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si tratta di una forzante sinusoidale
funzione di e quindi di
caratteristiche della forzante: caratteristiche dell’oscillatore:
se ! è trascurabileAF è massima quando:
qualunque sia t
potenza dissipata dallo smorzamento:
potenza fornita dalla forzante:
a tempi lunghi, quando t >> !"
questa consegue dalla struttura dell’equazione differenziale:
Premessa
in 1 dimensione c’è un solo percorso possibile!
purché costituiscano un CAMPO di FORZE
Fx dx
funzione pari -> simmetrica rispetto all’asse delle ordinate
a parità di spostamento,l’energia potenziale crescepiù rapidamente nel casorosso
sostituendo x(t) e x’(t) si trova che cost=
si ricordi che
ESSENDO IL CAMPO CONSERVATIVO, L’ENERGIA MECCANICA TOTALE SI CONSERVA
idem in x = -C
siccome la costante è tale ad ogni tempo, in alternativa posso calcolarel’energia totale in uno dei punti di massima elongazione (punto di inversione), in cui l’energia cinetica è nulla
MAX
in alternativa si poteva anche calcolare l’energia totale nel centro di oscillazionedove l’energia è tutta cinetica
OSCILLATORE ARMONICO BIDIMESIONALE
sistema di due equazioni differenziali del secondo ordine disaccoppiate (possono essere risolte indipendentemente l’una dall’altra)
!10 !5 5 10x
!10
!5
5
10y
5 10 15 20
!4
!2
0
2
4
x!t"
5 10 15 20
!2!1012
y!t"
x(t)
!10 !5 5 10x
!10
!5
5
10y
5 10 15
!4
!2
2
4
x!t"x(t)
5 10 15
!2!1
12
y!t"danno le fasi iniziali che abbiamo scritto 2 slides fa
danno la stessa traiettoria ma con un diverso punto di partenza e un diverso senso di percorrenza
!10 !5 5 10x
!10
!5
5
10y
5 10 15!4!2
24
y!t"
5 10 15
!6
!4
!2
2
4
6
x!t"x(t)
fino ad ora abbiamo ipotizzato che x e y, prese singolarmente, oscillano con la stessa pulsazione ω (quindi con lo stesso periodo).
Vediamo ora che cosa succede se le due pulsazioni sono diverse.In altre parole, supponiamo che le molle lungo y abbiano una costante elastica diversada quella delle molle lungo x.
le due equazioni sono ancora disaccoppiate
la differenza rispetto a prima è che le due oscillazioni (quella lungo x e quella lungo y)avvengono con pulsazioni/frequenze diverse (e quindi diversi periodi)
si noti anche che:
!10 !5 5 10x
!10
!5
5
10y
5 10 15!4!2
24
y!t"
5 10 15
!6
!4
!2
2
4
6
x!t"x(t)
in questo esempio l’oscillazione più rapida è quella lungo y
la traiettoria è chiusa, prima o poisi ripassa per il punto di partenza
riempie il rettangolo
!10 !5 5 10x
!10
!5
5
10y
90 95 100 105 110
y!t"
90 95 100 105 110
x!t"x(t)
se
se
la possiamo scrivere anche in componenti:
i termini sottolineatisono quelli che causanol’accoppiamento delle 2 equazioni
se sommo le due equazioni ottengo:
quindi la posizione del centro di massa soddisfa una nuova equazione differenziale DISACCOPPIATAesattamente come se fosse una massa 2m legata a due molle aventi ciascuna costante elastica k
oppure anche:
si tratta di un’oscillazione del centro di massa con pulsazione:
le 2 masse oscillano in fase
ora invece sottraggo le due equazioni:
y= posizione della massa 2 rispetto alla posizione della massa 1
la soluzione è un’oscillazione con pulsazione:
le 2 masse oscillano in controfase
ATTENZIONE: l’equazione differenziale deve essere LINEARE e a COEFFICIENTI COSTANTI(come è quella che decrive un sistema di masse e di molle) altrimenti non questo non vale.
ODE= equazione differenziale
Ad ogni “modo normale” è associata una sua frequenza (in casi particolari, più modi normali possono avere la stessa frequenza)
Questo discorso può essere generalizzato a sistemi continui
gradi di libertà modi normali