca1cular los valores de tendencia.

SOLUCI6N

a) El resultado de Minitab para el ajuste de una recta a los datos del problema 18.2 es el siguiente:

Regression Analysis

The regression equation is

Murder = -817 + 0.422 Year

Predictor

Constant

Year

Coef

-817.3

0.4218

StDev

263.8

0.1326

T

-3.10

3.18

S=1.390 R-Sq=52.9% R-Sq(adj)=47.7%

P

0.013

0.011

Los valores de tendencia se obtienen evaluando la ecuaci6n de regresi6n para los afios 1985-1995. Los resultados se muestran en la tabla 18-10.

Tabla 18-10

Ano Asesinatos Valor de tendencia Residual

1985 19.0 20.00 -1 .00

1986 20.6 20.42 0.18

1987 20.1 20.84 -0.74

1988 20.7 21.27 -0.57

1989 21.5 21.69 -0.19

1990 23.4 22.11 1.29

1991 24.7 22.53 2.17

1992 23.8 22.95 0.85

1993 24.5 23.37 1.13

1994 23.3 23.80 -0.50

1995 21.6 24.22 -2.62

448 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

b) EI resultado de Minitab para el ajuste de una pardbola a los datos del problema 18.2 es el siguiente:

Regression Analysis

The regression equation is

Murder = -411596 + 413 Year - 0.104 YearSq

Predictor Coef StDev T

Constant -411596 136581 -3.01

Year 413.3 137.3 3.01

YearSq -0.10373 0.03449 -3.01

S=1.010 R-Sq=77.9\ R-Sq(adj) =72.4\

P

0.017

0.017

0.017

Los valores de tendencia se obtienen evaluando la ecuaci6n de regresi6n para los anos 1985-1995. Los resultados se muestran en la tabla 18-11.

Tabla 18-11

Ano Asesinatos Valor de tendencia Residual

1985 19.0 18.44 0.56

1986 20.6 19.80 0.80

1987 20.1 20.95 -0.85

1988 20.7 21.89 -1.19

1989 21.5 22.62 -1.12

1990 23.4 23.15 0.25

1991 24.7 23.46 1.24

1992 23.8 23.58 0.22

1993 24.5 23.48 1.02

1994 23.3 23.17 0.13

1995 21.6 22.66 -1.06

La suma de cuadrados de los residuales en la tabla 18-10 es 17.397 Y la suma de cuadrados de los residuales para la tabla 18.11 es 8.165. Es claro que la pardbola da el mejor ajuste y los valores de tendencia son mds reales.

Estimacion de las variaciones estacionales; indice estacional

18.9 La tabla 18-12 muestra los nuevos proyectos de construcci6n de vivienda mensua-les (en miles) en Estados Unidos, de enero de 1990 a diciembre de 1995. a) Construya una gratica de los datos.

b) Obtenga un fndice estacional utilizando el metodo del porcentaje-promedio.

SOLUCI6N

a) Vease la figura 18-4.

b) La tabla 18-13 muestra los totales y los promedios mensuales (medias) de los anos 1990-1995.

Las entradas de la tabla 18-14 se obtienen dividiendo los datos mensuales de la tabla 18-12 entre los promedios mensuales correspondientes a cada ano de la tabla 18-13 y expresando el resultado en porcentaje. Por ejemplo, la entrada de enero de 1990 estd dada por 99.2/99.4 = 99.8%; la entrada de enero de 1991 estd dada por 52.5/84.5 = 62.1%, etcetera. La ultima columna de la tabla 18-14 muestra el porcentaje medio de cada mes.

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Problemas resueltos 449

Como el total de estos porcentajes es I 199.8, deben multiplicarse por I 200/1 199.8 para dar un total de 1 200. Sin embargo, esta multiplicaci6n no cambia los porcentajes men-suales de manera significativa. Por 10 tanto, los mlmeros de esta columna representan el fndice estacional requerido. Este fndice estacional indica que, en promedio, los proyectos de construcci6n de vivienda son menores en diciembre, enero y febrero, rnientras que son mayores en mayo y junio.

Tabla 18-12

1990 1991 1992 1993 1994 1995

99.2 52.5 71.6 70.5 76.2 84.5

86.9 59.1 78.8 74.6 83.5 81.6 108.5 73.8 111.6 95.5 134.3 103.8 119.0 99.7 107.6 117.8 137.6 116.9

121.1 97.7 115.2 120.9 148.8 130.5

117.8 103.4 117.8 128.5 136.4 123.4

111.2 103.5 106.2 115.3 127.8 129.1

102.8 94.7 109.9 121.8 139.8 135.8

93.1 86.6 106.0 118.5 130.1 122.4

94.2 101.8 111.8 123.2 130.6 126.2

81.4 75.6 84.5 102.3 113.4 107.2

57.4 65.6 78.6 98.7 98.5 92.8

Fuente : Oficina del Censo de Estados Unidos, reportes de construcciones actuales.

FIGURA 18-4

Nuevos proyedos de construcci6n de vivienda en Estados Unidos, 1990-1995.

150

c 140 -0 '8 130 2 120 - .. ! -g 110 o OIl ~ ~ 100 '0 > III OIl 90 0'0

I ~~ D.. 60

50

Ano 1990 1991

Ano 1990

Total 1 192.6

Media 99.4

1992 1993 1994 1995

Tabla 18-13

1991 1992 1993 1994 1995

1 014.0 1 199.6 1287.6 1457.0 1354.2

84.5 100.0 107.3 121.4 112.9

18.10 Calcule el indice estacional del problema 18.9, usando la mediana en lugar de la media.

SOLUCI6N

AI acomodar en orden de magnitud, los mlmeros, en el rengl6n de enero, de la tabla 18-14, se tiene 62.1, 62.8, 65.7, 71.6, 74.8 y 99.8, de donde la mediana es

(65.7 + 71.6)/2 = 68.7 Las medianas para los otros meses se obtienen de manera similar y se muestran en la segunda columna de la tabla 18-15. Dado que las medianas suman I 197.8, se ajustan

Ano

Promedio mensual

Tiempo

Promeruo mensual

,

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Problemas resueltos 451

Tabla 18-16

1990 1991 1992 1993 1994 1995

99.4 84.5 100.0 107.3 121.4 112.9

Tabla 18-17

6.5 18.5 30.5 42.5 54.5 66.5

99.4 84.5 100.0 107.3 121.4 112.9

Se utiliza Minitab para calcular la recta de minimos cuadrados, con los datos de la tabla 18-17.

Row Y X

1 99.4 6.5

2 84.5 18.5

3 100.0 30.5

4 107.3 42.5

5 121.4 54.5

6 112.9 66.5

MTB> regress 'Y' on 1predictor 'x'

Regression Analysis

The regression equation is

Y = 88.1 + 0.442 X

Al evaluar la ecuaci6n Y = 88.1 + 0.422X para X igual a los mlmeros enteros del I al 72, se obtienen los valores de tendencia de enero de 1990 a diciembre de 1995. Estos se presentan en la tabla 18-18.

Tabla 18-18

1990 1991 1992 1993 1994 1995

88.5 93.6 98.6 103.7 108.8 113.8

88.9 94.0 99.1 104.1 109.2 114.3

89.4 94.4 99.5 104.6 109.6 114.7

89.8 94.9 99.9 105.0 110.0 115.1

90.2 95.3 100.3 105.4 110.5 115.5

90.6 95.7 100.8 105.8 110.9 116.0

91.1 96.1 101.2 106.2 111.3 116.4

91.5 96.5 101.6 106.7 111.7 116.8

91.9 97.0 102.0 107.1 112.2 117.2

92.3 97.4 102.4 107.5 112.6 117.6

92.7 97.8 102.9 107.9 113.0 118.1

93.2 98.2 103.3 108.4 113.4 118.5

Ahora se divide cada uno de los val ores mensuales dados en la tabla 18-12 entre los valores de tendencia correspondientes, de la tabla 18-18. Los resultados, expresados en

452 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

Mes 1990

Enero 112.1

Febrero 97.8

Marzo 121.4

Abril 132.5

Mayo 134.3

Junio 130.0

Julio 122.1

Agosto 112.3

Septiembre 101.3

Octubre 102.1

Noviembre 87.8

Diciembre 61.6

porcentajes, se muestran en la tabla 18-19. Dado que la suma de medias en la columna 8 es 1 208.2, se ajusta multiplicando por 1 200/1 208.2, para obtener la columna 9, el fndice estacional . De manera similar, la suma de las medianas en la columna 10 es 1 193 Y se ajusta multiplicando la columna 10 por 1 200/1 193, para obtener la columna 11.

Tabla 18-19

Media Mediana 1991 1992 1993 1994 1995 Media ajustada Mediana ajustada

56.1 72.6 68.0 70.0 74.3 75.5 75.0 71.3 71.7

62.9 79.5 71.7 76.5 71.4 76.6 76.1 74.1 74.5

78.2 112.2 91.3 122.5 90.5 102.7 102.0 101.8 102.3

105.1 107.7 112.2 125.1 101.6 114.0 113.2 110.0 110.6

102.5 114.9 114.7 134.7 113.0 119.0 118.2 114.8 115.5

108.0 116.9 121.5 123.0 106.4 117.6 116.8 119.2 119.9

107.7 104.9 108.6 114.8 110.9 111.5 110.7 109.8 110.4

98.1 108.2 114.2 125.2 116.3 112.4 111 .6 113 .3 113.9

89.3 103.9 110.6 116.0 104.4 104.3 103 .5 104.2 104.8

104.5 109.2 114.6 116.0 107.3 108.9 108.2 108.3 108.9

77.3 . 82.1 94.8 1OD.4 90.8 88.9 88.3 89.3 89.8

66.8 76.1 91.1 86.9 78.3 76.8 76.3 77.2 77.7

18.12 Calcule un fndice estacional para los datos del problema 18.9, usando el metodo del porcentaje del promedio m6vil (0 la raz6n del promedio m6vil) . Uti lice Minitab para ayudarse a resolver el problema.

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

SOLUCI6N

Se eligen los menus de Minitab Stat -7 Time .erie. -7 Moving Average. Despues se se1ecciona el promedio m6vil de tamafio igual a 12, se centran los promedios m6viles y se almacenan. EI resultado de este anaIisis se muestra en 1a tabla 18-20.

Tabla 18-20

1990 1991 1992 1993 1994 1995

85.204 94.313 100.779 116.904 115.129 84.546 95.058 101.654 118.175 115.017 83.938 96.500 102.671 119.408 114.529 83.983 97.725 103 .667 120.200 114.025 84.058 98.512 104.883 120.971 113.583 84.158 99.425 106.462 121.425 113.088

97.438 85.296 99.921 107.537 121.763 94.333 86.912 99.700 108.146 122.029 91.729 89.308 98.854 110.133 120.679 89.479 91.213 98 .608 112.575 118.546 87.700 92.271 99.271 114.563 116.921 86.125 93 .600 99.954 116.054 115.617

Los resultados presentados en la tabla 18-20 estan graficados en la figura 18-5; ob-servese que el patr6n estacional ha sido elirninado, suavizando asf, de cierto modo, la grMica. Ahora se divide cada uno de los valores mensuales reales entre el promedio m6vil centrado de 12 meses correspondiente y cada resultado se expresa como un porcentaje. En Minitab, esto se logra colo cando los 72 proyectos de construcci6n de vivienda en la co-

..

FIGURA 18-5

Promedio m6vil centra do de 12 meses.

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

1990

114.1

109.0

101.5

105.3

92.8

66.6

Problemas resueltos 453

lumna I Y los promedios centrados de 12 meses, de la tabla 18-20, en la columna 2, despues se utiliza el comando Let c3 c1/c2. Entonces, la columna 3 contendd los valores mostrados en la tabla 18-21.

1991

61.6

69.9

87.9

118.7

116.2

122.9

121.3

109.0

97.0

111.6

81.9

70.1

120

c ~ 110 u 2 u;~ c c 8~ CD ~ 100 "0 > II) CD 0"0 "0

~ 90 0..

80

Ana 1990 1991

Tabla 18-21

1992 1993 1994 1995

75.9 70.0 65.2 73.4

82.9 73.4 70.7 70.9

115.6 93.0 112.5 90.6

110.1 113.6 114.5 102.5

116.9 115.3 123.0 114.9

118.5 120.7 112.3 109.1

106.3 107.2 105.0 110.2 112.6 114.6 107.2 107.6 107.8 113.4 109.4 110.2 85.1 89.3 97.0 78.6 85.0 85.2

1992 1993 1994 1995

Media Mediana Media ajustada Mediana ajustada

69.2 69.7 70.0 70.8

73.6 74.1 70.9 71.8

99.9 100.7 93.0 94.2

111.9 112.7 113.6 115.1

117.3 118.2 116.2 117.7

116.7 117.6 118.5 120.0

110.8 111 .6 107.2 108.6

111.1 111.9 110.2 111.6

104.2 105.0 107.2 108.6

110.0 110.8 110.2 111.6

89.2 89.9 89.3 90.4

77.1 77.7 78.6 79.6

Los indices estacionales se presentan en la tabla 18-21. Dado que la suma de las medias en la columna 8 es igual a I 191 , los valores en esta columna se multiplican por 1 200/1 191 para obtener la columna de medias ajustadas. Puesto que la suma de las me-dianas en la columna 10 es igual a I 185, los valores en esta columna se multiplican por I 200/1 185 para sacar la columna de las medianas ajustadas.

18.13 Utilice Minitab para calcular el fndice estacional de los datos del problema 18.9 .

SOLUCI6N

Se usan los siguientes menus de Minitab: Stat --+ TiIII. s.ri --+ Decompadtion. EI tipo de modelo es el multiplicativo. Se eligen la tendcncia y el estacional como las com-ponentes del modelo, de donde se almacenan los estacionales. EI resultado de Minitab es el siguiente:

Time Series Decomposition

Data

Length

NMiss i ng

Starts

72.0000

o

454 CAPITULO 18 Analisis de series de tiempo

Trend Line Equation

yt = 87.7470 + O. 451756*t

Seasonal Indices

Period Index

1 0.708730

2 0.718379

3 0.943310

4 1. 15295

5 1.17947

6 1. 20045

7 1.08609

8 1.11415

9 1. 08333

10 1.11307

11 0.903956

12 0.796113

Si los Indices se multiplican por 100 para convertirlos en porcentajes, se obtienen los Indices estacionales 70.9, 71.8, 94.3, 115.3, 117.9, 120.0, 108.6, 111.4, 108.3, 111.3,90.4 Y 79.6.

Minitab calcula el Indice estacional siguiendo esta secuencia de pasos:

Paso 1. Se ajusta una recta a todos los datos, utilizando la regresi6n de mlnimos cuadrados.

Paso 2. Se elimina la tendencia de los datos al dividirlos entre el componente de tendencia.

Paso 3. Los datos sin tendencia se suavizan con un promedio m6vil centrado, de tamano igual al tamano del cicio estacional. En el caso de datos mensuales, el tamano es igual a 12.

Paso 4. Los datos del promedio m6vil se dividen entre los datos sin tendencia para obtener 10 que se conoce como estacionales brutos.

Paso 5. Dentro de cada periodo estacional, se calcula el valor de la mediana de los estacionales brutos. Las medianas se ajustan, de tal manera que su media sea igual a uno.

Ahora se ejemplificaran los cinco pasos utilizados por el software Minitab para lIe-gar a los Indices estacionales. Sup6ngase que se introducen los proyectos de construcci6n de vivienda de la tabla 18-12, en una columna de la hoja de C!i\culo, y que se introducen los meses en otra columna donde enero de 1990 se codifica como I, febrero de 1990 como 2, etcetera, hasta diciembre de 1995, que se codifica como 72. La ecuaci6n de minimos cuadrados de la recta con mejor ajuste es la siguiente:

MTB > Regress 'Starts' 1 'time';

SUBC> Constant;

SUBC> Br ief 1.

Regression Analysis

The regression equation is

Starts - 87.7 + 0.452 time

Predictor

Constant

time

Coef

87.747

0.4518

StDev

4.741

0.1129

T

18.51

4.00

P

0.000

0.000

S=19.91 R-Sq = 18.6% R-Sq (adj) = 17.5%

... I

..

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Problemas resueltos 455

EI componentede tendencia secalcula evaluando laecuaci6n Start. "' 87.7 + 0.'5::1 tim. para cada uno de los puntos temporales dell al 72. Los resultados se presentan en la tabla 18-22.

Tabla 1822

1990 1991 1992 1993 1994 1995

88.2 93.6 99.0 104.5 109.9 115.3

88.7 94.1 99.5 104.9 110.3 115.8

89.1 94.5 100.0 105.4 110.8 116.2

89.6 95.0 100.4 105.8 111.3 116.7

90.0 95.4 100.9 106.3 111.7 117.1

90.5 95.9 101.3 106.7 112.2 117.6

90.9 96.3 101.8 107.2 112.6 118.0

91.4 96.8 102.2 107.6 113.1 118.5

91.8 97.2 102.7 108.1 113.5 118.9

92.3 97.7 103.1 108.5 114.0 119.4

92.7 98.1 103.6 109.0 114.4 119.8

93.2 98.6 104.0 109.4 114.9 120.3

Los valores de los datos de la tabla 18-12 se dividieron entre los valores de tendencia de la tabla 18-22 para eliminar la tendencia de ~stos. Los resultados se muestran en la tabla 18-23.

Tabla 1823

1990 1991 1992 1993 1994 1995

1.125 0.561 0.723 0.675 0.693 0.733

0.980 0.628 0.792 0.711 0.757 0.705

1.218 0.781 1.117 0.906 1.212 0.893

1.329 1.050 1.072 1.113 1.237 1.002

1.345 1.024 1.142 1.138 1.332 1.114

1.302 1.078 1.163 1.204 1.216 1.050

1.223 1.074 1.044 1.076 1.135 1.094

1.125 0.978 1.075 1.132 1.237 1.146

1.014 0.891 1.033 1.096 1.146 1.029

1.021 1.042 1.084 1.135 1.146 1.057

0.878 0.770 0.816 0.939 0.991 0.895

0.616 0.665 0.756 0.902 0.858 0.771

Los datos sin tendencia de la tabla 18-23 se suavizan utilizando un promedio m6vil centrado. con tamaiio igual a 12. Los resultados se yen en la tabla 18-24.

Los datos de promedio m6vil en la tabla 18-24 se dividen entre los datos sin tenden-cia en la tabla 18-23 para obtener estacionales brutos. Los resultados se presentan en la tabla 18-25.

Los fndices estacionales, mostrados en la ultima columna de la tabla 18-25, son igua-les a los calculados por medio de los menus Stat -+ Time S.ri -+ DecompodtioD.

456 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

Tabla 18-24

Mes 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Enero 0.910 0.951 0.964 1.063 0.999 Febrero 0.898 0.954 0.968 1.070 0.994 Marzo 0.887 0.964 0.973 1.076 0.985 Abril 0.883 0.972 0.978 1.079 0.976 Mayo 0.879 0.975 0.985 1.081 0.969 Junio 0.877 0.981 0.996 1.082 0.961 Julio 1.075 0.885 0.983 1.003 1.082 Agosto 1.036 0.899 0.977 1.006 1.081 Septiembre 1.003 0.920 0.965 1.020 1.066 Octubre 0.974 0.935 0.958 1.038 1.043 Noviembre 0.949 0.940 0.960 1.051 1.024 Diciembre

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

0.926 0.949 0.961 1.060 1.008

Tabla 18-25

Mediana 1990 1991 1992 1993 1994 1995 Mediana ajustada

0.616 0.760 0.700 0.652 0.733 0.700 0.709 0.700 0.830 0.735 0.707 0.709 0.709 0.718 0.880 1.158 0.932 1.126 0.907 0.932 0.943 1.189 1.103 1.139 1.146 1.026 1.139 1.153 1.165 1.171 1.155 1.232 1.150 1.165 1.179 1.230 1.186 1.209 1.124 1.092 1.186 1.200

1.138 1.214 1.062 1.073 1.049 1.073 1.086 1.086 1.088 1.100 1.125 1.144 1.100 1.114 1.010 0.968 1.070 1.075 1.076 1.070 1.083 1.049 1.115 1.132 1.093 1.099 1.099 1.113 0.925 0.819 0.850 0.893 0.968 0.893 0.904 0.665 0.701 0.786 0.851 0.851 0.786 0.796

18.14 Construya una tabla comparando los fndices estacionaIes obtenidos con todos los metodos de los problemas 18.9, 18.11, 18.12y 18.13

SOLUCI6N

Yea la tabla 18-26, que muestra los indices estacionales obtenidos por medio del uso de las medianas.

Desestacionalizacion de los dafos

18.15 Ajuste los datos del problema 18.9 a la variaci6n estacional, es decir, desestacio-nalice los datos. Muestre c6mo se utiliza Minitab para obtener los datos desesta-cionalizados.

SOLUCI6N

Para ajustar los datos a la variaci6n estacional, se debe dividir cad a entrada en los datos originales del problema 18.9 entre el fndice estacional del mes correspondiente, como se hace con cualquiera de los metodos anteriores. Por ejemplo, si se utiliza el fndice estacional

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

. "

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

Septiembre

Octubre

Noviembre

Diciembre

Problemas resueltos 457

Tabla 18-26

Porcentaje Raz6n Raz6n promedio de la tendencia del promedio m6vil Soluci6n de Minitab

68.8 71.7 70.8 70.9

71.2 74.5 71.8 71.8

100.7 102.3 94.2 94.3

111.8 110.6 115.1 115.3

115.8 115.5 117.7 117.9

118.4 119.9 120.0 120.0

109.9 110.4 108.6 108.6

113.0 113.9 111.6 111 .4

106.8 104.8 108.6 . 108.3

112.0 108.9 111.6 111.3

91.6 89.8 90.4 90.4

80.0 77.7 79.6 79.6

obtenido con Minitab en el problema 18.13, se dividirlan todos los valores de enero entre 70.9% (es decir, 0.709), todos los valores de febrero entre 0.718, etcetera. Los datos desestacionalizados resuItantes se muestran en la tabla 18-27.

Los datos desestacionalizados de la tabla 18-27 pueden calcularse con Minitab utili-zando los menus Stat -+ Time Serie. -+ Decompoaition. Al usar la opci6n de almacena-miento, se eJige .ea.onally adju.ted data. Los datos de la tabla 18-27 aparecerAn en una columna de la hoja de Cl1.J.culo.

Tabla 18-27

1990 1991 1992 1993 1994 1995

139.9 74.0 101.0 99.4 107.5 119.2

121.0 82.3 109.7 103.9 116.3 113.6

115.1 78.3 118.3 101.3 142.4 110.1

103.2 86.5 93.3 102.2 119.3 101.4

IOZ.7 82.9 97.7 102.5 126.2 110.7

98.2 86.2 98.2 107.1 113.7 102.8

102.4 95.3 97.8 106.2 117.7 118.9

92.3 85.0 98.7 109.3 125.5 121.9

86.0 80.0 97.9 109.4 120.1 113.0

84.6 91.5 100.4 110.7 117.3 113.4

90.0 83.6 93.5 113.2 125.4 118.6

72.1 82.4 98.7 124.0 123.7 116.6

18.16 a) Grafique los datos desestacionalizados, obtenidos en el problema 18.15.

b) Compare esta grMica con la figura 18-4 del problema 18.9a).

SOLUCI6N

a) Yea la figura 18-6.

I

458 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

FIGURA 18-6 140 Datos ajustados estacionalmente.

Mes

Enero

Febrero

Marzo

Abril

Mayo

Junio

Julio

Agosto

130 I: '0 U ... 120 2 'Iii (II 5 -g 110 ... .!! GI~

~ ~ 100 0"0 'U

~ 90 11.

80

70

Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995

b) La grMica de los datos ajustados estacionalmente indica una tendencia a largo plazo, que parece ser lineal a partir del inicio de 1991. Si se denotan los datos del problema 18.9 como Y = TCSl, entonces la grMica de la figura 18-6 es la de la variable Y/S = TCl, dibujada contra el tiempo; por 10 tanto, contiene los movimientos de tendencia a largo plazo, cfclico e irregular.

Estimacion de las variaciones ciclicas e irregulares

18.17 Ajuste los datos del problema 18.15 ala tendencia.

SOLUCI6N

Para eliminar la tendencia de los datos para la tabla 18-27, se divide cada entrada entre el valor de tendencia mensual correspondiente, calculado por cualquiera de los metodos anteriores. Se utilizarlin los valores mensuales de tendencia dados en la tabla 18-20. Los resultados se muestran en la tabla 18-28. Por ejemplo, para obtener la entrada de julio de 1990, se divide el valor correspondiente de la tabla 18-27, que es 102.4, entre el valor 97.4, que corresponde a julio de 1990 en la tabla 18-20. El resultado es 102.4/97.4 = 105.1 %. Las entradas restantes se obtienen de manera similar. Una desventaja de este metodo, como sucede con todos los metodos que implican promedios m6viles, es que se pierden los datos que se encuentran a ambos extremos de las series de tiempo.

Tabla 18-28

1990 1991 1992 1993 1994 1995

86.9 107.1 98.6 92.0 103.5 97.3 115.4 102.2 98.4 98.8 93.3 122.6 98.7 119.3 96.1 103.0 95.5 98.6 99.3 88.9 98.6 99.2 97.7 104.3 97.5 102.4 98.8 100.6 93.6 90.9

105.1 111.7 97.9 98.8 96.7 97.8 97.8 99.0 101.1 102.8

Septiembre 93.8 89.6 99.0 99.3 99.5 Octubre 94.5 100.3 101.8 98.3 98.9 Noviembre 102.6 90.6 94.2 98.8 107.3 Diciembre 83.7 88.0 98.7 106.8 107.0

:.

.. ,

. i

,

FIGURA 18-7

Variaciones cfclica e irregular.

Problemas resueltos

18.18 a) Grafique los datos obtenidos en el problema 18.17.

b) Explique el significado de esta grafica.

SOLUCI6N

459

a) Es conveniente res tar 100% de los datos del problema 18.17 y trazar las desviaciones resultantes. Esta grMica se muestra en la figura 18-7.

?f. 20 0 0

CII "tJ 10 iij :l .. C CII ~ 0 0 CL c '0 'u -10 III .:; III CII c

-20

Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995

b) Los datos originales est lin representados por Y = TCSI. Ajustar a variaci6n estacional (como en el problema 18.1 5) equivale a dividir ambos lados entre el (ndice estacional, S, obteniendo as(, YIS = TCI. EI siguiente ajuste a la tendencia equivale a dividir entre T, en consecuencia: YIST = CI. AI restar 100% se obtiene (YISn - 100 = CI-100. Por 10 tanto, la variable dependiente en la figura 18-7 es (YISn - 100 Y la variable independiente es el tiempo t. La grlifica de la figura 18-7 estli compuesta te6ricamente s610 de movimientos cfclicos e irregulares, C e I. La mayorfa de las desviaciones en la figura 18-7 son menores que 5%. Las desviaciones mlis grandes que estlin aproximadamente a un afio y medio de dis tan cia, pueden indicar un patr6n clclico, aunque se necesitarfa un tiempo mayor de observaci6n para confirmar que se trata de un patr6n cfclico.

18.19 a) Calcule los promedios m6viles de 3 meses y 7 meses de los datos del proble-ma 18.17.

b) Construya graficas de los promedios m6viles del inciso a).

c) Interprete las graficas.

SOLUCI6N

a) Se utiliza Minitab para calcular los promedios m6viles de 3 meses y 7 meses para la desviaci6n de porcentaje de 100% de los datos para la tabla 18-28. Los promedios m6viles de 3 meses se muestran en la mitad superior de la tabla 18-29 y los pro me-dios m6viles de 7 meses se indican en la mitad inferior de la misma tabla.

b) Las grMicas de los promedios m6viles de 3 meses y 7 meses se muestran en las figu-ras 18-8 y 18-9, respectivamente.

c) Como era de esperarse,los promedios m6viles sirven para suavizar las irregularida-des en los datos del problema 18.17, como puede verse al comparar las figuras 18-8 y 18-9 con la figura 18-7. Tambh~n queda claro, en las grlificas, que los promedios m6viles de 7 meses proporcionan una mejor suavizaci6n de los datos que los prome-dios m6viles de 3 meses, en este caso. La mayorfa de las fluctuaciones del promedio de 3 meses son menores al 10%, mientras que la mayorfa de aquellas del prome-dio de 7 meses son menores al5%.

460 CAPITULO 18 An6lisis de series de fiempo

Mes 1990

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio Agosto -1.1

Septiembre -4.6

Octubre -3.0 Noviembre -6.4 Diciembre -8.9

Mes 1990

Enero Febrero Marzo Abril

.Mayo Junio Julio Agosto Septiembre Octubre -5.1

Noviembre -6.2

Diciembre -6.8

FIGURA 18-8

Promedio m6vil de 3 meses.

1991

-10.7 -7.5 -2.1 -1.7

1.3 4.2 4.0

-0.3 -4.1 -6.5

-7.0 -4.8

1991

-5.5

-4.9 -5.0 -1.0

0.6 -0.5

0.5 -1.3 -2.8 -2.1

-1.6

#. g

1.9

Gl 10 1:1

iii ::l .. c: CI)

~ &. 0 c: '0 U as :;: (II Gl

Q -10

Tabla 18-29

1992

3.5 15.0 11.2 5.8

-2.2 -1.4 -1.4 -1.4

-0.1 -1.7

-1.8 -2.8

1992

2.8 2.6 3.8 5.2 4.1

1.7 -1.3 -1.4 -1.5 -1.5

-0.7 -1.0

Ano 1990 1991

1993 1994 1995

-0.2 -0.9 3.1 -0.2 3.2 -0.5 -0.2 5.7 -5.4 -1.7 7.6 -5.8

-1.0 -0.9 -7.6

-1.0 -1.8 0.2 -2.3

-0.3 -0.3 -0.4 0.4 -1.2 1.9

1.3 4.4 -0.8 5.9 1993 1994 1995

-1.0 1.8 0.1

-1.6 2.7 -0.1 -0.7 2.0 -2.5

-0.7 0.5 -0.3 2.1 -0.7 2.2 -0.8 -0.7 -0.8 0.4

0.5 0.8 -0.7 2.2 -0.8 2.5

1.8 1.6

1992 1993 1994 1995

FIGURA 18-9

Promedio m6vil de 7 meses.

Problemas resueltos 461

Ano 1990 1991 1992 1993 1994 1995

Comparacion de los datos

18.20 i,De que manera deben modificarse los datos del problema 18.9 para incluir el ano bisiesto 1992?

SOLUCI6N

En un ano bisiesto febrero tiene 29 dias en lugar de los acostumbrados 28. Para poder hacer comparaciones, se multiplican los datos de febrero de un ano bisiesto por 28129. Por 10 tanto, en la tabla 18-12 del problema 18.9 se sustituye el valor de febrero de 1992 con (28129)(78.8) = 76.1. Estos ajustes no se realizaron al obtener los Cndices estacionales en los problemas 18.9 al 18.13, aunque sus efectos en los resultados de estos hubieran sido despreciables.

Prediccion

18.21 a) Utilice los datos de la tabla 18-12 del problema 18.9 para predecir los proyec-tos de construcci6n de vivienda mensuales en Estados Unidos en 1996.

b) Compare los valores predichos con los valores reales. c) De las predicciones con Minitab.

SOLUCI6N

a) Un valor de predicci6n en las series de tiempo es un valor predicho para algl1n tiem-po, mas allA de aquellos en los cuales se conocen los val ores. Con frecuencia s610 se utilizan los componentes de tendencia y estacional para hacer predicciones. Esto es, se usa Y = TS en lugar de Y = TCSI. Los componentes cfclico e irregular son mas diffciles de predecir que los de tendencia y estacional.

Suponga que el componente de tendencia se determina al calcular la recta de mInimos cuadrados que se ajusta a los datos dados en la tabla 18-12. En el problema 18.13 seencontr6quelaecuaci6ndelarectaes Starts = 87.747 + 0.452 time, donde los puntos temporales se encuentran de 1 hasta 72 para los 6 anos de datos. Al evaluar la ecuaci6n Starts = 87.747 + 0.452 time, para los valores de tiempo de 73 a 84, se obtienen los val ores de tendencia para 1996. Estos valores de tendencia se muestran en la tabla 18-30.

Se utilizaran los Indices estacionales dados por Minitab en la tabla 18-26 para incorporar el componente estacional a la predicci6n para 1996. Esto se ilustra en la tabla 18-31.

b) Los proyectos de construcci6n de vivienda reales (en miles) para 1996 estan en la tabla 18-32.

----- - ------- - ---- - - --------------

462 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

Tabla 18-30

1996 Valor de tendencia

Enero 87.747 + 0.452 (73) = 120.7 Febrero 87.747 + 0.452 (74) = 121.2 Marzo 87.747 + 0.452 (75) = 121.6 Abril 87.747 + 0.452 (76) = 122.1 Mayo 87.747 + 0.452 (77) = 122.5 Junio 87.747 + 0.452 (78) = 123.0 Julio 87.747 + 0.452 (79) = 123.4 Agosto 87.747 + 0.452 (80) = 123.9 Septiembre 87.747 + 0.452 (81) = 124.3 Octubre 87.747 + 0.452 (82) = 124.8 Noviembre 87.747 + 0.452 (83) = 125.2

,.

Diciembre 87.747 + 0.452 (84) = 125.7

Tabla 18-31

Valor de tendencia fndice estacional Proyectos 1996 (1) (S) predichos (TS)

Enero 120.7 0.709 85.6

Febrero 121.2 0.718 87.0

Marzo 121.6 0.943 114.7

Abril 122.1 1.153 140.8

Mayo 122.5 1.179 144.5

Junio 123.0 1.200 147.6

Julio 123.4 1.086 134.1

Agosto 123.9 1.114 138.0

Septiembre 124.3 1.083 134.7

Octubre 124.8 1.113 138.9

Noviembre 125.2 0.904 113.2

Diciembre 125.7 0.796 100.1

Tabla 18-32

Mes Ene. Feb. Mar. Abril Mayo Junio Julio Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Proyectos 1996 90.7 95.9 116.0 146.6 143.9 138.0 137.5 144.2 128.7 130.8 111.5 93.1

Tabla 18-33

Mes Ene. Feb. Mar. Abril Mayo Junio Julio Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.

Proyectos 199~ 90.7 95.9 116.0 146.6 143.9 138.0 137.5 144.2 128.7 130.8 111.5 93.1

Predichos 85.6 87.0 114.7 140.8 144.5 147.6 134.1 138.0 134.7 138.9 113.2 100.1

% de error 5.6 9.3 l.l 4.0 0.4 6.9 2.5 4.3 4.6 6.2 1.5 7.5

,.

Problemas resueltos 463

La tabla 18-33 muestra los proyectos de construcci6n de vivienda reales por mes para 1996, el mlmero predicho de proyectos de construcci6n de vivienda y el porcentaje de error.

e) Los menus de Minitab Stau ~ Tim ... ri .. ~ Decompodtioll, que requieren las predicciones, proporcionan el siguiente resultado:

Time Series Decomposition

Data Starts

Length 72 .0000

NMissing 0

Trend Line Equation

Yt=87.7470=0.451756*t

Seasonal Indices

Period Index

1 0.708730

2 0.718379

3 0.943310

4 1. 15295

5 1.17947

6 1.20045

7 1.08609

8 1.11415

9 1. 08333

10 1.11307

11 0.903956

12 0.766113

Forecasts

Row Period Forecast

1 73 85.562

2 74 87.051

3 75 114.734

4 76 140.752

5 77 144.523

6 78 147.636

7 79 134.063

8 80 138.029

9 81 134.701

10 82 138.901

11 83 113.214

12 84 100.067

Observe que los valores de predicci6n son iguales a los deterrninados anterior-mente y presentados en la tabla 18-33.

Minitab tambien proporciona la graiica de la figura 18-10, que es bastante ilustrativa.

La grafica para los datos de la tabla 18-12 aparece como la curva continua, los datos predichos est;ill como la curva discontinua y la predicci6n se muestra en los puntos temporales de 73 hasta 84.

464 CAPiTULO 18 An6lisis de series de tiempo

FIGURA 18-10

Ajuste de descomposicion de pro-yectos.

-------

I/) o -

150

g 100 e-ll.

50

o

t 4,

( ~ .. , .4, , , , I , I I I I I , l I I I I I I ~ I I I I I

)

10 20 30 40 50 60 70 80

Tiempo

Problemas complementarios

Movimientos caracteristicos de las series de tiempo

90

Real .& Predicha

Predicci6n Real Predicha Predicci6n

MAPE: 8.626 MAD: 8.457 MSD: 123.230

:1$22 Ii 2 'I

18.22 i.Con cuaIes movimientos caracterfsticos de series de tiempo asociarfa principal mente a) una recesi6n, b) un incremento en el empleo durante los meses de verano, c) la disminuci6n en la tasa de mortalidad debida a los avances de la ciencia, d) una huelga en la industria del acero y e) una demand a creciente continua de autom6viles compactos?

Promedios m6viles

18.23 Dados los mlmeros I, 0, -1 , 0, I, 0, -I, y 1, determine un promedio m6vil de orden a) 2, b) 3, c) 4 Y d) 5.

18.24 Pruebe que si una secuencia de mlmeros tiene periodo N (es decir, la secuencia se repite despues de N terminos), entonces cada promedio m6vil de un orden menor que N tiene periodo N. Ilustre esto haciendo referencia al problema 18.23.

18.25 a) En el problema 18.24, l.que sucede en el caso de un promedio m6vil de orden N?

b) l. Que ocurre si el orden es mayor que N? Grafique esto haciendo referencia al proble-ma 18.23.

18.26 Demuestre que si cada numero en una secuencia es incrementado (0 disminuido) con una constante, el promedio m6vil tambien se incrementa (0 disminuye) con esta constante.

- - --- --- --

..

Problemas complementarios 465

18.27 Compruebe que si cada mlmero en una secuencia es multiplicado (0 dividido) por una cons-tante diferente de cero, el promedio m6vil tambi6n es multiplicado (0 dividido) por esta

/ constante.

,

'"

Ario

18.28 Calcule el promedio m6vil ponderado de los mlmeros del problema 18.23 en los incisos b), c) y d), si los pesos respectivos son b) 1,2 Y I; c) 1, 2, 2 Y I; y d) 1, 2, 2, 2 Y 1. Compare estos resultados con los del problema 18.23.

18.29 a) Pruebe las propiedades de los problemas 18.26 y 18.27 para promedios m6viles pon-derados.

b) l,Es vl1lido el resultado del problema 18.24 para promedios m6viles ponderados?

18.30 Una secuenci