Содржина:

1.Вовед

2. Инспирација, чиста и применета математика и естетиката

3.Нотација, јазик и строгост

4. Дали математиката е наука?

5. Преглед на математичките полиња

6. Систем на мерни единици

7. Основни SI мерни единици

8. Изведени единици

9. Заклучок

1

Вовед

Еволуцијата на математиката може да се гледа како серијал на сè поголема апстракција, или можеби ширење на темите. Првата апстракција веројатно била апстракцијата на броевите. Констатацијата дека две јаболки и две круши имаат нешто знаедничко, имено дека ги пополнуваат рацете на точно еден човек, било епохално октритие за човештвото. Притоа праисториските народи не само што научиле да бројат конкретни предмети, туку и апстрактни квантитети, како време -- денови, годишни времиња и години. Аритметиката (како на пр. собирање, одземање, множење и делење) дошле како природно следство. Монолитските споменици сведочат за постоењето и на геометријата.

За секој понатамошен чекор било потребно писмо или некој друг принцип на запомнување на броеви како цртки или јаженца со јазли наречени кипу кои се користеле во царството на инките за зачувување на нумерички податоци.

Уште од почетокот на запишаната историја, главните потреби за математиката биле даночењето и трговијата, соодносот меѓу броевите, мерење на земја и претскажување на астрономски настани. Овие потреби се општо поврзани со категориите во математиката: квантитет, структура, простор и промена.

Одтогаш математиката е многу проширена со многу плодородно взаемно дејство помеѓу математиката и другите науки и обратно.

Инспирација, чиста и применета математика и естетиката

Математиката се јавува секаде каде што постојат комплицирани проблеми со квантитет, структура, простор или промена. Најпрвин овие се јавувале во трговијата, мерење на земја и подоцна во астрономијата; денес, проблеми за математичарите се јавуваат кај сите науки, а многу проблеми исто така се јавуват и во самата математика. Њутн ја измислил анализата на бесконечно мали вредности и Фејман неговата Фејманова патна интеграла користејќи се со комбинација од расудување и физички набљудувања, како и денешната теорија на струните која претставува инспирација за нови математички подвизи. Дел од математиката е релевантна само на она кое ја инспирирало, и се применува за решавање на понатамошни проблеми во таа област. Но често математиката која е инспирирана од едно нешто се покажува како корисна во многу сфери.

2

кај речиси сите научни предмети, експлозијата на знаење во научното доба е директно одговорно за специјализацијата во математиката. Една главна поделба е помеѓу чиста математика и применета математика. Во рамките на применетата математика постојат две главни области, статистика и информатика.

Многу математичари зборуваат за елеганцијата на математиката, нејзината вродена естетика и внатрешната убавина. Едноставноста и генералноста се на цена. Постои и убавина во итриот доказ, како Евклидовиот доказ дека постојат бесконечно многу прости броеви.

Нотација, јазик и строгост

Речиси сета математичка нотација која ја користиме денес не била измислена сè до 16-тиот век. Пред тоа, математиката била испишувана со зборови, маконтрпна процедура која ја ограничувала математичката иновација. Современата нотација му ја олеснува математиката на стручњакот, но почетниците често ја гледаат како баук. Таа е екстремно збиена: неколку знаци содржат голем број информации. Како и музичката нотација, современата математичка нотација има строга синтакса со шифрирана информација која би била речиси невозможна да се напише на било кој друг начин.

Математичкиот јазик е исто така тежок за почетници. Дури и обичните зборови како или и само имаат попрецизно значење отколку кај секојдневниот говор. Математичарите, како правниците, се стремат да бидат што по недвосмислени и јасни. Исто така збунителни за почетниците се зборовите отвори и поле кои во математиката имаат посебно значење и математичкиот жаргон содржи технички изрази како „хомеоморфизам“ и интегралност. Хенри Поинкаре бил избран за член на Француската Академија (Académie Française) само за да им каже на членовите како да го дефинираат зборот automorphe во нивниот речник. Но за овие нотации и жаргони постои добра причина. Математичарите ја нарекуваат прецизноста во математиката и логиката „строгост“.

Строгоста на фундаментално ниво е предмет на математички доказ. Математичарите се трудат нивните теореми да следат од аксиоми по пат на систематично расудување. Ова служи за избегнување на погрешни „теореми“, засновани на погрешливи интуиции, кои се имаат случено доста пати во историјата (како на пример кај математичката анализа). Нивото на строгоста во математиката варирала през времето; грците очекувале детални аргументи, но веќе во времето на Исак Њутн методите биле помалку строги. Денес математичарите расправаат за компјутеризирани докази. Бидејчи при сметањето грешките се можни, ваквите докази немора да значи дека ќе бидат доволно строги.

3

Традиционално аксиомите се сметаат за „вистини очигледни сами по себе“, но дека нивната замисла е проблематична. На формално ниво, аксиомата е само една нишка од знаци, која има внатрешно значење само во контекст на целосно изводливи формули кај аксиоматичкиот систем.

Дали математиката е наука?

Карл Фридрих Гаус ја нарекол математиката „Кралица на науките“. Ако сметаме дека науката треба да се занимава само со физичкиот свет, тогаш математиката, или барем чистата математика, не е наука. Кар Попер сметал дека математиката не е експериментално погрешлива и затоа не е нaука. Друг став кај некои полиња (како кај теоретската физика) е дека математиката треба да содржи аксиоми кои соодветствуваат на реалноста. Всушност, теоретскиот физичар, J. M. Циман, се има искажано дека смета дека науката е јавно знаење и затоа математиката ѝ припаѓа на неа. [1] Во секој случај, математиката има многу заедничко со физичките науки, особено со истражувањето на логичките последици од хипотезите. Интуицијата и експериментацијата исао така играат улога во обликувањето на хипотезите како во математиката, така и во другите науки. Како што експерименталната математика расте во важност во рамките на математиката, и копмјутерските симулации играат сè поголема улога во науките и математикара, примедбата дека математиката не ја користи научната метода станува сè послаба.

Ставовите на математичарите по оваа тема се различни. Додека некои математичари што се занимаваат со применета матекатика се сметаат за научници, оние кои работат на чиста математика сметаат дека се повеќе логичари, отколку научници и затоа дека се во основа, философи. Мнозина математичари сметаат дека со тоа што математиката се нарекува наука се омаловажува нејзината естетска улога, и нејзината теорија во традиционалните седум уметности; други пак, решаваат да ја игнорираат поврзаноста на математиката со науките. Постои интересна дебата на тема дали математиката е создадена (како уметностите) или откриена (како науките).

Преглед на математичките полиња

Како што споменавме погоре, главните математички дисциплини настанале со потребите во трговијата, односите помеѓу броевите, мерењет на земја и претскажувањето на астрономски појави. Овие четири потреби соодветствуваат на поделбата на математичката тематика на квантитет, структура, простор и промена (т.е. аритметика, алгебра, геометрија и анализа). Покрај овие главни теми, постојат и ограноци кои се занимаваат со истражување на врските помеѓу математиката и другите научни полиња: со логиката, со теоријата на

4

множествата (основите) и со емпириската математика кај разните науки која се нарекува (применета математика).

Изучувањето на квантитетот започнува со броеви, најпрвин познатите природни броеви и цели броеви и нивните аримтетички операции, кои се окарактеризирани во самата аритметика. Подлабоките својства на целите броеви се изучуваат во теоријата на броевите.

Изучувањето на структурата започнало со истражувањето врз Питагорината тројка. Нелоитските споменици на Британските острови се направени со помош на Питагорини тројки. Потоа ова довело до пронајдокот на поапстрактни броеви, како квадратниот корен. Подлабоките структурни својства на броевите кои се изучуваат во аптрактната алгебра и истражувањето врз групи, кола, полиња и други апстрактни бројни системи. Исто така тука спаѓа и важниот систем на вектори, генерализирани до векторски простори кои се изучуваат и во линеарната алгебра. Изучувањето на векторите ги содинува трите фундаментални математички полиња, квантитет, структура и простор.

Изучувањето на просторот започнало со геоматријата, со почеток во Евклидовата геометрија. Тригонометријата ги содеинува просторот и бројот. Современиото изучувње на просторот вклучува и повеќе димензии, неевклидските геометрии (окои се од суштинско значење за општиот релативитет) и топологијата. Просторот и квантитетот играат улога кај аналитичката геометрија, диференцијалната геометрија и алгебарската геометрија. Во рамките на дифиренцијалната геометрија постојат концептите влакнести снопови и анализа на многуобразности. Во рамките на алгебарската геометрија постои и опис на геометриски тела како множества на решенија на полиномни равенки, кои ги соедниваат концептите на квантитет и простор, како и изучувањето на тополошки групи, кои пак ги соединуваат структурата и просторот. Ли групите се користат за изучување на простор, структура и промена. Топологијата во сета своја разгранетост веројатно е најбрзо растечката област во математиката од 20-тиот век.

Проучувањето и описот на промени е честа тема на природните науки иматематичката анализа и истиот претставува многу корисна алатка. Главниот концепт за опис на промена на квантитет е функцијата. Многу проблеми природно водат до нивниот квантитет и степенот на промена, како и до методите на диференцијални равенки. Броевите се чија помош се изразуваат континуираните квантитети се нарекуваат реални броеви, а деталното истражување на нивните својства и својствата на реално-борјните функции се нарекува реална анализа. Овие се генерализирани, со додавање на квандратниот корен од -1 на комплексни броеви, кои се изучуваат во комплексната анализа. Функционалната анализа се концентрира на (обично бесконечно-димензионални) простори на функциите. Една од честите примени на фукнционалната анализа е кај квантната механика. Многу природни феномени се објаснуваат со динамички системи; теоријата на хаосот ги прецизира начините на кои

5

многу од овие системи прикажуваат непредвидливо, но сепак детерминационо однесување.

По квантитетот, структурата, просторот и промената постојат области на чиста математика на кои може да им се пријде само до дедуктивно расудување. За разјаснување на основите на математиката биле измислени полињата математичка логика и теорија на множествата. Математичката логика која се дели на теорија на рекурзија, теорија на модели, и теорија на докази, денеска е тесноповрзана со информатиката. Кога комјутерите биле за прв пат измислени, математичарите обликувале неколку важни теоретски концепти во информатиката, коие водат до полињата на теоријата на пресметливоста, теоријата на пресметковната комплексност и информационата теорија. Многу од овие теми денес се истражуваат во рамките на теоретската информатика. Математичките полиња кои се занимаваат со информатиката се нарекуваат дискретна математика.

Статистиката е важно поле на применетата математика кое ја ползува теоријата на веројатност како алатка и овоможува опис, анализа и предвидување на феномени во кои игра улога случајноста. Оваа се употребува во сите науки. Нумеричката анализа пак, истражува пресметковни методи за ефикасно решавање на широк спектар математички проблеми кои се преголеми за човековиот капацитет; ова го содржи и изучувањето на грешките при заокружување или други извори на грешки при пресметките.

Систем на мерни единици

Стапка (англиски: foot, множ. feet); симбол или кратенка: ft или понекогаш, ′ - прим е единица мерка за должина во разни системи како Англиските, Британските и Американските мерни единици. Должината и варира од систем до систем, но секоја е околу четвртина до третина метар. Денес најчсто се користи меѓународната стапка. Во 1 јарда има 3 стапки, а во една стапка има 12 инча.

Стапката е честа мерна единица во САД, Обединетото Кралство и Канада. Во САД и ОК личната висина се изразува во стапки и инчи. Во Канада пак, сè повеќе се употребуваат метри за висина, а стапки за растојание.

Стапката како мерка се користела речиси во сите култури и се делела на 12 или понекогаш 10 инча/палца или на 16 прсти. Првата позната стандардна стапка постоела во Сумерија, каде е дефинирана на статуата на Гудеја од Лагаш околу 2575 п.н.е.. Некои метролози сметат

6

дека стапката била прифатена и како египетска мерка во Стара Грција и дека токму од таму римјаните ја презеле својата стапка (која е поголема).

SI (од француски: Système International d'Unités) е модерна форма на метричкиот систем и најчестиот назив на меѓународниот систем на единици кој денес е во употреба. Овој систем е заснован на 7 основни и 2 дополнителни физички величини и единици, како и од неколку единици кои не се од SI, а се користат и се прифатени од него. Овој систем на единици комплетно се користи во трговијата и речиси целосно во науката.

Стариот метрички систем содржеше неколку групи на единици. SI е развиен во 1960 година од системот метар-килограм-секунда (mks), наспроти системот цантиметар-грам-секунда (cmgs) кој имаше повеќе варијанти.

Со SI се воведени неколку новоименувани единици. SI не е постојан тој е менлив комплет од стандарди во кој се создаваат единици и дефинициите се менуваат според меѓународна согласност соодветно на напредокот на технологијата на мерење.

Единиците за физички големини во даден систем од мерни единици се делат на основни и изведени.

Основни SI мерни единици

Утврден на единаесеттата генерална конференција за мерки и тегови во 1960 година, тој има седум основни и две дополнителни големини и единици за кои што се смета дека во потполност ги карактеризираат нам познатите појави, а и материјата која можеме сетилно да ја восприемаме. Се нарекуваат основни , бидејќи од нив се изведуваат сите останати. Во долната табела се дадени основните SI единици, како и нивните дефиниции :

7

SI основни мерни единици

Име Симбол Величина Дефиниција

килограм kg маса

Единицата за маса е еднаква на масата на меѓународниот прототип за килограм (еталон од платина и иридиум) чуван во меѓународното биро за тежина и мерки (BIPM), во Севр, предградие на Париз (1. CGPM (1889), CR 34-38). Напомена: килограмот е единствена основна единица со префикс; грамот се дефинира како изведена единица, еднаква на 1/1000 од килограмот; префиксите како што е мега, се додаваат на грам, а не kg; на пример, Gg, а не Mkg. Исто така, тој е единствена единица која сеуште се дефинира преку физичкиот прототип наместо природниот феномен со кој е можно да се измери (видете килограм за алтернативната дефиниција).

секунда s време

Единицата за време претставува траење од точно 9192631770 периоди од зрачењето кое одговара на преминот меѓу две хиперфини нивоа од основната состојба на атомот на цезиум - 133 на температура од 0 К (13. CGPM (1967-1968) Резолуција 1, CR 103).

метар m должина Единицата за должина е еднаква на изминатиот пат кој што го минува светлината низ вакуум за

8

време од 1/299792458 секунди (17. CGPM (1983) Резолуција 1, CR 97)..

ампер Aелектрична

струја

Единицата за електрична струја претставува постојана струја која, кога би се одржувала во два прави и паралелни проводници сместени во вакуум на меѓусебно растојание од еден метар со неограничена должина и занемарливо мал кружен пресек, би предизвикала меѓу нив сила еднаква на 2×10−7 њутни по метар должина

келвин Kтермодинамичка

температура

Единицата за термодинамичката температура (или апсолутна температура) е точно 1/273,16 од термодинамичката температура на тројната точка на водата (13. CGPM (1967) Резолуција 4, CR 104).

мол molколичество супстанција

Единицата за количество супстанција е количество на супстанција која содржи толку елементарни единки, колку што има атоми во 0,012 килограми од изотопот на чистиот јаглерод 12 (14. CGPM (1971) Резолуција 3, CR 78). (елементарните единки можат да бидат атоми, молекули, јони, електрони или честички.) Оваа единица е приближно еднаква на 6,02214199×1023 (Авогадров број).

кандела cdјачина на

светлината

Единицата за јачина на светлината е светлинската јачина во одреден правец од извор на светлина кој емитува монохроматско зрачење со фреквенција од 540×1012 херци и чијашто јачина на зрачењето во тој правец е 1/683 вати по стерадијан (16. CGPM (1979) Резолуција 3, CR 100).

9

Од основните единици се изведуваат единиците на сите останати големини во физиката, применувајќи ги релациите кои ги поврзуваат соодветните големини.

Изведени единици

Име Симбол

Изведена мерна единица

Ознака

Во основни единици

Површина A Метар квадрате

н

m2

m2

Волумен V Метар кубен

m3

m3

Аголна брзина

α,... Радијан rad

Волуменски агол

Ω стередијан

sr

Густина ρ Килограм по метар

кубен

kg/m3;

Фреквенција

f Херц Hz

Брзина v Метар во секунда

m/s

Забрзување a Метар во секунда

на квадрат

m/s2

Сила F Њутн N

Притисок p Паскал Pa

Енергија W Џул J

10

Моќност P Ват W

Електричен напон

U Волт V

Количество на електризитет

Q Кулон C

Флукс на магнетна индукција

Φ Вебер Wb

Електричен отпор

R Ом Ω

електрична спроводност

G Сименс S

Индуктивност

L Хенри H

Електричен капацитет

C Фарад F

Магнетна индукција

B Тесла T

Јачина на електрично поле

E Волт по метар

V/m илиN/C

Јачина на магнетно поле

H Ампер по метар

A/m

Светлосен флкс

Φν Лумен lm

Осветленост

Eν Лукс lx

Импулс p Њутан по секунда

Ns

Активност на радиоактивен извор

A Бекерел Bq

Ентропија S Џул по келвин

J/K

Заклучок

11

SI е во употреба во Република Македонија од 1981 година. Со неколку исклучоци, овој систем се користи во сите земји во светот и многу земји немаат официјални дефиниции на останати единици. Во САД користењето на SI во индустријата се зголемува, но секојдневната употреба е ограничена. Во Обединетото Кралство, префрлувањето на SI е официјална политика, но сеуште не е завршено. Земјите кои се уште употребуваат единици кои не се дел од SI (САД и Обединетото Кралство) ги имаат предефинирано овие единици преку единиците на SI.

12