Si “conosce” solo per interazione

A B

Universo Platonico delle idee

A B

=

Informazioni su A e B,legate al loro modo di interagiree alla loro compatibilità

• I concetti di grande e di piccolo risultano concetti puramente relativi e si riferiscono sia al grado di finezza dei nostri mezzi di

osservazione, sia all’oggetto che si considera.

• Per dare alla dimensione un significato assoluto, qual è richiesto a qualsiasi teoria della struttura intima della materia, dobbiamo supporre che esista un limite per il grado di finezza dei

nostri mezzi di osservazione, e di conseguenza un estremo inferiore per l’entità della perturbazione che accompagna l’osservazione

stessa, limite che è inerente alla natura stessa delle cose

e che non può essere superato mediante tecniche migliori

o maggior perizia da parte dell’ossservatoere.

I concetti di GRANDE e piccolo

a

Interazione con a

+

Effetto rilevabile a causa

della sollecitazione su a

Perturbazione conseguente

non rilevabile

a

Interazione con a

+

Effetto rilevabile a causa

della sollecitazione su a

Perturbazione conseguente

rilevabile

a?

IL PRINCIPIO DI CAUSALITA’

in Meccanica Classica

In fisica classica è sempre possibile distinguere fra cause ed effetti.

L’evoluzione temporale di un sistema avviene tramite equazioni differenziali

associate a condizioni al contorno ben definite.

Tali equazioni valgono anche durante il processo di misura, perché

SI ASSUME

che le perturbazioni siano sempre riducibili a piacere

MISURAPrima della misura

Dopo la misura

Immediatamente prima della misura

Un attimo dopo la misura

a

a*

a = a*

IL PRINCIPIO DI CAUSALITA’

in Meccanica Quantistica

Se un sistema è piccolo non potremo osservarlo

senza produrre una notevole perturbazione

NON DOVREMO ASPETTARCI DI TROVARE ANCORA

UNA RELAZIONE CAUSALE TRA I RISULTATI

DELLE NOSTRE OSSERVAZIONI,

IN QUANTO

ESISTERA’ UN FLUSSO DI INTERAZUIONI

NON CONTROLLABILE FRA OGGETTO E STRUMENTO DI MISURA

Va fatta un’ipotesi limite, senza la quale non è possibile procedere:

si assume che

1) IL PRINCIPIO DI CAUSALITA’ VALGA ANCORA PER I SISTEMI NON DISTURBATI

2) LA MISURA CORRISPONDA AD UN PROCESSO NON CAUSALE

.

LE EQUAZIONI DELLA MQ (CAUSALI)

HANNO UNA STRETTA CORRISPONDENZA

CON QUELLE DELLA MECCANICA CLASSICA

MA SONO CONNESSE SOLO INDIRETTAMENTE AI RISULTATI DELL’INTERAZIONE

CI SARA’ DUNQUE UN’INEDVITABILE INDETERMINAZIONE

NELLA PREVISIONE DEI RISULTATI SPERIMENTALI,

ESSENDOLA TEORIA IN GRADO DI CALCOLARE, IN GENERALE,

SOLO LA PROBABILITA’

DI OTTENERE UN DETERMINATO

RISULTATO SPERIMENTALE

QUANDO SI FACCIA UN’OSSERVAZIONE

MISURAPrima della misura

Dopo la misura

Immediatamente prima della misura

Un attimo dopo la misura

a

1

2

K

n

…… …

… … …

……

Esperimenti che mettono in luce

il comportamento NON CAUSALE dell’interazione:

- FASCI COLLIMATI DI PARTICELLE

- PARTICELLE SINGOLE

- FOTONI

Aspetto duale

(con manifestazioni complementari)

della materia

e delle onde elettromagnetiche

Relazioni di De Broglie

E = h, p = h/

:Indeterminazione

Conoscenza parziale, non simultanea,

della realtà fenomenica

Non località

/D 1 (aspetti ondulatori)

Interazioni a livello delle dimensioni

della lunghezza d’onda di De Broglie

/D <<1 (aspetti corpuscolari)

DIFFRAZIONE

INTERFERENZA

RIFRAZIONE

EFETTO COMPTON

FOTONI E PRODUZIONE DI RAGGI X

EFFETTO FOTOELETTRICO

PRODUZIONE

E ANNICHILAZIONE

DI COPPIE

MISURA DI PROPRIETA’

INTRINSECHE DELLE

PARTICELLE: ELEMENTARI:

SPIN, CARICA, , MOMENTI,

MOMENTI ANGOLARI,…

VERIFICA DI LEGGI CONSERVAZIONE

E MISURA DI QUANTITA’ CONSERVATE

URTI

CAMPI ESTERNI APPLICATIper mezzo di

Esperimenti classici

V

V

Fra le leggi fondamentali su cui fare affidamento per costruire la MQ

la più importante e drastica è la LEGGE DI SOVRAPPOSIZIONE DEGLI STATI.

Ci sono chiare evidenze sperimentali per ritenere che essa

continui a valere anche a livello atomico e subatomico

A. POLARIZZAZIONE DEI FOTONI

P

Asse

P P

Asse

P

Asse

P

It = I0sen2()

Ia = I0cos2(

)

Fascio di luce monocromatica di intensità I

It ~ N sen2() It ~ N cos2()

A. POLARIZZAZIONE DEI FOTONI

P

Asse

P P

P

Asse

Un fotone alla volta. Esame della singola prova

It ~ N sen2() It ~ N cos2()

P

OPPURE

P

Dopo N “prove” fatte tutte nelle stesse identiche condizioni, risulta:

Non è possibile prevedere in anticipo se un dato fotone verrà trasmesso o assorbito

Asse

Asse

Si può solo affermare che esiste una probabilità pari a sen2() di trasmissione e che

i fotoni trasmessi hanno polarizzazione ortogonale all’asse ottico del cristallo.

FORMALIZZAZIONE

Prima di individuare il filtro di tormalina

lo stato di si può pensare come sovrapposizione

di due stati fra loro ortogonali:

| = a | b|

E’ L’INTERAZIONE CON IL FILTRO

CHE COSTRINGE IL FOTONE

A “DECIDERE” QUALI DELLE DUE

DISTINTE, INTRINSECHE POSSIBILITA’

DI SCELTA ATTUARE

Analogia “un po’ forzosa”: «l’elettore»

B. INTERFERENZA DI FOTONI

Fascio ben collimato

di luce monocromatica

Strumento per lo

sdoppiamento del fascio

1

2 Interferometro

Il fascio è localizzato e

la sua frequenza è nota:

esso si trova in uno stato di

traslazione ben definito.

Segnale luminoso

costituito

da un solo fotone

Strumento per lo

sdoppiamento del fascio

1?

2?Interferometro

Singoli impulsi dovuti agli urti

con lo schermo di rivelazione

LA SUCCESSIONE DI N EVENTI PORTA A RICOSTRUIRE LA FIGURA DI INTERFERENZA

Il fotone fa parte di uno stato di traslazione iniziale ben definito:non può pensarsi sdoppiato in due parti distinte: i fotoni sono indivisibili

D’ALTRA PARTE

un fotone sia in uno stato di traslazione ben definito può appartenere anche a due o più raggi

Non dobbiamo farci condizionare dall’immaginario classico che ci indurrebbe a raffigurare il fotone come un ente fisico localizzabile,

pur con una certa indeterminazione, in una porzione di spazio piuttosto che in un’altra.

In questo caso il fotone è descritto dalla sovrapposizione di due funzioni d’onda,

ciascuna corrispondente allo stato di traslazione relativo ai due raggi presi separatamente.

E’ possibile immaginare che il fotone si trovi localizzato in una struttura spaziale,

la quale è per lo sperimentatore scissa in componenti chiaramente differenziate

ma, evidentemente, è solo una delle possibili configurazioni in cui esso può “vivere”

| = a 1| 1 a2| 2

CONCLUSIONI

Poiché un fotone non può spezzarsi in due parti,

la figura di interferenza è prodotta

dall’interferenza di un fotone con se stesso.

Non è possibile stabilire qual è il percorso seguito da

un singolo fotone [ammesso che questo esista].

Un sensore posto su una delle due fenditure,

allo scopo di rivelare l’eventuale passaggio della particella,

distrugge la figura di interferenza:

la distribuzione degli impulsi sullo schermo

presenta due picchi in corrispondenza dell’asse delle fenditure.

l’interazione con lo strumento di rilevazione costringe il fotone a presentarsi in una sola delle sue componenti,

distruggendo la combinazione dei due stati traslatori e provocando il

COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA

+ RIVELATORE

DI POSIZIONE

+ RIVELATORE

DI POSIZIONEOPPURE CONTRADDIZIONI

IL FENOMENO HA NATURA STATISTICA

la funzione d’onda associata ad un fotone

da’ informazioni sulla probabilita’

che il singolo fotone si trovi in una determinata regione dello spazio

la funzione d’onda non da’, direttamente, informazioni

sul numero probabile di fotoni presente in una data regione

(ciò dipende dal tipo di interazione a cui è soggetto il fascio)

Ammettere interazioni fra fotoni differenti

comporta che l’ENERGIA del sistema

NON SI CONSERVI

= INTERFERENZA

DISTRUTTIVA

ANNICHILAZIONE

DELLA COPPIA

a

b

c

d

INTERFERENZA

COSTRUTTIVA

PRODUZIONE

DI QUATTRO

FOTONI

GLI ESPERIMENTI DISCUSSI CON I FOTONI

VALGONO PER OGNI OGGETTO PARTICELLARE

In accordo con le relazioni di De Broglie, ogni particella e in linea di principio qualsiasi oggetto macroscopico,

può manifestare comportamenti corpuscolari o ondulatori.

sarà l’esperimento a mettere in luce

l’uno o l’altro comportamento sperimentale.

Per un oggetto massivo compariranno manifestazioni di carattere ondulatorio

solo quando la lunghezza d’onda di De Broglie avrà dimensioni tali da essere evidenziata sperimentalmente

ESEMPIO

Calcolare la lunghezza d’onda di De Broglie, T , per una palla da tennis di massa M = 0,1 Kg

che si muove con velocità v = 50 m/s. Confrontare T con quella di un elettrone:

a) con uguale velocità; b) con energia cinetica di 100eV

Ricordiamo che se le dimensioni “D” dell’apparato di misurazione sono grandi

rispetto all’ente fisico su cui si esegue la misura non è possibile mettere in luce la natura ondulatoria della propagazione.

Solo quando D e diventano confrontabili emergono fenomeni di diffrazione ad angoli dell’ordine di /D.

COSA SONO GLI STATI

Oggetti astratti di carattere

OLISTICO

Variabili che caratterizzano

il sistema in interazione

A B

| A = a 1|A1 + a2|A2 + a3| A3 + Principio di sovrapposizione

| A kStati di base: legati alle possibili

configurazioni consentite

dalle leggi dinamiche

Coefficienti della sovrapposizione ak

Numeri complessi: legati alla probabilità

di realizzazione degli stati | A k

Sperimentalmente è sempre possibile preparare un sistema fisico

(particella materiale, fotone, ente complesso costituito da più oggetti microscopici in evoluzione temporale)

in modo da selezionare le componenti fondamentali che lo realizzano

Ciò si ottiene per mezzo di opportuni filtraggi successivi (Polaroid, campi E e B, ecc)

LE EQUAZIONI DELLA MECCANICA QUANTISTICA REGOLANO

L’EVOLUZIONE TEMPORALE DEGLI STATI DEL SISTEMA.

PER GARANTIRE LA VALIDITA’ DEL PRINCIPIO DI SOVRAPPOSIZIONE,

ESSE SONO EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI

(Nel tempo e nelle coordinate generalizzate che ne descrivono il comportamento)

L’architettura della teoria. Gli oggetti e i concetti fondamentali

Variabili dinamiche e Ossevabili

Stati – Basi. Spazi vettoriali. BRA e KET

Operatori lineari

Autovalori e autovettori di un operatore lineare

Ampiezze di probabilità. Valori medi di un osservabile.

Osservabili compatibili. Regole di commutazione.

Relazioni di indeterminazione.

Rappresentazioni

Le equazioni del moto. Visuali di Schroedinger e di Heisenberg

Misura quantistica. Il problema del collasso della funzione d’onda

BRA E … KET

Fissato lo spazio dei KET quello dei BRA è univocamente determinato

dalla richiesta che si possano costruire funzioni lineari dei vettori di stato.

Lo spazio vettoriale dei BRA, matematicamente parlando, è lo spazio DUALE dello spazio dei KET.

Un vettore di stato non è una grandezza fisicamente misurabile

ma rappresenta solamente, in potenza, tutto quello che si può dire in merito

alle condizioni che caratterizzano un ente fisico in un determinato istante o in certe condizioni sperimentali.

Anche le variabili dinamiche non sono descritte, in genere, da grandezze reali, bensì da quantità complesse.

Lo spazio dei BRA non è uno spazio ordinario di vettori ma uno spazio di funzioni lineari;

per ogni KET esiste una funzione lineare BRA univocamente determinata da tale KET.

| a,b,c,… < a,b,c,… |

Analogia: “Il musicista”Gli stati, BRA o KET, considerati da soli,

non corrispondono a nulla di effettivamente reale:

solo l’effetto che li associa è imputabile alla realtà,

individuandone cause ed effetto.

La corrispondenza fra BRA e KET si realizza, matematicamente,

per mezzo di una operazione del tutto analoga al prodotto scalare tra vettori

< l,m,n,…| a,b,c,… >

Questo è legato alla proiezione di uno dei due nella direzione dell’altro:

è massimo se i due vettori sono paralleli, è zero se essi sono ortogonali.

Se i vettori sono paralleli essi determinano una coppia BRA – KET che si corrisponde e

l’effetto di previsione è qualcosa di veramente reale;

nel caso si prendano due vettori non corrispondenti, il numero che si ottiene non è massimo,

è un numero complesso (nel senso della tipologia matematica),

e contiene informazioni legate alle affinità fra quei due vettori.

Se il prodotto scalare risultasse nullo i due vettori sarebbero ortogonali

e nessuno conterrebbe informazioni legate all’altro (non esisterebbe proiezione dell’uno sull’altro).

Tali vettori darebbero informazioni complementari. Vettori di questo tipo si dicono vettori indipendenti.

|< a,b,c,…| a,b,c,… >|2 DENSITA’ DI PROBABILITA’ ASSOCIATA ALLO STATO GRANDEZZA REALE SIGNIFICATO FISICO IMMEDIATO

|< a,b,c,…| l,m,n,… >|2 AMPIEZZE DI TRANSIZIONE

NON LEGATE DIRETTAMENTE AI

RISULTATI SPERIMENTALI

| A = a 1|A1 + a2|A2 + a3| A3 + OPPURE < B | = < B1 | b 1 + < B2 | b 2 + < B3| b 3+ …

ANALOGIA FORMALE CON LO SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER DI UN SEGNALE

Un’altra differenza importante con il caso classico è dovuta al fatto che

in meccanica quantistica uno stato |A> e un suo multiplo k|A>

(con k numero complesso) rappresentano lo stesso stato (vettori paralleli).

Ciò è ovviamente falso nel caso di un fenomeno ondulatorio,

in cui k rappresenta l’ampiezza del fenomeno oscillatorio.

Se così non fosse la teoria quantistica entrerebbe in contraddizione.

Infatti la sovrapposizione di uno stato con se stesso DEVE ora GENERARE lo stesso stato (Nel caso contrario non si conserverebbe l’energia, annichilazione di fotoni, …)

|< Ak |Ak >|2 = 1 a k =

OPERATORI LINEARI, VARIABILI DINAMICHE

| A >

| B > < A |

< B |

Ad ogni variabile dinamica w fisicamente misurabile

è associato un operatore lineare . Questo è in grado di estrarre

da un generico KET o BRA del sistema tutte le proprietà

legate al modo di manifestarsi di quella specifica variabile dinamica:

a) valori numerici ammessi per la variabile ;

b) stati che la possono realizzare.

| A > = | B >, < A | = < B |

= | A > < B | | C > = | A > < B | C > = | A > c = c | A > < C | = < C | A > < B| = c* < B|

L’operatore piu’ semplice: l’operatore di proiezione

MOLTI OPERATORI DELLA MQ NONC OMMUTANO,

perché legati a manifestazioni reali in cui l’ordine temporale

in cui i fenomeni appaiono porta a risultati differenti.

AUTOVETTORI E AUTOVALORI DI UN OPERATORE LINEARE

| A = a 1|A1 + a2|A2 + a3| A3 + | A = b 1|B1 + b2|B2 + b3| B3 +

Possibilità di scelta delle basi per la sovrapposizione

| C = c 1|C1 + c2|C2 + c3| C3 + ……Analogia con la sintesi armonica di un segnale mediante

armoniche di Fourier,

polinomi di: Lagrange, di Čebicev, di

Hermite, di Laguerre, …

Ogni operatore lineare, corrispondente ad una particolare variabile dinamica, individua una base di vettori fondamentali per mezzo della quale si ottiene

la più significativa rappresentazione in grado di evidenziare le proprietà del sistema relative a quella variabile.

|Wk> = wk |Wk> |Wk> : AUTOSTATI DI wk: AUTOVALORI DI

Gli operatori associati a variabili dinamiche osservabili hanno autostati tutti fra loro ortonormali

(appartengono cioè a un sistema che costituisce una base di vettori di lunghezza unitaria

per mezzo dei quali è possibile rappresentare un qualsiasi vettore di stato del sistema).

Tale base di “colori” attraverso la quale il sistema fisico può essere decomposto,

mette in luce tutte le proprietà del sistema legate ad .

In corrispondenza ad ogni autostato, l’autovalore associato

rappresenta un possibile risultato di una misura di

| B > = w1|W1 + w2|W2 + w3| W3 + | A >

UN ANALOGIA FORMALE

1 2 3 4 5

| A > | B > | C >

……

HARDWARE

SOFTWARE

| A >1 = | B > = w1|W1 + w2|W2 + w3| W3 + + wk| Wk +

| A >2 = | B > = g1|G1 + g2|G2 + g3| G3 + + gk| Gk +

3 = | B > = p1|P1 + p2|P2 + p3| P3 + + pk| Pk + | A >

Risolvendo le equazioni agli autovalori è possibile prevedere

quali saranno gli autostati e i corrispondenti autovalori di un dato operatore.

Può accadere che gli autostati siano infiniti e si susseguano con continuità

ma che questi siano individuati da un numero finito di autovalori

(per ogni autovalore esistono più autostati ortonormali)

Può presentarsi il caso che sia gli autostati che gli autovalori siano in numero infinito.

In questo caso avremo un comportamento analogo a quello classico

(i possibili risultati di una misura sono distribuiti con continuità entro un determinato intervallo).

Infine, è possibile che emerga solo un numero discreto di autostati e di autovalori.

Questo è un tipico risultato quantistico, in genere non presente nella meccanica classica

per la quale tutti i risultati di una misura sono accessibili sperimentalmente.

LA DIFFERENZA CON LA MECCANICA CLASSICA

SI DIFFERENZIA A CAUSA

della piccolezza degli oggetti considerati (entra in gioco h) per l’aspetto duale dell’interazione

e per la conseguente non commutabilità di molti degli operatori della teoria)

CHE COSA SIGNIFICA FARE UNA MISURA

Fare una misura vuol dire sottometter il sistema ad una interazione esterna in grado di far emergere le proprietà legate ad .

Poiché il risultato è probabilistico, saranno necessarie diverse determinazioni per ricavare un valor medio di .

Ad ogni misura lo stato del sistema COLLASSA in un autostato di . In altre parole, viene proiettato in un sottospazio degli autostati dell’osservabile

<W| |W> = <W|w |W> = w <W|W> = w.

<| |> = <| |( ) = <|wi|Wi> = wi <Wi|Wi> =wi kk Ww |

Le grandezze più importanti <| |> sono dette ampiezze di probabilità,

per sottolineare il fatto che esprimono valori medi degli osservabili .

Una misura reale non produce certamente un risultato univoco;

una successione di misure, eseguite nelle stesse identiche condizioni,

individua un campione statistico e un conseguente valor medio.

OSSERVABILI COMPATIBILI. COMMUTABILITA’

12 21 [1, 2] = 0. 1 2 COMPATIBILI

MISURE SIMULTANEE SUL SISTEMA BASE DI RAPPRESENTAZIONE COMUNE

[1, 2] 0. 1 2 NON COMPATIBILI

NON ESISTE BASE DI RAPPRESENTAZIONE COMUNE

NON SI POSSONO ESEGUIRE MISURE SIMULTANEE SUL SISTEMASENZA INTRODURRE UNA PERTURBAZIONE CHE NE MODIFICHI IN

MANIERA IRREVERSIBILE LE CARATTERISTICHE

RELAZIONI DI INDETERMINAZIONE

ESEMPIO RELAZIONI DI INDETERMINAZIONE DI HEISENBERG

p x ħ/2 E t ħ/2[P, X] = iħ [E, T] = iħ

Entrano nel microscopio solo i quanti di luce con valori di px compresi fra

)(

senh

)(

senh

.

Per la conservazione della quantità di moto (trascuro l’effetto Compton),l’elettrone subisce un rinculo nella componente x per cui

)(2

senh

px

. Per ridurre tale valore avremo solo due possibilità: diminuire il diametro della lente obiettivo, oppure aumentare la lunghezza d’onda dei fiotoni. Ciò porterebbe inevitabilmente a diminuire le possibilità di conoscere la posizione della particella. La figura di diffrazione prodotta dal microscopio per un oggetto puntiforme è, infatti, proporzionale al potere risolutivo dello strumento:

)(/ senx

Il prodotto delle due variazioni in x e p dà

hsen

senh

xpx 2)(

)(2

RAPPRESENTAZIONI

MQ Teoria assiomatica

Teoria astratta

Il modo in cui le quantità astratte possano venire sostituite da numeri non è unico, analogamente alla possibilità di scegliere in geometria diversi sistemi di coordinate.

Ciascuno dei modi possibili di effettuare tale sostituzione è detto rappresentazione. E l’insieme di numeri che sostituisce una data quantità astratta

si dice l’insieme rappresentativo di essa nella rappresentazione considerata.

BRA KET vettori a n dimensioni, Operatori lineari matrici nn.

ULTERIORI ASSUNZIONI E CONDIZIONI NECESSARIE

PER COSTRUIRE UNA MECCANICA QUANTISTICA

EQUAZIONI MQ EQUAZIONI CLASSICHEћ 0

OPERATORI QUANTISTICI GRANEDZZE DINAMICHE CLASSICHEPRINCIPIO DI

CORRISPONDENZA

Confronto con le formulazioni

Lagrangiana o Hamiltoniana

delle equazioni del moto classiche

PARENTESI DI PIOSSON

RELAZIONI DI COMMUTAZIONE

della Meccanica Quantistica

rappresentazione delle coordinate RAPPRESENTAZIONE di SCHROEDINGER

rappresentazione degli impulsi RAPPRESENTAZIONE di HEISENBERG

XkSistema di coordinate associate

ad osservabili compatibili

[Xr, Pk] = iћrkrr xiP / rr piX /

Sistema di coordinate associate ad osservabili compatibili

Pk

La rappresentazione di Schroedinger fu usata da Schroedinger nel 1926 per la sua

formulazione originaria della meccanica quantistica

Esiste un analogia formale fra lo sviluppo quantistico e lo sviluppo in serie di Fourier di una funzione d’onda.

LE OPERAZIONI DI SIMMETRIA E LE GRANDEZZE CONSERVATE

IsometrieOperatori

delle isometrie

Invarianza per

applicazione

di isometrie a

variabili dinamiche

a KET o BRA

QUANTITA’

DINAMICHE

CONSERVATE

In MQ le leggi di conservazione

sono una conseguenza

naturale delle operazioni di simmetria

Traslazione nello spazio

x

x = xPi

Px

Rotazione nello spazio

lx

Lx

Lx

Traslazione nel tempo

T

H(t) ECostanti del moto

Le equazioni

L’aspetto duale della teoria, la quale produce risultati mettendo in tensione BRA e KET,

stati e osservabili, indica la possibilità di ottenere due insiemi complementari di equazioni del moto.

Il primo gruppo viene costruito pensando di far EVOLVERE NEL TEMPO GLI STATI (KET)

mantenendo gli OPERATORI LINEARI FERMI NEL TEMPO

tPtHtPdt

di ,|)(,|Equazione di Schroedinger

Rappresentazione delle coordinate

Il secondo considera gli STATI IN QUIETE e le VARIABILI DINAMICHE IN MOVIMENTO.

Equazione di Heisenberg )](),([)( tHtGtGdt

dHE

L’equazione di Schroedinger è di grande utilità perché permette di determinare le funzioni d’onda di un qualsiasi sistema quantistico. Essa permette di ricavare gli autostati che caratterizzano il sistema e per mezzo di questi gli autovalori e le densità di probabilità degli autostati delle varie variabili dinamiche coinvolte nella descrizione (Posizione, quantità di moto, momento angolare, spin, …).

IL COLLASSO DELLA FUNZIONE D’ONDA

Equazione

causale

| t0 >| t0 >

| t0 + t >

CONIZIONI AL CONTORNO

DESCRIZIONE DETERMINISTICA

dell’evoluzione degli stati

INTERPRETAZIONE PROBABILISTICA

Processo

NON

CAUSALE| t0 >

MISURA

WK

wK

?

Se si vuole costruire un esperimento quantistico, tutto quello che si può fare è preparare il sistema in modo da essere certi che esso si trovi in un determinato stato.

Si sottopone allora il sistema ad una misura che provochi il collasso della funzione d’onda in una precisa direzione (questo è sempre teoricamente possibile, per quanto, in pratica, possa essere a volte difficile da ottenere).

Se il sistema dipende da osservabili compatibili (i cui operatori commutino), si sottopone lo stato ad una successione di misure che alla fine diano il risultato voluto.Una volta preparato lo stato, lo si fa evolvere per mezzo delle equazioni del moto ,

nelle quali sono state incluse tutte le informazioni legate alle interazioni e all’energia in gioco.

SULLO STATO COSÌ PREPARATO, EFFETTUIAMO INFINE LA MISURA PREVISTA.

Si potrebbe ritenere che l’interazione, dovuta alla misura, sia ancora schematizzabile e incorporabile nelle equazioni del moto

ma la teoria richiede che questo non sia un processo causale e, pertanto, che si debba applicare il postulato del collasso.

PERCHE’ LA DINAMICA NON FUNZIONA QUANDO

VIENE EFFETTUATA UNA MISURA. ESEMPIO

Se il dispositivo è preparato in modo corretto e la dinamica vale in ogni caso le equazioni del moto richiedono che

|pronto>m|duro>e |”duro”>m|duro>e

|pronto>m|tenero>e |”tenero”>m| tenero >e

oppure

Un elettrone NERO attraversato il dispositivo sperimentale

Gli osservabili COLORE e DUREZZA sono

OSSERVABILI COMPATIBILI

Esiste una base comune di autostati

ESPRESSO NELLA BASE DELLA DUREZZA LO STATO DI e- NERO,

lo stato iniziale dell’elettrone e del dispositivo risulta

|pronto>m|nero>e = | pronto>m( 2

1|duro>e +

2

1|tenero>e ) =

| pronto>m|duro>e + 2

1

2

1| pronto>m|tenero>

Se la dinamica funzionasse correttamente si dovrebbe avere

|pronto>m|nero>e | “duro”>m|duro>e + | “tenero”>m|tenero> e 2

1

2

1

Il postulato del collasso ci dice invece che si presenterà,

con probabilità del 50%, uno dei due casi

|”duro”>m| duro>e |”tenero”>m| tenero>e

Osserviamo che l’espressione dello stato previsto dalla dinamica è effettivamente strana!

Lo stato risultante è costituito da una macchina con indice che punta su duro e tenero contemporaneamente