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浙江大学控制科学与工程学院
信号与系统
Signals and Systems
控制学院本科教学平台： http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/
搜索课程：信号与系统（乙）
浙江大学控制科学与工程学系
3
本科教学课程网站：http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/
浙江大学控制科学与工程学系
4
本科教学课程网站：
http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/理论教学
5
课程简介
目的:
– 介绍信号与系统的基本概念、理论
– 学习如何分析信号特性和线性时不变系统
要求:
– 预习, 听课和复习－－只有8周时间！务必 重视与抓紧！
– 按时完成所布置的作业（重要！每周一上课时交上一周作业，迟
交的话，全对也只能计算70%）
评分标准：
– 平时成绩（到课、作业、回答问题以及课堂练习）: 30-40%
– 期末考试: 60-70%
答疑：课间、课程网站答疑论坛、电子邮件等均可
6
参考书目
Same book
Oppenheim A V, Willsky A S, Nawab S H.刘树棠译.
信号与系统(第二版), 西安: 西安交通大学出版社, 1998.
Oppenheim A V, Schafer R W, Buck J R.刘树棠,黄建国译.
离散时间信号处理(第二版), 西安: 西安交通大学出版社, 2001.
于慧敏主编. －－教材
信号与系统（第二版）, 北京: 化学工业出版社, 2008.
于慧敏,凌明芳,史笑兴,杭国强编. －－配套书
<信号与系统学习指导>, 北京:化学工业出版社, 2004.
其他同类书
Oppenheim A V, Willsky A S, Nawab, Nawab S H.Signals & System,
(Second Edition) 1998年，清华大学出版社PRENTICE HALL(英文版）
课程安排
本课程教学内容: 第一章~第七章
本课程性质: 电类（弱电类）专业的专业基础课
任课教师：控制学院
陈 曦 [email protected] 13858077650, 637650
赵 均 [email protected] 13003693119
徐祖华 [email protected] 18606523915
助教郑成霖：[email protected] 15021402389
7
8
课程主要内容
第一章 信号与系统基本概念 2
第二章 LTI系统的时域分析：连续与离散信号 3
第三章 连续时间信号与系统的频域分析 3
第四章 离散时间信号与系统的频域分析 2.5
第五章 采样、调制与通信系统 1.5
第六章 信号与系统的复频域分析 2
第七章 Z变换 2
关键词：信号/系统，连续/离散，时域/频域/复频域
浙江大学控制科学与工程学院
信号与系统 Signals and Systems
第一章 信号与系统的基本概念
Chapter 1 Signals and Systems Basic Concepts
本章主要内容
（0）引言
（1）信号的基本概念
（2）连续时间与离散时间的基本信号
（3）复指数信号与正弦信号
（4）信号的运算与自变量变换
（5）系统的描述及系统的基本性质
10
11
基本概念——引言(1)
信号传输（Transmission）、信号交换（Switching）
和信号处理（Processing） －－涵盖了通信系统的三个方面
消息（Message)
信息（Information)
信号（signal）
思考题：1）信号、消息与信息有什么异同？
2）信息是否具有生命周期？
12
基本概念——引言(2)
信息的表现形式：
数据、文字、声音、图像等 传送
信息的载体—信号(信号的内涵—信息)
光信号
（火光）
声信号
（击鼓鸣金）
电信号
（电磁波/无线电广播）
应用最广泛（易于存储、传输、处理、再现）
。或的函数，记为
或解为关于时间变量
在本课程中，信号被理
][)( nxtx
nt
13
基本概念——引言(3)
系统的定义: 一组相互间有联系的事物组成的一个整体
对信息的处理即对信号的处理、管理等是通过不同系统实现的
本课程介绍确定性信号线性时不变（LTI）系统
信号：表示(x(t)、x[n])，运算，分析
时域
变换域（频域、复频）
系统: 表示 模型(输入-输出方程, 状态方程,框图等), 分析
, 综合时域
变换域
Physical system in the broadest sense are an
interconnection of components, devices, or subsystems.
A system can be viewed as a process in which input
signals are transformed by the system or caused the
system to respond in some way, resulting in other signals
as outputs.
本章主要内容
（0）引言(Introduction)
（1）信号的基本概念
（2）连续时间与离散时间的基本信号
（3）复指数信号与正弦信号
（4）信号的运算与自变量变换
（5）系统的描述及系统的基本性质
14
15
基本概念——信号的描述（1）
信号：通常是随时间或几个自变量变化的某种物理量，是信息的载体。
例： 语音信号——声压随时间变化的函数
黑白照片——亮度随二维空间变量变化的函数
图像
雪中的梅花
（摄于玉泉校区工控新楼前）
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Time/seconds
声音
16
基本概念——信号的描述（2）
信号的特性
（1）时间特性：信号出现时间的先后、持续时间的长短、重复周期的大小以及随时间变化的快慢
（2）频率特性（不同频率正弦分量之和）：各频率分量的相对大小、主频分量占有的范围等
不同时间特性导致不同的频率特性
本课程讨论范围
（1）随时间、位置变化的电信号；
（2）限于讨论单变量函数（通常是时间变量）
17
基本概念——信号的描述（3）
18
基本概念——信号的描述（4）
19
基本概念——信号的分类
分类：
确定性信号和随机性信号
连续时间信号和离散时间信号
周期信号和非周期信号
奇信号和偶信号
功率信号和能量信号
t
20
基本概念——信号的分类（1）
本课程只讨论确定性信号（因为这是研究随机信号的基础）。
确定性信号与随机性信号
确定性信号——用时间 t 的确定函数表示，即使某时刻t0尚未到达，也可预知该时刻的取值，如：正弦信号。
随机性信号——具有不可预知性，如果某时刻t0 尚未到达,
则无法预知信号在该时刻的取值，只知道信号在t0 的统计特性。
如：干扰、噪声信号。
t
21
基本概念——信号的分类（2-1）
-2 3
2
-
1
t
y(t)
连续时间(Continuous-time)信号与离散时间(Discrete-time)信号
－－按自变量的取值是否连续划分
连续时间信号 (t)——信号的自变量（时间 t）是连续变化的，可以取
所有的实数，通常记为x(t)（但可能有若干个不连续的点）。
t
z(t)
模拟信号(Analog) x(t) ：时间、幅度均连续的信号，例：温度、气压等
t
x(t)
0
22
基本概念——信号的分类（2-2）
本课程并行讨论连续时间和离散时间这两种信号
43
2 2 1
0-1-2 1 2 n
x[n]
x[n]={0, 2, 3, 4, 2, 1, 0}
n=0时的离散信号值
离散信号幅度量化
编码数字信号
离散时间信号 [n] ——信号的自变量是离散的，只取整数值，通
常也称为时间序列（实际上是按顺序排列的数据），记作x[n].
23
离散信号(Sampling抽/采样) x[n]：时间离散、幅度可为连续的信号
nZ， n非整数时无定义
数字信号(Digital)：D[n]
时间离散、 幅度离散的信号
例：每年的人口增长情况,
n
x[n]
1 2 3 4 5 6 7 80
量化
采样时间
二进制编码(0,1)
n
D[n]
(000)
(001)
(010)
(011)
(100)
(101)
(110)
(111)
1
4
2
3
5
6
7
0
1 2 3 4 5 6 7 80
23=8
例：计算机处理的信息
基本概念——信号的分类（2-3）
基本概念——信号的分类（2-4）
时间轴
幅度轴连 续 离 散
连续 Analog(模拟） Sampling（抽/采样）
离散 Quantization（量化） Digital（数字）
统称 连续时间(CT)
Continuous-time
离散时间(DT)
Discrete-time
24
思考题：1）请分别给出确定性信号与随机信号的实例。
2）请分别给出连续时间信号与离散时间信号的实例。
25
基本概念——信号的分类（3-1）
周期(Periodic)信号与非周期信号
连续周期信号：
x(t)= x(t+mT) , m=0, ±1, ±2,….
离散周期信号：
x[n]= x[n+mN], m=0, ±1, ±2,….
能使上两式分别成立的最小正值T、N称为x(t)和x[n]的基波周期T0和N0
不满足上述关系的称为非周期信号。
)2()()( TtxTtxtx
NnxNnxnx 2
思考： 1）非周期信号能看成周期信号？2）基波周期的含义？3）周期信号都有基波周期吗？
26
n
x[n]
0
…… N0=?
1 2
n
x[n]
0
……
3
N0=?2
1
t
x(t)
0
……
T T0=?
例1-1:
如图所示信号是
否周期信号？如
是，各自的基波
周期为多少？
基本概念——信号的分类（3-2）
27
基本概念——信号的分类（3-3）
有理数N
k
2
0
思考：只有满足上式（ω0/2π为有理数）, x[n]=cos(ω0n)才是周期信号，为何？可否用一句话总结什么情况下x[n]=cos(ω0n)是周期的？
例1-2 判断离散余弦信号x[n]=cos(ω0n)是否为周期信号。
解：由周期信号的定义，若
cos(ω0(n+N))= cos(ω0n)
则x[n]是周期的。
若上式成立，必须满足：ω0N=2kπ ， k为整数，N为周期
或者
奇(Odd)信号xo(t)/xo[n]—与偶(Even)信号xe(t)/xe[n]
奇信号关于原点对称：
28
基本概念——信号的分类（4-1）
偶信号关于纵坐标对称:
)()( txtx 或 ][][ nxnx
)()( txtx 或 ][][ nxnx
xo[n]
n0
奇信号
xo(t)
t
偶信号
xe(t)
t
xe[n]
n0
29
基本概念——信号的分类（4-2）
信号的分解：奇偶信号的划分是不完备的，存在非奇非偶信号。
但任何信号都可分解成奇分量与偶分量之和。
)()(2
1)()(
2
1
)()()()(2
1)(
txtxtxtx
txtxtxtxtx
2
)()()()(
txtxtxEvtxe
2
)()()()(0
txtxtxOdtx
同理2
][][][
nxnxnxe
2
][][][
nxnxnxo
)()()( txtxtx oe
30
基本概念——信号的分类（4-3）
0 1 2 3
1
•••
x[n]
00
01][
n
nnx
0 1 2 3
1
•••
x[-n]
01
02
1
2
][][][
n
nnxnxnxe
0 1 2 3
1
•••
xe[n]
•••0.5
02
1
00
02
1
2
][][][
n
n
n
nxnxnxo
解：
例1-3 将
00
01][
n
nnx
表示为奇偶分量之和。
＋
2
)()()()(
txtxtxEvtxe
2
)()()()(0
txtxtxOdtx
0 1 2 3
•••
xo[n]
•••
0.5
-0.5
31
基本概念——信号的分类（5-1）
功率(Power)信号与能量(Energy)信号(时间信号的可积性划分）
考虑在1 电阻上信号x(t)/x[n] (电压或电流)消耗的瞬时功率
在时间间隔 t1 ≤ t ≤ t2 内消耗的总能量E和平均功率P：
;)()(2
1
2
121
2
t
t
t
ttt dttxdttpE
1212
212
121
)(1
tt
Edttp
ttP
ttt
ttt
总能量：
2
112
2)(lim
t
tttdttxE
平均功率：
2
112
2
12
)(1
limt
tttdttx
ttP
当(t2-t1)→∞时，
)(/)()()()()( 21
22 txRtvRtititvtpR
2
)()( txtp
a.信号可以具有复数值，因此统一用模表示。b.“能量”和“功率”不同于物理上概念，可以具有不同的单位。
32
基本概念——信号的分类（5-2）
总能量：
N
NkN
kxE2
][lim
平均功率：
离散信号：
N
NkN
kxN
P2
][12
1lim
能量功率非负
能量有限信号：
如果信号满足：0<E<∞,而P=0,则称为能量有限信号，简称能量信号。
功率有限信号：
如果信号满足：0<P<∞,而E→∞,则称为功率有限信号，简称功率信号。
lim 02 1N
EP
N
第三类信号：P∞→∞, E∞→∞ 例：x(t)=t
33
基本概念——信号的分类（5-3）
例1-4 判断下列信号是否是能量信号、功率信号
);sin()()1( 01 tAtf ;)()2( 2
tetf 0,5
4][)3(
kkf
k
解:
（1）f1(t)是周期信号，基波周期为0
0
2
T
一个基本周期内的能量：
2
2cos12
1
sin)(
0
2
00
2
00
22
0
2
10
0
00
TAdttA
dttAdttfE
T
TT
所以
0lim kEEk
平均功率 2)(
1lim
2
0
02
2
2
1
A
kT
kEdttf
TP
T
TT
f1(t)是功率信号
34
基本概念——信号的分类（5-4）
(2) tetf )(2
f2(t)的能量:
TT
T
T
T
t
T
T
TTeedtedttfE
2
1limlim)(lim
2
2
22
2
2
2
f2(t)的功率:
TT
T
T
TTee
Tdttf
TP
2
1lim)(
1lim
2
2
2
2
f2(t)既不是能量信号，又不是功率信号
35
基本概念——信号的分类（5-5）
f[n]的功率: 0][12
1lim
2
N
NkN
kfN
P f[n] 是能量信号
f [n]的能量:
78.264.01
164.0
5
4][
00
22
k
k
k
k
k
kfE
(3) 05
4][
kkf
k
推论：
1. 连续周期信号都是功率信号，非周期信号则不一定
2. 直流信号也是功率信号
3. 属于能量信号的非周期信号也称为脉冲信号
4. 一个信号不可能既是能量信号，又是功率信号，但少数
信号既非能量信号，又非功率信号。
本章主要内容
（0）引言(Introduction)
（1）信号的基本概念
（2）连续时间与离散时间的基本信号
（3）复指数信号与正弦信号
（4）信号的运算
（5）系统的描述及系统的基本性质
连续时间基本信号
(1) 单位阶跃信号u(t)； (2) 单位斜坡信号r(t)； (3) 单位冲激（样
值）信号(t)；(4) 冲激偶信号δ’(t)；(5) Sa(t)函数(Sinc(t)函数）
离散时间基本信号
(1) 单位阶跃序列u[n]；(2) 单位斜坡序列 r[n]；(3) 单位脉冲序列δ[n]；
(4) 矩形序列GN[n]；(5) 离散 Sa(t)函数
37
连续时间与离散时间的基本信号
典型的信号——由实际物理现象经数学抽象而定义，是一种理想的信号
如：单位阶跃信号和单位冲激信号
奇异函数——函数本身有不连续点或导数与积分有不连续的情况
38
连续时间信号:奇异信号——单位阶跃信号（1）
0,1
0,0)(
t
ttu
一、单位阶跃信号(unit-step)：
在t＝0处无定义，可根据实际的物
理意义定义
0
0
0,1
,0)(
tt
ttttu
延迟的单位阶跃信号：
在t＝t0处无定义
u(t)
0
1
t
u(t-t0)
0
1
tt0
39
tT
3T
1
单位阶跃信号在分析中的作用：
1）应用阶跃信号和延迟阶跃信号可以表示任意的矩形波脉冲信号
例1-5 用u(t)写出图(1)所示的信号。
f1(t)=u(t-T)
f2(t) =-u(t-3T)
)3()()()()( 21 TtuTtutftftf
解：f(t)
tT 3T
1
图(1)
连续时间信号:奇异信号——单位阶跃信号（2）
40
uΔ(t)
t
2）任一双边信号与之相乘之后变成单边信号
3）可以看成是斜平信号的极限
Δ
)(lim)(0
tutu
连续时间信号:奇异信号——单位阶跃信号（3）
( ) sinx t t ( ) sin ( )x t t u t
41
4）符号函数 sgn(t) 的表示
0,1
0,1)sgn(
t
tt
sgn(t)
t-1
1
)()()sgn( tutut
第一种表示方法
第二种表示方法
1)(2)()()s g n ( 21 tutxtxt
x1(t)
t
2
t
x2(t)
1
连续时间信号:奇异信号——单位阶跃信号（4）
－
‖
42
r(t)
t0
1
1
连续时间信号:奇异信号——单位斜坡信号
0,0
0,)(
t
tttr二、单位斜坡(ramp)信号： 与单位阶跃信号的关系：
dt
tdrtu
dutrt
)()(
)()(
u(t)
t0
1
t
应用斜坡信号与阶跃信号，可以表示任意三角脉冲信号
g(t)
t0
1
1-1)1()1()(2)1()1(
)1()(2)1()(
tutttutut
trtrtrtg
?
43
0,0
0,)(
t
tt
1)(
dtt
t0
(t)
1 面积(冲激强度)
(t)––持续时间为0, 面积为1
t
δ(t-t0)
1
t0
00
0
,0)(
1)(
tttt
dttt
三、单位冲激信号(Unit impulse, Delta function, Dirac function) ：
定义（定义2：狄拉克定义）
连续时间信号:奇异信号——单位冲激信号（1）
44
理解：
t0
x(t)
1/
- /2 /2
面积=1
t
x(t)1/
- /2 /2
面积=1
0kdttk
)(
t0
1
(t)
面积=1
t0
k
k(t)
面积=k
面积
连续时间信号:奇异信号——单位冲激信号（2）
45
δ(t)
t
δΔ(t)
t
单位冲激信号(t)与u(t)关系
(定义1：斜平信号uΔ(t)的导数)
Δ
1/Δ
矩形脉冲（面积为1） 面积集中在t=0
1表示δ(t)的强度，面积为1
uΔ(t)
tΔ
dt
tdutt
)()(lim)(
0
Δ→0
1
对uΔ(t)求导dt
tdut
)()(
dtu
t
)()(
)()( tudt
dt (广义求导)
理解：
连续时间信号:奇异信号——单位冲激信号（3）
46
x(t)δ(t-t0)
tt0
单位冲激信号的性质：
*1 乘积性质： 若信号x(t)在t=t0处连续，则有
)()()()( 000 tttxtttx
x(t)
tt0
1
x(t0)
*2 取样(筛选)性质：若信号x(t)是一个在t=t0处连续的普通函数，则
)()()( 00 txdttttx
证明：)()()()()()()( 000000 txdttttxdttttxdttttx
)()0()()(,00 txttxt 当
)0()()(,00 xdtttxt
当
连续时间信号:奇异信号——单位冲激信号（4）
47
连续时间信号:奇异信号——单位冲激信号（5）
例1-6 计算下列各式的值。
)4
sin()4
()sin( (1)
dttt ——取样特性解：
3 2 3 2(2) ( 2 3) ( 2) (2 2 2 3) ( 2) 19 ( 2)t t t t t ——乘积特性
*3 对称性质 )()( tt 冲激信号是偶函数
*4 冲激信号与阶跃信号的关系
);()(
)( tdt
tdutu
1( ) ( ) ( )t
u t d u t
一次积分
)()()()(2 ttududdtutt
二次积分
)()!1(
)()(1
tun
tddtu
nt
n
n次积分
48
t1 2 3 4
1
2
-1
x'(t)
-2
-3
*5 在不连续点的微分引起一个冲激，幅度为阶跃的幅度
t1 2 3 4
1
2
-1
x(t)
微分
)4(2)2(3)1(2)( ttttx
恢复
t
dxtx )()(
0)(,1 txt
2)(,21 txt
1)3(2)(,42 txt
12)3(2)(,4 txt
连续时间信号：奇异信号——单位冲激信号（6）
49
连续时间信号：奇异信号——冲激偶信号（1）
四、冲激偶信号δ’(t)
冲激信号δ(t)的微分将呈现正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信
号；以δ’(t)表示
τ→0
δ(t)
t
(1)
求导ds/dt
tτ-τ
s(t)
tτ-τ
1/τ
面积为1/τ
τ→0
δ′(t)
t
(∞)
(∞)
总面积为0
1/τ2
-1/τ2
dt
tdt
)()(
)()( td
t
理解
0),(1
0),(1
)(
2
2
tt
ttts
50
重要性质：
*2 性质2 )()()( 00 tfdttttf
证明：采用分部积分的方法
)()()(
)()()()()()(
00
000
tfdttttf
tdftttttfdttttf
)()()(:比较 00 txdttttx
*1 性质1 0)(
dtt (正负面积抵消)
*3 冲激偶信号与冲激信号的关系
dt
tdt
)()(
)()( td
t
连续时间信号：奇异信号——冲激偶信号（2）
51
Sa(t)
t
1
π 2π-π-2π
连续时间信号：其他连续时间信号——Sa(t)函数
五、Sa(t)函数（抽样函数）
t
ttSa
)sin()(
)()sin()sin(
)( tSat
t
t
ttSa
Sa(t)是偶函数
2）Sa(t)函数性质2
)(0
dttSa
dttSa )(
0.13
-0.22
,1)0(Sa ,2,,0)(Sa tt
1）定义
另外一种表示：t
ttc
)sin()(sin 1)0(Sinc ,2,1,0)(Sinc tt
52
离散时间信号——单位阶跃序列u[n]
离散时间信号又称离散序列，可以用函数解析式表示，也可以
用图形表示，列表表示。
n0 1 2 3 4
1 1
3
2
-1-2 x[n]={0, 2, 0, 1, 3, 1, 0}
表示n=0对应的位置
一、单位阶跃序列u[n]
0,1
0,0][
n
nnu
n0 1 2-1-2 3
1 u[n]
…
比较：离散时间单位阶跃序列x[n]在n=0时，u[0]=1
连续时间单位阶跃信号x(t)在t=0处无定义
]1[ nu
53
离散时间信号——单位脉冲序列[n]（1）
二、单位脉冲序列δ[n]
0,1
0,0][
n
nn
n0 1 2-1-2-3
1δ[n]
注意： δ[n]在n=0时有确切的数值，而δ(t)在t=0时无确切的值
单位阶跃序列u[n]与单位脉冲序列δ[n]的关系
]1[][][ nunun
n
k
knu ][][
单位阶跃序列的一次差分
单位样本序列的求和
n0 1 2-1
性质：
*1 移位的单位脉冲
1 δ[n-2]
*2 乘积特性 ][][][][ 000 nnnxnnnx
1δ[n]
][][ nn ][][][ 00 nxnnnx
n
*3 偶函数
离散时间信号——单位冲激序列[n]（2）
*4 任意序列可以利用单位脉冲序列及移位单位脉冲序列的线性加权和表示
n0 1 2 3
1
32
-1-2
x[n]
]2[2]1[2][]1[3][ nnnnnx
k
knkxnx ][][][
54
取样性质—请自己证明
55
离散时间信号—矩形序列GN[n]与单位斜坡序列r[n]
三、矩形序列GN[n]（窗函数）
Nnn
NnnGN
,0,0
10,1][
n0 1 2-1-2 N-1
1GN[n]
∙∙∙
矩形序列GN[n]可以用阶跃序列和脉冲序列分别表示
1
0
0
11
][][][][][
][][][
N
mNm
n
Nnk
Nn
k
n
k
N
mnmnkkk
NnununG
n0 1 2 3 4
1
32
-1
…r[n]
0
][][][k
knknnunr
令k=n-m
四、斜坡序列r[n]
本章主要内容
（0）引言(Introduction)
（1）信号的基本概念
（2）连续时间与离散时间的基本信号
（3）复指数信号与正弦信号
（4）信号的运算与自变量变换
（5）系统的描述及系统的基本性质
56
57
连续时间实指数信号（1）
一般复指数信号（C、s都是复数）：
分析：
*1 当t=0时， x(0)=C，所以C是t=0时指数信号的初始值
*2 若C为正实数(C>0)
σ>0 x(t)随t的增大而增大
σ<0 x(t)随t的增大而减小
σ=0 x(t)不随t变化t
x(t)
0
C
σ>0σ<0
σ=0
stCetx )(
stCetx )(
js
tCetx )(
实指数信号定义（C、s都是实数）：
本课程不做要求
58
连续时间实指数信号（2）
考虑σ>0:
σ2>σ
1>0，x
2(t)= Ce
σ2t 变化快
考虑σ<0:
指数信号随时间单调变化的快慢程度与|σ|的程度有关
指数信号的重要性质：对其时间的微分和积分仍是指数形式
常用的是单边指数衰减信号（t<0, x(t)=0，且σ<0)
t
x(t)
0
C
σ1
σ2σ1
σ2
σ2<σ
1<0，|σ
2|>|σ
1|,
x2(t)=Ce
σ2t变化快
59
离散时间实指数序列（1）
一般形式：ncanx ][ c,a为复数
a=eβ ncenx ][ stcetx )(连续:
实指数序列（c,a均为实数）
n
x[n]
0 1 2 3 4 5-1-2-3
a>1
cn
x[n]
0 1 2 3 4 5-1-2-3
a<-1
c
当|a|>1时，序列值随着n的增大而指数增长；
ncanx ][
60
当1>|a|>0时，序列值随着n的增大而指数衰减；
n
x[n]
-2 -1 0 1 2 3-3-4-5
1>a>0
c
n
x[n]
-2 -1 0 1 2 3-3-4-5
0>a>-1
c
c……
0 1 2 3-1-2 n
a=1 c……
0 1 2 3-1-2 n
-c
a=-1
ncanx ][
a=1时，则can就是一个常数c； a= -1时，则ca
n在+c和-c间交替变化
a>0时，则can所有值都有相同的符号；a<0时，则ca
n的值符号交替变化
离散时间实指数序列（2）
61
相关数学基础回顾:复数
直角坐标：
极坐标：
欧拉公式：
Im
Re
z
x
yr
62
连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(1)
0,0 js
tjC etx 0)(
stCetx )(（1）定义：纯虚指数
)](cos[)cos()( poo ttCtCtx
其中tp= –/
0––描述由相移引起的时间延迟
正弦信号 tocos
tosin
Re 𝑒𝑗𝜔0𝑡
Im 𝑒𝑗𝜔0𝑡
Re–Real part实部
Im–Imaginary part虚部
回顾: 欧拉公式
)sin(cos 000 tjte
tj
)(2
1s in 00
0
tjtjee
jt
)(2
1cos 00
0
tjtjeet
思考题：1).复数信号现实中不存在，为什么关注这种信号？
63
连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(2)
（2）性质：
1）周期性：
tjTjtjTtjeeee 0000 )(
10
Tje
,2,12
0
kk
T
基波周期：0
0
2
T 基波频率： 00 2 f
0
0
1
Tf
2）正弦信号和余弦信号统称为正弦信号（两者仅在相位上相差
π/2), 也是周期为2π/|ω0|的周期信号
)(
0000 Re
2cos
tjjtjjtjeAeeee
AtA
)(
0000 Im
2sin
tjjtjjtjeAeeee
AtA
tjC etx 0)(
64
连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(3)
4）周期信号，尤其是复指数信号和正弦信号——具有无限能量、
有限平均功率－－功率信号
000
2 000 1 TdtdteE
TTtj
period
12
1lim
20
T
T
tj
Tdte
TP
0lim NTEN
5）对周期复指数信号和正弦信号求微积分，仍然是同周期的复
指数信号和正弦信号。
3) ω0=0时 CCetx
tj 0)(
对任意正值T都是周期的
常数信号的基波周期无定义
65
ttty 3sin4cos2)( )2(
)()()()( 321 txtxtxty xi(t)––正弦信号
周期 T1T2 T3T0 T0=?
LCM––Lowest
Common Multiple
（3）正弦, 复指数信号的组合：
)5
1
3
1cos(4
2
1cos4
3
2sin2)( )1( tttty
例1-7 求组合信号y(t)的基波周期。
T1=3T0 T2=4 T3=6 解：(1) T0=LCM(3, 4 ,6)=12
连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(4)
T1=2T0 T2=2/3
解：(2) T0––不存在, 称为概周期或拟周期信号
66
连续时间信号——周期复指数信号和正弦信号(5)
（4）正弦,复指数信号的重要性：
— 周期信号Fourier级数(FS)
—非周期信号 Fourier变换(FT)
②线性系统
谐波 谐波（系统频域分析的基础）
谐波——概念来自音乐，由声压振动得到的各种音调其频率都是
某基波频率的整数倍。一组成为谐波关系的复指数信号的集合—
—即一组基波频率为某一正频率的整倍数的周期复指数信号。
① 任何周期信号都可由谐波的组合表示:
k
T
k
0
0
2
基波周期： 基波频率： 0k
𝜑𝑘 𝑡 = 𝑒𝑗𝑘𝜔0𝑡 , 𝑘 = 0,±1,±2,⋯
67
离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（1）
ncenx ][ 中β为纯虚数 β=jω0 纯虚指数序列nj
cenx 0][
回顾重要的公式——欧拉公式
njnenxnj
00 sincos][ 0
考虑重要的序列——正弦序列
nAnx 0cos][
用复指数序列表示
nj
njnj
eA
eA
eA
nAnx
0
00
Re
22cos][ 0
njnjeen 00
2
1cos 0
njnjee
jn 00
2
1sin 0
n––无量纲0––量纲为弧度(rad/秒)
68
例1-8 确定下列信号是否周期的，若是，确定其基波周期。
);12/2cos(][ )1( nnx
12
2 )1( 0
mmN 12
12
2
2
若m取1,则 N=12
);31/8cos(][ )2( nnx )6/cos(][ )3( nnx
解：
31
8)2( 0
4
31
31
8
2
mmN
m取4, N=31
6
1)3( 0
mmN 12
6
1
2 找不到mZ使NZ
故该信号是非周期的
离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（2）
* 连续时间信号 是周期的，基波周期T0=2π/ω
0对任何ω
0
都是周期的；
离散信号 不一定是周期信号，取决于ω0
tje 0
nje 0
69
1）振荡频率不随ω0的增大而增大；2）频率相差2π整数倍的信号相同
njnkjnjnkjeeee 000 2)2(
2,8.1,5.1,2.1,8.0,5.0,2.0,0)sin()( 00 nnx
低频段(π的偶数倍)
高频段(π的奇数倍)
离散信号nj
e 0
离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（3）
离散信号频域具有周期性, 周期=2。
70
比较：连续信号 tje 0
1）不同的ω0表示不同的连续信号；2）ω
0越大，信号的振荡频率越高
8.1,5.1,2.1,8.0,5.0,2.0),sin()( 00 ttx
离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（4）
71
连续信号 离散信号
ω0不同，信号不同 频率相差2π的整数倍，信号相同
对任何ω0值都是周期的 仅当ω
0=2πm/N时才是周期的。
N>0和m为整数
基波频率为ω0
基波频率为ω0/m
基波周期ω0=0时无定义， ω
0≠0
时为2π/ω0
基波周期ω0=0时无定义， ω
0≠0
时为m(2π/ω0)
tje 0 nj
e 0
连续信号 和离散信号 的比较tje 0 nj
e 0
离散时间信号—周期复指数信号与正弦信号序列（5）
72
离散复指数信号与正弦信号——复指数序列集
tT
jk
e
0
2
连续时间复指数信号集合中的信号 对应不同的 k 是不同的信号
具有谐波关系的信号集 ,2,1,0][
2
kenn
Njk
k
离散时间复指数信号集合中的信号 仅有N个互不相同的复
指数序列（即N个谐波信号不相关）
nN
jk
e
2
][][ 2
22)(
neeen k
njn
Njkn
NNkj
Nk
1][0 n nN
j
en
2
1 ][ n
Nj
en
4
2 ][ n
N
Nj
N en1
2
1 ][
73
离散时间复指数信号与正弦信号:小结
][][][][ 321 nxnxnxnyx
i[n]––正弦信号序列
周期 N1N2 N3N0 N0=?
定义： ,nj o
enx
)cos( nAnx o
特点:
② 0振荡
① 不一定是周期信号
基波频率： m/0
当0
2
是有理数时，信号是周期的， )
2(
0
0
mN N
0>0和m为整数
N0=LCM(N
1, N
2 , N
3)
注意与连续时间复
指数信号的区别！
本章主要内容
（0）引言(Introduction)
（1）信号的基本概念
（2）连续时间与离散时间的基本信号
（3）复指数信号与正弦信号
（4）信号的运算与自变量变换
（5）系统的描述及系统的基本性质
74
75
信号的运算——信号的基本运算（1）
借助方框图是常用的方法
1）信号相加x1(t)
x1[n]
x2(t) x2[n]
x(t)=x1(t)+x2(t)
x[n]=x1[n]+x2[n]
Σ
2）信号相乘
x1(t)
x1[n]
x2(t) x2[n]
y(t)=x1(t)×x2(t)
y[n]=x1[n]×x2[n]
x(t)=x1(t)-x2(t)
x[n]=x1[n]-x2[n]
76
3）信号的微分与积分（连续信号）
x(t)d/dt )(
)()( tx
dt
tdxty
)()(
tdt
td
)(
)(t
dt
tdu
x(t)∫ )()()( 1 txdxty
t
)()( tdt
信号的运算——信号的基本运算（2）
例1-9
)()(
tudt
tdr
)()( tudt
)()( trdu
t
77
基本概念—信号的自变量变换
（平移、反褶、展缩）
③时间移位：
（平移）)()( 0ttxtx 0nnxnx
)()( 0ttxtx 0nnxnx
④时间反转：
（反褶）)()( txtx nxnx
⑤时间缩放（展缩）(尺度变换)
时间轴上压缩或拉伸
)()( txtx
1
1
拉伸倍 (例如磁带慢放)
压缩倍(例如磁带快放)
（沿 t 轴右移）
（沿 t 轴左移）
（关于纵轴转180度）
)()( tkxtx ncxnx ①幅度缩放:
②幅度移位: )()( txktx nxcnx 信号的整体运算
78
t
x(t+2)
-1 0t
x(t-2)
1 2 43
例1-11 已知x(t)如图所示，画出 x(t-2)和x(t+2)。
t
x(t)
1 2
2 2 2
例1-12 已知x[n]如图所示，画出 x[n+2]。
n0 1 2 3
1
32
-1-2
x[n]
n-2 -1 0 1
1
32
-3-4
x[n+2]
2 3
基本概念—信号的自变量变换(平移)
1) 信号的平移: 将信号x(t)/x[n]变化为x(t±t0)(t
0>0) /
x[n±n0](n
0>0)的运算。即将信号沿横轴（时间轴）平移。
解:
解:
79
t
x(-t)
-2 -1 10 2
2）信号的反褶: 将信号x(t)/x[n]变化为x(-t)/x[-n]的运算。即
将x(t) /x[n]以纵轴（t=0 / n=0）为中心作180°的翻转。
例1-13 已知x(t)和x[n]如图所示，画出 x(-t)和x[-n]的波形。
t
x(t)
1 2
2 2
n0 1 2 3
1
32
-1-2
x[n]
n-2 -1 0 1-3
1
32
x[-n]
2
基本概念—信号的自变量变换(反褶)
解:
解:
80
基本概念—信号的自变量变换(平移+反褶)
t
x(t-1)
310
2
t
x(t+1)
10
2
-1
t
x(-t-1)
-3 0
2
-1
x(-t)
t
x(-t+1)
10
2
-1
t, t0
n, n0
同号左移,异号右移t
x(t)
20
2
例1-14 已知 ，画出x(t+1), x(-t+1), x(t-1), x(-t-1)。
解:
81
t
x(2t)
2
0.50
压缩
t
x(t/2)
2
10 2
扩展
3-1）连续信号的尺度变换: 将x(t)变化到x(at)（a>0）的运算
0<a<1——则x(at)是将x(t)在时间轴上线性展宽1/a倍（扩展）
a>1 ——则x(at)是将x(t)在时间轴上线性压缩a倍（压缩）
例如：
基本概念—信号的自变量变换(尺度变换1)
t
x(t)
2
0 1
幅度不变!
82
t
f(t/2)
1
20 4 8
t
f(2t)
1
20 41
例1-15 已知 分别画出f(2t)和f(t/2)的波形。
else
tt
tf0
422
)2()(
解2：运用函数的基本定义
else
tt
else
tt
tf,0
21,1
,0
422,2
)22()2(
else
tt
else
tttf
,0
84,4
)4(
,0
42
2,2
)22/()2/(
t
f(t)
1
20 4
基本概念—信号的自变量变换(尺度变换2)
解1：运用图解法
83
3-2）离散时间序列的尺度变换:是将原离散序列样本个数减少或增加（因为自变量只能是整数）。
基本概念—信号的自变量变换(尺度变换3)
信号的抽取(decimation): f[k] → f[Mk] (M为正整数)—
—在原序列中每隔M-1个点抽取一点重新依次排序所构成的信号。
例如：
抽取
n0 1 2
1
32
-1
x[n]
0.5
n0 1 2
1 0.5
-1
x[2n]
序列长度缩短
84
基本概念—信号的自变量变换(尺度变换4)
else
mMkMkf
Mkf
0
][
信号的内插(interpolation): 在f[k]序列中相邻两序号间插入
M-1个零点值构成新序列。
例如：
n0 1 2
1
32
-1
x[n]
0.5 内插
n0 1 2
1
32
-1
x[n/2]
0.5
3 4 5-2-3
序列长度加长
85
基本概念—信号的自变量变换(尺度变换5)
例1-16 已知x[n]如图，求x[2n], x[n/2]。
n
x[n]
20
2
1
1 3
4
4
3
1
n
x[2n]
20
3
1
1
1
n
x[n/2]
20
2
1
4
4
3
1
6 81 3 5 7 9
抽取
内插
解:
x(t) x(at+b)
若a>0，则需要展缩、平移；
若a<0，则需要翻转、展缩、平移。
翻转、平移、展缩的先后次序并无一定，
关键：变换前后端点函数值不变
)(1
)( ta
at 例外：
基本概念—信号的自变量变换
)()(
a
btaxbatx一般的形式：
86
87
例1-17(1) 已知信号f(-3t+6)，求f(t)。
t0 2
1
f(-3t+6)解： )2(3)63( tftf
f(-3t+6) f(-3t)
左移2
t0-2
1
f(-3t)
f(3t) f(t)
翻转t0 2
1
f(3t)
尺度变换1/3
t0 3
1
f(t)
6
基本概念—信号的自变量变换(例题17-1)
先平移：
88
t0 2
1
f(-3t+6)解： )2(3)63( tftf
f(-3t+6) f(3t+6)
翻转
t0-2
1
f(3t+6)
f(3t) f(t)
右移2t0 2
1
f(3t)
尺度变换1/3
t0 3
1
f(t)
6
基本概念—信号的自变量变换(例题17-2)
例1-17(2) 已知信号f(-3t+6)，求f(t)。
先翻转：
89
t0 2
1
f(-3t+6)解： )2(3)63( tftf
f(-3t+6) f(-t+6)
尺度变换1/3
f(t+6) f(t)
t0 3
1
f(t)
6
t0-6
1
f(t+6)
t0-2
1
f(-t+6)
6
翻转右移6
基本概念—信号的自变量变换(例题17-3)
例1-17(3) 已知信号f(-3t+6)，求f(t)。
先尺度变换：
本章主要内容
（0）引言(Introduction)
（1）信号的基本概念
（2）连续时间与离散时间的基本信号
（3）复指数信号与正弦信号
（4）信号的运算与自变量变换
（5）系统的描述及系统的基本性质
90
91
系统的描述—系统的模型
系统可以看做是一个过程，信号被该系统变换，或者说系统
对信号作出响应。
连续系统 连续时间系统x(t) y(t)
离散时间系统x[n] y[n]离散系统
不同应用场合的系统往往都可用一个非常类似的数学模型来描述，
由此就可得到一种分析与设计系统的一般方法。任何模型均是代表了
一种理想情况化了的情况（在实际应用中应注意假设的适用范围) 。
常系数线性微分方程描述线性时不变连续系统
常系数线性差分方程描述线性时不变离散系统
系统定义：广义上说，系统是由一组相互有联系的事物组成。
92
C
R
+
–
y(t)x(t)
x(t)
t0
y(t)
t0
系统的描述—连续系统的模型
连续系统举例
1
一阶RC低通网络, 数学模型?
)()()(
txtydt
tdyRC )(
1)(
1)(tx
RCty
RCdt
tdy 一阶微分方程
1
( ) ( )( ) c
c
du t dy ti t C C
dt dt
例1-18
)()()()(
)()()()(
)()(
)()(
txbtxbtxbtxb
tyatyatyaty
m
m
m
m
n
n
n
01
1
1
01
1
1
n阶微分方程
93
系统的描述—离散系统的模型
例1-19 一个银行账户按月结余的金额y[n]与上月存款y[n-1]、当
月存款数x[n]有关，设月息1%。试给出x[n]与y[n] 的关系。
][]1[01.1][ nxnyny
离散系统举例
][]1[01.1][ nxnyny
解：列出常系数差分方程
写成一般形式：
个月底帐户上的金额第nny ~][
初始状态的金额可以理解为开户时存入 ~]0[y
][]1[][][]1[][ 101 mnxbnxbnxbNnyanyany mN
N阶后向差分方程
一阶后向差分方程
线性时不变 (LTI––Linear Time-Invariant)系统: ak, b
k为常数
94
系统的描述—系统的互联
1) 串联或级联系统
几个子系统首尾依次相接，前一个系统的输出是后一个系统的输入;
输入
x(t)
系统1 系统2 系统N
输出
y(t)
2) 并联系统：
子系统具有相同的输入，并
联后的输出是子系统的输出之和。
3) 反馈系统：
系统1的输出是系统2的输
入，而系统2的输出又回到输
入端与外加的输入信号一起组
成系统1的真正输入。
… …
系统1
系统2
系统N
Σ
输入
x(t)
输出
y(t)+ 系统1
系统2
输出
y(t)
输入
x(t)
95
系统的分类及其基本性质——主要内容
线性系统和非线性系统
时变系统和时不变系统
增量线性系统
记忆系统与无记忆系统
因果性系统与因果系统
可逆性与可逆系统
系统的稳定性
96
系统的基本性质—线性/非线性
线性系统与非线性系统
线性系统（连续/离散）的两个重要的性质：叠加性和齐次性
)()( 11 tytx sys
)()( 22 tytx sys
叠加性 )()()()( 2121 tytytxtx sys
齐次性(均匀性) )()( 11 tkytkx sys
*1 线性系统应该满足叠加原理
)()()()( 2121 tbytaytbxtax sys连续系统
离散系统 ][][][][ 2121 nbynaynbxnax sys
*2 线性系统满足零输入零输出特性
;0)(0)(00 tytx sys 0][0][00 nynx sys
97
系统的基本性质—时变/时不变（1）
时不变系统的定义：*1 系统的行为特性不随时间而变化；
*2 输入输出特性不随输入的时间而变化；
*3 输入信号时移，输出信号产生同样的时移
)()( tytx sys 时不变系统 )()( 00 ttyttx sys
时不变系统][][ nynx sys ][][ 00 nnynnx sys
例1-20 判断下列系统是否为时不变系统
∫1）x(t) ( ) ( )t
y t x d
时不变系统0( ) sysx t t
00
0 0( ) ( ) ( )t vt t t
x t d x v dv y t t
解:
98
系统的基本性质—时变/时不变（2）
例1-21 设y[n]=2x[n]+3,判定系统的线性和时不变性。
3][2][][ 111 nxnynx
3][2][][ 222 nxnynx
解：
32232 2121 ][][])[][( nbxnaxnbxnax
bnbxanaxnbynay 3][23][2][][ 2121
][][ 21 nbxnax 非线性系统
线性方程不一定是线性系统
][ 01 nnx ][3][2 0101 nnynnx 时不变系统
问系统 是否时不变系统？)4
()()(t
xtytx Sys思考题：
99
例1-22
)()(2)( txtytty
)()(2)(2)( 2 txtxtyty
][]2[][4][ nxnynyny
][2]1[2][ ][ nxnyny nx
线性,时变
非线性,时不变
非线性,时变
非线性,时不变
系统的基本性质—时变/时不变（3）
含缩放运算, x(t)或y(t)的系数含t, x[n]或y[n] 的系数含n 时变系统
含常数项, x(t)或y(t), x[n]或y[n]的非线性函数非线性系统
6),(
6 0)(
ttx
tty
，
6),(
6 1)(
ttx
tty
，如果是：线性？时变？讨论：
100
系统的基本性质—增量线性系统
增量线性系统表示：
C=y0(t)
x(t)线性系统
z(t) y(t)
对任何两个输入信号的响应之差和这两个信号之差成线性关系，即满
足差的线性称为增量线性系统：
)()()()()( 01011 tytkxtytzty
)()()()()( 02022 tytkxtytzty )()()()()( 2121 txtxktytyty
物理意义: 含独立源
初始条件不为零(非零状态系统, 非松弛系统)
( ) ( )y t k x t C
y[n]=k x[n]+C
例：
101
系统的基本性质—记忆与无记忆系统
无记忆系统
一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入，如：
记忆系统
一个系统的输出与以前时刻的输入有关（输出与将来值有关也称记忆系统）。如：
][2][3][ 2 nxnxny
n
k
kxny ][][ ——累加器
]1[][ nxny ——延迟单元
][]1[][][][1
nxnynxkxnyn
k
)()( tkxty
][][ nkxny 1k ，为恒等系统
)2()( tkxty dxC
tyt
)(
1)( ——积分器
]1[][][ nynynx ——差分器
102
系统的基本性质—因果与非因果系统
因果系统——系统在任何时刻的输出只决定于现在以及过去的
输 入 ， 而 与 系 统 以 后 时 刻 的 输 入 无 关 ， 即 ：
y(t)=f(x(t),x(t-1),…)。输入激励是系统产生输出响应的
原因，而响应则是输入激励的结果。
非因果系统——不满足因果系统条件的系统。非因果性就意味
着系统的不可实现性，但存在非因果算法。
*1 无记忆系统 因果系统
*2 通常把从零时刻开始的信号称为因果信号，即
0)(,0 txt 时当
103
系统的基本性质—可逆性和可逆系统(1)
可逆系统必存在逆系统
当它与原系统串联时，将产生一个等于第一个系统输入的总的响应
系统x(t) z(t)=x(t)y(t)
x[n]
逆系统y[n] z[n]=x[n]
)(2)( txty 逆系统 )(2
1)( tytz
n
k
kxny ][][ 逆系统 ]1[][][ nynynz
可逆系统——对应不同的输入有不同的输出（一一对应关系）
)()()()( 2121 tytytxtx ，则必有即：若
恒等系统
104
不可逆系统——不同的输入有相同的输出
系统的基本性质—可逆性和可逆系统(2)
例如： );()(2
txty ][][2
nxny
一些常用系统的逆系统
)()( 0ttxty )()( 0ttxty 逆系统：
t
dxty
)()(dt
tdxty
)()( 逆系统：
n
k
kxny ][][ ]1[][][ nxnxny逆系统：
]2[][ nxny 输出{1,4}
输入{1,2,4,5}
输入{1,3,4,8}
( ) sin[ ( )]y t x t
可逆系统的典型应用: 编码, 解码
105
系统的基本性质—系统的稳定性(1)
稳定的系统
系统对有界输入的响应（输出）也是有界的(BIBO: Bounded
Input Bounded Output )。即：
][)1(][][ nunkunyn
k
)1()( txty例如：
不稳定的系统
系统对有界输入的响应（输出）是无界的。如：
outin )()( MtyMtx 时，当
106
系统的基本性质—系统的稳定性(2)
)()((3) ;)((2) );()()1()(2
ttxtyetytxtytx
，系统稳定时，，当 22)()()()( )1( MtyMtxtxty
，系统稳定时，，当 MtxetyMtxety )()()( )2(
)(
无界，系统不稳定，，取 )()(1)( )()( )3( ttutytxtutx
例1-23 判定下列系统的稳定性。
解：
107
线性系统: 满足叠加原理齐次性
可加性
时不变系统:][][ nynx
)()( tytx 则
)()( 00 ttyttx
][][ 00 nnynnx 若输入
(1)含常数项, x(t)或y(t), x[n]或y[n]的非线性函数非线性系统
(2)含缩放运算, x(t)或y(t)的系数含t, x[n]或y[n] 的系数含n 时变系统
若一个系统既是线性的，又是时不变的，称之为线性时不变系
统（LTI系统）。注意:
系统的分类及其基本性质：重点
108
系统的分类及其基本性质：重点
增量线性系统：＝带有初始状态的线性系统
无记忆系统: 当前的输出仅取决于当前的输入，一定是因果系统
因果系统: 当前输出仅取决于当前输入和/或过去的输入(与未来无关)
可逆系统: )()()()( 2121 tytytxtx ，则必有若
可逆系统, 必然有一个逆系统存在
系统的稳定性:outin )()( MtyMtx 时，当
109
本章小结
信号与系统的一些基本概念和性质
复指数信号与正弦信号的表示和特性;
单位冲激信号、单位阶跃信号及其他基本信号
的表示和特性；
信号的运算、分解，自变量变换；
系统的描述与重要性质如因果性、线性时不变、
稳定性等
第一章 结束
本章介绍了信号和系统的基本概念和基本性质，貌似
比较简单，实际上掌握这些内容对以后的学习非常重要。
