Билет №1 Начертательная геометрия – это наука, которая с помощью методов проекции изучает: 1. изображение 3-х мерных объектов на плоскости чертежа. 2.определение геометрических параметров 3-х мерных объектов по их плоским изображениям, т.о. нач.геом. изучает способы, позволяющие преобразовать 3-х мерный объект в 2-х и наоборот, соединяя 2 раздела классической геометрии (стереометрию и планиметрию).

Билет №2Начертательная геометрия как наука была создана в конце 18века великим французским геометром и инженером Гаспаром Монжем (1746 – 1818). Первые идеи об ортогональном проецировании фигур на плоскость высказывались еще задолго до Монжа в XVI веке немецким математиком и художником Альбрехтом Дюрером (1471 – 1528), который разработал метод ортогонального изображения конических сечений и некоторых пространственных кривых.В 1637 году французский геометр и философ Рене Декарт (1596-1650) создал метод координат и заложил основы аналитической геометрии, а его соотечественник, инженер и математик Жирар Дезарг (1593-1662), использовал этот метод координат для построения перспективных проекций и обосновал теорию аксонометрических, проекций.S XVII веке в России успешно развиваются технические чертежи, выполненные в виде планов и профилей в масштабе. Здесь в первую очерёдь следует назвать чертежи выдающегося русского механика и изобретателя И. П. Кулибина (1735-1818). В его проекте деревянного арочного моста впервые были использованы ортогональные проекции (1773).Большой вклад в развитие ортогональных проекций внес французский инженер А. Фрезы (1682-1773), который впервые рассмотрел проецирование объекта на две плоскости - горизонтальную и фронтальную.Величайшей заслугой Г. Монжа явилось обобщение всех научных трудов его предшественников, всей теории о методах изображения пространственных фигур и создание единой математической науки об ортогональном проецировании -

начертательной геометрии.Сам Монж так определил созданную им науку: «Искусство представлять на листе бумаги, имеющем только два измерения, предметы, имеющие три размера, которые подчинены точному определению».Рождение этой новой науки почти совпало с основанием в Петербурге первого в России высшего транспортного учебного заведения - Института Корпуса инженеров путей сообщения (2 декабря 1809 года).Питомцы этого института, его профессора и ученые внесли большой вклад в развитие геометрических методов изображения, в теорию и практику начертательной геометрии.Ученик Монжа, создатель и первый ректор этого института А. А. Бетанкур (1758-1824) был и первым лектором по начертательной геометрии.Другой ученик Монжа профессор К. И. Потье (17861855) издал первый в России учебник по начертательной геометрии на французском языке (1816).С 1818 года в течение четверти века ведущим лектором по начертательной геометрии был питомец института Я. А. Севастьянов (1796-1849), который в 1821 г, издал оригинальный учебник по начертательной геометрии на русском языке.Большой вклад в развитие отечественной начертательной геометрии как науки и учебной дисциплины внесли питомцы и профессора института Н. П. Дуров (1835-i8$3), А. Х. Редер (1809-1872), Н. И. Макаров (1824-1904) и В. И. Курдюмов (1853-1904).В ХХ веке большое влияние на развитие начертательной геометрии оказали научные труды профессора Института инженеров путей сообщения Н. А. Рынина (1877-1942) - выдающегося ученого в области инженерной графики, авиации и реактивной техники. Его перу принадлежит более 250 научных трудов.Преемником Н. А. Рыбина на кафедре начертательной геометрии и продолжателем его идей в области начертательной геометрии стал профессор Д. И. Каргин (1880-1949). Основной научной работой Д. И. Картина в области начертательной геометрии является его докторская диссертация "Точность графических расчётов" .

За последние десятилетия теория прикладной геометрии получила дальнейшее развитие в трудах А. И. Добряков (1895-1947), А. К. Власова (1868-1922), Н, А,. Глаголица (1888-1945) и Н. Ф. Четверухина (.1891-1974).Кинематическая теория кривых линий и поверхностей, разработанная М, Я. Громовым (1884-1963), дала новые возможности в построении их изображений.Многие работы профессора И: И. Котова (1909-1976) были посвящены проблемам разработки алгоритмов конструирования каркасных поверхностей и построения их изображения с помощью ЭВМ.Дальнейшее развитие методов изображения и теории конструирования поверхностей, внедрение систем авто-матизированного проектирования и компьютерной графики в учебный процесс - вот основные направления работы ученых в наши дни. Здесь в первую очередьследует отметить работы профессоров: В. Е. Михайленко, Н. Н. Рыжова, П. В. Филиппова, С. А. Фролова, В. И. Якунина и других.

Билет №3 Проекцией точки А на плоскость проекций 1 называется точка А' пересечения проецирующей прямой l, проходящей через точку А, с плоскостью проекций 1:А'=l1, lэA.Проекция любой геометрической фигуры есть множеств проекций всех ее точек. Направление проецирующих прямых l и положение плоскости проекций 1 определяют аппарат проецированная.Центральным проецированном называется проецированное, при котором все проецирующие исходят из одной точки S - центра проецированная.Параллельным проецированном называется такое проецированное, при котором все проецирующие прямые параллельны заданному направлению s. Параллельное проецированное представляет собой частный случай центрального проецированная, когда точка S находится на бесконечно большом расстоянии от плоскости проекций 1.При заданном аппарате проецированная каждой точке пространства соответствует одна и только одна точка на плоскости

проекций.Одна проекция точки не определяет положения этой точки в пространстве. Действительно, проекции А' может соответствовать бесчисленное множество точек А1, А2, Аз, ..., Аn ..,, расположенных на проецирующей прямой 1.Для определения положения точки в пространстве при любом аппарате проецированная необходимо иметь две ее проекции, полученные при двух различных направлениях проецированная (или при двух различных центрах проецированная).Две проекции точки А (А1

1; и А21), полученные при двух

направлениях проецирования S1 и S2, определяют единственным образом положение самой точки А в пространстве - как пересечение проецирующих прямых l1 и 12, проведенных из проекций этой точки А1

1; и А21 параллельно направ-

лениям проецированная s1 и s2.

Билет №4 c12Некоторые геометрические свойства фигур остаются неизменными в процессе проецирования. Такие свойства геометрических фигур называются независимыми или инвариантными для данного аппарата проецирования.Рассмотрим основные инвариантные свойства парал-лельного проецирования.1. Проекция точки есть точка.Это очевидно из самого определения проекции как точки пересечения проецирующей прямой с плоскостью.2. Проекция прямой есть прямая.3. Если точка К принадлежит прямой а, то и проекция этой точки принадлежит проекции прямой.4. Если точка К делит отрезок АВ в отношении т : п то и проекция этой точки делит в таком же отношении проекцию этого отрезка.5. Проекция точки пересечения прямых есть точка пересечения проекций этих прямых.6. Проекции параллельных прямых параллельны7. Плоский многоугольник в общем случае проецируется в многоугольник с тем же числом вершин.Исключение составляет многоугольник (плоская ломаная или кривая линия), расположенный в проецирую-щей (лучевой) плоскости. Такой многоугольник проецируется в прямую линию.

8. Прямая, параллельная направлению проецирования, проецируется в точку.9. Проекция плоской фигуры, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна этой фигуре.Следствия этого инвариантного свойства следующие.9.1. Проекция отрезка прямой, параллельной плоскости проекций, конгруэнтна и параллельна самому отрезку.9.2. Проекция угла, стороны которого параллельны плоскости проекций, конгруэнтна этому углу.

Билет №5 c16Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования, когда направление проецирования перпендикулярно (ортогонально) какой-либо плоскости проекций.Ортогональное проецирование является основным в черчении, так как обладает большой наглядностью и позволяет при определенном расположении деталей относительно плоскостей проекций сохранить некоторые линейные и угловые характеристики оригинала.Для ортогонального проецирования справедливы все девять инвариантных свойств параллельного проецирования, рассмотренные выше. Кроме того, необходимо отметить еще одно, десятое, инвариантное свойство, которое справедливо только для ортогонального проецирования. •10. Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения.

Билет №6 c18Все пространственные геометрические фигуры могут быть ориентированы относительно декартовой прямоугольной системы координатных осей — системы трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей (рис. 12).Эти координатные плоскости обозначаются:горизонтальная плоскость проекций — π1;фронтальная плоскость проекций — π2;профильная плоскость проекций — π3.Линии пересечения этих плоскостей образуют координатные оси: ось абсцисс — х; ось ординат — у, ось аппликат — z.Точка О пересечения координатных осей (общая точка трех

координатных плоскостей) называется началом координат.Ось абсцисс х делит фронтальную плоскость проекций π2 также на две части: верхнюю полу π2 (оси х и z) и нижнюю полу π2 (оси x и –z)Оси ординат у и аппликат z делят профильную плоскость проекций π3 на четыре части: верхнюю переднюю полу π3 (оси у и z); верхнюю заднюю полу я3 (оси -у и z; нижнюю переднюю полу тг3 (оси у и -z); нижнюю заднюю полу тг3 (оси —у и —z).Эпюра Монжа:Для того чтобы получить плоскую (двумерную) модель пространственных координатных плоскостей проекций, горизонтальную п1 и профильную к3 плоскости совмещают с фронтальной π2.При этом горизонтальная плоскость проекций π1 вращается вокруг оси х на 90°, а профильная плоскость проекций π3 вращается вокруг оси z также на 90°.Полученное таким образом совмещение трех плоскостей проекций является плоской моделью системы трех пространственных координатных плоскостей.Для построения плоской модели пространственной геометрической фигуры каждая ее точка проецируется ортогонально на плоскости проекций π1 π2 и π3, которые затем совмещаются в одну плоскость. Полученная таким образом плоская модель пространственной геометрической фигуры называется эпюрой Монжа.Точки пересечения перпендикуляров с плоскостями проекций образуют проекции точки А : А' — горизонтальную проекцию точки; А" — фронтальную проекцию точки; А'" — профильную проекцию точки.Положение проекций точки А на эпюре однозначно определяется ее тремя координатами:ОАХ = А'АУ = А"Аz = ХA — абсциссой точки А;ОАУ = А'Аy = А'"Аz = УA — ординатой точки А;ОАZ = А"АX = А'"АУ = ZА — аппликатой точки А.Точки, расположенные в различных пространственных углах, имеют определенные знаки координат.В таблице приведены знаки координат точек, расположенных в различных углах пространства. Угол пространства Координата I II III IVX + + + +

Y + - - +Z + + - -

Билет №7 с23На эпюре прямая может быть задана: проекциями прямой (а' и а"); проекциями двух точек, принадлежащих прямой (А', А" и В', В"); проекциями отрезка прямой (С'D' и C"D"). Билет№8 с 23Особый интерес представляют прямые частного положения, т. е. прямые, расположенные определенным образом относительно плоскостей проекций: параллельные, перпендикулярные и принадлежащие плоскостям проекций.

Прямые, параллельные плоскостям проекций1. Горизонтальная прямая h.Горизонтальная прямая — это прямая, параллельная горизонтальной плоскости проекций π1. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π1 (координаты z всех точек прямой одинаковы), то фронтальная и профильная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям х и у. 2. Фронтальная прямая f.Фронтальная прямая — это прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций π2, Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π2 (координаты у всех точек прямой одинаковы), то горизонтальная и профильная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям х и z.3. Профильная прямая р.Профильная прямая — это прямая, параллельная профильной плоскости проекций я3. Так как все точки этой прямой равноудалены от плоскости проекций π3 (координаты х всех точек прямой одинаковы), то горизонтальная и фронтальная проекции прямой соответственно параллельны координатным осям у и z.

Прямые, принадлежащие ПП.Прямые, принадлежащие плоскостям проекций, являются частным случаем горизонтальных, фронтальных и профильных прямых.

Билет №9 с26Из инвариантного свойства 3 следует, что проекции точки К (К', К" и К'"), принадлежащей прямой а, должны принадлежать соответствующим проекциям этой прямой , т. е.Если хотя бы одна проекция точки не принадлежит соответствующей проекции прямой, то эта точка не принадлежит прямой. Из инвариантного свойства 4 следует, что проекции точки К (К', К" и К'"), принадлежащей отрезку прямой АВ, делят соответствующие проекции отрезка в том же отношении, в каком точка К делит отрезок АВ, т. е.

Билет №10 с 27Две прямые в пространстве могут пересекаться, скрещиваться и могут быть параллельны. Рассмотрим изображение этих прямых на эпюре.1. Пересекающиеся прямые. Пересекающимися прямыми называются прямые, имеющие одну общую точку.Из инвариантного свойства 5 следует, что проекция точки пересечения прямых а и b есть точка пересечения проекций этих прямых.2. Параллельные прямые. Параллельными прямыми называются прямые, пересекающиеся в несобственной точке (т. е. прямые, лежащие в одной плоскости и пересекающиеся в бесконечно удаленной точке).Из инвариантного свойства 6 следует, что проекции параллельных прямых а и b параллельны.3. Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые — это прямые, не лежащие в одной плоскости, это прямые, не имеющие общей точки. На эпюре точки пересечения проекций этих прямых не лежат на одном перпендикуляре к оси х (в отличие от пересекающихся прямых).4. Перпендикулярные прямые. Особый интерес с точки зрения решения задач начертательной геометрии представляют прямые

перпендикулярные. Из инвариантного свойства 9.2 следует, что любой угол (в том числе и прямой) между двумя пересекающи-мися прямыми проецируется без искажения, если обе стороны этого угла параллельны плоскости проекций. Прямой угол по инвариантному свойству 10 проецируется в натуральную ве-личину, если хотя бы одна его сторона параллельна плоскости проекций.На эпюре пересекающиеся прямые изображаются пересекающимися линиями на обоих видах, скрещивающиеся прямые –пересекающимися линиями на одном виде и непересекающимися

Билет №11 с 29Следом прямой линии называется точка пересечения

прямой с плоскостью проекций. В системе двух плос-костей проекций Л! и л2 прямая в общем случае имеет два следа: горизонтальный Н (Н', Н") и фронтальный F (F', F") — точки пересечения прямой соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций.Горизонтальный след прямой — это такая точка этой прямой, координата z которой равна нулю (z = 0). Фронтальный след прямой — это точка прямой, координата у которой равна нулю (у = 0). Пользуясь этим правилом, нетрудно определить следы прямой на эпюре.В начертательной геометрии считается, что наблюдатель расположен в первом пространственном углу на бесконечном расстоянии от плоскостей проекций, поэтому видимыми геометрическими фигурами будут только те, которые расположены в первом углу. Проекции этих фигур в ортогональных и аксонометрических проекциях показываются сплошными линиями. Фигуры, расположенные в других пространственных углах, не видны наблюдателю, и их проекции показываются штриховыми линиями.

Билет №12 c 30На рис. 43 показаны в аксонометрической проекции отрезок АВ и его горизонтальная проекция А'В'. Проведя прямую ВВ1 параллельную горизонтальной проекции отрезка А'В' (ВВ1 II А'В'), получим прямоугольный треугольник АВВ1.Длина отрезка АВ равна гипотенузе этого треугольника, катетами которого являются горизонтальная проекция отрезка А'В' и разность координат z точек А и В (Δz = = zА – zB).

Как известно, угол наклона прямой к плоскости равен углу между этой прямой АВ и ее проекцией на плоскость (А'В1).Следовательно, угол треугольника АВВ1 лежащий против катета Δz, равен углу наклона отрезка АВ к горизонтальной плоскости проекций π1 (угол α°).

Аналогично рассуждая (рис. 44), можно показать, что длина отрезка АВ равна гипотенузе треугольника, катетами которого являются фронтальная проекция отрезка А"В" и разность коорди-нат у точек А и В(ΔУ = У А - У в)-Угол этого треугольника, лежащий против катета Δу, равен углу наклона отрезка АВ к фронтальной плоскости проекций π2 (угол β°).

По аналогии длина отрезка АВ может быть определена и как гипотенуза треугольника, катеты которого — профильная проекция отрезка А'"В'" и разность координат х (Δх = хA – хB) точек А и В. Угол γ° этого треугольника, лежащий против катета Δx, определяет угол наклона отрезка АВ к профильной плоскости проекций π3.

На рис. 45 показан пример определения длины отрезка АВ и углов наклона его к плоскостям проекций (LАВ — длина отрезка АВ; α°, β°, γ° — углы наклона его соответственно к плоскостям проекций π1, π2, π3).

Билет №13 с 32Метод конкурирующих точек используется в начертательной геометрии для определения взаимной видимости двух геометри-ческих фигур.Конкурирующими точками называются такие точки пространства, у которых совпадают какие-либо две одноименные проекции. Так, на рис. 46 показаны конкурирующие точки А к В (совпадают горизонтальные проекции А' = В') и С, D (совпадают фронтальные проекции С" ≡ D").

Метод конкурирующих точек заключается в определении взаимной видимости точек по их несовпадающим проекциям. Так, точка В находится выше точки А относительно плоскости π1

(zв > zА), поэтому на плоскости π1 видна точка В, которая закрывает точку А (считается, что наблюдатель смотрит на плоскости проекций из бесконечности и направление луча зрения параллельно проецирующему лучу s).На плоскости π2 видна точка О, так как она находится ближе к наблюдателю (дальше от плоскости π2, УD > Ус) и закрывает невидимую точку С.

Пользуясь этим методом (рис. 47), можно определить, что прямая а проходит над прямой b, так как точка А, принадлежащая этой прямой а, расположена выше точки В, находящейся на прямой b (zл > zв).В дальнейшем методом конкурирующих точек будем пользоваться при определении видимости пересекающихся геометрических фигур.

Билет №14 с 34На эпюре плоскость может быть задана графически одним из следующих способов:1) тремя точками, не лежащими на одной прямой;2) прямой и точкой вне ее;3) двумя пересекающимися прямыми;4) двумя параллельными прямыми;5) плоской фигурой (напр. треугольник или параллелограмм);6) следами. Следом плоскости α называется линия пересечения этой плоскости с плоскостью проекций. В системе двух плоскостей проекций π1 и π2 плоскость в общем случае имеет два следа: горизонтальный h0α (h’0α, h”0α) и фронтальный f0α (f’0α, f”0α), которые являются пересечением плоскости α соответственно с горизонтальной и фронтальной плоскостями проекций.

Билет №15 с 36.Плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций (проецирующие плоскости)1. Горизонтально проецирующая плоскость α перпендикулярная π1 . Плоскость а, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций π1, называется горизонтально проецирующей (рис. 53, 54).Основным свойством горизонтально проецирующей плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плоскости, проецируется на π1 в прямую линию (горизонтальный след плоскости h0α, Рис- 53, 54).

Угол β, который составляет горизонтальный след плоскости h0α с координатной осью х, равен углу наклона плоскости α к плоскости проекций π2. Фронтальный след такой плоскости перпендикулярен оси х (f0α перпендикулярен х).На рис. 54 показаны примеры изображения на эпюре горизонтально проецирующих плоскостей α, β и γ (DЕF).2. Фронтально проецирующая плоскость β перпендикулярна π2. Плоскость β, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций π2, называется фронтально проецирующей(рис. 55, 56).

Основным свойством фронтально проецирующей плоскости является то, что любая фигура, расположенная в этой плос-кости, проецируется на π2 в прямую линию (фронтальный след плоскости f0β РИС. 55, 56). Угол α°, который составляет фронтальный след плоскости f0β с координатнойосью х, равен углу наклона плоскости β к плоскости проекций π1. Горизонтальный след такой плоскости перпендикуляреноси х (h0β перпендикулярен x).На рис. 55 показаны примеры изображения на эпюре фронтально проецирующих плоскостей β,γ и δ.Плоскости, параллельные плоскостям проекций1. Горизонтальная плоскость γ II π1. Плоскость γ, параллельная плоскости π1 называется горизонтальной (рис. 57).

Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на горизонтальную плоскость проекций в натуральную величину (А'В'С' = АВС, рис. 57, 58). Фронтальный след этой плоскости параллелен оси х (f0γ II х).На рис. 58 показаны примеры изображения на эпюре горизонтальных плоскостей γ и δ.

2. Фронтальная плоскость δ II π2. Плоскость δ, параллельная плоскости π2, называется фронтальной (рис. 59).

Любая фигура, расположенная в такой плоскости, проецируется на фронтальную плоскость проекций в натуральную величину (А"В"С" = АВС, рис. 59, 60).Горизонтальный след фронтальной плоскости параллелен оси х (h0δ II х).На рис. 60 показаны примеры изображения на эпюре фронтальных плоскостей δ и γ.

Примечание. Плоскость, параллельная одной из плоскостей проекций, является частным случаем проецирующих плоскос-тей.

Билет №16 с39Прямая АВ принадлежит плоскости α, если две ее точки А и В принадлежат этой плоскости α (справедливо и обратное: если точки А и В принадлежат плоскости а, то прямая АВ, прохо-дящая через эти точки, принадлежит плоскости а).Прямая принадлежит плоскости, если ее следы принадлежат одновременно следам плоскости (справедливо и обратное утверждение: если следы прямой принадлежат следам плоскости, то эта прямая принадлежит плоскости).Точка К принадлежит плоскости а, если она расположена на прямой АВ, принадлежащей этой плоскости.

Билет №17 с 41Главными линиями плоскости являются: линии уровня (горизонтали и фронтали) и, линии наибольшего ската.1. Горизонталь. Горизонталью плоскости а называется прямая h, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций π1.Фронтальная проекция горизонтали параллельна2. Фронталь. Фронталью плоскости Р называется прямая , принадлежащая этой плоскости и параллельная фронтальной плоскости проекций π2.:3. Линия наибольшего ската. Линией наибольшего ската плоскости у называется прямая, принадлежащая этой плоскости и перпендикулярная ее горизонталям или фронталям.