Simbolicka logika

SIMBOLICKA LOGIKA- prirucnik-

Berislav Žarnic

http://www.ffst.hr/~logika/pilot

http://www.ffst.hr/~logika/pilot

Pregled sadržaja

Predgovor vii

1 Atomarne recenice 11.1 Predikati i individualne konstante 11.2 Ime i predmet 21.3 Broj “mjesta” u predikatu. 31.4 Pravo-pisani zapis atomarne recenice 41.5 Ontološki design. 41.6 Atomarne recenice: podsjetnik 61.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 61.8 Termi 81.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmetici 9

2 Identitet 122.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet 122.2 Refleksivnost identiteta 132.3 Leibnizov zakon: nerazlucivost istovjetnog 142.4 Pravila za simbol identiteta 152.5 Identitet u filozofskoj logici 172.6 Za zapamtiti 192.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 19

3 Propozicijska logika i teorija dokaza 213.1 Aksiomatski sustav 213.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 233.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 363.4 Prirodna dedukcija 41

4 Pouzdanost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 504.1 Tautološka posljedica 504.2 Pouzdanost 514.3 Dokaz pouzdanosti 524.4 Potpunost 584.5 Filozofija logike 59

5 Uvod u kvantifikaciju 61

iii

iv Pregled sadržaja

5.1 Kvantifikacija u prirodnom jeziku 615.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljene formule 635.3 Simboli za kvantifikatore 655.4 Isf-e i recenice 665.5 Semantika kvantifikatora 675.6 Cetiri aristotelovska oblika 705.7 Kvantifikatori i funkcijski simboli 72

6 Logika kvantifikatora 746.1 Tautologije i kvantifikacija 74

7 Valjanosti i posljedice prvog reda 797.1 Metoda zamjene predikata 807.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovi zakoni 817.3 Još neke ekvivalencije s kvantifikatorima 85

8 Višestruka kvantifikacija 878.1 Višestruka primjena jednog kvantifikatora 878.2 Mješoviti kvantifikatori 898.3 Prijevod korak-po-korak 898.4 Preneksna forma 93

9 Metode dokaza za kvantifikatore 1009.1 Valjani koraci s kvantifikatorima 1009.2 Dokazi s raznorodnim kvantifikatorima 107

10 Formalni dokazi i kvantifikatori 11210.1 Pravila za univerzalni kvantifikator 11210.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator 11310.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili recenice koje

opravdavaju druge recenice? 115

11 Istinitosno stablo 11611.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta 116

12 Numericka kvantifikacija 12012.1 Barem n predmeta 12012.2 Najviše n predmeta 12212.3 Tocno n predmeta 12412.4 Što je dovoljno za znati iskazati numericke tvrdnje? 127

13 Odredeni opisi 131

Pregled sadržaja v

13.1 Taj 13113.2 Oba 13213.3 Presupozicije 133

14 Logika generalizirane kvantifikacije 13714.1 Logicka svojstva determinatora 13714.2 Logicka gramatika 140

15 Teorija skupova 14915.1 Osnovni rjecnik teorije skupova 14915.2 Jezik za razlicite vrste predmeta 15015.3 Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova 15015.4 Jednoclani skupovi, prazni skup, podskupovi 15315.5 Presjek i unija 15615.6 Digresija: konzistentnost 159

16 Skupovi skupova 16216.1 Uredeni parovi 16216.2 Modeliranje relacija u teoriji skupova 16416.3 Svojstva za odnose 16516.4 Partitivni skup 17216.5 Russellov paradoks 17616.6 Zermelo Fraenkel teorija skupova 179

17 Matematicka indukcija 18817.1 Malo povijesti "nematematicke" indukcije 18817.2 Kako matematicka indukcija može opravdati opcenitu

konkluziju koja se odnosi na beskonacan broj slucajeva? 18917.3 Induktivni dokaz 190

18 Potpunost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku 19518.1 Dodjelivanje istinitosne vrijednosti i istinitosne tablice 19518.2 Potpunost propozicijske logike 19718.3 Potpunost formalno potpunog skupa recenica 203

19 Strukture prvog reda 21119.1 Tautološka posljedica 21119.2 Posljedica prvoga reda 21119.3 Struktura prvoga reda 213

20 Istina i zadovoljavanje 216

vi Pregled sadržaja

20.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 21620.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednosti 220

21 Pouzdanost logike prvoga reda 224

22 Potpunost i nepotpunost 22722.1 Teorem potpunosti za logiku prvog reda 22722.2 Dodavanje konstanti koje svjedoce 23022.3 Henkinova teorija 23122.4 Eliminacijski teorem 23522.5 Henkinova konstrukcija 239

23 Löwenheim-Skolemov teorem 24823.1 Potrebni dopunski pojmovi 24823.2 Skolemov paradoks 25223.3 Teorem kompaktnosti 253

24 Gödelov teorem nepotpunosti 25724.1 Kodiranje 25824.2 Reprezentacija 25824.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema) 263

25 Turingovi strojevi 26725.1 Churchova teza 26725.2 Opis Turingovog stroja 26725.3 Neodlucivost logike prvoga reda 276

26 Osnovne ideje modalne logike 27826.1 Višestruko vrednovanje 278

27 Zadaci 28627.1 Literatura za pripremu ispita 304

PredgovorSadržaj ovog prirucnika vecim dijelom prati sadržaj sljedecih udžbenika (ponavedenim poglavljima):

1. Jon Barwise i John Etchemendy (2000) Language, Proof and Logic. CSLIPublications. Center for the study of Language and Information StanfordUniversity. Seven Bridges Press. New York¢London.I Poglavlja: 1, 9,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19.

2. George S. Boolos i Richard C. Jeffrey(1989) Computability and Logic.CambridgeUniversity Press.I Poglavlja: 3, 5, 10.

3. L.T.F. Gamut [J. van Benthem, J. Groenendijk, D. de Jongh, M. Stokof, H.Verkuyl] (1991) Logic, Language and Meaning. Volume II: Intensional Logicand Logical Grammar. The University of Chicago Press. Chicago¢London.I Poglavlje: 2.

Sve pogreške treba pripisati autoru ovog prirucnika, a ne autorima udžbenikaciji se sadržaj prati.

Vježbe logickih tehnika ostvaruju se uz primjenu interaktivnosti:

² Graditelji i provjerivaci dokaza za sustav prirodne dedukcijeI U Fitch stilu:

¤ G. Allwein, D. Barker-Plummer, A. Liu: Fitch (software koji pratiLanguage, Proof and Logic)

I U Lemmon stilu:¤ Christian Gottschal: graditelj dokaza (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/konstruktor.htm)² Za usvajanje jezika logike prvog reda:I ¤ G. Allwein, D. Barker-Plummer, A. Liu: Tarski’s World (software

koji prati Language, Proof and Logic)² Za gradnju istinitosnih stabala:I ¤ Wolfgang Schwarz: automatski graditelj (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/wostablo/index.html)¤ Nik Roberts: Tableau 3 (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/stablo/konstrukcija.htm)² Za gradnju dokaza u teoriji skupova:I ¤ Daniel Velleman: "dizajner" dokaza (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/skupovi/dizajner.htm)² Za Turingove strojeve:I ¤ Ken Schweller: Turingov stroj (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/turing/turing.htm)

vii

viii Predgovor

² Za propozicijsku modalnu logiku:I ¤ Jan Jaspars: modalni kalkulator (hrvatska verzija

http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/modal/modalni.htm)

Ostale logicke interaktivnosti i nastavni sadržaji dostupni su na autorovimtematskim stranicama INTERAKTIVNA LOGIKA (http://www.vusst.hr/~logika/pilot)

Poglavlje 1Atomarne recenice

1.1 Predikati i individualne konstanteAtomarne recenice su najjednostavnije recenice u logickom smislu. U tipicnomsu slucaju sastavljene od predikata i imena. U negativnom smislu, mogli bismoih odrediti kao recenice koje ne sadrže niti jedan logicki simbol.

Primjer 1.1 Logicku strukturu recenica ’Albert cijeni samoga sebe’ i ’Albert je stu-dent’ prikazujemo kao Cijeni(albert; albert) i Student(albert). Rijec istaknutu ve-likim pocetnim slovom nazivamo predikatom. Imena upisujemo unutar zagrada. Zarazliku od gramaticke, logicka konvencija nalaže malo pocetno slovo.

U jeziku logike prvoga reda imena se nazivaju individualnim konstantama.Glavna razlika leži u cinjenici da u prirodnom jeziku isto ime može referirati narazlicite predmete ovisno o kontekstu, dok u logici prvoga reda jedna individu-alna konstanta referira uvijek na isti na predmet. Za razliku od prirodnog jezika,jezik logike prvoga reda neovisan je o kontekstu.

Primjer 1.2 Obavijest sadržanu u tekstu ’Naša administrativna tajnica i naš sisteminženjer imaju isto ime. I ona i on zovu se "Doris".’ ne možemo iskazati kaoAdministrativnaTajnica(Doris)^SistemIn·zenjer(Doris). Jezik LPR zahtijeva da napravimo razliku izmedu istih imenarazlicitih osoba. To bismo mogli uciniti pomocu dodatnih oznaka, na primjer ovako:AdministrativnaTajnica(Doris1) ^ SistemIn·zenjer(Doris2).

Primjer 1.3 Recenice ’Albert ne cijeni samoga sebe’, ’Albert ne cijeni nikoga osimsamoga sebe’ i ’Albert je zaposleni student’ nisu atomarne. Prikaz njihove logicke struk-ture zahtijeva uvodenje dodatnih simbola koji nisu ni predikati niti imena. ’Albert necijeni samoga sebe’ formaliziramo kao negaciju atomarne recenice,

:Cijeni(albert; albert):

Za ’Albert ne cijeni nikoga osim samoga sebe’ treba nam konjunkcija, kvantifikacija isloženi uvjet,

Cijeni(albert; albert) ^ 8x(Cijeni(albert; x) ! x = albert):

’Albert je zaposleni student’ je konjunkcija dviju atomarnih recenica Student(albert)^Zaposlen(albert).

1

2 Poglavlje 1 Atomarne recenice

1.2 Ime i predmetVlastita imena predstavljaju vrstu individualnih konstanti. Individualne kon-stante su simboli koje koristimo da bismo pokazali na neki odredeni pojedinacnipredmet. Možemo takoder kazati da individualne konstante imenuju ili referirajuna odredene predmete. One su svojevrsna “logicka imena”.

Primjer 1.4 Vlastita imenice i neke zamjenice u prirodnom jeziku obavljaju ulogureferiranja. U recenicama ’To je izvrsno’, ’Ona je glazbenica’, ’Bertrand Russell je filo-zof’ i ’Danas je ponedjeljak’ ta uloga redom pripada pokaznoj zamjenici, osobnoj zam-jenici, vlastitoj imenici i prilogu, Izvrsno(to¤),Glazbenica(ona¤), Filozof(bertrand_russell),Ponedjeljak(danas¤). Nadznak ‘*’ oznacava izraze kod kojih je “veza sa stvarnimsvijetom dio njihovog doslovnog znacenja”. Takvi se pokazni izrazi nazivaju ’indek-sikalima’, ’indeksickim izrazima’ ili ’indeksalnim izrazima’.

Primjer 1.5 U recenici ’Ja sam ovdje sada’ nalazimo tri indeksikala, tri izraza kojebismo mogli shvatiti kao individualne konstante: NalaziSe(ja¤; ovdje¤; sada¤).

Primjer 1.6 Ne-primjeri. U recenici ’To su studenti filozofije!’ pokaznu zamjenicu’to’ ne moramo shvatiti kao individualnu konstantu: 8x(NalaziSe(x; ovdje¤) ! StudentF ilozofije(x)),tj. ’svaka osoba koja je ovdje jest student filozofije’.

U logici prvog reda:Svaka individualna konstanta imenuje.Svaka individualna konstanta imenuje tocno jedan postojeci predmet.Predmet može imati više imena.Predmet ne mora imati ime.

Primjer 1.7 Neki realni brojevi nemaju ime1.

1 Skup realnih brojeva nije prebrojiv, to jest, ne postoji procedura koja omogucuje da se pronadesvaki pojedini realni broj. Za racionalne brojeve postoji postupak prebrojavanja. Racionalnebrojeve treba postaviti u dvostruki beskonacni poredak na ovaj nacin:

0/1 1/1 2/1 3/1 ...0/2 1/2 2/2 3/2 ...0/3 1/3 2/3 3/3 ...0/4 1/4 2/4 3/4 ...− − − −

Zatim ih se postavi u niz po dijagonalnom postupku izbrajanja:

→ . → .↓ % .% .↓...

1.3 Broj “mjesta” u predikatu. 3

1.3 Broj “mjesta” u predikatu.Predikatni simboli iskazuju neko svojstvo predmeta ili odnos izmedu predmeta.

U recenici ’a je izmedu b i c’ nalazimo tri “logicka subjekta”. Zato kažemoda je predikat Izmedju(_; _; _) tro-mjesni predikat.

“Mjesnost” predikata oznacava broj pojava individualnih konstanti potrebnihda se on upotpuni, broj pojava imena potreban da se od toga predikata saciniatomarna recenica.

Primjer 1.8 Jednomjesni predikat: Student(_). Dvomjesni: Cijeni(_; _). Trom-jesni: Izmedju(_; _; _). Cetveromjesni npr. Preporu·cuje([tko]; [koga]; [kome]; [za·sto]).

Imaju li pridjevi i imenice slicno ili razlicito logicko ponašanje? Pridjevidolaze uz imenice. No, pridjevi i imenice mogu imati jednaku logicku ulogu: ipridjevi i opce imenice mogu iskazati uvjete koje netko ili nešto može ispunja-vati.

Primjer 1.9 ’Bertrand Russell je bio britanski filozof’ možemo u jednom od tumacenjapromatrati kao:

Filozof(bertrand_russell) ^Britanac(bertrand_russell)

Nekad pridjevi ne dodaju novi uvjet vec ogranicavaju uvjet zadan s imeni-com.

Potom se uklone brojevi ciji se duplikat vec pojavio u nizu. Na kraju se pokaže da se dobiveni nizmože postaviti u odnos 1− za− 1 s prirodnim brojevima:

Q 0/1 1/1 1/2 2/1 3/1 1/3 ...N 1 2 3 4 5 6 ...

Georg Cantor (1845-1918) pronašao je dokaz da skup realnih brojeva nije iste velicine kao skupprirodnih brojeva. Pretpostavimo suprotno. Po pretpostavci, moguce je postaviti realne brojeveu niz tako da prvi medu njima odgovara prvom prirodnom broju a n-ti realni - n-tom prirodnombroju. Za tu svrhu neka se svaki realni broj predstavi kao beskonacni decimalni broj. Na primjer,1/4 se predstavlja ne kao 0, 25 nego kao 0, 24999... Radi jednostavnosti ogranicimo se na realnebrojeve izmedu 0 i 1. Neka su svi takvi brojevi posloženi u niz

0, a1a2a3...0, b1b2b3...0, c1c2c3......

Sada je lako pronaci pravilo zamjenjivanja decimala koje ce dati broj koji se ne javlja u nizu. Naprimjer, neka se takav broj napiše po sljedecem pravilu na prvom decimalnom mjestu on ima bilokoji broj osim a1, 0 ili 9, na drugom mjestu on ima bilo koji broj osim b2, 0 ili 9, na trecem - bilokoji broj osim c3, 0 ili 9. Na taj nacin dolazimo do broja koji se razlikuje od bilo kojeg broja unizu. Time je osporena pretpostavka da se svi realni brojevi mogu postaviti u niz kojega možemopostaviti u korelaciju s prirodnim brojevima.


Primjer 1.10 (i)’Bertrand Russell je bio dobar filozof’ izvorni govornik nece razum-jeti kao

Filozof(bertrand_russell) ^Dobar(bertrand_russell)

vec kao DobarFilozof(bertrand_russell), (ii) recenicu ’Dumbo je mali slon’ ne for-maliziramo kao

Slon(dumbo) ^Malen(dumbo)

vec kaoMalenSlon(dumbo).

Broj mjesta u nekom predikatu odredujemo polazeci od nekog analitickogstajališta. U analizi recenice ’Albert cijeni samoga sebe’ možemo se odluciti zajednomjesni predikat, CijeniAlbert(_) ili dvomjesni predikat, Cijeni(_; _), te,kao granicni slucaj, za 0-mjesni, CijeniAlbertaAlbert. Atomarne recenice kojedobivamo su redom: CijeniAlbert(albert), Cijeni(albert; albert), CijeniAlbertAlbert.

U logici prvog reda svaki predikatni simbol ima cvrsto utvrdeni broj mjesta,broj koji pokazuje koliko je pojava individualnih konstanti potrebno zatvorbu atomarne recenice. Svaki se predikat tumaci kao odredeno svo-jstvo ili odnos koje ima jednak broj clanova kao i njegov jezicni zastupnik- predikat.

1.4 Pravo-pisani zapis atomarne receniceOrtografija atomarnih recenica dopušta razlicite pristupe. Najcešce koristimoprefiksni zapis: predikat se zapisuje ispred niza individualnih konstanti upisanihunutar zagrada, Predikat(_; :::; _). Ponekad se koristi infiksni zapis: dvomjesnipredikatni simbol se upisuje izmedu individualnih konstanti, xRy. Postfiksnizapis, gdje je predikat upisan iza niza individualnih konstanti, rijetko se koristi.

Primjer 1.11 Infiksni zapis: chomolungma = mt:everest, 2 > 0.

Primjer 1.12 Miješanje sintaktickih uloga. ’Izmedu mene i tebe je izmedu’ neis-pravno je i u prirodnom i u formalnom jeziku, Izmedju(ja¤; Izmedju; ti¤).

1.5 Ontološki design.Dizajniranje formalnog jezika ukljucuje izbor predikata i izbor objekata. Naceloekonomicnosti ili maksimalne izražajnosti uz minimalni rjecnik obicno se pre-poznaje kao rukovodeco nacelo. Nacelo uporabe samo neophodnih alata nazivase «Ockhamova britva»2. Ugrubo receno, cilj je doci do jezika koji može iskazati2 Srednjovjekovno nacelo ekonomicnosti, po kojemu "teorijske entitete ne trebamo umnažatibez potrebe", postalo je poznato pod nazivom Ockhamova britva jer je William iz Ockhama(1285-1349.) odbacio mnoge entitete cije postojanje bilo postulirano u skolastickoj filozofiji.

1.5 Ontološki design. 5

sve ono što želimo iskazati a da pri tome koristimo "najtanji moguci rjecnik".

Zadatak 1 Usporedi izražajnost dva jezika koji se razlikuju samo u rjecniku! Prvisadrži unarni predikat, CijeniAlberta i individualne konstante, albert i robert, drugisadrži iste individualne konstante te binarni predikat,Cijeni. Koliko atomarnih recenicamožemo saciniti u prvom, a koliko u drugom jeziku? Što moramo uciniti da bi jezik manjeizražajnosti imala jednaku ekspresivnu moc kao i jezik vece izražajnosti?3

Pitanje o jednostavnosti ne može se razriješiti na neovisan nacin. Svojstvojednostavnosti recenice odredujemo u nekom ontološkom okviru. Recenica kojaje jednostavna unutar jednog ontološkog okvira može biti složena u drugome.

Primjer 1.13 Recenica ’Ivica je vidio jucer Maricu u Dubrovniku’ jest jednostavnarecenica u perspektivi ontologije koja govori o osobama, mjestima i vremenskim is-jeccima: V idio(ivica;marica; ju·cer¤; dubrovnik). U ontološkom okviru u kojemu sudogadaji «predmeti» o kojima govorimo ta recenica postaje složenom recenicom kojagovori o nekom dogadaju, dogadaju x koji nije zastupljen s nekom odredenom rijecju,ali prešutno jest upravo ono o cemu recenica govori,

9x[V idjenje(x) ^ Subjekt(x; ivica) ^Ôbjekt(x;marica) ^Mjesto(x; dubrovnik) ^ V rijeme(x; ju·cer¤)].

Primjer 1.14 ’Tweedledee je gurno Tweedleduma’ je atomarna recenica ako je pred-stavimo pomocu binarnog predikataGurnuo: Gurnuo(tweedledee; tweedledum). Akoje formaliziramo oslanjajuci se na ontologiju dogadaja, ona nije atomarna. Moguci pri-jevodi su: (i) 9xGuranje(x; tweedledee; tweedledum), (ii) 9x[Guranje(x)^Subjekt(x; tweedledee)Ôbjekt(x; tweedledum)].

[...] za svaki glagol radnje ili promjene dodajemo mjesto za do-gadaj; za takve glagole možemo reci da uzimaju dogadaj kao predmete.Na taj se nacin priloško modificiranje pokazuje kao logicki par prid-jevskoj modifikaciji: ono što priloške oznake modificiraju nisu glagoli,vec dogadaji koje odredeni glagoli uvode.

Donald Davidson (1917.-2003.). The Individuation of Events. uEssays on Actions and Events, str. 167. Oxford University Press, 1982.

Willard Van Orman Quine (1908.-2000.) pokazao je da je s logickog sta-jališta svaka ontologija jedan izbor, izbor kojeg se držimo sve dok "podnošljivofunkcionira". Izbor ontologije, po Quineovom mišljenju, je odluka cija se racional-nost uvijek može dovesti u pitanje.

Prihvacanje ontologije je, u nacelu, slicno prihvacanju znanstveneteorije, recimo sustava fizike: barem u mjeri u kojoj smo racionalni, mi

3 U prvom jeziku možemo saciniti dvije, a u drugom cetiri atomarne recenice. Da bismoizjednacili izražajnost dvaju jezika, prvome moramo pridodati unarni predikat CijeniRoberta.


usvajamo najjednostavniji pojmovni okvir u kojega se razasuti dijelovinašeg nesredenog iskustva mogu ugraditi i tu urediti.

Willard Van Orman Quine. O onome što jest. u Novija filozofijamatematike, str. 116.

Zadatak 2 Usporedite Quinovov stav i nacelo "Ockhamove britve"!

Zadatak 3 Može li se reci da ontologiziranje dogadaja poštuje nacelo "Ockhamovebritve"? Obrazložite odgovor!

1.6 Atomarne recenice: podsjetnikU logici prvoga reda atomarne recenice nastaju kada se n-mjesni predikat staviispred n pojava imena (smještenih unutar zagrada i razdvojenih zarezom4). Jednavrsta atomarnih recenica nastaje korištenjem predikata identiteta, =; u infiksnomzapisu tog predikata argumenti su smješteni s njegove obje strane. Poredak imenaje važan u tvorbi atomarnih recenica.

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga redaU atomarnim recenicama, pored individualnih konstanti, možemo naci i drugeizraze koji obavljaju ulogu imenovanja, referiranja na tocno jedan postojeci pred-met. U nedostatku terminološke suglasnosti, te druge izraze nazovimo funkci-jskim izrazima. Niz sacinjen od funkcijskog simbola pracenog odgovarajucimbrojem individualnih konstantama cini jednu vrstu funkcijskih izraza.

Primjer 1.15 Izraze ’Albertov otac’ i ’Albertov najbolji prijatelj’ možemo shvatiti kaofunkcijske izraze (pretpostavljajuci u drugom slucaju da najbolji prijatelj može biti samojedan):

funkcijski izrazz }| {otac|{z}

funkcijski simbol

( albert| {z }individualna konstanta

),

najbolji_prijatelj(albert).

Primjer 1.16funkcijski izrazz }| {

2|{z}individualna konstanta

+|{z}funkcijski simbol

2|{z}individualna konstanta

.

4 Koriste se i drukcij i zapisi. Na primjer, umjesto R(a1, ..., an) neki autori koriste zapisRa1...an.

1.7 Funkcijski izrazi u logici prvoga reda 7

Primjer 1.17 Ne-primjeri. Ni ’Albertov brat’ ni ’Albertov prijatelj’ ne mogu se sh-vatiti kao funkcijski izrazi jer i brace i prijatelja može biti više.

Zapis funkcijskih izraza može biti prefiksni, infiksni i postfiksni. Funkcijskisimbol mora se upotpuniti s nekim drugim referirajucim izrazom. Ta notacijskaslicnost s predikatima može navesti na krivu pomisao o srodnosti funkcija ipredikata. Zapravo i u sintaktickom smislu i u semantickom smislu funkcijskisu izrazi slicni individualnim konstantama, a ne predikatima. Prva slicnost, zafunkcijske izraze može se naci «mjesto» unutar predikata i tako upotpuniti atom-arnu recenicu, a predikati se nikada ne mogu "ugnjezditi u krošnji" predikata.Druga, funkcijski izrazi imenuju, a to znaci - pokazuju na (zastupaju) tocno jedanpredmet.

Primjer 1.18 Atomarne recenice upotpunjene s funkcijskim izrazom. Sintaksu recenice’Albert cijeni svog oca’ možemo prikazati u obliku Predikat (individualna kon-stanta, funkcijski simbol (individualna konstanta)) i formalnozapisati kao

Cijeni(albert; otac(albert)):

Primjer 1.19 Primjena funkcijskog simbola može se ponavljati. Tako umjesto dakažemo da Albert cijeni svog djeda mogli bismo reci da on cijeni oca svog oca:

Cijeni(albert; otac(otac(albert))):

Primjer 1.20 Takve iteracije ne funkcioniraju u slucaju predikata. Nema smislenogcitanja za izraz

Cijeni(Cijeni(albert; albert)):

Da bi se neki izraz mogao ubrojiti u referirajuci funkcijski izraz, on morazadovoljiti uvjete postojanja i jedinstvenosti.Predmet kojega u logickom smislu zastupa funkcijski izraz mora postojatii biti jedan jedini.

Kada neki unarni (jednomjesni,monadicki) funkcijski simbol povežemo sindividualnom konstantom tada ne dobivamo recenicu nego novo “ime”, neštošto bi trebalo referirati na tocno jedan predmet.

Funkcijski izraz može imati više simultanih "ulaznih vrijednosti", ali izlazje samo jedan. U istinitoj atomarnoj recenici 2 + 2 = 4 (zapisanoj infiksno),nalazimo jedan binarni funkcijski simbol, ’+’, jedan binarni predikat, ’=’, tedvije individualne konstante., ’2’ i ’4’.


Primjer 1.21 Alternativni prefiksni zapis za 2 + 2 = 4:

Identi·cno(zbroj(2; 2); 4):

Primjer 1.22 Zahvaljujuci cinjenici da svaki prirodni broj ima sljedbenika i to jednogjedinog, njihova imena se mogu zamijeniti s funkcijskim izrazima. Umjesto "vlastitogimena", 1, možemo upisati funkcijski izraz u prefiksnom zapisu, sljedbenik(0) ili upostfiksnom, 00 (gdje crtica ima ulogu simbola za unarnu funkciju ’sljedbenik’). Logickipravopis dopušta i 2 + 2 = 4 i Identi·cno(zbroj(000; 000); 00000).

1.8 Termi

Složeni termi nastaju kada se funkcijski simbol s n mjesta stavi ispred npojava terma (jednostavnih ili složenih).U tvorbi atomarnih recenica složeni termi koriste se na jednaki nacin kaoi individualne konstante (imena).U logici prvog reda pretpostavljamo da složeni termi referiraju na jedan i

1.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmetici 9

samo jedan predmet.

Termi (singularni termini) su jezicni izrazi koji referiraju ili "pokušavajureferirati na" tocno jedan predmet. U drugom slucaju, kada ne referiraju, onisadrže varijablu. Neki autori singularnim terminima nazivaju samo termine sfiksnom referencijom, pri cemu isti termin može u razlicitim prilikama referiratina razlicito (kao ’danas’ - uvijek isti naziv za razlicite intervale). Drugi (kojimase pridružujemo) pod nazivom ’term’ ukljucuju i varijable, a time i funkcijskeizraze u kojima se javljaju varijable.

1.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmeticiLogika prvog reda izvorno je razvijena za matematicke potrebe i zato su najpoz-natiji jezici prvog reda oni koji su povezani s odredenim granama matematike,posebno s teorijom skupova. Jezik teorije skupova koristi dva predikata: = i 2.Dvije su osnovne tvrdnje: tvrdnja o identitetu, a = b i tvrdnja o clanstvu, a 2 b(gdje su a i b individualne konstante).

Recenice oblika a 2 b istinite su ako je stvar oznacena s b – skup, a stvaroznacena s a clan tog skupa.

Primjer 1.23 Recenica ringo 2 thebeatles je istinito jer

thebeatles = fjohn; paul; george; ringog:

Dok u nekim jezicima ne susrecemo funkcijske simbole, kod drugih je nji-hova primjena vrlo cesta, kao u aritmetici. Jedan smo nacin elimiranja imena ukorist funkcijskih izraza vec razmotrili (koristeci funkciju sljedbenika).

Primjer 1.24 Dva imena, 0 i 1, dva simbola za binarne relacije,= i<, te dva binarnafunkcijska simbola,+ i ¢. Zapis koristi infiksnu varijantu (funkcijski i predikatski simbolistoje IZMEÐU njihovih argumenata). Primjer.

((1 + 1) ¢ (1 + 1)) = (((1 + 1) + 1) + 1):

Nekad ima smisla primijenivati funkcijski simbol u neograniceno velikombroju iteracija. Tada nastaje pitanje kako možemo odrediti takav beskonacanskup terma na precizan nacin? Za takvu svrhu koristi se induktivna definicija zatraženi skup terma.

U induktivnoj definiciji nalazimo tri osnovna elementa. Prvo,osnovni uvjet kazuje koji su elementi pocetni, drugo, induktivni uvjetkazuje kako se novi elementi mogu dobiti od postojecih, i trece, završniuvjet kazuje da su jedini elementi u skupu oni koji su pocetni ili oni kojisu dobiveni primjenom induktivnog uvjeta.


Primjer 1.25 (Osnovni uvjet) Imena 0 i 1 su termi. (Induktivni uvjet) Ako su t1 i t2termi, onda su izrazi (t1 + t2) i (t1 ¢ t2) takoder termi. (Završni uvjet) Ništa drugo nijeterm osim onoga što se može dobiti primjenom prethodnih uvjeta.

Zadatak 4 Koji su se uvjeti koristili u tvorbi sljedeceg izraza: (0+ (1 ¢ 0))? Naveditenjihov poredak5!

Zadatak 5 Izradite induktivnu definiciju za ’funkcijski izraz’!

Zadatak 6 Pokažite da ima beskonacno mnogo terma u aritmetickom jeziku prvogreda koji referiraju na (imenuju) broj jedan6.

Zadatak 7 Usporedimo dva jezika prvog reda. Prvi, nazovimo ga funkcijskim, sadržiimena eugene, anastasie, goriot, funkcijski simbol otac, te predikate = i V i·siOd.Drugi jezik, nazovimo ga relacijski, sadrži ista imena i tri binarna predikata OtacOd,= i V i·siOd, a ne sadrži funkcijske simbole. [a] Prevedite sljedece recenice relacijskogjezika u recenice funkcijskog jezika: 1. OtacOd(goriot; eugene); 2. OtacOd(goriot; anastasie);3. V i·siOd(eugene; anastasie)! [b] Prevedite iz funkcijskog na relacijski jezik! Gdjese to ne može uciniti, objasnite zašto. 4. otac(eugene) = goriot; 5. otac(eugene) =otac(anastasie); 6. V i·siOd(otac(eugene); otac(goriot)).

1.9.1 Vježbe iz filozofske logike

Zadatak 8 Ocigledno je da recenica ’Ivica je jucer vidioMaricu u Dubrovniku’ povlaci’Ivica je vidio Maricu’. S druge strane predikati s razlicitim brojem mjesta su razlicitipredikati pa ne ostvaruju odnos logicke posljedice prvoga reda, to jest ne ostvarujuodnos znacenja koji ovisi samo o logickim simbolima. Neka je e ime jednog dogadajajucerašnjeg Ivicinog videnja Marice u Dubrovniku. Pokažite kako Davidsonov pristupsemantici glagola radnje objašnjava spomenuti odnos "povlacenja"!

Zadatak 9 LudwigWittgenstein u svom znamenitom djelu Tractatus Logico-Philosophicuspiše: 2.062 Iz postojanja ili nepostojanja atomarne cinjenice ne može se izvesti posto-janje ili nepostojanje druge atomarne cinjenice. 3. Logicka slika cinjenica je misao.4. Misao je smisleni stav. 4.1.1 Stav prikazuje postojanje i ne-postojanje atomarnih

5 A. koristeci osnovnu klauzulu (1) dobili smo 0; B. koristeci induktivnu klauzulu (2) dobilismo (1 · 0); C. koristeci induktivnu klauzulu (2) nad A. i B. dobili smo (0 + (1 · 0)).6 Dat cemo induktivnu definiciju za beskonacni skup terma koji imenuju broj jedan: osnovnaklauzula je da 1 imenuje broj jedan, induktivna kaluzula je da ako t imenuje broj jedan onda(t+ 0) i (t · 1) imenuju broj jedan. Primjer: ((((1 + 0) + 0) + 0) + 0).

1.9 Atomarne recenice u teoriji skupova i aritmetici 11

cinjenica. 4.25 Ako je elementarni stav istinit, atomarna cinjenica postoji; ako je neis-tinit, atomarna cinjenica ne postoji. Interpretirajte tekst tako da ’elementarni stav’znaci ’atomarna recenica’. Pretpostavljajuci takvu interpretaciju, tvrdi li Wittgensteinda su atomarne recenice logicki neovisne? Navedite razloge i odredite je li takva tvrdnjaistinita?

Zadatak 10 Proucite stavove 5.555-5.5571 iz Tractatus-a!

Zadatak 11 Pokušajte naci semanticke razloge kojima biste osporavali i sintaktickerazloge kojima biste opravdavali klasifikaciju koja u rod imenica uvrštava i vlastiteimenice i opce imenice.

Zadatak 12 U logici prvog reda predikati se interpretiraju kao sasvim odredena svo-jstva i odnosi. No neka svojstva ovise o perspektivi promatraca. Na slikama nalazimo dvapogleda na isti svijet. Odredite istinitosnu vrijednost donjih recenica i izdvoji predikatekoji oznacavaju odnose ili svojstva koja ovise o kontekstu!

V e¶ceOd(a; b)Izmedju(c; d; b)LijevoOd(c; b)Ispred(c; b)Iza(e; b)DesnoOd(a; b)

Poglavlje 2Identitet

2.1 Dokazi u kojima se koristi simbol za identitet

Primjer 2.1 Dokaz prikazan u «Fitch formatu». Okomita crta pokazuje da su recenicezdesna dio dokaza. Vodoravna crta dijeli pretpostavke (premise) od konkluzija, ispodnje se upisuju posredne konkluzije i željena konkluzija. Zdesna svakoj izvedenoj recenici(konkluziji) upisuje se opravdanje: oznaka logickog pravila i brojevi recenica nad kojimaje pravilo primjenjeno.

1. Kocka(c)2. c = b3. Kocka(b) = Elim; 1; 2

Dvomjesni predikat identiteta zauzima poseban položaj u filozofskoj logici.Kod drugih predikata možemo zamisliti da se skup predmeta koji imaju oznacenosvojstvo ili skup nizova predmeta koji stoje u oznacenoj relaciji može mijenjatiovisno o okolnostima. Tako možemo zamisliti okolnosti u kojima smo uspješnijinego što jesmo i okolnosti u kojima smo manje uspješni nego što jesmo. Možemozamisliti i okolnosti u kojima Kina nema najveci broj stanovnika. No ne možemozamisliti okolnosti u kojima nismo ono što jesmo.

Sve je identicno sa samim sobom i ni sa cime drugim. Ništa

12

2.2 Refleksivnost identiteta 13

drukcije ne da se zamisliti.

w1

w2

Primjer 2.2 Ekstenzija predikata V e¶ceOd može se mijenati ovisno o «svijetu». Usvijetu w1: a je vece od b. U svijetu w2 nema nicega što bi bilo vece od neceg drugog. Usvijetu w3: b je vece od a. U svakom svijetu u kojemu se javljaju a i b vrijedi da je a = ai b = b. Ni u jednom svijetu ne vrijedi da je a vece od a, bilo da je b vece od b. RelacijaIdentitet je refleksivna, relacija V e¶ceOd je irefleksivna.

2.2 Refleksivnost identitetaNacelo da je sve jednako samom sebi nazivamo refleksivnošcu identiteta. Bina-rnu relaciju kod koje vrijedi da je svaki predmet ostvaruje prema samome sebinazivamo refleksivnom. Zahvaljujuci refleksivnosti odnosa identiteta bilo gdje

14 Poglavlje 2 Identitet

u dokazu možemo upisati recenicu n = n. To se pravilo naziva pravilom zauvodenje simbola =.

2.3 Leibnizov zakon: nerazlucivost istovjetnog

Gottfried Wilhelm Leibniz, (1646-1716), njemacki filozof vjerojatno slaven-skog podrijetla, matematicar i državnik. Spominje se kao vodeci europskiintelekt u 17. stoljecu. Logicka pravila povezana s identitetom ponekadse nazivaju Leibnizovim zakonom.. «Eadem sunt, quae mutuo substituipossunt, salva veritate» Isto je ono što se može uzajamno zamjenijivati uzocuvanje istinitosti. Ili, ona imena cija zamjena u recenicama u kojimase javljaju, ne dovodi do promjene istintosne vrijednost tih recenica – suimena koja imenuju isti predmet.

Druga važna dimenzija znacenja predikata identiteta pored refleksivnosti jestona koju se obicno naziva nerazlucivošcu istovjetnog, ponekad Leibnizovim za-konom, ponekad pravilom supstitucije identiteta. Nacelo nerazlucivosti istov-jetnog može se iskazati rijecima: ako dva terma imenuju istu stvar, onda sve štovrijedi za nju pod prvim imenom vrijedi i pod drugim.

Alfred Tarski (1936) je koristio jacu, bikondicionalom iskazanu varijantu:

x = y ako i samo ako x ima svako svojstvo koje ima y i y imasvako svojstvo koje ima x.

Nerazlucivost identicnog nalazi se u smjeru s lijeva prema desno: identicnostpovlaci da su svojstva zajednicka. No smjer s desna na lijevo iskazuje identicnostnerazlucivog: ako su sva svojstva x i y zajednicka, onda x = y.

2.4 Pravila za simbol identiteta 15

Primjer 2.3 U Formalno neodlucivim stavcima u Principia Mathematica i u srodnimsustavima (1930) Kurt Gödel: ne uvrštava ’=’ u popis osnovnih (tj. primitivnih) simbola.No definicija koju on koristi nije ona Tarskijeva. Umjesto Tarskijeve varijante:

x = y akko 8P (P (x) $ P (y)),

Gödel koristi na kondicional oslabljenu varijantu:

xn = yn akko 8xn+1(xn+1(xn) ! xn+1(yn)).

Vec prije, Russell i Whitehead su pokazali da se bikondicional u definiens-umože oslabiti do kondicionala jer je i identicnost sa samim sobom jedno medusvojstvima, pa je to dovoljno za zakljuciti da x = y. Ako je identicnost sa samimsobom jedno od svojstava x-a, onda ako y ima sva x-ova svojstva, ima i to svo-jstvo, te y mora biti identicno s x. Uocimo da se u ovakvim definicijama služimos logikom višeg reda, logikom u kojoj možemo govoriti ne samo o predmetimanego i svojstvima .

2.4 Pravila za simbol identitetaBarwise i Etchemendy koriste slabiju varijantu i znacenje identiteta razlažu krozpravila za uvodenje i pravilo za iskljucivanje simbola =.

2.4.1 Pravilo za uklanjanje simbola identiteta

Pravilo se primjenjuje na dvije recenice. Jedna od dvije recenice mora bitiidentitetna, a u drugoj se mora koristiti term koji se javlja u identitetnoj recenici.

2.4.2 Pravilo za uvodenje simbola identiteta


U bilo kojem retku dokaza smijemo upisati n = n, gdje je n bilo koje ime.Buduci je rijec o logickoj istini prvoga reda, takva konkluzija ne ovisi ni o kojojpremisi.

2.4.2.1 Supstitucija identiteta i jednolika supstitucija

Važno je razlikovati supstituciju identiteta od jednolike supstitucije. Jednolikasupstitucija se provodi tako da se neki nelogicki simbol zamijeni s drugim nasvim mjestima u nekoj formuli. Za razliku od jednolike supstitucije, supstitu-ciju identiteta ne moramo izvršiti na svakom mjestu. Dok pravilo iskljucenjaidentiteta cuva istinitost, pravilo jednolike supstitucije to ne cini. No, pravilojednolike supstitucije ipak posjeduje važno iako slabije logicko svojsvtvo: topravilo cuva teoremstvo.

Primjer 2.4

Zamjena se ne mora izvriti svugdje.

Primjer 2.5 Zadana je istinita recenica ’Hamlet i Ofelija se uzajamno vole’. Oz-nacimo s A recenicu ’Hamlet voli Ofeliju’ i s B recenicu ’Ofelija voli Hamleta’. Dobi-vamo: A^B. Jednolikom supstitucijomA^:A zaA uA^B dobivamo (A^:A)^B.Ocigledno je da istinitost nije ocuvana.

Uz pomoc dvaju pravila za uvodenje i iskljucivanje identiteta možemo dokazatidaljnja svojstva tog odnosa. Posebno su zanimljiva svojstva simetricnosti i tranz-itivnosti.

Simetricnost identiteta: ako x = y, onda y = x.

2.5 Identitet u filozofskoj logici 17

Tranzitivnost identiteta: ako x = y i y = z, onda x = z.

Relacije koji su refleksivne, simetricne i tranzitivne nazivamorelacijama ekvivalencije. Ocigledno je da je identitet relacija ekviva-lencije.

2.5 Identitet u filozofskoj logici2.5.0.2 Paradoks identiteta: pitanje o informativosti identitetnihrecenica.

5.5303 Grubo govoreci, reci za dvije stvari da su identicne - besmislenoje, a reci za neku stvar da je sa sobom identicna – znaci ne reci ništa.

Ludwig Wittgenstein (1921) Tractatus Logico-PhilosophicusKorisni su samo oni iskazi o identitetu u kojima su imenovani

predmeti isti, a njihova imena razlicita, zato je pojam identiteta potre-ban samo kako bi ukazao na karakter jezika. Kada bi naš jezik biosavršena kopija onoga o cemu on govori tada bi svaka stvar imala samojedno ime a iskazi identiteta bili bi suvišni... Dvije varijable smijureferirati na razlicite predmete, ali mogu referirati i na iste. Zato znakidentiteta postaje potreban kada se pitanje istovjetnosti ili razlike u ref-erenciji postavi o varijablama. S logickog stajališta kljucna primjenaznaka identiteta vezana je uz varijable, a ne uz singularne termine.Cijela kategorija singularnih termina je teorijski suvišna i postižemo


logicki dobitak uklonimo li ih.Willard Van Orman Quine,Methods of Logic, str. 222

2.5.1 Intenzionalni kontekst i neuspjeh supstititucijeidentiteta

Primjer 2.6 Russellova zagonetka. (P1) Scott je autor Waverley-a. (P2) George IVželio je znati je li Scott autor Waverley-a. (K3) Dakle, George IV je želio znati je li Scott- Scott.

Primjer 2.7 Prethodni primjer interpretirao bi se u okviru modalne logike na nacinslican sljedecem:

(P1) ·Zeligeorge IV:

·Znageorge IV:(scott = ¶x(x je autor Waverleya))_Znageorge IV:(scott 6= ¶x(x je autor Waverleya))

¸(P2) scott = ¶x(x je autor Waverleya)

(:K3) : ·Zeligeorge IV:

·Znageorge IV:(scott = scott)_Znageorge IV:(scott 6= scott))

¸Mnogi ce se složiti da je gornji niz recenica zadovoljiv.

Primjer 2.8 Za Davidsona izuzece od važenja Leibnizovog zakona predstavlja raz-likovno obilježje psihickog rjecnika:

One glagole koji izražavaju sudne stavove kao što su vjerovanje,namjeravanje, željenje, nadanje, znanje, zapažanje, sjecanje i sl. možemonazvati mentalnim. Takvi su glagoli obilježeni cinjenicom da se javl-jaju u recenicama ciji se gramaticki subjekt odnosi na osobe, a upotpun-juju ih uklopljene recenice u kojima izgleda da ne vrijede uobicajenapravila supstitucije.

Primjer 2.9 Kripkeova zagonetka vjerovanja . Pretpostavimo da je govornik nor-malan ako nije sveznajuci, ako je iskren, svjestan sebe i ako poznaje znacenja rijecikoje koristi. Prihvatimo u svrhu istraživanja sljedece nacelo (N ): Ako obican govornikjezika L iskreno i promišljeno prihvaca da je istinita recenica r iz jezika L, onda tajgovornik vjeruje da r¤, pri cemu r¤ oznacava prijevod recenice r na jezik u kojemu jeiskazano nacelo (N ). Razmotrimo jedan primjer. Francuz Pierre, koji dobro govori kakosvoj materinski tako i engleski jezik, za vrijeme svog življenja u Parizu više je puta cuoda je London jedan vrlo lijep grad. Na osnovi uvjerenja proširenog u krugu njegovihpoznanika i gledanja lijepih londonskih veduta prikazanih na razglednicama, Pierreprihvaca da je recenica (i) Londres est jolie istinita. Po nacelu (N ) slijedi da Pierrevjeruje da (i)¤ London jest lijep grad jer je recenica (i)¤ prijevod recenice (i). Kasnije,Pierre se seli u Veliku Britaniju i nastanjuje u Londonu. Nakon obilaženja grada on

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacija 19

stjece uvjerenje da London nije lijep i prihvaca da je recenica (ii) London is not prettyistinita. Pierre ne zna da je taj neugledni grad u kojem sada živi onaj isti grad cije jeslike s divljenjem gledao dok je živio u Parizu. Buduci da Pierre iskreno prihvaca da suobje recenice (i) i (ii) istinite, vjeruje li on kao normalni govornik da (i)¤ London jestlijep ili vjeruje da (ii)¤ London nije lijep, ili vjeruje i jedno i drugo?

Problem supstitucije identiteta i dalje predstavlja zanimljiv problem u filo-zofskoj logici, problem koji ukazuje na posebnost "jezika o doživljajima, radn-jama i osobama" i koji još uvijek nema opceprihvatljivo rješenje. U literaturi sekontekst u kojem nacelo "supstitutivnosti koekstenzivnih izraza" (tj. zamjeneidenticnih terma, koesktenzivnih predikata te ekvivalentnih recenica) dopuštaiznimke naziva "intenzionalnim kontekstom".

2.6 Za zapamtiti

Cetiri važna nacela odnosa identiteta:1. = Elim: Ako b = c; onda sve što vrijedi za b vrijedi i za

c. Nacelo se takoder naziva nacelom nerazlucivosti identicnoga.2. = Intro: Recenice ciji je oblik b = b uvijek su istinite (u

logici prvoga reda). Nacelo se naziva nacelom refleksivnosti identiteta.3. Simetricnost identiteta: Ako je b = c, onda c = b.4. Tranzitivnost identiteta: Ako je a = b i b = c, onda je

a = c.Posljednja dva nacela mogu se izvesti iz prva dva.

2.7 Dokazi koji koriste svojstva predikata i relacijaRazmišljajuci o drugim predikatima na nacin na koji smo razmišljali o identitetu,mogli bismo i za njih uvesti niz slicnih pravila. Na primjer, mogli bismo zapojedinu relaciju pitati je li simetricna, refleksivna ili tranzitivna.

Primjer 2.10 Relacija LijevoOd je tranzitivna. Relacija IstiOblik je simetricna,refleksivna i tranzitivna; dakle, ona jest relacija ekvivalencije.

Analitickom posljedicom možemo nazvati pravilo izvodenja koji se oslanjana znacenja rijeci koje se javljaju u premisama. Taj postupak može koristiti iznacenja predikata.

1. LijevoOd(a; c)2. LijevoOd(c; d)3. LijevoOd(a; d) Ana Con; 1; 2

U gornjem se primjeru iskoristila tranzitivnost relacije LijevoOd.


Neke binarne relacije mogu biti «inverzne» u odnosu na druge. Relacija injezina inverzija vrijede za iste predmete ali u «suprotnom smjeru». RelacijaLijevoOd inverzna je u odnosu na DesnoOd: LijevoOd(a; b) ako i samo akoDesnoOd(b; a).

U ovom dokazu 4. je recenica analiticka posljedica od 1. jer je predikatLijevoOd inverzija predikata DesnoOd. 5. je recenica dobivena iz 3. i 4.zahvaljujuci «nerazlucivosti identicnog»: što vrijedi za b vrijedi i za d jer b = d.Zahvaljujuci tranzitivnosti predikata LijevoOd, iz 5. i 2. izvodimo 6.

Zadatak 13 Odredite jesu li relacije iz prethodnog dokaza refleksivne, simetricne itranzitivne!

Poglavlje 3Propozicijska logika i teorija

dokaza

Aksiomatski sustav Istinitosno stablo Prirodna dedukcijatableaux metoda

David Hilbert Evert Beth Gerhard GentzenZakljucak cije su premise P1; :::; Pn a konkluzija K ispravan je ako (je):

teorem zatvoreno stablo za postoji dokazàksiomatski(P 1^::: ^ Pn) ! K fP1; :::; Pn ;:Kg P1; :::; Pn`prirod.deduk.K

3.1 Aksiomatski sustavLogika se može izložiti kao aksiomatski sustav u kojem ce teoremi biti logickeistine. Za poseban slucaj propozicijske logike, to znaci da ce takva aksiomatskateorija obuvacati tautologije. Daljnja su pitanja: obuvaca li ta teorija samo tau-tologije i obuhvaca li sve tautologije.

21

22 Poglavlje 3 Propozicijska logika i teorija dokaza

3.1.1 Što je aksiom?U logici i matematici, osnovno nacelo za koje se, bez dokaza, pretpostavlja da jeistinito.

Primjer 3.1 Aristotel (384-322) znanost je obilježena ne samo s istinitošcu recenicakoje je tvore vec i s njihovim ustrojstvom. Znanost se treba izlažiti kao deduktivan sustavu kojemu su manje opcenite recenice dokazane pomocu prvih, najopcenitijih nacela.

Primjer 3.2 (Nacelo neproturjecnosti) Nijedna recenica ne može istodobno biti i is-tinita i neistinita.

Primjer 3.3 Euklid (oko 330-260) u knjizi Elementi aksiomatizira geometriju. "Opcenitanacela" obuhvacaju 23 definicije, 5 postulata i 5 opcenitih ideja.

Primjer 3.4 5. opcenita ideja: "Cjelina je veca od svakog svog dijela."

Primjer 3.5 Spinoza (1632 - 1677) daje grandiozni filozofski sustav u aksiomatskomobliku (Ethica more geometrico demonstrata). Primjer aksioma: Sve što jest, jest ili usebi ili u drugome.

3.1.1.1 Izbjegavanje beskonacnog regresa

Dokazivanje ne može ici u beskonacnost. Ono mora negdje stati. Ako dokazshvatimo u smislu dedukcije, onda su krajnje tocke dokaza aksiomi. Iskustvenisudovi, zapisi opažanja (promatranja, mjerenja) ne mogu biti polazište dedukcije.

3.1.1.2 Kako prepoznajemo aksiome?

U tradiciji su aksiomi bili shvaceni kao istine jasne po sebi (samo-evidentneistine).

Primjer 3.6 Descartes, René (1596-1650): "I uocivši da mi u postavcimislim, daklejesam baš ništa drugo ne jamci da govorim istinu, osim da vidim vrlo jasno kako moramopostojati da bismo mislili, došao sam do uvjerenja da mogu postaviti opce pravilo, dasu stvari koje shvacam jasno i razgovijetno potpuno istinite."

Primjer 3.7 Aksiomski nacin razmišljanja proteže se i izvan granica filozofije. UDeklaraciji nezavisnosti (1776) tvrdnja o ljudskim pravima shvaca se kao aksiom (uociteuporabu pridjeva ’self-evident’): "We hold these truths to be self-evident, that all men arecreated equal, that they are endowed by their Creator with certain unalienable Rights,that among these are Life, Liberty, and the pursuit of Happiness."

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustava 23

U novije vrijeme napušten je zahtjev da aksiomi moraju biti "jasni sami posebi". Razlozi napuštanja vjerojatno su povezani s racionalistickom pristranošcutakvog pojma i cinjenicom da on ukljucuje nepouzdana psihološka obilježja.

3.1.2 Anatomija formalnog aksiomatskog sustavaFormalni aksiomatski sustav (i) koristi neki rjecnik (popis simbola, alfabet) (ii)od kojega se po pravilima tvorbe slažu recenice. Na taj se nacin zadaje jezikteorije. K tome, (iii) neke recenice (aksiomi) uzimaju se (iv) za polazište prim-jene pravila za dokazivanje drugih recenica. Aksiomatska teorija obuhvaca onerecenice iz zadanog jezika koje se mogu dokazati. Dokaz je niz recenica gdje jesvaka recenica ili aksiom ili je dobivena primjenom pravila dokaza iz prethodnihrecenica u nizu. Neka je recenica R teorem ako postoji njezin dokaz, to jest akopostoji dokaz R1; :::; Rn i R = Rn.

Svrha teorije je da iz zadanog jezika izdvoji neki dio. Konstrukcija teorijekoja bi obuhvacala sve recenice zadanog jezika besmislen je i bezvrijedan po-duhvat.

Primjer 3.8 Jedan "igracka-sustav". Simboli: a; b. Recenice: (a) a i b su recenice,(b) ako je R recenica onda su Ra i Rb recenice, (c) ništa drugo osim onoga što možemo

dobiti primjenom pravila (a) i (b) nije recenica. Aksiom: a. Pravilo dokaza:R

Ra(R

dokazuje Ra). Odredite koji uvjet trebaju zadovaljavati recenice u zadanom jeziku dabi bile teoremima! Uocite da pravilo koje ste otkrili nije teorem igracka-sustava, vecmetateorijska tvrdnja, tj. tvrdnja o teoriji!

3.2 Željena svojstva aksiomatskog sustavaNeki aksiomatski sustav mora, ako je to moguce, zadovoljiti nekoliko uvjeta.

Konzistentnost: sustav ne smije omoguciti dokaz obje recenice iz para pro-turjecnih recenica, tj. ne smije biti slucaj da je dokaziva neka recenice kao injezina negacija. Ovaj se uvjet mora ispuniti.

Potpunost ne znaci isto za ne-logicke i logicke aksiomatske. U ne-logickimsustavima, potpunost zahtijeva da iz para kojeg cine recenica i njezina negacijauvijek jedna medu njima bude dokaziva. U mnogim se slucajevima ovaj uvjet nemože ispuniti.U logickom sustavu potpunost znaci nešto drugo. Ovdje poželjnosvojstvo teorem nije samo istinitost, vec nužna istinitost. Negacije kontingentnerecenice je kontingentna recenica. No, ni jedna niti druga ne smiju biti dokaziveu nekom logickom sustavu.

Neovisnost: (i) i (ii) nijedan teorem nije aksiom. Ako uvjet neovisnosti nijezadovoljen, greška nije fatalna.

Uvjeti o kojima ima smisla govoriti povodom nekog ne-logickogaksiomatskog sustava sa skupom aksioma T . Znak ’`’ oznacava troclaniodnos dokazivosti ’Dokazivo([recenica], [skup aksioma], [logicki sus-tav])’. Npr. ’T `L P ’ citamo ’recenica P (iskazana u jeziku teorije)


može se dokazati polazeci od pretpostavki T koristeci pravila dokazaL’.

Konzistentnost: ni za jednu recenicu P ne vrijedi da T `L P iT `L :P

[Ne postoji recenica P takva da je dokazivo P i da je dokazivo :P .]

Potpunost: za svaku recenicu P vrijedi da T `L P ili T `L :P

[Svaka recenica P je takva da je dokaziva ili recenica P ili recenica :P .]

Neovisnost: za svaki aksiom vrijedi da ako A 2 T , onda :(T ¡fAg `L A)

[Njedan aksiom A ne možemo dokazati polazeci skupa aksioma iz kojihje on uklonjen (tj. polazeci od T ¡ fAg).]

David Hilbert. Matematicki problemi (predavanje na Medunarodnom kon-gresu matematicara u Parizu, 1900.)

U pomnijem razmatranju, javlja se pitanje: ovise li neki iskazipojedinih aksioma jedni o drugima, te ne sadrže li zato aksiomi nekezajednicke elemente, koji moraju biti izdvojeni ako želimo doci do sus-tava aksioma koji su posve neovisni jedni o drugima. Ali iznad svegaželim sljedece istaknuti kao najvažnije medu mnogobrojnim pitanjimakoja se mogu postaviti u vezi aksioma: dokazati da oni nisu kontradik-torni, naime, da odredeni broj, na njih oslonjenih logickih koraka nemože nikada dovesti do kontradiktornog rezultata.

Zadatak 14 O kojim poželjnim svojstvima aksiomatskog sustava govori Hilbert? Prip-isuje li on istu važnost svim svojstvima?

Zadatak 15 «Deduktivna teorija je konzistentna, ili neproturjecna ako [. . . ] se odsvaka dva proturjecna iskaza bar jedan ne može dokazati. [. . . ] teorija je potpuna akose za svaka dva proturjecna iskaza formulirana u terminima te teorije barem jedan možedokazati. Za iskaz koji ima svojstvo da se njegova negacija može dokazati kažemo da semože osporiti» A. Tarski. Koristeci termine ’dokazati’ i ’osporiti’ iskaži uvjet konzistent-nosti i uvjet potpunosti drugim rijecima!

3.2.1 Logicki aksiomski sustavJedan nacin razmišljanja o ispravnosti zakljucaka u analitickom okviru propozi-cijske logike je sljedeci: logika je teorija, a ispravni zakljucci njezini su teoremi.U tom okviru kretala su razmišljanja formalnih logicara poput Fregea, Russella,Hilberta i Heytinga.


Logicka aksiomatska teorija i ne-logicka aksiomatska teorija odnose se kaofundirajuci i fundirani sustavi ( foundational and postfoundational systems, Shef-fer). Fundirajuci logicki sustavi imaju svoja pravila dokaza. S druge strane,fundirana teorija u svojim dokazima polazi od svojih ekstralogickih aksioma ikoristi logicke teoreme kao svoja pravila dokaza.

Za izgradnju jedne fundirajuce aksiomatske logike trebamo odrediti sintaksunjezinog jezika: navesti popis osnovnih simbola i pravila za tvorbu recenica utom jeziku. Dalje cemo analizirati jednu aksiomatizaciju propozicijska logike,Frege-Lukasiewiczev sustav.

3.2.1.1 Frege-Lukasiewiczev sustav

Sintaksa.Neka su u jeziku teorije LP osnovni simboli: propozicijska slova:

‘P1’, ‘P2’,..., pomocni simboli: ‘(‘, ‘)’, i konstante: ‘! ‘ i ’: ’.Pravilo tvorbe recenica neka glasi: propozicijska slova su recenice

u jeziku teorije LP, a ako su A i B recenice u tom jeziku onda su i :A i(A ! B) recenice u tom jeziku, te ništa drugo nije recenica tog jezika.

Aksiomi, definicije i pravila dokazivanja.Aksiomski oblici:A1. (A ! (B ! A))A2. ((A ! (B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C)))A3 ((:B ! :A) ! (A ! B))Definicije veznika::(A ! :B) oznacava A ^B, itd.Pravilo dokazivanja:Ako je (A ! B) teorem i ako je A teorem, onda je B teorem.

3.2.1.2 Primjer dokazivanja logickog teorema

Dokaz ispravnosti za hipoteticki silogizma u aksiomatskom sustavu LP :(1) aksiom tipa A1:((A ! (B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C))) ! ((B ! C) ! ((A !

(B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C))))

(2) aksiom tipa A2:((A ! (B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C))

(3) teorem dobiven iz (1) i (2) primjenom pravila modus ponens:((B ! C) ! ((A ! (B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C))))

(4) aksiom tipa A2:((B ! C) ! ((A ! (B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C)))) ! (((B !

C) ! (A ! (B ! C))) ! ((B ! C) ! ((A ! B) ! (A ! C))))

(5) teorem dobiven iz (3) i (4) primjenom pravila modus ponens:(((B ! C) ! (A ! (B ! C))) ! ((B ! C) ! ((A ! B) ! (A !

C))))


(6) aksiom tipa A1:((B ! C) ! (A ! (B ! C)))

(7) teorem dobiven iz (5) i (6) primjenom pravila modus ponens:(B ! C) ! ((A ! B) ! (A ! C))

(7) je izraz za hipoteticki silogizam. Dakle, ispravnost hipotetickog silo-gizma dokazana je u LP jer je na osnovi definicija recenica (B ! C) ! ((A !B) ! (A ! C)) samo drukciji zapis za ((B ! C) ^ (A ! B)) ! (A ! C).

Iako dokaz izlažemo od vrha prema dnu, dokaza tražimo suprotnim smjerom,od dna prema vrhu. Osnovni nacrt algoritma traženja dokaza za izraz ciji je oblikA ! K u sustavu LP sastoji se od sljedecih koraka: 1. ako ciljna recenica nijeaksiom, onda je dobivena primjenom pravila modus ponens iz recenica X !(A ! K) i X , 2. no tada recenica X ili mora biti istovjetna s K, koja morabiti aksiom ili, ako to nije slucaj, onda treba pronaci recenicu X takvu da (a)X ! (A ! K) i (b) X budu dokazive, cime dobivamo dvije nove ciljne recenice(a) i (b) za koje ponavljamo postupak.

Dokaz se oslanja na instance aksioma (1, 2, 4, 6). Primjenom samo jednogpravila zakljucivanja (MPP, tj. modus ponendo ponens) dobivaju se teo-remi (3, 5, 7) medu kojima je i ciljni teorem (hipoteticki silogizam, 7).


Zadatak 16 Neka je zadan gornji logicki aksiomski sustav. Aksiomski oblici: A1.(A ! (B ! A)), A2. ((A ! (B ! C)) ! ((A ! B) ! (A ! C))), A3.((:B ! :A) ! (A ! B)). Pravilo dokazivanja: Ako je (A ! B) teorem i ako je Ateorem, onda je B teorem. Dokažite7 A ! A!

3.2.1.3 Zanimljivost

U 1956. sastavljen je Logic Theorist, pionirski rad u podrucju umjetne inteligen-cije (AI). Autori su bili A. Newell, J.C. Shaw i H.A. Simon. Zadatak koji jeprogram trebao moci riješiti bio je dokazati teoreme iz Russellove i WhitheadovePrincipia Mathematica iz 2. glave. Rezultat: program je uspio dokazati 38 odprvih 52 teorema.

Kod jednog teorema, dokaz do kojeg je došao Logic Theoristbio je elegantniji od onoga kojeg su dali Russell i Whitehead.[. . . ] Trisu autora napisala kratki clanak s novim dokazom i u popis imena au-tora pored vlastitih uvrstili Logic Theorist kao koautora. To je bio prviakademski clanak u povijesti u kojemu je stroj bio jedan od autora, ali,nažalost, urednik The Journal of Symbolic Logic nije prihvatio clanakza objavljivanje .

J. Copeland. Artificial Intelligence: a Philosophical Introduc-tion. str. 8.

3.2.2 Izbori pri izgradnji aksiomskog sustava propozicijskelogike3.2.2.1 Broj logickih konstanti (logicke operacije i vrijednosti)?

Jednoclane opcije: (i) ne istodobno, inkompatibilnost, ekskluzija, NAND, ", (ii)ni niti, binegacija, NOR, #. Dvoclane opcije: (i) samo s istinitosnofunkcionalnimveznicima (npr. kao u Frege-Lukasiewiczevom sustavu: : i !), (ii) jedan vezniki istinitosna vrijednost neistinitog (npr. ! i ?).7 (1) aksiom A1:

A→ ((A→ A)→ A)

(2) aksiom A2:

(A→ ((A→ A)→ A))→ ((A→ (A→ A))→ (A→ A))

(3) modus ponens; (1),(2):

(A→ (A→ A))→ (A→ A)

(4) aksiom A1:

A→ (A→ A)

(5) modus ponens; (3),(4):

A→ A


3.2.2.2 Neizbježna negacija

Ako usmjerimo pažnju na veznike ^, _, !, i $, lako cemo uociti da oni nisudovoljni da bi izrazili sve istinitosne funkcije. Ako je recenica R neistinita uvrednovanju u kojem su sva propozicijska slova istinita, onda tu recenicu nemožemo iskazati pomocu spomenuta cetiri veznika. Dakle, u svim dvoclanimizborima veznika u kojim koristimo neki od spomenuta cetiri veznika potrebnanam je negacija :.

3.2.2.3 Normalne forme: disjunktivna i konjunktivna

Teorem 1 Sve se istinitosne funkcije mogu iskazati u disjunktivnoj normalnojformi i u konjunktivnoj normalnoj formi.

Literalima nazivamo atomarnu recenicu i njezinu negaciju. Disjunktivnanormalna forma je disjunkcija konjunkcija u kojima se javljaju samo literali.Konjunktivna normalna forma je konjunkcija disjunkcija u kojoj se javljaju samoliterali. Njihovo postojanje pokazat cemo putem postupka konstrukcije.

Najprije pokazujemo nacin konstrukcije disjunktivne normalne forme. Nekaje zadana neka recenica propozicijske logike, tj. istinitosna funkcija. Motrimosamo vrednovanja u kojima je ona istinita, te zapišimo atomarnu recenicu akoje ona istinita pod tim vrednovanjem, a u protivnom zapišimo njezinu negaciju.Tako dobivene literale povežimo u konjunkciju. Postupak ponavljamo na svakomistinitom slogu, a dobivene konjunkcije povezujemo u disjunkciju. Na ovaj nacinbilježimo okolnosti u kojima je recenica istinita, a njezino znacenje je disjunkcijatakvih uvjeta.

Kod konjunktivne normalne forme cinimo suprotno: bilježimo pod kojim jeuvjetima neistinita. Motrimo vrednovanja kojima je ona neistinita, te zapišimonegaciju atomarne recenice ako je ona istinita pod tim vrednovanjem, a u pro-tivnom (tj. ako je neistinita) upisujemo samu atomarnu recenicu. Tako dobiveneliterale spojimo u disjunkciju. Postupak ponavljamo i sve dobivene disjunkcijespajamo u konjunkciju.

Primjer 3.9

DNF KNFP Q zadana i.f. (P ^Q) _ (:P ^Q) _ (:P ^ :Q) :P _Q

> > > P ^Q> ? ? :P _Q? > > :P ^Q? ? > :P ^ :Q

Zadatak 17 Pronadite DNF i KNF za istinitosne funkcije po vašem izboru. Rješenjamožete provjeriti pomocu analizatora na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/analizator.htm!


3.2.2.4 Ekspresivna potpunost

Je li neki izbor veznika dovoljan za iskazati sve istinitosne funkcije? Na topitanje je prilicno lako odgovoriti. Evo jednog medu odgovorima. Ako pomocutog izbora veznika možemo definirati konjunkciju i negaciju, onda je taj izborekspresivno potpun. Zašto? Svaku istinitosnu funkciju možemo prikazati u ob-liku disjunktivne normalne forme, a iz nje možemo ukloniti disjunkciju koristeciDeMorganove zakone. Time smo pokazali da su ^ i : istinitosno funkcionalnopotpuni, pa ce onda i izbor veznika koji omogucuje definiciju za ^ i : biti potpun.Na slican nacin možemo argumentirati u slucaju kad se pozivamo na konjunk-tivnu normalnu formu, tj.na ekspresivnu potpunost disjunkcije i negacije.

binegacija ekskluzijaP Q P # Q P " Q> > ? ?> ? ? >? > ? >? ? > >

Redukcija na dva simbolaf:;_g f:;^g f!;?g

:P :P :P P ! ?P ^Q :(:P _ :Q) P ^Q (P ! (Q ! ?)) ! ?P _Q P _Q :(:P ^ :Q) (P ! ?) ! Q

Redukcija na jedan simbolf#g f"g

:P P # P P " PP ^Q (P # P ) # (Q # Q) (P " Q) " (P " Q)P _Q (P # Q) # (P # Q) (P " P ) " (Q " Q

3.2.2.5 Format aksioma i pravila dokazivanja.

Daljnji izbori u gradnji aksiomatskog sustava propozicijske logike odnose se naizbor izmedu aksioma ili aksiomskih oblika, gdje prva opcija zahtijeva doda-vanje supstitucije u skup pravila dokazivanja. Jedna aksiomska shema (Nicod-Łukasiewicz aksiomski sustav za propozicijsku logiku) ili više aksiomskih shema?Aksiomske sheme (aksiomski oblici) bez pravila jednolike supstitucije (kao uFrege-Lukasiewiczevom sustavu) ili aksiomi s pravilom jednolike supstitucije?

3.2.2.6 Usporedba: logicki i izvan-logicki aksiomski sustav

Usporedimo aksiomski sustav propozicijske logike i nelogicki aksiomski sus-tav u odnosu na željena svojstva konzistentnosti i potpunosti. U sintaktickom


smislu neki aksiomatski sustav nazivamo konzistentnim ako se u njemu ne možedokazati i recenicaA i recenica:A. U tom pogledu nema razlike izmedu logickihi ekstralogickih sustava. Uocimo da konzistentnim u sintaktickom smislu možemonazvati i sustav koji nije semanticki konzistentan. No, od logickog sustava miocekujemo puno više. Ne samo da bude istinit (semanticki konzistentan) vec i dabude istinit u svakoj interpretaciji. Zbog toga je sintakticka potpunost logickogsustava razlicit pojam od potpunosti ekstralogickog sustava.

Razliku u pojmu konzistentnosti prati i razlika u pojmu potpunosti. Tarskipotpunost definira u odnosu na par proturjecnih recenica, uvijek jedna od njih,bilo A bilo :A mora biti dio sustava (možda i obje). Ocigledno je da pri tomemisli samo na ekstralogicke sustave. Kod logickih sustava potpunost u takvomsmislu nipošto nije poželjna. S ulaskom kontingentnih recenica ne samo da binestala razlika logike prema njoj bliskoj matematici8 vec bi nestala i razlikaprema empirijskim znanostima.

SLIKA: I lijevi i desni sustav su potpuni (kose crtice ukazujuna «prazninu», na «ne-postojanje»). Kuda nas vodi negacija u ek-stralogickim (lijevo) i logickim (desno) konzistentnim i potpunim sus-tavima pokazuju nam zakrivljene crte.

Primjer 3.10 Razmotrimo primjer jednog sustava koji sve kontradikcije i samo kon-tradikcije preuzima kao teoreme. Neka jeK racun sudova zadan na sljedeci nacin:aksiomski oblici su zadani s nekim skupom antitautologija (tj. kontradikcija), a jedinopravilo izvoda je ’iz :A ^B i A, izvedi B’. Ispitajmo je li racunK konzistentan!

8 Promotri tvrdnju: ¬∃x : x ∈ N ∧ 0 = sljedbenik_od(x). Ona nije logicka istina prvog reda.Metodom zamjene možemo dobiti i ovakvu recenicu: ¬∃x : adam = otac_od(x). Nije stvarlogike prvog reda pitanje o tome ima li Adam potomaka ili ne. Jednako tako, nije pitanje logikeprvog reda je li nula iciji sljednik.


Rjeenje 1 U dokazu treba pokazati da pravilo dokaza «prenosi kontradiktornost»,tj. da cemo primjenom pravila izvoda uvijek iz kontradikcija izvesti novu kon-tradikciju. Ispitajmo prijenos kontradiktornosti Neka su :A ^ B i A aksiomi,dakle kontradikcije. Buduci da je A kontradikcija, onda je :A tautologija.Kako je :A ^ B kontradikcija a A tautologija, onda B mora biti kontradik-cija. Pretpostavimo da se kontradiktornost ne prenosi. Neka je recenica S prvakoja ne uspijeva sacuvati kontradiktornost. Tada S nije aksiom, vec mora bitidobivena pomocu pravila. Ako je dobivena pomocu pravila, onda je nastala iznekih prethodnih recenica uz primjenu pravila. Buduci da su prethodne recenicekontradikcije a pravilo cuva to svojstvo, slijedi da je S kontradikcija. Timesmo osporili pretpostavku. Dalje treba pokazati da se ne može dogoditi da parkontradiktornih recenica bude uK. Ocigledno je da to ne može biti slucaj jer jenegacija kontradikcije tautologija, a po prethodnom dokazu pouzdanosti u pri-jenosu kontradiktornosti, znamo da se u sustavuK nalaze jedino kontradikcije.

Primjer 3.11 Dodajmo Frege-Lukasiewiczevom aksiomskom sustavu još dvije aksiomskesheme, A4: A i A5: :A. Po sintaktickom kriteriju, novonastala teorija je inkonzistentna.Dokažite da je u toj teoriji svaka recenica teorem9!

Primjer 3.12 U sljedecoj definiciji ispitajmo je li rijec o pojmu potpunosti za logickeili ne-logicke aksiomske sustave. «Sustav je sintaticki potpun ako i samo ako ne postojinedokaziva shema B koja bi se mogla dodati sustavu a da pri tome ne unese inkonzis-tentnost » Što bi se dogodilo kada bismo jednom logickom sustavu tautologija pridodalikontingentni iskaz?

9 Proizvoljna recenica R je teorem. Dokaz:(1) A3:(¬R→ ¬A)→ (A→ R)(2) A2:¬A→ (¬R→ ¬A)(3) A4:¬A(4) modus ponens; (2),(3):¬R→ ¬A(5) modus ponens; (1), (4)A→ R(6) A5:A(7) modus ponens; (5),(6):R


Sintaktički Semantički Ekstra-logički sustav

Logički sustav

Ekstra-logički sustav Logički sustav

Konzistentnost Nije slučaj da su teoremi i A i A¬

Moguće je da sve rečenice sustava budu istinite (postoji istinita interpretacija, sustav ima model)

Sve rečenice sustava nužno su istinite (sve interpretacije su istinite, svaki model je model sustava)

Potpunost U paru A i A¬ uvijek

je barem jedna rečenica teorem

?

Sustav izdvaja sve istinite rečenice pod danom interpretacijom

Sustav izdvaja sve logičke istine.

Zadatak 18 «Łukasiewicz je bio duboko uvjeren da je aksiomska istinitisno-funkcionalnalogika vježbaonica za druge i važnije primjene aksiomske metode. Ja sam više uvjerenu njezinu štetu. Aksiomska logika, sa svojim aksiomskim shemama i posebnim pravil-ima zakljucivanja, ne slici puno post-fundiranim aksiomskim sustavima. Ako se vec želinekoga obuciti za primjenu aksiomske metode u post-fundiranim sustavima, onda nekase ta osoba uvježbava u takvim sustavima. Glavna komponenta takve obuke je njegov-anje sposobnosti za prepoznavanje ili dokazivanje implikacije, jer implikacija je ono štopovezuje post-fundirane aksiome s logickim teoremima.» W.V. Quine. (1974) Methodsof Logic. str. 75. Ponudite razloge kojima cete potvrditi Quine-ov stav da vježbanjeu aksiomskoj logici nije isto što i vježbanje primjene aksiomske metode u fundiranimsustavima!

3.2.3 Pouzdanost, konzistentnost i potpunostFrege-Lukasiewiczeovog sustavaVažno svojstvo nekog logickog sustava je svojstvo pouzdanosti. U slucaju ak-siomatskog sustava propozicijske logike, trebamo dokazati da su samo tatuologijeteoremi. Taj je dokaz prilicno jednostavan. najprije trebamo pokazati da susvi aksiomi tautologije. Zatim trebamo dokazati da pravilo (ili pravila) dokazacuvaju istinitost.

Teorem 2 Frege-Lukasiewiczev sustav je pouzdan.

Koristeci oznake za teoremstvo u tom sustavu, `Frege−Lukasiwicz i tautologicnost,


Taut, teorem možemo zapisati ovako:

`Frege−Lukasiwicz A ) Taut(A)

Dokaz 1 Shema A ! (B ! A) je shema tautologije. Pretpostavimo suprotno.tada mora postojati neka instanca ove sheme gdje je A istinito a B ! A neis-tinito. Ako je A istinito, onda po definiciji kondicionala B ! A mora (protivnopretpostavci) biti istinito. Dakle, aksiomska shema je tautologija. Dokažite samida je A3: shema tautologije! Nakon što smo pokazali da su svi aksiomi tau-tologije, trebamo pokazati da pravila dokaza primjenjena na tautologijama mogudokazati jedino tautologije. Ako pravilo modus ponens cuva tautologicnost, ondane može biti slucaj da su A ! B i A tautologije, a B da nije. Pretpostavimosuprotno, da B nije tautologija. Tada postoji vrednovanje u kojem je B neistinito,a buduci da je A tautologija, u tom je vrednovanju kondicional A ! B neistinit,pa nije tautologija. Kontradikcija. Dakle, modus ponens cuva tautologicnost. Nakraju trebamo ispitati mogucnost deriviranja recenice koja nije tautologija. ovajse dokaz obicno izvodi putem matematicke indukcija. Buduci da cemo matem-aticku indukciju obradivati kasnije, primijenit cemo drukciji dokaz. Promatramoproizvoljni dokaz koji derivira recenicu R koja nije tautologiju i koja je prvi takavnevaljan korak. Recenica R je ili aksiom ili je dobivena primjenom pravila.Razmotrimo oba slucaja. Ako je R aksiom, onda je tautologija. Zato to nijenevaljan korak. Kontradikcija. U drugom slucaju, ako je dobivena primjenompravila i ako je R prvi nevaljan korak onda je dobivena iz prethodnih koraka kojisu tautologije. Kako modus ponens cuva tautologicnost, R mora biti tautologija.Kontradikcija. Dakle, samo se tautologije mogu dokazati.

3.2.3.1 Njegova konzistenost

Teorem 3 0Frege−Lukasiwicz ?

Dokaz 2 Konzistenost izravno sijedi iz pouzdanosti. Buduci da su svi teoremitautologije i buduci da nijedna tautologija nije negacija druge tautologije, nijemoguce da obje iz para proturjecnih recenica budu teoremi.

3.2.3.2 Njegova neovisnost

Neovisnost se može dokazati uvodenjem posebne funkcije dodjeljivanja istini-tosnih vrijednosti. Oznacimo jednu takvu funkciju s f . Funkcija f uzima receniceiz LPL i dodjeljuje im jednu od vrijednosti: 0; 1; 2 po sljedecem pravilu:


A :A0 11 12 0

A B A ! B0 0 01 0 22 0 00 1 21 1 22 1 00 2 21 2 02 2 0

Nazovimo recenicu cija je vrijednost jednaka 0 u svakom vrednovanju —odabranom recenicom. Pravilo modus ponens cuva odabranost: ako jeA odbrana,f(A) = 0 i dokaziva te ako je A ! B odabrana, f(A ! B) = 0 i dokaziva,onda je B odabrana. Time smo utvrdili da je aksiomski sustav koji koristi shemeA2 i A3 pouzdan u odnosu na zadanu semantiku. Pretpostavimo da taj sustavdokazuje A1. Zbog pozdanosti, svaki A1 aksiom mora biti "odabran". No, tonije slucaj. Uspostavljena kontradikcija pokazuje da niti jedan izvod ne može izA2 i A3 izvesti A1. Zato je A1 neovisan o njima.

3.2.3.3 Njegova potpunost

Teorem 4 Ako je A tautologija, onda se A može dokazati u Frege-Lukasiwiczaksiomatskom sustavu:

Taut(A) )`Frege−Lukasiwicz A

Dokaz 3 Dokaz potpunosti je teži i zahtijeva korištenje stroge (matematicke)indukcije, koja ce tek kasnije biti uvedena. Zbog tih razloga navodimo samoskicu dokaza. Klasicni dokaz sadrži tri osnovne etape i nekoliko pomocnih (*),kojima se pokazuje da se odredene valjane recenice, potrebne za dokaz mogudokazati u sustavu. (Radi lakšeg zapisa, oznaku dokazivosti dalje cemo pisatibez podznaka.) (1) Najprije treba dokazati teorem dedukcije:

¡ [ fAg ` B ) ¡ ` A ! B.

Dokaz teorema dedukcije provodi se tako da se pokaže da postojanje dokaza d1koji koristi ¡ [ fAg i koji dokazuje B jamci postojanje dokaza d2 koji koristi ¡i dokazuje A ! B. Drugim rijecima, ako postoji dokaz R1; :::; Rn| {z }

d1

i Rn = B,


koji koristi premise ¡[ fAg, onda postoji dokaz S1; :::; Sm| {z }d2

i Sm = A ! B koji

koristi samo premise iz skupa ¡. U induktivnom dokazu (više o induktivnomdokazu naci cete na str. 190) pokazati da teorem vrijedi (i) u osnovnom slucajukada n = 1 te pokazati da (ii) da ako tvrdnja vrijedi za dokaz s n recenica, ondace ona vrijediti i za dokaz s n + 1 recenicom. (i) Ako dokaz sadrži samo jednurecenicu R1, onda je ona ili (i.i) aksiom ili (i.ii) recenica iz ¡ ili (i.iii) recenicaA. Ako je (i.i) ili (i.ii) slucaj, onda d2 izgleda ovako:

B ! (A ! B)| {z } ;

A1

A ! B| {z }MPP :R1,A1

.

Ako je (i.iii) slucaj, onda je d2 dokaz za A ! A, a takav dokaz postoji (str. 27).Za (ii), pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za dokaz d1 sastavljen od n recenica.Trebamo pokazati da tada teorem vrijedi i za dokaz od n + 1 clanova. Ako je(ii.i) B aksiom ili (ii.ii) jedna od recenica u ¡ ili (ii.iii) recenica A, dokaz je vari-janta prethodnog. Preostaje samo slucaj (ii.iv) u kojem je B dobiven primjenom(jedinog) dopuštenog pravila dokaza. Dakle, B je dobiven iz nekih prethodnihrecenica Ri = X ! B i Rj = X , i; j < n. Po pretpostavci indukcije vrijedi¡ ` A ! (X ! B) i ¡ ` A ! X . Korištenje instance aksioma A2:

(A ! (X ! B)) ! ((A ! X) ! (A ! B))

pokazuje da uz dvije primjene modus ponens-a možemo doci do traženog ¡ À ! B. (2) U drugoj etapi ostvaruje se povezivanje semantickih i sintaktickihsvojstava. Buduci da je cilj dokaza upravo pokazati da su sve tautologije (’tau-tologija’ je semanticki pojam) dokazive (’dokazivost’ je sintakticki pojam), ovajbi se korak mogao shvatiti kao "nerv dokaza". Najprije definiramo funkciju ¸hkoja za svako dodjeljivanje h istinitosnih i recenicu S ispostavlja daljnju recenicupo sljedecem "receptu":

¸h(S) =

½S ako h(S) = >,:S ako h(S) = ?.

Neka se u recenici S javljaju jedino propozicijska slova iz skupa fP1; :::; Png.Tada vrijedi:

f¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` ¸h(S). ((*))

Dokaz ovog koraka zahtijeva korištenje indukcije koja uzima o obzir složenostrecenice S. Po dopuštenoj sintaksi, S mora ili biti propozicijsko slovo ili imatioblik negacije ili kondicionala. Pogledajmo samo treci slucaj. Ako je S kondi-cional, onda postoje recenice A i B takve da je S = A ! B: Ispitajmo slucajeve:ili h(A ! B) = > ili h(A ! B) = ?. Za razumjeti ideju dokaza dovoljno je daproucimo drugi slucaj. U drugom slucaju mora vrijediti h(A) = > i h(B) = ?.Trebamo dokazati da tada:

f¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` ¸h(A ! B),to jest, f¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` :(A ! B).


Po pretpostavci indukcije tražena tvrdnja vrijedi za recenice cija je složenostimanja od složenosti S-a. Zato,

f¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` ¸h(A),to jest, f¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` A,if¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` ¸h(B),to jest, f¸h(P1); :::; ¸h(Pn)g ` :B.

Pomocni korak koristi teorem A ! (:B ! :(A ! B)) i do traženog se lakodolazi. (3) U trecem koraku povezujemo prethodna dva. Trebamo dokazati daako je K tautologija, da je tada K teorem, ` K. To cemo uciniti eliminirajucipretpostavku po pretpostavku u smjeru s lijeva na desno. Najprije pokažimo damožemo ukloniti Pn. Definirajmo dva vrednovanja: h+ tako da za svaki i 2f1; ::; ng vrijedi h+(Pi) = >, te h− tako da za svaki i 2 f1; ::; n¡ 1g h−(Pi) => a h−(Pn) = ?. Primjenom (*) dobivamo f¸h+(P1); :::; ¸h+(Pn)g ` K. if¸h−(P1); :::; ¸h¡(Pn)g ` K. Primjena teorema dedukcije daje

f¸h+(P1); :::; ¸h+(Pn−1)g ` ¸h+(Pn) ! K,to jest, fP1; :::; Pn−1g ` Pn ! K,

i

f¸h−(P1); :::; ¸h¡(Pn−1)g ` ¸h¡(Pn) ! K,to jest, fP1; :::; Pn−1g ` :Pn ! K.

Koristeci pomocni korak po kojemu ako ¡ ` A ! B i ¡ ` :A ! B, onda¡ ` B, dobivamo fP1; :::; Pn−1g ` K. Istovrsni postupak treba primijenitiredom na preostale pretpostavke i na kraju cemo dobiti ono što smo htjeli: ` K.

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda)"Tableaux" sustave uveo je nizozemski logicar Evert Beth u 50-tim godinamadvadesetog stoljeca. Temeljito ih proucava Raymond Smullyan. Pedagoški gledano,one su lake za korištenje jednom kada se nauce pravila. Slabost proizlazi izcinjenice da ne odgovaraju stvarnom deduktivnom zakljucivanju, u cemu, inace,leži glavna prednost sustava prirodne dedukcije.

Sam sustav leži negdje izmedu semantike i sintakse. Semanticko obilježjeproizlazi iz cinjenice da se gradnjom stabla opisuju minimalne okolnosti u kojimasu sve recenice iz nekog skupa istinite. Sintakticka strana proizlazi iz cinjeniceda se na recenicama primjenjuju pravila zakljucivanja (u kojima se neki istini-tosnofunkcionalni veznik uklanja).

Tablica je stablo (koje raste odozgo prema dolje). Stablom se naziva. struk-tura koja ima pocetnu tocku i gdje svaka tocka, s iznimkom korijena, ima tocno

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 37

jednog od sebe razlicitog neposrednog prethodnika.Pravila se dijele u tri dijela: pravilo za dvostruku negaciju, pravila dodavanja

(konjunkcije) ili ®-pravila, pravila grananja (disjunkcije) ili ¯-pravila.

I. II. III.::A ® ¯j j = nA ®1 ¯1 ¯2

j®2

® pravila ®1 ®2 ¯-pravila ¯1 ¯2A ^B A B A _B A B:(A _B) :A :B :(A ^B) :A :B:(A ! B) A :B A ! B :A B

A $ B AB

:A:B

:(A $ B) A:B

:AB

Ako grana (put, staza) stabla sadrži recenicni atom (propozicijsko slovo) injegovu negaciju, nazivamo je zatvorenom. Stablo je zatvoreno ako su mu svegrane zatvorene. Ispod zatvorene grane upisuje se križic. Za slucaj propozicijskelogike, svaka recenica nad kojom je primijenjeno neko pravilo oznacava se kvaci-com. Skup recenica cije je stablo zatvoreno je nezadovoljiv skup (neispunjiv).

Ispravnost zakljucka utvrduje se gradnjom stabla za skup recenica koji sadržisve premise i negaciju konkluzije. Zakljucak cije su premise P1; :::; Pn a kon-kluzija K, ispravan je akko skup recenica fP1; :::; Pn;:Kg nije zadovoljiv. Akoje stablo zatvoreno za neki skup recenica, onda taj skup nije zadovoljiv.

Primjer 3.13 Ispravnost zakljucka [A ! C]; [B ! C]; [A _ B] ∴ C utvrduje seispitivanjem zadovoljivosti skupa fA ! C;B ! C;A _B;:Cg. Gradnja istinitosnog


stabla za taj skup pokazuje da je on nezadovoljiv, tj. da je zakljucak ispravan.

3.3 Istinitosna stabla ("tableaux" metoda) 39

Pregled pravila za istinitosno funkcionalne veznike.


3.3.0.4 Ocitavanje stabla

Recenica S zadvoljiva nezadovoljivaBroj otvorenih grana sve samo dio nijedna

valjana nevaljana

Ispravnost zakljucka možemo provjeriti ispitujuci je li zadovoljiv skup ¡ [f:Kgrecenica koji obuvaca sve premise P 2 ¡ i negaciju konluzije K. Ako¡ [ f:Kg nije zadovoljiv, zakljucak ¡ ` K jest ispravan. Ispravnost zakljuckamožemo odrediti i ispitujuci je li negacija njegovog korespondentnog kondi-cionala nezadovoljiva. Korespondentni kondicional zakljucka¡ ` K jest

^P∈Γ

P !

K. Ako :Ã^P∈Γ

P ! K

!nije zadovoljivo, zakljucak je valjan.

Zadatak 19 Na otoku, ciji su jedini stanovnici vitezovi koji uvijek govore istinu i var-alice koje uvijek lažu, susrecemo dvojicu domorodaca. Jedan medu njima kaže: "Baremje jedan od nas dvojice varalica." Odredite tko je tko gradnjom istinitosnog stabla!

Odgovor 1 Shema prevodenja: A: Govornik je vitez. B: Drugi stanovnik jevitez. Formalni zapis:

(A ! (:A _ :B)) ^ ((:A _ :B) ! A).

Rješenje: govornik je vitez a drugi stanovnik je varalica.

Zadatak 20 Na otoku, ciji su jedini stanovnici vitezovi koji uvijek govore istinu ivaralice koje uvijek lažu, susrecemo dvojicu domorodaca. Jedan medu njima, pokazujucina drugoga, kaže: "Ja sam varalica ali on nije." Odredite tko je tko gradnjom istinitsnogstabla!

Zadatak 21 Znamo da tocno jedan od dva kovcega, od kojih svaki ima neki natpis,sadrži blago. Znamo i to da je barem jedan natpis lažan. Na prvom, drvenom kovcegupiše: "Blago je ovdje", a na drugom, željeznom kovcegu piše: "Blago nije ovdje". Odred-ite gdje je blago koristeci metodu gradnje istinitosnog stabla!

3.3.1 Pouzdanost metode istinitosnog stabla

Teorem 5 Ako je stablo za recenicu :S zatvoreno, onda je S tautologija.

3.4 Prirodna dedukcija 41

Koristeci oznaku za zatvorenost stabla ’`tableaux S’, koja tvrdi da se S možedokazati metodom istinitosnog stabla (tj. da je stablo za :S je zatvoreno), tvrd-nju možemo zapisati ovako:

`tableaux S )² S

Dokaz 4 Najprije trebamo dokazati dvije pomocne tvrdnje (leme) o tome dapravila prenose istinitost: 1. ako je korijen ® pravila istinit, onda su istiniti injegovi nasljednici, 2. ako je korijen ¯ istinit, onda je istinit barem jedan njegovnasljednik. Leme je lako dokazati pozivanjem na definicije pojedinih veznika.Za dokaz potpunosti, pretpostavimo suprotno: da je stablo za :S zatvoreno a daje :S zadovoljivo. Ako je :S zadovoljivo, onda postoji vrednovanje u kojem jeono istinto. Tada po lemama mora postojati otvorena grana. Kontradikcija.

3.4 Prirodna dedukcijaDag Prawitz. Ideje i rezultati teorije dokaza. u Novija filozofija matematike.

Cini se da su najistaknutija svojstva Gentzenovih sistema prirodnededukcije (i) analiza zakljucivanja do atomarnih koraka, kojima su razd-vojene deduktivne uloge logickih konstanti, i (ii) otkrice dvovrsnostiovih atomarnih koraka, tj. otkrice uvodenja i uklanjanja, koja stoje uodredenoj simetricnoj relaciji.

Encyclopaedia Britannica ’98

Najprije, 1934. njemacki je matematicar Gerhard Gentzen razviometodu Sequenzen (pravila za konzekvente), koja je bila posebno ko-risna za izvodenje metalogickih rezultata o odlucivosti. Ovakvu jemetodu inicirao Paul Hertz 1932, a slicnu je metodu opisao StanislawJashkowski 1934. Sljedeca na redu bila je slicna metoda bez aksioma –metoda "prirodne dedukcije," koja koristi samo pravila zakljucivanja;ta je metoda potekla iz sugestije Bertranda Russella iz 1925 a razvili suje Quine i logicari iz SAD-e Frederick Fitch i George David WhartonBerry. Tehnika prirodne dedukcije široko se koristi u nastavi logike,iako time demonstracija metalogickih rezultata postaje ponešto teža[. . . ]

U sustavu prirodne dedukcije ne štedi se na pravilima transformacija: zasvaki logicki znak u jeziku kojeg promatramo postoji pravilo za uvodenje i prav-ilo za uklanjanje tog znaka. Logicki znakovi u jeziku propozicijske logike suveznici (ukljucujuci negaciju). Zakljucivanje se u sustavu prirodne dedukcijemože opisati kao proširivanje teksta koji sadrži premise s izvedenim recenica naosnovi jednostavnih koraka u kojima se neka logicka konstanta ili introducira ilieliminira.


Dokaz u sustavu prirodne dedukcije za recenicu R koji polazi od skupapremisa p: niz recenica R1; : : : ; Rn dokaz je za recenicu S na osnovi skupapretpostavki p ako i samo ako su ispunjeni sljedeci uvjeti:

(i) svaka je recenica u nizu ili pretpostavka iz p ili je privremena pretpostavkaili je dobivena putem primjene pravila izvodenja iz prethodnih recenica u nizu,

(ii) -posljednja recenica u nizu je recenica S, tj. Rn = S

(iii) posljednja recenica u nizu ne citira niti jednu privremenu pretpostavkuili recenicu koja ovisi o nekoj privremenoj pretpostavci (drugim rjecima, nijednaprivremena pretpostavka nije na snazi).

Zadatak 22 Analizirajte sljedeci citat! Alfred Tarski: "Za dokazati: Ako je x = y,onda je y = x. Dokaz: 1. Po Leibnizovom zakonu, x = y ako i samo ako x ima svakosvojstvo koje ima x i y ima svako svojstvo koje ima x. 2. Zamijenimo u Lebnizovomzakonu x s y i y s x. Dobivamo: y = x ako i samo ako y ima svako svojstvo x i x imasvako svojstvo koje ima y. 3. Po zakonu komutacije za logicko množenje, desne strane ubikondicionalima iz 1. i 2. su ekvivalentne. 4. Lijeve strane, tj. formule x = y i y = x,moraju takoder biti ekvivalentne. Zato, vrijedi da ako x = y, onda y= x." Izdvojite praviladokaza u citatu? Jesu li ona elementarna? Prikažite strukturu dokaza graficki!

3.4.1 Pregled pravila i usporedba prirodne dedukcije uLemmon i Fitch stilu

Oznaka Lemmon FitchPretpostavke navodenje rednih brojeva pretpostavke koje su na snazi

pretpostavki o kojima korak ovisi iznad i s lijeva crte dokazaBroj koraka u zagradama redni broj ispred recenicePravilo iza dobivene recenice s citiranjem recenica na kojima se primjenjujeStavljanje pretpostavke van snage izostavljanje broja pretpostavke izlaženje izvan crte poddokaza

Fitch stil dokaza.

3.4.1.1 Konjunkcija


3.4.1.2 ^ Elim

Lemmon

a1; :::; an (i) A ^B...a1; :::; an (j) A [ili B] i Êlim

Fitch

(i)P1 ^ ::: ^ Pi ^ ::: ^ Pn...(j)Pi Êlim: i

3.4.1.3 ^ Intro

Lemmon

a1; :::; an (i) A...b1; :::; bm (j) B...a1; :::; an; b1; :::; bm (k) A ^B [ili B Â] i,j Întro

Fitch

(i)P1+(j)Pn...(k)P1 ^ ::: ^ Pn Întro: i,...,j

3.4.1.4 Disjunkcija

3.4.1.5 _ Elim

Lemmon

a1; :::; as (i) A _B...j (j) A pretpostavka...b1; :::; bt (k) C


...l (l) B pretpostavka...c1; :::; cu (m) C...Pret (n)..C i, j, k, l, m _Elim

gdje Pret = fa1; :::; asg [ fb1; :::; btg ¡ fjg [ fc1; :::; cug ¡ flg

Fitch

(i) P1 _ ::: _ Pn...

(j) P1...

(k) S+(l) Pn...(m) S

...(n) S _Elim: i, j-k,..., l-m

3.4.1.6 _ Intro

Lemmon

a1; :::; an (i)..A...a1; :::; an (j)..A _B [ili B _A] i _Intro

Fitch

(i)Pi...(j)P1 _ ::: _ Pi _ ::: _ Pn _Intro: i

3.4.1.7 Kondicional

3.4.1.8 ! Elim

Lemmon

a1; :::; an (i) A ! B


...b1; :::; bm (j) A

...a1; :::; an; b1; :::; bm (k)..B i, j ! Elim

Fitch

(i)A ! B...(j)A...(k)B ! Elim: i,j

3.4.1.9 ! Intro

Lemmon

i (i) A

...a1; :::; an (j) B

...fa1; :::; ang ¡ fig (k) A ! B i, j ! Intro

Fitch

...(i) A...(j) B

(k) A ! B ! Intro: i-j

3.4.1.10 Negacija

3.4.1.11 : Elim

Lemmon

a1; :::; an (i) ::A...a1; :::; an (j) A i :Elim


3.4.1.12 : Elim

Fitch

(i)::A...(j)A :Elim: i

3.4.1.13 : Intro

Lemmon

i (i) A

...a1; :::; an (j) ? [bilo koja eksplicitna kontradikcija]...fa1; :::; ang ¡ fig (k) :A i, j :Intro

Fitch

...(i) A...(j) ?

(k) :A :Intro: i-j

3.4.1.14 Neistina (apsurd, falsum)

3.4.1.15 ? Elim

Fitch

(i)?...(j)A ?Elim: i


3.4.1.16 ? Intro

Fitch

(i)A...(j):A...(k)? ?Intro: i, j

3.4.1.17 Bikondicional

3.4.1.18 $ Elim

Lemmon

a1; :::; an (i)..A $ B

...a1; :::; an (j)..(A ! B) ^ (B ! A) i D $

Fitch

(i)A $ B [ili B $ A]...(j)A...(k)B $ Elim: i, j

3.4.1.19 $ Intro

Lemmon

a1; :::; an (i)..(A ! B) ^ (B ! A)

...a1; :::; an (j)..A $ B [ili B $ A] i D $


Fitch

(i) A...

(j) B...

(k) B...(l) A

(m) A $ B $ Intro: i-j, k-l

3.4.1.20 Reiteracija

Fitch

(i) A...

(j) A Reit: i

Zadatak 23 Usporedite na primjerima po vašem izboru dokazivanje u Lemmon-stilukoristeci interaktivnost na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/analizator/konstruktor.htmi dokazivanje u Fitch-stilu koristeci interaktivnost na adresi http://www.vusst.hr/~logika/pilot/applet/joj/joj.htm!

3.4.2 Pravila prvog i drugog redaRazmotrena pravila prirodne dedukcije za istinitosno funkcionalne veznike ne"leže na istoj razini". Jedna vrsta takvih pravila koristi recenice da bi se izvelaneka recenica, druga koristi dokaze da bi se dokazala neka recenica. Te dvijevrste pravila, po sugestiji Davida Makinsona, mogli bismo nazvati: (i) izravnapravila ili pravila prvog reda, koja recenice ili recenica na recenicu, i (ii) neizravnapravila ili pravila drugog reda, koja dopuštaju prijelaz sa zakljucka na zakljucak.

Primjer 3.14 Pravila drugog reda u Makinsonovom zapisu. A je skup recenica, ¯,¯1, ¯2, ° su recenice.

[Kondicionalan dokaz] A[f¯g`°A`¯!°

[Disjunktivan dokaz]

A [ f¯1g ` °A [ f¯2g ` °A[f¯1_¯2g`°

[Reductio ad absurdum] A[f:°g`?A`°

3.4.3 Pitanja za razmišljanja

Zadatak 24 Kojem biste sustavu dokaza dali prednost za svrhu pocetnog ucenja logike?


Zadatak 25 Kako biste objasnili povijesni redoslijed javljanja sustava dokaza (ak-siomatski; prirodna dedukcija; istinitosno stablo)?

Zadatak 26 Kako se odnose jezicna i logicka sposobnost, razumijevanje znacenjarecenica i razumijevanje odnosa znacenja medu recenicama? Koji od razmotrenih sus-tava bolje objašnjava vezu izmedu dviju sposobnosti?

Zadatak 27 Usporedite dva nacina ispitivanja zadovoljivosti: putem istinitosnih tablicai putem istinitosnog stabla! Koji je medu njima kompleksniji, tj. koji ukljucuje više korakai zahtjeva veci "prostor" u memoriji?

Zadatak 28 Kako biste odredili znacenje izraza ’elegantni dokaz’?

Poglavlje 4Pouzdanost sustava prirodnededukcije za propozicijsku

logiku

Zadatak 29 Ekskluzivna disjunkcija. Prikaži P Y Q u konjunktivnoj i disjunktivnojnormalnoj formi.

Zadatak 30 Je li sljedece pravilo dokazivanja prihvatljivo:

¡; P YQ ` S ¡; P YQ ` T

¡; P YQ ` S Y T?

Zadatak 31 Iskažite pravila uvodenja (YIntro) i iskljucivanja (YElim) za ovaj veznik!

Odgovor 2 Jedno od mogucih rješenja:

Y Intro¡; P ` :Q ¡;:P ` Q

¡ ` P YQ [ili Q Y P ]

Y Elim

P YQ [ili Q Y P ];:P ` Q

4.1 Tautološka posljedica

Q je tautološka posljedica od P1; :::; Pn ako i samo ako je Q istinito usvakom vrednovanju u kojemu je svaka recenica P1; :::; Pn istinita.

Primjer 4.1 DesnoOd(b; a) je analiticka posljedica recenice LijevoOd(a; b) jer sute dvije relacije inverzne. Ipak prvospomenuta recenica nije tautološka posljedica druge

50

4.2 Pouzdanost 51

jer metoda istinitosnih tablica zanemaruje znacenje predikata koji se javljaju u atom-arnim recenicama.

Korespondentni kondicional nije tautologija.

Druga recenica je analiticka posljedica prve, ali nije njezina tautološkaposljedica..

4.2 PouzdanostPouzdanost (soundness) zakljucka i pouzdanost formalnog logickog sustava surazliciti pojmovi. Prvo je svojstvo valjanog zakljucka cije su sve premise istinite.Drugo je svojstvo logickog sustava, a posebnom slucaju propozicijske logikerijec je o svojstvu da se u sustavu samo tautološke posljedice premisa mogudokazati.

Primjer 4.2 Pronadite korespondentni kondicional za metodu dokazivanja iz Prim-jera 29! i umjesto ekskluzivne disjunkcije poslužite se s bikondicionalom. Pronadite

52 Poglavlje 4 Pouzdanost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku

protuprimjer!

Protuprimjer za dokaz iz Primjera 29. Još jedan dobivamo s vrednovanjem 0; 1; 1; 1 zaP ;Q;S;T .

Kako možemo biti sigurni da pravila za uvodenje i iskljucivanje veznika necena kraju nekog dugog dokaza uspostaviti konkluziju koja zapravo nije tautološkaposljedica premisa? Kako možemo znati možemo li se pouzdati u dani formalno-logicki sustav? Da bismo postigli takvu sigurnost moramo dokazati pouzdanost(soundness) sustava.

4.3 Dokaz pouzdanostiUvedimo sljedece oznake:

FT , za dio razmatranog deduktivnog sustava koji sadrži pravila uvodenja iiskljucivanja za logicke simbole :, ^, _, !, $, ?.`T , za odnos dokazivosti u sustavu FT

Recenicu zapisanu u infiksnom obliku ’P1; :::; Pn `T Q’ citamo ’zaQ postojiformalni dokaz iz premisa P1; :::; Pn u sustavu FT ’ ili ’Q se može dokazati usustavu FT pomocu premisa P1; :::; Pn’.

Teorem 6 (Pouzdanost sustava FT ) Ako P1; :::; Pn `T S, onda je S tautološkaposljedica recenica P1; :::; Pn.

Dokaz 5 Pretpostavimo da je d neki dokaz sacinjen u sustavu FT . Pokazatcemo da je bilo koja recenica koja se javlja u bilo kojem koraku dokaza d tau-tološka posljedica pretpostavki koje su na snazi u tom koraku. Ova se tvrdnja

4.3 Dokaz pouzdanosti 53

ne odnosi samo na recenice koje su premise dokaza vec i na recenice koje sejavljaju u poddokazu, ma koliko duboko one bile "ukopane". Pretpostavke kojesu na snazi uvijek ukljucuju glavne premise dokaza, ali ako promatramo ko-rak u nekom poddokazu, onda pretpostavke na snazi na tom koraku ukljucujusve pretpostavke tog poddokaza. Tvrdnja da je bilo koja recenica u dokazud tautološka posljedica pretpostavki na snazi u tom koraku povlaci teorem opouzdanosti. Naime, ako se S javlja na glavnoj razini u d, onda su P1; :::; Pnjedine pretpostavke na snazi u tom koraku pa je S njihova tautološka posljedica.

U dokazu tvrdnje koristit cemo dokaz kontradikcijom (reductio ad absur-dum). Pretpostavimo da postoji korak u dokazu d koji nije tautološka posljedicapretpostavki koje su na snazi u tom koraku. nazovimo taj korak nevaljanimkorakom. Nerv dokaza je u tome da se pokaže da niti jedno od 12 pravila nijemoglo opravdati taj nevaljani korak. Drugim rijecima, primijeniti cemo dokazispitivanja slucajeva i pokazati da koje god pravilo iz FT primijenimo na tom ko-raku uvijek dobivamo kontradikciju. Ta nam cinjenica omogucuje da zakljucimou dokazima u FT ne može biti nevaljanih koraka.

! Elim : Pretpostavimo da je prvi nevaljani korak derivira recenicu Rputem primjene pravila iskljucivanja kondicionala nad recenicama Q ! R iQ koje se javljaju ranije u dokazu d. Neka je A1; :::; An popis pretpostavki kojesu na snazi pri derivaciji recenice R. Ako je ovaj korak nevaljan, onda R nijetautološka posljedica recenica A1; :::; An. No pretpostavka o nevaljanosti togkoraka vodi nas u kontradikciju.

Buduci da je R prvi nevaljan korak u dokazu d, znamo da su i Q ! R iQ valjani koraci, tj. tautološke posljedice pretpostavki koje su na snazi u timkoracima. Važno je uociti da zahvaljujuci cinjenici da nam FT dozvoljava samocitirati glavne premise i pretpostavke iz poddokaza koje su još na snazi znamoda su recenice koje su na snazi u Q ! R i u Q takoder na snazi u R. Zatose pretpostavke za te korake nalaze medu recenicama A1; :::; An. Slika može


pomoci:

Restrikcije citiranja ranijih koraka garantiraju da ce pretpostavke koje su nasnazi u ranijim koracima i dalje biti na snazi u koraku koji sadrži R. U gornjemprimjeru, pretpostavka A1 je na snazi u koraku Q ! R, pretpostavke A1 i A2 ukoraku Q, a A1; A2; A3 u koraku R:

Pretpostavimo dalje da konstruiramo istinitosnu tablicu za recenice

A1; :::; An; Q ! R;Q;R:

Pretpostavka da je R nevaljan korak povlaci da mora postojati vrednovanje h, tj.redak u tablici u kojemu su A1; :::; An istinite a R neistinita. Medutim, Q ! R iQ su tautološke posljedice recenica A1; :::; An i stoga istinite u retku h. No tadapo definiciji za ! dolazimo do nemoguce situacije.

! Intro: Pretpostavimo da prvi nevaljani korak derivira recenicu Q ! Rputem primjene uvodenja kondicionala na neki prethodni poddokaz kojemu je upretpostavci Q a u konkluziji R:


Neka su na snazi u koraku Q ! R pretpostavke A1; :::; An. Tada su ukoraku R na snazi pretpostavka Q i pretpostavke A1; :::; An. Buduci da korakR prethodi prvom nevaljanom koraku, R je tautološka posljedica pretpostavki Qte A1; :::; An:

Konstrukcija istinitosne tablice zaA1; :::; An; Q;R iQ ! R mora nas dovestido retka h u kojemu su sve A1; :::; An istinite a Q ! R neistinita po pret-postavljenom nevaljanom koraku. Da bi Q ! R bila neistinita, (*) Q mora bitiistina i R neistina Buduci da je R tautološka posljedica pretpostavke Q zajednos A1; :::; An, to bi bilo moguce samo ako je u tom vrednovovanju Q neistinito.Ali to protuslovi prethodnom (*).

?Elim : Pretpostavimo da prvi nevaljani korak u dokazu d derivira Q iz ?.Kako je to prvi nevaljani korak, ? mora biti tautološka posljedica A1; :::; An.Pretpostavke na snazi u koraku Q su na snazi i kod ?. Buduci je ? tautološkaposljedica, jedini nacin da bi to moglo biti je ako A1; :::; An nisu TT -zadovoljive(zadovoljive na istinosnoj tablici). Drugim rijecima, nema vrednovanja u kojemusu sve recenice A1; :::; An istinite. No tada je Q na isprazan nacin njihova tau-tološka posljedica (ex falso quodlibet).

?Intro : Pretpostavimo da prvi nevaljani korak u dokazu d derivira ? izQ i :Q, koje moraju biti tautološke posljedice od A1; :::; An. To je mogucejedino ako pretpostavke A1; :::; An nisu it-zadovoljive (zadovoljive na istinosnojtablici, zadovoljive pod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti). No tada je ? naisprazan nacin njihova tautološka posljedica (ex falso falsum).

Zadatak 32 Dokaži da _Elim i :Intro ne mogu generirati nevaljan korak!

Odgovor 3 Pretpostavljamo da je prvi nevaljan korak_Elim koji generira recenicuR iz koraka P _Q i dva poddokaza, gdje se R izvodi iz premisa koje su na snazi


uz dodatak u prvom slucaju recenice P , a u drugom recenice Q. Moguca sudva slucaja obzirom na položaj recenice P _ Q: (i) ona može biti premisa iliprivremena pretpostavka i (ii) ona može biti izvedena recenica. Ispitajmo je limoguce da prvi nevaljani korak derivira recenicu R u oba slucaja! Prvi slucaj:

nemoguce vrednovanjeA1; :::; An R P Q P _Q>; :::;> ? ? ? >

prvi nevaljani korak jer je R tautološka posljedice od jer je P _QfA1; :::; Ang [ fPg, jedna od recenicaodnosno od A1; :::; An

fA1; :::; Ang [ fQg

Drugi slucaj:

nemoguce vrednovanjeA1; :::; An R P Q P _Q>; :::;> ? ? ? >

prvi nevaljani korak jer je R tautološka posljedice od jer je P _QfA1; :::; Ang [ fPg, tautološka posljedicaodnosno od nekog podskupa odfA1; :::; Ang [ fQg fA1; :::; Ang

Teorem pouzdanosti daje nam potpunu sigurnost da nikada necemo mocidokazati konkluziju koja ne slijedi iz premisa, npr. nikada necemo moci izpremise:(MalenPas(fido)^Sretan(fido)) izvesti konkluziju:Sretan(fido).

Korolarij je rezultat kojeg lagano možemo dobiti iz nekog prethodnog teo-rema. Sada cemo primijeniti teorem pouzdanosti na slucaj na dokaz bez premisa.

Dokaz bez premisa.


Dokaz bez premisa pokazuje da je konkluzija logicka istina.

Dokaz korespondentnog kondicionala za modus tollendo tollens ne ovisini o kojim premisama jer je to logicka istina.

Korolarij 7 Ako `T S (tj. ako postoji dokaz bez premisa za S), onda je Stautologija.

Dokaz 6 Po teoremu pouzdanosti izvedene konkluzije su tautološke posljedicepremisa. Iskažimo teorem drukcije: za svako istinitosno vrednovanje vrijedida ako su (*) pod njime istinite sve premise, onda je (**) pod njime istinitai konkluzija. Buduci da u ovom slucaju premisa nema, na isprazan je nacinzadovoljen uvjet (*): to jest, u svakom su vrednovanju istinite sve premise jer ihnema. Zato mora vrijediti da je konkluzija istinita u svakom vrednovanju: onaje, dakle, tautologija.


Logičke istine a = a ∧ b = b

Tautologije: ???

Dokazivo u FT

Sretan(a) ∨ ¬Sretan(a)

Zahvaljujuci teoremu pouzdanosti znamo da su samo tautologije dokazive,ali ne znamo jesu li sve tautologije dokazive.

4.4 PotpunostNeki formalni logicki sustav treba imati željena svojstva deduktivnog sustava:potpunost i pouzdanost.

Uvjeti koje treba ispuniti ne logicki aksiomski sustav sa skupomaksioma T :

Konzistentnost: nema recenice P takve da T ` P i T ` :P .Potpunost: za svaku recenicu P vrijedi da T ` P ili T ` :P .Neovisnost: za svaki aksiom A vrijedi da ako A 2 T , onda

(T ¡ fAg 0 A.

Ocigledno je da je konzistentnost preslab zahtjev za logicki sustav, zato smodokazivali jace svojstvo - svojstvo pouzdanosti. U semantickom smislu konzis-

4.5 Filozofija logike 59

tentnost zahtjeva mogucnost da teorija bude istinita, dok potpunost zahtjeva nužnuistinitost teorema formalnog sustava.

Termin ’potpunost’ (’completness’) ima cisto sintakticko znacenje kada gov-orimo o potpunosti ne-logickog aksiomatskog sustava S, on iz para kontradik-tornih recenica mora moci dokazati barem jednu. Kod logickog sustava L ’pot-punost’ je pojam koji povezuje semanticku i sintakticku dimenziju. U slucajurazmatranog sustava FT semanticko svojstvo o kojem je rijec je svojstvo ’bititautološka posljedica’.

U traženju dokaza može se pojaviti sumnja u mogucnost sustavaFT da dokažesvaku tautološku posljedicu. Možemo li biti sigurni da ce nam uz zadane premiseP1; :::; Pn i njihovu tautološku posljedicuS sustav omoguciti konstrukciju dokazaza S iz P1; :::; Pn? Teorem potpunosti daje nam potvrdan odgovor na to pitanje.

Teorem 8 (Potpunost zaFT ) Ako je recenica S tautološka posljedica odP1; :::; Pn,onda P1; :::; Pn `T S.

Dokaz ovog teorema zahtijeva dodatna sredstva, pa cemo ga odgoditi zakasnije.

Dva teorema daju nam sigurnost da se jedino tautologije i tautološki valjanizakljucci mogu dokazati i sigurnost da se sve tautologije i tautološki valjani za-kljucci mogu dokazati. Zahvaljujuci tome možemo biti sigurni da neki tautološkivaljan zakljucak ima dokaz i da se za neki tautološki nevaljan zakljucak ne možepronaci dokaz.

4.5 Filozofija logikeKada vrednujemo formalni logicki sustava logike, pitamo se da li njegovi ak-siomi ili njegova pravila na ispravan nacin opisuju strukturu racionalnog mišl-jenja i kooperativnog komuniciranja. Logika ne može dati odgovor na pitanjeracionalnosti ili kooperativnosti, ali ih ne može ni izbjeci: logicari moraju oprav-dati nacela koja proglašavaju.

Možemo li se složiti s Gentzenovom tvrdnjom: "[p]ravila uvodenja pred-stavljaju svojevrsne "definicije" simbola koji se uvode, a pravila uklanjanja samosu posljedice tih definicija".

4.5.1 Arthur Prior: problem proizvoljnih pravilaMožemo li uvesti neki veznik ± na sljedeci nacin:

±Intro

A...

B A±B

i ±Elim

A±B...

B B

?

Takva "definicija" dovela bi do kolapsa sustava jer bi svaka recenica postala


ekvivalentna s bilo kojom drugom.Je li nužno osloniti se na semantiku da bi se izbjegli ovakvi paradoksi?Cini se da nije. Evo jednog sintaktickog pojma koji ce onemoguciti Priorov

paradoks. Nuel Belnap je ponudio jedno rješenje: "zahtjev konzistentnosti zadefinicije novih konektiva možemo iskazati na sljedeci nacin: ekstenzija morabiti konzervativna".

4.5.1.1 Konzervativnost

Neka je zadana logikaL s jezikom J . Dodavanje veznika ± u jezik J daje njegovuekstenziju J∗, a s pravilima za ± dobivamo logiku L∗.

Ekstendirani sustav L∗ je konzervativan ako za bilo koje P1; :::; Pn; S 2 Jvrijedi da ako P1; :::; Pn `L¤ S, onda P1; :::; Pn `L S:

4.5.2 Intuicionisticka logikaIntuicionisticka logika proizlazi iz L. E. J. Brouwer-ovog pristupa matematici:matematika je intuitivna konstrukcija objekata i dokaza. Konstruktivni dokaztreba dati obavijest o objektima.

Primjer 4.3 (Ne-konstruktivan dokaz) Treba dokazati da postoje dva iracionalnabroja x i y takva xy jest racionalan. Ispitajmo pojedinacan slucaj (trebamo znati da jep2 iracionalan i da (

p2p2)p2 =

p2(p2¢p2)

=p22= 2). Dokaz zapocinjemo s

pravilom iskljucenja trecega, A _ :A. Dobivamo ili (i)p2p2jest racionalan broj ili (ii)

p2p2nije racionalan broj. Primijenimo pravilo iskljucivanja disjunkcije i ispitujemo

slucajeve. Ako (i), onda je teorem dokazan i traženi x = y =p2. Ako (ii), onda

(p2p2)p2 =

p2(p2¢p2)

=p22= 2 i traženi x =

p2p2 a y =

p2. Ovaj dokaz ne

govori što je slucaj: (i) ili (ii) i koji objekti zadovoljavaju traženi uvjet. Zbog toga se uintuicionistickoj logici zakon iskljucenja treceg odbacuje u svom opcenitom obliku.

Poglavlje 5Uvod u kvantifikaciju

5.1 Kvantifikacija u prirodnom jezikuU prirodnom jeziku susrecemo izraze poput ’neki’, ’vecina’, ’barem jedan’, ’skorosvi’, ’tri’, ’samo jedan’.... Njima oznacavamo koliko predmeta zadovoljava odredeniuvjet. Takvi se izrazi nazivaju determinatorima. Kada determintor povežemo sopcom imenicom dobivamo imenicku frazu. Na primjer, ’neka kocka’, ’samojedan dodekaedar’,... Na ovaj nacin determiniranu imenicku frazu nazivamo ulogici kvantificiranim izrazom.

Primjer 5.1 U recenici ’Svatko voli nekoga’ zamjenice ’svatko’ i ’netko’ možemoshvatiti kao: ’svaka osoba’ i ’neka osoba’.

Logicka svojstva kvantificiranih recenica u velikoj mjeri ovise o primijen-jenom kvantifikatoru.

Primjer 5.2 ’Svi americki filmovi imaju sretan završetak. "Love story" je americkifilm. Dakle, on ima sretan kraj’ - valjano i nepouzdano. ’Vecina americkih filmova imasretan završetak. "Love story" je americki film. Dakle, on ima sretan kraj’ - nevaljano, aliprihvatljivo pod uvjetom da je opcenita premisa tocna i u nedostatku daljnjih obavijesti.’Nijedan americki film nema sretan završetak. "Love story" je americki film. Dakle, onima sretan kraj’ - nevaljano.

5.1.1 Složene i jednostavne receniceJesu li kvantificirane recenice (recenice u kojima se javlja kvantifikacijski izraz)složene ili jednostavne recenice? U nekim slucajevima cini se ociglednim da susložene.

Primjer 5.3 ’Svaka ptica svome jatu leti’ - bi se moglo razumjeti kao otvorena kon-junkcija recenica Ptica(x) ! LetiPrema(x; jato_od(x)) gdje na mjesto koje zauzimax treba uvrštavati redom individualne konstante koje zastupaju predmete na koje se tvrd-nja primijenjuje. Kada takvih predmeta ima nepregledno mnogo ili ako nema nacina dase imenuje svaki predmet, ovakvo razlaganje nece biti izvedivo.

5.1.2 Skrivena kvantifikacijaVremenski prilozi mogu unijeti skrivenu kvantifikaciju iako u tom slucaju nemadeterminatora koji se vezuje uz opcu imenicu.

61

62 Poglavlje 5 Uvod u kvantifikaciju

Primjer 5.4 U recenici ’Thai uvijek jede sa štapicima’ prilog ’uvijek’ je implicitnikvantifikator koji znaci ’u svakom trenutku’.

Kada se tvrdi da je neka recenica K logicka posljedica recenice P, tada nijedovoljno samo motriti koje su aktualne istinosne vrijednosti tih recenica. Tvrdnja’P implicira K’ govori više nego ’ili nije slucaj da P ili je slucaj da K’. S ’Pimplicira K’ tvrdimo da svaka logicki moguca situacija koja cini P istinitom cinii K istintom.

Implikacija vrijedi samo kad je kondicional valjan. [...] kakobismo u potpunosti uvažili razliku izmedu ’!’, odnosno ’ako-onda’i implikacije, nužno je osvijestiti razliku izmedu korištenja i spomin-janja. [...] Možemo napisati: ’dreary’ se rimuje s ’weary’, ali ovdjespominjemo imena rimujucih rijeci o kojima govorimo. [...] kadakažemo da neka tvrdnja ili shema implicira drugu, ne smijemo pisati’implicira’ izmedu tvrdnji ili shema, vec izmedu njihovih imena. Tadami spominjemo tvrdnje ili sheme, govorimo o njima [...]

Quine, W.V.O. (1974) Methods of Logic, str. 43.[...] "striktna implikacija". [...] uocimo da za tvrdnje s ")"

u ulozi glavnog konektiva, istinitost postaje ista stvar kao i valjanost(istinitost u svim slucajevima ako imamo istinitost u jednom slucaju)[...]

Jeffrey, R. (1989) Formal Logic: its Scope and Limits, str. 64.

Materijalna implikacija Striktna implikacija Materijalna implikacija Striktna implikacijap q p! q ’p’ implicira ’q’ p! (p_ q) ’p’ implicira ’p_q’> > > ? > >> ? ? ? > >? > > ? > >? ? > ? > >

5.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljene formule 63

Hume, David (1711-1776), škotski povjesnicar i filozof. Hjumovskim po-jmom uzrocnosti nazivamo shvacanje uzrocne veze kao redovitog slijedavrsta dogadaja.

Ponekad kondicional koristimo u uzrocnom smislu. Na primjer, (*) ’Akouzmeš antibiotik, ozdravit ceš za dva dana’ možemo shvatiti u uzrocnom smislu.Pod takvim tumacenjem, recenica (*) nece biti istinita za par istinitosnih vri-jednosti h>;>i ako izlijecenje nije nastupilo zbog antibiotika. Uzrocni kondi-cional povlaci protucinjenicne: što bi bilo da (ni)je bilo i što bi bilo kad bi bilo.Recenica (*) povlaci ’Da nisi uzeo antibiotik, ne bi bio ozdravio za dva dana’.Uzrocni kondicional ’ako a, onda b’ sadrži skrivenu kvantifikaciju ’svaki (vecina)dogadaj one vrste kojoj pripada dogadaj a, praceni su dogadajem one vrste kojojpripada b’.

U prirodnim jezicima susrecemo mnoge oblike kvantifikacije. Nasuprot tome,u logici prvog reda koristimo samo dva: ’8’ i ’9’, koji znace ’sve’ i ’nešto’. Ko-risteci ih zajedno s istinitosno-funkcionalnim veznicima i predikatom identiteta,s ova dva kvantifikatora možemo saciniti brojne kolicinske izraze, poput ’najvišejedan’, ’tocno tri’, ’barem n’, itd.

Ekspresivna snaga logike prvog reda je ogranicena u odnosu na kvantifikaciju.Mnogi uobicajni kolicinski izrazi obicnog jezika ostaju izvan ekspresivnog dosegaove logike.

Primjer 5.5 Kvantifikatori ’vecina’, ’manji dio’, ’beskonacno mnogo’ ne mogu seiskazati u logici prvog reda.

Zadatak 33 Koristeci pojmovnu razliku izmedu materijalne implikacije (kondicionala),uzrocnog kondicionala i striktne implikacije pokušajte objasniti paradoksalnu valjanostsljedecih zakljucaka: (i) ’Slomit cu nogu danas. Znam da je tako jer znam da nije istinada ako slomim nogu danas, da cu sutra skijati’, (ii) ’Necu umrijeti prije podneva. Znamda je tako jer znam da nije istina da cu umrijeti prije podneva ako ne popijem još jednušalicu kave’. Dokažite valjanost zakljucaka (i) i (ii) ako se ’ako-onda’ shvati istinitosno-funkcionalno!

5.2 Varijable i atomarne ispravno sastavljeneformule

Za primjenu kvantifikatora u logici prvog reda trebaju nam dodatni simboli:termi koje nazivamo varijable.


Varijable su vrsta terma.

5.2.1 Varijable i individualne konstante: slicnosti i razlikeSlicnost varijabli i individualnih konstanti je sintakticka: one se javljaju na mjestuargumenata za predikate i funkcijske simbole.

Primjer 5.6 Infiksni zapis funkcije: ’2 + 2’ i ’x + y’. Prefiksni zapis predikata:’Cijeni(albert; goriot)’ i ’Cijeni(x; y)’. Predikat ciji su argumenti složeni termi:’Cijeni(albert; otac(albert))’ i ’Cijeni(x; otac(x))’.

Razlika je semanticka: varijable ne referiraju na predmete. Varijable "zauz-imaju mjesto" argumenata na nacin koji omogucuje da se izraze razliciti odnosiizmedu kvantifikatora i položaja argumenata u razlicitim predikatima i funkci-jama.

4. 1272 [...] Kad god se rijec ’predmet’ (’stvar’, ’entitet’,...) ko-risti na ispravan nacin, ona se u pojmovnom pismu izražava varijablom.

Wittgenstein, L. Tractatus Logico-Philosophicus

5.2.2 Ispravno sastavljene formule (isf-e, well-formedformulas, wffs)Izraze koji imaju oblik atomarnih recenica u kojima se na mjestu neke indi-vidualne konstante nalazi varijabla nazivamo atomarnim ispravno sastavljenimformulama (isf-ama).

Definicija 1 P (t1; :::; tn) jest atomarna ispravno sastavljena formula akko t1; :::; tn

5.3 Simboli za kvantifikatore 65

jesu termi i P jest n-mjesni predikat.

Primjedba 1 Ako je P atomarna recenica, onda je P atomarna ispravno sas-tavljena formula.

Primjer 5.7 Atomarne isf-e: Cijeni(x; otac(x)),Cijeni(x; otac(albert)),Cijeni(albert; otac(albert)).

Atomarne isf s varijablama nisu recenice. Prije bismo ih mogli shvatiti kaoopis nekog uvjeta. Tek dodavanjem kvantifikatora eventualno dobivamo tvrdnjuo tome da neki predmeti zadovoljavaju taj uvjet.

Primjer 5.8 Isf-uCijeni(x; otac(x))možemo shavtiti kao uvjet ’onaj koji cijeni svogoca’. Dodavanjem kvantifikatora, na primjer sa ’svatko’ dobivamo recenicu: ’Svatko jeonaj koji cijeni svoga oca’ odnosno ’Svatko cijeni svoga oca’. Recenicu dobivamo izamjenom varijable s indvidualnom konstantom. Na primjer, ’Ivica (je onaj koji) cijenisvog oca’ ili ’Cijeni(ivica; otac(ivica))’.

Dodavanje kvantifikatora može vezati varijablu u ispravno sastavljenoj for-muli.

Podsjetnik1. U jeziku logike prvog reda možemo koristiti beskonacan broj

varijabli. Za oznacavanje varijabli obicno se koriste slova t; u; v; w; x; y; z,bilo s brojcanim podznakom ili bez njega.

2. U ispravno sastavljenoj formuli varijable se javljaju na mjestukoje obicno zauzima ime.

5.3 Simboli za kvantifikatore

5.3.1 Univerzalni kvantifikator 8Ulogu univerzalnog kvantifikatora u prirodnom jeziku obavljaju izrazi poput’sve’, ’svatko’, ’bilo tko’,...

8x možemo citati na razlicite nacine: "za svaki predmet x (vri-jedi da)", "svaka je stvar (takva da)", "svaki predmet (zadovoljava uvjetda)", "sve je (takvo da)",...

Primjer 5.9 ’8xCijeni(x; x)’ znaci da svaka stvar x ispunjava uvjet da x cijenix. Rijetko kada izricemo takve tvrdnje o bilo cemu, ma što ono bilo. Gornju tvrdnjuizricemo misleci na osobe. Ako kontekstom nije zadana domena iz koje "dolaze svestvari", potrebno je ograniciti predmete za koje se tvrdi da ispunjavaju uvjet ’x cijeni


x’ na skup osoba. To cinimo ovako: ’Za svaki predmet x za kojeg vrijedi da je x osoba,vrijedi da x cijeni x’. Prema tome recenicu ’Svatko cijeni samoga sebe’ u formalnomjeziku zapisujemo ’8x(Osoba(x) ! Cijeni(x; x))’.

5.3.2 Egzistencijalni kvantifikator 9Egzistencijalni kvantifikator koristimo za tvorbu onih izraza koje u prirodnomjeziku tvorimo pomocu rijeci ’neki’, ’barem jedan’, ...

’9x’ možemo citati: "za barem jedan predmet x (vrijedi da)","barem jedna stvar (jest takva da)", "za neki predmet (vrijedi da)", ...

Primjer 5.10 ’9xCijeni(x; x)’ znaci da neka stvar x ispunjava uvjet da x cijeni x.

Primjedba 2 Univerzalni i egzistencijalni kvantifikatori ne mogu iskazati ogranicenjedomene na osobe koje se u prirodnom jeziku ostvaruje korištenjem zamjenica’svatko’ i ’netko’.

Primjer 5.11 Recenicu ’Netko cijeni samoga sebe’ možemo prevesti na jezik logikeprvoga reda vodeci racuna o ogranicenju domene kao ’9x(Osoba(x) ^ Cijeni(x; x))’umjesto kao ’9xCijeni(x; x)’.

Primjer 5.12

Svatko cijeni svakoga. 8x8y[(Osoba(x) Ôsoba(y)) ! Cijeni(x; y)]Svatko cijeni nekoga. 8x[Osoba(x) ! 9y(Osoba(y) ^ Cijeni(x; y)]Netko cijeni nekoga. 9x9y[Osoba(x) Ôsoba(y) ^ Cijeni(x; y)]Netko cijeni svakoga 9x[Osoba(x) ^ 8y(Osoba(y) ! Cijeni(x; y))]Nekoga svatko cijeni. 9x[Osoba(x) ^ 8y(Osoba(y) ! Cijeni(y; x))]

5.4 Isf-e i receniceU atomarnoj ispravno sastavljenoj formuli pojava bilo koje varijable je uvijekslobodna. Polazeci od atomarnih isf-a možemo izgraditi složenije isf-e. Sazadnja dva uvjeta (6. i 7.) pokazujemo kako se pojava varijable može vezati.

1. Ako je P isf, onda je i :P isf.2. Ako su P1; :::; Pn isf-e, onda je (P1 ^ ::: ^ Pn) isf-a3. Ako su P1; :::; Pn isf-e, onda je (P1 _ ::: _ Pn) isf-a4. Ako su P i Q isf-e, onda je (P ! Q) isf-a.5. Ako su P i Q isf-e, onda je (P $ Q) isf-a.

5.5 Semantika kvantifikatora 67

6. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je 8vP isf i svaka pojava varijablev u 8vP je vezana.

7. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je 9vP isf i svaka pojava varijablev u 9vP je vezana.

Vanjske zagrade možemo izostaviti kada one obuhvacaju cijelu isf-u.

Primjer 5.13 (i) Zapocnimo s atomarnim isf-ama Kocka(x) i Malen(x). Prim-jenom pravila 2. dobivamo isf-u (Kocka(x)^Malen(x)). (ii) Polazeci od isf-eLijevoOd(x; y)primjenom pravila 7. dobivamo 9yLijevoOd(x; y), gdje je pojava varijable x slo-bodna a pojava varijable y vezana. (iii) Primjenom pravila 4. na (i) i (ii) dobivamo((Kocka(x)^Malen(x)) ! 9yLijevoOd(x; y)). (iv) Primjenom pravila 6. dobivamo8x((Kocka(x)^Malen(x)) ! 9yLijevoOd(x; y)), dobivamo složenu recenicu u kojojsu pojave svih varijabli vezane. Recenica tvrdi da je svaka mala kocka s lijeve stranenekog predmeta.

Podsjetnik1. Složene isf-e gradimo polazeci od atomarnih isf-a primijenju-

juci pravila 1-7.2. Isf-a bez slobodnih varijabli je recenica.3. Neki autori isf-u u kojoj je neka varijabla slobodna nazivaju

otvorenom recenicom.

5.5 Semantika kvantifikatoraKada opisujemo znacenja razlicitih konektiva, opisujemo kako znacenje složenerecenice u kojoj se on javlja ovisi o znacenju sastavnih recenica. Znacenje kvan-tificiranih izraza ne možemo odrediti na slican nacin.

5.5.1 Zadovoljavanje

Primjer 5.14 Znacenje za :P , odredujemo pomocu znacenja za P : ’:P ’ je istinitoako je ’P ’ neistinito, u protivnom, ’:P ’ je neistinito. Znacenje za ’9xKocka(x)’ nemožemo odrediti pomocu znacenja ’Kocka(x)’ jer taj izraz nije recenica.

Za odrediti pod kojim je uvjetima kvantificirana recenica istinita treba namdodatni pojam - pojam zadovoljavanja (satisfaction).

Definicija 2 Predmet o zadovoljava atomarnu isf-u U(x) ako i samo ako o jestU .


Primjer 5.15 Za predmet a kažemo da zadovoljava uvjet Kocka(x) jer je a kocka.Za predmet c kažemo da zadovoljava uvjetKocka(x)^:V elik(x) jer c jest kocka kojanije velika.

Pojam zadovoljavanja može se definirati na razlicite nacine. Ovdje cemoopisati onaj koji je ugraden u program Tarski’s World.

Neka je S(x) isf-a u kojoj je x jedina slobodna varijabla. Želimo znati zado-voljava li odredeni objekt S(x). Ako taj objekt ima ime, recimo b, pravimo novurecenicu S(b) tako što zamjenjujemo svaku slobodnu pojavu x-a s individualnomkonstantom b. Ako je nova recenica S(b) istinita, onda taj objekt zadovoljavaformulu S(x); ako nova recenica nije istinita, onda taj objekt ne zadovoljavaformulu.

5.5.2 Zadovoljavanje i imenaOvakav postupak funkcionira dobro sve dok predmeti imaju imena. No, logikaprvog reda ne zahtijeva da svi predmeti imaju imena. Kako definirati zadovolja-vanje za "bezimene" predmete?

Za tu svrhu Tarski’s World ima dodatni popis individualnih konstanti n1; :::; nn.Želimo li znati zadovoljava li neki bezimeni predmet formulu S(x), uzimamoprvo slobodno ime s popisa, na primjer n6 i njime privremeno imenujemo tajpredmet. Potom provjeravamo je li recenica S(n6) istinita.

Uz pomoc pojma zadovoljavanja možemo definirati uvjete istinitosti za recenicu9xS(x). Ona ce biti istinita ako i samo ako postoji predmet koji zadovoljava isf-uS(x). Slicnim nacinom definiramo uvjete istinitosti za 8xS(x).

Definicija 3 Recenica 8xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet zado-voljava ispravno sastavljenu formulu S(x).

Definicija 4 Recenica 9xS(x) je istinita ako i samo ako barem jedan predmetzadovoljava ispravno sastavljenu formulu S(x).

5.5 Semantika kvantifikatora 69

U gornjim definicijama prešutno pretpostavljamo da nam je zadana jasnoodredena kolekcija predmeta o kojima je rijec.

Primjedba 3 U vrednovanju recenice 8xKocka(x) Tarski0s World uzima uobzir samo predmete koji se javljaju u prozoru koji opisuje "svijet" o kojemu jerijec.

Opcenito, recenice koje sadrže kvantifikatore istinite su odnosno neistinitesamo u odnosu na neku domenu rasprave (domenu kvantifikacije, podrucje rasprave,...).Ponekad intendirana domena obuhvaca sve predmete.

5.5.2.1 Konvencije zapisa

Oznaka S(x) ili P (y) stoji za možda složenu isf-u logike prvog reda. Varijablau zagradama zastupa samo slobodne pojave te varijable.

Primjer 5.16 ’P (y)’ može stajati za ’9x(LijevoOd(x; y)_DesnoOd(x; y))’. U tomslucaju ’P (b)’ oznacava ’9x(LijevoOd(x; b) _DesnoOd(x; b))’

PodsjetnikKvantificirane recenice izražavaju tvrdnje o nekom intendira-

nom podrucju rasprave.Recenica 8xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet iz po-

drucja rasprave zadovoljava isf-u S(x).Recenica 9xS(x) je istinita ako i samo ako neki predmet iz po-

drucja rasprave zadovoljava isf-u S(x).

5.5.3 Razlaganje u konacnoj domeniNeka je podrucje rasprave konacno i neka svaki predmet ima ime i to samo jedno.Neka je popis imena n1; :::; nn. Tada 8xS(x) možemo zapisati kao S(n1)^ :::^S (nn) jer su te recenice pod danim uvjetima istovrijedne. Jednako tako, 9xS(x)možemo zapisati kao S(n1) _ ::: _ S (nn).

Kod kombiniranih kvantifikatora rašclanu pocinjemo s lijeve strane.

Primjer 5.17 9x8yR(x; y) rašclanjujemo: 1. korak

8yR(n1; y)| {z }1

_ ::: _ 8yR(nn; y)| {z }n

zatim 2. korak

(R(n1; n1) ^ ::: ^R(n1; nn))| {z }1

_ ::: _ (R(nn; n1) ^ ::: ^R(nn; nn))| {z }n


5.6 Cetiri aristotelovska oblikauniverzalno-afirmativan A 8x(P (x) ! Q(x))partikularno-afirmativan I 9x(P (x) ^Q(x))univerzalno-negativan E 8x(P (x) ! :Q(x))partikularno-negativan O 9x(P (x) ^ :Q(x))

AffIrmo; nEgOCesta pogreška. ’Neki P su Q’ ne možemo prikazati kao ’9x(P (x) !Q(x))’. Primjenimo rašclanjivanje. Neka je podrucje rasprave konacno ineka svaki predmet ima ime i to samo jedno. Popis imena je n1; :::; nn.9x(P (x) ! Q(x)) rašclanjujemo na

(P (n1) ! Q(n1)) _ ::: _ (P (nn) ! Q(nn))

Uocimo da je po definiciji kondicionala ova recenica istinita kada ni jedanpredmet ne zadovoljava P (x), tj. kada nijedan predmet nije P . No u timuvjetima recenica ’Neki P su Q’ nije istinita.

5.6 Cetiri aristotelovska oblika 71

Tradicionalni "logicki kvadrat" ili "kvadrat opreka". Uocite da neka prav-ila vrijede samo pod pretpostavkom egzistencije predmeta koji je A.

Zadatak 34 Pokažimo na konacnoj domeni da su kontradiktorni sudovi uzajamnenegacije. Neka je podrucje rasprave konacno i neka svaki predmet ima ime i to samojedno. Popis imena je n1; :::; nn. (i) :8x(P (x) ! Q(x)) razlažemo u (ii) :((P (n1) !Q(n1))^:::^(P (nn) ! Q(nn))). (iii) zamijenimo kondicional s disjunkcijom: :((:P (n1)_Q(n1)) ^ ::: ^ (:P (nn) _Q(nn))), (iv) primjenimo DeMorganov zakon: :(:P (n1) _Q(n1)) _ ::: _ :(:P (nn) _ Q(nn)), (v) primjenimo DeMorganov zakon još jednom:(P (n1)^:Q(n1))_ :::_ (P (nn)^:Q(nn)). Disjunktivna normalna forma (v) upravo


prikazuje 9x(P (x) ^ :Q(x)). Generalizirajuci možemo utvrditi da vrijedi

:8x(P (x) ! Q(x)) , 9x(P (x) ^ :Q(x))

Zadatak 35 Kombinacija nekvantificiranih i kvantificiranih recenica. Neka ’I’ stojiza ’Ivica ce se iznenaditi’, neka su predikati’PozvanNaZabavu(x)’ i ’DolaziNaZabavu(x)’.Popis imena je n1; :::; nn. Kako bismo u prirodnom jeziku procitali (i) 8x((PozvanNaZabavu(x)^DolaziNaZabavu(x)) ! I), a kako (ii) 8x((PozvanNaZabavu(x) ! DolaziNaZabavu(x)) !I?

5.6.1 Razgovorne implikatureRecenicu ’Svi P su Q’ obicno razumijemo kao da ona povlaci ’P postoji’. No tonije slucaj, tu postoji konverzacijska ali ne i logicka implikacija.

Primjer 5.18 ’Svi studenti koji su predali rješenja zadataka, dobili su izvrsne ocjene’No nitko nije predao rješenja pa je recenica istinita. Konzistentno je nastaviti s recenicom’Ali nitko nije predao rješenja’.

Razgovorna implikatura može se osporiti bez stvaranja kontradikcije.Recenicu ’Neki P su Q’ obicno razumijemo kao ’Neki P jesu Q, a neki nisu’.

I ovdje je rijec samo o razgovornoj implikaturi.

Primjer 5.19 ’Neki studenti su posjetili on-line tecaj. Zapravo, to su ucinili svi’ jekonzistentan tekst.

Podsjetnik1. Svi P su Q ne povlaci, iako u razgovoru sugerira, da postoje

neki P.2. Neki P su Q ne povlaci, iako u razgovoru sugerira, da svi P

nisu Q.

5.7 Kvantifikatori i funkcijski simboliPromotrimo recenicu:

8xLjubazniji(otac(otac(x)); otac(x))

Ona tvrdi da je svaciji patrilinearni djed ljubazniji od oca te osobe. Za iskazatiistu recenicu bez funkcijskih simbola treba nam složena recenica

8x8y8z(((OtacOd(x; y) ÔtacOd(y; z)) ! Ljubazniji(x; y))

Funkcijski simboli su vrlo korisni u logici prvog reda.

5.7 Kvantifikatori i funkcijski simboli 73

Zadatak 36 Iskaži recenicu ’8xCijeni(x; otac(x))’ ne koristeci funkcijske simbole!

Poglavlje 6Logika kvantifikatora

Primjer 6.1 Definirajmo pridjev ’slicno’ po uzoru na Oxford Dictionary of ModernEnglish kao ’ono što podsjeca na nešto ali nije isto s time’. Ako dalje prihvatimo da’isto’ znaci ’podudarati se u svim svojstvima’, onda vrijedi Sli·cno(a; b) samo ako a imaneka svojstva koja nema b i a ima neka svojstva koja ima b. Da bismo definirali (i)’isto’,(ii)’razlicito’ i (iii)’slicno’ moramo govoriti o svojstvima: (i)x = y $ 8P (P (x) !P (y)), (ii)Razli·cito(x; y) $ 9P (P (x)^:P (y)), (iii) Sli·cno(x; y) $ (9P9Q(P (x)^P (y) ^Q(x) ^ :Q(y)) ^ Podsje¶ca(x; y; koga?)).

Primjer 6.2 ’Ona ima sva svojstva pravog prijatelja’, ’Po svemu su slicni osim ujednom’, ...

Recenice koje govore o svojstvima ne mogu se iskazati u logici prvog reda.U logici prvog reda govorimo o predmetima i tvrdimo kako oni imaju odredenasvojstva i stoje u odredenim odnosima, ali o svojstvima i odnosima ne možemogovoriti. Zbog toga su recenice iz prethodnih primjera neiskazive u logici prvogareda.

6.1 Tautologije i kvantifikacijaPojam tautologije uži je od pojma logicke istine. Je li neka recenica tautološka,to odredujemo pomocu istinitosne tablice. Kvantificirane recenice ne možemoanalizirati onako kako analiziramo složene recenice u propozicijskoj logici. Sin-takticki oblik kvantificirane recenice je ’kvantifikator-s-varijablom (ispravno_-sastavljena_formula)’.

Primjer 6.3

Gornji zakljucak je ocigledno valjan. U svijetu u kojemu je svaka kockamalena i u kojemu je svaka stvar kocka, u tom je svijetu takoder i svaka stvarmala. Pitanje je: je li ovaj zakljucak tautološki valjan? Je li ovdje rijec o jed-nokratnoj primjeni pravila za uklanjanje kondicionala (modus ponendo ponens)?

74

6.1 Tautologije i kvantifikacija 75

Drugim rijecima, možemo li primjeniti logicka pravila zanemarujuci kvantifika-tore?

Protuprimjer. Uocite da dodekaedar desno zadovoljava isf-u Cube(x) !Small(x).

Protuprimjer pokazuje dvije cinjenice: zakljucak s egzistencijalno kvantifi-ciranim recenicama nije valjan i zakljucak s univerzalno kvantificiranim receni-cama jest valjan ali nije tautološki valjan. Drugu cinjenicu možemo ovako ob-jasniti: da smo konkluziju uveli samo primjenom dokazano pouzdanog pravilamodus ponens, to bismo mogli uciniti u oba slucaja. Buduci da u jednom odnjih uvodenje konluzije nije uspjelo "ocuvati istinitost", slijedi da ni ispravnakonkluzija nije uvedena na taj nacin.

Primjer 6.4 ’9xKocka(x) _ 9x:Kocka(x)’ je logicka istina (recenica koja je is-tinita u svim zamislivim okolnostima u kojima necega, na što se predikati mogu prim-jeniti, ima). No, ona nije tautologija: recenica istinita jedino zahvaljujuci znacenjuistintosno-funcionalnih veznika.

76 Poglavlje 6 Logika kvantifikatora

Možemo sastaviti recenicu jednaku u smislu sintakse propozicijske logike (tj. ciji je oblikA _B) koja nece biti logicka istina: ’8xKocka(x) _ 8x:Kocka(x)’.

Razmotreni primjeri naizgled sugeriraju da u jeziku kvantificiranih recenicanema tautologija. Takva indukcija je preuranjena. Ako u bilo kojoj tautologijiu kojoj se javljaju atomarne recenice izvršimo zamjenu tako da na mjesto atom-arnih recenica upišemo složene recenice bilo s kvantifikatorima ili bez njih, dobitcemo opet tautologiju.

Primjer 6.5

U tautologiji ’A ! (B ! A)’ smo u prvom slucaju ’A’ zamijenili s ’A ! C’, a udrugom slucaju ’A’ smo zamijenili s ’9xSameSize(x; a)’ a ’B’ s ’8xCube(x)’. U svatri slucaja istinitost proizlazi iz znacenja veznika ’!’ .

6.1.1 Test tautologicnostiTautologiju možemo dobiti supstitucijom iz razlicitih recenica koje same ne morajubiti tautologije.

Primjer 6.6

A ’9xSameSize(x; a) ! (8xCube(x) ! 9xSameSize(x; a))’ za ’A’A ! B ’9xSameSize(x; a)’ za ’A’ i ’(8xCube(x) ! 9xSameSize(x; a))’ za ’B’A ! (B ! A) ’9xSameSize(x; a)’ za ’A’ i ’8xCube(x)’ za ’B’

Samo je trecem slucajem tautološka recenica ’9xSameSize(x; a) ! (8xCube(x) !9xSameSize(x; a))’ dobivena putem supstitucije iz tautologije.

Da bismo ustanovili je li neka kvantificirana recenica- tautologija, moramoizdvojiti sastavne dijelove tako da istinitisno-funkcionalna struktura postane vidljiva.One veznike koji se javljaju u dosegu kvantifikatora zanemarujemo, a proma-tramo samo one logicke veznike koji se primjenjuju na recenicama.

Primjer 6.7 9xSameSize(x; a)| {z }A

! (8xCube(x)| {z }B

! 9xSameSize(x; a)| {z }A

)

6.1 Tautologije i kvantifikacija 77

Postupak izlaganja istinitisno-funkcionalne sintakticke strukture neke recenicemožemo razložiti u jedan algoritam.

(i) Kada u recenici S dodete do kvantifikatora ili do atomarnerecenice zapocnite s potcrtavanjem. Ako je rijec o kvantifikatoru, pot-crtajte ga kao i cijelu isf-u na koju se on primjenjuje. Ako je rijec oatomarnoj recenici, potcrtajte je.

(ii) Kad završite s potcrtavanjem recenice dodjelite joj ime (A,B, C,...).

(iii) Ako se istovjetni sastavni dio pojavljuje na još nekom mjestuu recenici S, dajte mu isto ime, ako ne, upotrebite prvo neiskorištenoime.

(iv) Kada dodete do kraja recenice, zamijenite svaki sastavni diosa slovom koje ga oznacava. Rezultat nazivamo istinitosno-funkcionalnomformom recenice S.

1. :(Tet(d) ^ 8xMaleno(x)) ! (:Tet(d) _ :8yMaleno(y));2. :(Tet(d)

A^ 8xMaleno(x)) ! (:Tet(d) _ :8yMaleno(y));

3. :(Tet(d)A^ 8xMaleno(x)

B) ! (:Tet(d) _ :8yMaleno(y));


B) ! (:Tet(d)

A_ :8yMaleno(y));


B) ! (:Tet(d)

A_ :8yMaleno(y)

C);

6. :(A ^B) ! (:A _ :C)

Definicija 5 Kvantificirana recenica logike prvog reda je tautologija ako i samoako je njezina istinitosno-funkcionalna forma tautologija.

Primjer 6.8 Odredi istinitosno funkcionalnu formu korespodentnog kondicionala zazakljucak:

Je li taj korespondentni kondicional tatologija?

Podsjetnik

1. Pomocu istinitosno-funkcionalnog algoritma možemo odrediti istinitosno-funkcionalnu formu recenice ili zakljucka u kojima se javljaju kvantificiraniizrazi.

2. Istinitosno-funkcionalna forma razotkriva kako su atomarne recenice ikvantificirane recenice povezane.

78 Poglavlje 6 Logika kvantifikatora

3. Kvantificirana recenica je tautologija ako i samo ako je njezina istinitosno-funkcionalna forma tautologija.

4. Svaka je tautologija logicka istina, ali medu kvantificiranim recenicamanalazimo mnoge logicke istine koje nisu tautologije.

5. Mnogi valjani zakljucci logike prvog reda nisu tautološki valjani.

Poglavlje 7Valjanosti i posljedice prvog

redaIntuitivna ideja o logickoj istini i logickoj posljedici poziva se na istinitost usvim logicki mogucim okolnostima: recenica je logicki istinita ako i samo akoje istinita u svim logicki mogucim okolnostima. Recenica S je posljedica danihpremisa ako i samo ako je S istinita u svim logicki mogucim okolnostima u ko-jima su sve premise istinite. Preciznost ovih definicija možemo povecati za slucajtautologija i tautoloških posljedica modelirajuci "logicki moguce okolnosti" kaoredak u istinitosnoj tablici.

Nažalost pojmovi ’tautologija’ i ’tautološka posljedica’ ne mogu nas dovestido željenog cilja u logici prvog reda: naime oni ne mogu razdijeliti logickeistine i logicke posljedice prvoga reda od drugih recenica i logickih posljedica ulogici prvoga reda. Ono što nam treba je dodatna metoda za analiziranje logickihistina i logickih posljedica koje ovise o istinitosnofunkcionalnim veznicima te okvantifikatorima i identitetu.

Najprije trebamo razriješiti terminološki problem: koji naziv dodjeliti takvimrecenicama i takvim odnosima u logici prvog reda.

Propozicijska logika Logika prvoga reda Opceniti pojamTautologija ?? Logicka istinaTautološka posljedica ?? Logicka posljedicaTautološka ekvivalencija ?? Logicka ekvivalencija

Nema uvriježenih naziva, Barwise i Etchemendy predlažu sljedece:Propozicijska logika Logika prvoga reda Opceniti pojamTautologija Valjana recenica prvoga reda Logicka istinaTautološka posljedica Posljedica prvoga reda Logicka posljedicaTautološka ekvivalencija Ekvivalencija prvoga reda Logicka ekvivalencija

Ti se podebljani nazivi odnose na one logicke istine, posljedice i ekviva-lencije koje su takve kakve jesu zahvaljujuci znacenju istinitosno-funkcionalnihveznika, kvantifikatora i identiteta. Na taj nacin, zanemarujemo znacenje imena,predikata (s iznimkom predikata identiteta) i funkcijskih simbola.

Predikat identiteta zauzima posebno mjesto medu predikatima jer samo kodnjega dopuštamo da se doprinos njegovog znacenja promatra kao svojstven logiciprvog reda. Razlozi zbog kojih se predikat identiteta tretira kao poseban, "logicki"predikat su dvojaki. Oni obuhvacaju opcenitost njegove primjene i doprinos ukvantifikacijskoj izražajnosti. Prvo, identitet se javlja u skoro svim jezicima.Dok je ’>’ svojstven aritmetici, ’2’ teoriji skupova a ’LijevoOd’ obicnom jezikui "jeziku blokova" (Tarski’s World), dotle je predikat identiteta prisutan u svimtim jezicima. Drugo, zahvaljujuci ’=’ možemo koristeci samo dva kvantifikatora

79

80 Poglavlje 7 Valjanosti i posljedice prvog reda

iskazati koliki je tocan broj predmeta koji ispunjava neki uvjet, koji je najveci, akoji najmanji broj takvih predmeta.

Ako možemo reci je li recenica logicki istinita bez da poznajemo znacenjepredikata (osim identiteta) koji se javljaju u njoj, onda je ta recenica valjanarecenica prvoga reda.

Primjer 7.1 ’8xIsteV eli·cine(x; x)’, ’8xKocka(x) ! Kocka(b)’ i ’8x9yV oli(x; y)_:8x9yV oli(x; y)’ su logicke istine (Svaka stvar jednako je sama sebi po svojoj velicini;Ako je svaka stvar kocka onda je i b kocka; Svatko voli nekoga ili netko ne voli nikoga).Pitanje je jesu li to valjane recenice prvoga reda?

7.1 Metoda zamjene predikataJe li neka recenica S valjana recenica prvoga reda možemo otkriti zamjenju-juci predikate s drugim predikatima, a posebno s besmislenim. Ako se istini-

7.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovi zakoni 81

tost izgubi u tim zamjenama, onda je istinitost posljedica znacenja pocetn-og/ihpredikata, pa S nije valjana recenica prvoga reda.

Primjer 7.2 Prva recenica ne prolazi na testu: ’8xR(x; x)’, ’8xP (x) ! P (b)’ i’8x9yR(x; y) _ :8x9yR(x; y)

1. Za provjeru valjanosti i posljedice prvoga reda, zamijenite sve predikate osimidentitetnog s novim simbolima bez znacenja, pazeci pri tome da u slucajukada se neki predikat javlja više puta, svaku njegovu pojavu zamijenite sistim predikatom bez znacenja.

2. Za provjeru valjanosti prvog reda za recenicu S, pokušajte opisati okolnosti idati tumacenje imena, predikata i funkcija iz S u kojima ce ona biti neistinita.Ako se takve okolnosti ne mogu zamisliti, S je valjana recenica prvoga reda.

3. Za provjeriti je li S posljedica prvog reda premisa P1; :::; Pn, pokušajte naciokolnosti i tumacenje u kojem ce S biti neistinito a P1; :::; Pn istinito. Akose takve okolnosti ne mogu zamisliti, izvorni je zakljucak posljedica prvogreda.

Primjer 7.3 Neka je zadan zakljucak

Je li ovdje rijec o posljedici prvog reda? Metoda zamjene pokazuje da nije. Istina jeda 1.Logi·car(charles_dodgson) i 2. Knji·zevnik(lewis_carroll), ali nije istina 3.:(charles_dodgson = lewis_carroll).

7.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovizakoni


Augustus DeMorgan

Prethodne tehnike možemo primjeniti i u utvrdivanju ekvivalencija prvogreda. Ako primjena istinitsono funkcionalnog algoritma pokaže da su dvijerecenice tautološki ekvivalentne, onda su one i ekvivalencije prvoga reda.

Primjer 7.4 Iz ’:(9xKocka(x)A^8yDodekaedar(y)

B)’ primjenom istinitosno funkcionalnog

algoritma dobivamo ’:(A^B)’, a iz ’:9xKocka(x)A_:8yDodekaedar(y)

B’ dobi-

vamo ’:A _ :B’. Dobivene recenice su tautološki ekvivalentne, one su jedna instancaDeMorganovih zakona.

No, DeMorganove zakone i slicna logicka nacela možemo primijeniti i un-utar dosega kvantifikatora.

Primjer 7.5 Kontrapozicija: (A ! B) , (:B ! :A). (i) 8x(Kocka(x) !Maleno(x)), (ii) 8x(:Maleno(x) ! :Kocka(x)) su ekvivalentne (ako su sve kockemalene, onda ništa što nije maleno nije kocka, i obratno)

Istražimo primjer! Izdvojimo nekvantificirani dio

(i) P (x) ! Q(x)

(ii) :Q(x) ! :P (x)

’P’ i ’Q’ predstavljaju bilo koju isf-u pod uvjetom da ona sadrži slobodnu vari-jablu x i nijednu drugu slobodnu varijablu. Ne možemo zapitati jesu li ove dvijeisf-e ekvivalentne, jer one nisu recenice. Unatoc tome, možemo lako dokazati dabilo koji predmet koji zadovoljava prvu isf-u (i) takoder zadovoljava i i isf-u (ii).

Dokaz 7 Primijenimo indirektan dokaz (reductio ad absurdum). Pretpostavimoda postoje okolnosti u kojima neki predmet zadovoljava prvi uvjet (i) i ne zado-voljava drugi (ii). Uvedimo novo ime za taj predmet - n1. Uvrštavanjem dobi-vamo (i*) P (n1) ! Q(n1) i (ii*) :Q(n1) ! :P (n1). Buduci da je x bila jedinaslobodna varijabla, (i*) i (ii*) su recenice. Po pretpostavci dokaza i definicijizadovoljavanja (i*) mora biti istinita a (ii*) neistinita. No to je nemoguce jer su(i*) i (ii*) ekvivalentne po kontrapoziciji.

7.2 Ekvivalencije prvoga reda i DeMorgan-ovi zakoni 83

Definicija 6 Logicki ekvivalentne isf-e. Dvije isf-e sa slobodnim varijablamasu logicki ekvivalentne akko ih u bilo kojim mogucim okolnostima zadovoljavajuisti predmeti.

Zadatak 37 Iskaži prethodnu definiciju na drugi nacin koristeci definiciju zadovolja-vanja10.

Ako generaliziramo prethodni rezultat (tj. da su dvije formule logicki ekviva-lentne ako nije moguce da neki predmeti zadovoljavaju jednu a ne i drugu), ondace primjena nacela logickih ekvivalencija na neku isf-u dati logicki ekvivalentnuisf-u, formulu koju zadovoljavaju isti predmeti kao i prvu.

7.2.1 Supstitucija logicki ekvivalentnih isf-aNeka su P i Q logicki ekvivalentne isf-e, koje možda sadrže slobodne varijablei neka je S(P ) proizvoljna recenica koja sadrži P kao sastavni dio. Tada ako suP i Q logicki ekvivalentne, tj.

P , Q

onda su ekvivalentne i S(P ) i S(Q), tj. .

S(P ) , S(Q).

Dokaz nacela supstitucije zahtjeva dodatne tehnike (dokaz indukcijom), pace biti izostavljen ovdje.

Opremljeni s nacelom supstitucije možemo dokazati cijeli niz novih ekviva-lencija.

Primjer 7.6

8x(P (x) ! Q(x)) , 8x(:P (x) _Q(x)) definicija!, 8x(:P (x) _ ::Q(x)) dvostruka negacija, 8x:(P (x) ^ :Q(x)) DeMorganov zakon

Ocigledno je gornje recenice nisu tautološki ekvivalentne jer su izmjene izvele "u un-utrašnjosti", pod dosegom kvantifikatora.

7.2.2 DeMorganovi zakoni za kvantifikatoreU propozicijskoj logici DeMorganovi zakoni opisuju važne odnose izmedu ne-gacije, konjunkcije i disjunkcije. Postoji stroga analogija izmedu 8 i ^, te izmedu9 i _.

10 Dvije isf-e sa slobodnim varijablama su logicki ekvivalentne akko svaka jednolika supstitucijaimena (starih ili novih) na mjestima njihovih slobodnih varijabli daje logicki ekvivalentnerecenice.


Primjer 7.7 Neka govorimo o cetiri imenovana bloka: a, b, c i d. Tada ce recenica8xKocka(x) biti istinita ako i samo ako vrijedi

Kocka(a) ^Kocka(b) ^Kocka(c) ^Kocka(d)

Slicno recenica 9xKocka(x) bit ce istinita ako i samo ako vrijedi

Kocka(a) _Kocka(b) _Kocka(c) _Kocka(d)

Analogija sugerira da bi kvantifikatori mogli reagirati na negaciju na slicannacin kao konjunkcija i disjunkcija.

Primjer 7.8 :8xMaleno(x) bit ce istinita ako i samo ako vrijedi

:(Maleno(a) ^Maleno(b) ^Maleno(c) ^Maleno(d))

a po DeMorganovom zakonu prethodno vrijedi ako i samo ako

:Maleno(a) _ :Maleno(b) _ :Maleno(c) _ :Maleno(d)

A to je istinito ako i samo ako

9x:Maleno(x)

DeMorganovi zakoni omogucuju nam da negaciju pomicemo iza kvantifika-tora.

7.2.2.1 DeMorganovi zakoni za kvantifikatore

:8xP (x) , 9x:P (x):9xP (x) , 8x:P (x)

Zadatak 38 Pokažite da je negacija univerzalno afirmativnog suda ekvivalentna par-tikuralno negativnom sudu i navedite naziv logickog nacela koji omogucuje pojedinusupstituciju ekvivalentnih isf-a.

:

:8x(P (x) ! Q(x)) , :8x(:P (x) _Q(x)), 9x:(:P (x) _Q(x)), 9x(::P (x) ^ :Q(x)), 9x(P (x) ^ :Q(x))

Zadatak 39 Dokažite ekvivalenciju

: :9x(P (x) ^Q(x)) , 8x:(P (x) ! Q(x))

7.3 Još neke ekvivalencije s kvantifikatorima 85

Odgovor 4

:9x(P (x) ^Q(x)) , 8x:(P (x) ^Q(x)), 8x(:P (x) _ :Q(x)), 8x(P (x) ! :Q(x))

7.3 Još neke ekvivalencije s kvantifikatorima

Primjer 7.9 Zamislimo da u svijetu nalazimo tocno n predmeta cija su imena a1; :::; an(svaki predmet ima ime). Recenica 8x(P (x) ^Q(x)) istinita je u tim okolnostima ako isamo ako

(P (a1) ^Q(a1)) ^ ::: ^ (P (an) ^Q(an))

Buduci da je konjunkcija asocijativna dobivamo

(P (a1) ^ ::: ^ P (an)) ^ (Q(a1) ^ ::: ^Q(an))

Što je ekvivalentno s

8xP (x) ^ 8xQ(x)

Primjer 7.10 Recenica 8x(Kocka(x)_Tetraedar(x)) nije ekvivalenta s 8xKocka(x)_8xTetraedar(x). Prva recenica istinita je u svjetovima a) u kojemu su svi predmetikocke, b) u kojemu su svi predmeti tetraedri i c) u kojem su neki predmeti kocke a nekitetraedri, dok drukcijih predmeta nema. Druga recenica nije istinita u svjetovima c) tipa.

Zadatak 40 Pokažite da je egzistencijalni kvantifikator distributivan prema disjunkciji!

Rjeenje 2 Zamislimo da u svijetu nalazimo tocno n predmeta cija su imenaa1; :::; an (svaki predmet ima ime). Recenica 9x(P (x) _ Q(x)) istinita je u timokolnostima ako i samo ako

(P (a1) _Q(a1)) _ ::: _ (P (an) _Q(an))

Buduci da je disjunkcija asocijativna dobivamo

(P (a1) _ ::: _ P (an)) _ (Q(a1) _ ::: _Q(an))

Što je ekvivalentno s

9xP (x) _ 9xQ(x)

Zapamtite!8x(P (x) ^Q(x)) , 8xP (x) ^ 8xQ(x),


9x(P (x) _Q(x)) , 9xP (x) _ 9xQ(x),ali8x(P (x) _Q(x))< 8xP (x) _ 8xQ(x),9x(P (x) ^Q(x))< 9xP (x) ^ 9xQ(x).

7.3.1 Nulta kvantifikacijaZa svaku isf-u P u kojoj x nije slobodna varijabla:

8xP , P ,9xP , P ,8x(P _Q(x)) , P _ 8xQ(x),9x(P ^Q(x)) , P ^ 9xQ(x).

Ako u recenici P koja ne sadrži slobodne varijable pokušamo upisati bilokoje ime, to necemo moci uciniti, zato je pitanje koji predmet zadovoljava Pistovjetno s pitanjem je li P istinito.

7.3.2 Zamjena vezanih varijabliNije važno koje varijable koristimo sve dok se ne susretnemo s kvantifikatorimaciji se dosezi preklapaju.

Za svaku isf-u P (x) i varijablu y koja se ne javlja u P (x):

8xP (x) , 8yP (y),9xP (x) , 9yP (y).

Poglavlje 8Višestruka kvantifikacija

8.1 Višestruka primjena jednog kvantifikatora

Primjer 8.1 (i) 9x9y[Kocka(x)^Tet(y)^LijevoOd(x; y)], (ii) 8x8y[(Kocka(x)^Tet(y)) ! LijevoOd(x; y)] S prvom se recenicom tvrdi da je neka kocka s lijevestrane nekog tetraedra. S drugom, da je svaka kocka s lijeve strane svakog tetrae-dra. Prethodne recenice zapisane su na nacin da su svi kvantifikatori stavljeni sprijeda(preneksna forma). Preneksna forma ne mora biti najcitljivija. Zapišimo (i) i (ii) nadrukciji nacin: (i*) 9x[Kocka(x)^9y(Tet(y)^LijevoOd(x; y))], (ii*) 8x[Kocka(x) !8y(Tet(y) ! LijevoOd(x; y))]. Novi, ekvivalentni izrazi možda su citljiviji jer imajustrukturu aristotelovskih recenica:

(i) Neke kocke| {z } su =takve_da_su=_s_lijeve_strane_nekog_tetraedra| {z };

(ii) Sve kocke| {z } su =takve_da_su=_svakom_tetraedru_s_lijeva| {z } :

Zadatak 41 Neka je podrucje rasprave skup predmeta cija su jedinstvena imena a, bi c. Prikaži 8x8yR(x; y) kao konjunkciju atomarnih recenica!

Odgovor 5 1. Prvo razlažemo prvi kvantifikator s lijeva:

8yR(a; y)| {z }^8yR(b; y)| {z }^8yR(c; y)| {z }2. Razlažemo slijedeci, posljednji kvantifikator:

(R(a; a) ^R(a; b) ^R(a; c))| {z }^ (R(b; a) ^R(b; b) ^R(b; c))| {z }^ (R(c; a) ^R(c; b) ^R(c; c))| {z } :

87

88 Poglavlje 8 Višestruka kvantifikacija

Zadatak 42 Otvorite Cantor’s Sentences i Cantor’s World.

a) Je li u gornjem svijetu istinita recenica:

8x8y[(Kocka(x) ^Kocka(y)) ! (LijevoOd(x; y) _DesnoOd(x; y)]

Ako nije, modificirajte je koristeci predikat identiteta tako da postane istinita!

b) Je li u ovom svijetu istinita recenica 9x9y(Kocka(x) ^Kocka(y))? Ako jest, modi-ficirajte je koristeci predikat identiteta tako da postane neistinita11!

Zadatak 43 Otvorite Frege’s Sentences i Peirce’s World. Preinacite velicinu i položajtako da prvih sedam recenica bude istinito, a drugih sedam lažno.

11 a) Nije istinita. Da bi postala istinita trebamo je modificirati:

∀x∀y[(Kocka(x) ∧Kocka(y) ∧ x 6= y)→ (LijevoOd(x, y) ∨DesnoOd(x, y)]

b) Istinita je. da bi postala neistinita trebamo je modificirati:

∃x∃y(Kocka(x) ∧Kocka(y) ∧ x 6= y)

8.3 Prijevod korak-po-korak 89

Kod vrednovanja recenica s višestrukim kvantifikatorima cestose pravi pogreška koja proizlazi iz netocne pretpostavke da se razlicitevarijable primjenjuju na razlicite predmete.

8.1.0.1 Zapamtite

8x8yP (x; y) implicira 8xP (x; x)9x9yP (x; y) ne implicira 9xP (x; x)9xP (x; x) implicira 9x9yP (x; y)

8.2 Mješoviti kvantifikatoriAnalizirajmo 8x[Kocka(x) ! 9y(Tet(y)^LijevoOd(x; y))] u aristotelovskomstilu, kao ’svi S su P’. Sve kocke x imaju svojstvo 9y(Tet(y)^LijevoOd(x; y)),tj. da su s lijeve strane barem jednog tetraedra.

Istovrijednu recenicu mogli smo izraziti u preneksnoj formi (stavljajuci svekvantifikatore sprijeda):

8x9y[Kocka(x) ! (Tet(y) ^ LijevoOd(x; y))]

Poredak je važan kada koristimo raznovrsne kvantifikatore.

Primjer 8.2 8x8yV oli(x; y) , 8y8xV oli(x; y), ali 8x9yV oli(x; y)< 9y8xV oli(x; y).Iskažite prethodne recenice u prirodnom jeziku!

Zadatak 44 Otvorite Arnault’s world i napravite svijet u kojem ce sve recenice bitiistinite.

8.3 Prijevod korak-po-korakU slucaju kada recenica u prirodnom jeziku sadrži više od jedne kvantificiraneimenicke fraze, prijevod na jezik logike prvoga reda može biti prilicno složen.

Primjer 8.3 Nijedna kocka koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra nije s lijevestrane nekog, od nje veceg dodekaedra.

Metodom "korak-po-korak" nazovimo postupak u kojemu u kojemu izdva-jamo imenicke fraze i formaliziramo ih jednu za drugom.

Primjer 8.4 Svaka je kocka s lijeve strane svakog dodekaedra. (1) 8x(Kocka(x) !x je s lijeve strane svakog dodekaedra), (2) 8y(Dodek(y) ! LijevoOd(x; y)), (3)8x(Kocka(x) ! 8y(Dodek(y) ! LijevoOd(x; y)))


Primjer 8.5

Nijedna kocka koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedranijes lijeve strane nekog, od nje veceg dodekaedra.

(1) 8x(Kocka(x) koja se nalazi s lijeve strane nekog tetraedra)! :(x je s lijeve stranenekog od x veceg dodekaedra). (2) 8x(Kocka(x)^ x je s lijeve strane nekog tetraedra) !:(x je s lijeve strane nekog od x veceg dodekaedra) (3) 8x(Kocka(x) ^9y(Tet(y) ^LijevoOd(x; y)) ! :(x je s lijeve strane nekog od x veceg dodekaedra) (4) 8x[(Kocka(x)^9y(Tet(y)^LijevoOd(x; y))) ! :9z(LijevoOd(x; z)^Dodek(z)^V e¶ciOd(z; x))]

Zadatak 45 Prevedi koristeci oznake predikata iz "Tarski’s World": 1. Svaki je do-dekaedar jednak po velicini nekoj kocki, 2. Svaki predmet koji se nalazi izmedu do-dekaedara je kocka., 3. Svaka kocka koja ima neki predmet iza sebe je malena, 4.Svaki dodekaedar koji nema ništa sa svoje desne strane ima neki predmet s lijeve strane.Kad dovršite prijevod, otvorite Bolzano’s world - sve recenice moraju biti istinite u tomsvijetu.

8.3.1 Parafraziranje prirodnog jezikaU mnogim slucajevima "površinski" oblik recenice nije istovjetan s njezinimlogickim oblikom. Tada "metoda korak-po-korak" nije uspješna.

U prijevodu recenice s prirodnog jezika na jezik logike prvogareda cilj doci do recenice koja ima isto znacenje kao i izvornik. Ponekadizravno ocitavanje kvantifikatora ne daje tocan prijevod (Primjer 8.6).Poteškoca posebno nastaje onda kada "aristotelovski oblik" S ¡ Psadrži uvjet P koji upucuje natrag na S, to jest kada treba osiguratida zamjenica koja se javlja u P uvijek upucuje na isti predmet kojegaopisuje uvjet S (Primjer 8.7).

Primjer 8.6 ’Ako neka kocka ima neki predmet ispred sebe, ona je malena’.

8x[(Kocka(x) ^ 9yIspred(y; x)) ! Maleno(x)]

Primjer 8.7 ’Svaki seljak koji ima magarca tuce ga (tog magarca)’ nije ispravnoprikazana s 8x((Seljak(x) ^ 9y(Magarac(y) ^ Posjeduje(x; y)) ! Tu·ce(x; y)) -naime, ta formula nije recenica jer je pojava varijable y u Tu·ce(x; y) slobodna. Rješenjezahtijeva dva univerzalna kvantifikatora. Na primjer: 8x[Magarac(x) ! 8y((Seljak(y)^Posjeduje(y; x)) ! Tu·ce(y; x))].

Zadatak 46 Izradite prijevod na jezik logike prvoga reda za recenicu ’Svaka kockakoja je iza nekoga dodekadra manja je od njega’.

8.3 Prijevod korak-po-korak 91

Odgovor 6

8x[Kocka(x) ! 8y((Dodek(y) ^ Iza(x; y)) ! ManjeOd(x; y))];

ili

8x8y[(Kocka(x) ^Dodek(y) ^ Iza(x; y)) ! ManjeOd(x; y)];

ili

8x[Dodek(x) ! 8y((Kocka(y) ^ Iza(y; x)) ! ManjeOd(y; x))];

ili...

8.3.2 Višeznacnost i ovisnost o kontekstu

Primjer 8.8 "Svatko cijeni neku crvenokosu osobu": (i) Svatko ima voljenu crvenokosuosobu: 8x9y(Cijeni(x; y) ^ Crvenokos(y)), (ii) Neku crvenokosu osobu vole svi:9x8y(Crvenokos(x) ^ V oli(y; x)).

Primjer 8.9 Pod kojim znacenjem prve premise je sljedeci zakljucak valjan odnosnonevaljan: "Svatko cijeni neku crvenokosu osobu. Svatko tko cijeni samoga sebe jesamopouzdan. Dakle, neka crvenokosa osoba je samopouzdana". Dokažite konkluzijukoja slijedi, a nevaljanom zakljucku pronadite protuprimjer (tj. situaciju u kojoj su svepremise istinite a konkluzija lažna).

Rjeenje 3 Valjani zakljucak (inferencija, argument):


Izvor višeznacnosti u prirodnim jezicima ponekada je povezan sredoslijedom u kojem se javljaju kvantifikatori. Za uspješan prijevod ulogiku prvog reda potrebno je znati što je sugovornik htio reci. Cestonamjeravano znacenje možemo otkriti na osnovi konteksta u kojem serecenica izrekla.

8.3.3 Prijevodi pomocu funkcijskih simbolaIntuitivno, funkcije su vrsta relacija. Oslanjajuci se na tu intuiciju, možemozakljuciti da ono što možemo izreci u logici prvoga reda koristeci funkcijskesimbole možemo, takoder, izreci pomocu relacijskih simbola.

Primjer 8.10 otac(nikomah) = aristotel možemo iskazati kao

OtacOd(aristotel; nikomah)

Recenica

(¤f)8xStarijiOd(otac(x); x))

kazuje da je otac bilo koje osobe stariji od te osobe. Ako (*) iskažemo kao

8x9y(OtacOd(y; x) ^ StarijiOd(y; x));

onda tvrdimo da svaka osoba ima barem jednog oca koji je stariji od nje. Ako(*f) iskažemo kao

8x8y(OtacOd(y; x) ! StarijiOd(y; x));

onda tvrdimo su svi ocevi bilo koje osobe stariji od nje. Ono što nam zapravotreba je tvrdnja da svatko ima barem jednog oca (*1)

8x9yOtacOd(y; x)

i da svatko ima najviše jednog oca (*2)

8x8y8z[(OtacOd(y; x) ÔtacOd(z; x)) ! y = z]:

Zagledajmo se u (*2): ona zabranjuje situaciju u kojoj netko ima više od jednogoca, npr. osoba a ima oca b i oca c. Tada ne bi vrijedilo

(OtacOd(b; a) ÔtacOd(c; a)) ! b = c

jer bi antecedent bio istinit a konzekvent neistinit buduci da b i c nisu razlicitaimena iste osobe. S druge strane, ako znamo otac(a) = b i otac(a) = c, ondamožemo s pravom zakljuciti b = c.

Željeni prijevod daje nam, dakle, konjunkcija (*1)^(*2). Nju možemo kraceiskazati ovako:

(¤R)8x9y[OtacOd(y; x) ^ StarijiOd(y; x) ^ 8z(OtacOd(z; x) ! y = z)]

8.4 Preneksna forma 93

Kada usporedimo (*f) i (*R), ocigledna je ušteda na duljini zapisa koju dobivamokoristeci funkcijske simbole.

Sve što možemo iskazati koristeci n-mjesne funkcijske simbolemožemo iskazati koristeci n + 1-mjesne relacijske simbole, te iden-titetni predikat. Takvim se prijevodom povecava složenost recenice.

Primjer 8.11 Recenicu "Majka necije majke je mlada odMarije" iskaži na dva nacina:koristeci funkcijske, a zatim koristeci relacijske simbole12.

Primjer 8.12 "Svaki prirodni broj je ili 0 ili veci od nule" Možemo li iskazati ovurecenicu koristeci funkcijske simbole13?

8.4 Preneksna formaKada prevodimo recenice iz prirodnog jezika na jezik logike prvoga reda cestodolazimo do takvih izraza u kojima su kvantifikatori i logicki veznici pomiješani.

Primjer 8.13 Recenice poput "Svaka kocka koja je na lijevoj strani nekog tetraedranalazi se iza nekog dodekaedra" prikazujemo

8x[(Kocka(x) ^ 9y(Tetra(y) ^ LijevoOd(x; y)) ! 9y(Dodek(y) ^ Iza(x; y))]

U nekim slucajevima ovakav prijevod, iako prirodan, nije najprikladniji. Ponekadje potrebno preurediti recenice tako da svi kvantifikatori budu sprijeda i sviveznici straga. za takvu recenicu kažemo da je u preneksnoj formi buduci dasu svi kvantifikatori sprijeda.

Definicija 7 Ispravno sastavljena formula je u preneksnoj normalnoj formi akoili ne sadrži kvantifikatore ili ima oblik

Q1v1Q2v2:::QnvnP

gdje je svaki Qi ili 8 ili 9, gdje je svaki vi varijabla, a u isf-i P ne javlja se nitijedan kvantifikator.

Razliciti su razlozi zbog kojih je potreban prikaz recenice u preneksnoj formi.Preneksna forma jasno pokazuje logicku složenost neke recenice. Složenost umanjoj mjeri ovisi o broju kvantifikatora, a u vecoj o prijelazu s 8 na 9 i obratno.

12 1. ∃xMladjaOd(majka(majka(x)),marija)2. ∃x∃y∃z[MajkaOd(y, z) ∧MajkaOd(x, y) ∧MladjaOd(x,marija)∧∀v∀w((MajkaOd(v, z) ∧MajkaOd(w, y))→ v = y ∧ w = x]

13 Ne: ∀x(N(x)→ (x = 0 ∨ x > 0))


S druge strane preneksna forma je slicna disjunktivnim i konjuktivnim normal-nim formama i ekstenzivno se koristi u automatiziranim dokazivanjima teorema.

Teorem 9 Za svaku recenicu postoji njezina ekvivalentna recenica u preneksnojnormalnoj formi (zapravo takvih recenica ima puno).

Primjedba 4 Dokaz teorema naci cete u tocki 8.4.1.

Za tvorbu preneksne normalne forme oslanjamo se na definicije veznika i naekvivalencije prvoga reda:

Podsjetnik:

1. (Pomicanje kvantifikatora preko _ i ^) Za svaku isf-u P (x) iQ(x):

8x(P (x) ^Q(x)) , 8xP (x) ^ 8xQ(x)9x(P (x) _Q(x)) , 9xP (x) _ 9xQ(x)2. (Nulta kvantifikacija14) za svaku isf-uP u kojoj x nije slobodan:8xP , P9xP , P8x(P _Q(x)) , P _ 8xQ(x)9x(P ^Q(x)) , P ^ 9xQ(x)3. (Zamjena vezanih varijabli) Za svaku isf-u P (x) i varijablu y

koja se ne javlja u P (x):8xP (x) , 8yP (y)9xP (x) , 9yP (y)4. (DeMorganovi zakoni za kvantifikatore):8xP (x) , 9x:P (x):9xP (x) , 8x:P (x)5. (Supstitucija ekvivalentnih isf-a) /S(P ) i S(Q) oznacavaju

recenice cije su komponente isf-e P i Q/(P , Q) ) (S(P ) , S(Q))

Zadatak 47 Iskažimo recenicu u 9xP (x) ! 9yQ(y) u preneksnoj formi!

Odgovor 7 1. Zamjenimo kondicional s disjunkcijom i negacijom koje jasnijereagiraju prema kvantifikatorima: :9xP (x)_9yQ(y):2. U dobivenoj disjunkcijiprimijenimo DeMorganove zakone: 8x:P (x)_9yQ(y). 3.Nulta kvantifikacija:

14 Ako u recenici P koja ne sadrži slobodne varijable pokušamo upisati bilo koje ime, tone cemo moci uciniti, zato je pitanje koji predmet zadovoljava P istovjetno s pitanjem je li Pistinito.


8x(:P (x) _ 9yQ(y))| {z }a

. 4. Nulta kvantifikacija nad a daje b: 9y(:P (x)_Q(y)).

Zamjena isf-e a s njezinim ekvivalentom b daje: 8x9y(:P (x) _Q(y)).

Primjer 8.14 Primjer primjene strategije "iznutra prema vani": 1. (9xP (x)_R(b)) !8x(P (x)^8xQ(x)). 2. Nulta kvantifikacija: 9x(P (x)_R(b)) ! 8x(P (x)^8xQ(x)).3. Distribucija 8 prema ^: 9x(P (x) _ R(b)) ! 8x(P (x) ^ Q(x)). 4. Definicija!: :9x(P (x) _ R(b)) _ 8x(P (x) ^ Q(x)). 5. DeMorgan: 8x:(P (x) _ R(b)) _8x(P (x) ^ Q(x)). 6. Zamjena varijabli: 8x:(P (x) _ R(b)) _ 8z(P (z) ^ Q(z)). 7.Nulta kvantifikacija: 8x(:(P (x) _R(b)) _ 8z(P (z) ^Q(z))). 8. Nulta kvantifikacija idefinicija za!: 8x8z((P (x) _R(b)) ! (P (z) ^Q(z))).

Primjer 8.15 Recenicu iz prethodnog primjera 8.13:

8xA

[z }| {(Kocka(x) ^ 9y|{z}

a

(Tetra(y) ^ LijevoOd(x; y))) !Kz }| {

9y|{z}b

(Dodek(y) ^ Iza(x; y))]

možemo prikazati u ekvivalentnoj preneksnoj formi:

8x8y9z[(Kocka(x) ^ Tetra(y) ^ LijevoOd(x; y))) ! (Dodek(z) ^ Iza(x; z))]

Možemo uociti da nismo jednostavno premjestili kvantifikatore na pocetak. 9y|{z}a

je pod

utjecajem : jer se nalazi u antecedensu kondicionala. Buduci je A ! K , :A _ K,taj ce kvantifikator po DeMorganovim zakonima postati univerzalan.

Gornji primjer postupno analiziramo (koristeci u zapisu predikata samo nji-hovo pocetno slovo):

8x[(K(x) ^ 9y(T (y) ^ L(x; y))) ! 9y(D(y) ^ I(x; y))] ,8x[:(K(x) ^ 9y(T (y) ^ L(x; y))) _ 9y(D(y) ^ I(x; y))] ,(definicija !)

8x[:9y(K(x)^T (y)^L(x; y))_9y(D(y)Î(x; y))] ,(nulta kvantifikacija+supstitucija)8x[8y:(K(x) ^ T (y) ^ L(x; y)) _ 9y(D(y) ^ I(x; y))],(DeMorgan)8x[8y:(K(x)^T (y)^L(x; y))_9z(D(z)Î(x; z))],(zamjena varijabli)8x8y[:(K(x)^T (y)^L(x; y))_9z(D(z)Î(x; z))],(nulta kvantifikacija)8x8y9z[:(K(x)^T (y)^L(x; y))_(D(z)Î(x; z))],(nulta kvantifikacija)8x8y9z[(K(x) ^ T (y) ^ L(x; y)) ! (D(z) ^ I(x; z))] (definicija !)

Zadatak 48 Neka varijabla x nije slobodna u isf-i Q. Dokažite ekvivalencije:

a) 8xP ! Q , 9x[P ! Q],

b) 9xP ! Q , 8x[P ! Q],

c) Q ! 8xP , 8x[Q ! P ],


d) Q ! 9xP , 9x[Q ! P ]!

Oznacite zvjezdicom korake koji ne bi bili dopušteni ako bi varijabla x bila slobodna uQ!

Odgovor 8 a)

8xP ! Q ,, :8xP _Q

, 9x:P _Q

, 9x:P _ 9xQ ¤, 9x[:P _Q]

, 9x[P ! Q]

c)

Q ! 8xP ,, :Q _ 8xP, 8x[:Q _ P ] ¤, 8x[Q ! P ]

d)

Q ! 9xP ,, :Q _ 9xP, 9x:Q _ 9xP ¤, 9x[:Q _ P ]

, 9x[Q ! P ].

8.4.1 Dokaz teorema o preneksnoj normalnoj formi

Teorem 10 Za svaku isf-u P postoji isf Q u prenesknoj normalnoj formi takvada P , Q.

Za dokazati postojanje preneksne normalne forme za bilo koju isf-u logikeprvoga reda moramo se osloniti na dokazni postupak stroge indukcije (matem-aticke indukcije, pogledajte 17). Taj postupak možemo primijeniti zahvaljujucicinjenici da je pojam isf-e definiran na induktivan nacin: opisom osnovnih sluca-jeva (atomarne isf-e), opisom nacina kako se iz danih isf-a dobivaju nove, tenavodenjem cinjenice da isf-e ne mogu nastati ni na koji drugi nacin. Akopokažemo [osnovni korak] da za atomarne isf-e vrijedi traženo i ako pokažemo[induktivni korak] da ako traženo vrijedi za dane isf-e, onda ono vrijedi i iz njih


dobivenim isf-ama, tada cemo pokazati da traženo vrijedi za sve isf-e, jer su oneili atomarne ili su dobivene po pravilima tvorbe.

U osnovnom koraku trebamo dokazati da svaka atomarna isf ima svoju prenek-snu formu. Po definiciji preneksne forme, atomarna isf vec jest u preneksnojnormalnoj formi jer ne sadrži kvantifikatore.

U induktivnom koraku moramo pokazati da se traženo svojstvo "nasljeduje"u primjeni pravila tvorbe za složene isf-e. Buduci da pravila tvorbe pokrivaju nas-tanak novih isf-a iz vec danih putem primjene veznika i kvantifikatora, potrebnoje ispitati svaki moguci nacin dobivanja novih isf-a.

[Slucaj :P ] Pretpostavimo da P ima svoju preneksnu formu. Dakle, za nekuisf-u S bez kvantifikatora vrijedi

P , Q1v1:::QnvnS,

gdje je svaki Qi ili 8 ili 9, gdje je svako vi varijabla, a u isf-i S ne javlja se nitijedan kvantifikator. Definirajmo funkciju alt koja mijenja kvantifikatore:

alt(Qi) =

½9 ako je Qi univerzalni kvantifikator,8 ako je Qi egzistencijalni kvantifikator.

Po nacelu zamjene ekvivalentnih isf,

:P , :Q1v1:::QnvnS.

Primjenom DeMorganovog zakona dobivamo traženu preneksnu formu:

alt(Q1)v1:::alt(Qn)vn:S.

[Slucaj R^S] Pretpostavimo da R i S imaju svoju preneksnu formu. Dakle,za neke isf-e F i G bez kvantifikatora vrijedi:

R , Q1v1:::QnvnF ,S , Qn+1vn+1:::Qn+kvn+kG.

Oslanjajuci se na nacelo zamjene varijabli, zamijenimo sve pojave varijabli v1; :::; vn+ku kvantifikatorskom dijelu i u matricamaF i G s novim varijablamaw1; :::; wn+k.Varijable w1; :::; wn+k trebaju se razlikovati i od varijabli, ako takvih ima, cijesu pojave slobodne u F i G. Oznacimo s F v

w i Gvw matricne isf-e koje dobivamo

takvom zamjenom varijabli. Dobivamo:

R , Q1w1:::QnwnFvw,

S , Qn+1wn+1:::Qn+kwn+kGvw.

Na kraju, oslanjajuci se na cinjenicu da niti jedna varijabla w1; :::; wn+k nemaslobodnu pojavu u F i G, korištenjem nacela "nulte kvantifikacije" za 9-slucajevei nacela distributivnost 8 prema ^, dobivamo traženu preneksnu formu:

Q1w1:::QnwnQn+1wn+1:::Qn+kwn+k(Fvw ^Gv

w).


[Slucaj R ! S] Pretpostavimo da R i S imaju svoju preneksnu formu.Dakle, za neke isf-e F i G bez kvantifikatora vrijedi:

R , Q1v1:::QnvnFvw,

S , Qn+1vn+1:::Qn+kvn+kGvw.

Oslanjajuci se na nacelo zamjene varijabli, zamijenimo sve pojave varijabli v1; :::; vn+ku kvantifikatorskom dijelu i u matricamaF i G s novim varijablamaw1; :::; wn+k.Varijable w1; :::; wn+k trebaju se razlikovati i od varijabli, ako takvih ima, cijesu pojave slobodne u F i G. Dobivamo:

R , Q1w1:::QnwnFvw,

S , Qn+1wn+1:::Qn+kwn+kGvw.

Koristeci nacela iz zadatka na str. 48 i cinjenicu da niti jedna varijablaw1; :::; wn+k

nema slobodnu pojavu u F i G, dobivamo traženu preneksnu formu:

alt(Q1)w1:::alt(Qn)wnQn+1wn+1:::Qn+kwn+k(Fvw ! Gv

w).

[Slucaj 8xP ] Pretpostavimo da P ima svoju preneksnu formu. Dakle, zaneku isf-u N u preneksnoj formi vrijedi:

P , N .

Koristeci nacelo supstitucije ekvivalentnih isf-a, dobivamo traženu preneksnuformu:

8xN .

Zadatak 49 Dokažite slucajeve P _Q, P $ Q i 9xP !

Odgovor 9 (Slucaj P _Q) Zakljucujemo slicno kao za konjunkciju i uz potrebnemodifikacije dobivamo

Q1w1:::QnwnQn+1wn+1:::Qn+kwn+k(Fvw _Gv

w):

[Slucaj P $ Q] Kombiniramo dokaz za kondicional i konjunkciju i dobivamonajprije:

[alt(Q1)w1:::alt(Qn)wnQn+1wn+1:::Qn+kwn+k(Fvw ! Gv

w)] ^[Q1wn+k+1:::Qnw2n+kalt(Qn+1)w2n+k+1:::alt(Qn+k)w2n+2k(G

vw ! F v

w)]

a zatim:

alt(Q1)w1:::alt(Qn)wnQn+1wn+1:::Qn+kwn+k

Q1wn+k+1:::Qnw2n+kalt(Qn+1)w2n+k+1:::alt(Qn+k)w2n+2k

(Gvw $ F v

w).


[Slucaj 9xP ] Zakljucujemo slicno kao kod univerzalnog kvantifikatora i dobi-vamo:

9xN .

Zadatak 50 Primjenite postupak koji se koristio u gornjem dokazu da biste odredilijednu preneksnu formu za isf-u:

(9xP (x) _R(b)) ! 8x(P (x) ^ 8xQ(x)).

Primjenimo strategiju "iznutra prema vani" i izdvojimo slucajeve:

(9xP (x) _R(b))| {z }1

! 8x(P (x) ^ 8xQ(x))| {z }2| {z }

3| {z }4

.

Slucaj 1: 9x(P (x)_R(b)). Slucaj 2: 8y(P (x)^Q(y)). Slucaj 3: 8x8y(P (x)^Q(y)).Slucaj 4: 8z8u8v[(P (z) _R(b)) ! (P (u) ^Q(v))].

Poglavlje 9Metode dokaza za

kvantifikatoreTrebamo otkriti metode dokaza koje ce nam omoguciti da dokažemo sve i samovaljane implikacije logike prvog reda. Drugim rijecima, cilj nam je pronacimetode dokaza koje ce nam omoguciti da dokažemo sve ono što slijedi zah-valjajuci znacenju kvantifikatora, predikata identiteta i istinitosno-funkcionalnihveznika. Rezultirajuci deduktivni sustav, poput onoga koji ce biti izložen ovdje,zaista ostvaruje ovaj cilj, ali dokaz za tu cinjenicu moramo odgoditi za kasnije.

Pocinjemo s analizom neformalnih obrazaca zakljucivanja. Najprije cemorazmotriti dokaze u kojima se javlja jedan kvantifikator, a zatim cemo razmotritivišestruku i raznorodnu kvantifikaciju.

9.1 Valjani koraci s kvantifikatorimaCetiri su osnovna koraka s kvantifikatorima, a u svakom paru jedan ide u suprot-nom smjeru od drugoga.

9.1.1 Univerzalna eliminacijaPretpostavimo da nam je kao premisa zadana tvrdnja da je svaki predmet udomeni diskursa ili kocka ili tetraedar. Pretpostavimo dalje da znamo da jepredmet c u domeni. Slijedi, naravno, da je c ili kocka ili tetraedar.

Opcenito, pretpostavimo da smo ustanovili da 8xS(x) i da znamo da c imenujepredmet u podrucju rasprave. Tada možemo s pravom zakljuciti da S(c).

Doista nije moguce da nešto vrijedi za svaki predmet a da ne vrijedi zapojedini. To nacelo nazivamo univerzalnom instancijacijom ili univerzalnomeliminacijom. Tradicionalni naziv je: aksiom silogizma. Uocimo da zahvaljujuciuniverzalnoj instancijaciji možemo polazeci od vec poznate recenice koja pocinjes kvantifikatorom 8x(:::x:::) doci do recenice (:::c:::) u kojoj je kvantifikatoruklonjen:

9.1.2 Egzistencijalna introdukcijaKorak dokaza za uvodenje 9 je takoder vrlo jednostavan, no unatoc jednos-tavnosti, on je važan jer nam omogucuje da uvedemo taj kvantifikator. Pret-postavimo da smo utvrdili da je predmet cije je ime c - maleni tetraedar. Naosnovi toga slijedi da je neki premet maleni tetraedar. Nije moguce da nekiuvjet ispunjava predmet ciji je ime c a da pri tome taj isti uvjet ne ispunjava nitijedan predmet. Opcenito, ako smo ustanovili da S(c), onda možemo zakljuciti9xS(x):Ovaj se korak naziva egzistencijalnom generalizacijom ili egzistencijal-nom introdukcijom.

100

9.1 Valjani koraci s kvantifikatorima 101

U matematickim dokazima, poželjni nacin dokazivanja egzistencijalne tvrd-nje je konstruktivan. Naime, pokaže se koji predmeti ispunjavaju odredeni uvjet,a zatim se primijeni egzistencijalna generalizacija.

Primjer 9.1 9x9y9z : x2 + y2 = z2. Za dokaz ovakve egzistencijalne tvrdnje pokažese na instancu koja zadovoljava uvjet. Ovdje je to trojka brojeva < 3; 4; 5 >, jer 32 +42 = 52. Zatim se primjeni egzistencijalna introdukcija (u ovom slucaju triput).

Valjanost ovih koraka nije beziznimna u prirodnom jeziku, gdje nije zado-voljen uvjet da svako ime imenuje neku postojecu stvar.

Primjer 9.2 "Djed Mraz ne postoji. Dakle, postoji nešto što ne postoji."

Zadatak 51 Formalizirajte gornji primjer!

Odgovor 10

Primjer 9.3

8x[Kocka(x) ! V eliko(x)]8x[V eliko(x) ! LijevoOd(x; b)]Kocka(d)9x[V eliko(x) ^ LijevoOd(x; b)]

Dokaz. Koristeci univerzalnu instancijaciju dobivamo:1. ako je d kocka, onda je d velikoi 2. ako je d veliko onda je d lijevo od b. Koristeci modus ponens nad 1. i premisom dje kocka dobivamo da je d veliko. Ponovna primjena modus ponens-a daje nam da je dlijevo od b. Time smo dobili da je d veliko i da je d lijevo od b. Dakle, po egzistencijalnojintrodukciji nešto je veliko i lijevo od b.

102 Poglavlje 9 Metode dokaza za kvantifikatore

Osim egzistencijalne introdukcije, postoje i drugi nacini da se dokaže egzis-tencijalna recenica. Možemo koristiti dokaz kontradikcijom (reductio ad absur-dum) pretpostavljajuci :9xP (x) i izvodeci iz toga ?. Ovakava metoda dokazi-vanja je manje zadovoljavajuca jer ne pokazuje na predmet koji zadovoljavaP (x). U intuicionistickoj logici takav dokaz nije prihvatljiv.

Za zapamtiti1. Univerzalna instancijacija: Iz 8xS(x) izvedite S(c) ako c

oznacava neki predmet iz predmetnog podrucja.2. Egzistencijalna generalizacija: Iz S(c) izvedite 9xS(x) ako c

oznacava neki predmet iz predmetnog podrucja.

9.1.3 Metoda egzistencijalne instancijacijeEgzistencijalna instancijacija je jedna od zanimljivijih i "profinjenijih" metodadokaza. Ona omogucuje da dokažemo rezultate polazeci od ezgzistencijalnerecenice. Neka predmetno podrucje obuhvaca svu djecu i neka nam je recenoda su neka djeca kod kuce. Na osnovi ovih cinjenica ne možemo ni za kojeodredeno dijete, recimo za Martina, znati je li kod kuce. No ono što možemouciniti jest to da damo "privremeno ime" jednom od one djece koja su kod kuce.To ime možemo koristiti da bismo oznacili dijete koje zadovoljava dani uvjetpazeci pri tome da to ime ne bude istovjetno ni s jednim imenom koje se vecjavlja u premisama.

U svakodnevnom životu ovakvo se zakljucivanje javlja kada znamo da nekaosoba zadovoljava odredeni uvjet ali ne znamo koja je to osoba.

Primjer 9.4 Jack Trbosjek je ime koje je Scotland Yard dao nepoznatom pociniteljuvišestrukih ubojstava. na taj nacin uvedeno je ime koje referira na osobu koja je izvršilazlocin ma tko ona bila.

Osnovna strategija je sljedeca. Ako je dokazano ili premisama zadano da9xS(x), onda možemo dodijeliti ime jednom od onih objekata koji zadovoljavajuS(x) pod uvjetom da se to ime ne koristi ni u jednoj recenici. Neka je to novoime c. Tada možemo pretpostaviti da S(c) i dalje ga koristiti u dokazu. Uocimo


da S(c) nije konkluzija, nego pretpostavka poddokaza. Ovo se pravilo nazivapravilom egzistencijalne instancijacije ili eliminacije.

U matematickim i logickim dokazima takav se korak uvodi izrazom "nekaje c (predmet) ono što zadovoljava taj-i-taj uvjet" ili "nazovimo predmet kojizadovoljava taj i taj uvjet predmetom c".

Primjer 9.5

8x[Kocka(x) ! V eliko(x)]8x[V eliko(x) ! LijevoOd(x; b)]9xKocka(x)9x[V eliko(x) ^ LijevoOd(x; b)]

Prve dvije premise su istovjetne kao i u prethodnom primjeru, no treca je "slabija". Akobismo mogli eliminirati 9 iz trece premise, onda bismo imali situaciju jednaku onoj uprethodnom primjeru. Dokaz: Po trecoj premisi postoji predmet koji je kocka. Neka je"e" ime za jedan od takvih predmeta. Postupimo isto kao i prije i doci cemo do toga daje e velik i lijevo od b. Egzistencijalnom introdukcijom dolazimo do željene konkluzije.

Zadatak 52 Formalizirajte gornji dokaz.

Odgovor 11

Moramo paziti da u egzistencijalnoj eliminaciji uvijek uvedemo novo ime. Uprotivnom mogli bismo doci do neželjenih posljedica.

Primjer 9.6 Jedna neželjena posljedica bila bi kada bismo zadovoljive premise ucinilinezadovoljivim. Na primjer da smo u prethodnom primjeru iskoristili ime b došli bismodo konkluzije 9xLijevoOd(x; x) što nije moguce. Tada bismo trebali zakljuciti da supremise nezadovoljive, a to nije slucaj.


9.1.4 Metoda opcenitog kondicionalnog dokazaJedna medu najvažnijim metodama ukljucuje zakljucivanje o nekom proizvoljnomobjektu radi dokazivanja neku opcenite tvrdnje o svim predmetima. Ta se metodanaziva opcenitom metodom kondicionalnog dokaza. Ona je snažnija verzijakondicionalnog dokaza, a po pristupu je slicna metodi egzistencijalne instan-cijacije.

Primjer 9.7 Neka podrucje rasprave obuhvaca studente nekog fakulteta. Dobili smoneke informacije o njima u premisama. Pretpostavimo da pod tim premisama možemodokazati da je Doris, student-ica fizike bist-ra/ar. Kako bismo mogli dokazati da su svistudenti fizike na tom fakultetu bistri?

Na prvi pogled cini se da ne bismo nikako mogli doci do takve konkluzijeosim ako Doris nije jedin-a/i student/ica fizike na tom fakultetu. Ono štovrijediza pojedini predmet ne mora i najcešce ne vrijedi za sve. Ali što možemo reci oslucaju kada naš dokaz da je Doris bist-ra/ar ne koristi ništa što bi bilo svojstvenoDoris-u? Što ako na temelju premisa ništa drugo ne znamo o Doris vec samoto da je on/a student/ica fiizike? Što ako bi se dokaz mogao jednako dobroprimijeniti na bilo kojeg studenta fizike?

Svatko tko položi Logiku I. s 5 je bistar.Svi studenti fizike su položili Logiku I. s 5.Svi studenti fizike su bistri.

Dokaz 8 Dokaz: Neka se ime "Doris" odnosi na proizvoljnog (bilo kojeg stu-denta fizike. Po drugoj premisi, Doris je položi-o/la ispit iz Logike I s 5. Po prvojpremisi, slijedi da je Doris bist-ra/ar. No buduci je Doris proizvoljno odabranistudent fizike, slijedi da su sudenti fizike bistri.

Drugim nacinom ovo nacelo zakljucivanja mogli bismo iskazati rijecima."što vrijedi za bilo koga, vrijedi za sve".

Ova metoda je cesta u matematici. neka imamo za dokazati 8x[P (x) !Q(x)] iz nekih premisa. Najizravniji nacin za uciniti to jest pretpostaviti da nekiproizvoljni predmet pod imenom c, imenom koje se inace drugdje ne koristi,zadovoljava P (x). Dakle, pretpostavljamo P (c) i pokušavamo dokazati Q(c).Ako uspijemo u tome, imamo pravo tvrditi 8x[P (x) ! Q(x)].

Zamislimo da hocemo dokazati da svaki prost broj ima iracionalni kvadratnikorijen. Za opci kondicionalni dokaz moramo pretpostaviti da je p proizvoljniprosti broj. Naš je cilj pokazati da je pp iracionalan. ako uspijemo u tome, opciiskaz je dokazan.

Primjer 9.8 Neka je p proizvolji prost broj. Buduci da je prost, slijedi k2=p 2 N !k=p 2 N , te zato k2=p 2 N ! k2=p2 2 N . Za reductio pretpostavimo da je pp 2 Q.


Zapišimo ga u najmanjem razlomku kao pp = n=m: Možemo provjeriti da n i m nisudjeljivi s p bez ostatka. Kvadratirajuci obje strane dobivamo: p = n2=m2 i zato pm2 =n2: Ali tada slijedi da je n2 djeljivo s p, pa zato n je djeljivo s p i n2 je djeljivo s p2:Izposljednjeg slijedi da je pm2 djeljivo s p2, pa onda je i m2 djeljivo s p. Ali tada je i mdjeljivo s p. Time smo pokazali da su i n im djeljivi s p što proturjeci našem izboru n-aim-a. Ova kontradikcija pokazuje da je doista pp iracionalan.

Odgovor 12 Prikazat cemo samo dokaz za x=y ! x2=y2. x=y promatramokao tvrdnju: x=y () 9z(y ¤ z = x). Umjesto ’x ¤ y’ pišemo ’m(x; y)’, a um-jesto ’x2’ pišemo ’k(x; x)’. U dokazu koristimo kao premise definiciju kvadratnefunkcije (1) i jedan teorem asocijativnosti (2)() (x¤y)¤(z¤u) = (x¤z)¤(y¤u)

9.1.4.1 Univerzalna generalizacija

U formalnim sustavima dedukcije, metoda opceg kondicionalnog dokaza obicnose razdvaja u dva dijela: u kondicionalni dokaz i u jednu metodu za dokazivanjeposve opcenitih recenica 8xS(x). Ova druga metoda se naziva univerzalnomgeneralizacijom ili univerzalnom introdukcijom. Ona nam kaže da ako možemouvesti novo ime c za proizvoljni predmet iz predmetnog podrucja i tako dokazatirecenicu S(c), onda možemo zakljuciti 8xS(x).


Primjer 9.98x[Kocka(x) ! Maleno(x)]8xKocka(x)8xMaleno(x)

Uvodimo novo ime d koje zastupa proizvoljnog clana domene. Primijenjujuci univerzalnuinstancijaciju dvaputa dobivamo 1. ako je d kocka, onda je d maleno i 2. d je kocka. Pomodus ponens dobivamo da je d maleno. Ali d oznacava proizvoljni objekt u domeni, paonda 8xMaleno(x) slijedi po univerzalnoj generalizaciji.

Svaki dokaz koji koristi opceniti kondicionalni dokaz možemo pretvoriti udokaz koji koristi univerzalnu generalizaciju zajedno s metodom kondicionalnogdokaza. Pretpostavimo da smo uspjeli dokazati 8x[P (x) ! Q(x)] koristeciopci kondicionalni dokaz. To bismo mogli u segmentiranom obliku uciniti nasljedeci nacin. Prvo bismo uveli novo ime c koje bi zastupalo proizvoljni pred-met. Znamo da možemo dokazati P (c) ! Q(c) što smo i ucinili u originalnomdokazu. ali buduci da je c proizvoljni objekt, možemo generalizirati i doci do8x[P (x) ! Q(x)].

No mogli bismo takoder univerzalnu generalizaciju promatrati kao posebanslucaj opceg kondicionalnog dokaza. Na primjer, ako bismo željeli dokazati8xS(x) mogli bismo zapoceti s uvjetom koji zadovoljavaju svi predmeti, npr.x = x ili Stvar(x) i doci do konkluzije koja je logicki ekvivalentna 8x[x =x ! S(x)].

Primjer 9.108xKocka(x)8xMaleno(x)8x[Kocka(x) ^Maleno(x)]

Dokaz 9 Neka je d proizvoljni predmet iz domene. Iz prve premise univerzal-nom eliminacijom dobivamo da je d kocka. Istim postupkom dobivamo da je dmaleno. Po introdukciji konjukcije dobivamo da je d malena kocka. Buduci je dproizvoljni predmet, slijedi da su svi predmeti u domeni malene kocke.

Zadatak 53 Izradite neformalni dokaz za sljedeci zakljucak:

8x[(B(x) ^ T (x)) ! M(x)]8y[(T (y) _M(y)) ! S(y)]9x(B(x) ^ T (x))9zS(z)

Odgovor 13 Po trecoj premisi znamo da postoji stvar koja je B i T. Nazovimoje b. Po prvoj premisi znamo da je ona M. Po drugoj premisi ona je S. Dakle,nešto je S.

9.2 Dokazi s raznorodnim kvantifikatorima 107

Zadatak 54 Izradite dokaz za sljedeci zakljucak ako je to moguce, u protivnom napraviteprotuprimjer u Tarski’s world.

8x[(V eliko(x) ^ Tetraedar(x)) ! Iza(x; b)]8y[(Tetraedar(y) _ IstiOblik(y; b)) ! Maleno(y)]9xV eliko(x) ^ 9xTetraedar(x))9zMaleno(z)

9.2 Dokazi s raznorodnim kvantifikatorimaNema posebnih pravila za dokaze s raznorodnim kvantifikatorima. Ali trebamobiti pažljivi kada je rijec o uvodenju novih imena.

Primjer 9.11

9y[Djevojka(y) ^ 8x(Momak(x) ! V oli(x; y))]8x[Momak(x) ! 9y(Djevojka(y) ^ V oli(x; y))]

U prirodnom jeziku: Postoji djevojka koju svi momci vole. Dakle, svakimomak voli neku djevojku

Dokaz 10 Dokaz. Pretpostavimo premisu. Barem jednu djevojku vole svimomci. Neka je to djevojka c. Primijenimo generalni kondicionalni dokaz.Neka je d proizvoljni momak. Želimo dokazati da on voli neku djevojku. Alisvi momci vole c, tako i d voli c. Zato d voli neku djevojku, po egzistencijalnojgeneralizaciji. A kako je d proizvoljno odabran slijedi da svaki momak voli nekudjevojku.

Primjer 9.12

8x[Momak(x) ! 9y(Djevojka(y) ! V oli(x; y))]9y[Djevojka(y) ! 8x(Momak(x) ! V oli(x; y))]

?

Dokaz 11 Ovaj nevaljani zakljucak pokušajmo dokazati u pseudo-dokazu. Pret-postavimo premisu, tj. da svaki momak voli neku djevojku. Neka je proizvoljnimomak - e. Po premisi e voli neku djevojku. Uvedimo ime f za djevojku kojue voli.Buduci da je e proizvoljno ime slijedi da svi momci vole djevojku f. Poegzistencijalnoj generalizaciji dobivamo da neku djevojku svi momci vole.

Važno je uvidjeti zašto je gornje zakljucivanje neispravno. Pogledajmo kakoje ime f došlo u dokaz: kao ime djevojke koju prozvoljni e voli. Ali za nekogdrugog momka mogli smo imenovati neku drugu djevojku. Kada govorimo o uni-verzalnoj generalizaciji i proizvoljnom objektu važno je da taj proizvoljni objekt


ne smije imati nikoja svojstva osim pretpostavljenih. No kada smo imenovalidjevojku koju momak e voli, onda je e prestao biti proizvoljan (tj. lišen svihsvojstava i odnosa).

Za zapamtitiNeka su S(x), P (x) i Q(x) ispravno sastavljene formule.1. Egzistencijalna instancijacija: Ako smo dokazali 9xS(x),

onda možemo odabrati novi simbol individualne konstante c koji za-stupa bilo koji predmet koji zadovoljava S(x) i pretpostaviti S(c).

2. Opceniti kondicionalni dokaz: Ako želimo dokazati 8x[P (x) !Q(x)], onda možemo odabrati novi simbol individualne konstante c,pretpostaviti P (c) i dokazati Q(c) pazeci pri tome da Q ne sadrži nitijedno ime koje je eventualno bilo uvedeno putem egzistencijalne in-stancijacije a pod pretpostavkom P (c).

3. Univerzalna generalizacija: Ako želimo dokazati 8xS(x),onda možemo odabrati novi simbol individualne konstante c i dokazatiS(c) pazeci pri tome da S(c) ne sadrži niti jedno ime koje je eventu-alno bilo uvedeno putem egzistencijalne instancijacije nakon uvodenjakonstante c.

Zadatak 55 Otvorite Quantifier Strategy 1 iz Fitch Exercise Files.

9.2.1 Poznati dokazi9.2.1.1 Euklidov teorem

Malo znamo o Euklidu, osim da je živio i naucavao u Aleksandriji u III. st.pr. Kr. Njegovi najpoznatiji spisi su Elementi geometrije.Iako nema mnogogeometrijskih i aritmetickih sadržaja koje bismo mogli pripisati Euklidu kao nje-gov izvorni rezultat, ipak Euklidov je položaj u povijesti znanosti posve izniman.On je prvi ostvario Aristotelov ideal znanosti izgradujuci sustav geometrije kaostrogi deduktivni sustav. U tom sustavu 35 recenica (23 definicije, 5 postulata i8 opcenitih pojmova)ima ulogu premisa iz kojih putem dokaza bivaju izvedeneglavne geometrijske tvrdnje15.

Epohalni Euklidov obrat nije, dakle, u novom sadržaju nego u novom oblikuznanosti. Takav oblik znanosti nazivamo aksiomskim sustavom.15 Primjeri (korijeni definicije tocke sežu do elejaca i pitagorejaca; 5. postulat je napušten uneeuklidskim geometrijama; 8. opcenita ideja ne mora vrijediti kada se primjeni na beskonacneskupove):

Definicije1.Tocka je ono što nema dijelova.Postulati:5. Ako jedan pravac sijece druga dva pravca, onda se ta dva pravca beskonacno produžena

sijeku s one strane s koje je zbroj kutova na presjeku manji od dva prava kuta.Opcenite ideje:8. Cjelina je veca od svog dijela.


Primjer koji cemo analizirati nije geometrijski nego aritmeticki i predstavljarezultat koji se pripisuje Euklidu. Rijec je o takozvanom Euklidovom teoremu pokojemu ne postoji najveci prost broj: 8x9y(Prost(y)^ y = x), gdje se varijableprotežu nad skupom prirodnih brojeva.

Izvorni dokaz: Prostih brojeva ima više od bilo koje proizvoljnemnožine prostih brojeva. Neka su A, B i C prosti brojevi. Kažem daima veceg prostog broja od A, B i C. Uzmimo najmanji broj DE koji jemjerljiv s A, B i C. Dodajmo jedinicu DF k DE. Tada EF ili jest ili nijeprost broj. Prvo, neka je EF prost broj. Onda je pronaden prost brojkoji je veci od A, B i C. Dalje, neka EF nije prost broj. Stoga je djeljivs nekim prostim brojem. Neka je taj broj G. Tvrdim da G nije jednak nis jednim od brojeva A, B i C. Ako je to ipak moguce, neka tako bude.Buduci da je DE mjerljiv s A, B i C, mora biti mjerljiv i s G (ako je Gjednak nekom od njih). Ali G mjeri EF, a tada mora mjeriti i ostatak -jedinicu DF što je besmisleno (*prosti brojevi su veci od1!) dakle, Gnije jednak niti jednom od brojeva A, B i C. A po hipotezi je prost broj.Zato,smo pronašli prost broj veci od proizvoljnih prostih brojeva A, Bi C.

Modificirani dokaz: Neka je a proizvoljni prirodni broj. Neka jeb produkt svih prostih brojeva manjih od a. Zato svaki prost broj manjiod a dijeli b bez ostatka. Dalje, neka je s(b) = b+ 1. Svaki prost brojdijeli s(b) s ostatkom 1. Ali znamo da se s(b) kao i svaki broj možefaktorizirati u proste brojeve. Neka je c jedan od njih. Ocigledno je dac mora biti veci ili jednak s a (jer svi prosti brojevi manji od a dijele cs ostatkom 1). Ali a je proizvoljan, pa zato za svaki broj postoji prost


broj koji je veci od ili jednak s njime.

Analizirajte pomocu Fitch-a izvorni dokaz kojeg možete uzeti na adresi

http://www.vusst.hr/~logika/2003/euklid.prf

Služeci se gore skiciranim "modificiranim dokazom" otkrijte koje se premisekoriste u dokazu i kakav je njihov logicki status (i.e. jesu li aksiomi, definicijeili teoremi). U dokazu se koriste pokrate (TautCon, tautološke posljedice). Osv-


ježite pamcenje s ovim dokazom

http://www.vusst.hr/~logika/2003/mtt.prf

a zatim sami dokažite jednu tautološku posljedicu koja se koristi u dokazu

http://www.vusst.hr/~logika/2003/prosirMTT.prf

9.2.1.2 Paradoks brijaca

U jednom je gradicu bio brijac koji je brijao sve one i samo one koji nisu brijalisami sebe. Pricu možemo formalizirati ovako:

9z9x[Brija·cIz(x; z)^8y(Mu·skaracIz(y; z) ! (Brije(x; y) $ :Brije(y; y)))]

Naizgled nema nikakvih logickih prepreka za postojanje takvog gradica. No,evo dokaza da takvog gradica ne može biti.

Dokaz 12 Navodni dokaz. pretpostavimo da postoji takav gradic. Nazovimoga Gradin i brijaca u njemu Frane. Po pretpostavci Frane brije sve one i samoone muškarce koji ne briju sami sebe. Frane ili brije samoga sebe ili ne brije.U prvom slucaju Frane sebe brije, pa slijedi da se ne brije jer on ne brije onemuškarce koji se briju sami. U drugom slucaju, on sebe ne brije, ali kako Franebrije sve one koji se ne briju sami, on mora brijati sebe. Iz svake mogucnostislijedi apsurd. Ispitujuci pojedine slucajeve (iskljucenje disjunkcije) izveli smokontradikciju iz pocetne pretpostavke. Kontradikcija pokazuje da je pocetnapretpostavka lažna, pa zakljucujemo da takvog gradica nema niti može biti.

Seksisticka pristranost u dokazu: ako je brijac žena, onda nema paradoksa.Ono što dokaz pokazuje jest da ako postoji takav gradic onda lokalni brijac dolaziiz nekog drugog grada ili je brijac žena. Dokaz pokazuje da je sljedeca recenicavaljana recenica prvoga reda:

:9z9x[Mu·skaracIz(x; z) ^ 8y(Mu·skaracIz(y; z) ! (Brije(x; y) $:Brije(y; y)))]

Zadatak 56 Pokušajte iskazati gornju recenicu u prirodnom jeziku16.

16 ∀z∀x[¬MuskaracIz(x, z) ∨ ¬∀y(MuskaracIz(y, z) → (Brije(x, y) ↔¬Brije(y, y)))]⇐⇒∀z∀x[MuskaracIz(x, z)→ ∃y(MuskaracIz(y, z) ∧ (Brije(x, y) Y ¬Brije(y, y)))]Muškarci iz bilo kojeg grada ili briju nekog muškarca ili taj muškarac ne brije sebe.

Poglavlje 10Formalni dokazi i kvantifikatori

10.1 Pravila za univerzalni kvantifikator

10.1.1 Univerzalna elminacija (8 Elim, uklanjanjeuniverzalnog kvantifikatora)

8xS(x)...

B S(c)

Ako smo ustanovili da

8xS(x)

i ako je c ime nekog predmeta iz domene na koju se odnose recenice našeg jezika,onda možemo zakljuciti daS(c). Tradicionalni iskazi: što vrijedi za sve, vrijedii za pojedine. Uocimo da smo polazeci od recenice u kojoj se javlja univerzalnikvantifikator došli do recenice u kojoj je izostavljen.

10.1.2 Opceniti kondicionalni dokaz i univerzalnaintrodukcija (8 Intro, uvodenje univerzalnog kvntifikatora)

c P (c)...Q(c)

B 8x(P (x) ! Q(x))

c se ne javlja izvan poddokaza u kojem je uveden.c

...P (c)

B 8xP (x)

c se ne javlja izvan poddokaza u kojem je uveden.Ako za proizvoljni predmet kojemu smo dodijelili ime c možemo dokazati

P (c), onda možemo zakljuciti da

8xP (x).

U varijanti kondicionalnog dokaza: ako pod pretpostavkom da P (c) vrijedi za

112

10.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator 113

proizvoljni predmet c možemo dokazati daQ(c), onda možemo zakljuciti

8x(P (x) ! Q(x)).

Važno je uvijek upotrebiti novo ime jer to ime "pokušava referirati" na proizvoljnipredmet, predmet o kojemu ne znamo ništa (odnosno u varijanti opcenitog kondi-cionalnog dokaza: predmet o kojemu ne znamo ništa osim da ispunjava uvjet upretpostavci poddokaza).

10.2 Pravila za egzistencijalni kvantifikator

10.2.1 Egzistencijalna introdukcija

S(c)...

B 9xS(x)

Ako smo ustanovili da S(c), onda možemo zakljuciti da

9xS(x).

10.2.2 Egzistencijalna eliminacija9xS(x)...

c S(c)...Q

B Q

c se ne javlja izvan poddokaza u kojemu je uveden.Uvodenje novog, privremenog imena (“Neka je c predmet koji zadovoljava

S(x)”). Ako pretpostavkom da predmet kojem smo dodijelili novo ime c zado-voljava uvjet S(x) možemo dokazati Q (u kojem se ne javlja c), onda možemozakljuciti da Q.

Zadatak 57 Dokažite valjanost kategorickog silogizma17 Barbara koristeci jednom17 Raspored pojmova u silogizmu (dovoljno je gledati premise - konkluzija je uvijek S P): 1.figura MP; SM

2. figura PM; SM3. figura MP; MS4. figura PM; MSValjani silogizmi1: BARBARA, CELARENT, DARII, FERIO2: CESARE, CAMESTRES, FESTINO, BAROCO3: DARAPTI, DISAMIS, DATISI, FELAPTON, BOCARDO, FERISON4: BRAMANTIP, CAMENES, DIMARIS, FESAPO, FRESISON

114 Poglavlje 10 Formalni dokazi i kvantifikatori

pravilo univerzalne introdukcije a drugi put koristeci samo pravilo opcenitog kondi-cionalnog dokaza.

10.2.3 Pravila prirodne dedukcije u Lemmon stilu zakvantifikatore10.2.3.1 Egzistencijalni kvantifikator

10.2.3.2 9 Intro

p1; :::; pn (i) P (a)...p1; :::; pn (j) 9xP (x) i 9Intro

10.2.3.3 9 Elim

p1; :::; pn (i) 9xP (x)...j (j) P (a) pretpostavka...q1; :::; qm (k) Q...Pret (l)..C i, j, k 9Elim

gdje je Pret = (fp1; :::; png [ fq1; :::; qmg) ¡ fjg i gdje se konstanta a nejavlja u Pret

10.2.3.4 Univerzalni kvantifikator

10.2.3.5 8 Intro

p1; :::; pn (i) P (c)...p1; :::; pn (i) P (c)...p1; :::; pn (j) 8xP (x) i 8Introgdje je c proizvoljno ime koje se ne javlja u recenicama p1; :::; pn; j.

10.2.3.6 8Elim

p1; :::; pn (i) 8xP (x)...

10.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili recenice koje opravdavaju druge recenice?115

p1; :::; pn (j) P (c) i 8Elim

10.3 Poddokazi koji opravdavaju dokaze ili recenicekoje opravdavaju druge recenice?

Nedavno je David Makinson upozorio na mogucnost nastanka nesporazuma akose sustav prirodne dedukcije predstavi kao skup pravila o uvodenju logickihkonstanti u recenicu i pravila o uklanjanju logickih konstanti iz recenice. Onupozorava na razliku koja postoji izmedu pravila (#) "prijelaza s recenic-a/e narecenicu", kojim se povezuju "stare" i "nove" recenice i (##) pravila "prijelaza sazakljucka na zakljucak", kojim se povezuju dva dokaza. Pravila 8Elim i 9Intromogu se shvatiti kao pravila za transformaciju recenice u novu recenicu:

[8Elim] 8xP (x) ` P (a), (10.1)[9Intro] P (a) ` 9xP (x),

gdje je ’`’ simbol za odnos dokazivosti, koji je infiksno zapisan. No ovakvozapisivanje "u jednoj crti" nije moguce kod pravila 8Intro i 9Elim jer ovdjejedan dokaz opravdava drugi. Oznacimo s ¡ premise koje su na snazi u dokazu:

[8Intro] ¡ ` P (a)

¡ ` 8xP (x)pod uvjetom da se a ne javlja u recenicama iz ¡,(##)

[9Elim]¡; P (a) ` Q

¡;9xP (x) ` Qpod uvjetom da se a ne javlja u recenicama iz ¡.

Zaista, ne možemo zanemariti Makinsonovo upozorenje. Pravila_Elim, :Intro,! Intro, 8Intro i 9Elim razlikuju se od ostalih i o tome treba voditi racuna uucenju i poducavanju "prirodne dedukcije".

Poglavlje 11Istinitosno stablo

11.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta

11.1.1 Pravila prema Jeffrey-u11.1.1.1 =

Pravilo identiteta: ako otvorena grana sadrži m = n kao i recenicu pu kojoj se imena n, m javljaju barem jednom, upišite na kraju svakeotvorene staze (grane) recenicu q koja nastaje ako se jedna ili više po-java jednog od tih imena zamijeni s drugim imenom, pod uvjetom da qvec nije prethodno upisano u toj stazi(grani).

Pravilo razlike: zatvorite svaku stazu (granu) koja sadrži n 6= n.

11.1.1.2 8

Univerzalna instancijacija: ako se u otvorenoj stazi (grani) javlja recenicaciji je oblik 8vp[v], onda (1) ako se ime n javlja u toj stazi, upišitena njezinom kraju p[n], pod uvjetom da se p[n] vec ne nalazi u tojstazi; (2) ako se niti jedno ime ne javlja u stazi, odaberite novo imen i napište p[n] na kraju staze. Nakon primjene ovog pravila nemojteoznaciti 8vp[v] s kvacicom.

11.1.1.3 :8 i :9

Pravilo negirane kvantifikacije: ako se recenica koja pocinje s (i) :8,(ii) :9 javlja u otvorenoj stazi, oznacite je kvacicom i na kraju svihotvorenih staza koje sadrže tu recenicu upišite umjesto (i) 9:, odnosnoumjesto (ii) 8:.

11.1.1.4 9

Egzistencijalna instancijacija: ako se u otvorenoj stazi javlja recenicakoja nije oznacena kvacicom i ciji je oblik 9vp[v], ispitajte javlja li serecenica ciji je oblik p[n] u toj stazi; ako ne, odaberite novo ime n (imekoje se nije koristilo nigdje u toj stazi) i na kraju staze upišite p[n].Kada to ucinite na kraju svake otvorene staze koja sadrži 9vp[v], njuoznacite kvacicom.

116

11.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta 117

11.1.2 Pravila uz Tableua 38x©: dodajte "ª" na kraju svake otvorene grane koja sadrži ovu pojavu "8x©",gdje je "ª" rezultat zamjene svake pojave "x" u "©" s nekim imenom (individu-alnom konstantom) koje se vec javilo u grani kojoj se ª dodaje.

:8x©: dodajte "9x:©" na kraju svake otvorene grane koja sadrži ovu pojavu":8x©". Oznacite kvacicom!

9x©: dodajte "ª" na kraju svake otvorene grane koja sadrži ovu pojavu"9x©", gdje je "ª" rezultat zamjene svake pojave "x" u "©" s nekim imenom(individualnom konstantom) koje je novo u grani kojoj se ª dodaje. Oznacitekvacicom!

:9x©: dodajte "8x:©" na kraju otvorene grane koja sadrži ovu pojavu":9x©". Oznacite kvacicom!

Univerzalna instancijacija Egzistencijalna instancijacija8xP (x) 9xP (x)

p

P (a) P (a)a je ime koje se vec javilo a je novo ime

:8xP (x)p :9xP (x)

p

9x:P (x) 8x:P (x)

Identitetna pravila

a = b;P (a) :a = aP (b) zatvorite granu

Zadatak 58 Everybody loves my baby but my baby don’t love nobody but me. PjesmaPalmer-a i Williams-a iz 1924. Konkluzija: Baby is me.

Zadatak 59 Neka je relacija R je irefleksivna i tranzitivna. Ispitajte slijedi li da je Rasimetricna relacija!

118 Poglavlje 11 Istinitosno stablo

Zadatak 60 Simbolizirajte i pokažite valjanost sljedeceg zakljucka: ’Ja nemam nibrace ni sestara, ali otac tog covjeka sin je moga oca. Dakle, ja sam otac tog covjeka.’Koristite sljedece simbole: a za ’ja’, b za ’taj covjek’ i Otac(x; y) za ’x je otac od y’.

11.1.2.1 Protuprimjeri

Metoda stabla prikladna je za pronalaženje protuprimjera nevaljanim zakljuccima.Valjan zakljucak nema protuprimjera, a to u neformalnom smislu znaci da nisumoguce okolnosti pod kojima bi sve premise bile istinite a konkluzija neistinita.Sve grane (staze) stabla izgradenog na osnovi premisa i negacije konkluzije kodvaljanog zakljucka bit ce zatvorene. No, kod nevaljanog zakljucka barem jednagrana stabla bit ce otvorena i na njoj cemo moci ocitati protuprimjer. Protuprim-jer cemo ocitati na sljedeci nacin: 1. prepišimo sva imena koja se javljaju naotvorenoj stazi i dobit cemo domenu, 2. izdvojimo sve predikate koji se javljajuu literalima na otvorenoj stazi, 3. ako se neka n-torka javlja u afirmativnomliteralu (tj. u atomarnoj recenici) onda i samo onda uvrstimo je u ekstenzijupredikata koji se javlja u toj recenici. Ako je više grana otvoreno, moci cemoocitati više protuprimjera.

Primjer 11.1

Slika pokazuje stablo koje bi moglo nastati pri ispitivanju valjanosti zakljucka 9xP (x)^9xQ(x) ` 9x(P (x) ^ Q(x)). Pravokutnici s lijeve strane pokazuju tocke koje moramogledati da bismo ocitali protuprimjer. D = fa; bg, P = fag, Q = fbg.

Primjedba 5 Sistematska izgradnja strukture prvog reda ponekad može ukljuci-vati beskonacno mnogo koraka. Ako bismo samo sljedili upute za gradnju stabla,onda za 8x9yR(x; y) ! R(a; a) našem poslu ne bi bilo kraja. Zato odgovor na

11.1 Pravila za kvantifikatore i predikat identiteta 119

pitanje o valjanosti tog kondicionala ne bismo mogli dati na osnovi "mehanickegradnje" stabla.

Poglavlje 12Numericka kvantifikacija

Zanimljivo je pitanje o tome koja je sintakticka uloga brojki. Ako promatramoosnovne sintakticke kategorije logike prvoga reda, singularne termine (terme),predikate, istinitosno-funkcionalne veznike i kvantifikatore, onda brojke možemopovezati sa svakom sintaktickom kategorijom osim s istinitosno-funkcionalnimveznicima.

Primjer 12.1 "Postoje tocno dvije supstancije" - kakvu formalizaciju odabrati? Ulogici drugog reda: a) kao predikat koji se predicira drugom, 2(Supstancija), b) kaosingularni term, 2=broj(Susptancija), gdje je ’2’ individualna konstanta a ’broj’ funkcijakoja za argumente uzima predikate. U logici prvog reda koristili bismo kvantifika-tore: 9!2xSupstancija(x). Cilj nam je u daljnem tekstu pokazati kako možemo unutargranica izražajnih mogucnosti logike prvog reda iskazati kolicinu.

Numericke tvrdnje kojima se tvrdi kako tocno odredeni broj predmeta ispun-java neki uvjet možemo iskazati u logici prvoga reda.

12.1 Barem n predmetaZa iskazati tvrdnju da barem n predmeta zadovoljava uvjet P (x) poslužit cemose s n egzistencijalnih kvantifikatora i n2−n

2 negiranih identitetnih iskaza.Barem jedan... 9xP (x)Barem dva... 9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y)Barem tri... 9x9y9z(:::x 6= y ^ x 6= z ^ y 6= z)Barem cetri 9x9y9z9v(:::x 6= y ^ x 6= z ^ x 6= v ^ y 6= z ^ y 6= v ^ z 6= v)Barem n... 9x1:::9xn(:::x1 6= x2 ^ ::: ^ x1 6= xn ^ ::: ^ xn−1 6= xn)

Ako se u nekoj kolekciji nalaze samo svjetovi u kojima se javljaju jedinoimenovani predmeti i u kojima su jedina imena koja se koriste a, b i c, ondaje recenica 9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y) istinita upravo onda kad i (P (a) ^P (b) ^ a 6= b) _ (P (a) ^ P (c) ^ a 6= c) _ (P (b) ^ P (c) ^ b 6= c). Korisno jenapraviti vježbu koja ce potvrditi prethodno, uvjetno poistovjecenje. Razlažemo9x9y(P (x)^P (y)^x 6= y) tako se krecemo izvana prema unutra. Mora postojatibarem jedan predmet x koji zadovoljava isf-u 9y(P (x)^P (y)^ x 6= y):Buducida se predmeti javljaju jedino pod imenima a, b i c, jedna medu recenicama9y(P (a)^P (y)^x 6= y), 9y(P (b)^P (y)^x 6= y), 9y(P (c)^P (y)^x 6= y)mora biti istinita. Ponovimo razlaganje i dobivamo:z }| {

((P (a) ^ P (a) ^ a 6= a)| {z }⊥

_ (P (a) ^ P (b) ^ a 6= b) _ (P (a) ^ P (c) ^ a 6= c))_

120

12.1 Barem n predmeta 121

z }| {((P (b) ^ P (a) ^ b 6= a) _ (P (b) ^ P (b) ^ b 6= b)| {z }

⊥

_ (P (b) ^ P (c) ^ b 6= c))_

z }| {((P (c) ^ P (a) ^ c 6= a) _ (P (c) ^ P (b) ^ c 6= b) _ (P (c) ^ P (c) ^ c 6= c)| {z })

⊥Uklanjajuci ? dobivamo:((P (a) ^ P (b) ^ a 6= b) _ (P (a) ^ P (c) ^ a 6= c))_((P (b) ^ P (a) ^ b 6= a) _ (P (b) ^ P (c) ^ b 6= c))_((P (c) ^ P (a) ^ c 6= a) _ (P (c) ^ P (b) ^ c 6= b))

Uklanjajuci duplikate (koristeci najprije komutativnost konjunkcije, zatimsimetricnost relacije ne-identiteta i na kraju idempotentnost disjunkcije) dobi-vamo traženo:

((P (a)^P (b)^ a 6= b)_ (P (a)^P (c)^ a 6= c))_ (P (b)^P (c)^ b 6= c))

Predodžba u pozadini: promatramo parove imena, provjeravamo zadovol-javaju li njima imenovani predmeti P (x) i jesu li razliciti; ako da kažemo daje ’barem dva predmeta su P’ istinita recenica, ako ne nastavljamo postupak doposljednje provjere; neuspjeh provjere pokazuje da ’barem dva predmeta su P’nije istinita recenica.

Zadatak 61 Pokušajte smisliti još neki nacin kako bi se mogla provjeravati ’baremdva’ recenica!

Odgovor 14 Promatramo imenovane predmete redom, kad dodemo do prvogakoji zadovoljava zapišemo ’barem jedan predmet je P’; nastavljamo dalje; akonademo još jedan kažemo ’barem dva predmeta su P’; ako ne uspije prvi postu-pak ili ne uspije drugi kažemo da ’barem dva’ recenica nije istinita.

Informacijski ucinak recenice ’barem dva predmeta su P ’ možemo zamislitikao dolje skiciranu redukciju koja eliminira sve one interpretacijske mogucnostiu kojima je ili samo jedan predmet P ili niti jedan predmet nije P .

Stanje neznanja u odnosu na P

Koji su predmeti P?

1. a,b,c

2. a,b

3. a,c

4. b,c

5. a

6. b

7. c

8. /

∃x∃y(P (x)∧P (y)∧x6=y)=)

Ucinak informacije

Koji su predmeti P?

1. a,b,c

2. a,b

3. a,c

4. b,c

122 Poglavlje 12 Numericka kvantifikacija

12.2 Najviše n predmetaZa iskazati tvrdnju da najviše n predmeta zadovoljava uvjet P (x) možemo isko-ristiti negaciju tvrdnje da barem n+ 1 predmeta zadovoljava taj uvjet.

Najviše jedan...(nije tako da barem dva...) :9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y)Najviše dva... :9x9y9z(::: ^ x 6= y ^ x 6= z ^ y 6= z)Najviše n... :9x1:::9xn+1(:::x1 6= x2^::: ^ x1 6= xn+1^::: ^ xn 6= xn+1)

Primjenom DeMorganovih zakona za kvantifikatora i definicije kondicionaladobivamo "službeni oblik" recenica kojima se tvrdi da najviše n predmeta zado-voljava odredeni uvjet.

Najviše jedan... 8x8y((P (x) ^ P (y)) ! x = y)Najviše dva... 8x8y8z((P (x) ^ P (y) ^ P (z)) ! (x = y _ x = z _ y = z))Najviše n... 8x1:::8xn+1((:::) ! (x1 6= x2::: _ x1 6= xn+1 _ ::: _ xn 6= xn+1))

Ako u jeziku susrecemo tri individualne konstante, a, b, c, tvrdnja da imanajviše dva predmeta može biti istinita samo ako barem dva imena imenujuisti predmet. Ako je jedan od dva predmeta bezimen, onda sva tri imenaimenuju drugi predmet.

Da bismo rekli da ima barem n predmeta potrebno nam je negzistencijalnih kvantifikatora. Da bismo rekli da ima najviše n pred-meta potrebno nam je n+ 1 univerzalnih kvantifikatora.

12.2.1 Negacije za ’barem ...’ i ’najviše ...’

Primjer 12.2najviše 2z}|{0 1 2

barem 3z }| {3 4 5 :::

Izrazi ’Najviše dvije stvari su P ’ i ’Barem tri stvari su P ’ uspijevaju razdijeliti svemogucnosti u pogledu broja stvari koje su P . Recenica ’Najviše dvije ili barem tri

12.2 Najviše n predmeta 123

stvari su P ’ ne tvrdi ništa.

Negacija recenice ’barem n stvari je P ’ je recenica ’najviše n¡1stvari je P ’.

Negacija recenice ’najviše n stvari je P ’ je recenica ’barem n+1stvari je P ’.

Zadatak 62 Dokažite :9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y) , 8x8y((P (x) ^ P (y)) !x = y), to jest da je znacenje recenice ’nije slucaj da su barem dva predmeta P ’ jednakoznacenju recenice ’najviše jedan predmet je P ’.

Odgovor 15


12.3 Tocno n predmeta

Primjer 12.3

najviše dvaÃ¡¡¡¡¡!0 1 2 3 4 5 :::

Ã¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡!barem dva

"Postoje tocno dva predmeta koja ispunjavaju uvjet P" možemo iskazati kao (i)"Postojebarem dva i postoje najviše dva predmeta koja ispunjavaju uvjet P". Sažetije gornjutvrdnju možemo iskazati ovako (ii)"Postoje dva razlicita predmeta koja ispunjavaju uvjetP i ma koji predmet zadovoljavao uvjet P taj je predmet identican s jednim od njih".Takoder je možemo iskazati i ovako (iii) "Postoje barem dva predmeta takva da štogodzadovoljavalo uvjet P identicno je s jednim od njih i što god bilo identicno s jednim odnjih zadovoljava uvjet P".

Primjer 12.4 U formalnom zapisu nalazimo sljedece ekvivalencije

9!2xP (x) ,

barem 2z }| {9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y)^

^najvi·se 2z }| {

8x8y8z((P (x) ^ P (y) ^ P (z)) ! (x = y _ x = z _ y = z)), 9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y ^ 8z(P (z) ! (z = x _ z = y)), 9x9y(x 6= y ^ 8z(P (z) Ã! (z = x _ z = y)), 9x9y8z(x 6= y ^ (P (z) Ã! (z = x _ z = y))

12.3 Tocno n predmeta 125

Za iskazati tvrdnju da ima tocno n predmeta koji zadovoljavajuneki uvjet treba nam n+ 1 kvantifikator, od cega je n egzistencijalnihdok je jedan univerzalni.

Primjedba 6 Ponegdje su se, zbog razumljivih razloga, uvriježile pokrate 9=nxP (x),95nxP (x), 9!nxP (x) za tvrdnje da postoji barem n, najviše n, te tocno n pred-meta koji zadovoljavaju uvjet P (x).

Zapamtite kako iskazujemo tvrdnju da je jedan i samo jedanpredmet P: (i) 9x(P (x)^8y(P (y) ! x = y)), odnosno (ii) 9x8y(P (y) $x = y):

Dokažimo ekvivalenciju 9x(P (x) ^ 8y(P (y) ! x = y)) , 9x8y(P (y) $x = y). Moramo pokazati da je desna strana posljedica lijeve i obratno. Pocin-jemo s lijeva na desno (odredite pravila koja se primijenjuju u ?? ).


Dokaz s desna na lijevo.

Zadatak 63 Pokušajte pronaci što "prirodnija" citanja za sljedece recenice: (i) 8x8yx = y, (ii) 8x9y x = y, (iii) 9x8y x = y, (iv) 9x9y x = y. Koje su medu njima valjanerecenice prvoga reda? Koje (ako ijedna) su "elejske" ili "sve je jedno"-recenice? Ako jeneka recenica valjanost prvoga reda, izradite dokaz za nju!

Zadatak 64 Dokažite 8x8y x = y , 9x8y x = y!

12.3.1 Jedini PRazlika u provjeravanju istinitosti za ’Svi’ i ’Neki’ u odnosu na nacin provjer-avanja numerickih kvantifikatora nije beznacajna. Za ’Sve stvari su P’ moramoproci preko svakog predmeta da bismo potvrdili istinitost, za ’Neke stvari su P’možemo stati kod prve pozitivne instance, za ’Samo je jedan predmet P’ nužnoje ispitati sve slucajeve, nakon prve pozitivne instance sve ostale moraju bitinegativne.

Sve je P. Nešto je P. Jedno je P.verifikacija preko cijele domene do prve pozitivne instance preko cijele domenefalsifikacija do prve negativne instance preko cijele domene do druge pozitivne instance

ili preko cijele domene

Promotrimo formulu 9x(P (x) ^ 8y(P (y) ! x = y)) i njoj ekvivalentnu9x(P (x) ^ :9y(P (y) ^ x 6= y)) Ona kaže da postoji stvar koja je P i nijednadruga stvar nije P.

12.4 Što je dovoljno za znati iskazati numericke tvrdnje? 127

U matematickom žargonu za "samo jedan" susrecemo izraz "jedan i samojedan" koji treba sugerirati "barem jedan i najviše jedan". Intuicije znacenjamogu se razlikovati, po mojoj intuiciji "samo jedan" povlaci i "barem jedan" i"najviše jedan".

12.3.2 Metode dokaza za numericke kvantifikatoreKada dokazujemo numericki kvantificirane izraze tada moramo dokazatidvije tvrdnje: barem-tvrdnju i najviše tvrdnju. Ako dokazujemo 9!nxP (x)

moramo dokazati 9=nxP (x) i 95nxP (x)

12.4 Što je dovoljno za znati iskazati numericketvrdnje?

Za napisati tvrdnje o tome kako odredena kolicina predmeta zadovoljava nekiuvjet dovoljno je znati napisati ’Barem n...’ (ili ’Ne manje od n...’). Sve ostalebrojcane kvantifikatore možemo dobiti kombinirajuci izraze te vrste.

12.4.1 Kako pišemo ’Barem n predmeta je P ’?9x1:::9xn(P (x1) ^ ::: ^ P (xn) ^

z }| {x1 6= x2 ^ ::: ^ x1 6= xn ^ ::: ^ xn−1 6= xn)

Promotrimo isf-u oznacenu viticastom zagradom. Ona kaže u podvucenomdijelu da je prvospomenuti predmet razlicit razlicit od svih drugih spomenutihpredmeta, o sljedecem predmetu kaže to isto i tako sve posljednjeg spomenutogpredmeta. Pogledajmo donju tablicu. Polovinu ("donji trokut") ispod dijago-nale oznacene kvadraticima možemo zanemariti jer je 6= simetricna relacija iekvivalentne parove s naci cemo u dijelu iznad dijagonale. Prvi redak s isf-ama dopušta i slucaj da x2 = ::: = xn−1 = xn, dakle i dva predmeta bimogla zadovoljiti tu isf-u. No, to je iskljuceno drugim retkom, koji dopuštax3 = ::: = xn−1 = xn, dakle tri predmeta bi mogli zadovoljiti prve dvije isf-e. Ali tu mogucnost iskljucuje treci redak. I tako sve do retka n ¡ 1, zato jepotrebno barem n predmeta da bi se zadovoljile sve isf-e. Potreban broj recenicaizracunavamo kao "površinu" gornjeg dijela tablice: n2−n

2 = n(n−1)2 ".

6= x1 x2 ::: xn−1 xnx1 ¥ x1 6= x2 ::: x1 6= xn−1 x1 6= xnx2 x2 6= x1 ¥ ::: x2 6= xn−1 x2 6= xn::: ::: ::: ¥ ::: :::xn−1 xn−1 6= x1 xn−1 6= x2 ::: ¥ xn−1 6= xnxn xn 6= x1 x1 6= x2 ::: xn 6= xn−1 ¥

12.4.2 Kako se odnose ’Barem n...’ i ’Najviše n¡ 1...’’Nije slucaj da barem n...’ ekvivalentno je ’Najviše n¡ 1 ...’.

Primjer 12.5 Tablica pokazuje kako dva numericka kvantifikatora dijele polje mogucih


kolicina na dva razdvojena dijela:

najviše dvaÃ¡¡¡¡¡!0 1 2 3 4 5 :::

barem triÃ¡¡¡¡¡¡¡¡¡!

[Nije slucaj da barem n...] ’:9x1:::9xn(P (x1) ^ ::: ^ P (xn) ^ x1 6= x2 ^::: ^ x1 6= xn ^ ::: ^ xn−1 6= xn)’

ekvivalento je s[Najviše n¡1 ...] ’8x1:::8xn(:P (x1)_ :::_:P (xn)_x1 = x2_ :::_x1 =

xn _ ::: _ xn−1 = xn)’, to jest, nakon transformacije disjunkcije u kondicional:’8x1:::8xn[(P (x1)^ :::^P (xn)) ! (x1 = x2_ :::_x1 = xn_ :::_xn−1 = xn)]

12.4.3 Kako kazati ’Tocno n...’Cinjenicu da ’najviše’ i ’barem’ cijepaju polje mogucih kolicina na na lijevi dio,[najviše] od 0 prema gornjoj granicnoj kolicini, i na desni dio, [barem] od nekedonje granicne kolicine prema beskonacnom možemo iskoristiti da iskažemo’Tocno n...’. Trebamo "poklopiti" gornju granicu od ’najviše’ i donju od ’barem’.

’Tocno n...’ ekvivalentno je s ’Najviše n ... i barem n ...’.

Primjer 12.6 Kako cemo "isjeci" jednu odredenu kolicinu? Primjer za ’Dva...’:

najviše dvaÃ¡¡¡¡¡!0 1 2 3 4 5 :::

Ã¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡!barem dva

Koristeci ’barem’ kao polazište dobivamo da je ’Tocno n...’ ekvivalentno s’Nije tako da barem n+ 1 ... i barem n ...’.

Primjer 12.7 ’Tocno jedan...’ Najprije nacrtajmo sliku:

najviše jedan(tj. nije slucaj da barem dva)Ã¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡!0 1 2 3 4 :::

Ã¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡¡!barem jedan

(i) Barem jedan predmet je P . 9xP (x)(ii) Nije tako da darem dva predmeta jesu P :9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y)Spajamo (i) i (ii) i dobivamo ’Tocno jedan predmet je P ’(iii) 9xP (x) ^ :9x9y(P (x) ^ P (y) ^ x 6= y)(iii) je ekvivalentno s (iv)9x8y(P (y) $ x = y)

Primjer 12.8 Dokažimo ekvivalenciju 9x(P (x)^8y(P (y) ! x = y)) , 9x8y(P (y) $x = y). Moramo pokazati da je desna strana posljedica lijeve i obratno. Pocinjemo s

12.4 Što je dovoljno za znati iskazati numericke tvrdnje? 129

lijeva na desno (pritisnite hipervezu, preuzmite prf dokument i odredite pravila koja seprimijenjuju u ?? ).Dokaz

Primjer 12.9 Postoji li za izraz "More than one thing is smaller than something largerthan b." neki drukciji zapis od onoga "Postoje najmanje dvije stvari koje su manje od


necega veceg od b"? Da. Evo jednog nacina. ’Nije tako da je najviše jedan predmetmanji od necega što je vece od b’ .

Poglavlje 13Odredeni opisi

Primjer 13.1 Ako nema slona u ormaru i ako zato mislimo da je (i) ’Taj slon u ormarune gužva moju odjecu’ neistinita recenica, je li negacija te recenice - recenica (ii) ’Tajslon u ormaru gužva moju odjecu’? Ako jest, onda je potonja recenica (ii) istinita buducije negacija neistininite recenice (i).

Primjer 13.2 Slicnu poteškocu stvaraju "Oba slona u ormaru gužvaju moju odjecu" i"Ni jedan ni drugi slon u ormaru ne gužva moju odjecu". Što ako u ormaru nema slonovaili ih ima tri?

Primjer 13.3 Formalizirajte recenice iz prethodnog primjera!

13.1 TajBertrand Russell je pocetkom 20. stoljeca predložio nacin analiziranja takvihrecenica za koje se cini kao da govore o odredenim predmetima. Po tom prijed-logu recenice "Taj A je jedan B" ("The A is a B") ne treba tretirati kao atomarnerecenice "B(tajA)" vec kao složene recenice u kojima izraz "taj A" daje odredeniopis. Odredeni opis (definite description) je "unikatni opis" predmeta, "jedinipredmet koji je A". Buduci da se "taj A" shvaca kao "jedini A", dobivamosljedeci formalni zapis: A(x) ^ 8y(A(y) ! x = y), odnosno 8y(A(y) $x = y). Dalje, Taj A je jedan B" shvacamo kao "Samo je jedna stvar A i onaje B" i prikazujemo kao 9x(A(x) ^ 8y(A(y) ! x = y) ^ B(x)), odnosno kao9x8y((A(y) $ x = y) ^B(x)).

Zadatak 65 Pokažite da je uvjet P (x) jednakovrijedan uvjetu 8y(y = x ! P (y))i time ekvivalenciji 8y(P (y) $ x = y) , P (x) ^ 8y(P (y) ! x = y)! Razlažucikvantificirani izraz 8y(y = x ! P (x)) na atomarne isf-e uvidamo da cemo za svakipojedini konjunkt imati (a = b ! P (b)) . To je istinito na isprazan nacin ako a nijeidenticno s b. Ako je a identicno s b, onda > ! P (b) što je istovrijedno s P (b).Alternativno, poslužimo se s reductio ad absurdum:Po pretpostavci mora vrijediti iliP (x) ^ :8y(y = x ! P (x)) ili :Px ^ 8y(y = x ! P (x). U prvom slucaju, zaproizvoljni predmet a vrijedi P (a) i 9y(a = y^:P (a)). Uklanjanje konjunkcije vodi dokontradikcije. U drugom slucaju mora vrijediti :P (a) i a = a ! P (a). Zahvaljujucirefleksivnosti identiteta dobivamo P (a) i time kontradikciju.

Recenice (i)”Sadašnji francuski kralj je celav” i (ii)”Sadašnji francuski kraljnije celav” izgledaju uzajamno proturjecne, izgledaju kao da jedna negira/nijece

131

132 Poglavlje 13 Odredeni opisi

drugu. Ako tako stoje stvari, onda jedna medu njima mora biti istinita, a druganeistinita. Ali, sadašnji francuski kralj ne postoji i ne možemo reci koja jerecenica istinita iako po prethodnom stavku jedna mora takvom biti. Najlakšerješenje ove potoškoce bilo bi u tome da pravilom tvorbe zabranimo tvrdnje onepostojecim predmetima. Drugo rješenje bilo bi uvodenje nove semantickevrijednosti za tvrdnje o nepostojecim predmetima (npr. ”neodredeno”). NoRussell nije odabrao takav nacin. Po njegovom prijedlogu, ovakve recenice netrebamo promatrati kao recenice koje govore o odredenoj osobi, vec o bilo kojoj.Prikažimo logicki oblik recenica (i) i (ii) i pretpostavimo da izraz ”sadašnji fran-cuski kralj” ima ulogu ”subjekta” tj. ”onoga o cemu se nešto govori”. Dobivamo:

(i) B (k)

(ii) :B (k)

uz tumacenje: k : ta osoba koja je sadašnji francuski kralj, B : biti celavNa temelju ovakvog prikaza logickog oblika možemo zakljuciti ili da recenice

nisu ispravno sastavljene ili da logicka nacela nisu opcevaljana.Pogledajmo kako Russell prikazuje logicki oblik ovih recenica.(i) 9y8x ((Kx Ã! x = y) ^By)

(ii) 9y8x ((Kx Ã! x = y) ^ :By)

uz tumacenje: K: biti sadašnji francuski kraljDobivamo ”Postoji netko tko je jedini sadašnji celavi francuski kralj ” i

”Postoji netko tko je jedini sadašnji francuski kralj i on nije celav”, a tu nemaproturjecja, obje su recenice neistinite.

Obje recenice mogu biti neistinite jer jedna ne negira drugu. Negacija recenice”Sadašnji francuski kralj je celav” ima oblik:

(iii) 8y9x ((Kx Ã! x = y) ! :By), što u slobodnom prijevodu glasi ”Akoje netko jedini sadašnja francuski kralj, onda ta osoba nije celava” (i istinito je).

Jednoznacni opis ne zastupa neki predmet, nije ime. Recenice koje sadržejednoznacni opis sadrže tvrdnju da postoji predmet koji ispunjava opisom zadaneuvjete i da je takav predmet samo jedan.

Sintaksa je sada proširena s novim pravilom tvorbe koje kazuje da sintak-ticka uloga imena i jednoznacnog opisa nije ista. Odstupanje od pravila u raz-motrenom primjeru poslijedica je netocnog prikaza logickog oblika.

13.2 Oba

Primjer 13.4 Ako recenicu "Oba slona su u ormaru" shvatimo kao "Postoje tocnodva slona i oni su u ormaru", a recenicu "Ni prvi ni drugi slon nisu u ormaru" kao"Postoje tocno dva slona i oni nisu u ormaru" onda je ocigledno da nemamo posla sparom kontradiktornih recenica. U formalnom smilu dobivamo za prvo: 9!2xSlon(x) ^8x(Slon(x) ! U_Ormaru(x)) i za drugo: 9!2xSlon(x)^8x(Slon(x) ! :U_Ormaru(x))

9!nP (x)^8x(P (x) ! Q(x)) znaci ’Ima tocno n predmeta koji

13.3 Presupozicije 133

su P i oni su Q’.

Primjedba 7 9!n(P (x) ^Q(x))< 9!nP (x) ^ 8x(P (x) ! Q(x)).

Zadatak 66 Jesu li sljedece recenice ekvivalentne: (i) 9!1xP (x)^8x(P (x) ! Q(x)),(ii) 9!1x(P (x) ^Q(x))? Izgradite svijet gdje ce (i) biti istinito a (ii) nece!

Odgovor 16 Nisu. (i) Samo je jedan P i on je Q, (ii) Samo je jedna stvar i P iQ:

Recenica 1. odgovara recenici (ii): ova recenica ne zabranjuje da budeviše od jedne kocke. Recenica 2. odgovara (i): ova recenica zabranjujeda bude više od jedne kocke.

13.3 PresupozicijeNa drukciji nacin problem referencije rješavao je Peter Strawson. Po njegovommišljenju Russellova teorija odredenih opisa umjesto da opisuje nacine govora,unosi revizije koje nisu potrebne. Trebamo razlikovati recenice i tvrdnje (state-ment) koje govornici pomocu njih izricu. Kada govornik kaže da je taj A jedanB, onda izraz ’taj A’ suprotno Russellovoj teoriji - doista referira, ili bolje je recipokušava referirati. Da bi izricanje neke tvrdnje bilo smisleno neki uvjeti morajubiti zadovoljeni. Takve uvjete nazivamo presupozicijama. Tvrdnja da je sadašnjikralj francuske celav presuponira, ali ne implicira da on postoji. Slicno, ’Frane


je posjetio svoju kcer’ presuponira da Frane ima kcer. Ako prespozicija nijezadovoljena, recenica nema znacenja. Strawsonova analiza ne cini mi se prih-vatljivom u odnosu na filozofsku pretpostavku koja mi se cini vrlo prihvatljivom:ako je recenica ispravno sastavljena, ona ima znacenje.

Primjedba 8 Presupozicije se razlikuju od razgovornih implikatura. Razgov-orne implikature se mogu ukinuti a da recenica kojoj one pripadaju i dalje zadržiznacenje. Nasuprot tome, ukidanje presupozicije neke recenicu ucinilo bi ju be-smislenom. Na primjer, recenica ’Netko je položio ispit’ ne postaje besmislenomako se njezina implikatura da netko nije položio ispit ukine s recenicom ’Svi supoložili ispit’. No, recenica ’Frane je posjetio svoju kcer’ postaje besmislena akose njezina presupozicija ukine s ’Ali Frane nema kcer’.

1. Po Russellovoj analizi "Taj A je jedan B" u prijevodu na jeziklogike prvoga reda postaje "Postoji tocno jedan A i on je B".

2. "Oba A su B" po Russellovoj analizi daje "Postoje tocno dvaA i svaki od njih je B"

3. "Ni prvi ni drugi A nisu B" po Russellovoj analizi su "postojetocno dva A i ni jedan medu njima nije B"

4. Po Strawsonovoj analizi ovakvi determinatori imaju presupozi-cije. Ako presupozicije nisu zadovoljene primjena ovakvih determi-natora ne uspijeva poluciti tvrdnju. Zbog toga takvi determinatori nemogu na adekvatan nacin biti predstavljeni u logici prvoga reda.

Donnellan je pokušao naci pomirujuci stav.

Nazvat cu dvije uporabe odredenih opisa [...] atributivnom ireferencijalnom. Govornik koji koristi odredeni opis u atributivnomsmislu u nekoj tvrdnju nešto kazuje o bilo kome ili bilo cemu štoje takvo-i-takvo. Govornik koji koristi odredeni opis u referencijal-nom smislu u nekoj tvrdnji, koristi taj opis da bi svojim sugovornicimaomogucio da izdvoje tu stvar ili osobu o kojoj govori i njegova se tvrd-nja odnosi na tu stvar ili osobu.

Primjer 13.5 ’(i) Napoleon je bio najveci francuski vojskovoda. (ii) Wellington jeporazio najveceg francuskog vojskovodu’: u (i) se odredeni opis [najveci francuski vo-jskovoda] koristi atributivno, a u (ii) referencijalno.

Po Donnellan-ovom prijedlogu odredeni opis muškarca u "Taj muškarac sdugim vratom je gurnuo ženu sa šeširom" može se koristiti na dva nacina. Atribu-tivno, da se kaže da je samo jedan muškarc ima dugi vrat i da je taj muškaracgurnuo ženu sa šeširom. Referencijalno, da se na odredenu osobu i za nju kaže daje gurnula ženu sa šeširom. U Donnellanovom prijedlogu pragmatika se razdvajaod semantike. Takvo razdvajanje ne mora svakome biti prihvatljivo. Mnogi

13.3 Presupozicije 135

misle da su nacini kako se koriste recenice ovisni o njihovom znacenju, da jepragmatika ovisna o semantici.

Razliku izmedu atributivne i referencijalne uporabe odredenih opisa, možemo,protivno Donnelalnu, objasniti pomocu razlika u epistemickom stanju sugov-ornika. Ako sugovornik ne zna koja je to jedina osoba ili stvar na koju seprimijenjuje odredeni opis, onda ga on shvaca atributivno. Ako pak zna tkoili što je "to jedino", onda recipijent odredeni opis shvaca referencijalno. Nijeništa neobicno u tome da informacijski ucinak recenice bude razlicit ovisno oinformacijskom stanju onoga koji informaciju usvaja.

Primjer 13.6 Pretpostavimo da domena obuhvaca samo tri stvari cija su imena re-dom a, b i c.

Stanje potpunog neznanja u odnosu na odredeni opis PSve su mogucnosti otvorene:

1. a,b,c *Q

1.1 a,b,c1.2 a,b1.3 a,c1.4 b,c1.5 a1.6 b1.7 c1.8 -

2.1-2.8 a,b+*Q3. 1-3.8 a,c+*Q4.1-4.8 b,c+*Q5.1-5.8 a+*Q6. 1-6.8 b+*Q7.1-7.8 c+*Q8.1-8.8 /+*Q

9!1xP (x)^8x(P (x)!Q(x))=)

Ucinak informacijeSamo je jedan P i on je Q5.1,5.2, 5.3, 5.56.1, 6.2, 6.4, 6.67.1, 7.3, 7.4, 7.7

Primjer 13.7

Stanje znanja u odnosu na odredeni opis P i predikat QSugovornik zna da je a jedini P, ali ne zna tko je Q

Pa

Q?a,b,ca,ba,cb,cabc/

9!1xP (x)^8x(P (x)!Q(x))=)

Ucinak informacije9!1xP (x) ^ 8x(P (x) ! Q(x))P Qa abca aba aca a

Donnellan je opisao dva slucaja usvajanja informacija koji se mogu javitipovodom recenica u kojima se javljaju odredeni opisi. No to nužno ne znaci


da jedna recenica može imati dvije vrste znacenja. Takvo bi rješenje bilo usuprotnosti s nacelom kompozicionalnosti. Recenice svoje znacenje dobivajuu kontekstu. U razmatranim primjerima, promjena koju recenica izaziva na in-formacijskom stanju slušaca ovisi o tom informacijskom stanju. Dakle, nije rijeco dvije uporabe, nije rijec o pragmatici koja slobodno lebdi iznad semantike, veco kontekstualnoj ovisnosti znacenja.

Poglavlje 14Logika generalizirane

kvantifikacijeDeterminatori su, u sintaktickom smislu, operatori koji se povezuju s opcenitomimenicom tvoreci imenicku frazu; u semantickom smislu, odnos izmedu deno-tacija imenicke i glagolske fraze. Neki detreminatori nisu iskazivi u jeziku logikeprvoga reda (’više’ u ’Ona ima više položenih ispita od njega’), neki su iskazivipod odredenim ogranicenjima (kod konacne velicine imenicke fraze, ’vecina’ u’Vecina Ivanovih prijatelja voli jazz’), neki su iskazivi bez ogranicenja (’samojednom ’ u ’samo jednom se ljubi’).

Primjer 14.1

Kocke su vecinom velike.A(x) =def Kocka(x) ^ V eliko(x)B(x) =def Kocka(x) ^ :V eliko(x)9xA(x) ^ 8x:B(x) Sve su kocke velike ILI_9=2xA(x) ^ 9x51xB(x) barem dvije kocke su velike a najviše jedna nije ILI... ..._9=n¡1xA(x) ^ 9x5n¡2xB(x) barem n-1 kocki je veliko a najviše n-2 nije.

Prijevod funkcionira samo kada je denotacija za ’Kocka’ konacna.

Determinator Q bismo mogli dodati na sljedeci nacin: ako su A i B isf-e iv je varijabla, onda Qv(A;B) jest isf i svaka pojava varijable v u Qv(A;B) jestvezana.

Primjer 14.2 ’Svi osim jednog gosta bili su vegetarijanci’ postaje ’Svi_osim_jednogx(Gost(x); V egetarijanac(x))’.

Za svaki determinator Q iz prirodnog jezika mogli bismo do-dati odgovarajuci kvantifikator Q u jezik logike prvoga reda. U takoproširenom jeziku, recenica Qx(A;B) bila bi istinita akko Q objekatakoji zadovoljavaju A(x) takoder zadovoljavaju B(x).

14.1 Logicka svojstva determinatoraIstražit cemo neka logicka svojstva determinatora i to ona koja se odnose naproširivanje i sužavanje opsega predikata cije su varijable vezane s determina-torima.

137

138 Poglavlje 14 Logika generalizirane kvantifikacije

14.1.1 KonzervativnostOvo svojstvo vrijedi za skoro sve determinatore koji se iskazuju samo s jednomrijeci iz prirodnog jezika. Rijec je o slijedecem svojstvu:

Qx(A(x); B(x)) , Qx(A(x); (A(x); B(x)))

Primjer 14.3 Primjer za) polovinu konzervativnosti: ’Ako nijedan lijecnik nije odv-jetnik, onda nijedan lijecnik nije lijecnik i odvjetnik’.

Primjer 14.4 Primjer za ( polovinu konzervativnosti: ’Ako su tocno tri kocke -malene kocke, onda su tocno tri kocke malene’.

Zanimljivo je pitanje zašto ovo svojstvo vrijedi za jednom rjecju iskazivedetrminatore. Cini se kao da rijec ’samo’ (’jedino’) predstavlja protuprimjer zaopcenitu konzervativnost takvih determinatora.

Primjer 14.5 ’Samo su glumci| {z }A

- bogati| {z }B

glumci| {z }A

’ ne povlaci ’Samo su glumci bogati’.

Možda ’jedino’ nije determinator? Pravilo je da kvantifikatore možemo medu-sobno zamijenjivati i time dobiti nove recenice (’Svi A su B’ - ’Vecina A je B’- ’Nekoliko A je B’ itd.). ’jedino’ cini se da krši to pravilo: ’Jedino je Ivicavegetarijanac’ ne dopušta zamjenu ’Vecina Ivica je vegetarijanac’. Ako ’jedino’nije determinator, onda nije niti protuprimjer opcenitoj konzervativnosti.

14.1.2 MonotonicnostMonotonicnost determinatora odnosi se na pitanje što ce se dogoditi ako povecamoili smanjimo velicinu skupa B, skupa stvari koje zadovoljavaju glagolsku frazuu recenici oblika Q A B.

14.1.2.1 Monotonicnost u porastu

Za determinator Q kažemo da je monotonican u porastu ako je sljedeci zakljucak(argument) valjan:

Qx(A(x); B(x))8x(B(x) ! B0(x))Qx(A(x); B0(x))

Još jednostavniji test dobivamo ako uzmemo glagolsku frazu koja zadajedva uvjeta, tada konkluzija može koristiti samo jedan uvjet, a druga premisaje automatski istinita.

Q kocki je maleno i u istom redu s cQ kocki je maleno

14.1 Logicka svojstva determinatora 139

Zadatak 67 Ispitajte imaju li sljedeci detrminatori svojstvo monotonicnosti u po-rastu: nekoliko, svi, najviše dva, oba, barem dva18!

14.1.2.2 Monotonicnost u smanjenju

Za determinator Q kažemo da je monotonican u smanjenju ako je sljedeci za-kljucak (argument) valjan:

Qx(A(x); B0(x))8x(B(x) ! B0(x))Qx(A(x); B(x))

Još jednostavniji test dobivamo ako uzmemo glagolsku frazu koja zadajejedan uvjet, tada konkluzija može koristiti dva uvjeta, a druga premisa je au-tomatski istinita.

Q kocki je malenoQ kocki je maleno i u istom redu s c

Zadatak 68 Ispitajte imaju li sljedeci determinatori svojstvo monotonicnosti u sman-jenju: nijedan, najviše dva, mali broj, tocno dva!

Odgovor 17 ”Tocno dva’ i barem dva’ nisu monotonicni u smanjenju.

Zadatak 69 Ispitajte svojstva monotonicnosti za: najviše dva, barem dva, tocno dva!

14.1.3 Perzistentnost i anti-perzistentnostOvdje gledamo povecanje i smanjenje opsega imenicke fraze.

Determinator Q je perzistentan akko je sljedeci zakljucak valjan:Qx(A(x); B(x))8x(A(x) ! A0(x))Qx(A0(x); B(x))

Determinator Q je antiperzistentan akko je sljedeci zakljucak valjan:Qx(A(x); B(x))8x(A0(x) ! A(x))Qx(A0(x); B(x))

Zadatak 70 Smislite jednostavne testove za perzistentnost i antiperzistentnost! Jedno

rješenje. Jednostavni test za perzsitentnost: Q malenih kocki je u istom redu s cQ kocki je u istom redu s c . Jed-

nostavni test za antiperzistentnost: Q kocki je u istom redu s cQ malenih kocki je u istom redu s c

18 Jedino ’najviše dva’ nije monotonicna u porastu.


Zadatak 71 Odredite svojstva sljedecih determinatora: neki, Ivicin, nijedan, mnogo,jedina19!

1. Tri su svojstva determinatora važna za njihovo logicko pon-ašanje: konzervativnost, monotonicnost i perzistentnost.

2. Determinatori su u pravilu konzervativni (sporan slucaj je’samo’)

3. Monotonicnost se odnosi na ponašanje drugog argumenta de-trminatora. Vecina determinatora je monotonicna.

4. Perzistentnost se odnosi na prvi argument determinatora. Manjeje cesta nego monotonicnost.

14.2 Logicka gramatikaU logici nalazimo više sustava koji izlažu gramatiku prirodnog jezika. Kakobismo se približili preciznijem odredenju kategorije determinatora, u kratkomcemo obliku izložitiu jednu logicku gramatiku poznatu pod nazivom kategori-jalna gramatika. Korijeni sustava kategorijalne gramatike protežu se do 1929.kada je poljski logicar Lesniewski formulirao tzv. "teoriju semantickih kate-gorija".

Cista kategorijalna gramatika ima sljedeca cetiri obilježja:

² Skup osnovnih kategorija je konacan (i obicno malen).² Na temelju osnovnih kategorija konstruiraju se izveden.² Koristi se jedno ili dva sintakticka pravila koji opisuju sintakticku operaciju

konkatenacije i koja odreduju rezultat ove operacije.² Svaki leksicki element povezuje se s nekom kategoriijom.

14.2.1 Primjeri jednostavnih kategorijalnih gramatika14.2.1.1 Jednosmjerna kategorijalna gramatika

² Osnovne kategorije su i (imenica) i r (recenica).² Izvedene kategorije konstruiraju se na sljedeci nacin: ako su A i B kategorije,

onda je i (AnB) kategorija.² Sintakticko pravilo: ako je ® izraz iz kategorije A i ako je ¯ izraz iz

kategorije (AnB), onda je ®¯ izraz iz kategorije B.² Rjecnik: Ivica je iz kategorije i, hoda je iz kategorije (inr), brzo je iz

kategorije ((inr)=(inr)).

19 Perzistentni: neki, Ivicin. Antiperzistentni: nijedan. Ni perzistentan ni antiperzistentan:mnogi, jedini.

14.2 Logicka gramatika 141

U skladu s ovom gramatikom izraz Ivica hoda pripada kategoriji r.

Ivica i

hoda i\r

Ivica hoda.r

Isto tako, Ivica hoda brzo po izloženoj gramatici pripada kategoriji r, tj. tajizraz je recenica.

i\r

Ivica

i

hoda

i\r

brzo

(i\r)\(i\r)

r

Kategorijalna gramatika nam otvara mogucnost da na mehanicki nacin odredimoje li (pod pretpostavkom da nam je dan pocetni rijecnik i njegova kategorizacija)neki izraz primjerak kategorije, posebno je li on recenica ili ne. Sada možemoovu "jednosmjernu" gramatiku upotpuniti s pravilom koje dopušta pored doda-vanja izraza s desne strane i dodavanje izraza s lijeve strane.

14.2.1.2 Dvosmjerna kategorijalna gramatika

² Ako su A i B kategorije, onda su (AnB) i (A=B) kategorije.² Ako je ® u kategoriji A i ako je ¯ u kategoriji (AnB), onda je ®¯ u kategoriji

B,² Ako je ® u kategoriji (A=B) i ako je ¯ u kategoriji B, onda je ®¯ u kategoriji

A.


Primjer 14.6 Rjecnik: Ivica,Maricu su iz kategorije i, voli je iz kategorije (inr)=i.

r

iIvica _

i\r

i\r/ivoli _

i

Maricu

Primjedba 9 Raspodjela rijeci po kategorijama iz prethodnog primjera dop-ušta tvorbu ’Maricu voli Ivica’ u kategoriji recenice. To jest prihvatljivo. Ali, taraspodjela takoder dopušta ’Ivica voli Ivica’ i ’Maricu voli Maricu’. Ociglednoje da za slucaj hrvatskog jezika imenice moramo svrstavati u razlicite kategorijeovisno o njihovom padežu.

Zadatak 72 Odredimo kategoriju za veznike!

Odgovor 18 Pokušajmo varijantu koja pocinje s lijevom konkatenacijom. Veznikje takav da ako mu dodamo recenicu s lijeve strane, onda dobivamo izraz kojemudodavanje recenice s desne strane daje recenicu. Dakle, rn(r=r).

Zadatak 73 Odredimo kategoriju za determinatore!

Odgovor 19 Ako determinatoru dodamo imenicu s desne strane, onda cemodobiti izraz koji pravi recenicu ako mu se s desne strane doda izraz kategorijeinr. Dakle, (i=i).

Zadatak 74 Analizirajmo recenicu ’Vecina studenata voli glazbu’ uvodeci koristecikategorije: imenicka fraza if , opca imenica oi i recenica r.

V e¶cina| {z }if=oi

studenata| {z }oi| {z }

if

voli|{z}(ifnr=oi)

glazbu| {z }oi| {z }

ifnr| {z }r

.


14.2.1.3 Vježba aksiomatiziranja

Pokušajmo aksiomatizirati znanje o odnosu IstiOblik u Tarski’s World.

Analiticke istine

Aksiom1. :9x(Kocka(x) ^ Tetraedar(x))

Aksiom 2. :9x(Kocka(x) ^Dodekaedar(x))

Aksiom 3. :9x(Tetraedar(x) ^Dodekaedar(x))

Ova tri aksioma su analiticki istinita, istinita zahvaljujuci znacenju predikatakoji se javljaju u njima.

Istina u Tarski-svjetovima

Cetvrti aksiom treba iskazati posebnost svjetova u Tarski’s World gdje svakipredmet ima jedan od navedenih oblika. Iskažite taj aksiom!

Definicija predikata ’IstiOblik’ za Tarski-svjetove putem pravilauvodenja i uklanjanja

Sada cemo iskazati pravila za uvodenje i uklanjanje predikata IstiOblik.

Aksiomi uvodenja za IstiOblik

Aksiom 5. 8x8y((Kocka(x) ^Kocka(y)) ! IstiOblik(x; y))

Aksiom6 i Aksiom7 formulirajte sami!

Aksiomi uklanjanja za IstiOblik

Aksiome 8, 9 i 10 formulirajte sami.

Zadatak 75 Izgradite dokaz za sljedece zakljucake ako su oni valjani, u protivnom iz-gradite protuprimjer: a) IstiOblik(b; c) ` IstiOblik(c; b); b) 8x(Kocka(x) ! IstiOblik(x; b)) `Kocka(b).

Svaka je teorija jezicni sustav. Jezik se sastoji od recenica, recenice od ri-jeci. Zato nam u izgradnji izvan-logickog aksiomatskog sustava najprije trebajutermini. Termine dijelimo na primitivne i definirane.

Primjer 14.7 (Euklid) Tocka je ono što nema dijelova.

Primjer 14.8 (Teorija skupova) 8a8b(a µ b $ 8x : x 2 a ! x 2 b)

Zadatak 76 Pronadite primitivne termine u gornjim primjerima! Pronadite prim-itivne termine u gornjoj vježbi u gradnji "aksiomatske teorije o istovjetnosti oblika uTarski-svijetu"!


Recenice u aksiomskoj teoriji možemo podijeliti na (i) nedokazane recenicepomocu kojih dokazujemo (aksiomi i definicije) i (ii) dokazane recenice (teo-reme, leme, korolarije, tvrdnje...). U definicijama primitivni termini daju znacenjedefiniranim terminima. A primitivni pojmovi dobivaju znacenje u aksiomima.

Zadatak 77 Što mislite, je li recenica iz prethodnog primjera, 8a8b[a µ b $ 8x(x 2a ! x 2 b)] aksiom ili definicija? Obrazložite odgovor vodeci racuna o pitanjimadosega kvantifikatora i znacenja bikondicionala!

"Vezivno tkivo" svakog izvan-logickog aksiomatskog sustava ILAS je nekalogicka teorija LT . Ako se u izvan-logickoj aksiomskoj teoriji ILAS izricitonavede logicka teorija koja se koristi u gradnji prvospomenute teorije, onda onazaslužuje poseban naziv. Ponegdje možemo susresti naziv formalna teorija zatakvu "u pogledu logike osviještenu teoriju" ILAS ± LT .

Zadatak 78 Što bismo trebali uciniti da naša "aksiomatska teorija o istovjetnosti ob-lika u Tarski-svijetu" postane formalnom!

Što bismo trebali pomišljati pod logickom teorijom LT? Cini se da je po-jam "logicke posljedice" otvoren prema obuhvacanju razlicitih odnosa znacenja.Time i podjela na rijeci sa empirijskim sadržajem (kategoremi) i logicke rijeci(sinkategoremi) postaje "idealno-tipskom" podjelom: podjela odreduje rubnepoložaje ali stvarni slucajevi leže izmedu, bliže ili dalje jednom ili drugom rubu.U sljedecoj vježbi analizirat cemo znacenje prijedloga ’u’.

Zadatak 79 Je li dvoclani odnos ’...je u...’ refleksivan, irefleksivan ili ni jedno nidrugo (indiferentan prema refleksivnosti)?

Zadatak 80 Prikažite podjelu dvoclanih odnosa izvedenu na osnovi pitanja ostvarujuli svi predmeti takav odnos prema samom sebi, ili ga ne ostvaruje niti jedan predmet, iliga ostvaruju neki a neki ne.

Zadatak 81 Prevedite prvi aksiom iz Spinozine Etike na jezik logike prvoga reda (ko-risteci U kao simbol za prijedlog ’u’)!

(A1) Sve što jest jest u sebi ili u necem drugom.

Zadatak 82 Koristeci tri tumacenja odnosa ’...je u...’ ispitajte zadovoljivost Spinozinogaksioma te ocuvanje njegove razgovorne implikature u danom tumacenju! [Podsjetnik:Ako recenica koju govornik tvrdi sa sobom donosi i sugestiju koja se može ukinuti (bez izazivanjakontradikcije) dodatnim govornikovim izrekama, onda se ta sugestija naziva razgovornom imp-likaturom i ona se ne promatra kao dio sadržaja izvorne recenice.]


Zadatak 83 Kojem (ili kojim ili kojoj kombinaciji) tumacenju biste dali prednost?Kratko obrazložite svoj odgovor!

Zadatak 84 Pretpostavimo da je ispravno trece tumacenje, tj. da vrijedi (IR) 8x:U(x; x).Je li koja od ponudenih recenica:

8x9y(x 6= y ^ U(x; y)),9x9y9z(U(x; y) ^ U(y; z) ^ :U(x; z))

teorem u sustavu koji sadrži Spinozin aksiom i recenicu (IR)? Ako jest - izradite dokaz (uFitch-u), u protivnom, nadite protuprimjer i nacrtajte ga u "dijagramu sa strelicama".

Zadatak 85 Pretpostavimo da vrijedi (IR) 8x:U(x; x) i (T) 8x8y8z((U(x; y)Û(y; z)) !U(x; z)). Ima li tada odnos ’...je u...’ svojstvo jake povezanosti? Drugim rijecima, vrijedili sljedeca tvrdnja o mogucnosti dokazivanja

(A1); (IR); (T ) ` 8x8y(U(x; y) _ U(y; x))?

Ako da - dajte dokaz u neformalnom obliku. U protivnom, nadite protuprimjer i nacrtajtega u "dijagramu sa strelicama".

Pretpostavimo da su dvije maksime kooperativne komunikacije iskazane kon-junktivnim imperativom "Govori istinu i govori cijelu istinu!". Nazovimo mak-simu iskazanu u prvom imperativom konjunktu - maksimom kvalitete: istinutreba govoriti. Maksimu drugog imperativnog konjunkta nazovimo maksimomkvantitete: istinu ne treba prešutjeti. U suvremenijim izrazima maksimu kvan-titete mogli bismo iskazati ovako: o temi razgovara nemoj iskazati recenicu kojaje manje informativna od one o kojoj imaš znanje.

Primjer 14.9 Ako na pitanje "Kada ce biti kolokvij?" naš sugovornik odgovori "Uponedjeljak ili u petak", onda po maksimi kvalitete mi pretpostavljamo da on ne znatocno kojeg ce se dana kolokvij održati. Ako sugovornik zna kojeg ce se dana održatikolokvij onda on izrice recenicu manje informativnu od one koju je mogao (a po maksimikvantitete i trebao) izreci.

"Kvantitet znacenja" ili informativnost izjavnih recenica možemo mjeriti po-mocu logickih odnosa. Buduci da nas bavljenje sa logickom semantikom tekceka, logicke cemo odnose pratiti u sintaktickoj dimenziji kao odnose dokazivosti,` (izvedivosti, derivabilnosti).

Prvi slucaj: A ` B i B ` A. Obje recenice, A i B podjednakosu informativne.

Drugi slucaj: A ` B ali B 0 A. Recenica A informativnija jeod recenice B.


Treci slucaj: A 0 B i B 0 A. U ovom slucaju odnos informa-tivnosti ne možemo definirati pomocu odnosa dokazivosti.

Zadatak 86 Koja je recenice informativnija u gornjem smislu: (A1) ’Sve što jest jestu sebi ili u necemu drugom.’ ili (IR) ’Ništa od onoga što jest nije u sebi’?

(A1)8x[U(x; x) _ 9y(x 6= y ^ U(x; y))](R)8xU(x; x) (*)9xU(x; x) ^ 9x:U(x; x) (IR) 8x:U(x; x)

razgovorna implikatura: (*) (*) (*)

informativnija recenica: (R) 8x9y(x 6= y ^ U(x; y))

Promotrimo slucaj teksta ’(A1),(IR)’:

² (IR); (A1) ` 8x9y(x 6= y ^ U(x; y))

² (IR);8x9y(x 6= y ^ U(x; y)) ` (A1)

² 8x9y(x 6= y ^ U(x; y)) ` (A1)

² (A1) 0 8x9y(x 6= y ^ U(x; y))

Zadatak 87 Možemo li postaviti sljedece pravilo: Ako A;B ` C, B 0 C i C ` B,onda je govornikov tekst A;C informativniji od teksta A;B.

Zadatak 88 Izgradite aksiome za ManjiOd za Tarski’s World. Postupite jednako kaoi za IstiOblik. Moramo reci da svaki predmet ima jednu i samo jednu od tri velicine.Nakon toga, moramo odrediti pod kojim uvjetima ’uvodimo’ odnosno ’uklanjamo’ tajpredikat.

Zadatak 89 Definirajte predikat V eceOd!

Zadatak 90 Dokažimo: Maleno(a) ` 8x:V eceOd(x; a)!

Logicki su moguce sve one okolnosti koje nisu iskljucene na osnovi znacenjarijeci. Na primjer, zbog znacenja predikata ’vece od’, okolnosti u kojima je velikipredmet manji od malenog - logicki nisu moguce. Ili, zbog znacenja determi-natora ’neki’, logicki nisu moguce okolnosti u kojima je predmet a kocka iistodobno nijedan predmet nije kocka. U tom smislu, nema šireg skupa okolnostiod logicki mogucih okolnosti. Spoznaja u realnim znanostima ide za time da se"otkrije" koje su okolnosti moguce zbog važecih, izvan-logickih zakonitosti.

Zadatak 91 U ovoj vježbi zamišljamo da su se stvarno javile okolnosti prikazane naslici. Naš je zadatak naslutiti koja pravilnost vrijedi u odnosu na moguce odnose velicina.


Uocimo da sada rijec ’moguce’ ne koristimo u smislu ’logicki moguce’ vec ’stvarno ilifizicki moguce’.

Zadatak 92 Iskažimo neke hipoteze: (P.1. Kocke su najvece) 8x8y((Kocka(x) ^:Kocka(y)) ! ManjeOd(y; x)); (P.2. Nema malenih kocaka) :9x(Kocka(x) ^Maleno(x)). (P.3 Ima malenih i srednje velikih predmeta) 9xMaleno(x)^9xSrednjeV eliko(x).(P.4 Postoje kocke) 9xKocka(x). Jeste li posve zadovoljni s ovim hipotezama?

Zadatak 93 Gornji izbor hipoteza ne ispunjava zahtjev neovisnosti. Koja je hipotezasuvišna? Kako cete to dokazati? Dokažite to!


Odgovor 20 Dva su nacina: izvedite navodni aksiom, ili pretpostavite negacijunavodnog aksioma i izvedite kontradikciju.

Poglavlje 15Teorija skupova

Teorija skupova je kao rijetko koja druga teorija opcenito prisutna i koristi se zamodeliranje tako ekstenzivno da u tom smislu zaslužuje posve poseban položaj.Otvoreno je pitanje je li teorija skupova dio logike ili ne.

Primjer 15.1 ’Russell je filozof’ istinito je ako i samo ako predmet imenovan s ’Rus-sell’ pripada skupu koji je zadan predikatom ’je filozof’. [D. Davidson]

Zapocinjemo s naivnom teorijom skupova koja jest inkonzistentna ali, unatoctome, predstavlja kako povijesni tako i didakticki uvod u aksiomatsku teorijuskupova.

Georg Cantor (1845-1918), njemacki matematicar koji je prvi ekstenzivnoproucavao skupove i inkonzistentnosti koje se kriju u naivnom pojmu oskupu.

Skup je "sabiranje u jednu cjelinu odredenih, razlicitih predmetanašeg opažanja ili mišljenja, a njih nazivamo elementima skupa" [G.Cantor]

Koriste se razliciti nazivi: skup, razred, klasa, kolekcija, množina, agregatitd. Neki autori razlikuju skup (set) i razred (class), gdje je razred opcenitijipojam (skupovi su elementi nekog razreda, a neki razredi, pravi razredi nisu;pravi razredi i skupovi zajedno daju razrede).

15.1 Osnovni rjecnik teorije skupova

149

150 Poglavlje 15 Teorija skupova

15.1.0.4 Predikati

=, dvomjesni predikat identiteta

2, dvomjesni predikat clanstvaa 2 b [citamo: "a je element od b"]µ, dvomjesni predikat inkluzije (relacija podskupa)

15.1.0.5 Funkcijski simboli (operacije)

\, dvomjesna funkcija presjeka (intersekcije)[, dvomjesna funkcija unije

15.1.0.6 Individualne konstante

∅, prazni skup

15.2 Jezik za razlicite vrste predmetaMoramo naporaviti izbor izmedu jezika koji u domeni obuhvaca sve predmetebili oni skupovi ili ne i jezika koji koristi razlicite vrste varijabli za razlicite vrstepredmeta. Prvospomenuti pristup nalazimo u Fitch-u. Drugospomenuti ("many-sorted") jezik koristi jednu vrstu varijabli za dio domene koja ukljucuje sveskupove i jedino skupove, a drugu vrstu varijabli za cjelokupnu domenu. U ovojdiferenciranoj opciji korisitimo varijable a; b; c; ::: koje se protežu preko skupova(svih i jedino njih) i varijable x; y; z; ::: koje se protežu preko svih predmeta, bilioni skupovi ili ne.

Primjer 15.2 Recenicu ’Svaka je stvar element nekog, ovog ili onog skupa’ u jezikus jednom vrstom varijabli prikazujemo kao 8x9y(Skup(y) ^ x 2 y), a u jeziku s dvijevrste varijabli ovako: 8x9a(x 2 a).

15.3 Dva osnovna aksioma naivne teorije skupovaDva su osnovna nacela koja zahvacaju intutivni pojam skupa.

15.3.1 Aksiom ekstenzionalnostiSkup je u potpunosti odreden svojim clanstvom. Ako znamo elemente skupa b,onda znamo sve što je potrebno za utvrdivanje identiteta tog skupa. Aksiom seiskazuje ovako: ako skupovi a i b imaju iste elemente onda su a i b identicni.

8a8b[8x(x 2 a $ x 2 b) ! a = b]

Identitet skupova ne ovisi o nacinu na koji su oni opisani.

15.3 Dva osnovna aksioma naivne teorije skupova 151

Primjer 15.3 Skup životinja koje imaju srce i skup životinja koje imaju bubreg istov-jetan je.

Skupovi se ne mogu poistovjetiti sa svojstvima. Svojstva, za razliku odskupova, ne moraju biti ista ako pripadaju istim predmetima.

Primjer 15.4 Zahvaljujuci cinjenici da nema predmeta koji bi bili njihovi clanovi,skupovi okruglih kvadrata, celavih sadašnjih kraljeva Francuske, jednoroga, pokretnihnekretnina, drvenih štednjaka, stvari koje se razlikuju od samih sebe itd. - jedan su te istiskup.

Primjer 15.5 Skupovi {1,2}, {2,1}, {2,2,1}, {2,1,1,1,1,1} su identicni.

15.3.2 Aksiom komprehenzije (apstrakcije)U naivnoj teoriji skupova nalazimo tzv. neograniceno nacelo komprehenzije. Potom nacelu, svaki uvjet (svako svojstvo) odreduje neki skup.

Primjer 15.6 Neka nam je zadan uvjet ’x rado cita Kanta’. Po aksiomu komprehen-zije postoji cjelina, skup sacinjen od svih onih i jedino od onih koji rado citaju Kanta.Neka nam je zadan uvjet ’9yV oli(x; y)’. taj uvjet odreduje skup koji obuhvaca sve one isamo one koji nekoga vole.

Ovakav nacin iskazivanja aksioma donosi stanovite poteškoce. Naime, gov-orimo o svim svojstvima što nas vodi izvan granica logike prvoga reda i što za-htjeva teoriju svojstava. Da bismo to izbjegli aksiom iskazujemo kao aksiomskushemu. Sve recenice koje imaju oblik aksiomske sheme su aksiomi i njih imabeskonacno mnogo.

9a8x[x 2 a $ P (x)]

Aksiom kaže da postoji skup a ciji su clanovi sve stvari (P (x) ! x 2 a) isamo one stvari (x 2 a ! P (x)) koje zadovoljavaju formulu P (x).

Zapravo, aksiom treba iskazati u još opcenitijem obliku. Na primjer, akobismo htjeli reci da za svaki predmet postoji skup koji sadrži samo taj predmet,onda bi nam trebalo još varijabli.

Primjer 15.7 8z9a8x[x 2 a $ x = z]

Zadatak 94 Postojanje kojih skupova jest zajamceno sljedecom instancom aksiomakomprehenzije: 8y9a8x[x 2 a $ V oli(y; x)]?


Odgovor 21 Zajamceno je za svakoga postoji skup njegovih voljenih.

Opceniti oblik za aksiom komprehenzije:

8z1:::8zn9a8x[x 2 a $ P (x)]

Tvrdnja 11 Za svaku isf-uP (x) postoji jedan jedinstveni skup stvari koje zado-voljavaju P (x).

9!a8x[x 2 a $ P (x)]

Dokaz 13 Za dokaz ove numericke tvrdnje koristimo tehniku dokazivanja ?? ida ?? zadovoljava propoziciju. Moramo dokazati (i) ’barem jedan’: 9a8x[x 2a $ P (x)]; i (ii) ’najviše jedan’: 8a8b8x[((x 2 a $ P (x)) ^ (x 2 b $P (x))) ! a = b)]. (i) je dokazano jer je to upravo aksiom komprehenzije.Za (ii) koristimo univerzalnu generalizaciju. Pretpostavimo da su a i b skupoviciji su clanovi upravo oni predmeti koji zadovoljavaju P (x): Iz toga proizlazi8x[x 2 a $ x 2 b]. Izradite ovaj dio dokaza sami: otvorite Proof 15.5 i dokažitespomenutu tvrdnju. Primjena aksioma ekstenzionalnosti daje nam a = b. Vidimoda za bilo koji uvjet aksiom komprehenzije jamci postojanje skupa predmetakoji zadovoljavaju taj uvjet, a aksiom ekstenzionalnosti osigurava jedinstvenosttakvog skupa.

Primjena aksioma ekstenzionalnosti, 8x8y[8z(z 2 x $ z 2 y) ! x = y] na13. recenicu dat ce željeno: a = b.

15.4 Jednoclani skupovi, prazni skup, podskupovi 153

Skupove zapisujemo na dva nacina: popisujuci clanove i zapisujuci uvjet kojiclanovi moraju zadovoljiti.

Primjer 15.8 Skup prirodnih brojeva djeljivih sa 7 i manjih od 15 zapisujemo u ’popis- zapisu’ ovako: f7; 14g, a u ’uvjet zapisu’ ovako: fx j x 2 N i x < 15 i 9y : y 2N ^ y ¢ 7 = xg. Skup autor djela Principia mathematica zapisujemo ovako fBertrandRussell, Alfred N. Whiteheadg ili ovako fx j x je autor Principia Mathematicag.

Zapis je nevažan i predstavlja pokratu. Opcenito govoreci, tvrdnja da je bclan skupa koji obuhvaca stvari koje su P ,

b 2 fx j P (x)g

jest pokrata za tvrdnju da postoji skup stvari koje su P i da je b clan togskupa,

9a[8x(x 2 a $ P (x)) ^ b 2 a]

Naivna teorija skupova sadrži aksiom ekstenzionalnosti i aksiomkomprehenzije.

Aksiom ekstenzionalnosti tvrdi da su skupovi s istim clanovimaidenticni.

Aksiom komprehenzije tvrdi da svaka formula prvog reda odredujeneki skup.

15.4 Jednoclani skupovi, prazni skup, podskupoviJednoclani skup fxg trebamo razlikovati od njegovog jedinog clana x.

Primjer 15.9 fDonald Davidsong je skup, apstraktni objekt, a pok. Donald David-son bio je istaknuti filozof.

Zamislimo da niti jedan predmet ne zadovoljava P (x). Neka je P (x) formulax 6= x. Skup fx j x 6= xg jest prazan, tj. bez elemenata. Možemo dokazati dapostoji jedan i samo jedan prazan skup.

Oznake koje se koriste za prazan skup: fg, 0, ;,...

Zadatak 95 Dokažite da postoji tocno jedan prazan skup! Dokazi za ?? i ?? .


Definicija 8 Ako su zadani skupovi a i b, kažemo da je a podskup skupa b akoje svaki clan skupa a takoder clan skupa b.

Definiciju možemo shvatiti na dva nacina. Prvo možemo tvrdnju ’a µ b’shvatiti kao skraceni zapis tvrdnje

8x(x 2 a ! x 2 b)

. Drugo, možemo relaciju inkluzije shvatiti kao dodatni simbol i definiciju iskazatikao aksiom:

8a8b[a µ b $ 8x(x 2 a ! x 2 b)]

Tvrdnja 12 8a : a µ a

Dokaz 14 Neka je b proizvoljan skup. Za svrhu generalnog kondicionalnogdokaza, pretpostavimo da je a proizvoljni element od b. Onda na isprazan nacinreiteracijom dobivamo a 2 b.- Zato, 8x(x 2 b ! x 2 b). Primjena definicijepodskupa pokazuje da b µ b. Generaliziramo: 8a : a µ a. FormalizirajteExercise 15.12!

Tvrdnja 13 8a8b(a = b $ (a µ b ^ b µ a))

15.4 Jednoclani skupovi, prazni skup, podskupovi 155

Dokaz 15 Metoda univerzalne generalizacije. Prvo dokazujemo s lijeva nadesno. Pretpostavimo a = b. Desna strana slijedi iz prethodne tvrdnje (o re-fleksivnosti inkluzije) uz nerazlucivost identicnoga. Za dokaz s desna na lijevo,pretpostavimo a µ b ^ b µ a. Za dokazati da tada vrijedi a = b, koristimoaksiom ekstenzionalnosti. Dovoljno je pokazati da a i b imaju iste clanove. Noto slijedi iz naše pretpostavke, da je svaki clan jednog takoder clan drugog skupai obratno. Buduci da su a i b proizvoljni skupovi, generaliziramo i dobivamopropoziciju. Formalizirajte dokaz Exercise 15.13!

Relaciju R koja zadovoljava uvjet (R(x; y) ^ R(y; x)) ! x = y nazivamoantisimetricnom. Prethodnu tvrdnju pokazuje da je relacija inkluzije (odnospodskupa) antismetricna. Procitana u suprotnom smjeru, tvrdnja pokazuje re-


fleksivnost inkluzije.

Tvrdnja 14 8a : ; µ a

Dokaz 16 Jednostavna univerzalna generalizacija. Neka je a proizvoljni pred-met i b proizvoljni skup. Pretpostavimo da a 2 ; (u donjem formalnom dokazue oznacava prazni skup). To je nemoguce zbog definicije praznog skupa. Na is-prazan nacin a zadovoljava uvjet a 2 e ! a 2 b (u formalnom dokazu: uvodimoneistinu a potom je uklanjamo). Zato ako a 2 e onda a 2 b. Generalizacijomdobivamo traženo.

Za zapamtiti:Neka su a i b skupovi.1. a µ b akko je svaki element od a takoder element od b.2. a = b akko a µ b i b µ a.

15.5 Presjek i unijaDvije poznate i važne operacije sa skupovima su presjek i unija. Te dvije op-eracije uzimaju dva skupa i daju treci.

Definicija 9 (PRESJEK) Neka su a i b skupovi. Presjek skupova a i b je skupciji su clanovi - clanovi i u a i u b. Zapis: a \ b.

8a8b8z(z 2 a \ b $ (z 2 a ^ z 2 b))

15.5 Presjek i unija 157

Definicija 10 (UNIJA) Neka su a i b skupovi. Unija skupova a i b je skup cijisu clanovi - clanovi ili u a ili u b. Zapis: a [ b.

8a8b8z(z 2 a [ b $ (z 2 a _ z 2 b))

Kako znamo da postoje takvi skupovi? Jesu li dva aksioma, komprehenzije iekstenzionalnosti, dovoljna da se utvrdi njihovo postojanje i jedinstvenost?

Tvrdnja 15 (Postojanje i jedinstvenost presjeka skupova) 8a8b9!c8x(x 2 c $(x 2 a ^ x 2 b))

Ova je tvrdnja poseban slucaj vec 11 : za svaku ispravno sastavljenu formuluP (x) postoji jedan jedinstveni skup stvari koje ju zadovoljavaju.

8z1:::8zn9!a8x[x 2 a $ P (x)]

Možemo je nazvati korolarijem, tj. neposrednom posljedicom vec dokazanetvrdnje u kojoj z1 treba zamijeniti s a, z2 s b, a uvjet P (x) s isf-om x 2 a^x 2 b.

Tvrdnja 16 (Postojanje i jedinstvenost unije skupova) 8a8b9!c8x(x 2 c $(x 2 a _ x 2 b))

Dokaz 17 I ova tvrdnja neposredno proizlazi iz 11 .

Evo još nekoliko tvrdnji cije dokaze treba izraditi!

Tvrdnja 17 8a8b : a \ b = b \ a

Otvorite u Fitch-u 25.2 i odredite pravila koja opravdavaju i recenice kojepodupiru pojedine korake.

Tvrdnja 18 8a8b : a \ b = b $ b µ a

Dokaz 18 Koristimo definiciju presjeka, definiciju podskupa i 13 . Formalnidokaz je prilicno dug i možete ga naci ?? . U neformalnom dokazu moramodokazati dva kondicionala. Smjer s lijeva na desno: pretpostavimo da a \ b =b. Neka je c element od b. Po definiciji presjeka, c je element skupa a. Podefiniciji podskupa dolazimo do željenoga: b je podskup od a. Smjer s desna nalijevo: (*) pretpostavimo b µ a. Trebamo dokazati tvrdnju o identitetu. Za tusvrhu poslužit cemo se s 13 koju instanciramo s skupovima koji nas zanimaju:


Figure 15.1

(a \ b µ b| {z }(i)

^ b µ a \ b| {z }(ii)

) $ a \ b = b. (i) Neka je c element i od a i od b. Tada

je c element od b. (ii) Neka je c element od b. Po pretpostavci (*) slijedi da je celement od a. Buduci da smo utvrdili i (i) i (ii), slijedi a\ b = b. Dokaz je gotov.

Zadatak 96 Izradite neformalni dokaz da za svaki skup a postoji jedinstveni skup ctakav da za svako x, x 2 c ako i samo ako x =2 a. Ovaj se skup naziva apsolutnimkomplementom skupa a, i oznacava se s a. (Ovaj rezultat nece vrijediti za aksiomekoje cemo kasnije koristiti. Zapravo, tada ce slijediti da nijedan skup nema apsolutnikomplement.) Kada bismo formalizirali ovaj dokaz, koju bismo instanciju aksioma kom-prehenzije koristili?

Odgovor 22 Instanca aksioma komprehenzije:

8a9c8x(x 2 c $ x =2 a)

Treba dokazati:

8a9!c8x(x 2 c $ x 2 a)

Prvo dokazujemo da postoji barem jedan takav skup:Dokaz da ima najviše jedan takav skup ostavljen je citatelju.

15.6 Digresija: konzistentnost 159

Zapamtimo:Neka su b i c skupovi.1. x 2 b \ c ako i samo ako x 2 b ^ x 2 c2. x 2 b [ c ako i samo ako x 2 b _ x 2 c3. x 2 b¡ c ako i samo ako x 2 b ^ x =2 c

U naivnoj teoriji skupova dopušteno je postojanje univerzalnog skupa V =fx j x = xg. Pod tom pretpostavkom, moguce je definirati apsolutni komple-ment nekog skupa a (za oznacavanje apsolutnog komplementa koristimo crticuiznad slova):

a = V ¡ a:

Zadatak 97 Dokažite 8a8b8c[(a µ b ^ b µ c) ! a µ b]!

Zadatak 98 Dokažite na formalan i na neformalan nacin 8a8b8x[(x 2 a^b µ a) !(x 2 b $ x =2 a¡ b)]!

Dokaz 19 (*) Neka je su e i f proizvoljni skupovi i neka je u proizvoljni pred-met. Pretpostavimo u 2 e ^ (u 2 f ! u 2 e). Pod tom pretpostavkom moramodokazati bikondicional. L-D (i) Pretpostavimo u 2 f . Trebamo dokazati u =2e ¡ f , to jest u =2 e _ u 2 f . _Intro daje željeno iz pretpostavke (i). D-L (ii)Pretpostavimo u =2 e _ u 2 f . Trebamo dokazati u 2 f . Po glavnoj pretpostavcivrijedi u 2 e. Ako je slucaj u =2 e dolazimo do kontradikcije. Po ?Intromožemo uvesti u 2 f . Ako je slucaj u 2 f , onda reiteracijom dobivamo u 2 f .Po _Elim zakljucujemo u 2 f . Univerzalna generalizacija daje željeno.

15.6 Digresija: konzistentnostTermini slicnog znacenja:

² dosljednost² neproturjecnost² neprotuslovnost² zadovoljivost² ispunjivost² koherentnost² [razložni ili logicni sklad medu dijelovima]

Razlikujemo dva pojma o konzistentnosti:

² sintakticki² semanticki


Definicija 11 Sintakticka (formalna) konzistentost: neki skup recenica r nazi-vamo konzistentnim akko pomocu njih nije moguce dokazati obje recenice iz bilokojeg para kontradiktornih recenica, A i :A.

Korištenje pojma o dokazivosti cini gornju definiciju sintaktickom.Pokušajmo zapisati gornju definiciju djelomicno koristeci jezik logike pr-

voga reda. Uvedimo oznaku ’`’ za troclani odnos dokazivosti. Clanovi togodnosa su (i) neki skup recenica r, (ii) neki sustav dokazivanja F i (iii) recenicaA. Tvrdnju ’recenicu r možemo u sustavu dokazivanja F dokazati pomocurecenica iz skupa r’ zapisujemo r `F A. Za sustav dokazivanja uzet cemosustav prirodne dedukcije za logiku prvoga reda i izostaviti podznak u zapisuodnosa dokazivosti `.

Neka je L jezik i neka su S1; :::; Sn; A;:A recenice jezika L.Skup recenica fS1; :::; Sng je konzistentan ako nije slucaj da istodobnofS1; :::; Sng ` A i fS1; :::; Sng ` :A.

Teorem 19 Ako je skup recenica fS1; :::; Sng iz jezika L konzistentan, ondapostoji recenica iz L koja se ne može dokazati.

Dokaz 20 Poslužit cemo se neizravnim dokazom, reductio ad absurdum. (*)Pretpostavimo da tvrdnja ne vrijedi. Po definiciji kondicionala, tada je (i) skupfS1; :::; Sng konzistentan i (ii) ne postoji recenica koja se ne može dokazati. Ali,iz (ii) izravno slijedi da možemo dokazati obje recenice iz para kontradiktornihrecenica. No tada, po definiciji konzistentnosti, fS1; :::; Sng nije konzistentanskup recenica. Kontradikcija koju smo uspostavili pokazuje da moramo za-kljuciti na negaciju pretpostavke (*), a buduci da je to upravo gornja tvrdnja,naš je dokaz dovršen.

Teorem 20 Ako je skup recenica fS1; :::; Sng iz jezika L inkonzistentan (to jest,ako nije konzistentan), fS1; :::; Sng ` ?.

Dokaz 21 Pretpostavimo da fS1; :::; Sng nije konzistentan skup. Tada postojipar dokazivih kontradiktornih recenica. Neka je par recenica A i :A upravotakav. Po pravilu prirodne dedukcij, ?Intro možemo uvesti neistinu.

Zadatak 99 Dokažite na formalan nacin da je skup koji sadrži recenice ’Sve kocke sumalene’ i ’Neke kocke nisu malene’ inkonzistentan!

15.6 Digresija: konzistentnost 161

Zadatak 100 Poslužite se prethodnim dokazom i pokažite kako se bilo koja recenicamože dokazati pomocu inkonzistenog skupa! To cete uciniti tako što cete dokazati proizvoljnurecenicu B!

Zadatak 101 Kojim biste razlozima opravdali ili osporili pravilo ?Elim, to jest, exfalso quodlibet?

Mogli bismo reci da slabost inkonzistentnog skupa recenica leži u tome štoon dokazuje previše, jer on dokazuje sve. Promotrena sa semanticke strane,slabost inkonzistentnog skupa recenica leži na suprotnoj strani - on ne govori ni ocemu. Semanticki pojam konzistentnosti necemo uvoditi jer on zahtijeva dodatnasredstva formalne semantike. Ali možemo dati neformalnu definiciju. Neki jeskup recenica semanticki konzistentan akko su moguce okolnosti u kojima su sverecenice iz tog skupa istinite. Radi didakticke svrhe napravimo jedan korak kojiu strogoj teoriji nije dopušten i pokušajmo razjasniti semanticku inkonzistentnostkoristeci pojam o sintaktickoj inkonzistentnosti. Buduci da inkonzistentan skupdokazuje par kontradiktornih recenica i buduci da je sustav prirodne dedukcijepouzdan, verifikacija inkonzistentnog skupa zahtijevala bi okolnosti u kojima biista recenica bila istodobno i istinita i neistinita. Takve okolnosti nisu moguce,pa zato inkonzistentna teorija ne govori ni o cemu što bismo mogli zamisliti.

Inkonzistentnost u sintaktickom smislu daje sve i ne daje ništa u seman-tickom smislu: ona sve dokazuje a ništa ne opisuje.

Poglavlje 16Skupovi skupova

Aksiom komprehenzije primijenjuje se opcenito tako da on, izmedu ostalog, dop-ušta da sacinimo skupove od drugih skupova. Ako smo, na primjer, vec formiraliskupove20 f0g i f0; 1g, onda možemo ici dalje i od tih skupova saciniti nove, naprimjer ff0g; f0; 1gg.

Tvrdnja 21 (Neuredeni parovi) Za bilo koje predmete x i y postoji (jedin-stveni) skup fx; yg. U simbolima:

8x8y9!a8w(w 2 a $ (w = x _ w = y))

Dokaz 22 Postojanje skupa a osigurano je po aksiomu komprehenzije. Potrebnainstanca aksioma je: 8x8y9a8w[w 2 a $ (w = x_w = y)]. Time je osiguranoda postoji barem jedna takav skup. Za dokazati da postoji tocno jedan takav skupjoš trebamo dokazati da ima najviše jedan takav skup. To cemo uciniti tako štocemo za proizvoljne predmete e i f dokazati da postoji najviše jedan skup ciji suoni jedini clanovi:

8a8b[(8x(x 2 a $ (x = e_x = f))^8x(x 2 b $ (x = e_x = f))) ! a = b]

Lako je pokazati da 8x(x 2 a $ x 2 b). Po aksiomu ekstenzionalnosti slijedida a = b.

Podsjetimo se da 8x8yR(x; y) ) 8xR(x; x). Za slucaju kada x = y dobi-vamo dobivamo jedinstveni skup predmeta w koji zadovaljavju ujet w = x_w =x, odnosno w = y _ w = y. Ocigledno je da prethodna tvrdnja o jedinstvenostineuredenih parova garantira i postojanje jedinicnih ili jednoclanih skupova (eng.singletons), jer fx; xg = fxg po aksiomu ekstenzionalnosti.

16.1 Uredeni paroviDa bi teorija skupova mogla poslužiti kao korisni okvir za modeliranje razlicitihstruktura, važno je naci nacin za prikazivanje poretka.

Primjer 16.1 Pravac prikazan na slici može se shvatiti kao skup tocaka cija su imeneuredeni parovi njihovih koordinata, < x; y >.

20 Na primjer: {x | x ∈ N ∧ x = 1− 1} ili{x | x je broj koji pripada pojmu ’Venerin mjesec’};i {x | x ∈ N ∧ 0 5 x < 2} ili {x |x je broj koji pripada pojmu ’Venerin mjesec’ ili x je broj kojipripada pojmu ’Zemljin mjesec’}

162

16.1 Uredeni parovi 163

Ono što nam je potrebno jest neki nacin modeliranja uredenih parova koji cenam omoguciti da dokažemo sljedecu tvrdnju:

< x; y >=< u; v >$ (x = u ^ y = v)

Ako uspijemo dokazati da ova tvrdnja vrijedi za odabrani nacin reprezentacijeuredenih parova, onda cemo znati da nam ta reprezentacija omogucuje da odred-imo koji je element prvi a koji drugi po redu u uredenom paru.

Ima više nacina za modelirati uredene parove. Najjednostavniji i najšire ko-rišteni nacin jest onaj gdje se < x; y > shvaca kao oznaka skupa ffxg; fx; ygg.

Definicija 12 Uredeni par < x; y > je skup ffxg; fx; ygg. U simbolima:

8x8y < x; y >= ffxg; fx; ygg

Ako se osvrnemo na tvrdnju o jedinstvenosti i postojanju skupova neuredenihparova, lako uvidamo da skup ffxg; fx; ygg postoji i da je samo jedan.

Na slican nacin možemo definirati i ostale uredene n¡torke. Na primjer

< x; y; z >=< x;< y; z >>=< x; ffyg; fy; zgg >= ffxg; fx; ffyg; fy; zggg

Opcenito: uredenu n-torku prikazujemo kao < x1; < x2; :::xn >>.Oznake za uredene parove nisu dio "službenog jezika" teorije skupova. Mogu

se ukloniti bez vecih poteškoca, jedino ostaje ona poteškoca koja proizlazi izduljine zapisa.

Zadatak 102 Primijenite teorem o neuredenim parovima na slucaj kada x = y = ;.Koji skup dobivamo? Nazovima taj skup - skupom c. Primijenimo dalje teorem na slucajkada x = ; i y = c. Dobivamo li isti ili razliciti skup21?21 a) c = {∅}

164 Poglavlje 16 Skupovi skupova

Zadatak 103 Koliko clanova ima skup ffxg; fx; ygg a) ako x = y, koliko b) akox 6= y?22

16.2 Modeliranje relacija u teoriji skupovaIntuitivno binarni (dvomjesni) predikati poput V e¶ciOd iskazuju neku binarnu(dvoclanu) relaciju (odnos) izmedu predmeta u nekoj domeni D (podrucju pred-meta na koje se odnose tvrdnje u dijelu jezika pod razmatranjem). U teorijiskupova, taj se odnos modelira23 pomocu skupa uredenih parova. Preciznije,rijec je o skupu:

f< x; y >j x 2 D, y 2 D; x je vece od yg

Ovakav se skup naziva ekstenzijom predikata ili relacije.

Primjer 16.2 Ekstenzija (opseg) jednomjesnog predikataKocka u domeniD je skup

fx j x 2 D, x je kockag

Ekstenzija tromjesnog predikata Izmedju u domeniD je skup uredenih trojki

f< x; y; z >j x 2 D, y 2 D, z 2 D, x je izmedu y i zg

Ekstenzija predikata može ovisiti o okolnostima koje vrijedi u podrucju okojem je rijec. U Tarski’s World okrenuti svijet za 900 može uciniti da ekstenzijaza LijevoOd postane novom ekstenzijom za Iza. Domena se ne mijenja, nemijenja ni znacenje (intenzija) predikata, ali ekstenzije ne moraju ostati iste.

Primjer 16.3 Oznacimo s imenom predikata njegovu ekstenziju u danim okolnostimai pod odredenim stajalištem promatraca. Na slici dolje he; bi 2 Iza i < e; b >=2LijevoOd

b) {∅, {∅}} 6= c22 a) 1; b) 223 Model je "sustav postulata, podataka i zakljucaka koji služi kao matematicki opis nekogpredmeta ili stanja stvari" - kaže Merriam Webster Dictionary.

Predlažem ovakvu radnu definiciju: "model je formalni sustav, tj. misaona konstrukcija kojegizradujemo kako bismo nešto spoznali ".

16.3 Svojstva za odnose 165

Primjer 16.4 < e; b >=2 Iza i < e; b >2 LijevoOd

16.3 Svojstva za odnose


16.3.1 Neka svojstva binarnih relacija

Svojstvo Primjer Ne-primjer

Tranzitivnost 8x8y8z((R(x; y) ^R(y; z)) ! R(x; z)) µ 2Refleksivnost 8xR(x; x) µ VeceOd

Irefleksivnost 8x:R(x; x) VeceOd IstiOblik

Simetricnost 8x8y(R(x; y) ! R(y; x)) IstiOblik VeceOd

Asimetricnost 8x8y(R(x; y) ! :R(y; x)) VeceOd IstiOblik

Antisimetricnost 8x8y((R(x; y) ^R(y; x)) ! x = y) µ IstiOblik; VeceOd

Još neka svojstva...

Serijalnost 8x9yR(x; y) PotomakOd VeceOd

Povezanost 8x8y(x 6= y ! (R(x; y) _R(y; x))) ...

Intranzitivnost 8x8y8z((R(x; y) ^R(y; z)) ! :R(x; z)) ... ...

Asimetricnost nije isto što ne-simetricnost, 9y9y(R(x; y) ^ :R(y; x)). Istovrijedi za irefleksivnost i intranzitivnost.

refleksivnostz }| {8xR(x; x) ;

nerefleksivnostz }| {9x:R(x; x); 8x:R(x; x)| {z }

irefleksivnost

Svojstva relacija mogu se iskazati kao uvjeti koje trebaju biti zadovoljeni u ek-stenziji predikata. Na primjer, ako je relacija R refleksivna, onda za svaki x 2 D,< x; x >2 R.

Ako je relacija R simetricna onda je valjan zakljucak:R(a; b)

R(b; a)

Ako je relacija R tranzitivna, onda je valjan zakljucak:R(a; b)R(b; c)

R(a; c)

Zadatak 104 Opišite valjane oblike zakljucka za relacije koje imaju redom sljedecasvojstva: asimetricnost, antisimetricnost i irefleksivnost.

Odgovor 23 Asimetricna R:

R(a; b)

:R(b; a)

Antisimetricna R:R(a; b)R(b; a)

a = b


Irefleksivna R:

:R(a; a)

Pedagoška digresijaA concept is a rule that may be applied to decide if a particular

object falls into a certain class24.(Encyclopaedia Britannica CD 98)Pojam je misao o biti onoga što mislimo.(G. Petrovic, Logika)Zbog pristranosti tradicionalnog pojma pojmovi o odnosima zane-

maruju se u izboru gradiva. Razumjeti neki relacijski pojam znaci poz-navati svojstva relacije o kojoj je rijec. Cini se kao da se cesto pret-postavlja da ce relacijski pojmovi biti usvojeni sami po sebi, na primjerda ce ucenik samo otkriti da odnos ’južno od’ ima svojstvo postojanjakrajnjeg clana a da odnos ’istocno od’ nije takav, da ce se simetricnostodnosa ’=’ otkriti sama po sebi, ...Uocimo, da se relacijski pojmovi neuce na isti nacin kao i tradicionalni pojmovi koji su pojmovi o vrstama,a ne o odnosima.

Zadatak 105 Odredite inverze relacijama: stariji od, jednako visok kao, rodak od,otac od, predak od!

Odgovor 24 Mladi od, jednako visok kao, rodak od, dijete od, potomak od.

Zadatak 106 Popunite tablicu upisujuci ’DA’ ako relacija ima navedeno svojstvo:

ManjiOd IstiRed LijevoOd IstiOblikTranzitivanRefleskivanIrefleksivanSimetricanAsimetrican

16.3.2 Inverzne relacije

Primjer 16.5 LijevoOd prema DesnoOd, V eceOd premaManjeOd.

U smislu teorije skupova relaciji R inverzna (konverzna) je relacija R−1:

R−1 = f< x; y >j< y; x >2 Rg

24 Pojam je pravilo zahvaljujuci kojemu možemo odrediti ulazi li pojedini predmet u nekiskup.


16.3.2.1 Još neki pojmovi o relacijama

RjS relativni produkt fhx; yi j 9z(R(x; z) ^ S(z; y))g OtacjMajka = PatrilinearnaBakaI identitetna relacija fhx; yi j x = ygR00a slika relacije u skupu fx j y 2 a ^R(x; y)g o·cevi| {z }

R

studenata| {z }a

init(R) pocetni clanovi fx j R(x; y) ^ x 6= yg o·cevi| {z }R

16.3.3 Relacije ekvivalencije i klase ekvivalencijeRelacije koje su refleksivne, simetricne i tranzitivne nazivaju se relacijama ekvi-valencije.

Primjer 16.6 =, IstiOblik, IstaV elicina, IstiRed,...

Relacije ekvivalencije povezuju predmete koji su jednaki u nekom smislu.Ovakvo povezivanja predmeta koji jednaki u nekom smislu, koristi se za uvodenjeteorijski korisne konstrukcije: klase (razreda) ekvivalencije.

Primjer 16.7 Nalazimo se u ducanu obuce. Sve cipele iste velicine daju klase ekviva-lencije za pojedini broj. Kada uzmemo jednu cipelu, c, ona može poslužiti kao uzorak zasvoju klasu ekvivalencije: fy 2 D j< c; y >2 IsteV eli·cineg, koja obuhvaca sve cipelekoje su istoga broja kao i c.

Ako je R relacija ekvivalencije, onda je [x]R skup stvari koje su ekvivalentnes x s obzirom na R, to je klasa ekevivalencije za x.

Definicija 13 Neka je R relacija ekvivalencije na skupu D. Za svaki x 2 D,klasa ekvivalencije [x]R je skup

fy 2 D j hx; yi 2 Rg

Primjer 16.8 Odredite klase ekvivalencije: [a]IstiRed, [b]IstiOblik, [c]=, [d]IstiRed zaokolnosti prikazane na donjoj slici!


Tvrdnja 22 Neka je R relacija ekvivalencije na skupuD.

1:8x : x 2 [x]R;

2:8x8y([x]R = [y]R $< x; y >2 R);

3:8x8y([x]R = [y]R $ [x]R \ [y]R 6= ;):

Dokaz 23 1. proizlazi iz cinjenice da je R refleksivna relacija na skupu D.2.dokazujemo u dva smjera, L-D i D-L. L-D: pretpostavimo da [x] = [y]. Po1. y 2 [y]. Eliminacijom identiteta, dobivamo y 2 [x]. Po definiciji klaseekvivalencije, hx; yi 2 R. D-L: pretpostavimo (*) hx; yi 2 R. Za uspostavitiidentitenu tvrdnju, trebamo dokazati [x] µ [y] i [y] µ [x] ili, u drukcijemzapisu, 8z(z 2 [x] $ z 2 [y]). Pretpostavimo da z 2 [x]. Po definicijiza klasu ekvivalencije, slijedi da (i) hx; zi 2 R. Po pretpostavci hx; yi 2 Rte,.zbog simetricnosti, (ii) hy; xi 2 R. Željenu tvrdnju hy; zi 2 R dobivamo potranzitivnosti R-a iz (ii) i (i). Pretpostavimo da z 2 [y]. Po definiciji za klasuekvivalencije, slijedi da hz; yi 2 R te po simetricnosti(iii) hy; zi 2 R. Po pret-postavci (*) hx; yi 2 R . Željenu tvrdnju hx; zi 2 R dobivamo po tranzitivnostiR-a iz (*) i (iii). 3. L-D: trebamo dokazati [x] = [y] ! [x] \ [y] 6= ;. Uocimonajprije da je zbog 1. iskljucen slucaj da [x] = ;. Buduci [x] 6= ;, [x] = [y]i 8a(a \ a = a), slijedi da [x] \ [y] 6= ;. D-L: neka je (*) hu; vi elementpresjeka [x]R \ [y]R. Po definiciji klase ekvivalencije, vrijedi da (i) hx; ui 2 Ri (ii) hy; vi 2 R. Zbog simetricnosti, iz (ii) proizlazi hv; yi 2 R, a iz toga (*)po tranzitivnosti (**) hu; yi 2 R . Ponovo po tranzitivnost, (i) i (**) proizlazihx; yi. Iz 2. znamo hx; yi 2 R povlaci [x] = [y].


Zadatak 107 Otvorite u Fitch-u Exercise 15.29. Ovaj dokument kao cilj dokazasadrži tvrdnju da je odnos istovjetnosti oblika ekvivalentan. Svrha ove vježbe je pokazatida su ciljne recenice koje iskazuju to svojstvo odnosa posljedica znacenja osnovnogpredikata. Pravilo Ana Con smijete koristiti samo za atomarne recenice.

16.3.3.1 Particija

Neka je D neki skup i neka je P neki skup ne-praznih podskupova od D takvihda je svaki element iz D clan tocno jednog clana iz P . Takav se skup P nazivaparticijom od D.

Primjer 16.9 Zapišite gornju definiciju koristeci simbole teorije skupova i jezik logikeprvoga reda!

Odgovor 25

8a8b·ParticijaOd(a; b) $

µ8c(c 2 a ! (c µ b ^ c 6= ;))^8x(x 2 b ! 9!c(c 2 a ^ x 2 c)

¶¸,

gdje[

a = fx j 9y : y 2 a ^ x 2 yg.

Zadatak 108 Neka je P particija od D. Definirajmo relaciju E na sljedeci nacin:ha; bi 2 E akko postoji X 2 P takav da a 2 X i b 2 X . Pokažite da je E relacijaekvivalencije te da je P skup klasa ekvivalencije za tu relaciju!

Odgovor 26 Da bismo dokazali da jeE relacije ekvivalencije moramo dokazatida je ona refleksivna, simetricna i tranzitivna relacija. (ref) Za svaki predmet z izdomeneD vrijedi da postoji nekiX 2 P takav da z 2 X , po definiciji particije.Reiteracijom dobivamo da z 2 X i z 2 X . Dakle, 8x : hx; xi 2 E. (sim)Pretpostavimo da hu; vi 2 E. Tada postoji nekiX 2 P takav da u 2 X i v 2 X,po definiciji relacije E: Zbog komutativnosti konjunkcije, dobivamo hv; ui 2 E.(tran) Pretpostavimo da hu; vi 2 E i hv; wi 2 E. Tada postoji neki X 2 Ptakav da u 2 X , v 2 X i neki Y 2 P takav da v 2 Y , w 2 Y , po definicijirelacije E: Po definiciji particije, svaki predmet iz D mora biti u tocno jednomclanu particije P . Buduci da v 2 X i v 2 Y , proizlazi daX = Y . Eliminacijomidentiteta, dobivamo w 2 X . Buduci da u 2 X i w 2 X , dobivamo traženo:hu;wi 2 E. Da bismo dokazali da je svaki X 2 P klasa ekvivalencije zarelaciju E moramo pokazati da svaki X 2 P postoji z 2 D takav da [z]E = X.Pretpostavimo X 2 P . (*) Tada postoji neki predmet u 2 X . Instancirajmodefiniciju relacije E s u, vrijedi 8x : (u 2 X ^ x 2 X) $ hu; xi 2 E. Kako jeE relacije ekvivalencije, dobivamo 8x : (u 2 X ^ x 2 X) $ x 2 [u]E . Buducida po (*) u 2 X , proizlazi da 8x : x 2 X $ x 2 [u]E . Time smo dokazaliidentitetnu recenicu [u]E = X jer smo pokazali da [u]E µ X iX µ [u]E .


Zadatak 109 Logicka razdioba pojma je adekvatna ako je zbroj opsega clanova raz-diobe jednak opsegu diobene cjeline. Iskažite ovu definiciju koristeci jezik teorije skupova.Diobenu cjelinu (totum divisionis) oznacite s t, clanove diobe (membra divisonis) oz-nacite sm1; :::;mn.

Odgovor 27 Logicka razdioba pojma ciji je opsega t na clanove diobe ciji suopsezim1; :::;mn jest adekvatna akko t = m1 [ ::: [m n =

[i∈{1,...,n}

mi.

Zadatak 110 Logicka razdioba pojma je jedinstvena ako se njezini clanovi medu-sobno iskljucuju. Iskažite ovu definiciju koristeci jezik teorije skupova!

Odgovor 28 Logicka razdioba pojma ciji je opsega t na clanove diobe cijisu opsezi m1; :::;mn jest jedinstvena akko 8a8b[(a 2 fm1; :::;m ng ^ b 2fm1; :::;m ng ^ a 6= b) ! a \ b = ;.

Zadatak 111 Iskažite definiciju jedinstvenosti i adekvatnosti divizije koristeci jezikteorije skupova i pojam particije!

Odgovor 29 Logicka razdioba pojma ciji je opsega t na clanove diobe ciji suopsezim1; :::;mn jest jedinstvena i adekvatna akkoParticijaOd(fm1; :::;m ng ; t).

16.3.4 FunkcijeIntuitivno, funkcija je nacin povezivanja stvari sa stvarima, na primjer dodjelji-vanje registarskih oznaka vozilima.

Funkcije se, jednako kao i dijadicne relacije, modeliraju u teoriji skupovapomocu uredenih parova. Za relaciju R na skupu D kažemo da je funkcija akozadovoljava sljedeci uvjet:

Funkcionalnost: 8x951yR(x; y)

Ovaj uvjet kazuje da za jedan’ulaz’ postoji najviše jedan ’izlaz’. Ako funkcijaispunjava dodatni uvjet ("postojanja"), onda se kaže da je ona totalna na D:

Totalnost: 8x9yR(x; y)

Uobicajeno je za oznaku funkcija koristiti mala slova, pocevši od f . Obicnose piše f(x) = y, umjesto < x; y >2 f .

Domena funkcije f je skup:


fx j 9y(f(x) = y)g

Rang funkcije f je skup:

fy j 9x(f(x) = y)g

Funkcije su u perspektivi teorije skupova jedna vrsta relacija.Identitena fukcija: id(x) = x za svaki x iz D.

Zadatak 112 Koji od sljedecih skupova predstavljaju funkcije na skupuD = f1; 2; 3; 4g?Za one koji su funkcije, odredite njihovu domenu i rang! 1. f< 1; 3 >;< 2; 4 >;<3; 3 >g, 2. f< 1; 2 >;< 2; 3 >;< 3; 4 >;< 4; 1 >g, 3. f< 1; 2 >;< 1; 3 >;< 3; 4 >;< 4; 1 >g, 4. f< 1; 1 >;< 2; 2 >;< 3; 3 >;< 4; 4 >g, 5. ;

16.4 Partitivni skupUvedimo pojam skupa koji obuhvaca sve podskupe nekog skupa. Partitivni skupskupa b je skup svih podskupova od b:

}b = fa j a µ bg

U engleskom jeziku koristi se naziv "powerset". U hrvatskom "potencijskiskup" ili "partitivni skup". Prvom bismo nazivu možda trebali dati prednost jer onsugerira cinjenicu da je broj elemenata takvog skupa izgradenog na osnovi skupas n elemenata 2n, pa se zato partitivni skup skupa a oznacava s 2a. K tome,termini "partitivni skup" i "particija skupa" slicno zvuce i mogu dati pogrešnusugestiju o njihovoj istovjetnosti.

Primjer 16.10 Neka je i skup njemackih idealista, i={Kant, Fichte, Schelling, Hegel}.}i ={ ;, {Kant}, {Fichte}, {Shelling}, {Hegel}, {Kant,Fichte}, {Kant,Schelling}, {Kant,Hegel},{Fichte,Schelling}, {Fichte,Hegel}, {Schelling,Hegel}, {Kant,Fichte,Schelling}, {Kant, Fichte,Hegel}, {Kant, Schelling, Hegel}, {Fichte, Schelling, Hegel}, {Kant,Fichte, Schelling,Hegel}}.

Tvrdnja 23 8b9!c8x(x 2 c $ x µ b)

Dokaz 24 Po aksiomu komprehenzije, možemo konstruirati skup c = fx j x µbg. Po aksiomu ekstenzionalnosti, može postojati najviše jedan takav skup.

16.4 Partitivni skup 173

Tvrdnja 24 Neka su a i b proizvoljni skupovi,

1:b 2 }b;

2:; 2 }b;

3:a µ b akko }a µ }b

Dokaz 25 1. Buduci da je odnos µ refleksivan, vrijedi b µ b. Po definicijipartitivnog skupa: b 2 }b. 2. ; µ b, zato ; 2 }b. 3. L-D. Pretpostavimo (*)a µ b. Trebamo dokazati da za svaki (i) z µ a vrijedi (ii) z µ b. Relacijaµ je tranzitivna, pa iz (i) i (*) proizlazi traženo: z µ b. D-L. Pretpostavimo zasvrhu indirektnog dokaza (reductio ad absurdum) da (A) }a µ }b, tj. da za svakiz µ a vrijedi z µ b ali (K) :a µ b. (K) znaci da postoji neki predmet e takav dae 2 a i e =2 b. Skup feg ocigledno mora biti podskup od a i ne smije biti podskupod b, tj. feg =2 }b. Ali feg 2 }a i (A) ako feg 2 }a, onda feg µ }b, pokazujuda feg 2 }b. Uspostavljena je kontradikcija, pa zato mora vrijediti kondicionalD-L.

Zadatak 113 Dokažite 8x8y(}x µ }y ! x µ y) metodom izravnog dokaza koris-teci lemu o refleksivnosti za µ!

16.4.1 Mogu li svi podskupovi nekog skupa biti njegovielementi?

Primjer 16.11 Skup fJohn Venng je i element i podskup skupa fJohn Venn, fJohnVenngg

Sljedeca tvrdnja pokazuje da niti jedan skup ne može imati kao elemente svesvoje podskupove.

Tvrdnja 25 Za bilo koji skup b, nije tako da }b µ b.

Dokaz 26 U dokazu koristimo instancu aksioma komprehenzije (1) i definicijurelacije podskupa (2). Zapocinjemo s formatom univerzalne generalizacije: nekaje b proizvoljni skup(3). Želimo dokazati }b * b. (tj. 8b:8x(x µ b ! x 2 b).Po aksiomu komprehenzije, možemo konstruirati podskup od b koji je definiranovako c = fx j x 2 b ^ x =2 xg (1. je jedna instanca aksiomske sheme kompre-henzije). Taj se skup, koji obuhvaca samo one elemente koji nisu svoji vlastitielementi, naziva Russellovim skupom. Po definiciji operacije partitivnog skupa,


vrijedi c 2 }b, jer c µ b (10). Za reductio ad absurdum pretpostavimo c 2 b (11).Po definiciji relacije podskupa: }b µ b ako i samo ako 8x(x 2 }b ! x 2 b).Dakle naša je pretpostavka da ce skup c za kojeg znamo da je element partitivnogskupa od b, takoder biti element i od b. Po iskljucenju treceg, mora vrijeditiili (i) c 2 c ili (ii) c =2 c. Ispitajmo prvi slucaj. Ako c 2 c (12), onda c neispunjava uvjet zadan s definicijom za c, pa zato c =2 c (14). Buduci c 2 cpovlaci neistinu (15), zakljucujemo da njezina negacija vrijedi, tj. c =2 c (16).No tada c ispunjava uvjet zadan definicijom za c, pa zato c 2 c (18). Na ovajsmo nacin dokazali i c 2 c i c =2 c, a to je kontradikcija (19). Po pravilu zauvodenje negacije (reductio ad absurdum), zakljucujemo da ne vrijedi c 2 b, tojest - c =2 b (20).Dakle, postoji podskup od b koji nije njegov element (u 22 je todokazano pod proizvoljnim imenom c, 23 je rezultat eliminacije egzistencijalnogkvantifiktarora, 24 je rezultat uvodenja univerzalnog kvantifikatora). Vidimo daje c protuprimjer za }b µ b, pa zato }b * b.

16.4 Partitivni skup 175

Gornja tvrdnja kazuje da za svaki skup b možemo naci skup c koji je podskupod b, ali nije element od b. Naime, možemo konstruirati Russellov skup za b:c = fx j x 2 b ^ x =2 xg.

Tvrdnja 26 Za svaki skup b, Russellov skup za b jest podskup od b, ali nijeelement od b.

Zapamtite.Partitivni skup skupa b je skup svih podskupova od b:

}b = fa j a µ bg

"Russellovim skupom" za proizvoljni skup b nazivamo skup fx j


x 2 b ^ x =2 xg.

Zadatak 114 U sljedecem nizu naslucujucih tvrdnji, pronadite istinite i dokažite ih.Za neistinite pronadite primjer koji pokazuje njihovu neistinitost25. 1. 8b : ; µ }b, 2.8b : b µ }b, 3. 8a8b : }(a \ b) = }a \ }b.

16.5 Russellov paradoks

Potrebni sastojci: 28

Tvrdnja 27 Postoji skup c takav da }c µ c.

U naivnoj teoriji skupova možemo dokazati ovu tvrdnju. Po aksiomu kom-prehenzije, postoji univerzalni skup koji sadrži sve. To je skup

c = fx j x = xg

(U donjem formalnom dokazu premisa 1. je instanca aksiomske sheme kom-prehenzije koja garantira postojanje univerzalonog skupa. Recenica 2. uvodiprivremeno ime za takav skup). No kako je to skup svih skupova, onda sui svi njegovi podskupovi clanovi (poddokaz 3-5 i 6). Zato }c µ c, to jest8y(y 2.}c ! y 2 c), odnosno 8y(y µ c ! y 2 c) (7).

25 1. Da. Primjenite dokaz da je prazni skup podskup svakog skupa na poseban slucaj partitivnogskupa.

2. Ne. Protuprimjer: {1}, ℘{1} = {∅, {1}}. Naime, kada bi vrijedilo {1} ⊆ ℘{1}, onda bi 1morao biti element od ℘{1}.

3. Da. Skupovi a i b su identicni akko a ⊆ b i b ⊆ a. L-D. Pretpostavimod ∈ ℘(a ∩ b). Kako je d podskup presjeka on sadržava samo predmete koji su i u a i u b; tj.∀x : x ∈ d → (x ∈ a ∧ x ∈ b). S druge strane, ℘a ∩ ℘b obuhvaca sve podskupove od a i od bkoji imaju iste clanove; tj. d ∈ ℘a ∩ ℘b ↔ ∀x(x ∈ d → (x ∈ a ∧ x ∈ b)). Buduci da desnastrana bikondicionala vrijedi po pretpostavci, proizlazi traženo: d ∈ ℘a ∩ ℘b. D-L. Pretpostavimod ∈ ℘a ∩ ℘b. Tada vrijedi ∀x(x ∈ d → (x ∈ a ∧ x ∈ b)). Po definiciji relacije podskupadobivamo d ⊆ a ∩ b. A po definiciji partitivnog skupa, slijedi da d ∈ ℘(a ∩ b). .

16.5 Russellov paradoks 177

No, poteškoca je u tome što možem dokazati i negaciju gornje tvrdnje (tosmo vec bili ucinili).

Tvrdnja 28 Za bilo koji skup b, nije tako da }b µ b.

Naivna teorija skupova je inkonzistentna, cime je pokazano da nešto nije uredu s teorijom.

Russellov skup za univerzalni skup c je skup svega onoga što nijesvoj vlastiti element: Z = fx j x 2 c ^ x 6= xg. Svaka pretpostavka,bilo da Z 2 Z, bilo da Z =2 Z vodi u apsurd.

Najkrace Russellov paradoks možemo iskazati koristeci sljedecu instancuaksioma komprehenzije: 9a8x(x 2 a $ x =2 x), a ona je nezadovoljiva.

Reakcije na otkrivenu ?? naivne teorije skupova išle su u razlicitim sm-jerovima. Jedan nacin uklanjanja inkonzistentnosti išao je smjerom revizije ak-sioma komprehenzije. Drugi, smjerom revizije sintakse jezika teorije skupova.

16.5.1 Aksiom separacijeReakcija na inkonzistentnost naivne teorije obuhvatila je i ogranicenje aksiomakomprehenzije.

16.5.1.1 Intuicija velicine

Jedna reakcija na otkrice inkonzistentnosti išla je smjerom revizije intuicija oskupovima. Ekstenzije nekih predikata prevelike su pa zato ne mogu tvoriticjelinu.

John von Neumann je postavio sljedece ogranicenje: neki predikati imaju"prevelike" ekstenzije koje se ne mogu obuhvatiti u jedan skup. Takav je i skupZ. Mi znamo da je takav, jer pretpostavka da on postoji vodi u paradoks.


Modifikacija aksioma komprehenzije ostvaruje se najprije tako da se on prim-ijenjuje samo na podskupove nekog skupa. Drugim rjecima, aksiom omogucujekonstrukciju iskljucivo podskupova, sam skup, ciji se podskup formira, vec trebabiti raspoloživ. Intuitivno, ako nam je dan skup a i isf-a P (x), onda možemosaciniti podskup od a:

fx j x 2 a ^ P (x)g

Ideja je slijedeca: ako a nije "prevelik", onda ni njegov podskup nece biti"prevelik".

Nova, modificirana aksiomska shema naziva se aksiomom separacije:

8a9b8x[x 2 b $ (x 2 a ^ P (x))]

tj.

8z1:::8zn8a9b8x[x 2 b $ (x 2 a ^ P (x))]

Aksiom separacije blokira mogucnost konstrukcije univerzalnog skupa (jeromogucuje konstrukciju samo podskupova nekog danog skupa).

Aksiom separcije:Mogu se konstruirati (postoje) samo skupovi koji nisu "preve-

liki".

16.5.2 Russellova teorija tipovaDrugi nacin blokiranja inkonzistentnosti išao je smjerom revizije sintakse i on-tologije.

Sintaksa Ontologija Primjeri

ad infinitumRazina 3 Predikati za Tip 0, Tip 1 i Tip 2 U3Razina 2 Predikati za Tip 0 i Tip 1 U2= }U1 Mnogobrojan; VeceOd (?)Razina 1 Predikati koji se primjenjuju na Tip 0 U1= }U0 Kosook; KockaRazina 0 "Pojedinacni predmeti" U0 = fx : x je pojedinacnostg Konfucije

Recnica x 2 y koristi binarni predikat ’2’ koji se smije primijeniti samona predmete razlicitog tipa. Oznacimo s tn tip kojemu pripada pojedini izraz,onda je recenica tn 2 tm ispravno sastavljena samo ako je m > n. Zbog toga,formula kojom se konstruira Russellov skup nije ispravno sastavljena formula.x =2 x jednostavno ne uspijeva iskazati niti jedan uvjet.

Teorija tipova:Kada se jedan simbol predicira drugome, prvi mora pripadati

višem tipu a drugi nižem.

16.6 Zermelo Fraenkel teorija skupova 179

16.5.3 Pokušaj jednog filozofskog objašnjenja

Popper, Sir Karl Raimund (1902-1994)

Popperova epistemologija podsjeca na Kantovu: Kant je tvrdio da ljudskirazum ne izvodi oblik mišljenja iz prirode nego ga namece prirodi. Kant jekoristio termin "sinteticki sudovi a priori" da bi oznacio istinite recenice kojenisu logicke istine (tj. gdje poznavanje znacenja upotrebljenih znakova nijedovoljno da bi se utvrdila istinititost recenice), no unatoc tome te recenice jesunužno istinite (ovdje se rijec ’nužno’ može shvatiti u znacenju ’u svim zamislivimokolnostima’). Drugim rijecima, struktura ljudskog razuma odreduje spoznaju.Na primjer, razum može ’otkriti’ prirodne zakone, ali ideja zakonitosti prirodnihdogadanja nije otkrivena nego zadana razumu. Slicno, po Kantovom mišljenjuvrijedi i za matematiku.

Primjenimo Kantovo ucenje na teoriju skupova. Ako je aksiom(ska shema)komprehenzije sinteticki sud a priori, onda (1, "sinteticki" dio) pojam ’stvari kojeispunjavaju uvjet U ’ ne ukljucuje pojam ’skup stvari koji ispunjavaju uvjet U ’ i(2, "a priori" dio) aksiom je nužno istinit. Ovo drugo svojstvo (a priori, lat. izprethodnog) svrstalo bi aksiom na stranu logike, a ne na stranu cinjenicne tvrdnje,tvrdnje od koje se ne ocekuje da bude nužno istinita.

Popper se slaže s time da je polazište spoznaje leži u vrlo opcenitim nacelima.No, ta nacela nisu neizbježna. Ona su tek hipoteze koje mogu biti i najcešcebivaju modificirane ili odbacene. Primjenimo li Popperovu teoriju o spoznajina razmatrani primjer dobivamo jednostavno objašnjenje. Ideja o skupu nije"prirodena", "zadana", "neizbježna". Ona se re-konstruira u procesu ucenja nagreškama.

16.6 Zermelo Fraenkel teorija skupova

Prvu je aksiomatizaciju teorije skupova dao 1908. Ernst Zermelo, nje-macki matematicar. Na osnovi analize paradokasa, on je zakljucio dasu oni povezani sa skupovima koji su "preveliki", poput skupa svihskupova... Zbog toga, Zermelovi aksiomi su restriktivni s obziromna pitanje egzistencije skupova. Zermelov aksiomatski sustav obicnose razmatra u obliku koji ukljucuje modifikacije i poboljšanja koja su


dali Norvežanin Thoralf Albert Skolem, pionir u metalogici, i Abra-ham Adolf Fraenkel, izraelski logicar. U literaturi, sustav se nazivaZermelo-Fraenkelovom teorijom skupova iako bi povijesno gledajucibilo tocnije nazivati je Zermelo-Skolem-Fraenkelovom teorijom.

Dva aksioma naivne teorije skupova omogucavala su nam dokaze postojanjai jedinstvenosti raznovrsnih skupova.

Primjer 16.12 Dokažimo jedinstvenost i postojanje unije skupova, tj. 8a8b9!c8x(x 2c $ (x 2 a_x 2 b)). U dokazu trebamo dokazati (i) da postoji barem jedan takav skup,tj. 8a8b9c8x(x 2 c $ (x 2 a _ x 2 b));i (ii) da postoji najviše jedan takav skup,tj:

8a8b8c8d8x[((x 2 c $ (x 2 a _ x 2 b)) ^ (x 2 d $ (x 2 a _ x 2 b))) ! c = d]:

Prvi dio (i) izravno slijedi iz aksioma komprehenzije kao jedna njegova instanca. Drugidio (ii) zahtijeva primjenu aksioma ekstenzionalnosti. Pretpostavimo da su c i d skupoviciji su clanovi upravo oni predmeti koji su elementi u a ili u b. Trebamo dokazati 8x(x 2c $ x 2 d).

Nakon toga primjena aksioma ekstenzionalnosti daje željeni rezultat:

Na kraju po pravilu za 8 intro dobivamo (ii).

Revizija aksioma komprehenzije blokirala je dokaze ovakve vrste. Zato uZermelo-Fraenkelovoj teoriji skupova moraju biti zastupljeni i aksiomi koji cegarantirati egzistenciju skupova odredenih vrsta.

16.6.1 Aksiomi Zermelo-Fraenkelove teorije skupova1. Aksiom ekstenzionalnosti.


Nije sporan. Jednak je aksiomu ekstenzionalnosti u naivnoj teoriji.

2. Aksiom separacije.

Dopušta tvorbu skupova stvari koji zadovoljavaju neki uvjet izvec postojeceg skupa.

3. Aksiom neuredenog para: za bilo koja dva predmeta postoji skup koji ihima kao svoje clanove,

4. Aksiom unije: ako je dan bilo koji skup skupova a, unija svih njegovihelemenata takoder je skup. To jest:

8a9b8x[x 2 b $ 9c(c 2 a ^ x 2 c)]

5. Aksiom partitivnog skupa: svaki skup ima partitivni skup6. Aksiom beskonacnosti: postoji skup svih prirodnih brojeva.

Evo dviju formalizacija ovog aksioma.

9a[; 2 a ^ 8b(b 2 a ! b [ fbg 2 a)]

9a[9x(x 2 a^8y : y =2 x)^8x(x 2 a ! 9y(y 2 a^8z(z 2 y Ã! z 2 x_z = x))]

Pogledajmo kako aksiom generira beskonacni skup:0 ili ;, 1ili ; [ f;g = f;g, 2 ili f;g[ ff;gg = f;; f;gg, 3 ili f;; f;gg [ff;; f;ggg = f;; f;g; f;; f;ggg, itd.

Kumulativna hijerarhija: polazeci od praznog skupa postupno seputem definiranih operacija konstruiraju daljni skupovi. U procesu sene koriste pocetni elementi. Mnogi beskonacni skupovi mogu nastati,ali ne i univerzalni skup.

7. Aksiom zamjene: ako je dan neki skup a i operacija F koja definirajedinstveni predmet za svaki x iz a, onda postoji skup fF (x) j x 2 ag. Drukcijekazano, ako 8x(x 2 a ! 9!yP (x; y)), onda postoji skup b = fy j 9x(x 2a ^ P (x; y))g

Još jedan nacin tvorbe novih skupova od postojecih.

8. Aksiom izbora: Ako je f funkcija s nepraznom domenom a i ako za svakox 2 a, f(x) jest neki neprazni skup, onda takoder postoji funkcija g takoder


s domenom a takva da za svako x 2 a, g(x) 2 f(x). (Funkcija g naziva sefunkcijom izbora jer za svako x iz a ona bira jedan element iz f(x):)

Ako se Zermelo-Fraenkel teorija skupova koristi zajedno s ak-siomom izbora, onda se oznacava s ZFC ("C" stoji za eng. "choice",izbor). Aksiom izbora postulira postojanje odredenog skupa (skupaizbora) ali za razliku od drugih aksioma te vrste (3, 4 i 5) on ne dajeupute kako se taj skup konstruira. Ta nekonstruktivna narav aksiomaizazvala je brojne rasprave.

9. Aksiom regularnosti: nijedan skup nema neprazan presjek sa svakim odsvojih elemenata:

8b[b 6= ; ! 9y(y 2 b ^ y \ b = ;)]

Ovaj aksiom iskljucuje skupove koji su svoji vlastiti elementi.Pomocu ovoga aksioma može se pokazati da je relacija 2 irefleksivna iasimetricna.

Povijest pojma o skupu i relaciji 2 pokazuje da nije rijec jednostavnim po-jmovima. S filozofskog stajališta, nipošto nije primjereno odbaciti razmatranjetog pojma s rijecima: "Skup je primitivan pojam i o njemu se ne može ništareci mimo onoga što aksiomi o njemu tvrde." takvo odbacivanje nije primjerenojer su upravo razmatranja o pojmu skupa vodila prema otkricu nezadovoljivostinaivne teorije i konstrukcijama aksiomatske teorije. U pozadini ZF-teorije stojedvije osnovne intuicije: skupovi ne mogu biti preveliki i skupovi se postupnokonstruiraju. O ovoj drugoj intuiciji govori aksiom regularnosti. Zašto ne bismjelo vrijediti x 2 x? Odgovor se mora pozvati na neku temeljnu ideju.

16.6.1.1 Kumulativni skupovi

Promotrimo skup a = fag. Ako bismo ga htjeli zapisati u popis zapisu, susrelibismo se poteškocama: fag ali a = fag, pa zato ffagg ali a = fag, pa zatofffaggg, itd. Najbliže što možemo doci jest da naznacimo beskonacno "ugn-ježdivanje" a = fff:::ggg. Buduci da je svoj jedini clan tj. a = fag, slijedi da jeon jednoclani skup. Zbog toga intuicija o ogranicenoj velicini skupova ne možeodbaciti ovakve skupove.

Logicar Zermelo tvrdio je da o skupovima trebamo misliti kao o necemušto nastaje na osnovi apstraktne radnje povezivanja u cjelinu predmeta koji sunam vec dani. prije no što se izgradi neki skup njegovi elementi vec moraju bitiizgradeni. na osnovi ovakve "kumulativne" metafore možemo objasniti zašto seskup a = fag ne može izgraditi. Da bi se taj skup konstruirao prethodno morabiti izgraden njegov jedini element, ali to je on sam. Kumulativna konstrukcijazahtijeva da element nekog skupa bude konstruiran u nekom prethodnoj fazi, aclan iregularnog skupa ne može biti konstruiran u prethodnoj fazi.

Joseph Shoenfield pokušao je opravdati aksiome ZFC teorije pozivajuci se


na intuicije u "redoslijedu" konstrukcije: neki skup može nastati ako su njegoviclanovi nastali prije njega (gdje rijec ’prije’, kaže on, treba razumjeti u logickoma ne u temporalnom smislu). Pogledajmo kako se opravdava aksiom beskon-acnosti.

Pogledajmo zašto je aksiom beskonacnosti istinit. Neka je x0 prazni skupa za svaki n neka je xn+1 skup ciji su clanovi — clanovi od xn i samxn. Na bilo kojem stupnju možemo formirati x0; ako je xn formiran nanekom stupnju, onda se xn+1 može formirati na bilo kojem kasnijem stup-nju. Pretpostavimo da je xn nastao na stupnju Sn. Tada postoji stupanj Skoji se javlja nakon svih stupnjeva ukljucno do Sn. Na ovom stupnju,možemo formirati skup x ciji su clanovi x0; x1; ::: Ovaj x je onaj skup cijepostojanje tvrdi aksiom beskonacnosti.

Ako pažljivo procitamo Shoenfieldovo objašnjenje, vidjet cemo da se njimeobrazlaže neogranicena mogucnost da se po "receptu" aksioma beskonacnostisacini dodaju novi i novi skupovi. No, zar aksiom ne tvrdi nešto jace od toga— postojanje skupa s beskonacno mnogo clanova. Shoenfieldovo objašnjenjepokazuje kako bi beskonacno mnogo takvih clanova moglo nastati, ali ne ob-jašnjava kako bi mogao nastati skup koji bi ih obuhvacao. Takvo objašnjenjezahtijevalo bi postojanje stupnja nakon beskonacnog broja stupnjeva i intuicijuaktualne beskonacnosti koja cini se nedostaje mnogim filozofima nakon Aris-totela.

16.6.1.2 Problem velicine

Moguce je dovesti u pitanje intuiciju o skupovima kao o predmetima koji nisupreveliki.

Najprije se trebamo osvrnuti na cinjenicu da partitivni skup nekog skupa kojiima n clanova ima 2n clanova. Ako, na primjer, neki skup ima 1000 clanova,onda njegov partitivni skup ima 21000 - veci (kako se kaže) od broja atoma usvemiru.

No što se dogada ako je broj clanova nekog skupa beskonacan?

16.6.1.3 Kantorovska velicina

Definicija 14 Funkciju f nazivamo injektivnom ili 1 ¡ za ¡ 1 ako za razlicitepredmete u svojoj domeni ona dodjeljuje razlicite predmete u svom rangu: akof(x) = f(y) onda x = y za sve x, y iz domene funkcije f .

Oznacimo s jbj kantorovsku velicinu skupa b. Kažemo da dva skupa b i cimaju istu kantorovsku velicinu, jbj = jcj akko se njihovi elementi mogu povezatina nacin 1¡za¡1, to jest - ako postoji injektivna funkcija s domenom b i rangomc.

Zadatak 115 Pokažite da je gornja definicija jednakobrojnosti skupova a i b ekviva-lentna s tvrdnjom da postoji bijektivna funkcija izmedu a i b.


Odgovor 30 Funkcija f sa skupa a u skup b je surjekcija akko je (i) rangte funkcije skup b, to jest, b = fy j 9x : f(x) = yg. [Neki autori razlikujukodomenu i rang funkcije: kodomena je skup mogucih a rang - skup stvarnihvrijednosti funkcije. Kod surjekcije kodomena i rang su jedan te isti skup.] (*)Funkcija je bijekcija (1 ¡ za ¡ 1 korespondencija) akko je ona surjekcija i (ii)injekcija. Moramo pokazati da je prva definicija ekvivalentna drugoj: a to cemouciniti ako pokažemo da prva povlaci drugu i obratno. L-D Pretpostavimo dapostoji injektivna funkcija f s domenom b i rangom c. Reiteracijom dobivamo daje f injekcija a, po definiciji (*) - slijedi da je f surjekcija. D-L Pretpostavimoda je funkcija f s a u b bijekcija. Ona je tada injekcija i njezin je rang b. A to jeupravo prva definicija.

Zadatak 116 Neka je f(x) = 2x za bilo koji prirodni broj x. Što je domena ovefunkcije? Što je rang ove funkcije? Je li ta funkcija 1¡ za¡ 1?

Odgovor 31 Domena ove funkcije je skup prirodnih brojeva N . Rang ovefunkcije je skup parnih brojeva fx j x 2 N ^ 9y(y 2 N ^ x : 2 = y)g. Ta jefunkcija 1¡ za¡ 1 jer je vrijednost 2x razlicita za svaki x.

Vidimo da postoji injektivna funkcija s domenom prirodnih brojeva i rangomparnih brojeva. Zato oni imaju jednaku kantorovsku velicinu.

Cantor je pokazao da za bilo koji skup b vrijedi

j}bj > jbj

Buduci da aksiom beskonacnosti garantira postojanje beskonacnog skupa,a aksiom partitivnog skupa omogucuje konstrukciju partitivnog skupa, onda cekantorovska velicina (i) partitivnog skupa beskonacnog skupa biti veca od kan-torovske velicine (ii) beskonacnog skupa. No i (i) spomenutom partitivnomskupu možemo konstruirati partitivni koji ce opet biti veci. Nisu li takvi skupovi"preveliki" da bi bili cjeline?

Zadatak 117 Dokažite da za bilo koji skup b, j}bj 6= jbj!

Dokaz 27 Poslužimo se metodom indirektnog dokaza. Pretpostavimo (*) j}bj =jbj. Po definiciji za kantorovsku velicinu, onda postoji injektivna funkcija f sdomenom }b i rangom b. Svi elementi od }b podskupovi su od b, zato možemos pravom pitati za svaki x 2 b je li slucaj da ako f(y) = x tada x 2 y.Razmotrimo skup c = fx j 9y(x = f(y) ^ x =2 y)g, skup svih elemenata od bkoji nisu elementi onog podskupa od b kojemu su pridružene po funkciji f . Popretpostavci (*) postoji f(c). Dodjelimo mu ime u. Mora biti slucaj da ili (i)u 2 c ili (ii) u =2 c. ispitajmo slucajeve. (i) Ako u 2 c, onda u mora zadovoljavati


uvjet 9y(x = f(y) ^ x =2 y), pa zato mora vrijediti u =2 c. Kontradikcija. (ii)Pretpostavimo u =2 c. Tada u ispunjava uvjet 9y(x = f(y)^x =2 y) jer u = f(c).Zato, u 2 c. Kontradikcija.

Razlicite ideje o skupovima

B. Russell E. Zermelo, A. Fraenkel,... W.V.O. Quine P. AczelRazdvojeni slojevi Utemeljeni Supostojanje Bez temelja

Ogranicena velicinaPoredak nastanka

theory of types ZFC new foundations non-well-founded sets

Neke razlike Russell ZFC AczelKoliko ima praznih skupova? Beskonacno Jedan

ako n 6= m, ;n 6= ;mMože li se govoriti o svim skupovima? Ne DaJe li relacija 2 irefleksivna? Da Da Ne

’xn 2 xn’ - sintakticka greška aksiom regularnosti 9a : a = fag

16.6.1.4 Primjene

Pogledajmo na jednom primjeru dalekosežan utjecaj kojega logicka i filozofskapitanja imaju na pitanja obrazovanja. Jean Piaget postavio je pitanje o tome kakose stjece pojam o broju. Da bi se odgovorilo na to pitanje potrebno je imati, ili,bolje je reci, pretpostaviti odgovore na prethodna pitanja: što je pojam, što jeucenje i što je broj. Jean Piaget, iako nije dao vlastitu teoriju prirodnih brojeva,zanimljiv je u filozofiji matematike buduci da uvodi novi tip argumentacije i nav-ješcuje strukturalisticku teoriju o brojevima. Izlaganje cemo zapoceti s njegovom[?] osnovnom tezom (str. 30.):

Pojam cijelog broja je s psihološkog stajališta sinteza skupa i tranzitivnogasimetricnog odnosa, drugim rijecima, sinteza u kojoj se logicke operacijekoordiniraju na novi nacin - što je rezultat odbacivanja njihovih razlika.Zato svaki pojam broja istodobno ukljucuje i ordinalni i kardinalni aspekt.”

Temeljne logicke operacije Piaget naziva ”inkluzijom” i ”serijacijom”. Pod”inkluzijom” razumijeva ono što se obicno naziva apstrakcijom ili generalizaci-


jom, dakle postupak kojim se niz predmeta povezuje na temelju izdvajnja nji-hovih slicnosti i zanemarivanja njihovih razlika26Rijec je o svojevrsnom ”mišl-jenju jedinstva” - razliciti predmet povezuju se u jedinstvenu cjelinu (pojam,skup). Petogodišnje dijete iz Piagetovo eksperimenta promatra kolekciju plocica,sve plocice su plave, no neke su pravokutne a neke zaobljene. Piaget pita: Jesu lisve plave plocice okrugle?, a dobiva postotak tocnih odgovora koji tek neznatnopremašuje slucajno pogadanje. Dijete ne odgovara tocno na ovo pitanje jer jošnije ovladalo s operacijom inkluzije, tj. ono još nema sposobnost da isti pred-met istodobno svrsta u razlicite skupove; iako dijete povezuje po slicnosti onojoš ne ”povezuje takva povezivanja”. Druga operacija je serijacija, nazovimoje mišljenjem razlike. Ovdje se predmeti ne povezuju po slicnostima, vec sesreduju s obzirom na njihove razlike. U predoperacijskoj fazi petogodišnjaktocno odgovara na pitanje koji je predmet veci, kada se ukloni veci predmet,a manjem se doda još manji dijete opet tocno odgovara, ali na pitanje je li onajprvi predmet kojega ono više ne vidi više od trecega dijete ne zna odgovoriti itraži da mu se ponovo pokaže prvi predmet kako bi moglo usporediti. Dijete jošne prepoznaje tranzitivnost odnosa ”biti-veci-od” ili ”ne povezuje povezivanje porazlici”. Dovršenje tih dviju intelektualnih operacija, Piaget ih naziva logickima,potrebno je za numericku intelektualnu operaciju. Da bismo razumjeli kako izašto ponovit cemo Piagetovu kritiku logicizma i intuicionizma.

Logicizam broj promatra kao ”skup ekvivalentnih skupova”, no s psihološkogstajališta apstrakcija koja vodi k tvorbi skupa (iz U1) razlikuje se od apstrakcijekoja vodi k tvorbi skupa jednakobrojnih skupova tj. broju (barem iz U2).

Primjer 16.13 0 je skup skupova

fa j 8x : x =2 ag ;

zbog aksioma ekstenzionalnosti f;g. 1 je skup

fa j 9x(x 2 a ^ 8y(y 2 a ! y = x))g .

2 je skup

fa j 9x9y(x 6= y ^ x 2 a ^ y 2 a ^ 8z(z 2 a ! (z = x _ z = y)))g :

I na slican nacin dalje.

Primjer 16.14 Ako prirodne brojeve shvatimo na ovaj nacin, onda za stjecanje takvihbrojeva treba ovladati: (i) apstrakcijom, kvalificirane vrste koja tvori skupove na osnovisvojstava njihovih elemenata, (ii) bijekcijom, za tvorbu skupova koji su brojevi, (iii)individuiranjem predmeta.po mjestu u nizu.

U prvom slucaju neka svojstva odbacujemo, a neka zadržavamo i na tomtemelju razlicite predmete povezujemo u cjelinu i dajemo im zajednicki naziv.

26 Usporedi s aksiomom apstrakcije.


No u drugom slucaju sva svojstva predmeta moraju biti zanemarena jer za obostranojednoznacno pridruživanje nije važno koji se predmeti povezuju. Takva ap-strakcija koja zanemaruje sva svojstva nije više apstrakcija, jer lišiti predmetsvih svojstava znaci nemati ga više.27Zato takva ”ekstremna” apstrakcija zaht-jeva nadopunu s komplementarnom operacijom, a to je ”ekstremna” serijacija.Svako uredivanje kolekcije predmeta na temelju njihove razlike pretpostavlja ra-zlikovanje vrijednosti/intenziteta nekog svojstva. No buduci da su ”ekstremnomapstrakcijom” predmeti lišenih svih svojstava to komplementarna ”ekstremnaserijacija” unosi razliku u ”položaju” i tako restituira predmete dajuci im svojstvakoja imaju kao clanovi niza. Operacije serijacije i inkluzije ”koordiniraju se nanovi nacin - što je rezultat odbacivanja njihovih razlika”. Numericka operacijapretpostavlja logicke jer je njihov produžetak (ekstrem), ali nije istovjetna s njimajer im mijenja karakter. Na temlju spomenute analize i intuicizam pokazuje svojeslabosti, jer ako broj pretpostavlja logiku, onda intuicija nije temelj.

Nažalost, cini se da vrijednost Piagetove briljantne analize umanjuje cin-jenica da on preuzima logicisticki pojam broja, za kojeg imamo razlog odbaci-vanja. Moguci povrat vrijednosti Piagetov analizi bio bi u ukazivanju da njegovateorija tumaci spoznajni postanak predznanstvenog pojma broja.

27 Berkeley:”Što ostaje kada trešnju lišimo svih svojstava?”

Poglavlje 17Matematicka indukcija

Matematicka indukcija nije indukcija na osnovi uzorka niti indukcija nabrajan-jem. Potonje ili nisu oblik deduktivnog zakljucivanja ili ne mogu opravdatiopcenitu konkluziju koja se odnosi na beskonacno mnogo slucajeva. Matem-aticka indukcija nije indukcija u smislu izvodenja opcenite konkluzije na temeljukonacnog broja opažanja. Takva "empirijska" indukcija na temelju uzorka jeosporiva: ona ne može potpuno opravdati opcenitu konkluziju (koja se odnosi ilii na neopažene slucajeve ili na na beskonacno mnogo slucajeva) Nasuprot tomematematicka indukcija može opravdati opcenitu konkluziju (koja se odnosi nabeskonacno mnogo slucajeva) na temelju konacnog dokaza.

17.1 Malo povijesti "nematematicke" indukcijeKritike indukcije:

"Da bi indukcija imala snagu dokaza, morala bi ispitati sve po-jedine slucajeve koliko ih god ima. No, takvoj indukciji nema mjesta uutvrdivanju prirodnih zakona" Ruder Boškovic (1711-1787)

Samo psihološka "nužnost", ne i logicka. David Hume (1711-1776)

188

17.2 Kako matematicka indukcija može opravdati opcenitu konkluziju koja se odnosi na beskonacan broj189

17.2 Kako matematicka indukcija može opravdatiopcenitu konkluziju koja se odnosi na beskonacan broj

slucajeva?Matematicka se indukcija može primijeniti samo ako je beskonacni skup pred-meta cije opcenito svojstvo dokazujemo definiran induktivno.

17.2.1 Induktivna definicijaInduktivna definicija ima tri dijela.

1. Osnovna klauzula navodi osnovne elemente skupa kojeg defini-ramo.

2. Jedna ili više induktivnih klauzula kazuju kako se tvore do-datni elementi od vec danih.

3. Završna klauzula koja kazuje da su svi elementi ili osnovni ilidobiveni po induktivnoj klauzuli.

Primjer 17.1 Induktivna definicija pal-niza slova. Osnovna kaluzula: svako slovoabecede je pal. Induktivna klauzula: ako je niz slova ® pal, onda je pal i niz slova kojinastaje kada se ® doda isto slovo sprijeda i straga (npr. b®b). Završna klauzula: ništanije pal osim onoga što se dobije ponovljenom primjenom osnovne i induktivne klauzule.

Primjer 17.2 Induktivna definicija recenice propozicijske logike L*. Osnovna klauzula:atomarne recenice su recenice propozicijske logike L*. Induktivna klauzula: ako suÁ i Ã recenice propozicijske logike L*, onda su i :Á, (Á ^ Ã), (Á _ Ã), (Á ! Ã),(Á $ Ã) recenice propozicijske logike L*. Završna klauzula: ništa drugo nije recenicapropozicijske logike L*.

Primjer 17.3 Primjer iz literature. /K. Gödel, "O formalno neudlucivim iskazima..."/Definicija skupa formula. Osnovna klauzula: elementarna formula je kombinacija sim-bola oblika a(b) gdje je b termin n-tog tipa,i a termin n + 1 tipa Elementarna formulaje clan skupa formula Induktivna klauzula: ako a i b pripadaju skupu formula onda tomskupu pripadaju i :(a), (a) _ (b), 8x(a) Završna klauzula: skup formula je najmanjiskup ciji clanovi zadovoljavaju gornje uvjete.

Primjer 17.4 Primjer iz literature. Induktivne definicije ponekad se zapisuju u takoz-vanom Backus-Naur obliku. "Osnovni jezik modalne propozicijske logike ima sljedeceformule:

P ::= propozicijski atomi p, q, r,...

F ::= P j :F j (F ^ F ) j ♦F "

190 Poglavlje 17 Matematicka indukcija

Osnovna klauzula pokazuje da su propozicijski atomi osnovni elementi. U donjem retkupokazuje se kako se od vec postojecih formula F dobivaju nove. To jest:

F ::= P|{z}osnovni

j :F j (F ^ F ) j ♦F| {z }tvorba novih

Zadatak 118 Iskažite definiciju za pal u Backus-Naur obliku!

Odgovor 32 Oznacimo skup nizova slova koji su pal s ¼.

¸ ::= slova a, b, c,...¼ ::= ¸ j ¸¼¸

17.3 Induktivni dokazZamislimo da moramo dokazati da svaka recenica propozicijske logike L* sadržibarem jednu atomarnu recenicu. Uocimo da tvrdnja ima oblik opcenitog kondi-cionala: 8x[Re·c_Iz_L ¤ (x) ! Q(x)] i da se odnosi na beskonacno mnogoslucajeva. Da bismo dokazali ovakvu tvrdnju, najprije ispitujemo imaju li os-novni elementi svojstvo Q (u ovom primjeru, sadržavaju li barem jednu atomarnurecenicu). Ocigledno je da imaju: osnovni se elementi sastoje upravo od jedneatomarne recenice. Zatim ispitujemo nasljeduje li se to svojstvo. Ako "stari"elementi imaju to svojstva hoce li ga imati i "novi" koji su iz "starih" dobiveniprimjenom induktivne klauzule? Ocigledno je da hoce. Pretpostavimo da Á iÃ imaju barem jednu atomarnu recenicu. Buduci da :Á sadrži sve atomarnerecenice koje sadrži Á, onda :Á ima barem jednu atomarnu recenicu. Buduci da(Á ^ Ã) sadrži sve one atomarne recenice koje se javljaju u Á i Ã, onda (Á ^ Ã)ima barem jednu atomarnu recenicu. I tako dalje. Buduci da "nove" recenicenisu mogle nastati nikako drukcije osim putem primjene induktivne klauzule,zakljucujemo da sve recenice iz L¤ imaju traženo svojstvo.

Ako raspolažemo s induktivnom definicijom skupa, onda induk-tivan dokaz zahtijeva dva koraka.

1. Osnovni korak: u kojem se pokazuje da osnovni elementiimaju traženo svojstvo

2. Induktivni korak: u kojemu se pokazuje da ako "stariji" ele-menti imaju traženo svojstvo, onda to svojstvo imaju i elementi koji sudobiveni primjenom induktivnih clanaka.

Pretpostavka s kojom zapocinje induktivni korak naziva se in-duktivnom hipotezom.

Primjer 17.5 Dokažimo da se svaki pal cita jednako sprijeda i straga, tj. da je svakipal palindrom. Dokaz. Osnova: Osnovni elementi su pojedinacna slova. bilo koje

17.3 Induktivni dokaz 191

pojedinacno slovo jednako se cita u oba smjera. Indukcija: Pretpostavimo da se pal® jednako cita u oba smjera (induktivna hipoteza). Moramo pokazati da ako dodamoneko slovo s u skladu s induktivnom klauzulom na pocetak i na kraj niza ®; da ce se ondarezultat, s®s citati jednako u oba smjera. Kada okrenemo niz - dobit cemo s®0s gdje je®0 obrnuti zapis za ®. Po induktivnoj hipotezi ®0 = ®, zato je rezultat obrata za s®supravo s®s. Na osnovi indukcije, zakljucujemo da je svaki pal palindrom.

Metafora. Domine moraju biti tako složene (definicija mora biti induk-tivna) da kad jedna domina padne - tada pada i sljedeca (induktivni korak).Da bi se sve domine srušile potrebno je gurnuti prvu (osnovni korak).

Zadatak 119 Definirajmo egzistencijalnu ispravno sastavljenu formulu (isf-u) induk-tivnim nacinom. Osnovna klauzula. 1. Svaka atomarna isf ili njezina negacija je egzis-tencijalna isf (drugim rijecima, svaki literal je egzistencijalna isf). Induktivne klauzule.2. Ako su P1; :::; Pn egzistencijalne isf-e, onda su egzistencijalne isf-e i (P1 _ ::: _ Pn)i (P1 ^ ::: ^ Pn). 3. Ako je P egzistencijalna isf, onda je 9vP egzistencijalna isf, zabilo koju varijablu v. Završna klauzula. 4. Ništa drugo nije egzistencijalna isf-a osimonoga što je dobiveno po klauzulama 1-3. Dokažite sljedece cinjenice putem indukcije!(a) Ako je P egzistencijalna isf, onda je ona logicki ekvivalentna preneksnoj isf-i kojanema univerzalnih kvantifikatora. (b) Pretpostavite da je P egzistencijalna recenica izjezika za Tarski’s World. Dokažite da ako je P istinita u nekom svijetu, onda ce P ostatiistinita ako se tom svijetu dodaju novi predmeti!

Odgovor 33 (a) Najprije nam treba definicija preneksne (normalne) forme. Isflogike prvoga reda je u preneksnoj normalnoj formi ako ona ne sadrži kvantifika-tore ili se svi kvantifikatori nalaze "na pocetku" formule. Trebamo dokazati ekvi-valentnost. Drugim rjecima, moramo pokazati da ako vrijedi P , koja je egzisten-cijalna isf, onda vrijedi neka formula Q koja nema univerzalnih kvantifikatora,i obratno. Osnovni korak: osnovne egzistencijalne isf su u preneksnoj formi jerne sadrže kvantifikatore. Zato su logicki ekvivalente formule u preneksnoj formibez 8 za njih upravo oni sami. Induktivni korak: pretpostavimo da za egzisten-cijalne isf-e P1; :::; Pn postoje logicki ekvivalente 9v1:::9viQ1; ::;9v1:::9vjQn

koje imaju traženi oblik. Trebamo ispitati dva slucaja tvorbe po klauzuli 2. Akoje formula dobivena po induktivnoj klauzuli iz P1; :::; Pn - formula (P1_:::_Pn),


onda se tražena ekvivalencija može dobiti zahvaljujuci distributivnosti 9 prema_ i ona je 9v1:::9vn(Q1; :::; Qn). Ako je formula (P1 ^ ::: ^ Pn), onda možemopreimenovati varijable i ekvivalentna formula ce po nacelu nulte kvantifikacijebiti 9v11 :::9v1i :::9vn1

:::9vnj(Q1^:::^Qn). Za klauzulu 3. pretpostavimo da jeP

egzistencijalna isf i da je 9v1:::9viQ njoj ekvivalentna. Tada je za egzistencijalnuisf 9vP - tražena ekvivalencija 9v9v1:::9viQ.

(b) Ostavljamo citatelju.Neki autori razlikuju dvije vrste matematicke indukcije: prirodnu i snažnu. U

prirodnoj indukciji koristi se sljedeci oblik zakljucka: (i) Svaki osnovni elementima svojstvo P . (ii) Svaki nacin tvorbe novih elemenata uspijeva sacuvati svo-jstvo P . (iii) Dakle, svaki element razreda kojega razmatramo ima svojstvo P . Uslucaju jake indukcije nije dovoljno samo razmotriti elemente iz kojih nastaje el-ement za kojega dokazujemo da ima svojstvo P , vec je potrebno razmotriti cijelirazred elemenata koji su nastali prije njega. U snažnoj indukciji u induktivnomkoraku susrecemno univerzalno kvantificiranu recenicu, kao na primjer "Ako sveformule cija je duljina manja od duljine formule A imaju svojstvo P , onda A imasvojstvo P ".

17.3.0.1 Najmanji skup

Završna klauzula u induktivnoj definiciji spominje ne samo definiendum vec iostale klauzule: "ništa drugo nije definiendum osim onoga što se dobiva ponovl-jenom primjenom osnovne i induktivne klauzule". Ocigledno je završna klauzula"Definiendum"

je "onošto defini-ramo","definiens"je "onopomocucega defini-ramo".

nije iskaziva u jeziku logike prvoga reda jer ona govori o drugim klauzulama, a ulogici prvoga reda ne možemo govoriti o njezinim vlastitim recenicama. No akouporabimo teoriju skupova, onda sve klauzule možemo iskazati u jeziku logikeprvoga reda.

Postupak je sljedeci: umjesto završne klauzule koristimo izraz "najmanjiskup".

Primjer 17.6 Induktivna definicija pal-niza slova. Skup pal nizova slova je najmanjiskup koji zadovoljava sljedece klauzule. Osnovna kaluzula: svako slovo abecede je pal.Induktivna klauzula: ako je niz slova ® pal, onda je pal i niz slova koji nastaje kada se ®doda isto slovo sprijeda i straga (npr. b®b).

Ako nam je dana neka kolekcija K skupova koji zadovoljavaju uvjete U ,onda ce presjek svih skupova iz kolekcije zadovoljavati uvjet U . Taj skup morabiti najmanji, jer kad uzmemo presjek neke gomile skupova, rezultat ce uvijekbiti podskup bilo kojeg izvornog skupa.

17.3 Induktivni dokaz 193

Najmanji skup.

Zadatak 120 Neka jeK kolekcija skupova ciji clanovi zadovoljavaju uvjeteU . Dokažiteda je

\K = fx j 8a(a 2 K ! x 2 a)g najmanji skup, to jest da za svaki skup a 2 K

vrijedi da\

K µ a.

Odgovor 34 Pretpostavimo da postoji skup koji je manji od\

K:

(*) 9b[b 2 K ^ :\

K µ b]

Tada mora postojati neki predmet e takav da e 2\

K i e =2 b. Ali to nije

moguce jer po definiciji za\

K, b 2 K ! e 2 b i po pretpostavci dobivamoe 2 b.

17.3.1 Primjer: aksiomatizacija prirodnih brojeva i primjenaindukcijeGiuseppe Peano (1858-1932) dao je jednu aksiomatizaciju aritmetike, koja seprihvatila kao adekvatna formalizacija aritmetike.Aksiomi:1. 8x8y(x+ 1 = y + 1 ! x = y) - najviše jedan sljedbenik2. 8x(x+ 1 6= 0) - 0 nije sljedbenik3. 0 + 1 = 1

4. 8x(x+ 0 = x)

5. 8x8y[x+ (y + 1) = (x+ y) + 1] - definicija zbrajanja (4,5)6. 8x(x£ 0 = 0)

7.8x8y[x£ (y + 1) = (x£ y) + x] - definicija množenja (6,7)Aksiomska shema:


Figure 17.1

K tome PA ima aksiomsku shemu koja izražava princip matem-aticke indukcije za prirodne brojeve.

8. [Q(0) ^ 8x(Q(x) ! Q(x+ 1))] ! 8xQ(x)

Aksiom 8. pokazuje jedan poseban slucaj primjene indukcije. Ako trebamodokazati 8x(N(x) ! Q(x)), onda trebamo dokazati (osnovni korak) Q(0), te(induktivni korak) Q(x) ! Q(x + 1). Ocigledno je da ova aksiomska shemapretpostavlja induktivnu definiciju prirodnog broja u kojoj adicija +1 daje in-duktivnu klauzulu : Skup N je najmanji skup koji zadovoljava sljedece uvjete: 1.0 2 N i 2. ako n 2 N, onda n+ 1 2 N.

Zadatak 121 Otvorite Exercise 16.19 i dokažite 8x(x+1 = 1+x). Cetvrta premisadaje nam potrebnu instancu aksioma matematicke indukcije. Ona nam pokazuje kakomožemo dokazati traženo. Naime, treba dokazati 0 + 1 = 1 + 0 i 8x[x+ 1 = 1 + x !(x+ 1) + 1 = 1 + (x+ 1)]

Poglavlje 18Potpunost sustava prirodnededukcije za propozicijsku

logikuJedno željeno svojstvo logickog sustava povezano je uz uskladenost semantikei sintakse. Ako se sve ono što slijedi (semanticki pojam) može i dokazati (sin-takticki pojam) pomocu logickog sustava, onda je on potpun. Ispitat cemo ima lisustav prirodne dedukcije koji pokriva pravila za istinitosno funkcionalne veznikei logicku konstantu neistine svojstvo potpunosti. Drugim rjecima, pitat cemo seomogucuju li nam pravila eliminacije i introdukcije za ^, :, _, !, $, ? dadokažemo svaku tautološku posljedicu.

Primjer 18.1 Hipoteticki silogizam: konkluzija slijedi i može se dokazati. Vrijedi lislicno u svim slucajevima?

18.1 Dodjelivanje istinitosne vrijednosti i istinitosnetablice

Definirajmo dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik logike prvoga reda kaobilo koju funkciju h sa skupa svih atomarnih recenica tog jezika na skup {IS-TINITO, NEISTINITO} Ta funkcija nam za bilo koju atomarnu recenicu A is-postavlja njezinu istinitosnu vrijednost, što zapisujemo kao h(A), koja je bilo IS-TINITO bilo NEISTINITO. Intuitivno, možemo zamisliti svaku pojedinu funkcijuh kao prikaz jednoga retka u (možda vrlo velikoj) istinitosnoj tablici.

Zadatak 122 Zamislimo jezik s jednim predikatom, ’Kocka’ i dvije individualne kon-stante, ’a’ i ’b’. Taj jezik ima dvije atomarne recenice i cetiri funkcije dodjeljivanjaistinitosnih vrijednosti.

195

196Poglavlje 18 Potpunost sustava prirodne dedukcije za propozicijsku logiku

Kocka(a) Kocka(b)h1 h1(Kocka(a)) = ISTINITO ISTINITOh2 ISTINITO NEISTINITOh3 NEISTINITO ISTINITOh4 NEISTINITO NEISTINITO

Sada možemo proširiti funkciju h dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti s novomfunkcijom h koja ce biti definirana za skup svih recenica i koja svoju vrijednostdobiva iz skupa fISTINITO;NEISTINITOg. Dok o funkciji h možemomisliti kao o lijevom dijelu retka istinitosne tablice koji se nalazi ispod atomarnihrecenica (ili propozicijskih slova), dotle o h kao o cijelom retku, koji obuhvaca idio koji se nalazi ispod složenih recenica.

Funkciju dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti za sve recenice dijela jezikalogike prvoga reda pod razmatranjem definiramo pozivajuci se na njezine prethodnevrijednosti a na kraju na funkciju dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti za atom-arne recenice.

1. h(Q) = h(Q) za atomarne recenice Q

2. h(:Q) = > ako i samo ako h(Q) = ?3. h(Q ^R) = > ako i samo ako h(Q) = > i h(R) = >4. h(Q _R) = > ako i samo ako h(Q) = > ili h(R) = >, ili i jedno i drugo5. h(Q ! R) = > ako i samo ako h(Q) = ? ili h(R) = >, ili i jedno i drugo6. h(Q $ R) = > ako i samo ako h(Q) = h(R)

Zadatak 123 Definirajmo tromjesni veznik ’|’ na sljedeci nacin:

P Q R |(P;Q;R)> > > >> > ? >> ? > ?> ? ? ?? > > >? > ? ?? ? > >? ? ? ?

Njegovo je znacenje ’Ako P onda Q, u protivnom R’. Definirajte funkciju h za taj veznik!

Odgovor 35 h(|(P;Q;R)) = > ako i samo ako h(P ! Q) = > i h(:P !R) = >. Ako nastavimo razlaganje, onda vidimo da moraju biti zadovoljena dva

18.2 Potpunost propozicijske logike 197

uvjeta: (i) h(P ) = ? ili h(Q) = >, i (ii) h(P ) = > ili h(R) = >.

S ovakvim preciznim modelom dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti, možemodati matematicki precizne definicije za tautologiju i it-zadovoljivost. (it-zadovoljivost:zadovoljivost na istinitosnoj tablici).

Recenica S je tautologija ako je istinita za svako dodjeljivanjeistinitosnih vrijednosti h, drugim rijecima, ako je za svako h - h(S) =>.

Recenica S je tautološka posljedica skupa recenica T ako isamo ako je u svakom dodjeljivanju istinitosnih vrijednosti pod kojimje svaka recenica iz T istinita takoder i recenica S istinita.

Recenica S je it-zadovoljiva ako i samo ako postoji barem jednododjeljivanje istinitosnih vrijednosti takvo da h(S) = >.

Skup recenica T je it-zadovoljiv ako i samo ako postoji baremjedno dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti pod kojim je svaka recenicaiz T istinita.

Tvrdnja 29 Recenica S je tautološka posljedica skupa recenica T ako i samoako T [ f:Sg nije it-zadovoljiv.

Zadatak 124 Dokažite prethodnu tvrdnju!

Odgovor 36 Dokaz. S lijeva na desno. Reductio. Pretpostavimo (i) da S jesttautološka posljedica skupa T , a (ii) da T [ f:Sg jest it-zadovoljivo. Ako jeT[f:Sg zadovoljivo onda postoji neko istinitosno vrednovanje h koje cini svakurecenicu iz T istinitom a S neistinitom. No tada S nije tautološka posljedica odT , što protuslovi (i) pretpostavci. Dakle uvodeci negaciju, ako (i) onda :(ii). Sdesna na lijevo: dovršite sami!

Uocimo da onda kada je T konacan skup, pitanje je li skup T it-zadovoljivmožemo svesti na pitanje je li jedna recenica it-zadovoljiva, naime ona koja jekonjunkcija svih recenica iz T .

Dodjeljivanje istinitsonih vrijednosti je funkcija s atomarnih recenicau skup f>;?g. Ona modelira jedan redak potpune istinitosne tabliceza jezik kojega razmatramo.

18.2 Potpunost propozicijske logikeSada raspolažemo sa sredstvima koja nam omogucuju da dokažemo Teorem pot-punosti za propozicijsku logiku. Neka FT oznacava logicki sustav koji sadržisamo pravila uklanjanja i uvodenja za ^, :, _, !, $, ?.


Ako nam je dan skup recenica T i još jedna recenica S, ondapišemo T `T S za tvrdnju da postoji formalni dokaz u sustavu FT zarecenicu S a koji za premise uzima recenice iz T .

Uocimo da ako T `T S i T µ T 0, onda T 0 `T S. Ovo svojstvo odnosadokazivosti nazivamo monotonicnošcu. U novije vrijeme intenzivno se proucavajui logicki sustavi koji su lišeni ovoga svojstva (osporivo zakljucivanje).

Teorem 30 (Potpunost sustava FT ) Ako je recenica S tautološka posljedicaskupa recenica T onda T `T S

Teorem ne možemo izravno dokazati pretpostavljajuci da je S tautološkaposljedica od T i, zatim, tražiti dokaz za S, jer ništa ne znamo ni o T ni o S.

Teorem cemo dokazati dokazujuci njegovu konverziju: ako T 0TS (ako nema dokaza), onda S nije tautološka posljedica. To jest, pokazatcemo da kada T 0T S tada postoji h koji cini sve recenice iz T is-tinitima a S neistinitom. Drugim rjecima, pokazat cemo da ako T 0TS, onda T [ f:Sg jest it-zadovoljivo.

Najprije cemo reformulirati teorem potpunosti u nekoliko etapa.

18.2.1 Formalna konzistentnostDokazat cemo jednu lemu koju cemo koristiti u reformulaciji teorema.

Lema 31 T [ f:Sg `T ? ako i samo ako T `T S.

Dokaz. Pretpostavimo da T [ f:Sg `T ?. To znaci da postoji dokaz za? koji eventualno koristi P1; :::; Pn iz T i S. Sada treba pokazati da T `T S.Ako u poddokazu s pretpostavkom :S reproduciramo prethodni, po pravilu zauvodenje negacije, moci cemo dokazati S.Dakle, lema vrijedi s lijeva na desno.

Zadatak 125 Smjer s desna na lijevo dokažite sami!

Odgovor 37 Pretpostavimo T `T S. To znaci da postoji dokaz

Ako premisama dodamo :S, onda možemo dokazati ?.Ova nam lema pokazuje da pretpostavka T 0T S (iz kotrapozicije Teorema

potpunosti) znaci isto što T [ f:Sg 0T ?. Dosadašnja zapažanja možemoiskazati u obliku koji je lakši za pamcenje ako uvedmo novi termin.

Skup recenica T je formalno konzistentan ako i samo ako T 0T?, to jest, ako i samo ako ne postoji dokaz u FT za ? iz T .

S novim terminom možemo reformulirati Teorem potpunosti.


Figure 18.1


Figure 18.2

Figure 18.3


Figure 18.4


Teorem 32 (Reformulacija potpunosti) Svaki formalno konzistentni skup recenicaje it-zadovoljiv.

Dokaz 28

T 0T S =) :TauCon(S; T ) kontrapozicijaT [ f:Sg 0T ? =) :TauCon(S; T ) po lemi form.kon.T [ f:Sg 0T ? =) Zadovoljiv(T [ f:Sg) po lemi tau.con.zad.

Teorem potpunosti slijedi iz reformuliranoga kada se primjeni na posebanslucaj skupa T [ f:Sg.

Sada preostaje dokazati reformulirani teorem.

18.2.2 Strategija dokazivanja reformuliranog teorema

18.3 Potpunost formalno potpunog skupa recenica 203

potpunostiPotpunost formalno potpunih skupova: Najprije cemo pokazati da

teorem vrijedi za formalno konzistentne skupove koji imaju dodatnosvojstvo, koje se naziva formalnom potpunošcu. Skup T nazivamo formalnopotpunim ako za bilo koju recenicu S iz jezika pod razmatranjem vrijedi iliT `T S ili T `T :S. Ovo je jaki zahtjev, jer on kaže da je skup recenicatoliko snažan da može dati odgovor na svako pitanje koje se može postavitiza jezik pod razmatranjem.

Proširenje na formalno potpune skupove: Kada pokažemo da je svakiformalno konzistentan i formalno potpun skup recenica it-zadovoljiv, pokazatcemo da se svaki formalno konzistentni skup recenica može proširiti (seventualno potrebnim dodatnim recenicama) tako postane formalno potpun ada ostane formalno konzistentan.

Povezivanje: Cinjenica da je prošireni skup it-zadovoljiv jamci da jeizvorni skup takoder it-zadovoljiv, jer ce dodjeljivanje istinitosnih vrijednostikoje zadovoljava restriktivniji skup takoder zadovoljiti i izvorni.

18.3 Potpunost formalno potpunog skupa recenicaZa dokaz tvrdnje da svaki formalno konzistentni, formalno potpuni skup recenica


jest it-zadovoljiv trebat ce nam sljedeca lema.

Lema 33 Neka je T formalno konzistentan, formalno potpun skup recenica, teneka su R i S proizvoljne recenice u jeziku.

1:T ` T (R ^ S) akko T `T R i T `T S

2:T ` T (R _ S) akko T `T R ili T `T S

3:T ` T:S akko T 0T S

4:T ` T (R ! S) akko T 0T R ili T `T S

5:T ` T (R $ S) akko bilo T `T R i T `T S bilo T 0T R i T 0T S

Dokaz. (1) S lijeva na desno. Ocigledno je da ako imamo dokazza R ^ S iz T , da možemo konstruirati dokaz za R i dokaz za S prim-jenjujuci pravilo ^ Elim dva puta. S desna na lijevo, ako koristecipremise P1; :::; Pn iz T možemo dokazati R, te koristeci Q1; :::; Qn izT možemo dokazati S, onda samo trebamo spojiti ta dva dokaza smješ-tajuci P1; :::; Pn; Q1; :::; Qn na položaj premisa, reproducirati prethodnedokaza (samo ce se brojke koraka izmijeniti) i na kraju primijeniti ^ In-tro. (2) S desna na lijevo, dokaz je trivijalan: dovoljna je primjena _Intro.S lijeva na desno, situacija je malo teža jer ’T `T (R _ S) samoako T `T R ili T `T S’ opcenito ne vrijedi. Ali vrijedi u posebnomslucaju, formalno konzistentnih i formalno potpunih skupova. Pret-postavimo za reductio da T `T (R _ S) te (*) da T 0T R i T 0T S.No kako za svaku recenicu iz T vrijedi da je dokaziva ili ona ili njez-ina negacija, onda mora vrijediti T `T :R i T `T :S. Ta dva dokazaspojim u jedan i primjenimo dokaz za jednu varijantu DeMorgan-ovogzakona. i dobivamo da vrijedi T `T :(R _ S). No, to nije mogucebuduci da je skup T formalno konzistentan.

Zadatak 126 Dokažite lemu za slucajeve 3., 4. i 5.

Koristeci ovu lemu možemo dokazati tvrdnju o it-zadovoljivosti formalnokonzistentnih, formalno potpunih skupova.

Tvrdnja 34 Svaki formalno konzistentan, formalno potpun skup recenica je it-zadovoljiv.

Dokaz. Neka je T formalno konzistentan, formalno potpun skup.Definirajmo dodjeljivanje h istinitosnih vrijednosti za atomarne recenicena sljedeci nacin. Ako T `T A onda h(A) = >, a u protivnom slucaju,


neka je h(A) = ?. Onda je funkcija h definirana za sve recenice, bileone atomarne ili složene. Naša tvrdnja tada glasi:

za svaku isf-u S, h(S) = > akko T `T S

Za dokazati ovu tvrdnju, moramo se poslužiti indukcijom. Osnovnikorak: Tvrdnja vrijedi za sve atomarne recenice zbog nacina kako smoovdje definirali h (tj. istinitost se poklapa s dokazivošcu) i zbog defini-cije funkcije h (tj. njezina vrijednost se podudara s vrijednošcu za hkod atomarnih recenica). Induktivni korak: ako tvrdnja vrijedi za R iS, onda ona vrijedi i za recenice koje nastaju na osnovi pravila tvorbe:(R ^ S), (R _ S), :R, (R ! S), (R $ S). Svih pet slucajevalako proizlazi iz prethodne leme. Razmotrimo kao primjer slucaj dis-junkcije. Trebamo potvrditi da h(R _ S) = > akko T `T (R _ S). Za’samo ako’ dio, pretpostavimo h(R _ S) = > Onda po definiciji zah ili h(R) = > ili h(S) = >, ili i jedno i drugo. Po hipotezi induk-cije, vrijedi ili T `T R ili T `T S ili i jedno i drugo. No tada po lemi,T `T (R_S), a upravo smo to htjeli dokazati. U suprotnom ’ako’ sm-jeru, pretpostavimo T `T (R_S). Tada po lemi ili T `T R ili T `T S.Po hipotezi indukcije (istinitost i dokazivost se poklapaju), tada vrijedih(R) = > ili h(S) = >. A po definiciji funkcije h, prethodno povlacih(R _ S) = > A to smo htjeli dokazati. Na slican nacin dokazu-jemo i ostale slucajeve (to ostavljamo citatelju) Iz ovoga uvidamo dana ovaj nacin definirano dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za atom-arne recenice h cini svaku recenicu koja se može dokazati pomocu Tistinitom. Buduci da se svaka recenica iz T može dokazati, na prim-jer putem pravila za reiteraciju, slijedi da h cini svaku recenicu iz Tistinitom. Dakle, T je it-zadovoljiv. Q.E.D.

18.3.1 Proširenje na formalno potpune skupove recenicaU sljedecoj etapi dokaza potpunosti moramo pokazati kako možemo polazeci odformalno konzistentnih skupova doci do skupova koji su i formalno konzistentnii formalno potpuni.

Lema 35 Skup recenica T je formalno potpun ako i samo ako za svaku atom-arnu recenicu A vrijedi T `T A ili T `T :A.

Dokaz. Smjer ’samo ako’ je naprosto posljedica definicije for-malne potpunosti. Suprotni, ’ako’ smjer zahtjeva dokaz putem induk-cije na složenost isf-a. Ovdje dokazujemo da je s pitanjem dokazivostiatomarnih recenica riješeno i pitanje dokazivosti svih recenica. Drugimrijecima, ako kod svake atomarne recenice znamo ulazi li ona ili ulazinjezina negacija u krug recenica dokazivih pomocu T , onda to istoznamo za sve recenice. Pretpostavimo desnu stranu bikondicionala: za


svaku atomarnu recenicu A vrijedi T `T A ili T `T :A. To je osnovaindukcije. Po induktivnom koraku, ako za R i S vrijedi da se zna kojaje iz para kontradiktornih recenica dokaziva, onda se za svaku recenicukoja se može iz njih saciniti može odrediti je li dokaziva ona ili njezinanegacija. Proucimo slucaj disjunkcije. Mora vrijediti ili T `T (R _ S)ili T `T :(R _ S). Ako T dokazuje bilo R bilo S, onda po pravilu_ Intro: T `T (R _ S). U protivnom, ako T ne dokazuje ni R ni S,onda vrijedi T `T :R i T `T :S. Povezivanje tih dvaju dokaza idodavanje koraka ^ Intro daje: T `T :R ^ :S. Nastavljanje dokaza(u smjeru DeMorganovog zakona) daje T `T :(R _ S). Dakle, štogod bilo slucaj (ili da je barem jedna recenica dokaziva ili da niti jednanije) - pitanje o dokazivosti njihove disjunkcije ili njezine negacije bitce riješeno. Sami izradite ostale induktivne dokaze.

Sada možemo prijeci na sljedecu etapu u dokazu potpunosti.

Tvrdnja 36 Svaki se formalno konzistentni skup recenica T može proširiti doformalno konzistentnog, formalno potpunog skupa recenica.

Dokaz. Napravimo popis svih atomarnih recenica u jeziku podrazmatranjem (npr. u abecednom poretku) A1; A2; :::. Zatim pregleda-jmo recenice jednu po jednu. kada naidemo na recenicu Ai takvu dani Ai ni :Ai nisu dokazive pomocu T , dodajmo Ai u T . Na taj nacinnecemo uciniti skup formalno inkonzistentnim. Naime, kada bi to biloslucaj, to jest kada bi vrijedilo T [fAig `T ?, onda bi (po vec 19831 )vrijedilo T `T :Ai pa Ai ne bi ni bilo dodano. Na kraju ovog procesadobivamo skup koji je po prethodnoj35 formalno potpun. Taj novi,eventualno prošireni skup je formalno konzistentan. Kako je svakidokaz pa i onaj za ? konacan i koristi konacan broj premisa, inkonzis-tentnost se nije mogla uvuci u ovom procesu.

18.3.2 Sve zajedno: dokaz potpunosti1. Pretpostavimo T 0T S:

2. Po dokazanoj lemi vrijedi: T [ f:Sg `T ? ako i samo ako T `T S.Ali zbog 1. dobivamo T [ f:Sg 0T ?. Zato, je skup T [ f:Sg formalnokonzistentan.

3. Ovaj se skup može proširiti na formalno konzistentan, formalno potpunskup (po tvrdnji: Svaki se formalno konzistentni skup recenica T može proširitido formalno konzistentnog, formalno potpunog skupa recenica). Oznacimo tajprošireni skup s ext(T [ f:Sg)

4. Po tvrdnji "Svaki formalno konzistentan, formalno potpun skup recenicaje it-zadovoljiv." slijedi da je skup ext(T [ f:Sg) - it-zadovoljiv.

5. Pretpostavimo da je h dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti koje zadovol-


java skup ext(T [ f:Sg).6. Po definiciji negacije, h cini sve recenice iz T istinitima a S neistinitom.7. S nije zato tautološka posljedica od T

8. 1. povlaci 7., a po kontrapoziciji dobivamo: ako je S tautološka posljedicaskupa T , onda T `T S.

Za zapamtiti:1. Teorem potpunosti dokazan je tako što smo pokazali da je

svaki formalno konzistenti recenicni skup T it-zadovoljiv. To smoucinili u dva koraka.

2. U prvom koraku pokazujemo da to vrijedi i za skupove kojisu takoder i formalno potpuni.

3. U drugom koraku pokazujemo kako se formalno konzistentniskup može proširiti na skup koji je i formalno konzistentan i formalnopotpun.

18.3.3 Vježba: pojam formalno potpunog i formalnokonzistentnog skupa recenica

Zadatak 127 Ispitajte sljedecu tvrdnju: "Neka su T1 i T2 formalno konzistentni skupovirecenica. Tada vrijedi:

ako T1 µ T2,onda T1 [ T2 0T ?."

Odgovor 38 Tvrdnja je istinita. Buduci da T1 µ T2, onda T1 [ T2 = T2, a T2jest konzistentan.

Zadatak 128 Neka je A1; A2; A3; ::: popis svih atomarnih recenica i neka je T for-malno konzistentan skup recenica. Konstruirajmo skup Tmax. po sljedecem uputstvu:

T0 = T...

Tn+1 =

½Tn [ fAn+1g ako Tn [ fAn+1g 0T ? i Tn [ f:An+1g 0T ?Tn u protivnom.

...Tmax = fx j x 2 T0 _ x 2 T1 _ ::: _ x 2 Tn _ :::g =

[i=0;1;2;3;:::

Ti

Dokažite da je skup Tmax formalno konzistentan!


Odgovor 39 Definiciju za Tmax možemo shvatiti kao induktivnu definiciju zapodskup od Tmax:

[0] osnovni skup: T0 = T

[iz n prema n+1] generirani skup: Tn+1 = Tn [ fAn+1g akoTn [ fAn+1g 0 ? iTn [ f:An+1g 0 ? ,

Tn+1 = Tn inace.["najmanji skup"] završni uvjet: Tmax =

[i=0,1,2,3,...

Ti

Dokaz možemo provesti indukcijom. U osnovnom slucaju T0 jest konzistentanjer je T konzistentan i T0 = T . U induktivnom koraku moramo dokazati davrijedi: ako je Tn formalno konzistentan, onda je Tn+1 formalno konzistentan.Pretpostavimo ("induktivna hipoteza") da Tn jest formalno konzistentan. An+1

ili jest logicki neovisna o Tn, tj. Tn [ fAn+1g 0T ? i Tn [ f:An+1g 0T ?ili nije, tj. Tn [ fAn+1g `T ? ili Tn [ f:An+1g `T ?. Ispitajmo sluca-jeve. U prvom slucaju An+1 jest logicki neovisna o Tn. Zato po definicijiza Tmax, Tn+1 = Tn [ fAn+1g. Zbog logicke neovisnosti znamo da vrijediTn [ fAn+1g 0T ?. Eliminacijom identiteta zakljucujemo da Tn+1 jest konzis-tentno. U drugom slucaju An+1 nije logicki neovisna o Tn. Zato po definiciji zaTmax, Tn+1 = Tn. Po induktivnoj hipotezi Tn jest konzistentno. Eliminacijomidentiteta zakljucujemo da Tn+1 jest konzistentno. Po elimaniciji disjunkcijezakljucujemo da Tn+1 jest konzistentno. Po nacelu indukcije zakljucujemo dasvaki Ti jest konzistentan. Unija svih konzistentnih skupova uredenih odnosompodskupa jest konzistentna. Ili drukcije, indukcija je pokazala da je svaki pod-skup od Tmax konzistentan. Buduci da je Tmax svoj vlastiti podskup, Tmax jestkonzistentan. Dakle, Tmax jest konzistentan.

Zadatak 129 Zadan je jezik L s dva predikata, Kocka i Maleno, i s dvije indi-vidualne konstante, a i b. Neka je T sljedeci skup recenica: T = f:(Kocka(a) ^Maleno(a)); Kocka(b) ! Kocka(a); Maleno(a) _ Maleno(b)g. Ovaj skup nijeformalno potpun. (i) Poredajte po abecedi atomarne recenice iz L! (ii) Izgradite skupTmaxL za T obzirom na jezik L! (iii) Što je slucaj: Tmax

L ` Maleno(b) ili TmaxL `

:Maleno(b)? (iv) Dokažite to! (v) Koje dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h zado-voljava skup Tmax

L ? (vi) Izgradite "Tarski-svijet" takav da sve recenice iz TmaxL budu

istinite!

Odgovor 40 (i)Kocka (a) ;Kocka (b) ;Maleno (a) ;Maleno (b). (ii) TmaxL =

T [ fKocka (a) ;Kocka (b)g. (iii) TmaxL ` :Maleno(b). itd.

Primjedba 10 Tmax možemo konstruirati na sljedeci nacin. Oznacimo svakurecenicu iz popisa atomarnih recenica razlicitim prirodnim brojem. 1. Ispi-tajmo jesu li sve recenice iz T literali. Ako (1.a) da, krenimo na 4, u (1.b)


Figure 18.6

protivnom nastavimo s 2. Za svaku recenicu S iz T:izgradimo dokaz za dnf(S),gdje je dnf(S) recenica S prikazana u njezinoj najkracoj disjunktivnoj nor-malnoj formi. 3. Izgradimo "_Elim–kostur" Fitch dokaza za dnf(T ), gdjeje dnf(T ) = fdnf(S) j S 2 Tg. (Svaki disjunkt postat ce pretpostavka nekogpoddokaza. Recenice koje nisu disjunkcije reiterirajmo unutar krajnje-desnihpoddokaza.) Zatvorimo s? (pod...)-dokaze koji sadrže kontradikciju. 4. Postavimoi = 1. 5. Dodajmo Ai premisama. 6. Ispitajmo postojanje kontradikcije (zaslucaj 1.a trebamo pregledati skup premisa, za slucaj 1.b treba ispitati da li Ai

izaziva zatvaranje svakog poddokaz s ?.) Ako (6.a) nema kontradikcije, pri-jedimo na 7., u protivnom (6.b), prijedimo na 13. 7. Izbrišimo Ai. 8. Dodajmo:Ai premisama. 9. Ispitajmo postojanje kontradikcije. 10. Ako (10.a) nemakontradikcije, prijedimo na 11., u protivnom (10.b), izbrišimo :Ai i prijedimona 13. 11. Izbrišimo :Ai. 12. Upišimo Ai kao novu premisu.13. Postavimoi = i+ 1 i ponovimo postupak od 5.

Zadatak 130 Dokažite da ako A 2 T , onda T ` A. U dokazu nemojte koristitipravilo Reit!

Odgovor 41

Zadatak 131 Dokažite: ako T ` R i T µ T 0, onda T 0 ` R!

Odgovor 42 Logika prvog reda je monotonicna. Ako postoji dokaz za R izpremisa T , onda ga možemo reproducirati u dokazu koji raspolaže s premisamaT 0 zamjenjujuci "stare" brojeve premisa s "novima".

Zadatak 132 Primjenite tvrdnju 35 i odredite je li skup Tmax formalno potpun? Akojest, skicirajte dokaz za to!


Odgovor 43 Po tvrdnji 35 znamo da ako je riješeno pitanje dokazivosti zaatomarne recenice onda je riješeno i pitanje za sve recenice u jeziku propozi-cijske logike. Preostaje nam dokazati lijevu stranu kondicionala: za svaku atom-arnu recenicu Ai vrijedi Tmax ` Ai ili Tmax ` :Ai. Ai je ili ili jest logickineovisna o Ti−1, tj. Ti−1 [ fAig 0T ? i Ti−1 [ f:Aig 0T ? ili nije, tj.Ti−1[fAig `T ? ili Ti−1[f:Aig `T ?. Ako je prvo slucaj, ondaAi 2 Ti, zatoTi ` Ai. Ako je drugo slucaj, onda Ti−1 [ fAig `T ? ili Ti−1 [ f:Aig `T ?. Zato po lemi 31 Ti−1 `T A ili Ti−1 `T :Ai. Buduci da Ti µ Tmax iTi−1 µ Tmax, vrijedi Tmax `T Ai ili Tmax `T :Ai.

Poglavlje 19Strukture prvog reda

19.1 Tautološka posljedicaU propozicijskoj logici širi pojam logicke posljedice bio uveden preko jednenjegove vrste - tautološke posljedice, posljedice koja ovisi znacenju istinitosno-funkcionalnih veznika. Intuitivna ideja da je istinitost konkluzije posljedica znacenjaveznika koji se javljaju u premisama i konluziji, formalizirala se preko istnitosnihtablica. Kasnije smo uveli funkciju dodjelivanja istintosnih vrijednosti za atom-arne recenice, h koja je dovoljna za definiranje funkcije dodjeljivanja istinitosnihvrijednosti za sve recenice, h.

Zadatak 133 Opišite odnose izmedu logicke (analiticke) istine, istine prvoga reda itautologije.

Prednosti funkcije pred tablicom. Dodjeljujuci svim atomarnim receni-cama, ma koliko ih bilo, istinitosnu vrijednost i determinirajuci time istinitosnuvrijednost svih recenica u jeziku, omogucili smo primjenu pojma tautološkeposljedice na beskonacni skup recenica. Drugo, funkcije dodjeljivanja istini-tosnih vrijednosti unijele su viši stupanj strogosti.

19.2 Posljedica prvoga redaU predikatskoj se logici dalje razraduje intuitivna ideja da je odnos logicke posljediceovisan iskljucivo o znacenju simbola koji se javljaju u premisama i konkluz-iji. Popis simbola cije se znacenje prati bio je proširen tako da su istinitosno-funkcionalnim veznicima dodali kvantifikatori, 8 i 9, te predikat identiteta, =.Vec smo razmatrali jednu tehniku pomocu koje se moglo odrediti je li nekarecenica posljedica prvoga reda nekog skupa premisu.

Podsjetnik: metoda zamjene

1. Za provjeriti je ostvaruje li se odnos posljedice prvoga redaili za provjeriti je li neka recenica - valjana recenica prvoga reda, sus-tavno zamijenimo svaki predikat osim identiteta s novim simbolima zapredikate koji nemaju znacenja, pazeci pri tome da se zamjena izvršis istim novim predikatom na svakom mjestu na kojemu se javlja staripredikat.

2. .1. Za provjeriti je li neka recenica S valjana recenica pr-voga reda, pokušajte opisati takve okolnosti i dati takvo tumacenje zaimena, predikate i funkcije koje se javljaju u S da ucinite tu recenicu

211

212 Poglavlje 19 Strukture prvog reda

neistinitom. Ako se takave okolnosti i tumacenje ne mogu saciniti, Sje valjana recenica prvoga reda.

2.2. Za provjeriti je li S posljedica prvog reda premisaP1; :::; Pn,pokušajte naci okolnosti i tumacenje nelogickih simbola u kojem ce Sbiti neistinito a P1; :::; Pn istinito. Ako se takve okolnosti ne mogu za-misliti, izvorni je zakljucak posljedica prvog reda.

Primjer 19.1 Ispitajmo sljedecu logicku istinu: ( Kocka(a) ^ Tetraedar(b)) !:a = b. Svodenje na istinitosno-funkcionalnu formu:

(Kocka(a)A^ Tetraedar(b)

B) ! :a = bC

daje (A ^ B) ! :C, a to ocigledno nije tautologija. Metoda zamjene predikata iindividualnih konstanti pokazuje da nije rijec ni o valjanoj recenici prvoga reda. Prvikorak, svodenje na (P (c1) ^Q(c2)) ! :c1 = c2. Drugi korak, pronalaženje okolnostizajedno s tumacenjem nelogickih simbola koje falsificira recenicu:

(Knji·zevnik(lewis_carroll) ^ Logi·car(charles_dodgson)) !:lewis_carroll = charles_dodgson

Nedostatak preciznosti. Poteškoca s traženjem odgovora na pitanje o pos-tojanju odnosa posljedice prvoga reda putem ”traženja okolnosti” ili putem ”za-mjene jednih simbola s drugima (iste sintakticke vrste)” leži u tome što nam nedaje dovoljno preciznosti. Zbog nedostaka preciznosti ne možemo utvrditi ima lisustav kojeg razmatramo odredena svojstva, poput pouzdanosti.

Ako primjenimo sredstva za modeliranje koja pruža teorija skupova, ne-dostatnu preciznost intuitivnih zamisli možemo lako ukloniti.

Neformalna i formalna semantika. Do sada smo se oslanjali na ideju o"predmetnom podrucju", "podrucju rasprave", "domeni" pri definiranju istine izadovoljavanja..

Podsjetnik. Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sas-tavljenu formulu U(x) ako i samo ako taj predmet jest U . Opcenito zasve isf-e, predmet o zadovoljava isf-u P (x) ako i samo ako je n individ-ualna konstanta koja imenuje predmet o, x je jedina slobodna varijablai P (n) je istinita recenica. Uocimo kako se nadopunjavaju pojmovi’zadovoljavanja’ i ’istine’.

Kvantificirane recenice izražavaju tvrdnje o nekom intendira-nom podrucju rasprave.

Recenica 8xS(x) je istinita ako i samo ako svaki predmet iz po-drucja rasprave zadovoljava isf-u S(x).

Recenica 9xS(x) je istinita ako i samo ako neki predmet iz po-drucja rasprave zadovoljava isf-u S(x).

19.3 Struktura prvoga reda 213

19.3 Struktura prvoga redaPojam strukture prvoga reda izrasta iz modeliranja podrucja rasprave pomocuteorije skupova.

19.3.0.1 Primjer modeliranja: izgradnja strukture prvoga reda

Neka su simboli u jeziku kojeg razmatramo: (predikati) Kocka, V e¶ciOd, = i(individualna konstanta) c. Kako cemo na strogi nacin prikazati okolnosti kojeodreduju istinitosnu vrijednost recenica (kojih ima beskonacno mnogo) u tomjeziku? Promotrimo ovakav "svijet":

Naš je cilj konstruirati matematicki predmet koji ce predstaviti sve ono što je uovom svijetu relevantno za odredivanje istinitosne vrijednosti recenica u jezikukojega razmatramo.

Domena (podrucje rasprave). Ocigledno je da moramo predstaviti cin-jenicu da u tom svijetu ima tocno cetiri predmeta. To cemo uciniti tako što cemokonstruirati cetveroclani skup D = fb1; b2; b3; b4g gdje b1 predstavlja (recimo)prvi predmet s lijeve strane, tj. c, te tako redom do b4 koji predstavlja malitetraedar. Za ovaj skup D kažemo da je podrucje rasprave u našoj strukturiprvoga reda.

Predikati i ekstenzije u strukturi.. U tvorbi strukture prvoga reda usmjer-avamo se samo prema onim obilježjima podrucja rasprave koja su relevantna zaodredivanje istinitosti recenica. Za naš (pod)jezik mnoga su obilježja ”svijeta”na slici nevažna, poput položaja predmeta ili njihove boje. S druge strane, obliki velicina imaju važnost jer jezik govori o tim svojstvima: možemo reci je li nekipredmet kocka i je li veci od drugoga. Zbog toga cinjenice o obliku i odnosuvelicina moramo ugraditi u našu strukturu. To radimo tako što predikatu Kockadodijelimo odredeni podskup Ko iz podrucja rasprave D. Ovaj skup nazivamoekstenzijom predikata Kocka u ovoj strukturi. Za modeliranje svijeta na slici,ekstenzija predikata Kocka je skup Ko = fb1; b2; b3g. Na slican nacin postu-pamo i s dvomjesnim predikatom V e¶ceOd; kojemu dodjeljujemo skup uredenihparova,

V e = f< b2; b1 >;< b3; b1 >;< b3; b2 >;< b2; b4 >;< b3; b4 >g:

V e je ekstenzija predikata V e¶ceOd u ovoj strukturi.

214 Poglavlje 19 Strukture prvog reda

Individualne konstante i referenti. Na kraju, za jezik kojeg razmatramo,preostaje još uciniti jedno: povezati individualnu konstantu, c s predmetom ko-jega imenuje. Tehnickim jezikom receno, moramo predstaviti cinjenicu da je b1referent individualne konstante c (tj. da c imenuje b1). Najjednostavniji nacinda ostvarimo ovakvo vezivanje jest da uvedemo funkciju koja svakom imenomdodjeljuje onaj predmet kojega to ime imenuje.

Identitet. Poseban slucaj predstavlja predikat identiteta, =. Ekstenzija predikataidentiteta odredena je cim je zadana domena D. Predikat = uvijek se tumaci kaoidentitet: njegova ekstenzija je uvijek skup parova < a; a > gdje a 2 D. Uovom primjeru, ekstenzija za = je skup f< b1; b1 >;< b2; b2 >;< b3; b3 >;<b4; b4 >g:

Isti jezik - razliciti model. Ako se zadržimo na jeziku iz našeg primjera,kako bismo prikazali druge "svjetove"? Trebaju nam (i) domena rasprave D,(ii) podskup Ko od D koji ce reprezntirati ekstenziju predikata Kocka, te skupuredenih parova V e za reprezentaciju ekstenzije predikata V e¶ceOd, (iii) povezi-vanje individualne konstante c s referentom, elementom iz D.

Zadatak 134

D = fa1; a2; a3; a4g;Ko = fa1; a2; a3g, V e = ;; c = a4

Jedan objekt za reprezentiranje svijeta. Da bismo s jednim jedinim (ap-straktnim) predmetom reprezentirali cijeli svijet i relevantne cinjenice o njemu,"upakirat" cemo domenu rasprave, ekstenzije predikata i referente imena u jedanformalni (matematicki) predmet.

Postoje mnogi nacin "pakiranja". Barwise i Etchemendy najelegantnijimsmatraju pakiranje u jednu jedinu funkciju M . Slovo "M" upucuje na rijec"model" koja se cesto koristi u istom znacanju u kojem se ovdje koristi naziv"struktura".

FunkcijaM : struktura prvoga reda. Funkcija M je definirana za predikate,imena i kvantifikator 8. Ta se funkcija, M naziva strukturom prvoga reda ako suzadovoljeni sljedeci uvjeti:

1. M(8) je neprazan skup D, kojega nazivamo podrucjem rasprave2. Ako je P n-mjesni predikatski simbol u jeziku, onda je M(P ) skup n-torki

< x1; :::; xn > elemenata iz D. Taj se skup naziva ekstenzijom od P u M .

19.3 Struktura prvoga reda 215

Zahtijeva se da ekstenzija simbola identiteta sadrži sve parove < x; x > zax 2 D.

3. Ako je c neko ime u jeziku, onda je M(c) element iz D, kojega nazivamoreferentom od c u M .

Digresija. Za svaka dva skupa a i b postoji skup svih uredenihparova < x; y > takvih da x 2 a i y 2 b. Takav skup oznacavamos a £ b i nazivamo ga Kartezijevim produktom od a i b. Kartezijevprodukt se može dobiti iz veceg broja skupova. Za a £ a korisiti seoznaka a2, za a £ a £ a korisiti se oznaka a3, a za n-clani produktskupa a sa samim sobom - an, kao notacijska posebnost: a1 = a.

Funkcija M"Ulaz" "Izlaz"8 (univerzalni kvantifikator) M(8) = D (podrucje rasprave, domena, predmetno podrucje)Pn (n-mjesni predikat) M(Pn) µ f< x1; :::; xn >j x1 2 D; :::; xn 2 Dg (ekstenzija)

U drukcijem zapisu: M(Pn) µ Dn

= M(=) = f< x; x >j x 2 Dgc (individualna konstanta) M(c) 2 D (referent)

Alternativni zapisi: umjesto M(8) pišemo DM ili, kada je jasno o kojoj jedomeni rijec, samo D; umjesto M(P ) pišemo takoder PM ; umjesto M(c) - cM .

Fiksiranje znacenja. Ako želimo da predikati imaju one ekstenzije kojeinace imaju, onda postupamo slicno kao i u slucaju identiteta i zahtijevamo daelementi domene i ekstenzije reflektiraju stvarna svojstva. Na primjer, možemotražiti da DM bude skup geometrijskih tijela, da ekstenzija predikata Kockaobuhvaca sve one i samo one predmete iz DM koji jesu kocke, da ekstenzijapredikata V e¶ceOd obuhvacasve one i samo one parove predmeta iz DM kodkojih je prvi veci od drugoga.

"Zaboravljanje znacenja" Pokušavamo karakterizirati relaciju logicke posljediceprvoga reda. Po definiciji, ta relacija ne ovisi o znacenju predikata (osim predikataidentiteta). Kada zanemarimo posebna znacenja predikata Kocka i V e¶ceOd,jedino što nas zanima jest pitanje o tome koji predmeti iz domene zadovoljavajuatomarne isf-e Kocka(x) i V e¶ceOd(x; y). Zbog toga smo u našoj definicijistrukture prvoga reda dopustili da predikati imaju proizvoljne ekstenzije, poduvjetom da se poštuje mjesnost predikata.

Poglavlje 20Istina i zadovoljavanje

Do sada smo se za svrhu definicije istinitosti kvantificiranih recenica oslanjali napojam zadovoljavanja.

Podsjetnik.Neki predmet zadovoljava atomarnu ispravno sastavljenu for-

mulu U(x) ako i samo ako taj predmet jest U . Opcenito za sve isf-e, predmet b zadovoljava isf-u P (x) ako i samo ako je n individualnakonstanta koja imenuje predmet b i P (n) je istinita recenica.

Uz pomoc pojma strukture prvoga reda, pojmove istine i zadovoljavanjamožemo definirati na stroži nacin. Ovdje cemo na formalan nacin iskazati teintuitivne pojmove.

20.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablamaNeka je M struktura prvoga reda s domenom D. Dodjeljivanje vrijednosti var-ijablama u M je neka funkcija (možda parcijalna) g koja je definirana za skupvarijabli i koja svoje vrijednosti dobiva u D (g : varijable 7! D).

funkcija dodjeljivanja vrijednosti"Ulaz" "Izlaz"varijabla predmet iz domene

Primjer 20.1 Neka je M struktura s domenom D = fa; b; cg. Evo nekih funkcijadodjeljivanja vrijednosti varijablama: (i) g1 dodjeljuje b za x (tj. g1 = f< x; b >g, g1je parcijalna funkcija ako fx j 9y(y = g1(x))g 6= skup_varijabli), (ii) g2 dodjeljujea, b, c za varijable x, y, z, tim redom, (iii) funkcija g3 dodjeluje svim varijablama ujeziku predmet b (totalna funkcija s rangom fy j 9x(g3(x) = y)g = fbg), (iv) "prazna"funkcija g4 koja ne dodjeljuje vrijednost niti jednoj varijabli ( dom (g4) = ;, rang je uovom slucaju fy j 9x(g4(x) = y)g = ;).

Poseban slucaj je prazno dodjeljivanje vrijednosti varijablama; oznaka zatakvu funkciju bit ce g∅.

Odgovarajuce dodjeljivanje vrijednosti varijablama. Ako nam je zadanaispravno sastavljena formulaP , onda za neko dodjeljivanje vrijednosti varijablama,g kažemo da je odgovarajuce za P ako su sve slobodne varijable u domeni odg (tj. ako g dodjeljuje neki predmet svakoj slobodnoj varijabli koja se javlja uP )28.

28 Kako odredujemo je li varijabla vezana ili slobodna:

216

20.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 217

Primjer 20.2 Nastavljamo s prethodnim primjerom: (i) g1 je odgovarajuci ako isfima x kao jedinu slobodnu varijablu ili uopce nema varijable, (ii) g2 je odgovarajuci zasvaku isf-u kod koje je skup slobodnih varijabli podskup od fx; y; zg (iii) funkcija g3 jeodgovarajuca za svaku isf-u, (iv) "prazna" funkcija g4 je odgovarajuca samo za isf-e bezslobodnih varijabli (tj. odgovarajuca je samo za recenice).

Bez supstitucije imena za varijable. U prethodnom izlaganju pojmovazadovoljavanja i istine oslonili smo se na uvrštavanje imena na mjestu slobod-nih varijabli. Zahvaljujuci uvodenju funkcije g moci cemo izbjeci posredovanjesupstitucije. Takoder, koristeci ovakve funkcije moci cemo postici željenu opcen-itost i definirati zadovoljavanje za n-mjesne predikate. Koristit cemo induktivnudefiniciju, gdje ce svaki posebni slucaj odgovarati jednom od nacina izgradnjeisf-a iz atomarnih isf-a. Na kraju ce se problem postupno svesti na osnovni slucajatomarne isf-e, gdje se izricito odreduje što zadovoljavanje znaci.

Podsjetnik (induktivna definicija isf-e). Atomarna isf je nizsimbola P (t1; :::; tn) gdje je P n-mjesni predikat a svaki pojedini tije ili varijabla ili individualna konstanta. Osnovna klauzula: atomarnaisf je isf. Induktivne klauzule (navodimo ih samo nekoliko): Ako je Pisf, onda je :P isf....Ako je P isf i v varijabla, onda su i 8vP i 9vPisf-e. Završna klauzula: ništa drugo nije isf.

Primjedba 11 Izostavili smo funkcijske izraze. Njihovo izostavljanje nece uman-jiti izražajnu moc jezika logike prvog reda. Svakom n-mjesnom funkcijskomizrazu f (t1; :::; tn) možemo pridružiti odgovarajuci n + 1-mjesni predikat R teumjesto

P (f (t1; :::; tn))

upisati

9x [R (t1; :::; tn; x) ^ 8y (R (t1; :::; tn; y) ^ y = x)]^8x [R (t1; :::; tn; x) ! P (x)] .

Da bismo mogli pokriti one slucajeve u kojima isf P zapocinje s kvan-tifikatorima, potreban nam je nacin modificiranja dodijeljivanja vrijednosti vari-jablama.

Primjer 20.3 Neka je g definirana za x. Da bismo kazali da g zadovoljava 8zV oli(x; z)moramo moci uzeti proizvoljni predmet b iz domene i ispitati dodjeljivanje vrijednostivarijablama koje je u svemu jednako s g osim po tome što za varijablu z dodjeljuje b.

1. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je 8vP isf i svaka pojava varijable v u8vP je vezana.

2. Ako je P isf i ako je v varijabla, onda je 9vP isf i svaka pojava varijable v u9vP je vezana.

218 Poglavlje 20 Istina i zadovoljavanje

Kazat cemo da g zadovoljava 8zV oli(x; z) ako i samo ako svako modificirano dodjelji-vanje g0 zadovoljava 8zV oli(x; z).

Za oznaku modificiranog dodjeljivanja g0 koje se od izvornog g razlikujesamo po tome što varijabli z dodjeluje predmet b koristimo "g[z=b]". Opcenito,g[v=b] je dodjeljivanje vrijednosti (i) cija je domena ista kao i domena za funkcijug uz dodatak varijable v i (ii) koje dodjeljuje iste vrijednosti kao g osim što za vdodjeljuje b.

Zadatak 135 Opišite koristeci jezik teorije skupova domenu i rang funkcije g[v=b]!

Odgovor 44 Domena: fx j 9y(y = g(x))g[fvg. Rang:fy j 9x(y = g(x))g[fbg

Primjer 20.4 Nastavak prethodnih primjera: (i) g1 dodjeljuje b za x, zato g1[y=c]dodjeljuje c za y i b za x, nasuprot tome, g1[x=c] dodjeljuje vrijednost jedino varijabli x,i to predmet c.

Zadatak 136 (ii) g2 dodjeljuje a, b, c za varijable x, y, z, odredite g2[x=b] i g2[u=c](iii) funkcija g3 dodjeluje svim varijablama u jeziku predmet b, odredite g3[y=b] i g3[y=c],(iv) "prazna" funkcija g4 koja ne dodjeljuje vrijednost niti jednoj varijabli, odrediteg4[x=b].

Privremena denotacija. Funkcije dodjeljivanja vrijednosti omogucuja namda slobodne varijable tretiramo kao da imaju privremenu denotaciju, ne onu kojuje zadana sa strukturom, vec onu koju su zadobile u svrhu izgradnje induktivnedefinicije zadovoljavanja. Na taj nacin, ako je dodjeljivanje vrijednosti g odgo-varajuce za isf-u P , onda zahvaljujuci funkcijama M i g svi (singularni) termi,bili oni konstante ili varijable, imaju svoju denotaciju (privremene ili stalne ref-erente).

Za svaki term t, pišemo [[t]]Mg kao oznaku za denotaciju od t.

[[t]]Mg = tM ako je t konstanta

[[t]]Mg = g(t) ako je t varijablaSada možemo definirati što to znaci da dodjeljivanje vrijednosti g zadovol-

java isf P u strukturi M . Prvo, g mora biti odgovarajuce za P . Drugo, definicijanece donijeti nikakvih iznenadenja, zapravo je rijec samo o formalizaciji jedneintuitivne ideje.

Definicija 15 Neka je P isf i g dodjeljivanje vrijednosti varijablama uM kojeje odgovarajuce za P .

20.1 Dodjeljivanje vrijednosti varijablama 219

1. Atomarni slucaj. Pretpostavimo da je P - R(t1; :::; tn), gdje je Rn-mjesni predikat. Tada g zadovoljava P u M ako i samo ako n-torka< [[t1]]

Mg ; :::; [[tn]]

Mg > jest u RM (tj. < [[t1]]

Mg ; :::; [[tn]]

Mg >2 M(R)).

2. Negacija. Pretpostavimo da je P : - :Q. Tada g zadovoljava P u M ako isamo ako g ne zadovoljava Q.

3. Konjunkcija. Pretpostavimo da je P - Q ^R. Tada g zadovoljava Q ^R uM ako i samo ako g zadovoljava i Q i R.

4. Disjunkcija. Pretpostavimo da je P - Q _ R. Tada g zadovoljava Q _ R uM ako i samo ako g zadovoljava ili Q ili R. (ili oboje).

5. Kondicional. Pretpostavimo da je P - Q ! R. Tada g zadovoljava Q ! Ru M ako i samo ako g ne zadovoljava Q ili g zadovoljava R. (ili oboje).

6. Bikondicional. Pretpostavimo da je P - Q $ R. Tada g zadovoljava Q $ Ru M ako i samo ako g zadovoljava oboje, i Q i R. ili ne zadovoljava ni jednoni drugo..

7. Univerzalna kvantifikacija. Pretpostavimo da je P - 8vQ. Tada gzadovoljava 8vQ u M ako i samo ako za svaki d 2 DM , g[v=d] zadovoljavaQ.

8. Egzistencijalna kvantifikacija. Pretpostavimo da je P - 9vQ. Tada gzadovoljava 9vQ u M ako i samo ako za neki d 2 DM , g[v=d] zadovoljavaQ.

Zapis. Tvrdnju da dodjeljivanje vrijednosti varijablama g zadovoljava isf Pu strukturi M zapisujemo na sljedeci nacin:

M ² P [g]

Primjer 20.5 Struktura M s domenom D = fa; b; cg. Jezik sadrži binarni predikatV oli cija je ekstenzija u strukturi V oliM = f< a; a >;< a; b >;< c; a >g. Pro-matramo isf: 9y(V oli(x; y) ^ :V oli(y; y)). Dodjeljivanje g zadovoljava isf-u ako isamo ako ono dodjeljuje a za x (naime jedino a voli nekoga koji ne voli samoga sebe).Ispitajmo primjer koristeci gornju definiciju. Prvo, g mora dodjeljivati neku vrijednostza x da bi g bilo odgovarajauce za formulu. Ta vrijednost mora biti jedan medu a, b ic; nazovimo je e. Drugo, po klauzulu za 9, g zadovoljava ovu isf akko postoji d 2 Dtakav da g[y=d] zadovoljava V oli(x; y) ^ :V oli(y; y). Po klauzulama za konjunkciju inegaciju, g[y=d] tada zadovoljava V oli(x; y) i ne zadovoljava V oli(y; y). Gledajuci naatomarni slucaj, tada < e; d > mora biti u ekstenziji V oliM , a < d; d > ne smije biti utoj ekstenziji. Ispitajmo slucajeve (i) e = d = a otpada, (ii) e = b i d = a otpada, itd.Jedina mogucnost je e = a i d = b. Zato je jedini nacin da g zadovolji zadanu isf-u uMonaj u kome g dodjeljuje a za x.

U prethodnom smo primjeru analizirali isf-u s jednom slobodnom varijablom,ali za tu smo svrhu morali razmotriti isf-e s dvije slobodne varijable. Zapravo,tražimo nacin za definirati istinitost recenica, a to znaci isf-a bez slobodnih var-ijabli. No za tu svrhu, morali smo ici do višeg stupnja opcenitosti i definiratizadovoljavanje za isf-e sa slobodnim varijablama. Kada smo jednom definirali


zadovoljavanje za isf-e, možemo prijeci na poseban slucaj isf-a bez slobodnihvarijabli i definirati istinu.

20.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanjuvrijednosti

Definicija 16 (Istina) Neka je L neki jezik prvoga reda i neka jeM stuktura zaL. Recenica P je istinita u M ako i samo ako prazno dodjeljivanje vrijednostig∅ zadovoljava P uM . U protivnom, P je lažna uM .

Zapis. Ako je recenica P istinita u M pišemo:

M ² P

Primjer 20.6 Struktura M s domenom D = fa; b; cg. Jezik sadrži binarni predikatV oli cija je ekstenzija u strukturi V oliM = f< a; a >;< a; b >;< c; a >g. Proma-tramo recenicu: 9x9y(V oli(x; y) ^ :V oli(y; y)). Buduci da nema slobodnih varijabli,prazno dodjeljivanje g; je odgovarajuce za ovu recenicu. Po definiciji zadovoljavanja,ova ce recenica biti istinita akko postoji predmet kojega možemo dodjeliti varijabli xtako da rezultirajuce dodjeljivanje zadovolji 9y(V oli(x; y) ^ :V oli(y; y)). Vidjeli smoda postoji takav predmet, a. ZatoM ² 9x9y(V oli(x; y) ^ :V oli(y; y)):

Primjer 20.7 Nastavljajuci na prethodne primjere, razmotrimo recenicu 8x9y(V oli(x; y)^:V oli(y; y)). Zadovoljava li prazno dodjeljivanje ovu recenicu? Ako da, onda zasvaki premet e iz domene ako dodjelimo e za x rezultirajuce dodjeljivanje g zadovol-java 9y(V oli(x; y) ^ :V oli(y; y)). Ali to nije slucaj. zato prazno dodjeljivanje nezadovoljava recenicu, pa je zato njezina negacija istinita, M ² :8x9y(V oli(x; y) ^:V oli(y; y)).

Intuitivno, istinitost recenice ovisi samo o znacenju pripisanom u strukturiza predikate i individualne konstante. Cinjenica da je to doista tako proizlazi izsljedece, nešto jace tvrdnje.

Tvrdnja 37 Neka su M1 i M2 strukture koje imaju istu domenu i koje dod-jeljuju istu interpretaciju za predikate i konstante u isf P . neka su g1 i g2dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljuju iste vrijednosti (predmete)za slobodne varijable u isf-i P . TadaM1 ² P [g1] ako i samo akoM2 ² P [g2]

Dokaz 29 Dokaz treba izraditi koristeci indukciju nad isf-ama. Osnovni korak:Pretpostavimo da je P - R(t1; :::; tn), gdje je R n-mjesni predikat. Po definiciji,g1 zadovoljava P u M1 ako i samo ako n-torka

D[[t1]]

M1

g1; :::; [[tn]]

M1

g1

E2M1(R),

20.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednosti 221

a g2 zadovoljavaP uM2 ako i samo ako n-torkaD[[t1]]

M2

g2; :::; [[tn]]

M2

g2

E2M2(R).

Buduci da se dvije strukture i dva dodjeljivanja vrijednosti podudaraju u pogleduinterpretacije svakog simbola koji se javlja u P , vrijedit ce za svaki term ti da[[ti]]

M1

g1= [[ti]]

M2

g2te za predikat R da M1(R) = M2(R). Uz potrebne primjene

eliminacije identiteta dobivamo: M1 ² P [g1] ako i samo ako M2 ² P [g2] : Uinduktivnom cemo koraku razmotrit dva slucaja od mogucih sedam slucajeva:konjunktivnu i egzistencijalnu isf-u. Po induktivnoj hipotezi pretpostavit cemoda ciljni bikondicional : pretpostavimo M1 ² Q[g1] ako i samo ako M2 ²Q[g2]:Trebamo dokazati da tada treba vrijediti: (*) M1 ² 9vQ[g1] ako i samoako M2 ² 9vQ[g2]. Pretpostavimo suprotno, neka je slucaj da (i) M1 2 9vQ[g1]i M2 ² 9vQ[g2] ili (ii) M1 ² 9vQ[g1] i M2 2 9vQ[g2]. Ako (i), onda ne postojid 2 DM1 takav da g1[v=d] zadovoljava Q, ali postoji d 2 DM2 takav da g2[v=d]zadovoljava Q. Buduci da su domene identicne, DM1 = DM2 , prethodno jemoguce samo ako se g1 i g2 razlikuju u dodjeljivanju vrijednosti za neki term kojise pojavljuje u Q. No, to nije moguce. Drukcije kazano, oznacimo s Qv

c isf kojucemo dobiti ako na svim mjestima gdje se u Q javlja varijabla v uvrstimo novoime c koje smo dodijelili predmetu d 2 DM2 koji zadovoljava isf Q. U novomzapisu, mora vrijediti M2 ² Qv

c [g2] i ne smije vrijediti M1 ² Qvc [g1]. Onda bi se

ili (i) M1 i M2 morali razlikovati u interpretaciji nekog predikata ili konstantne,ili (ii) bi se g1 i g2.morali razlikovati u dodjeljivanju vrijednosti varijablama kojese javljaju u Q. No ni jedno ni drugo nije moguce: (i) nije moguce zbog toga štosu M1 i M2 strukture koje imaju istu domenu i koje dodjeljuju istu interpretacijuza predikate i konstante u isf-i Q, (ii) nije moguce po induktivnoj hipotezi.

Kada na raspolaganju pojam o istini, može definirati druge važne pojmovepoput posljedice prvoga reda ili valjane recenice prvoga reda.

U sljedecim definicijama pretpostavljamo da nam je zadan neki jezik prvogareda i da sve recenice o kojima je rijec pripadaju tom jeziku. Pod nazivomstruktura misli se na bilo koju strukturu prvoga reda koja daje interpretaciju zasve predikate i individualne konstante toga jezika.

Definicija 17 (Posljedica prvoga reda) Recenica Q je posljedica prvoga redaskupa recenica T = fP1; :::g ako i samo ako svaka struktura koja cini sverecenice iz T istinitima, cini i Q istinitom.

Ova definicija je slicna definiciji tautološke posljedice29.Razlika leži u tome što se umjesto dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti, ovdje

koristimo strukture prvoga reda.Na slican nacin možemo modificirati i definiciju tautologije30.

29 Recenica S je tautološka posljedica skupa recenica T ako i samo ako je u svakomdodjeljivanju istinitosnih vrijednosti pod kojim je svaka recenica iz T istinita takoder i recenica Sistinita.30 Recenica S je tautologija ako je istinita za svako dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h,drugim rijecima, ako je za svako h - h(S) = >.


Definicija 18 (Valjana recenica prvoga reda) Recenica P je valjana recenicaprvoga reda ako i samo ako je P istinito u svakoj strukturi prvoga reda

Na slican nacin idemo i prema ostalim semantickim pojmovima. Za recenicumožemo reci da je zadovoljiva u smislu logike prvoga reda ako i samo ako postojistruktura prvoga reda koja tu recenicu cini istinitom. Za skup recenica možemoreci da je zadovoljiv u smislu logike prvoga reda ako i samo ako postoji strukturaprvoga reda koja cini istinitom svaku recenicu iz tog skupa.

Za zapamtiti1. Strukture prvoga reda su matematicki (ili formalni) modeli

domene o kojoj izruicemo tvrdnje koristeci logiku prvoga reda.2. Dodjeljivanbje vrijednosti varijablama je funkcija koja presslikava

varijable u domenu neke strukture prvoga reda.3. Dodjeljivanje vrijednosti varijablama zadovoljava isf-u ako

(u intuitivnom smislu) predmeti dodjeljeni varijablama cine isf-u is-tinitom u strukturi.

4. Pomocu pojma zadovoljavanja možemo definirati što znaciistinitost recenice u strukturi.

5. Kada na raspolaganju imamo pojam istinitosti u strukturi,možemo definirati pojmove o posljedici prvoga reda i logickoj istini, usmislu logike prvoga reda.

20.2.1 Primjeri drukcijeg (ali istovrijednog) definiranjasemantickih pojmovaIz:

Johan van Benthem. Exploring Logical Dynamics. CSLI Publications. Stan-ford, 1996.

str. 48.

Semanticka interpretacija koristi strukture D = (D;O;P ), gdjejeD domena predmeta, O skup razlikovanih predmeta, aP skup predikata.Funkcija interpretacije I pridružuje individualnim konstantama c raz-likovane predmete I(c) 2 O, a k¡mjesnim predikatnim simbolimapridružuje k¡mjesne predikate I(P ) 2 P . Dodjeljivanje vrijednostivarijablama a pridružuje individualnim varijablama x predmete a(x) 2D. Ovdje je I trajnija veza a a lokalnija i ’dinamicna’. Dalje dolazevrijednosti terma:

vrijednost(x;D; I; a) = a(x)

vrijednost(c;D; I; a) = I(c)

Dalje, Tarskijeva definicija istine definira središnju ideju "Á jeistinito u D pod I i a":

D; I; a ² Á

20.2 Istina: zadovoljavanje u praznom dodjeljivanju vrijednosti 223

putem sljedecih induktivnih klauzula (atomarni slucaj je dan u oblikuprimjera):

D; I; a ² Rt1t2 akko I(R)(vrijednost(t1;D; I; a); vrijednost(t2; D; I; a))D; I; a ² t1 = t2 akko vrijednost(t1; D; I; a) = vrijednost(t2;D; I; a)D; I; a ² :Á akko nije slucaj da D; I; a ² ÁD; I; a ² Á ^ Ã akko D; I; a ² Á i D; I; a ² Ãi na slican nacin za ostale propozicijske veznikeD; I; a ² 9xÁ akko postoji neki d 2 D takav da D; I; axd ² Ái na slican nacin za univerzalni kvantifikatorOvdje je axd dodjeljivanje vrijednosti b koje je po svemu jednako

s a osim s mogucom razlikom u tome da ono dodjeljuje predmet d zavarijablu x.

Zadatak 137 Usporedite Barwise-Etchemendy definicije s van Benthem-ovim! Kolikose funkcija koristi u odredivanju neke strukture prvoga reda? Jesu li funkcije dodjelji-vanja za varijable totalne u oba slucaja?

Primjer 20.8 Willem Groenenveld. Logical Investigations into Dynamic Semantics.ILLC, Amsterdam, 1995. str. 39. "Staticna semantika sastoji se od trojke L;K;², gdjeje L jezik, K skup modela, a ² relacija korespondencije izmeduM 2 K i Á 2 L. AkoM ² Á onda kažemo da je Á istinito u M . Ako ¡ µ L onda M ² Á znaci da svakarecenica Ã 2 L jest istinita u M . Ako ¡ µ L, Á 2 L kažemo da je argument ¡=Áklasicno valjan uK pod uvjetom da za svaki modelM 2 K gdjeM ² ¡ takoder vrijediM ² Á; zapis ¡ ²cK Á."

Poglavlje 21Pouzdanost logike prvoga reda

Zahvaljujuci cinjenici da smo ideju posljedice prvoga reda ucinili preciznom (tj.formalizirali je), možemo prijeci na iskaz i dokaz teorema pouzdanosti za logikuprvoga reda.

Tvrdnju da se recenica S može dokazati pomocu skupa premisa T u sustavuprirodne dedukcije F zapisujemo ovako:

T ` S

Teorem 38 (Pouzdanost sustava F ) Ako T ` S, onda je S posljedica prvogreda skupa T .

Osnovna ideja dokaza.Kao i kod dokaza potpunosti za propozicijsku logiku(sustav FT ) pretpostavljamo da je d neki dokaz sacinjen u sustavu F . Pokazatcemo da je bilo koja recenica koja se javlja u bilo kojem koraku dokaza d posljed-ica prvoga reda pretpostavki koje su na snazi u tom koraku. Ova se tvrdnjane odnosi samo na recenice koje su premise dokaza vec i na recenice koje sejavljaju u poddokazu ma koliko duboko one bile "ukopane". Pretpostavke kojesu na snazi uvijek ukljucuju glavne premise dokaza, ali ako promatramo korak unekom poddokazu, onda pretpostavke na snazi na tom koraku ukljucuju sve pret-postavke tog poddokaza. Tvrdnja da je bilo koja recenica u dokazu d posljedicaprvoga reda pretpostavki na snazi u tom koraku povlaci teorem o pouzdanosti.Naime, ako se S javlja na glavnoj razini u d, onda su pretpostavke iz T jedinepretpostavke na snazi u tom koraku pa je S njihova posljedica prvoga reda.

U dokazu pouzdanosti za FT koristili smo dokaz kontradikcijom (reductio ad

224

225

absurdum). Pretpostavili cemo da postoji korak u dokazu d koji nije tautološkaposljedica pretpostavki koje su na snazi u tom koraku i takav korak smo nazvalinevaljanim. Nerv dokaza je u tome da se pokaže da niti jedno od pravila nijemoglo opravdati taj nevaljani korak. Takav pretpostavka o prvom nevaljanomkoraku, zapravo je bila prikrivena indukcija (prethodni koraci su valjani - to jebila induktivna hipoteza).

Sada cemo ici izravnije i s eksplicitnom indukcijom. Pretpostavit cemo dasmo na n-tom koraku i da su svi prethodni koraci bili valjani. Pod tom pret-postavkom (induktivnom hipotezom) pokazujemo da je i ovaj, n-ti korak valjan.

Dokazi za veznike odgovaraju onima za sustav FT .!ElimPretpostavimo da n-ti korak u dokazu derivira recenicu R putem primjene

pravila !Elim nad recenicama Q ! R i Q koje se javljaju ranije u dokazu.Neka je A1; :::; An popis pretpostavki koje su na snazi u koraku n. Po induktivnojhipotezi, znamo da su Q ! R i R valjani koraci (tj. da su posljedice prvoga redapretpostavki na snazi u tim koracima). Buduci da F dopušta citirati samo korakecije su pretpostavke i dalje na snazi, znamo da su pretpostavke ovih dvaju korakana snazi i u koraku R. Dakle, pretpostavke koraka R nalaze se medu A1; :::; An.

Pretpostavimo da jeM struktura prvoga reda u kojoj je svaka recenicaA1; :::; An

istinita. Po induktivnoj hipotezi, slijedi da M ² Q i M ² Q ! R buduci da sute recenice posljedice prvoga reda od A1; :::; An. No u tom slucaju po definicijiza istinu u strukturi vidimo da M ² R. Zato je R posljedica prvoga reda odA1; :::; An. Dakle, n je valjan korak.

9 Elim.Pretpostavimo da n-ti korak derivira recenicuR putem primjene pravila 9Elim

na recenicu 9xP (x) i na poddokaz koji sadrži R na svojoj glavnoj razini, rec-imo u koraku m. Neka je c nova individualna konstanta uvedena u poddokazu.Drugim rijecima, P (c) je pretpostavka poddokaza koji sadrži R:

Neka su A1; :::; An.pretpostavke na snazi u koraku n. Induktivna hipoteza jamcida su koraci j i m valjani, zato je 9xP (x) posljedica prvoga reda pretpostavki

226 Poglavlje 21 Pouzdanost logike prvoga reda

koje su na snazi u tom koraku, j na slici i te su pretpostavke podskup odA1; :::; An:Sdruge strane, R je posljedica prvoga reda pretpostavki koje su na snazi u korakum, a one su podskup od A1; :::; An plus P (c) - pretpostavke poddokaza.

Moramo pokazati da je R posljedica prvoga reda samo pretpostavki A1; :::; An.Za tu svrhu pretpostavimo da je M struktura prvoga reda u kojoj svaka recenicaA1; :::; An istinita. Takoder moramo pokazati da je R istinita u M . Buduci da je9xP (x) posljedica prvoga reda tih pretpostavki, onda M ² 9xP (x):Uocimo dase konstanta c ne može javljati u A1; :::; An;9xP (x); R u skladu s ogranicenjimakoja su postavljena pri uvodenju novog, privremenog imena za pravilo 9Elim.Buduci da M ² 9xP (x), znamo da postoji neki predmet, recimo b, u domeni odM koji zadovoljava P (x). Neka je M 0 po svemu jednaka s M , osim po tomešto konstanti c dodjeljuje predmet b. Ocigledno je da ce vrijediti M 0 ² P (c)u skladu s našim izborom interpretacije za c. Po vec dokazanoj tvrdnji 31 M 0

cini istinitima A1; :::; An No tada M 0 ² R jer je R posljedica prvoga reda tihrecenica. Buduci da se c ne javlja u R, R je takoder istinit u pocetnoj strukturiM (opet u skladu s vec citiranom tvrdnjom).

Dokaz za 8Intro je slican. A preostala dva pravila su jednostavna.

Teorem pouzdanosti za F jamci nam da nikada necemo dokazatinevaljani zakljucak (argument) koristeci samo pravila iz F . On nastakoder upozorava da necemo moci dokazati valjani zakljucak cija val-janost ovisi o drugim predikatima pored identiteta.

31 Neka su M1 i M2 strukture koje imaju istu domenu i koje dodjeljuju istu interpretaciju zapredikate i konstante u isf P . neka su g1 i g2 dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljujuiste vrijednosti (predmete) za slobodne varijable u isf-i P . Tada M1 ² P [g1] ako i samo akoM2 ² P [g2]

Poglavlje 22Potpunost i nepotpunost

Definicija logicke posljedice je uglavnom bila semanticka: S je logicka posljed-ica premisa P1; :::; Pn ako nije moguce da premise budu istine a da pri tomekonkluzija bude neistinita. Postavlja se pitanje jesu li metode dokaza koje smodo sada razmatrali dovoljne da dokažemo sve ono što bismo htjeli dokazati.Možemo li biti sigurni da cemo uvijek kada je slucaj da je S logicka posljedicapremisa P1; :::; Pn moci pronaci dokaz za S iz P1; :::; Pn?

Odgovor na ovo pitanje je i da i ne, ovisno o tome na koji smo nacin pre-cizirali pojam logicke posljedice i ovisno o tome koji jezik promatramo.

Odgovor na naše pitanje je ’da’ ako pod pojmom logicke posljedice mislimoposljedicu prvoga reda. Gödelov teorem potpunosti za logiku prvoga reda jamcinam da ako je S posljedica prvoga reda skupa recenica T , onda postoji i formalnidokaz za S koji koristi jedino premise iz skupa T . Prvi dokaz ovakve vrste daoje Kurt Gödel u svojoj diserataciji 1929.

Pretpostavimo, medutim, da koristimo neki posebni jezik prvoga reda i dasmo zainteresirani za logicku posljedicu u kojoj uzimamo u obzir i znacenjepredikata iz tog jezika. Trebaju li nam dodatne metode dokazivanja? Ako da,mogu li se one svesti na metode koje smo proucavali do sada? Ili je zamislivo dane postoji potpuni formalni sustav koji zahvaca pojam logicke posljedice za po-jedine jezike? Odgovore na ta pitanja potražit cemo u raspravi o interpretiranimjezicima i Gödelovom dokazu nepotpunosti.

Tautolo·skaPosljedica(S; T ) ) T `T SPosljedicaPrvogReda(S; T ) ) T ` S Gödel 1928.Analiti·ckaPosljedica(S; T ) ; T ` S Gödel 1931.

22.1 Teorem potpunosti za logiku prvog redaU izlaganju dokaza potpunosti za logiku prvoga reda koristit cemo termine ’teorija’i ’skup recenica’ kao da oni znace isto. Mnogi autori ne koriste termin ’teorija’na taj nacin; cesto se teorijom naziva skup recenica prvoga reda koji je "zatvorenpod dokazivošcu", tj. ako T ` S onda S 2 T .

Zapis T ` S znacit ce da postoji dokaz za recenicu S iz teorije T u punomsustavu F (sustavu koji ukljucuje sva i samo pravila uvodenja i uklanjanja zalogicke simbole):Ovaj zapis ne znaci da nužno svaka recenica iz T mora bitiupotrebljena u dokazu za S, vec samo da postoji dokaz za S koji koristi jedinorecenice iz T . Posebno, skup T može biti beskonacan ali samo konacan brojpremisa može biti iskorišten u jednom dokazu.

Teorem 39 (Teorem potpunosti za F ) Neka je T skup recenica nekog jezika

227

228 Poglavlje 22 Potpunost i nepotpunost

prvoga reda L i neka je S recenica tog jezika. Ako je S posljedica prvoga redaod T , onda T ` S.

Neposredna posljedica teorema potpunosti je teorem kompaktnosti.

Teorem 40 (Teorem kompaktnosti za logiku prvog reda) Neka je T skup recenicanekog jezika prvoga reda, L. Ako za svaki konacni podskup od T postojistruktura prvoga reda koja cini istinitom taj podskup od T , onda postojistruktura prvog reda, M koja cini sve recenice iz T istinitima.

Rascjep izmedu dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti i istinitost u strukturiprvog reda. Metoda istinitosnih tablica je pregruba da bi vodila racuna o znacenjukvantifikatora ili simbola identiteta. Sa stajališta te metode, odnosno propozici-jske logike, recenice Kocka(b) i 9xKocka(x) posve su neovisne i zato nema za-preke postojanju dodjeljivanju istintosnih vrijednosti koje im pridaje razlicitu vri-jednost, na primjer h(Kocka(b)) = > i h(:9xKocka(x)) = > S druge strane,nema takve strukture prvog reda koja bi omogucila razlicitu istinitosnu vrijednostza te dvije recenice; nije moguce da M ² Kocka(b) i M 2 9xKocka(x).

22.1 Teorem potpunosti za logiku prvog reda 229

Henkinova metoda pronalazi dovitljiv nacin da tocno ocrta rascjep izmeduvaljanih recenica prvoga reda i tautologija. Za tu se svrhu koristi skup recenicaprvoga reda, H . Taj skup H uspijeva zahvatiti upravo ono što metoda istinitosnihtablica propušta vidjeti kod kvantifikatora i identiteta. Na primjer, H ce sadrža-vati recenicu Kocka(a) ! 9xKocka(x) i na taj nacin iskljuciti spomenutoistinitosno vrednovanje.

Glavni obrisi dokaza potpunosti.Dodavanje konstanti koje svjedoce. Neka je L jezik prvoga reda. Želimo

dokazati da ako je recenica S iz jezika L posljedica prvoga reda skupa Trecenica jezika L, onda T ` S. Prvi korak je proširiti jezik L na bogatijijezik LH , koji sadrži beskonacno mnogo novih simbola za individualnekonstante, koje nazivamo konstantama koje svjedoce.

Henkinova teorija. Nakon dodavanja konstanti koje svjedoce, izdvajamojednu posebnu teoriju H u obogacenom jeziku LH . Ova se teorija sastojiod raznih recenica koje nisu tautologije ali jesu teoremi logike prvoga reda,uz još neke dodatne recenice koje se nazivaju Henkinovim aksiomima kojisvjedoce. Takvi aksiomi imaju oblik 9xP (x) ! P (c) gdje je c konstanta


koja svjedoci. Ta se konstanta pažljivo bira kako bi ucinila istinitima lemuHenkinove konstrukcije i eliminacijski teorem.

Eliminacijski teorem. Henkinova teorija je dovoljno slaba a formalnisustav F dovoljno jak pa omogucuju da dokažemo sljedece: Neka je pneki formalni dokaz prvoga reda cije su recenice iz L ili iz H a konkluzijarecenica iz L. Premise iz H mogu se eliminarati iz ovog dokaza zahvaljujuciprimjeni pravila za kvantifikatore. Preciznije, postoji formalni dokaz p0 cijesu premise samo one premise iz p koje su recenice jezika L i on, tj. p0 imaistu konkluziji kao i p.

Henkinova konstrukcija. S druge strane, Henkinova teorija je dovoljnojaka a pojam strukture prvoga reda dovoljno širok pa omogucuju dadokažemo sljedece: za svako dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti h kojedodjeljuje > svakoj ispravno sastavljenoj formuli iz H postoji strukturaprvoga reda MH takva MH ² S za svaku S kojoj h dodjeljuje >.Ovakva konstrukcija strukture MH koja polazi od dodjeljivanja istinitosnihvrijednosti h ponekad se naziva Henkinovom konstrukcijom.

Povezivanje u dokaz potpunosti Ove rezultate možemo iskoristiti zasvrhu dokazivanja teorema potpunosti. Pretpostavimo da su sve receniceiz T te recenica S recenice iz pocetnog jezika L, te da je S posljedicaprvog reda od T . Želimo dokazati da T ` S. Po pretpostavci, ne postojistruktura prvoga reda u kojoj su sve recenice iz T [ f:Sg istinite. PoHenkinovoj konstrukciji, ne postoji dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti hkoje dodjeluje vrijednost > svim recenicama iz skupa T [H [ f:Sg. Kadabi takvog dodjeljivanja bilo, onda bi struktura prvoga reda MH verificiralaT [ f:Sg. Zato je S tautološka posljedica od T [H . Po teoremu potpunostiza propozicijsku logiku, postoji formalni dokaz p za S iz T [ H . Poeliminacijskom teoremu, putem korištenja pravila dokaza za kvantifikatore,dokaz p se može transformirati u formalni dokaz p0 za S iz premisa iz T .Dakle, T ` S, što smo i željeli dokazati.

22.2 Dodavanje konstanti koje svjedoceZadan nam je jezik prvoga reda K. Konstruiramo novi jezik prvoga reda K 0.Novi jezik K0 imat ce iste simbole kao i K s tom razlikom što ce sadržavati punonovih simbola za konstante.

Primjer 22.1 Ako je rijec o varijanti jezika iz Tarski’s World, onda ce novi, proširenijezik imati i ovakve recenice: (1) 9x(Maleno(x) ^ Kocka(x)) ! (Maleno(c1) ^Kocka(c1)), (2) 9z(z 6= a ^ z 6= b) ! (c2 6= a ^ c2 6= b)

Opcenito, za svaku isf-u P iz jezika L koja ima tocno jednu slobodnu var-ijablu, sacinite novi simbol individualne konstante cP , pazeci pri tome da zarazlicite isf-e sacinite razlicita imena. Takva konstanta naziva se konstantomkoja svjedoci za P .

22.3 Henkinova teorija 231

Kako možemo biti sigurni da cemo uspjeti saciniti razlicita imena za razliciteformule? Ima razlicitih nacina kojima se to može ostvariti. Jedan medu njimaje onaj u kojemu odabiremo novi simbol c koji nije u K i za svaku formulu sjednom slobodnom varijablom upisujemo nju samu kao podznak.

Primjer 22.2 (1)Instancirajmo 9x(Maleno(x) ^ Kocka(x)) s konstantama sacin-jenim po gornjem uputstvu! Dobivamo:

Maleno(c(Maleno(x)^Kocka(x))) ^Kocka(c(Maleno(x)^Kocka(x)))

(2)Slicno, za9z(z 6= a ^ z 6= b) instancijacija s konstantama daje

c(z6=a^z6=b) 6= a ^ c(z6=a^z6=b) 6= b

Tako dobivamo jezik K0, koji koristi sve simbole jezika K i njima pridodajenove konstante koje svjedoce.

Primjer 22.3 Uproširenom jeziku imat cemo i ovakvu recenicu: 9z(z 6= c(z6=a^z6=b)^z 6= c(z6=a^z6=b)). No, i ta recenica traži svoju konstantu-svjedoka. Ponavljajuci postu-pak, dobivamo c(z6=c(z6=a^z6=b)^z6=c(z6=a^z6=b)).

Ocigledno je da proširenje jezika postavlja zahtjev za uvodenjem novih konstanti-svjedoka, a njihovo uvodenje opet proširuje jezik reproducirajuci zahtjev i takodalje in infinitum. Zato konstrukciju svjedocecih konstanti moramo stalno ob-navljati.Time, polazeci od jezika L, dolazimo do beskonacnog niza sve opsežni-jih i opsežnijih jezika:

L0 µ L1 µ L2 µ :::

gdje L = L0 i Ln+1 = L0n. Naime, jezik Ln+1 nastaje primjenom Henkinovekonstrukcije na jeziku Ln. Na kraju, Henkinov jezik LH za jezik L sastoji se odsvih simbola jezika Ln za svaki n = 1; 2; 3; :::.

Svaka konstanta-svjedok cP nastaje na nekoj razini n = 1 ove konstrukcije.Nazovimo razinu konstrukcije - datumom rodenja konstante cP .

Lema 41 (Lema datuma rodenja) Neka je n+1 datum rodenja konstante cP .Ako je Q proizvolja isf jezika Ln, onda se konstanta cP ne javlja u Q.

22.3 Henkinova teorijaSvakoj isf-i P s jednom slobodnom varijablom dodali smo po jednu konstantu-svjedoka. Buduci da ce nam slobodna varijabla biti važna, zapisivat cemo isf-ena nacin koji upozorava na slobodnu varijablu kao P (x) (izbor varijable nijevažan, zapravo bismo trebali pisati P (v) gdje je v bilo koja varijabla iz jezika).Posljedicno, konstanta koja svjedoci oznacavat ce se s cP (x). Podsjetimo se da


smo s beskonacnim iteriranjem postupka uspjeli urediti stvari tako da svaka isf-uP (x) iz LH koja ima tocno jednu slobodnu varijablu ima svoju konstantu kojasvjedoci cP (x) u jeziku LH . Ta nam cinjenica omogucuje da sacinimo u LH

ovakve recenice:

9xP (x) ! P (cP (x))

Ovakva je recenica poznata pod nazivom ’Henkinov aksiom koji svjedoci zaP (x)’. Intuitivna ideja u pozadini recenice 9xP (x) ! P (cP (x)): ako postojineki predmet koji zadovoljava P (x), onda objekt cije je ime cP (x) predstavljaprimjer (’svjedoci’ o postojanju) jednog takvog predmeta.

Lema 42 (Lema neovisnosti) Ako su cP i cQ dvije konstante koje svjedoce iako je datum rodenja od cP manji od ili jednak datumu rodenja cQ, onda se cQne javlja u aksiomu koji svjedoci pomocu konstante cP .

Dokaz 30 Ako je datum rodenja od cP manji od datuma rodenja za cQ, ondakonzekvens slijedi po lemi datuma rodenja. Ako konstante-svjedoci imaju istidatum rodenja, konzekvens proizlazi iz cinjenice da razlicite isf-e iz jezika Kimaju razlicite konstante koje svjedoce u K0.

Definicija 19 (Henkinova teorija) Henkinova teorijaH sastoji se od svih recenicakoje imaju jedan od sljedecih pet oblika, gdje su c i d bilo koje konstante a P (x)je bilo koja formula s jednom slobodnom varijablom u jeziku LH:

H1: Svi Henkinovi aksiom koji svjedoce9xP (x) ! P (cP (x))

H2: Sve recenice ciji je oblikP (c) ! 9xP (x)

H3: Sve recenice ciji je oblik:8xP (x) $ 9x:P (x)

H4: Sve recenice ciji je oblikc = c

H5: Sve recenice ciji je oblik(P (c) ^ c = d) ! P (d)

Uocimo slicnost izmedu recenica iz H i pravila za kvantifikatore i identitet usustavu F :

H1 približno korespondira pravilu 9 Elim u smislu da se oba oslanjaju naistu intuiciju

H2 korespondira pravilu 9 IntroH3 reducira 8 na 9H4 korespondira = Intro

22.3 Henkinova teorija 233

H5 korespondira pravilu = Elim

Korespondencija se razlikuje od slucaja do slucaja. Na primjer, aksiomi tipaH2-H5 su valjane recenice prvoga reda, dok H1 nije. Aksiomi svjedocenja dajuvažne tvrdnje za interpretaciju konstanti-svjedoka. Sljedeca tvrdnja nije potrebnau dokazu potpunosti, ipak je važna jer pokazuje zašto dokaz može uspjeti.

Tvrdnja 43 Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji nacin inter-pretacije svih konstanti-svjedoka u domeni zaM takav da, pod tom interpertaci-jom, sve recenice izH budu istinite.

Dokaz 31 Osnovna ideja dokaza: ako M ² 9xP (x), odaberimo bilo koji ele-ment b iz domene koji zadovoljava P (x) i neka konstanta-svjedok cP (x) imenujetaj predmet b. Ako M ² :9xP (x), onda neka cP (x) imenuje bilo koji predmetb. Na ovaj nacin smo pokrili aksiome tipa H1. Drugi aksiomi su logicke istine izato su istiniti neovisno o interpretaciji.

22.3.1 Zadaci

Zadatak 138 Neka je T teorija formulirana u jeziku L. Primjenite dokazanu tvrdnju"Neka jeM struktura prvog reda za jezik L. Postoji nacin interpretacije svih konstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, sve recenice iz H buduistinite." da biste pokazali da vrijedi sljedece: ako je S iz L posljedica prvoga redaod T [H, onda je ona posljedica prvoga rada i od T .

Dokaz 32 (*) Pretpostavimo da je S posljedica prvoga reda od T [ H. Podefiniciji, svaka struktura prvoga reda koja cini sve recenice iz T [H istinitimacini istinitom i recenicu S. Za reductio, pretpostavimo da je M jedna strukturakoja cini sve recenice iz T istinitima ali (#) ne i recenicu S. No za svaku strukturupostoji interpretacija konstanti-svjedoka koja cini istinitima sve recenice iz H . Tastruktura verificira T [H , pa po pretpostavci (*) verificira i S. Kontradikcija.

Pokrenite Tarski’s World i otvorite Henkin’s Sentences. Neka su konstante ci d skraceni zapis konstanti-svjedoka cCube(x) i cDodec(x)∧Small(x), time redom.

1. (a) Pokažite da su sve te recenice clanovi teorije H . Odredite oblik svakogaksioma po definiciji za H .

(b) Po prethodnom i po tvrdnji o postojanju interpertacije zakonstante-svjedoke koja cini sve recenice iz H istinitima, bilo koji svijetu kojemu se konstante c i d ne koriste kao imena može se pretvoritiu svijet u kojemu su H recenice istinite. Otvorite Henkin’s World iimenujte tijela s c i d tako da sve recenice postanu istinite.


Rješenje.a) Na primjer, treca recenica je Henkinov aksiom H2 tipa.Odredbutipa ostalih recenica ostavljamo citatelju. b) Neka je c skraceni zapis za cCube(x),a d za cDodec(x)∧Small(x). Pogledajmo recenicu 2.: svijet ne verificira 9x(Dodec(x)^Small(x)), zato možemo odabrati bilo koji predmet.za interpretaciju svjedokacDodec(x)∧Small(x)

sljedice i posljedice prvoga reda Neka T sadrži sljedeci skup recenica,

T = fKocka(a);Maleno(a);9x(Kocka(x)^Maleno(x)) ! 9yDodekaedar(y)g

(a) Dajte neformalne dokaze da su sljedece recenice posljedice prvoga redaod T : (i) 9x(Kocka(x) ^Maleno(x)), (ii) 9yDodekaedar(y).

(b) Dajte neformalne dokaze da nijedna od sljedecih recenica nijetautološka posljedica od T : (i) 9x(Kocka(x) ^Maleno(x)), (ii)9yDodekaedar(y), (iii) Dodekaedar(cDodekaedar(y)).

(c) Dajte neformalne dokaze da su sve recenice iz prethodnog zadatka (b)tautološke posljedice od T [H .

Odgovor 45 Rješenje. a(i) Predmet a je kocka i malen predmet. Dakle pos-toji malena kocka. b(i) Postoji istinitosno vrednovanje u kojemu su receniceKocka(a) iMaleno(a) istinite, a recenica 9x(Kocka(x) ^Maleno(x)) neis-tinita. c(b.i) Henkinova teorija sadrži, izmedu ostalog, i sljedece recenice /H2

22.4 Eliminacijski teorem 235

tip/

(Kocka(a) ^Maleno(a)) ! 9x(Kocka(x) ^Maleno(x))

Željena konkluzija slijedi nakon primjene pravila ^ Intro i! Elim.

22.4 Eliminacijski teoremIz tvrdnje o mogucnosti proširenja bilo koje strukture prvoga reda s interpretaci-jom konstanti-svjedoka koja cini istinitim sve recenice iz H proizlazi da ako jerecenica S iz L posljedica prvoga reda od T [H , onda je S takoder i posljedicaprvoga reda samo od T . Taj rezultat pokazuje nam da s konstrukcijom teorije Hnismo dodali nove tvrdnje, odnosno da nismo dodali nove posljedice prvoga redaod T s obzirom na jezik L. Eliminacijski teorem pokazuje nam da je deduktivnisustav dovoljno jak da omoguci slican rezultat na formalnoj strani.

Teorem 44 (eliminacije) Neka je p bilo koji formalni dokaz prvoga reda s kon-kluzijom S, koja je recenica iz L i cije su premise recenice P1; :::; Pn iz jezika Luz dodatak recenica iz H. Tada postoji formalni dokaz p0 za S koji koristi samoP1; :::; Pn.

Dokaz eliminacijskog teorem razložit cemo u niz lema.

Teorem 45 ( dedukcije) Ako T [ fPg ` Q onda T ` P ! Q.

Dokaz 33 Pretpostavimo da T [fPg ` Q. To znaci da postoji dokaz za Q kojieventualno koristi P1; :::; Pn iz T i Q. Sada treba pokazati da T ` P ! Q. Akou poddokazu s pretpostavkom P reproduciramo prethodni dokaz, po pravilu zauvodenje kondicionala, moci cemo dokazati Q.

Zadatak 139 U Fitch-u otvorite Deduction theorem1.prf. Promotrite dokaz koji imadvije premise, oznacimo ih s P1 i P2 te konkluziju, K! Otvorite zatim Proof DeductionTheorem.prf koji ima samo jednu premisu, P1 i dokažite konkluziju P2 ! K! Sadamožete uvježbati dokaz teorema dedukcije: otvorite novi poddokaz s pretpostavkom P2,reproducirajte dokaz iz Deduction Theorem1.prf i na kraju kada u poddokazu dodete doK, zatvorite poddokaz i primjenjujuci! Intro doci cete do željenoga: P2 ! K.

Tvrdnja 46 (Uklanjanje premisa) Ako T [ fP1; :::; Png ` Q i ako za svakii = 1; :::; n vrijedi da T ` Pi, onda T ` Q.


Dokaz 34 Pretpostavimo antecedens. Po45 , ako T [ fP1; :::; Png ` Q, ondaT [ fP1; :::; Pn−1g ` Pn ! Q. Po pretpostavci, T ` Pn. Primjenom pravilamodus ponens dobivamoQ, dakle: T[fP1; :::; Pn−1g ` Q.Ponavljamo postupaksve do P1. Na kraju dobivamo T ` Q, što smo i htjeli.

Lema 47 (A) Neka je T skup recenica iz nekog jezika prvoga reda L te neka suP , Q i R recenice iz L. Tada vrijedi:

1. Ako T ` P ! Q i T ` :P ! Q, onda T ` Q2. Ako T ` (P ! Q) ! R, onda T ` :P ! R i T ` Q ! R

Dokaz 35 Možemo bez premisa dokazati P_:P . Zato, T ` P_:P . Primjena_ Elim daje željeni rezultat. Dokaz za 2. je korisna vježba iz pravila dokaza.

Lema 48 (B: zamjena konstanti s kvantifikatorima) Neka je T skup recenicaiz nekog jezika prvoga reda L i neka je Q recenica iz L. Neka je P (x) isf iz L sjednom slobodnom varijablom koja ne sadrži c. Ako T ` P (c) ! Q i ako se cne javlja ni u T ni u Q, onda T ` 9xP (x) ! Q.

Dokaz 36 Pretpostavimo T ` P (c) ! Q gdje je c konstanta koja se ne javljani u P (x) ni u T ni u Q. To isto, tj. T ` P (d) ! Q vrijedi za bilo kojudrugu konstantu d koja se ne javlja ni u P (x) u T ni u Q. Dovoljno je preuzetiizvorni dokaz p i na svakom mjestu na kojem se javlja c - upisati d. Ako se djavljalo u izvornom dokazu p, zamijenimo ga s nekom novom konstantom, akohocemo, za tu svrhu možemo upotrebiti i c. Neformalni dokaz. Koristeci metodu! Intro, uzimamo 9xP (x) za pretpostavku i pokušavamo dokazati Q. Za tusvrhu koristimo 9 Elim. Neka je d nova konstanta i pretpostavimo P (d). Nopo prethodnom zapažanju znamo da možemo dokazati P (d) ! Q. Uz ! Elimdobivamo Q.

Zadatak 140 Vježba 19.16 daje primjer transformiranja dokaza po metodi ove leme.

22.4 Eliminacijski teorem 237

Konkluzija koja sadrži konstantu b.

Konkluzija koja ne sadrži konstantu b.

Lema 49 (Eliminacija Henkinovih aksioma) Neka je T skup recenica iz nekogjezika prvoga reda L i neka je Q recenica iz L. Neka je P (x) isf iz L s jednomslobodnom varijablom koja ne sadrži c. Ako T [ f9xP (x) ! P (c)g ` Q i akose c ne javlja ni u T ni u Q, onda T ` Q.

Dokaz 37 Pretpostavimo T [ f9xP (x) ! P (c)g ` Q gdje je c konstanta koja


se ne javlja ni u T ni u Q: Po teoremu dedukcije, T ` (9xP (x) ! P (c)) ! Q:Po lemi A.2 T ` :9xP (x) ! Q i T ` P (c) ! Q. Iz drugoga, po lemi B,dobivamo T ` 9xP (x) ! Q. Primjena leme A.1 daje traženo: T ` Q

Na ovaj nacin možemo ukloniti Henkinove aksiome svjedocenja (H1) izdokaza koji ih koristi. Sljedeca lema pokriva ostale aksiome iz H .

Lema 50 (Eliminacija ostalih clanova od H) Neka je T skup recenica prvogareda, neka je P (x) isf s jednom slobodnom varijablom, te neka su c i d simbolikonstanti.Sljedece je dokazivo u F :

P (c) ! 9xP (x):8xP (x) $ 9x:P (x)(P (c) ^ c = d) ! P (d)c = c

Lema 51 Jedino što nije posve ocigledno jest DeMorganov zakon.kojeg trebatedokazati za svrhu vježbanja.

22.4.1 Dokaz eliminacijskog teoremaNeka je k proizvoljni prirodni broj, neka je p formalni dokaz prvoga reda zakonkluziju iz jezika L cije su sve premise bilo recenice iz T ili recenice iz H,te gdje je najviše k clanova iz H . Moramo pokazati kako se mogu eliminiratione premise koje su iz H . U dokazu koristimo indukciju na k. Osnovni slucajje slucaj u kojemu k = 0. No tada nemamo ništa za eliminirati, pa smo gotovi.Pretpostavimo da rezultat vrijedi za k i dokažimo da onda vrijedi za k+1. Dokazse cijepa na dva slucaja.

Prvi slucaj: barem jedna od premisa koje treba eliminirati, recimo P , imajedan od oblika spomenutih u prethodnoj lemi. No tada P može biti eliminiranu skladu s tvrdnjom o uklanjanju premisa što nas ostavlja s preostalih k premisaza uklanjanje, a one mogu po hipotezi indukcije biti uklonjene.

Drugi slucaj: Sve premise koje treba ukloniti su Henkinovi aksiomi svje-docenja. Osnovna je ideja da se prvo elimiraju aksiomi svjedocenja koji imaju’mlade’ konstante. Odaberite premisu oblika 9xP (x) ! P (c) cija svjedok-konstanta nije mlada od ostalih konstanti koje se javljaju u recenicama za uk-lanjanje (njezin datum rodenja je veci ili jednak datumu rodenja bilo koje drugesvjedok-konstante). To se može uciniti jer takvih recenica ima konacno mnogo.Po lemi neovisnosti, c se ne javlja ni u jednoj drugoj premisi za eliminiranje.Zato se c ne javlja ni u jednoj premisi niti u konkluziji. Po lemi za eliminiranjeaksioma svjedocenja, 9xP (x) ! P (c) možemo eliminirati. To nas dovodi dodokaza s najviše k premisa za eliminaciju, a to po hipotezi možemo uciniti.

22.5 Henkinova konstrukcija 239

22.5 Henkinova konstrukcijaVec smo dokazali tvrdnju "Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postojinacin interpretacije svih konstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tominterpertacijom, sve recenice iz H budu istinite". Ona pokazuje da možemo uzetibilo koju strukturu prvog reda za jezik L i proširiti je na strukturu za LH koja ciniistinitima sve one recenice koje su bile istinite u strukturi za L. Tome možemopridodati i dodjeljivanje vrijednosti h za sve recenice iz LH koje poštuje sveistinitosno funkcionalne veznike: trebamo dodijeliti vrijednost > za recenicekoje su istinite u strukturi, a ? za one koji nisu.

Zadatak 141 Zadana je struktura prvoga reda, M za jezik L. Definiramo dodjelji-vanje istinitosnih vrijednosti, hM na sljedeci nacin: za bilo koju atomarnu recenicu ilirecenicu koja pocinje s kvantifikatorom, S

hM (S) = > ako i samo akoM ² S

Trebamo dokazati da "ako i samo ako" vrijedi za bilo koju recenicu.

Odgovor 46 Dokazujemo indukcijom. Bikondicional vrijedi za osnovni slucajatomarnih recenica i recenica koje zapocinju s kvantifikatorom. Pretpostavimoda bikondicional vrijedi za P i Q. Treba pokazati da on vrijedi i za recenicekoje možemo dobiti po pravilima tvorbe. Dokazat cemo slucaj negacije. (L-D)Pretpostavimo hM (:P ) = >. Treba dokazati daM ² :P . Ako hM (:P ) = >,onda hM (P ) = ? po definiciji h. Buduci da po hipotezi indukcije P zadovol-java bikondicional, iz neistinitosti P , proizlazi M 2 P . Po definiciji negacije,M ² :P Time je dokazan "samo ako" smjer. (D-L) Pretpostavimo M ² :P .Treba dokazati da hM (:P ) = >. Po definiciji zadovoljavanja, iz pretpostavkeproizlaziM 2 P . Buduci da po hipotezi indukcije P zadovoljava bikondicional,iz M 2 P , proizlazi hM (P ) = ?. Po definiciji zadovoljavanja, dobivamohM (:P ) = >, do cega smo i tebali doci. Konjunkcija. (L-D) PretpostavimohM (P ^Q) = >. Treba dokazati daM ² P ^Q. Ako hM (P ^Q) = >, ondahM (P ) = > i hM (Q) = > po definiciji h. Buduci da po hipotezi indukcije P iQ zadovoljavaju bikondicional, dobivamoM ² P iM ² Q. Po definiciji zado-voljavanja,M ² P ^Q:Time je dokazan "samo ako" smjer. (D-L) PretpostavimoM ² P ^Q. Treba dokazati da hM (P ^Q) = >. Po definiciji zadovoljavanja,iz pretpostavke kondicionalnog dokaza proizlazi daM ² P iM ² Q.:Buduci dapo hipotezi indukcije P iQ zadovoljavaju bikondicional, vrijedi da .hM (P ) = >i hM (Q) = > Po definiciji zadovoljavanja, dobivamo hM (P ^Q) = >, do cegasmo i tebali doci. Ostali slucajevi prepušteni su citatelju.

Glavni korak u Henkinovom dokazu teorema potpunosti sastoji se u tomeda pokažemo da se proces može odvijati u suprotnom smjeru, od dodjeljivanjaistinitosnih vrijednosti prema istinitosti u strukturi: o cemu govori sljedeca lema.


Teorem 52 (Lema Henkinove konstrukcije) Neka je h bilo koje dodjeljivanjevrijednosti za LH koje dodjeljuje vrijednost > za sve recenice Henkinove teorijeH . Postoji struktura prvoga reda MH takva da MH ² S za svaku recenicu Skojoj h dodjeljuje >.

U dokazu ove leme pretpostavit cemo da naš jezik sadrži samo simbole zarelacije i za konstante, a da ne sadrži funkcijske simbole.Dokaz ima dva dijela.Najprije pokazujemo kako konstruirati MH polazeci od h, a zatim pokazujemoda MH zaista cini istinitima sve one recenica kojima h dodjeljuje vrijednost >.U konstrukciji MH moramo uciniti tri stvari. Prvo, moramo definirati domenuD od MH . Drugo, moramo svakom n-mjesnom predikatu R dodijeliti ekstenzijuR, tj. skup n-torki ciji su clanovi elementi iz D. Trece, moramo svakom imenu ciz LH dodijeliti neki element iz D.

Zadatak 142 Najprije cemo pokušati izvesti jednu konstrukciju koja ne uspijeva zado-voljiti zahtjeve, a potom je modificirati tako da postane uspješna. Neka je h proizvoljnododjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik prvoga reda bez funkcijskih simbola. Kon-struirajmo strukturu prvoga reda, MH na sljedeci nacin. Domena: domena za MH jeskup individualnih konstanti jezika o kojem je rijec. Neka je R binarni relacijski simbolcija je ekstenzija definirana ovako:

f< c; d >j h(R(c; d)) = >g

Na kraju, interpretirajmo svaku individualnu konstantu tako da ona imenuje sebe (npr.ako je a individualna konstanta jezika pod razmatranjem, ondaMH(a) = a). Pokažiteda za svaku recenicu, S koja ne sadrži kvantifikatore ili simbol identiteta vrijedi:

MH ² S akko h(S) = >

Odgovor 47 Uosnovnom slucaju, za atomarne recenice vrijediMH ² R(c1; c2)ako i samo ako h(R(c1; c2)) = > (gdje su c1 i c2 imena iz jezika). Naime,po definiciji zadovoljavanja, MH ² R(c1; c2)[g∅] znaci hMH(c1);MH(c2)i 2MH(R), a hc1; c2i. je u ekstenziji odR upravo onda kada jeR(c1; c2) istinito. Uinduktivnom koraku, pretpostavimo da bikondicional vrijedi za P i Q. Proucimoslucaj kondicionala. Trebamo dokazatiMH ² (P ! Q) akko h(P ! Q) = >.(L-D) PretpostavimoMH ² (P ! Q). Po definiciji zadovoljavanja, iliMH 2 PiliMH ² Q. Po hipotezi indukcije vrijedi h(P ) = ? ili h(Q) = >. Po definicijiza h, tada vrijedi h(P ! Q) = >. (D-L) Pretpostavimo .h(P ! Q) = >. Tada.h(P ) = ? ili h(Q) = >. Po hipotezi indukcije, MH 2 P ili MH ² Q. A podefiniciji zadovoljavanja,MH ² (P ! Q) etc. Pokažite da se prethodni rezultatne proteže na recenice koje sadrže simbol identiteta. Dokaz. Neka h(b = b) = ?.Buduci da ekstenziju od = držimo fiksiranom u svim interpretacijama za slucajkada su isti termini na obje strane, dobivamo MH ² b = b. Pokažite da seprethodni rezultat ne proteže na recenice koje sadrže egzistencijalni kvantifikator.Dokaz. Razmotrimo h(9x9yR(x; y)) = ?. Ako je ekstenzija od R 6= ;, onda


MH ² 9x9yR(x; y):Takoder, ako R = ;, onda MH 2 9x9yR(x; y) ali nemazapreke da h(9x9yR(x; y)) = >:

22.5.1 Prvi pokušajGradimo strukturu M na sljedeci nacin:

² Za domenu od M uzimamo skup simbola za konstante c iz LH .² Postavljamo da svaka konstanta imenuje samu sebe.² Za odredivanje interpretacije relacijskog simbola R, recimo binarnog,

uzimamo skup R uredenih parova < c; d > simbola za konstante takav da hdodjeljuje > za recenicu R(c; d)

Problem s ovom strukturom vezan je uz interpretaciju identiteta. Po definicijistrukture prvoga reda, interpretacija identiteta je fiksirana: M(=) = f< x; x >jx 2 Dg. No neizbježno da se javljaju razlicite konstante c i d za koje h dodjeljujevrijednost > za c = d. Problem proizlazi iz cinjenice da u ovoj strukturi imenaimenuju same sebe. Zbog toga razlicita imena ne mogu imenovati isti predmet.

Zadatak 143 Pokažite da za svaki simbol konstante c izLH postoji razlicita konstantasvjedok d takva da je c = d tautološka posljedica od H:

Odgovor 48 Henkinova teorija sadrži i sljedece recenice H4 c = c H2. c =c ! 9x(x = c), H1. 9x(x = c) ! cx=c = c. Dvije primjene ! Elim dajutraženu tvrdnju cx=c = c, u kojoj se javljaju dva razlicita imena.

Poteškoca koja nastaje kada h(c = d) = > proizlazi iz cinjenice da konstanteimenuje same sebe, pa su c i d razliciti clanovi, pa zato MH 2 c = d.

’Trik’ koji se može primijeniti u ovom slucaju leži u tome da se poistovjeteelementi koji su sa stajališta strukture M razliciti. Za tu svrhu možemo iskoristitipojam o klasama ekvivalencije.

Primjedba 12 Podsjetnik. Relacije koje su refleksivne, simetricne i tranzitivnenazivaju se relacijama ekvivalencije. Relacije ekvivalencije povezuju predmetekoji su jednaki u nekom smislu. Ovakvo povezivanja predmeta koji jednaki unekom smislu, koristi se za uvodenje teorijski korisne konstrukcije: klase (razreda)ekvivalencije.Ako je R relacija ekvivalencije, onda je [x]R skup stvari kojesu ekvivalentne s x s obzirom na R, to je klasa ekvivalencije za x.

Definirat cemo binarnu relaciju ´ na domeni od M (tj. na konstantama izLH) na sljedeci nacin: c ´ d ako i samo ako h(c = d) = >.

Lema 53 Relacija ´ je relacija ekvivalencije.


Dokaz 38 Dokaz ove leme zahtijeva da pokažemo da je´ refleksivna, simetricnai tranzitivna relacija. (Refleksivnost) Recenica c = c je element od H i h dod-jeljuje svakoj recenici iz H vrijednost >. (Simetricnost) Pretpostavimo h(c =d) = >. U H nalazimo tada i recenicu H5. (c = c ^ c = d) ! d = c pa njoj hdodjeluje vrijednost >. Buduci da

h(c = d) = h(c = c) = h((c = c ^ c = d) ! d = c) = >;

d = c kao njihova tautološka posljedica mora biti istinita. (Tranzitivnost) Pret-postavimo da h dodjeljuje vrijednost > za c = d i d = e. Iz cinjenice da je c = enjihova tautološka posljedica proizlazi h(c = e) = >.

Iz leme proizlazi da možemo svakoj konstanti c pridružiti njezinu klasu ek-vivalencije

[c] = fd j c ´ dgOpremljeni s time možemo u drugom pokušaju definirati našu strukturu MH.

22.5.2 Drugi pokušajStruktura MH definirana je na sljedeci nacin:

² Domena D za strukturu prvoga reda MH je skup svih klasa ekvivalencije sobzirom na relaciju ´.

² Svaka konstanta imenuje svoju klasu ekvivalencije.² Relacijske simbole R definiramo na nacin kojeg cemo radi pojednostavljenja

uvesti preko primjera binarne relacije. Interpretacija za R je skup

f< [c]; [d] >j h(R(c; d)) = >g

Sada treba dokazati da MH verificira sve one i samo one recenice kojima hdodjeljuje vrijednost >, tj. za svaku recenicu S iz LH vrijedi da MH ² S. Za tusvrhu koristimo indukciju na složenost recenice S.

Za osnovni slucaj pobrinuli smo se u konstrukciji MH . Ipak treba provjeritijednu važnu stvar. Pretpostavimo da vrijedi [c] = [c0] i [d] = [d0]. Trebamopokazati da je iskljucena mogucnost da bude i h(R(c; d)) = > i h(R(c0; d0)) =?. Da bi to bio slucaj, < [c0]; [d0] > bi bili u ekstenziji od R jer < [c]; [d] > jest:u toj ekstenziji, a ta dva spomenuta para su jedan te isti. No tada bi h dodjeliopogrešnu vrijednost za R(c0; d0), a da to nije moguce pokazuje sljedeca lema.

Lema 54 Ako c ´ c0, d ´ d0, te h(R(c; d)) = >, onda h(R(c0; d0)) = >.

Prije dokaza leme, izvedimo jednu vježbu.Pokažite da za svaki binarni relacijski simbol R iz L i za sve konstante c; c0; d

i d0 sljedeca recenica jest tautološka posljedica od H:

(R(c; d) ^ c = c0 ^ d = d0) ! R(c0; d0)


Odgovor 49 Rješenje. Jedan od H5 aksioma je i (R(c; d) ^ c = c0) !R(c0; d).Jednako tako i recenica (R(c0; d) ^ d = d0) !R(c0; d0). Pretpostavite R(c; d) ^c = c0 ^ d = d0, dvije primjene! Elim daju traženi rezultat.

Dokaz 39 Dokaz gornje leme. Recenica (R(c; d)^c = c0^d = d0) !R(c0; d0)je tautološka posljedica od H . Buduci da h dodjeljuje za svaku recenicu iz Hvrijednost >, te buduci da po antecedensu leme h dodjeljuje vrijednost > zasvaki konjunkt u R(c; d)^ c = c0^d = d0, onda h mora dodijeliti > za R(c0; d0).

Ova nam lema pokazuje da je konstrukcija strukture MH uspješna za slucajatomarnih recenica. Drugim rijecima MH ce verificirati neku atomarnu recenicuako i samo ako h toj recenici dodjeljuje >.

Sada treba slicnu lemu dokazati opcenito.

Lema 55 Za bilo koju recenicu S iz LH vrijedi da MH ² S ako i samo akoh(S) = >.

Dokaz 40 (Osnovna ideja dokaza) Osnovna ideja je u korištenju indukcije.Eksplicite smo definirali strukturu MH tako da tvrdnja funkcionira u osnovnomslucaju atomarnih recenica. Što se tice istinitosno-funkcionalnih veznika, prob-lem nesklada ne može se javiti jer tu dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti funkcioni-raju na isti nacin kao i definicija istine u strukturi (npr. h(P ^ Q) = > akkoh(P ) = > i h(Q) = >; M ² (P ^ Q)[g∅] akko M ² P [g∅] i M ² Q[g∅]itd.). Jedino kvantifikatori mogu prouzrociti problem, no o njima su se pobrinuliaksiomi za kvantifikatore u H . Manji problem prouzrocuje 8 koji nije izravnoobraden vec preko DeMorganovih recenica u H:

:8xP (x) $ 9x:P (x)

Ono što komplicira stvar s obzirom na dokaz indukcijom jest to što bi bilokoja ocigledna metoda odredivanja složenosti formule, recimo preko njezinedužine ili preko broja logickih operatora, tretirala 8xP (x) kao formulu cija jesloženost manja od složenosti formule 9x:P (x). U dokazu indukcijom moramopokazati da nešto vrijedi za jednostavniju formulu da bismo to isto pokazali uslucaju složenije. Zato možemo uvesti novu mjeru složenosti: za atomarne isf-e složenost je 0, za :P i 9xP složenost je za jedan vece od složenosti od P ,složenost za P ^Q; P _Q i P ! Q za jedan je veca od maksimuma složenostiod P i Q, za složenost formule 8xP uzet cemo da je za tri veca od složenosti odP .


Zadatak 144 Provjerite jesu li složenosti dobro odredene!

Maleno(x) 0:Maleno(x) 1:(Maleno(x) ! x = a) 29x:(Maleno(x) ! x = a) 38x(Maleno(x) ! x = a) 4

Dokaz 41 (Dokaz indukcijom) Osnovni slucaj, gdje je složenost jednaka 0,vrijedi zbog 22.5.2 MH .

Induktivni korak. Pretpostavimo da lema vrijedi za sve recenice cija složenost5 k i neka je složenost recenice S jednaka k + 1.

Najprije promatramo samo jedan slucaj s veznicima, ostali su slicni.Slucaj 1. Pretpostavimo da je S - P _Q.Ako MH ² S onda je barem jedna recenica, P ili Q istinita u strukturi.

Pretpostavimo da je P istinita. Buduci da je složenost od S jednaka k + 1 ondaje složenost od P manja ili jednaka k, pa po hipotezi indukcije h(P ) = >. Notada h(P _Q) = >, kako smo i htjeli. U suprotnom smjeru dokaz je slican.

Slucaj 2. Pretpostavimo da je S recenica 9xP (x). Trebamo pokazati MH ²9xP (x) ako i samo ako h(9xP (x)) = >.

(L-D) Pretpostavimo prvo da MH ² 9xP (x). Tada buduci da je svaki objekt(ovdje -objekti su klase ekvivalencije) u domeni oznacen s nekom konstantom,po definiciji istine mora postojati konstanta c takva da MH ² P (c). No složenostpotonje, instancirane recenice je manja od složenosti za S, pa po hipotezi induk-cije h(P (c)) = >. No teorija H sadrži i aksiom P (c) ! 9xP (x) a h dodjeljujeovoj32 recenici >. No tada po istinitosnoj tablici za !, h mora dodijeliti > za9xP (x).

(D-L) U suprotnom smjeru, postupak je slican osim što se koristi svjedok-konstanta za P (x). Pretpostavimo da h dodjeljuje > za 9xP (x). Treba pokazatida tada MH ² 9xP (x). No h dodjeljuje > za aksiom koji svjedoci: 9xP (x) !P (cP (x)). Po istinitosnoj tablici za !, h mora dodijeliti > za P (cP (x)). Ta jeformula manje složena od S, pa po hipotezi mora vrijediti MH ² P (cP (x)). Atada po definiciji istine u strukturi MH ² 9xP (x).

Slucaj 3.Pretpostavimo da je S recenica 8xP (x).Pretpostavimo prvo da MH ² 8xP (x). Onda vrijedi MH 2 9x:P (x).Ova

druga recenica je manjeg stupnja složenosti, pa po hipotezi indukcije mora vri-jediti h(9x:P (x)) = ?. No H sadrži recenicu :8xP (x) $ 9x:P (x). Izovoga proizlazi h(:8xP (x)) = ?, a time h(8xP (x)) = >.

Pretpostavimo h(8xP (x)) = >. Onda h(:8xP (x)) = ?. No H sadržirecenicu :8xP (x) $ 9x:P (x). Po hipotezi, vrijedi MH 2 9x:P (x). No tadaMH ² 8xP (x).

32 Podsjetimo se da se lema Henkinove konstrukcije odnosi na dodjeljivanje vrijednosti kojesvim recenivama iz H dodjeljuje >.


Pogledajte donju sliku i proucite kako su dijelovi dokaza medu-sobno povezani. Neka polja su aktivna i prebacit ce Vas na odgovara-juci odsjek dokumenta.

22.5.2.1 Zadaci

1. Zadana je struktura prvoga reda, M za jezik L. Definiramo dodjeljivanjeistinitosnih vrijednosti, hM na sljedeci nacin: za bilo koju atomarnu recenicuili recenicu koja pocinje s kvantifikatorom, S

hM (S) = > ako i samo ako M ² S

Trebamo dokazati da "ako i samo ako" vrijedi za bilo koju recenicu.(a) Dokaz. Dokazujemo indukcijom. Bikondicional vrijedi za osnovni

slucaj atomarnih recenica i recenica koje zapocinju s kvantifikatorom.Pretpostavimo da bikondicional vrijedi za P i Q. Treba pokazati da onvrijedi i za recenice koje možemo dobiti po pravilima tvorbe.

I. Negacija. (L-D) Pretpostavimo hM (:P ) = >. Treba dokazati daM ² :P . Ako hM (:P ) = >, onda hM (P ) = ? po definiciji h.Buduci da po hipotezi indukcije P zadovoljava bikondicional, izneistinitosti P , proizlazi M 2 P . Po definiciji negacije, M ² :PTime je dokazan "samo ako" smjer. (D-L) Pretpostavimo M ² :P .Treba dokazati da hM (:P ) = >. Po definiciji zadovoljavanja, izpretpostavke proizlazi M 2 P . Buduci da po hipotezi indukcije Pzadovoljava bikondicional, iz M 2 P , proizlazi hM (P ) = ?. Podefiniciji funkcije dodjeljivanja istinitosnih vrijednosti, dobivamohM (:P ) = >, do cega smo i tebali doci.

II. Konjunkcija. (L-D) Pretpostavimo hM (P ^ Q) = >. Trebadokazati da M ² P ^Q. Ako hM (P ^Q) = >, onda hM (P ) = > ihM (Q) = > po definiciji h. Buduci da po hipotezi indukcije P i Qzadovoljavaju bikondicional, dobivamo M ² P . i M ² Q. Podefiniciji zadovoljavanja, M ² P ^ Q:Time je dokazan "samoako" smjer. (D-L) Pretpostavimo M ² P ^Q.. Treba dokazati dahM (P ^ Q) = >. Po definiciji zadovoljavanja, iz pretpostavkekondicionalnog dokaza proizlazi . M ² P i M ² Q.:Buduci da pohipotezi indukcije P i Q zadovoljavaju bikondicional, vrijedi da.hM (P ) = > i hM (Q) = > Po definiciji funkcije dodjeljivanjaistinitosnih vrijednosti, dobivamo hM (P ^Q) = >, do cega smo itebali doci.

III.Ostali slucajevi prepušteni su citatelju.2. Neka je h proizvoljno dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik prvoga

reda bez funkcijskih simbola. Konstruirajmo strukturu prvoga reda, MH nasljedeci nacin. Domena: domena za MH je skup individualnih konstantijezika o kojem je rijec. Neka je R binarni relacijski simbol cija je ekstenzija


definirana ovako:

f< c; d >j h(R(c; d)) = >g

Na kraju, interpretirajmo svaku individualnu konstantu tako da ona imenujesebe (npr. ako je a individualna konstanta jezika pod razmatranjem, ondaMH(a) = a).(a) Pokažite da za svaku recenicu, S koja ne sadrži kvantifikatore ili simbol

identiteta vrijedi:


Dokaz. U osnovnom slucaju, za atomarne recenice vrijediMH ² R(c1; c2) ako i samo ako h(R(c1; c2)) = > (gdje su c1 i c2 imenaiz jezika). Naime, po definiciji zadovoljavanja, MH ² R(c1; c2)[g∅] znacihMH(c1);MH(c2)i 2 MH(R), a hc1; c2i. je u ekstenziji od R upravoonda kada je R(c1; c2) istinito. U induktivnom koraku, pretpostavimo dabikondicional vrijedi za P i Q. Proucimo slucaj kondicionala. Trebamodokazati MH ² (P ! Q) akko h(P ! Q) = >. (L-D) PretpostavimoMH ² (P ! Q). Po definiciji zadovoljavanja, ili MH 2 P ili MH ² Q.Po hipotezi indukcije vrijedi h(P ) = ? ili h(Q) = >. Po definiciji za h,tada vrijedi h(P ! Q) = >. (D-L) Pretpostavimo .h(P ! Q) = >.Tada .h(P ) = ? ili h(Q) = >. Po hipotezi indukcije, MH 2 P iliMH ² Q. A po definiciji zadovoljavanja, MH ² (P ! Q) etc.

(b) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na recenice koje sadržesimbol identiteta. Dokaz. Neka h(b = b) = ?. Buduci da ekstenzijuod = držimo fiksiranom u svim interpretacijama za slucaj kada su istitermini na obje strane, dobivamo MH ² b = b.

(c) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na recenice koje sadržeegzistencijalni kvantifikator. Dokaz. Razmotrimo h(9x9yR(x; y)) = ?.Ako je ekstenzija od R 6= ;, onda MH ² 9x9yR(x; y) ali nema zaprekeda h(9x9yR(x; y)) = ?:Ako R = ;,.onda MH 2 9x9yR(x; y) ali nemazapreke da h(9x9yR(x; y)) = >:

3. Ispišite konstante-svjedoke za sljedece isf-e. Simbol konstante a preuzet jeiz pocetnog jezika L.(a) V eciOd(a; x)

(b) V eciOd(c1; x) gdje je c1 nova konstanta iz L1(c) V eciOd(c2; x) gdje je c2 nova konstanta iz L2

4. Pokrenite Tarski’s World i otvorite Henkin’s Sentences. Neka su konstantec i d skraceni zapis konstanti-svjedoka cCube(x) i cDodec(x)∧Small(x), timeredom.(a) Pokažite da su sve te recenice clanovi teorije H . Odredite oblik svakog

aksioma po definiciji za H .(b) Po prethodnom i po tvrdnji o postojanju interpertacije za

konstante-svjedoke koja cini sve recenice iz H istinitima, bilo koji svijetu kojemu se konstante c i d ne koriste kao imena može se pretvoriti


u svijet u kojemu su H recenice istinite. Otvorite Henkin’s World iimenujte tijela s c i d tako da sve recenice postanu istinite.

5. Neka T sadrži sljedeci skup recenica,




(c) Dajte neformalne dokaze da su sve recenice iz prethodnog zadatka (5. b)tautološke posljedice od T [H .


H1 = f9x(Kocka(x) ^ Maleno(x)) ! (Kocka(cKocka(x)∧Maleno(x)) ^Maleno(cKocka(x)∧Maleno(x)));9yDodekaedar(y) ! Dodekaedar(cDodekaedar(y))g

1. Neka je T teorija formulirana u jeziku L. Primjenite dokazanu tvrdnju"Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji nacin interpretacije svihkonstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, sverecenice iz H budu istinite," da biste pokazali da vrijedi sljedece: ako je Siz L posljedica prvoga reda od T [H , onda je ona posljedica prvoga rada iod T .

2. Pokažite da za svaki simbol konstante c iz LH postoji razlicita konstantasvjedok d takva da je c = d tautološka posljedica od H:Rješenje: Henkinovateorija sadrži i sljedece recenice H4 c = c H2. c = c ! 9x(x = c), H3.9x(x = c) ! cx=c = c.

Poglavlje 23Löwenheim-Skolemov teorem

Struktura dobivena Henkinovom konstrukcijom kao univerzalni model. Pril-icno iznenadujuca cinjenica proizlazi iz postojanja strukture MH . Izvorni jezikmože govoriti o bilo cemu; o fizickim predmetima, brojevima, skupovima ili onecemu drugom. No Henkinova konstrukcija daje za bilo koji jezik prvoga reda- strukturu koja ce ciniti istinitima sve recenice iz izvornog jezika koje su bileistinite pod namjeravanom interpretacijom. Takva struktura ima elemente kojisu posve razliciti od elemenata o kojima je pod namjeravanom interpretacijombila rijec. U strukturi MH rijec je o klasama ekvivalencije koje sadrže simbolekonstanti.

Primjer 23.1 Razmotrimo jezik L s jednim predikatom, Kocka i jednim imenom, a.Namjeravana interpretacija obuhvaca fizicke predmete. Po Henkinovoj konstrukciji dobitcemo strukturuMH u kojoj je interpretacija za ime a klasa ekvivalencije [a]´. Taj skupsadrži individualne konstante: a, cx=a, cx=cx=a

, itd. možda i cKocka(x), a ako da, ondai cx=cKocka(x)

itd.

23.1 Potrebni dopunski pojmoviPrebrojiv skup. Oznacimo s jaj kantorovsku velicinom skupa a. Dva skupaa i b imaju istu kantorovsku velicinu akko se njihovi clanovi mogu uzajamnopridružiti po nacelu 1-za-1. Preciznije, potrebno je da postoji jedan-za-jedanfunkcija f s domenom a i rangom b. Svaki element iz bit ce obuvacen takvimpovezivanjem jer a = fxj9y(f(x) = y)g. Jednako tako, svaki element iz b bit ceobuhvacen s takvim pridruživanjem jer b = fyj9x(f(x) = y)g. Takvo povezi-vanje bit ce jedinstveno jer f(x) = f(y) onda x = y:Pojam velicine je jednos-tavan kada je rijec o skupovima s konacnim brojem elemenata. Na osnovi kan-torovske velicine možemo definirati pojam prebrojivosti. Najmanji beskonacniskupovi su oni koji imaju kantorovsku velicinu koja je jednaka velicini skupaprirodnih brojeva, to jest skupovi koji se mogu postaviti u koresponedencijujedan-za-jedan sa skupom prirodnih brojeva. Skup je prebrojiv ako je ili konacanili mu je velicina jednaka kantorovskoj velicini skupa prirodnih brojeva. Ako suskupovi beskonacni, pojam velicine postaje profinjeniji. Cantor je pokazao da jepartitivni skup nekog skupa uvijek veci od tog skupa, j}bj > jbj.

248

23.1 Potrebni dopunski pojmovi 249

a b

a⊆ba≠b|a|=|b|

Ako su a i b skupovi s beskonacno mnogo elemenata i a je podskup od b, ondakatorovska velicina "dijela", tj. a može biti jednaka velicini "cjeline", tj. b.

Teorem 56 Za svaki skup b, j}bj > jbj.

Dokaz 42 Poslužimo se metodom indirektnog dokaza. Pretpostavimo (*) j}bj =jbj. Po definiciji za kantorovsku velicinu, onda postoji injektivna funkcija f s

Dokaz 43 domenom }b i rangom b. Svi elementi od }b podskupovi su od b,zato možemo s pravom pitati za svaki x 2 b je li slucaj da on pripada skupukojemu je pridružen po funkciji f , drugim rijecima, ako x = f(y), je li tadax 2 y. Razmotrimo skup c = fx j 9y(x = f(y) ^ x =2 y)g, skup svih elemenataod b koji nisu elementi onog podskupa od b kojemu su pridruženi po funkciji f .Po pretpostavci (*) postoji f(c). Dodjelimo mu ime u = f(c). Mora biti slucajda ili (i) u 2 c ili (ii) u =2 c. ispitajmo slucajeve. (i) Ako u 2 c, onda u morazadovoljavati uvjet 9y(x = f(y) ^ x =2 y). Dobivamo 9y(u = f(y) ^ u =2y). Buduci da je f injektivna funkcija, nijedan drugi skup osim c ne može bitiargument funkcije f s vrijednošcu c. Zato mora vrijediti u =2 c. Kontradikcija.(ii) Pretpostavimo u =2 c. Tada u ispunjava uvjet 9y(x = f(y) ^ x =2 y) jeru = f(c). Zato, u 2 c. Kontradikcija.

Zadatak 145 Pokažite da parnih brojeva ima jednako mnogo koliko i svih prirodnihbrojeva:

jfx j x 2 N ^ 9y(y 2 N ^ x=2 = y)gj = jN j

250 Poglavlje 23 Löwenheim-Skolemov teorem

Postojanje modela s prebrojivom domenom pokazali su naprije Löwen-heim, za pojedinacne recenice, zatim Skolem, za prebrojivo beskonacne skupoverecenica. Njihovi su dokazi bili izradeni prije Gödelovog dokaza potpunosti, zatose izvorni dokazi razlikuju od onoga ovdje koji se oslanja na teorem potpunostiza logiku prvoga reda.

Teorem 57 (Löwenheim-Skolemov teorem) Neka je T skup recenica u pre-brojivom jeziku L. Tada vrijedi da ako neka struktura prvoga reda zadovoljavaT , onda i neka struktura cija je domena prebrojiva zadovoljava T .

Dokaz 44 Po teoremu pouzdanosti, ako je T zadovoljiv, onda je T formalnokonzistentan.Naime, po teoremu pouzdanosti, ako T ` S, onda je S posljedicaprvog reda od T . Neka je S - ?. Dobivamo da ako (i) je T formalno inkonzis-tentan, onda (ii) je T nezadovoljiv. (ii) vrijedi po definiciji posljedice prvogareda: svaka struktura koja zadovoljava T zadovoljava i ?, ali nijedna struk-tura ne zadovoljava ?, pa zato prethodno vrijedi samo ako nijedna struktura nezadovoljava T . Konverzija daje: ako je T zadovoljiv, onda je T formalno konzis-tentan.Po teoremu potpunosti, ako je T formalno konzistentan, onda je istinit unekoj strukturi prvoga reda koja ima oblik Henkinove strukture MH , za nekododjeljivanje istinitosnih vrijednosti h za LH . Pretpostavimo da je izvorni jezikL prebrojiv. U Mh ne može biti više elemenata nego što ima u LH jer su elementiu MH klase ekvivalencije simbola konstanti u LH . Svaki simbol konstanti iz LH

možemo zapisati koristeci simbol c i podznakove koji koriste samo simbole iz L,iako moramo imati mogucnost da podznakove ponavljamo neograniceno mnogoputa. Ako simbole iz L možemo nanizati u jedan popis, onda taj popis možemoiskoristiti da damo poredak svim konstantama koje svjedoce iz jezika LH . Na tajje nacin moguce pokazati prebrojivost domene strukture MH .

23.1 Potrebni dopunski pojmovi 251

Zadatak 146 Neka su jedini nelogicki simboli u jeziku L: Kocka i a. I neka jeT = f9xKocka(x)g. Postavimo simbole u abecedni poredak: a, Kocka, i zapocnimopopisivanje konstanti koje svjedoce.

Nelogicki simboli Konstante u LH

a a cx=a cx=cx=a:::

Kocka cKocka(x) cx=cKocka(x):::

Važno je uociti da je dvostruki beskonacni poredak prebrojiv u nacinu brojenja koji"vijuga uzduž dijagonala":

! . ! . :::# % . %% . %# %%

Uocimo da je Löwenheim-Skolemov teorem iskazan u semantickim termin-ima. On govori o strukturama koje zadovoljavaju neki skup recenica T . AkoT ima model, onda T ima model s prebrojivom domenom. U dokazu teorema


oslonili smo se na posredni put: na put u kojemu se oslanjamo na teoreme oodnosu sintaktickih i semantickih pojmova. Izvorni dokaz nije išao tim putem.

23.2 Skolemov paradoksLöwenheim-Skolemov teorem može izgledati zagonetnim. Razmotrimo na prim-jer jednu aksiomatizaciju ZFC teorije skupova. Po aksiomu beskonacnosti, pos-toji beskonacan skup. Po aksiomu partitivnog skupa, postoji partitivni skupbeskonacnog skupa. Kantorovska velicina ovog drugog mora biti veca od velicineprvoga, beskonacnog skupa. Zato partitivni skup beskonacnog skupa nije prebro-jiv. No po Löwenheim-Skolemovom teoremu aksiomi ZFC ako su zadovoljeni unekoj strukturi prvoga reda, onda su zadovoljeni i u nekoj strukturi cija je domenaprebrojiva.

Primjer 23.2 Pogledajmo što bi u prebrojivoj strukturi MH bila interpretacija zapartitivni skup beskonacnog skupa. Prebrojiva domena strukture MH za elemente imaklase ekvivalencije simbola za konstante. Podsjetimo se. Definirali smo binarnu relaciju´ na domeni koja sadrži simbole za konstante iz LH na sljedeci nacin: c ´ d ako i samoako h(c = d) = > Neka su b i c elementi te domene i neka oni zadovoljavaju isf-u ’xje partitivni skup od y i y je beskonacan skup’, tj. neka vrijedi b = }c i jcj = jN j .Što su "elementi" od b u Henkinovoj strukturi? Klase ekvivalencije [z]´ koje zadovol-javaju isf-u ’z µ b’ u strukturi MH . Što su "elementi" od b? Opet klase ekvivalencijesimbola za konstante. Svojstva elemenata u domeni od MH ne moraju korespondiratisvojstvima pod ocekivanom interpretacijom. Naime, "elementi" ne moraju biti elementiklase ekvivalencije. Situacija je sljedeca. Neka MH zadovoljava a 2 b. Tada vrijediD[[a]]

MH

g; ; [[b]]MH

g;

E2 MH(2). No pri tome [[a]]MH

g; =2 [[b]]MH

g; jer su elementi domeneskupovi konstanti, a nijedan medu njima nije skup koji sadrži neki skup konstanti.

Lekcija koja se može nauciti iz primjene Löwenheim-Skolemovog teoremana ZFC teoriju skupova sastoji se u tome da jezik prvoga reda kojega ta teorijakoristi nije dovoljno bogat da iskaže razlicite pojmove koje prešutno pretpostavl-jamo kada razmišljamo o namjeravanoj domeni teorije skupova. Kljucni pojamkojega ne možemo adekvatno iskazati je pojam proizvoljnog podskupa nekogskupa, ili, što se svodi na isto, pojam partitivnog skupa nekog skupa. Kadadefiniramo partitivni skup u jeziku prvoga reda, tada ne možemo iskljuciti onestrukture, poput MH , u kojima "partitivni skup" znaci nešto sasvim razlicito odnamjeravnog pojma. Slicno, ali u puno jednostavnijem obliku, aksiomi za oblikeiz Tarski’s World 33 ne mogu iskljuciti strukture u kojima Kocka, Tetraedar,

33 Aksiom1. ¬∃x(Kocka(x) ∧ Tetraedar(x))Aksiom 2. ¬∃x(Kocka(x) ∧Dodekaedar(x))Aksiom 3. ¬∃x(Tetraedar(x) ∧Dodekaedar(x))Aksiom 5. ∀x∀y((Kocka(x) ∧Kocka(y))→ IstiOblik(x, y))Aksiom6. ∀x∀y((Tetraedar(x) ∧ Tetraedar(y)) → IstiOblik(x, y)) Aksiom7.

∀x∀y((Dodekaedar(x) ∧Dodekaedar(y))→ IstiOblik(x, y))Aksiom 8. ∀x∀y((IstiOblik(x, y) ∧ Kocka(x)) → Kocka(y)) Aksiom 9.

∀x∀y((IstiOblik(x, y) ∧ Tetraedra(x))→ Tetraedar(y))

23.3 Teorem kompaktnosti 253

Dodekaedar i IstiOblik znace ’maleno’, ’srednje veliko’, ’veliko’ i ’jednakevelicine’.

23.3 Teorem kompaktnostiNeposredna posljedica teorema potpunosti jest teorem kompaktnosti prvoga reda.

Teorem 58 (Teorem kompaktnosti za logiku prvoga reda) Neka je T skup recenicaiz jezika prvoga reda L. Ako je svaki konacni podskup od T istinit u nekoj struk-turi prvoga reda, onda postoji struktura prvoga redaM koja cini sve recenice izM istinitima.

Dokaz 45 Ovaj teorem prizlazi iz teorema potpunosti zahvaljujuci cinjenici dasu dokazi u F konacni i zato mogu koristiti samo konacan broj premisa. Dokazi-vat cemo kontrapoziciju teorema (ako ne vrijedi desna strana, onda ne vrijedi nilijeva strana koncionala). Ako T nije zadovoljiv, onda, po teoremu potpunosti,postoji dokaz d za ? pomocu recenica iz T . Taj dokaz može koristiti samo kon-acan broj premisa iz T . Oznacimo taj podskup od T koji se koristi u dokazu za ds d(T ). Taj podskup d(T ) nije zadovoljiv (po pouzdanosti). Kontrapozicija dajeteorem kompaktnosti. U dokazu smo ustanovili da :Zadovljiv(T ) ! 9a(a µT ^ jaj < jN j ^ :Zadovoljiv(a)):. Kontrapozicija daje teorem kompaktnosti:8a[((a µ T ^ jaj < jN j) ! Zadovoljiv(a)) ! Zadovoljiv(T )].

I ovaj teorem poput Löwenheim-Skolemovog teorema pokazuje važna ogranicenjakoja se postavljaju na ona polja znacenja koja može ocrtati jezik logike prvogareda. Tako se može pokazati da nije moguce izabrati aksiome u jeziku logikeprvoga reda koji bi mogli okarakterizirati strukturu prirodnih brojeva.

Giuseppe Peano (1858-1932) dao jednu aksiomatizaciju aritmetike, koja seprihvatila kao adekvatna formalizacija aritmetike.

1. 8x8y(x+ 1 = y + 1 ! x = y) - najviše jedan sljedbenik2. 8x(x+ 1 6= 0) - 0 nije sljedbenik3. 0 + 1 = 1

4. 8x(x+ 0 = x)

5. 8x8y[x+ (y + 1) = (x+ y) + 1] - definicija zbrajanja (4,5)6. 8x(x£ 0 = 0)

7.8x8y[x£ (y + 1) = (x£ y) + x] - definicija množenja (6,7)K tome PA ima aksiomsku shemu koja izražava princip matematicke induk-

cije za prirodne brojeve (aksiomska shema generira beskonacan broj aksiomakoji su njezine instancije).

Aksiom 10. ∀x∀y((IstiOblik(x, y) ∧Dodekaedar(x))→ Dodekaedar(y))


8. [Q(0) ^ 8x(Q(x) ! Q(x+ 1))] ! 8xQ(x)

Teorem 59 (Nestandardni modeli aritmetike) Neka je L jezik Peanove arit-metike. Tada postoji struktura prvoga redaM takva da: 1. M u svojoj domenisadrži sve prirodne brojeve, 2. M pored toga sadrži u domeni i takve elementekoji su veci od bilo kojega prirodnog broja, 3. M cini istinitima upravo onerecenice iz L koje su inace istinite za prirodne brojeve.

Dokaz 46 U jeziku PA e nalazimo simbol za odnos ’biti veci od’, ali njegalako možemo definirati: x > y akko 9z(z 6= 0 ^ x = y + z). Kazati da je nekielement n iz M veci od bilo kojeg prirodnog broja znaci kazati da n zadovoljavasve isf-e:

x > 0

x > 1

x > 1 + 1

x > (1 + 1) + 1

...

Neka se T sastoji od svih recenica iz L koje iskazuju istinite tvrdnje o prirodnimbrojevima. Neka je n novi simbol za konstantu i neka je S skup koji obuhvacasljedece recenice:

n > 0

n > 1

n > 1 + 1

n > (1 + 1) + 1

...

Neka T 0 = T [ S. Pod namjeravanom interpretacijom za jezik L, teorija T 0 nijekonzistentna (jer ne postoji prirodni broj koji je veci od svih brojeva 0; 1; 2; :::).No, kada je rijec o posljedici prvoga reda, T 0 je posve konzistentna teorija, štomožemo uociti ako primjenimo teorem kompaktnosti.

Za primjeniti kompaktnost, najprije moramo uvidjeti da je svaki konacnipodskup T0 od T 0 istinit u nekoj strukturi prvoga reda. Takva ce teorija sadržavatirazlicite recenice iz T , koje su sve istinite za prirodne brojeve, te uz to i konacanbroj recenica ciji je oblik n > k gdje je k skraceni zapis za

(((1 + 1) + 1) + :::+ 1)| {z }k

23.3 Teorem kompaktnosti 255

Sve takve recenice (ciji je oblik n > k) možemo uciniti istinitima za prirodnebrojeve ako interpretiramo simbol za konstantu n kao ime za neki broj m kojiveci od najveceg k koji se javlja u T0 u recenici oblika n > k. Na taj nacin, poteoremu kompaktnosti, cijeli skup T 0 je istinit u nekoj strukturi prvoga reda M .

Aksiomi iz T osiguravaju da M sadrži neku kopiju prirodnih brojeva (amožda i prirodne brojeve same, ako uzmemo broj k kao interpretaciju za brojkuk). Ali struktura M takoder sadrži i "broj" koji je veci od svih njih.

Ovaj rezultat ne trebamo shvatiti kao zbunjujuci ili zagonetan rezultat. Onošto nam on pokazuje je cinjenica da aritmeticki aksiomi iskazani u jeziku logikeprvoga reda ne mogu na jednoznacan nacin okarakterizirati namjeravano po-drucje rasprave. S aksiomima iskazanim u jeziku prvoga reda ne možemo iskljucitipostojanje "prirodnih brojeva" (tj. clanova domene) koji su beskonacno udaljeniod nule. U jeziku prvog reda ne možemo napraviti razlikovanje izmedu svo-jstva konacne udaljenosti od nule (koje imaju pravi prirodni brojevi) i svojstvabeskonacne udaljenosti od nule (koje imaju elementi poput n iz gornjeg dokaza).

Promotrimo jednostavniji primjer u kojemu koristimo jezik prvoga reda dabismo govorili o srodnickim odnosima. Ako taj jezik ima predikat koji znaci’je predak od’, onda, ma koliko se trudili da njegovo znacenje zahvatimo s ak-siomima, necemo uspjeti u tome. Prešutno je u pojmu ’predak’ prisutan i zahtjevda broj posrednih srodnika (izmedu pretka i potomka) bude konacan. No, buducida nema utvrdene, konacne granice za "udaljenost" pretka, teorem kompaktnostijamci postojanje struktura u kojima ce neki pretci biti beskonacno udaljeni odpotomaka.

Zadatak 147 Koliko je velika najveca struktura prvoga reda koja cini istinitima sljedecerecenice:1. 8x8y8z[(V e¶ciOd(x; y)^V e¶ciOd(y; z)) ! V e¶ciOd(x; z)], 2. 8x8y[V e¶ciOd(x; y) !:V e¶ciOd(y; x)], 3. 8x:V e¶ciOd(x; x), 4. 8x8y[V e¶ciOd(x; y)_V e¶ciOd(y; x)_x = y],5. 8y9512xV e¶ciOd(x; y)

Odgovor 50 Po recenicama 1-4, predmeti u domeni moraju biti u lineranomporetku, tj. kao da su poredani na crti, posebno 4. garantira da nema jednakovelikih predmeta. Za svaki od predmeta vrijedi (po 5.) da ima najviše 12 pred-meta koji su od njega veci. Iz toga (da nema dva predmeta na istom mjestu uporetku, po 4.i da prethodnih ima najviše 12, po 5) slijedi da je broj predmetakonacan i da postoji prvi predmet. Iza prvoga predmeta može biti najviše 12drugih. Dakle, najveca domena može imati 13 predmeta.

Zadatak 148 Pokažite da bilo koja struktura koja cini istinitima donje recenice morabiti beskonacna! 1. 8x8y8z[(V e¶ciOd(x; y) ^ V e¶ciOd(y; z)) ! V e¶ciOd(x; z)], 2.8x8y[V e¶ciOd(x; y) ! :V e¶ciOd(y; x)], 3. 8x:V e¶ciOd(x; x), 4. 8x8y[V e¶ciOd(x; y)_V e¶ciOd(y; x) _ x = y], 5. 8y9xV e¶ciOd(x; y).


Odgovor 51 Kao i prethodnom zadatku, zamišljamo da su predmeti poredanina jednoj crti po velicini, od manjih prema vecem. Kada bi struktura bila kon-acna, onda bi neki predmet bio posljednji, tj. najveci. Neka je to predmet z. Nopo 5. postoji predmet koji je veci od z. Buduci da je z najveci onda z morabiti veci od samoga sebe, ali to je iskljuceno s 3. Dakle, struktura mora bitibeskonacna.

Zadatak 149 Neka je T skup recenica prvoga reda. Pretpostavimo da za bilo kojiprirodni broj n, postoji struktura cija je domena veca od n koja zadovoljava T . Prim-ijenite teorem kompaktnosti kako biste pokazali da postoji struktura s beskonacnomdomenom koja zadovoljava T !

Odgovor 52 Neka T sadrži beskonacni broj recenice koje kažu ’postoji baremn predmeta’, za svaki prirodni broj n. Npr. neka T obuhvaca 8y9xV e¶ciOd(x; y);8y952xV e¶ciOd(x; y); 8y953xV e¶ciOd(x; y);...; 8y95nxV e¶ciOd(x; y); ...Uzmimobilo koji podskup od T , uzmimo recenicu s najvecim numerickim kvantifikatorom9m. Taj je podskup, po pretpostavci iz zadatka, zadovoljen u strukturi koja imaviše od m predmeta. Kako T sadrži beskonacno mnogo recenica s rastucim nu-merickim kvantifikatorom, on može biti zadovoljen samo na beskonacnoj domeni.Postojanje takve strukture zagarantirano je po teoremu kompaktnosti, jer svakipodskup ima od T ima svoj model (strukturu koja ga zadovoljava).

Zadatak 150 Primjenite teorem kompaktnosti da biste pokazali da se u jeziku pr-voga reda u kojem se javljaju binarni predikati Roditelj(x; y) i Predak(x; y) ne možedati odgovarajuci, bilo konacni bilo beskonacni, skup postulata znacenja koji bi mogaookarakterizirati strukture prvoga reda koje prikazuju logicki moguce okolnosti.

Odgovor 53 Neka T sadrži beskonacni broj recenice koje kažu ’postoji baremn predmeta’, za svaki prirodni broj n. Npr. neka T obuhvaca 8y9xV e¶ciOd(x; y);8y952xV e¶ciOd(x; y); 8y953xV e¶ciOd(x; y);...; 8y95nxV e¶ciOd(x; y); ...Uzmimobilo koji podskup od T , uzmimo recenicu s najvecim numerickim kvantifikatorom9m. Taj je podskup, po pretpostavci iz zadatka, zadovoljen u strukturi koja imaviše od m predmeta. Kako T sadrži beskonacno mnogo recenica s rastucim nu-merickim kvantifikatorom, on može biti zadovoljen samo na beskonacnoj domeni.Postojanje takve strukture zagarantirano je po teoremu kompaktnosti, jer svakipodskup ima od T ima svoj model (strukturu koja ga zadovoljava).

Poglavlje 24Gödelov teorem nepotpunosti

Teorem o egzistenciji nestandardnih modela za aritmetiku pokazuje svojevrsnunepotpunost logike prvoga reda. Mnogo temeljniji oblik nepotpunosti otkrio jeGödel nekoliko godina nakon što je dokazao teorem potpunosti. Taj slavni rezul-tat poznat je pod nazivom Gödelov teorem nepotpunosti. Teorem je dokazan uradu O formalno neodlucivim stavcima Principia Mathematica i srodnih sustavahttp://www.vusst.hr/~logika/undecidable/godel.htm, objavljenom 1931 u Monat-shefte für Mathematik und Physik 38: 173-198.

Zabunu može izazvati cinjenica da je Gödel najprije dokazao teorem pot-punosti, a zatim teorem nepotpunosti. O cemu je rijec, jesu li to kontradiktornirezultati? Zapravo rijec je o dvije vrste "potpunosti". Podsjetimo se da teorempotpunosti pokazuje da formalna pravila dokaza mogu na odgovarajuci nacinzahvatiti odnos logicke posljedice prvoga reda. Za razliku od toga, teorem nepot-punosti pretpostavlja pojam formalne potpunosti. Skup T nazivamo formalnopotpunim ako za bilo koju recenicu S iz jezika pod razmatranjem vrijedi iliT ` S ili T ` :S. Ovo je jaki zahtjev, jer on kaže da je skup recenica T tolikosnažan da može dati odgovor na svako pitanje koje se može postaviti za jezik podrazmatranjem. (Na osnovi teorema pouzdanosti i teorema potupnosti, znamo daje T formalno potpun skup akko je ili S ili :S posljedica prvoga reda od T ).

Pocetkom dvadesetog stoljeca, logicari su analizirali matematiku promatra-juci aksiomatske teorije poput Peanove aritmetike PA i formalne sustave dokazi-vanja, poput F . Cilj je bio doci do formalno potpune aksiomatizacije aritmetike,koja ce omoguciti da se dokažu sve i samo one recenice koje su istinite o prirod-nim brojevima. To je bio dio ambicioznog projekta poznatog kao Hilbertovprogram, nazvan tako po svom glavnom zastupniku, Davidu Hilbertu. Svi važniteoremi aritmetike mogli su se dokazati poomocu relativno jednostavne aksioma-tizacije, poput PA. Štoviše, logicar M. Pressburger pokazao je njezinu ogranicenupotpunost: sve se istinite recenice u jeziku koji ne koristi operaciju množenjamogu dokazati pomocu odgovarajucih Peanovih aksioma.

Gödelov teorem nepotpunosti pokazao je da je takav napredak u smjeru pot-punosti prividan, te da je cilj Hilbertovog programa nedostižan. Poseban slucajteorema nepotpunosti možemo iskazati na sljedeci nacin:

Teorem 60 (Gödelov teorem nepotpunosti za PA) Peanova aritmetika nije for-malno potpuna.

Dokaz ovog teorema, koji ce biti ocrtan kasnije, pokazuje nam da je dosegovog rezultata mnogo širi, to jest, da se ne odnosi samo na Peanovu aksiomati-zaciju ili na sustav dokazivanja F . Zapravo, teorem nepotpunosti pokazuje da

257

258 Poglavlje 24 Gödelov teorem nepotpunosti

niti jedno "prihvatljivo" proširenje bilo aksiomatizacije bilo formalnog sustavadokazivanja ne može ostvariti formalno potpunu aritmeticku teoriju (znacenje"prihvatljivosti" odrediti cemo kasnije).

24.1 KodiranjePokušat cemo pratiti osnovu ideju dokaza. Kljucnu ulogu ima uvid u cinjenicu dase bilo koji sustav simbola može predstaviti u nekoj shemi kodiranja. na primjer,Morseov kod, s nizom crtica i tockica, ili jedinica i nula, može predstaviti nekisustav simbola. S pažljivo izradenim sustavom kodiranja, bilo koji niz simbolamože biti predstavljen kao niz jedinica i nula. No, taj niz jedinica i nula možemoshvatiti i kao binarni zapis nekog broja. Zato prirodne brojeve možemo iskoristitiu još jednoj ulozi - kao kodove za nizova simbola.

Primjer 24.1

Logicki i pomocni simboli 0 f : _ 8 ( )Pridruženi broj 1 3 5 7 9 11 13Varijable s oznakom tipa xn

Pridruženi broj pn gdje je p primbroj > 13Slog pridruženih prirodnih brojeva n1; n2; :::; nk

Kod 2n13n2 :::pnk

k gdje je pk k-ti prim broj (po velicini)

Primjer 24.2

8x1:(fx1= 0)Primjena definicija 8x1:8x2(:x2(fx1) _ x2(0))

Kod 29:317:55:79:11172

:1311:175:19172

:2311:293:3117:3713:417:43172

:4711:531:5713:5913

24.2 ReprezentacijaPrvo što je Gödel pokazao bila je mogucnost predstavljanja svih važnih sintak-tickih pojmova (logike prvoga reda) u jeziku Peanove aritmetike. Na primjer,sljedeci predikati se mogu predstaviti:

n je kod isf-en je kod recenicen je kod aksioma Peanove aritmetiken i m su kodovi recenica od kojih druga slijedi iz prve po prim-

jeni pravila ^ Elimn je kod dokaza u Fn je kod dokaza za recenicu ciji je kod m

Kada kažemo da se ti predikati mogu predstaviti u Peanovoj aritmetici, ondatvrdimo nešto što je prilicno jako: tvrdimo da nam aksiomi i pravila dokaza

24.2 Reprezentacija 259

omogucuju da dokažemo sve i samo one instancijacije tih predikata koje su is-tinite. Tako ako je p dokaz za S i n i m su njihovi kodovi, onda ce formalnaverzija posljednje recenice na našem popisu (n je kod dokaza za recenicu ciji jekod m) biti posljedica prvoga reda Peanovih aksioma.

Primjer 24.3 Predikat ’x je kod ispravno sastavljene formule’ može se predstavitiu sustavu PA akko postoji predikat ¼ takav da za svaki n vrijedi da je n kod ispravnosastavljene formule ako i samo ako PA ` ¼(dne), gdje dne brojka za n iskazana u jezikuPA.

U izvornom radu mogucnost reprezentacije iskazana je sljedecimteoremom:

Stavak V. Za svaku rekurzivnu relaciju R(x1:::xn) postoji nekan-clana oznaka relacije r (sa slobodnim varijablama u1:::un) tako dasve n-torke brojeva (x1; x2; ::; xn) vrijedi:

R(x1:::xn) ! Bew

·Sb

µr

u1:::unZ(x1):::Z(xn)

¶¸

:R(x1:::xn) ! Bew

·Neg Sb

µr

u1:::unZ(x1):::Z(xn)

¶¸

Mnogo pažljivog rada bilo je potrebno da bi se pokazalo da se ovi pojmovimogu predstaviti u Peanovoj aritmetici.


Složenost konstrukcije koja omogucuje predstavljanje pokazuje slika kojarašclanjuje samo jednu od tri korijena za definiciju pojma neposredneposljedice u izvornom Gödelovom tekstu.

24.2.1 Reprezentacija na jednom primjeruU Peanovoj aritmetici možemo dokazati aritmeticke istine.

Gödel definira pojam aitmeticke rekurzivne funkcije na sljedeci nacin:

Aritmeticka funkcija Á zove se rekurzivna ako postoji konacanniz funkcija Á1; Á2; ::; Án koji završava s Á i ima svojstvo da je svakafunkcija u nizu ili rekurzivno definirana iz prethodnih dviju ili nastaje

24.2 Reprezentacija 261

iz ma koje prethodne uvrštavanjem ili je, konacno, neka konstanta ilifunkcija sljedbenika x+ 1.

Rekurzivno definiranje opisuje kao definiranje u kojemu se neka n-mjesnafunkcija f definira pomocu drugih dviju funkcija g i h; gdje je g funkcija s n¡1mjesta i pomocu nje se definira vrijednost funkcije f kada joj je prvi argument 0,a h je funkcija s n + 1 mjesta i njezini su prva dva argumenta prethodnik prvogargumenta funkcije f i vrijednost funkcije f za taj argument. Pojednostavljeno:u ovom se postupku definiranja odreduje "ponašanje" na pocetnoj tocki nekogniza i kod proizvoljne tocke pozivanjem na "ponašanje" njezinog neposrednogprethodnika.

...za aritmeticku funkciju Á(x1; x2; :::; xn) kaže se da je rekurzivnodefinirana iz aritmetickih funkcijaÃ(x1; x2; :::; xn−1) i ¹(x1; x2; :::; xn+1)ako za sve x2; :::; xn; k vrijedi ovo:

Á(0; x2; :::; xn) = Ã(x2; :::; xn)Á(k + 1; x2; :::; xn) = ¹(k; Á(k; x2; :::; xn); x2; :::; xn)

Primjer 24.4 Niz rekurzivno definiranih funkcija:

x+ 0 = xx+ (y + 1) = (x+ y) + 1x ¢ 0 = 0x ¢ (y + 1) = (x ¢ y) + xx0 = 1xy+1 = xy ¢ x0! = 1(x+ 1)! = x! ¢ (x+ 1)

Moguce je saciniti predikate koji ce iskazivati neko aritmeticko svojstvobrojeva oznacenih brojkom x i koji ce istodobno iskazivati neko svojstvo sin-taktickog objekta kodiranog brojkom x.

Primjer 24.5 Definicija

0Prx = 0(n+ 1)Prx = "y[y 5 x ^ Prim(y) ^ x=y ^ y > nPrx]

odreduje dvomjesnu funkciju nPrx koja za broj x dodjeluje n-ti po velicini prim brojsadržan u x. Neka je x = 24. Pogledajmo neke vrijednosti. Za n = 0, 0Pr24 = 0. Zan = 1, 1Pr24 je najmanji broj m koji zadovoljava sljedece uvjete (i) m je manji od ilijednak 24, (ii) m je prim-broj, (iii) 24 je djeljivo s m, (iv) m je veci od 0Pr24. Dakle,1Pr24 = 2. Dalje dobivamo 2Pr24 = 3. Još dalje, a zbog neispunjavanja uvjetadobivamo 3Pr24 = 0, 4Pr24 = 0, 5Pr24 = 0 itd..


Primjer 24.6 Definicija

l(x) = "y[y 5 x ^ yPrx > 0 ^ (y + 1)Prx = 0]

odreduje funkciju koja broju x dodjeljuje najmanji broj y takav da (i) y je manji od ilijednak x, (ii) yPrx je vece od 0 i (iii) (y+ 1)Prx = 0. Za x = 24 dobivamo l(24) = 2.

Primjer 24.7 Brojka

24 puta napisano fz }| {fff:::0 ne oznacava samo broj 24. Kad je rastavimo na

proste faktore, 2 ¢ 2 ¢ 2 ¢ 3, to jest 23 ¢ 31 vidimo da ona kodira term f0 . Funkcija l(x),koja, vidjeli smo, za 24 dodjeljuje 2, pokazuje od koliko je simbola sacinjen izraz kojegakodira x.

Gödel je na taj nacin uspio povezati dvije istine: aritmeticke istine kojevrijede kada se brojke prtumace kao oznake za brojeve i sintakticke istine kojevrijede kada se brojke protumace kao oznake jezicnih izraza. Omogucavanjecitanja istog teksta u dvjema uskladenim semantickim dimenzijama, aritmetickoji sintaktickoj, vjerojatno predstavlja jedan od vrhunaca logicke misli u citavojpovijesti.

Ne samo da isti lik može predstavljati i patku i zeca, vec i dvije price, jedna sazecom i druga s patkom, mogu biti ispricane istim tekstom i to tako da je neka

recenica iz teksta istinita u jednom tumacenju ako i samo ako je istinita udrugom tumacenju.

Ako pratimo gradnju 46 definicija vidjet cemo da se sve osim jedne mogu"spustiti" do elementarne razine: one su na kraju definirane pomocu funkcijesljedbenika ili neke konstante. A istinite tvrdnje o identicnosti i neidenticnostibrojaka mogu se dokazati.

Primjer 24.8

24.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema) 263

No za razliku od ostalih 45 pojmova koji su rekurzivni, 46. pojamDokazivu PAnije rekurzivan.

46.

Bew(x) $ 9y(yBx)

x je dokaziva formula.

24.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema)Drugi kljucni Gödelov uvid odnosi se na mogucnost tvorbe recenica koje govoreo samima sebi (pod nekom shemom kodiranja). Ta mogucnost poznata je podnazivom dijagonalne leme. Ta lema kaže da se za bilo koju isf-u P (x) s jednomslobodnom varijablom može pronaci broj n koji kodira recenicu P (n) koja tvrdida n zadovoljava P (x).

Lema 61 (Dijagonalna lema) Za bilo koju isf-uP (x) s jednom slobodnom var-ijablom može se pronaci broj n koji kodira recenicu koja tvrdi da n zadovoljavaP (x).

Dokaz 47 Oznacimo s kod funkciju koja recenicama pridružuje njezinu kodnubrojku.Sa sub(n;m) oznacimo binarnu numericku funkciju koja za kod n isf-e sjednom slobodnom varijablom P (x) i za neku brojku m ispostavlja kod recenicekoja nastaje instancijacijom svih pojava slobodne varijable x s brojkom m:

sub(kod(P (x));m) = kod(P (m)):

Instancirajmo P (x) sa sub(x; x). To jest, instancirajmo je. s kodom isf-e kojanastaje kada se isf ciji je kod x i koja ima jednu slobodnu varijablu instanciras vlastitim kodom. Neka je m kod isf-e koja nastaje instancijacijom, m =kod[P (sub(x; x))]. Ako primjenimo istovrsni postupak na isf-u m, dobit cemo

sub[kod(P (sub(x; x)))| {z }m

; kod(P (sub(x; x)))| {z }m

]:

No po definiciji za sub, vidimo da tražena instancijacija daje

kod[P (sub(m;m))]:

Dakle, kod[P (sub(m;m))] = sub(m;m). Egzistencijalnom generalizacijomdobivamo traženo: 9x(kod[P (x)] = x). Dijagonalna konstrukcija pokazuje damožemo saciniti recenice koje se mogu interpretirati kao recenice koje govore osebi.


Primjer 24.9 Ako n = kod(P (n)), onda P (n) možemo shvatiti kao tvrdnju: Ovarecenica ima svojstvo izraženo s P .

Ovisno o svojstvu P o kojem je rijec, neke medu takvim samoreferirajucimrecenicama bit ce istinite, a neke nece. Na primjer, formalne verzije sljedecih

Ova recenica .je isf.Ova recenica nema slobodnih varijabli.

bit ce istinite. S druge strane, formalne verzije sljedecih

Ova recenica .je dokaz.Ova recenica je aksiom Peanove aritmetike.

bit ce neistinite.Razmotrimo sada formalnu verziju sljedece recenice, cije je postojanje za-

jamceno po dijagonalnoj lemi:

(G)Ova se recenica ne može dokazati pomocu aksioma Peanovearitmetike.

Ta recenica naziva se G, po Gödelu. Pokažimo da je G istinita recenica kojanije dokaziva u PA.

Krenimo indirektnim putem. Pretpostavimo da G nije istinita recenica. Tadapo onome što G tvrdi, slijedi da se G može dokazati u PA. No, aksiomi od PAsu istiniti i sustav dokazivanja F je pouzdan, pa je zato istinita svaka recenicakoja se može dokazati u PA. Dakle, G mora biti istinita, što proturjeci našojpretpostavci. Zato je njezina negacija istinita, tj. (po : Elim) G je istinito.

Ostaje pokazati da G nije dokazivo u PA. Buduci da je G istinita recenica,tocno je ono što ona tvrdi: da G nije dokazivo u PA.

Iz prethodnog neposredno slijedi Gödelov teorem nepotpunosti. Pronašlismo istinitu recenicu u PA koja nije dokaziva u PA. Štoviše, ni negacije overecenice nije dokaziva u PA jer su sve dokazive posljedice Peanovih aksiomaistinite. Dakle, Peanova aritmetika nije formalno potpuna.

Drukcije a bliže izvornoj formulaciji, teorem nepotpunosti možemo iskazatina sljeci nacin.

Teorem 62 Ako je PA formalno konzistentna teorija, onda postoji recenica Gtakva da PA 0 G i PA 0 :G.

Dokaz 48 Prepostavimo da je (*) PA konzistentna (PA 0 ?) i da (i) PA ` Gili (ii) PA ` :G. Ako (i), onda G nije istinita recenica. No, tada protivnopretpostavci (*) PA nije konzistentna teorija. Ako (ii), onda vrijedi ono što :Gtvrdi, naime - PA ` G.. U tom slucaju bi u PA bile dokazive i G i :G, pa onaprotivno pretpostavci (*) ne bi bila konzistentna.

24.3 Lema samoreferencije (dijagonalna lema) 265

Peanovi aksiomi nisu nedodirljivi. Nakon što smo pronašli istinitu a ne-dokazivu recenicu G - možemo nju ili što mu drago dodati kao novi aksiomda bi ona postala dokaziva. Ali na taj nacin necemo izbjeci Gödelov argument,jer on ne ovisi o slabosti PA, vec o njezinoj

snazi. Sve dok su recenice proširenog sustava T istinite i sve dok se predikat

n je kod aksioma iz T

može predstaviti u T , dotle se cijeli argument može ponoviti i generiratidaljnju recenicu koja istinita ali nedokaziva u sustavu.

Gödelov rezultat o nepotpunosti jedan je od najvažnijih teorema u logici,onaj cije se posljedice još uvijek istražuju.

Gödel upozorava na još jedan važan rezultat koji kao korolarij slijedi iz teo-rem nepotpunosti: konzistentnost teorije34 PA ne može se dokazati unutar teteorije, ako je ona konzistentna teorija.

Teorem 63 Ako je PA konzistentna teorija, njezina formalna konzistentnost nemože se dokazati u PA.

Dokaz 49 Neformalni dokaz možemo skicirati na slijedeci nacin. Tvrdnju okonzistentnosti teorije PA možemo iskazati u PA. Buduci da je predikat dokazivostiiskaziv u PA, tvrdnju o konzistentnosti možemo iskazati kao ’postoji recenicakoja se ne može dokazati u PA’. Oznacimo tu recenicu s K. Za svrhu indi-rektnog dokaza, pretpostavimo PA ` K. Po teorem nepotpunosti znamo daako PA 0 ?, onda PA 0 G. Teorem nepotpunosti može se dokazati u PA.Zamjenjujuci PA 0 ? s K i PA 0 G s G, dobivamo PA ` K ! G. Buduci dasmo pretpostavili da PA ` K, dobivamo PA ` G. Kontradikcija.

Quine je istaknuo "pozitivnu" stranu Gödelovog "negativnog" rezultata:

Dok je s obzirom na Gödelov rezultat naše znanje o brojevimaizloženo neocekivanim ogranicenjima, dotle upravo suprotno vrijedi onašem znanju o takvom znanju. Jedna od stvari koje nas iznenaduju ujoš vecoj mjeri nego nepotpunost elementarne teorije brojeva jest cin-jenica da tu nepotpunost možemo spoznati.

Zadatak 151 (Nemogucnost definiranja istinitosti) Pokažite da se sljedeci predikatne može iskazati u jeziku aritmetike: n je kod istinite recenice.

34 Kao i prije oznakom PA oznacavamo Peanovu aritmetiku, ali izloženi rezltati vrijede za sveteorije iskazane jezikom dovoljnog stupnja složenosti ili, kako je to kazao Quine, za sve teorijeiskazane jezikom koji je dovoljno snažan da iskaže vlastitu sintaksu.


Odgovor 54 Pretpostavimo da se predikat ’n je kod istinite recenice’ možeiskazati u PA. Po dijagonalnoj lemi, možemo saciniti recenicu ’Ova recenicanije istinita’, nazovimo je T . Pretpostavimo da je T istinita. Tada nije istinita povlastitoj tvrdnji. Dakle, nije istinita. No tada, njezina negacija vrijedi, pa morabiti istinita. Kontradikcija. Dakle, predikat istinitosti ne može se iskazati u jezikuPA.

Poglavlje 25Turingovi strojevi

25.1 Churchova tezaPojam izracunljivosti može se uciniti preciznim na razlicite nacine, ovisno oodgovoru koji cemo dati na pitanja poput ovih: "Hoce li se racun izraditi napravocrtnoj vrpci ili na pravokutnoj mreži polja? Ako koristimo pravocrtnuvrpcu, hoce li ona imati pocetak ali ne i kraj ili ce biti beskonacna u oba sm-jera? Hoce li polja na koja je vrpca razdijeljena imati adrese ili cemo pratitiracun pišuci posebne simbole kao podsjetnike na odgovarajucim mjestima?" Itako dalje.Razliciti ce odgovori za posljedicu imati razliciti izgled racuna, alinaš cilj nisu pojedinosti racuna vec karakterizacija skupa izracunljivih funkcija.Zapravo, pokazalo se da skup izracunljivih funkcija ostaje isti neovisno o po-jedinstima izvedbe racuna.

Nema kraja mogucim varijacijama u detaljnom opisu pojmova izracunljivostii efektivnosti, zato na kraju moramo ili prihvatiti ili odbaciti tezu (koju nijemoguce deduktivno dokazati) po kojoj je skup funkcija koje su izracunljive unašem smislu (u smislu nekog odredenog pojma izracunljivosti) identican skupufunkcija koje bi ljudi ili strojevi ikada mogli izracunati putem bilo koje efektivnemetode ako ne bilo ogranicenja u pogledu vremena, brzine i materijala. Drugimrijecima, otvara se pitanje u kakvom su odnosu formalizirani teorijski pojamizracunljivosti i neformalizirani izvanteorijski intuitivni pojam izracunljivosti.

Churchova teza: Izvorno i u užem smislu, teza po kojoj su sveintuitivno efektivne metode opcenito rekurzivne (u smislu u kojem seovaj termin koristi u teoriji rekurzivnih funkcija). Pripisujemo je AlonzuChurchu, 1935. Trenutacno i u širem smislu, teza po kojoj se sve in-tuitivno efektivne metode mogu zahvatiti jednom od nekoliko formal-izacija, koje ukljucuju teoriju rekurzivnih funkcija, Turingove strojeve,Markovljeve algoritme, lambda kalkulus, itd.

Churchova teza nije dokaziva ali jest osporiva. Prvo bismo trebali pokazatida je neka funkcija izracunljiva u intuitivnom smislu, što znaci izložiti niz uputaza izracunavanje njezine vrijednosti za bilo koji argument i pokazati da su teupute efektivne. Zatim bismo trebali pokazati da ta funkcija nije izracunljiva uformalnom smislu, pokazujuci da niti jedan Turingov stroj ne može izracunati tufunkciju.

25.2 Opis Turingovog strojaTuringov stroj je imaginaran stroj koji može uzvesti bilo koju kompjutaciju izve-

267

268 Poglavlje 25 Turingovi strojevi

divu na bilo kojem racunalu. Stroj se sastoji od beskonacne vrpce, radnog dijelai popisa pravila. Ulazno/izlazna vrpca je podijeljena u polja na kojima se mogunaci simboli koje radni dio stroja bilo cita, briše ili upisuje.Stroj se uvijek nalaziu nekom unutarnjem stanju, te ovisno o tom stanju i zapisima na vrpci izvodiradnje pomicanja, brisanja ili pisanja. Popis pravila je program koji odredujeponašanje stroja u zadanim okolnostima. Turingov stroj cita simbole na vrpci igleda popis pravila, u skladu s time mijenja svoje unutarnje stanje te ili piše ilibriše simbole ili pomice svoj radni dio na lijevo ili na desno.

We may compare a man in the process of computing a real number to a ma-chine which is only capable of a finite number of conditions q1; q2; :::; qr which willbe called “m-configurations”. The machine is supplied with a “tape”, (the analogueof paper) running through it, and divided into sections (called “squares”) each capableof bearing a “symbol”. At any moment there is just one square, say the r-th, bearingthe symbol S(r) which is “in the machine”. We may call this square the “scannedsquare”. The symbol on the scanned square may be called the “scanned symbol”.The “scanned symbol” is the only one of which the machine is, so to speak, “directlyaware”. However, by altering its m-configuration the machine can effectively remem-ber some of the symbols which it has “seen” (scanned) previously. The possible behav-iour of the machine at any moment is determined by the m-configuration qn and thescanned symbol S(r). This pair qn; S(r)will be called the “configuration”: thus theconfiguration determines the possible behaviour of the machine. In some of the con-figurations in which the scanned square is blank (i.e. bears no symbol) the machinewrites down a new symbol on the scanned square: in other configurations it erases thescanned symbol. The machine may also change the square which is being scanned, butonly by shifting it one place to right or 1left. In addition to any of these operations them-configuration may be changed. Some of the symbols written down will form thesequence of Slikas which is the decimal of the real number which is being computed.The others are just rough notes to “assist the memory”. It will only be these roughnotes which will be liable to erasure.

A.M. Turing. On Computable Numbers, with an Application to the Entshei-dungdproblem. Proceedings of the London Mathematical Society 43: 544-546, 1937.

Program uputa može se iskazati na razlicite nacine. Na primjer, u strojnojtablici, u dijagramu toka ili pomocu skupa uredenih cetvorki.

Primjer 25.1 Program koji u slucaju da 0 dijeli dva niza 1-ica upisuje 1 na mjestu 0,zatim briše posljednju 1-icu u drugom nizu, vraca se na pocetak prvog niza i tada staje.U tablicnom prikazu retci (od drugoga na dalje) pokazuju za stroj koji je u odredenomstanju si u koje stanje sj prelazi i što cini ovisno o tome koji je simbol na polju kojese cita. Radnje su: pomak udesno >, pomak u lijevo <, pisanje nekog simbola, 1, 0 ili

25.2 Opis Turingovog stroja 269

brisanje ¡(koje bismo mogli shvatiti kao pisanje "praznog" simbola).

1 0 ¡s0 s0 > s11s1 s1 > s2 <s2 s3¡s3 s4 <s4 s4 < s5 >s5

Dijagram toka u prikazu koristi sljeci redoslijed: [sadašnje stanje] simbol na traci:radnja [sljedece stanje].

Zapis uredenih cetvorki može imati razliciti redosljed. U sljedecem prikazu to ce biti nizsadašnje stanje - procitani simbol - sljedece stanje - radnja: s01s0 >, s00s11, s11s1 >,s1 ¡ s2 <, s21s3¡, s3 ¡ s4 <, s41s4 <, s4 ¡ s5 >.

Zadatak 152 Dizajnirajmo Turingov stroj koji cita niz 1-ica i ako je broj 1-ica paran,piše P , a ako nije piše N .

Odgovor 55 Neka se program "vrti" za svake dvije 1-ice. Ako se takva "petlja"ne može zatvoriti jer se naišlo na 1-icu iza koje nema druge, završimo sa sim-bolom N . Ako se "petlja" zatvorila i više nema 1-ica, završimo sa simbolomP .

25.2.1 Prebrojivost Turingovih strojeva

Tvrdnja 64 Skup svih Turingovih strojeva je prebrojiv.

Naime, svaki Turingov stroj je iskaziv kao konacan niz simbola u jednombeskonacnom alfabetu (ovdje ogranicavamo popis simbola na vrpci na "praznisimbol" ¡ i brojke)

>;<; s0;¡; 0; s1; 1; s2; 2; :::

Neki je niz simbola Turingov stroj akko zadovoljava sljedece uvjete: (i) duljinaniza djeljiva je s 4, (ii) na mjestima 1; 3; 5; 7; :::; 4n + 1; 4n + 3; ::: javljajuse jedino simboli s0; s1; :::, (iii) na mjestima 2; 6; 10; :::; 4n + 2; ::: javljaju sejedino simboli ¡; 0; 1; :::, (iv) na mjestima 4; 8; 12; :::; 4n; ::: javljaju se simboli


Figure 25.1


>;<;¡; 0; 1; :::, (iv) nijedna konfiguracija35 ciji je oblik sinjsk ne javlja se višeod jednog puta u nizu simbola, gdje nj 2 f¡; 0; 1; :::g. Ako usvojimo kon-venciju o oznacavanju pocetnog stanja (na primjer, tako da mu dodijelimo naj-manji s-broj), moci cemo napraviti prebrojivi beskonacni popis svih Turingovihstrojeva. Cim odredimo nabrajanje nizova simbola iz alfabeta, odredit cemo inabrajanje Turing-izracunljivih funkcija. Jedan nacin kako to možemo izvestijest da svakom stroju pridružimo koda. Na primjer ovako:

> < s0 ¡ 0 s1 1 ::: n-ti simbol ...12 122 1222 12222 122222 1222222 12222222 ::: 1-ica pracena s n 2-ki

Primjer 25.2 Turingov stroj s0 ¡ s01 imao bi kod 122212222122212222222.

Buduci da prirodnih brojeva ima prebrojivo mnogo i da smo svakom Turingovombroju pridružili jedan prirodnih broj, Turingovih strojeva ima prebrojivo mnogo.

Nizove simbola možemo poredati u jedan beskonacni popis koji je prebrojiv.Ako izbacimo one nizove koji ne imenuju neki Turingov stroj, dobit cemo popisT1; T2; T3; ::: u kojemu je svaki Turingov stroj imenovan barem jednom i ništadrugo nije imenovano na tom popisu.

U daljnjem razmatranju usvajamo neka ogranicenja. (i) Promatramo samofunkcije s pozitivnih cijelih u pozitivne cijele brojeve. (ii) Zapise na traci sužavamona monadicki zapis brojki, eventualno razdvojenih s praznim poljem ("praznimsimbolom"). Na primjer: 5 ce biti zapisano kao 11111. (iii) Pretpostavljamo dana pocetku stroj cita krajnju lijevu 1-icu. (iv) Ako funkcija dodjeljuje vrijednostza argumente (nizove 1-ica razdvojene praznim poljem) koji su se u pocetnomstanju nalazili na traci, onda ce se stroj zaustaviti u standardnoj završnoj konfig-uraciji, a to znaci da ce citati krajnji lijevi simbol iz bloka 1-ica koji se nalazi navrpci koja je drugdje prazna. (v) Ako funkcija ne dodjeljuje vrijednost za zadaneargumente, ona se nece zaustaviti u standardnoj završnoj konfiguraciji vece ce,prvo, ili raditi bez prestanka ili ce se, drugo, zaustaviti bilo na 1-ici koja nijekrajnja lijeva ili ce se pri zaustavljanju na vrpci nalazaiti više od jednog blokjedinica.

Primjer 25.3 Usvajajuci gornja ogranicenja (i)-(v) modificirajmo Turingov stroj izprethodnog zadatka tako da umjesto P upisuje 11, a umjestoN - 1. Zapis jednog takvogTuringovog stroja je: s01s1 ¡ s0 ¡ s41s1 ¡ s2 > s2 ¡ s61s21s3 ¡ s3 ¡ s0 > s41s4 >s4 ¡ s51s51s6 <. Funkcija koju on izracunava je karakteristicna funkcija p:

p(n) =

½11 ako je n paran broj,1 ako je n neparan broj.

Pod gornjim ogranicenjima svaki Turingov stroj odreduje jednu funkciju spozitivnih cijelih brojeva u pozitivne cijele brojeve. Pažnju možemo usmjeritina slucajeve kada u pocetnom stanju nalazimo samo jedan neprekinuti niz 1-ica.

35 Posljednji uvjet iskljucit ce strojeve cije su upute ili kontradiktorne ili ponovoljene.


Koristeci popis Turingovih strojeva možemo saciniti popis funkcija f1; f2; f3; :::svih Turing-izracunljivih funkcija s jednim argumentom, gdje je za svako n, fnfunkcija s jednim argumentom koju racuna stroj Tn.

25.2.2 Jedna Turing-neizracunljiva funkcijaNabrajajuci Turingove strojeve, nabrojili smo i funkcije koje oni izracunavaju.Mogucnost nabrajanja pokazuje da moraju postojati (Turing) neizracunljive funkcijes jednim argumentom. Ima više nacina za pokazati postojanje takvih funkcija.

Zapocnimo najprije s nekonstruktivnim dokazom. Totalne karakteristicnefunkcije za svaki ulaz daju ili potvrdan ili nijecan odgovor (tako da upiše 1odnosno 11, kao u primjeru 25.3). Promotrimo bilo koji skup pozitivnih cijelihbrojeva. Za svaki takav skup možemo zapitati postoji li karakteristicna funkcijakoja prepoznaje clanove tog skupa. Po Cantorovom dokazu, podskupova prebro-jivo beskonacnog skupa ima više nego njegovih elemenata. Buduci da je skupTuringovih strojeva prebrojiv, neka karakteristicna funkcija nece biti Turing-izracunljiva.

Konstruktivan nacin za pokazati postojanje Turing-neizracunljivih funkcijasastoji se u tome da konstruiramo funkciju u koja nije na popisu, a to možemouciniti ako funkciju u tako definiramo da bude razlicita od bilo koje funkcije napopisu.

u(n) =

½1 ako je fn(n) nedefinirano,fn(n) + 1 u protivnom.

Tvrdnja 65 Funkcija u nije Turing-izracunljiva.

Dokaz 50 Pretpostavimo suprotno: neka je u jedna od Turing-izracunljivihfunkcija, recimo m-ta. Tada za svaki pozitivni cijeli broj n, vrijednosti za u(n) ifm(n) su ili (i) obje nedefinirane ili (ii) obje definirane i jednake. Ispitajmo slucaj

kadam = n. u(m) = fm(m) =

½1 ako je fm(m) nedefinirano,fm(m) + 1 u protivnom. Ako

fm(m) nije definirano, onda fm(m) = 1. Kontradikcija. Ako je fm(m) defini-rano, onda fm(m) = fm(m) + 1. Kontradikcija.


Vrijednost funkcije u razlikovat ce se od vrijednostisvake Turing izracunljive funkcije barem za uokvireni argumentTuringov stroj: Funkcija koju on racuna: Argumenti funkcije:T1 f1 1 2 3 4 ::: n :::T2 f2 1 2 3 4 ::: n :::T3 f3 1 2 3 4 ::: n :::T4 f4 1 2 3 4 ::: n :::...

...Tn fn 1 2 3 4 ::: n :::...

...

Primjedba 13 Niti jedan Turingov stroj ne može izracunati vrijednosti funkcijeu za sve argumente, ali u pojedinim slucajevima to je moguce uciniti. Definira-jmo najjednostavniji stroj T1: s0 ¡ s0 >. On izracunava identitetnu funkciju zasvaki pozitivni cijeli broj. Oznacimo je s f1.Kako je f1(1) = 1, u(1) = 2. Za T2dobivamo sljedeci stroj s0 ¡ s0 <, on takoder izracunava identitenu funkciju, atu funkciju nabrajamo kao f2. Po definiciji, u(2) = f2(2) + 1 = 2 + 1 = 3.Kod T3: s0 ¡ s0¡; f3 nije definirano ni za jedan pozitivni cijeli broj, zatou(3) = 1. No, kako dokaz pokazuje, odredba vrijednosti funkcije u ne možebiti "rutinski posao". To što u nije "mehanicki" izracunljiva ne znaci da se onane može izracunati zahvaljujuci "uvidu".

25.2.3 "Halting problem""Problem zaustavljanja" sastoji se u odredbi opcenitog efektivnog postupka kojiotkriva hoce li se neki Turingov stroj zaustaviti ili ne kada se pokrene u svompocetnom stanju citajuci krajnji lijevi simbol u neprekinutom nizu 1-ica na drugdjepraznoj vrpci. Oznacimo slovom h funkciju koja je izracunljiva (u intuitivnomsmislu) ako i samo ako je problem zaustavljanja rješiv. Neka je x broj Turingovogstroja, neka je on pokrenut u svom pocetnom stanju dok cita krajnju lijevu 1-icuiz neprekinutog niza od y 1-ica na inace praznoj vrpci. Definiramo:

h(x; y) =

½2 ako se stroj x zaustavlja za argument y,1 u protivnom.

Tvrdnja 66 Ako je Churchova teza tocna, problem zaustavljanja je nerješiv.

Reductio ad absurdum: pokazat cemo da ako funkciju h izracunava nekiTuringov stroj H , onda mora postojati neki Turingov stroj Tm takav da se zasvaki pozitivni cijeli broj n, Tm zaustavlja ako i samo ako se Tn ne zaustavlja,


kada se pokrene u svom pocetnom stanju citajuci krajnji lijevi simbol u neprek-inutom nizu od n 1-ica na drugdje praznoj vrpci. No, to nije moguce jer bi se zaniz od m 1-ica Tm morao zaustaviti ako i samo ako se nikad ne zaustavlja kadase pokrene u svom pocetnom stanju citajuci krajnji lijevi simbol u neprekinutomnizu od m 1-ica na drugdje praznoj vrpci. Ovaj ce stroj, kada se primijeni nasvoj broj m, uci u beskonacnu petlju ako i samo ako se bude zaustavio; a to jeocigledno nemoguce. Ako bi bila zadovoljena pretpostavka po kojoj funkciju hizracunava stroj H , onda bi se mogao konstruirati stroj Tm poput ovoga na slicidolje. ’H’ oznacava mjesto gdje bi se trebao naci dijagram toka za H . Cijelistroj Tm sadrži H kao svoj dio. Tm se zaustavlja samo ako se Tn ne zaustavlja,to jest, ako je h(n; n) = 1.

Kada postavimo da m = n vidimo da Tm ne može postojati (jer bi se on moraozaustaviti ako se ne zaustavlja i ne bi se smio zaustaviti ako se zaustavlja) i zatoH ne može postojati. Time se pokazuje da funkcija h nije Turing izracunljiva.Ako je Churchova teza tocna, onda je problem zaustavljanja apsolutno nerješivkorištenjem bilo koje "efektivne procedure".


Figure 25.2Nemoguci stroj koji se zaustavlja ako i samo ako se ne zaustavlja.


25.3 Neodlucivost logike prvoga redaProblem odlucivanja je rješiv za neko svojstvo ako postoji mehanicki postu-pak ispitivanja koji kada se primjeni na bilo koji predmet odgovarajuce vrste,nakon konacnog broja koraka ispravno klasificira taj predmet bilo kao pozitvnuinstancu (primjer) bilo kao negativnu instancu (ne-primjer) svojstva o kojemu jerijec. U postupku ispitivanja možemo razlikovati pozitivni i negativni dio. Pozi-tivni dio postupka ispitivanja je mehanicki postupak koji klasificira kao pozitivnesve pozitivne instance i samo njih. Slicno, negativni dio postupka ispitivanja jemehanicki postupak koji klasificira kao negativne sve negativne instance i samonjih. Ako za neko svojstvo postoji i pozitivni i negativni dio postupka ispitivanja,onda i samo onda problem odlucivanja za to svojstvo jest rješiv.

U logici nas zanimaju svojstva zadovoljivosti i valjanost a "predmeti" kojetrebamo klasificirati su recenice ili skupovi recenica. Vrijedno je podsjetiti sesljedeceg teorema: S je posljedica prvog reda skupa recenica T ako i samo akoT [ f:Sg nije zadovoljivo. Ako je problem odlucivosti za zadovoljivost rješivonda je on rješiv i za posljedicu prvoga reda. Da bismo raspravu ogranicili narecenice, preoblikovat cemo prethodni teorem u istovrijednu tvrdnju:

^P∈T

P ! S

je valjana recenica prvoga reda akko^P∈T

P ^ :S nije zadovoljiva recenica36.

Za logiku prvoga reda postoji pozitivan mehanicki postupak provjere val-janosti ili, što je isto, negativan test zadovoljivosti. No ne postoji negativan testvaljanosti ili, što je isto, ne postoji pozitivan test zadovoljivosti.

Pozitivan test Negativan testValjanost DA NEZadovoljivost NE DA

Jedan mehanicki postupak ispitivanja valjanosti i zadovoljivosti dan je u metodigradnje istinitosnog stabla. Ako promatramo zadovoljivost recenice i zadovoljivostnjezine negacije, onda postoje tri vrste recenica: (i) valjane recenice prvoga reda,koje su zadovoljive i cija negacija nije zadovoljiva, (ii) kontingentne recenice,

36 Dokažite:P∈T

P → S je valjana recenica prvoga reda akko je S je posljedica prvog reda

skupa recenica T . Dokaz. S lijeva na desno.P∈T

P → S je istinito u svakoj strukturi. Neka

je M bilo koja struktura zaP∈T

P → S . Po pretpostavci, M ²P∈T

P → S. Po definiciji

istinitosti u strukturi: M ²P∈T

P → S[g∅]. Po definiciji zadovoljavanja, tada je slucaj ili

M 2P∈T

P [g∅] ili M ² S[g∅] ili i jedno i drugo. Pretpostavimo (*) M ²P∈T

P [g∅]. Po definiciji

zadovoljavanja, tada za svaku recenicu P ∈ T vrijedi M ² P [g∅], tj. M ² P . Pod pretpostavkom(*), M 2

P∈TP [g∅] ne može biti slucaj. vec mora biti slucaj da M ² S[g∅], tj. (po definiciji

istinitosti) M ² S. Dakle, svaka struktura koja verificira svaku recenicu iz skupa T , verificira irecenicu S. Suprotan smjer dokažite sami.

25.3 Neodlucivost logike prvoga reda 277

koje su zadovoljive i cija negacija jest zadovoljiva, (iii) nezadovoljiva recenice,koje su nezadovoljive i cija negacija jest zadovoljiva (tj. njihova negacija je val-jana recenica prvoga reda). Poteškoca nastaje kada se susretnemo s recenicamakod kojih test ne završava: Što tada možemo zakljuciti?

Primjer 25.4 Ako ispitujemo zadovoljivost isf-e 8x9yR(x; y) ! R(a; a) metodomgradnje istinitosnog stabla, postupak gradnje stabla ici ce u beskonacnost. S drugestrane, negacija te recenice, : (8x9yR(x; y) ! R(a; a)) je zadovoljiva. Što znamona osnovi testa koji ne završava? (i) 8x9yR(x; y) ! R(a; a) bi mogla biti zado-voljiva, pa niti jedna iz ovog para kontradiktornih recenica ne bi bila valjana. (ii) No,8x9yR(x; y) ! R(a; a) bi mogla biti nezadovoljiva, pa bi njezina negacija mogla bitivaljana recenica prvoga reda. Lako je uvidjeti da je (i) slucaj.

Neodlucivost logike prvoga reda pokazuje da se ona ne može svesti na "mehanicko"racunanje vec da se neka pitanja daju razriješiti samo na osnovi uvida.

25.3.1 Dokaz neodlucivostiDokaz neodlucivosti logike prvoga reda obicno se provodi svodenjem na "haltingproblem". U tom se dokazu, kojega necemo provesti, pokazuje da kad bi logikaprvoga reda bila odluciva, onda bi problem zaustavljanja bio rješiv. No, kakodrugo nije slucaj, onda ni prvo nije slucaj.

Poglavlje 26Osnovne ideje modalne logike

26.1 Višestruko vrednovanjeJeziku propozicijske logike možemo dodati novi operator O i saciniti nove for-mule. Takve formule možemo iskoristiti za prikazati logicki oblik recenica ukojima se javljaju izrazi poput ’nužno je da’, ’moguce je da’, ’zabranjeno je da’,’dopušteno je da’, ’uvijek ce biti slucaj da’, ’barem jednom ce biti slucaj da’,’djelatnik cini da’, ’djelatnik vjeruje da’, ’djelatnik zna da’, ’djelatnik želi da’...

Primjer 26.1 (i)OP , (ii)OP ! P , (iii)OP ! OOP . Prethodne tri recenice moglebi poslužiti kao prikaz logickog oblika sljedecih nizova recenica. (Ai) Djelatnik zna daje slucaj da P , (Aii) Ako djelatnik zna da je slucaj da P , onda je slucaj da P , (Aiii) Akodjelatnik zna da je slucaj da P , onda on zna da zna da je slucaj da P . (Bi) Nužno jeslucaj da P , (Bii) Ako je nužno slucaj da P , onda je slucaj da P , (Biii) Ako je nužnoslucaj da P , onda je nužno da je nužno slucaj da P . (Ci) Djelatnik cini da bude slucaj daP , (Cii) Ako djelatnik cini da bude slucaj da P , onda je slucaj da P , (Ciii) Ako djelatnikcini da bude slucaj da P , onda on cini da bude slucaj da on cini da bude slucaj da P .(Di) Djelatnik želi da bude slucaj da P , (Dii) Ako djelatnik želi da bude slucaj da P ,onda je slucaj da P , (Diii) Ako djelatnik želi da bude slucaj da P , onda on želi da budeslucaj da on želi da bude slucaj da P . Itd.

Razmišljajuci o prethodnim primjerima, možemo uociti da ista formula možebiti istinita u jednoj interpretaciji operatora O ali ne mora biti takvom u nekojdrugoj interpertaciji. Odredba istinitost ovakvih recenica u nekom kontekstu kocigledno zahtijeva osvrtanje na razlicite kontekste k0.

Primjer 26.2 Ako O interpretiramo kao logicki je nuzno da, onda moramo ubrojitisvaki kontekst. Tada bismo rekli da je recenica OP istinita u kontekstu k upravo ondakada je P istinito u svakom mogucem kontekstu k0.

Primjer 26.3 Ako O interpretiramo kao prirodna je nuznost da, onda izgleda daako hocemo odrediti istinitost OP u kontekstu k, moramo ubrojiti sve one i samo onekontekste k0 u kojima vrijede isti prirodni zakoni kao u k.

Primjer 26.4 Ako O interpretiramo kao jednom je bio slucaj da, onda izgleda dasu za odredbu istinitostOP u kontekstu k relevantni samo oni konteksti k0 koji vremenskiprtohode k-u.

278

26.1 Višestruko vrednovanje 279

Za kontekste koje držimo relevantnim za odredbu istinitosti recenice OP ukontekstu k kažemo da su dostupni iz k.

Definicija 20 Model M sadrži: (i) neprazni skup konteksta K, (ii) dvomjesniodnos R na K, odnos dostupnosti, (iii) funkciju vrednovanja V koja dodjeljujeistinitosnu vrijednost Vk(P ) svakom propozicijskom slovu P u svakom kontekstuk 2 K.

Ovakvi modeli cesto se nazivaju "Kripke modelima", a konteksti "mogucimsvjetovima".

26.1.1 Povijesna pozadinaU pregledu (pret)povijesti modalne logike obicno se spominju Aristotelova modalnasilogistika, Humeovo razlikovanje cinjenicnih i analitickih istina, Kantovo uvrš-tavanje modalnih pojmova u popis dvanaest kategorija i Fregeovo odbacivanjemodaliteta. Posebnu pažnju zaslužuje rasprava o implikaciji pocetkom 20. stol-jeca u kojoj se obnavlja interes za modalnu logiku. Materijalna implikacija(kondicional) P ! Q ekvivalentna je :(P ^ :Q). C.I. Lewis razdvaja materi-jalnu implikaciju :(P ^:Q) od striktne implikacije. Ova druga ne tvrdi samo danije slucaj da istodobno vrijedi i P i :Q, vec da to ne može biti slucaj: :♦(P ^:Q) (nije moguce da istodobno bude i P i :Q). Koristeci¤: (nužno nije slucaj)umjesto :♦ (nije moguce da bude slucaj) možemo pokazati da se striktna imp-likacija - može shvatiti kao materijalna implikacija koja nužno vrijedi::♦(P ^:Q), ¤:(P ^ :Q), ¤(P ! Q).

Od samih pocetaka modalna logika je pokazivala nesigurnost u pogledu val-janosti njezinih nacela. Ipak, neka su nacela izgledala neproblematicnima poputonih koja ukazuju na mogucnost uzajamnog definiranja.

:♦P $ ¤:P (Nemoguce je ono što nužno nije.):♦:P $ ¤P (Ono što ne može ne biti, nužno je.)Druga nacela izgledala su manje-više neproblematicnima.(T) ¤P ! P (Što je nužno istinito - istinito je.)(K) ¤(P ! Q) ! (¤P ! ¤Q) (Striktne posljedice nužnih istina i sam su

nužne istine.)Posljednje gornje nacelo može se promatrati kao modalna varijanta zamodus

ponens: (¤(P ! Q) ^¤P ) ! ¤Q.Procjena valjanosti nacela postaje teža u slucaju višestrukih operatora.(4) ¤P ! ¤¤P (Ako je nešto nužno, onda je to nužno tako.)(B) P ! ¤♦P (Ako je nešto slucaj, onda je nužno da je to moguce.);

alternativno – ♦¤P ! P .(E) ♦P ! ¤♦P ,(D) ¤P ! ♦P ,itd.Razlicite aksiomatske teorije izrasle su iz (ne)prihvacanja gornjih nacela.

280 Poglavlje 26 Osnovne ideje modalne logike

Primjedba 14 Osnovne aksiomatske logike oznacavaju se na sljedeci nacin:modalna KT = T logika prihvaca nacela K i T , S4 = KT4 prihvaca nacelaK, T i 4, S5 = KT4B = KT4E logika prihvaca nacelaK, T , 4 te B ili E..

Nesigurnost oko nacela pokazivala je da se unutar pojmova o nužnom i mogucemtreba napraviti daljnju razliku koja nije vidljiva na sintaktickoj razini. Zbogtoga je ideja semantike mogucih svjetova koja se pojavila šezdesetih godina 20.stoljeca imala snažan utjecaj na razvoj modalne logike.

26.1.2 Sintaksa i semantikaJezik modalne propozicijske logike L dobivamo ako definiciji jezika propozici-jske logike pridodamo uvjet: Ako je P ispravno sastavljena formula u jeziku L,onda su ¤P i ♦P isf-e jezika L.

Zadatak 153 Zapišite punu definiciju jezika propozicijske modalne logike!

Odgovor 56 Potrebna nam je induktivna definicija. Osnovna klauzula: propozi-cijska slova se isf-e jezika L. Induktivne klauzule: ako su P i Q isf-e u jeziku L,onda su :P , (P ^ Q), (P _ Q), (P ! Q), (P $ Q), ¤P i ♦P isf-e jezika L.Završna klauzula: ništa drugo nije isf jezika L.

Zadatak 154 Iskažite sljedece recenice kao formule propozicijske modalne logike:(a) Moguce je da me ne razumiješ, ali to nije nužno. (b) Moguce je da ako bi moglapadati kiša, onda kiša pada.

Odgovor 57 (a) ♦:R ^ :¤:R, (b) ♦(♦K ! K).

U semantici se koristi naziv ’moguci svijet’ koji je na više nacina povezan sLeibnizom, koji bi prvi koji je koristio taj termin.

U pozadini semantike mogucih svjetova leži ideja da istinitosna vrijednost za¤P i ♦P u nekom mogucem svijetu ovisi o istinitosnoj vrijednosti koju P ima unekim drugim mogucim svjetovima. Ta odredba istinitosne vrijednosti modalnerecenice ne mora zahvatiti ispitivanje svih mogucih svjetova; u formalnom sesmislu ta ideja zahvaca pomocu odnosa dostupnosti koji odreduje koji su mogucisvjetovi relevantni za opdredbu istinitosti recenice o kojoj je rijec.

Definicija 21 Model M za propozicijsku modalnu logiku sadrži: (i) neprazniskup mogucih svjetova W , (ii) dvomjesni odnos R na W , odnos dostupnosti,(iii) funkciju vrednovanja V koja dodjeljuje istinitosnu vrijednost Vw(P ) svakompropozicijskom slovu P u svakom mogucem svijetu w 2 W .

Skup mogucih svjetova zajedno s odnosom dostupnosti naziva se okvirom ilistrukturom F = hW;Ri. Model M nastaje kada se okviru pridoda vrednovanje


V ; M = hF; V i = hhW;Ri ; V i. Istom se okviru mogu pridodati razlicitavrednovanja, cime se dobivaju razliciti modeli.

Definicija istine kazuje nam koje su formule istinite u kojem mogucem svi-jetu danoga modela. Buduci da je vrednovanje propozicijskih slova V zadanou modelu M , definicija istine pokazuje kako se to vrednovanje može proširitido punog vrednovanja VM koje dodjeljuje istinitosnu vrijednost svim formulamajezika propozicijske logike.

Definicija 22 Ako jeM model s njegovim skupommogucih svjetovaW , s odno-som dostupnosti R i s vrednovanjem V , onda je VM,w(P ) istinitosna vrijednostformule P u w u modeluM definirana sljedecim uvjetima:

(i) VM,w(P ) = Vw(P ), za svako propozicijsko slovo P(ii) VM,w(:P ) = > akko VM,w(P ) = ?(iii) VM,w(P ^Q) = > akko VM,w(P ) = > i VM,w(Q) = >(iv) VM,w(P _Q) = > akko VM,w(P ) = > ili VM,w(Q) = >(v) VM,w(P ! Q) = > akko VM,w(P ) = ? ili VM,w(Q) = >(vi) VM,w(P ! Q) = > akko VM,w(P ) = VM,w(Q)(vii) VM,w(¤P ) = > akko za svako w0 2 W takvo da R(w;w0): VM,w0(P ) = >(viii) VM,w(♦P ) = > akko za barem jedno w0 2 W takvo da R(w;w0): VM,w0(P ) = >

Iz definicije je vidljivo da postoji slicnost izmedu ¤ i 8, s jedne, i izmedu ♦i 9, s druge strane. Zato se kao i kod kvantifikatora jedan od modalnih operatoramože uzeti za primitivni, a drugi za definirani. Na primjer, ♦ možemo definiratikao :¤::

Primjer 26.5

Oznacimo modela na slici s M . Skup mogucih svjetova: W = fw1; w2; w3g, odnosdostupnosti prikazan je na slici sterilacama a u jeziku teorije skupova kao skup ure-denih parova: R = fhw1; w2i ; hw2; w2i ; hw3; w2ig. Time smo odredili okvir F . Akopretpostavimo da u jeziku pod razmatranjem nalazimo samo jedno propozicijsko slovo


P , onda je vrednovanje V (koje, podsjetimo se, uzima svijet i propozicijsko slovo aispostavlja istinitosnu vrijednost) definirano: Vw1(P ) = Vw2(P ) = > i Vw3(:P ) = ?.Sada kada jeM odredeno, možemo odrediti vrijednost svih isf-a u danom jeziku modalnepropozicijske logike. Ispitajmo neke primjere:

♦P VM;w1(♦P ) = > VM;w2

(♦P ) = > VM;w3(♦P ) = >

¤P VM;w1(¤P ) = > VM;w2

(¤P ) = > VM;w3(¤P ) = >

¤P ! P VM;w1(¤P ! P ) = > VM;w2(¤P ! P ) = > VM;w3(¤P ! P ) = ?♦¤P VM;w1(♦¤P ) = > VM;w2(♦¤P ) = > VM;w3(♦¤P ) = >

26.1.2.1 Valjanost

Kod formula P modalne propozicijske logike možemo razlikovati nekoliko vrstavaljanosti. Definicije tvore uzlazni niz u kojem se svaki sljedeci pojam valjanostidefinira pomocu nekog prethodnog pojma.

1. P je valjano1 u modeluM = hW;R; V i (ili model M verificira formulu P )akko za svako w 2 W vrijedi VM,w(P ) = > (drugim rijecima, P je istinito usvakom mogucem svijetu w).

2. P je valjano2 na okviru F = hW;Ri akko za svaki model M koji je izgradennad okvirom F vrijedi da je P valjano u modelu M .

3. P je valjano3 u skupu okvira S akko za svaki okvir F 2 S vrijedi da je Pvaljano na okviru F .

4. P je valjano4 akko za svaki okvir F vrijedi da je P valjano na okviru F .

Primjer 26.6 Valjanost1 i valjanost2 su "lokalnog karaktera". Za ispitivanje valjanosti2okvir držimo cvrstim i mijenjamo vrednovanja. Za ispitivanje valjanosti3 biramo skupokvira kod kojih odnos dostupnosti ima odredeno svojstvo i mijenjamo vrednovanja.Valjanost4 je "globalnog karaktera"; za ispitivanje valjanosti4 mijenjamo modele.

¤(P ! Q) ! (¤P ! ¤Q) ¤P ! P ¤P ! ¤¤Pvaljano3 na svim okvirima valjano3 na svim refleksivnim okvirima valjano3 na svim tranzitivnim okvirimavaljano4 nije valjano4 nije valjano4

Koristeci pojam valjanosti na okviru možemo definirati pojam karakteriziranja.

Definicija 23 Formula P karakterizira skup S okvira akko P jest valjano3 uskupu okvira S.

Zadatak 155 Dokažimo da je ¤P ! P karakterizira skup refleksivnih okvira.

Odgovor 58 Trebamo dokazati da je ¤P ! P valjano3 u skupu svih reflek-sivnih okvira. Pretpostavimo da je M model s refleksivnom relacijom R. Zaproizvolji w trebamo dokazati VM,w(¤P ) = >, onda VM,w(P ) = >. Pret-postavimo VM,w(¤P ) = >. Po definiciji za vrednovanje, za svaki v takav


da R(w; v) vrijedi VM,v(P ) = >. Buduci da R refleksivna relacija, vrijediR(w;w), pa je zato VM,w(P ) = >.

26.1.2.2 Modalna logika i logika prvog reda

Modalne formule P možemo "prevesti" na jezik logike prvoga reda [P ] (s ’[]’oznacavamo funkciju prijevoda):

[P ] = Px P je propozicijsko slovo[:P ] = : [P ]

[P ^Q] = [P ] ^ [Q][♦P ] = 9y(R(x; y) ^ [P ] (y)) y je nova varijabla

Primjer 26.7 Prijevod za ¤P ! P . Iskažimo drukcije: :(:♦:P ^ :P ).

[:(:♦:P ^ :P )] = : [:♦:P ^ :P ] = :([:♦:P ] ^ [:P ]) =

= :(: [♦:P ] ^ : [P ]) = :(:9y(R(x; y) ^ [:P ] (y) ^ :Px) =

= :(:9y(R(x; y) ^ [:P ] (y) ^ :Px) = :(:9y(R(x; y) ^ :P (y) ^ :Px) =

= 8y(R(x; y) ! P (y)) ! P (x)

Zadatak 156 Odredite funkciju prijevoda za P ! Q i P _Q.

Zadatak 157 Izradite prijevod za ♦P _ ♦:P !

Odgovor 59 9y(R(x; y) ^ (P (y) _ :P (y))

Tehnika kojom se odreduju svojstva relacije dostupnosti pociva na nacelu’minimalnog ispunjenja antecedensa’. Najprije dajemo prijevod modalne logikena jezik logike prvog reda Konzekvens aksioma ’¤P ! P ’ dobiva prijevod:P (x). Minimalno ispunjenje antecedensa zahtijeva da P bude zadovoljeno usvimR sljedbenicima, zato definiramo minimalno vrednovanje P (v) kaoR(x; v).Procitajmo konzekvens; on kaže: P (x). Uvrstimo minimalno vrednovanje idobivamo R(x; x) - refleksivnost. Konzekvens aksioma ’ ¤P ! ¤¤P ’ dobivaprijevod:

8y (R(x; y) ! 8z (R(y; z) ! P (z))) :

Upisujemo minimalno vrednovanje antecedensa Rxu i dobivamo

8y (R(x; y) ! 8z (R(y; z) ! R(x; z)))


- tranzitivnost. Za aksiom ’P ! ¤♦P ’ minimalno ispunjenje antecedensa za-htijeva da jedino u x bude zadovoljeno P , pa zato umjesto P (v) pišemo x = u.Prijevod konzekvensa daje:

8y (R(x; y) ! 9z(R(y; z) ^ P (z)))

a s ubacivanjem minimalnog uvjeta dobivamo

8y (R(x; y) ! 9z(R(y; z) ^ x = z)))

što je zapravo komplicirani nacin iskazivanja uvjeta simetricnosti: 8y (R(x; y) ! R(y; x)).Relaciju koja je refleksivna, tranzitivna i simetricna nazivamo relacijom ekviva-lencije. Gorespomenuti aksiomi pokazuju da modalna logika S5 karakteriziraokvire u kojima je relacija dostupnosti relacija ekvivalencije. Smijemo iz S5modela odstraniti kopije svjetova jer možemo zanemariti relaciju dostupnosti idefinirati modalitet VM,w (¤P ) = > akko za svako w Vw(P ) = >.

26.1.3 Sintakticki pristup pojmu valjanostiI za modalnu logiku možemo izgraditi sustav prirodne dedukcije. Pri tome ce sepravila razlikovati od jedne do druge modalne logike.

Pravilo¤Intro: ako P ne ovisi ni o jednoj pretpostavci ili premisi, P ` ¤P .Za¤Elim ne može se dati neko jednostavno i intuitivno jasno pravilo. Izlaz

je u tome da se dopusti korištenje aksiomske sheme K u bilo kojem korakudokaza.

Primjer 26.8

1 (1) P ^Q pretpostavka1 (2) P Êlim, 1(3) (P ^Q) ! P ! Intro, 1,2(4) ¤((P ^Q) ! P ) ¤Intro,3(5) ¤((P ^Q) ! P ) ! (¤(P ^Q) ! ¤P ) aksiom(6) ¤(P ^Q) ! ¤P ! Elim, 4,5

Druga varijanta za sustav prirodne dedukcije modalne propozicijske logikeuvodi modalne ¤-poddokaze.

26.1.4 Aleticki i epistemicki modaliteti

Primjer 26.9 Promotrimo sljedece recenice ’Možda pada kiša, ali kiša ne pada’ i’Kiša pada ali mogao je biti slucaj da ne pada’.

U gornjim primjerima susrecemo dva smisla o ’mogucem’. U prvoj recenicirijec je epistemickoj mogucnosti: obzirom na sve ono što znam nije iskljucenamogucnost da P . U tom smislu nije zadovoljiva tvrdnja Mo·zdaP ^ :P . Udrugoj recenici rijec je o aletickoj mogucnosti: u strožoj varijanti, obzirom navažece prirodne zakone nije iskljucena mogucnost da P ili, u blažoj varijanti,


logicki su moguce okolnosti u kojima je slucaj da P . U ovakvom smislu tvrdnjaMogu¶ceP ^ :P jest zadovoljiva.

26.1.5 Pogled daljeModalna logika pruža snažno analiticko sredstvo za filozofska istraživanja jezikau kojemu opisujem ljudske radnje, moralni i pravni diskurs, za istraživanje drugihmodusa pored indikativnog, za opis vjerovanja, znanja i želja, i za mnoge drugesvrhe. Plodonosan razvoj modalne logike u tim i drugim smjerovima prelaziokvireovoga tecaja.

Poglavlje 27Zadaci

1. Otvorite Leibniz0s World. Prevedite zadane recenice koristeci engleskepredikate (Cube, MediumSize, FrontOf, BackOf, Between, SameCol). Ako je prijevoduspješan, sve ce recenice biti istinite.(a) Nema kocaka srednje velicine.(b) Ništa nije ispred b.(c) Svaka je kocka ili ispred ili iza e.(d) Nijedna kocka nije izmedu a i c.(e) Svi se predmeti nalazi u onim stupcima gdje su a, b i c.

2. Prevedite zadane recenice na jezik logike prvoga reda. Dopušteni predikatisu: Zlato, Sja, VišiOd, Student i Hvali.(a) Nije zlato sve što sja.(b) Ivan je najviši student.(c) Tkogod hvali svakoga, ne hvali nikoga.

3. U sljedecim vježbama primijenite istinitosno-funkcionalni algoritam da bisteodredili jesu li zadani zakljucci (a) tautološki valjani. Ako nisu, odreditejesu li (b) logicki, ali ne i tautološki valjani ili su (c) nevaljani. Za nevaljanezakljucke izgradite protuprimjer.

(a)1. 8xKocka(x) ! 9yMaleno(y)2. :9yMaleno(y)3. 9x:Kocka(x)

(b)1. 9xKocka(x)2. 9xMaleno(x)3. 9x(Kocka(x) ^Maleno(x))

(c)

1. 9x(Kocka(x) ^ V eliko(x)) ! (Kocka(c) ^ V eliko(c))2. Tetraedar(c) ! :Kocka(c)3. Tetraedar(c)4. :9x(Kocka(x) ^ V eliko(x))

4. Objasnite zašto klasicna logika smatra da je silogizam Bramantip (modusAAI, figura IV) valjan, dok ga suvremena logika smatra nevaljanim. Pitanjeistražite koristeci "Kategoricki silogizmi"! Konstruirajte protuprimjerkoristeci jezik Vennovih dijagrama!

5. Sacinite niz ekvivalencija koje ce pokazati da je negacija recenice Neki P suQ ekvivalentna recenici Nijedan P nije Q. (Rješenje izradite kao "sentencefile" koristeci Tarski’s World, u zagradama iza svake recenice upišite nazivekvivalencije koja je opravdava.)

6. Otvorite Frege’s Sentences i Peirce’s World. Izmijenite velicinu i položajjednog tijela tako da prvih sedam recenica bude istinito a drugih sedam -neistinito. Predajte modificirani svijet!

286

287

7. (***) Otvorite Ramsey’s Sentences. Izgradite svijet koji cini istinitim svih20 recenica koristeci samo 6 tijela!

8. Otvorite Arnault’s Sentences i izgradite svijet u kojem su sve receniceistinite!

9. (Logicka neovisnost) Otvorite Buridan’s Sentences. Pokažite da je recenica

9x9y(x 6= y ^ Tet(x) ^ Tet(y) ^Medium(x) ^Medium(y))

neovisna o "Buridanovim" recenicama, tj. da ni ona niti njezina negacija nijenjihova posljedica. Neovisnost cemo ustanoviti tako što cemo izgraditi dvasvijeta u kojem ce sve "Buridanove" recenice biti istinite dok ce u jednom odnjih zadana recenica biti istinita a u drugom neistinita.

10. (Recenice koje trebamo parafrazirati prije prijevoda) Prevedite zadanerecenice na jezik logike prvoga reda! Provjerite svoj prijevod: u Ron’s Worldsve recenice trebaju biti istinite, u Bolzano’s World samo je 3. recenicaistinita, u Wittgenstein’s World samo je 5. recenica istinita.(a) Jedino veliki predmeti nemaju ništa ispred sebe.(b) Ako neka kocka ima nešto ispred sebe, onda je ta kocka malena.(c) Svaka kocka koja je iza nekog dodekaedra manja je od njega.(d) Ako je predmet e izmedu dva predmeta, ta dva predmeta su malena.(e) Ako je tetraedar izmedu dva predmeta, ta dva predmeta su malena.

11. Izvedite zadane ekvivalencije koristeci poznata nacela kvantifikacije.(a) 8xP ! Q , 9x(P ! Q) ako x nije slobodan u Q

(b) P ! 9xQ , 9x(P ! Q) ako x nije slobodan u P .12. Otvorite Jon Russell’s Sentences. Na slobodnim mjestima (oznacenim

parnim brojevima) zapišite prethodnu recenicu u preneksnoj normalnojformi. Provjerite ispravnost vrednujuci recenice u razlicitim svjetovima!

13. Izradite koristeci Fitch dokaze za sljedece valjane recenice prvoga reda.Podsjetite se da dokazima valjanih recenica ne koristimo niti jednu premisu.(a) (nulta kvantifikacija) ` Kocka(b) $ 8xKocka(b)

(b) ` 9x(P (x) ! 8xP (x))

(c) ` :9x8y[R(x; y) $ :R(x; y)]

14. Otvorite (koristeci Tarski’s World) Padoa’s Sentences.(a) Dokažite da bilo koje tri recenice od zadanih cetiri tvore zadovoljiv

skup recenica. Da biste dokazali prethodnu tvrdnju za cetiri skuparecenica izgradite cetiri svijeta takva da je u njima svaka recenice izodgovarajuceg skupa istinita. Rješenje predajte pod nazivima 2.123.wld,2.124.wld, 2.134.wld, 2.234.wld.

(b) Dokažite na neformalan nacin da cetiri recenice iz prethodnog zadatka(Padoa’s Sentences) nisu konzistentne (tj. da nije moguce da sve buduistodobno istinite)!

15. Koristeci Tarski’s World pronadite prijevode na jezik logike prvoga reda zarecenice a-e. Za svrhu provjere prijevoda dobro je koristiti na "Keyboard"-uponudene oznake predikata. Cini se da cete za e. morati upotrebiti jednurecenicu iako se u prirodnom jeziku javljaju dvije (jer jedino tako možemo

288 Poglavlje 27 Zadaci

sacuvati koreferenciju, upucivanje na isti predmet, imenicke fraze jednavelika kocka iz prve recenice i zamjenice nje iz druge recenice).(a) Ima barem dva dodekaedra.(b) Ima najviše dva tetraedra.(c) Ima tocno dvije kocke.(d) Samo tri predmeta nisu malena.(e) Ima samo jedna velika kocka. Nijedan dodekaedar nije iza nje.(f) Provjerite ispravnost prijevoda: U Bolzano’s World istinite su samo a, c i

e; u Skolem’s World istinita je e; u Montegue’s world istinite su b,c i e.Izgradite svijet u kojem su sve recenice a-e istinite. Predajte prijevode isvijet.

16. Otvorite (koristeci Tarski’s World) Russell’s Sentences. Izgradite svijet ukojem su sve recenice 1-7 istinite!

17. Usporedite recenice (i) 9!1xKocka(x) ^ 8x(Kocka(x) ! Maleno(x)) i(ii) 9!1x(Kocka(x) ^Maleno(x)). Iskažite ih u prirodnom jeziku! Akorecenice (i) i (ii) nisu ekvivalentne izgradite dva svijeta takva da u prvomsamo recenica (i) bude istinita a u drugom samo (ii). Ako su recenice (i) i (ii)ekvivalentne, dokažite to bilo na formalan bilo na neformalan nacin!

18. Dokažite neformalnim nacinom sljedeci jednostavni teorem: 8a : ; µ a!19. Dokažite da postoji tocno jedan prazni skup pokazujuci da postoji barem

jedan i najviše jedan takav skup! Preuzmite ?? i nadopunite nedostajucekorake! Preuzmite ?? i odredite pravila i recenice koje opravdavaju svakipojedini korak! U nekim cete se koracima pozvati na pravilo tautološkeposljedice (Tau Con).

20. Nadopunite ?? za 8x8y[x = y $ (x µ y ^ y µ x)] s koracima kojinedostaju!

21. Oznacimo sa s ekstenziju predikata S: s = fx j S(x)g, s p ekstenzijupredikata P , s d oznacimo skup svih predmeta u kontekstu rasprave.Prikažite Aristotelovske sudove u jeziku teorije skupova sljedeci pristupprikazan u drugom retku:

varijanta1 varijanta2univerzalno afirmativni suduniverzalno negativni sud 8x(S(x) ! :P (x)) s µ d¡ p s \ p = ;partikularno afirmativni sudpartikularno negativni sud

22. Napišite korespondentni kondcional za silogizam Barbara sljedeci naceloiz prethodnog zadatka, to jest koristeci jezik teorije skupova! Kondicionalpokazuje da odnos µ ima neko svojstvo. O kojem je svojstvu rijec?

23. Dokažite na neformalan nacin tvrdnju: "Neka su a i b proizvoljni skupovi,a [ b = b ako i samo ako a µ b"! U dokazu cete se morati osloniti na aksiomekstenzionalnosti (zbog identitetnih tvrdnji), te na definicije za [ i µ.

24. Neka je definicija za uredeni par: hx; yi = ffxg ; fx; ygg Polazeci od tedefinicije, izradite neformalan dokaz za hx; yi = hu; vi , (x = u ^ y = v)!

289

25. Oslanjajuci se na prethodni zadatak, dokažite da za bilo koja dva skupa a i b,postoji skup svih uredenih parova hx; yi takvih da x 2 a i y 2 b. Taj se skupnaziva Kartezijevim produktom od a i b, a oznacava se s a£ b.

26. Otvorite u Fitch-u Exercise 15.29. Ovaj dokument kao cilj dokaza sadržitvrdnju da je odnos istovjetnosti oblika ekvivalentan. Svrha ove vježbe jepokazati da su ciljne recenice koje iskazuju to svojstvo odnosa posljedicaznacenja osnovnog predikata. Pravilo Ana Con smijete koristiti samo zaatomarne recenice!

27. Ispitajte sljedece tvrdnje. Ako su istinite, izradite bilo formalan biloneformalan dokaz. Ako su lažne, pronadite protuprimjer.(a) Za bilo koji skup b, ; µ }b.(b) Za bilo koji skup b, b µ }b.(c) Za bilo koje skupove a i b, } (a [ b) = }a [ }b.(d) Za bilo koje skupove a i b, } (a \ b) = }a \ }b.

28. Otvorite Fitch dokument Exercise 15.49. U zadatku trebamo dokazati da jerelacija R funkcionalna relacija: 8x8y8z[(R(x; y) ^ R(x; z)) ! y = z].Dopušteno je koristiti TautCon i dopuštena je primjena AnaCon za literale(tj. atomarne recenice i njihove negacije). Tvrdnja R(a; b) znaci ’b jepredmet koji je smješten najviše sprijeda u onom stupcu u kojem se nalazia’. [Prijedlog: iskoristite AnaCon za cinjenicu da od dva razlicita predmetakoji su u istom stupcu jedan mora biti ispred drugoga.]

29. Neka je D neki skup i neka je P neki skup ne-praznih podskupova od Dtakvih da je svaki element iz D clan tocno jednog clana iz P . Takav se skupP naziva particijom od D.(a) Zapišite gornju definiciju koristeci simbole teorije skupova i jezik logike

prvoga reda!(b) Neka je P particija skupa D. Definirajmo relaciju E na sljedeci nacin:

ha; bi 2 E akko postoji X 2 P takav da a 2 X i b 2 X . Pokažite da jeE relacija ekvivalencije te da je P skup klasa ekvivalencije za tu relaciju!

(c) Logicka razdioba pojma je adekvatna ako je zbroj opsega clanovarazdiobe jednak opsegu diobene cjeline. Iskažite ovu definiciju koristecijezik teorije skupova. Diobenu cjelinu (totum divisionis) oznacite s t,clanove diobe (membra divisonis) oznacite s m1; :::;mn.

(d) Logicka razdioba pojma je jedinstvena ako se njezini clanovi medusobnoiskljucuju. Iskažite ovu definiciju koristeci jezik teorije skupova!

(e) Iskažite u jednoj recenicu odredbu za jedinstvenost i adekvatnost divizijekoristeci jezik teorije skupova i pojam particije!

30. Raymond Smullyan nam je dao ove dobre savjete: (1) uvijek govorite istinu,(2) svakog dana recite: "Ponovit cu ovu recenicu sutra." Dokažite da cesvatko tko bude poštivao i jedan i drugi savjet - živjeti vjecno! Nakon togapokažite zašto to ipak nece biti moguce!

31. Dokažite da su aksiom ekstenzionalnosti i aksiom separacije konzistentni!Drugim rijecima, pronadite podrucje rasprave u kojima su oba aksiomaistinita! [Savjet: ispitajte domenu ciji je jedini element prazni skup; za


aksiom separacije moramo pokazati da za bilo koje svojstvo P postoji skupfx 2 ; j P (x)g u toj domeni.]

32. Dokažite da za bilo koji skup b, j}bj 6= jbj!33. Dokažite da za bilo koji skup b, j}bj 6= jbj!34. Dokažite tvrdnju "Recenica S je tautološka posljedica skupa recenica T ako

i samo ako T [ f:Sg nije it-zadovoljiv"!35. Dokažite sljedecu lemu za slucajeve 3. i 4. "Neka je T formalno

konzistentan, formalno potpun skup recenica, te neka su R i S proizvoljnerecenice u jeziku.

1:T ` T (R ^ S) akko T `T R i T `T S

2:T ` T (R _ S) akko T `T R ili T `T S

3:T ` T:S akko T 0T S

4:T ` T (R ! S) akko T 0T R ili T `T S

5:T ` T (R $ S) akko bilo T `T R i T `T S bilo T 0T R i T 0T S"

36. Zadan je jezik s dva predikata, Kocka i Maleno, i s dvije individualnekonstante, a i b. Neka je T sljedeci skup recenica: f:(Kocka(a) ^Maleno(a)); Kocka(b) ! Kocka(a); Maleno(a) _Maleno(b)g. Ovajskup nije formalno potpun. Primijenite proceduru iz tvrdnje o mogucnostiproširenja formalno konzistentnoh skupova i sacinite formalno konzistentni,formalno potpuni skup. Koji skup dobivamo? Koje ga dodjeljivanjeistinitosnih vrijednosti h zadovoljava? Izgradite svijet u kojem su istinite sverecenice iz proširenoga skupa!.

37. Koristeci Dizajner dokaza izradite dokaz za 9a9b (}a [ }b 6= }(a [ b))koristeci za protuprimjer sljedece skupove a = f;g i b = ff;gg!

38. Otvorite Mary Ellen’s World i predstavite ga kao strukturu prvoga reda zajezik koji sadrži (i) predikate: Kocka, V e¶ciOd, Tetraedar, Dodekaedar,Izmeu i (ii) individualnu konstantu: c!

39. Intutivno, recenica ’Q predmeta koji zadovoljavaju uvjet A zadovoljavajuuvjet B’ ili Qx(A(x); B(x)) pokazuje da su skup A, skup predmetakoji zadovoljavaju A(x) u strukturi M , i skup B, skup predmeta kojizadovoljavaju uvjet B(x) u strukturi M , stoje u odredenom odnosu Q Zatoje prirodni nacin za interpretiranje generaliziranog kvantifikatora onaj koji gatretira kao binarnu relaciju na }(DM ). Koji kvantifikator odgovara sljedecimbinarnim relacijama medu skupovima? (’jaj’ oznacava koliko clanova imaskup a.)(a) A µ B

(b) A \B = ;(c) A \B 6= ;(d) jA \Bj = 1

(e) jA \Bj 5 3

(f) jA \Bj > jA¡Bj40. Razmotrite jezik sa samo jednim binarnim predikatskim simbolom P , a M

291

neka bude struktura s domenom D = f1; 2; 3g gdje ekstenzija predikata Pobuvaca parove < n;m > koji su takvi da m = n + 1. Za sljedece isf-eodredite koja su dodjeljivanja vrijednosti varijablama odgovarajuca! zatimopišite dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja ih zadovoljavaju!(a) P (y; z)

(b) 9yP (y; z)

(c) P (x; x)

(d) 8xP (x; x)

(e) 8y9zP (y; z)

41. Dokažite tvrdnju "Neka su M1 i M2 strukture koje imaju istu domenu ikoje dodjeljuju istu interpretaciju za predikate i konstante u isf P . neka sug1 i g2 dodjeljivanja vrijednosti varijablama koja dodjeljuju iste vrijednosti(predmete) za slobodne varijable u isf-i P . Tada M1 ² P [g1] ako i samo akoM2 ² P [g2] ". Dokažite samo osnovni korak i induktivne korake za ^ i 8!

42. Zadana je struktura prvoga reda, M za jezik L. Definiramo dodjeljivanjeistinitosnih vrijednosti, hM na sljedeci nacin: za bilo koju atomarnu recenicuili recenicu koja pocinje s kvantifikatorom, S

hM (S) = > ako i samo ako M ² S

Trebamo dokazati da "ako i samo ako" vrijedi za bilo koju recenicu.43. Neka je h proizvoljno dodjeljivanje istinitosnih vrijednosti za jezik prvoga

reda bez funkcijskih simbola. Konstruirajmo strukturu prvoga reda, MH nasljedeci nacin. Domena: domena za MH je skup individualnih konstantijezika o kojem je rijec. Neka je R binarni relacijski simbol cija je ekstenzijadefinirana ovako:

f< c; d >j h(R(c; d)) = >g

Na kraju, interpretirajmo svaku individualnu konstantu tako da ona imenujesebe (npr. ako je a individualna konstanta jezika pod razmatranjem, ondaMH(a) = a).(a) Pokažite da za svaku recenicu, S koja ne sadrži kvantifikatore ili simbol

identiteta vrijedi:


(b) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na recenice koje sadržesimbol identiteta.

(c) Pokažite da se prethodni rezultat ne proteže na recenice koje sadržeegzistencijalni kvantifikator. :

44. Ispišite konstante-svjedoke za sljedece isf-e. Simbol konstante a preuzet jeiz pocetnog jezika L.(a) V eciOd(a; x)

(b) V eciOd(c1; x) gdje je c1 nova konstanta iz L1(c) V eciOd(c2; x) gdje je c2 nova konstanta iz L2


45. Pokrenite Tarski’s World i otvorite Henkin’s Sentences. Neka su konstantec i d skraceni zapis konstanti-svjedoka cCube(x) i cDodec(x)∧Small(x), timeredom.(a) Pokažite da su sve te recenice clanovi teorije H . Odredite oblik svakog

aksioma po definiciji za H .(b) Po prethodnom i po tvrdnji o postojanju interpertacije za

konstante-svjedoke koja cini sve recenice iz H istinitima, bilo koji svijetu kojemu se konstante c i d ne koriste kao imena može se pretvoritiu svijet u kojemu su H recenice istinite. Otvorite Henkin’s World iimenujte tijela s c i d tako da sve recenice postanu istinite.

46. Neka T sadrži sljedeci skup recenica,




(c) Dajte neformalne dokaze da su sve recenice iz prethodnog zadatka (5. b)tautološke posljedice od T [H .

47. Neka je T teorija formulirana u jeziku L. Primjenite dokazanu tvrdnju"Neka je M struktura prvog reda za jezik L. Postoji nacin interpretacije svihkonstanti-svjedoka u domeni za M takav da, pod tom interpertacijom, sverecenice iz H budu istinite." da biste pokazali da vrijedi sljedece: ako je Siz L posljedica prvoga reda od T [H , onda je ona posljedica prvoga rada iod T .

48. Pokažite da za svaki simbol konstante c iz LH postoji razlicita konstantasvjedok d takva da je c = d tautološka posljedica od H:

49. Zadane su sljedece recenice iskazane u jeziku logike prvoga reda:

(i) 8x9y(:Ispred(y; x) ! V eliko(x))(ii) 9x9y(Kocaka(x) ^Kocka(y) ^ JednakaV elicina(x; y))(iii) 8x8y[Ispred(x; y) ! ((Maleno(y) ^ Tetraedar(y)) _Dodekaedar(y))](iv) 9y[8x(:9zLijevoOd(z; x) ! x = y) ^Dodekaedar(y) ^ V eliko(y)](v) 9x9y9z(x 6= y ^ x 6= z ^ y 6= z)(vi) 8x8y8z8u(x = y _ x = z _ x = u _ y = z _ y = u _ z = u)(vii) 9x9yIzmedju(e; x; y)

(a) Procijenite istinitosnu vrijednost gornjih recenica u svijetu na donjojslici. Ako se u nekom slucaju istinitosna vrijednost ne može odrediti,kratko objasnite zašto to nije moguce uciniti! Predikatu Izmedju dajemosljedece tumacenje: predmeti x, y i z zadovoljavaju Izmedju(x; y; z)akko (i) x jest izmedu y i z i (ii) predmeti x, y i z leže u istom retku,stupcu ili dijagonali.

293

(b) Recenice (i), (iv) i (v) iskažite u prirodnom jeziku pazeci pri tome daVaš prijevod poštuje sljedeca ogranicenja: prijevod za (i) ne smije bitipogodbena recenica, prijevod za (iv) ne smije biti složena recenica,prijevod za (v) ne smije sadržavati više od cetri rijeci.

(c) Izgradite svijet u kojem ce sve recenice i-vii (navedene na pocetkuzadatka) biti istinite. Rješenje upišite u tablici tako da u polju na kojemse nalazi neki predmet upišete njegov skraceni opis i njegovo ime ako gapredmet ima. Na primjer, skraceni opis za veliku kocku, cije je ime c ikoja se nalazi u prvom retku i krajnjem desnom stupcu, upisali bismo utablicu ovako:

VKc

50. Izradite dokaze za sljedece valjane recenice prvoga reda. Podsjetite seda u dokazima valjanih recenica ne koristimo niti jednu premisu. [Udokazima smijete koristiti samo pravila za uvodenje i uklanjanje te praviloreiteracije. Jedino u dokazu za 2.d. smijete koristiti tautološke posljedice iDeMorganove zakone za kvantifikatore.](a) ` 8x(S(x) ! P (x)) $ 8x(:P (x) ! :S(x))(b) ` :9x8y[R(x; y) $ :R(x; y)]

(c) ` :8xP (x) ! 9x:P (x)

(d) ` 9x(P (x) ! 8xP (x)) [Savjet: oslonite se u dokazu na zakoniskljucenja treceg, 8xP (x) _ :8xP (x)]

51. Dokažite bilo na formalan ili na neformalan nacin tvrdnju: "Neka su a ib proizvoljni skupovi. Ako a ½ b, onda a \ b = a"! U dokazu cete semorati osloniti na aksiom ekstenzionalnosti (zbog identitetne recenice ukonzekvensu), te na definicije za \ i µ.

52. Dokažite sljedecu tvrdnju koja govori o odnosu dokazivosti: "Neka je Tformalno konzistentan i formalno potpun skup recenica, te neka su R i Sproizvoljne recenice u jeziku logike prvoga reda. Tada vrijedi

(i) T ` :S akko T 0 S

(ii):T ` (R ! S) akko T 0 R ili T ` S."


[Savjet: Dokaz za (i) je lagan i potrebne su nam jedino definicije formalnekonzistentnosti i formalne potpunosti. Dokaz za (ii) možete, u smjeru slijeva na desno, provesti kao reductio ad absurdum pozivajuci se na pravilo! Elim; u suprotnom smjeru, ispitajte slucajeve i oslonite se na pravilo! Intro.]

53. Na jednom Vennovom dijagramu prikažite odnos triju pojmova: tautologija,valjana recenica prvoga reda i logicka istina.

54. Pozivajuci se na poznata nacela kvantifikacije, sacinite niz ekvivalencija kojece pokazati da je negacija recenice Neki P su Q ekvivalentna recenici NijedanP nije Q.

55. Prevedite zadane recenice na jezik logike prvoga reda!(a) Jedino veliki predmeti nemaju ništa ispred sebe.(b) Ako neka kocka ima nešto ispred sebe, onda je ta kocka malena.(c) Svaka kocka koja je iza nekog dodekaedra manja je od njega.(d) Svatko cijeni onoga koji njega cijeni.(e) Ima tocno dvije kocke.(f) Ima tocno jedna velika kocka. Nijedan dodekaedar nije iza nje.

56. Izradite formalne dokaze za sljedece valjane recenice i posljedice prvogareda. Podsjetite se da dokazima valjanih recenica ne koristimo niti jednupremisu. Korištenje tautoloških posljedica.dopušteno je samo u zadatku 3.c.(a) 8x(S(x) ! :P (x)) ` 8x(P (x) ! :S(x))(b) (nulta kvantifikacija) ` Kocka(b) $ 8xKocka(b)

(c) ` 9x(P (x) ! 8xP (x)) [Prijedlog: neka prvi korak u dokazu budetautologija 9xP (x) _ :9xP (x) ]

57. Koji ce nam aksiom biti potreban u dokazu teorema: 8a8b : a \ b = b \ a?Izradite bilo formalan bilo neformalan dokaz tog teorema!

58. Dokažite sljedecu lemu: Neka je T formalno konzistentan, formalno potpunskup recenica, te neka su R i S proizvoljne recenice u jeziku.

T `T (R ! S) akko T 0T R ili T `T S !

59. Zadan nam je jezik sa sljedecim simbolima: individualne konstante su a, b,c, predikati su Kocka, Dodekaedar, ManjeOd i = : Za "svijet" na slicikonstruiratajte strukturu prvoga redaM, koja ce adekvatno predstaviti sve štoje relevantno za istinitosti recenica u zadanom jeziku.pod tim okolnostima.

295

Oznacimo predmete u redoslijedu s lijeva na desno s o1; o2; o3; o4.

Odredite: M(8), M(a), M(b), M(c), M(Kocka), M(Dodekaedar),M(ManjeOd) iM(=)!

60. Prevedite prvi aksiom iz Spinozine Etike na jezik logike prvoga reda(koristeci U kao simbol za prijedlog ’u’)!

Sve što jest jest u sebi ili u necem drugom.

61. Protumacite prvi Spinozin aksiom na cetiri razlicita nacina i ispitajte njegovuzadovoljivost te ocuvanje razgovorne implikature u danom tumacenju![Podsjetnik: Ako recenica koju govornik tvrdi sa sobom donosi i sugestiju koja se možeukinuti (bez izazivanja kontradikcije) dodatnim govornikovim izrekama, onda se ta sugestijanaziva razgovornom implikaturom i ona se ne promatra kao dio sadržaja izvorne recenice.] Uprvom tumacenju pretpostavite da binarni predikat U zadovoljava uvjet

(i) 8xU(x; x);

u drugom pretpostavite da U zadovoljava uvjet

(ii) :8xU(x; x);

u trecem da zadovoljava uvjet

(iii) 8x:U(x; x);

a u cetvrtom da zadovoljava uvjet

(iv) :8x:U(x; x):

(a) Ukratko izložite rezultate svog istraživanja!(b) Kojem (ili kojim ili kojoj kombinaciji) tumacenju biste dali prednost?

Kratko obrazložite svoj odgovor!(c) Koje bismo nazive mogli dati svojstvima koje pripisujemo predikatu U u

cetiri tumacenja?(d) Pretpostavimo da je ispravno trece tumacenje, tj. da vrijedi (iii)


8x:U(x; x). Je li tada ijedna recenica iz para kontradiktornih recenica

8x9y(x 6= y ^ U(x; y))

:8x9y(x 6= y ^ U(x; y))

teorem u sustavu koji sadrži prvi aksiom i recenicu (iii)?62. Ovaj valjana recenica logike prvoga reda jedno je medu najstarijim logickim

otkricima:

[8x(M(x) ! P (x)) ^ 8x(S(x) ! M(x))] ! 8x(S(x) ! P (x))

(a) Kome možemo pripisati zaslugu otkrica te i takvih valjanih recenicaprvoga reda? Koji je njihov tradicionalni naziv?

(b) Na koji biste nacin provjerili ovu logicku istinu? Ucinite to!(c) Neka m bude ime za ekstenziju predikata M , te s i p neka budu imena

za ekstenzije predikata S i P . Protumacite gornju recenicu kao tvrdnjuo ekstenzijama i zapišite je u jeziku teorije skupova koristeci (poredlogickih) simbol µ. Tako protumacena, gornja recenica izrice jednosvojstvo odnosa BitiPodskupOd. Koje?

63. Je li koji medu navedenim bikondicionalima valjan:

a) 9x(P (x) _Q(x)) $ (9xP (x) _ 9xQ(x))

b) 9x(P (x) ^Q(x)) $ (9xP (x) ^ 9xQ(x))

Ako je neki bikondicional valjan, izradite formalan dokaz za tu cinjenicu inavedite njezin naziv, koji se koristi u literaturi. Ako neki bikondicional nijevaljan, dokažite njegovu nevaljanost tako što cete navesti protuprimjer!

64. Izdvojite medu ponudenim recenicama one koje su i one koje nisu logickeistine!

a) 8x8yR(x; y) ! 8xR(x; x)b) 9x9yR(x; y) ! 9xR(x; x)c) 8x9yR(x; y) ! 9x8yR(x; y)d) 9x8yR(x; y) ! 8x9yR(x; y)e) 9xR(x; x) ! 9x9yR(x; y)f) 8xR(x; x) ! 8x8yR(x; y)

65. Zadne recenice iskazane u jeziku logike prvoga reda iskažite u prirodnomjeziku što jednostavnije!(a) :9x(BratOd(x; ivica) _ SestraOd(x; ivica))

(b) 9x(otac(marica) = x ^ SinOd(x; otac(ivica)))

(c) 8x[Kocka(x) ! 8y((Tetraedar(y) ^ Ispred(y; x)) !ManjiOd(x; y))]

(d) 8x8y[(Kocka(x) ^ Tetraedar(y) ^ Ispred(y; x)) ! ManjiOd(x; y)]

66. Pretpostavimo da su prve dvije recenice iz prethodnog zadataka istinite (6.a i6.b). Je li tada recenica otac(marica) = otac(ivica) istinita recenica? Akonije, preoblikujte ju, bilo dodavanjem bilo uklanjanjem funkcijskog simbola

297

otac, tako da dobijete istinitu recenicu!67. Dokažite neformalnim nacinom donju tvrdnju: Recenica S je tautološka

posljedica skupa recenica T ako i samo ako skup T [ f:Sg nije zadovoljivpod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti.

68. Zadane su sljedece recenice iskazane u jeziku logike prvoga reda:

(i) 9x[Kocka(x) ^ 8z(Kocka(z) ! z = x)](ii) 8x[(Kocka(x) ^ 9y(Tetraedar(y) ^ Iza(x; y))) ! (:V elik(x) ^ :SrednjeV elicine(x))](iii) 9x[Dodekaedar(x) ^ 9y9z Izmedju(x; y; z)](iv) 8x8y[x = y ! (Kocka(x) $ Kocka(y))](v) 9x[Kocka(x) ! 8y Kocka(y)](vi) 9x[Tetraedar(x) ^ 8y:Ispred(y; x)](vii) 8x8y8z8u[x = y _ x = z _ x = u _ y = z _ y = u _ z = u](viii) 8x8y IsteV eli·cine(x; y)(ix) 8x8y:LijevoOd(x; y)(x) 8xTetraedar(x) ! (9y V elik(y) ! 8xTetraedar(x))

(a) Procijenite istinitosnu vrijednost zadanih recenica u svijetu na donjojslici. Peterokut predstavlja dodekaedar, kvadrat predstavlja kocku,a trokut predstavlja tetraedar. Tetraedar je malen, kocke su srednjevelicine, a dodekaedar je velik.

Svijet 1.


37

(b) [5*] Procijenite istinitosnu vrijednost zadanih recenica u svijetu nadonjoj slici. Na slici nalazimo tri srednje velika predmeta: tetraedar,dodkeadar i kocku. Dodekaedar se nalazi izmedu tetraedra i kocke.

Svijet 2.

(c) Recenice (ii) i (viii) iskažite u prirodnom jeziku!38

(d) [4#] Odredite "svijet" u kojemu ce sve zadane recenice biti istinite iprikažite ga u novoj tablici tako da u polju na kojem se nalazi nekipredmet upišete njegov skraceni opis. Na primjer, skraceni opis za velikukocku koja se nalazi u prvom retku i krajnjem desnom stupcu upisalibismo u tablicu ovako:

VK

37

(i) ⊥(ii) ⊥(iii) ⊥(iv) >(v) >(vi) ⊥(vii) ⊥(viii) ⊥(ix) ⊥(x) >

38 (ii) Nijedna kocka koja je iza nekog tetraedra nije ni velika niti srednje velika. (viii) Svi supredmeti jednake velicine.

299

39

(e) Oslanjajuci se na prethodno rješenje, djelomicno opišite strukturu prvogreda M u kojoj su sve zadane recenice (i)-(x) istinite i u kojoj predikatiimaju uobicajeno tumacenje40. U rješenju najprije trebate odreditedomenu41, M(8), a zatim trebate odrediti ekstenziju sljedecih predikata:=, Iza, IsteV elicine, Dodekadar, Izmedju.42

(f) Za svaku zadanu recenicu (i)-(x) odredite je li ona valjana recenicaprvog reda! Ako recenica koju razmatrate jest valjana recenica prvogreda, upišite ’V’, u protivnom upišite ’Ne’. Ako je neka od recenica -tautologija, dodajte slovo ’T’ oznaci koju ste upisali na osnovi prethodneupute. 43

69. Izradite dokaze za sljedece valjane zakljucke (argumente), zapisane u oblikupremisa(¡e) ` konkluzija.

39

MKMDMT

40 Na primjer, ako je neki binarni predikat P refleksivan u uobicajenom tumacenju, to sesvojstvo mora "vidjeti" i u njegovoj ekstenziji M(P ); tj. tada mora vrijediti

∀x[x ∈M(∀)→ hx, xi ∈M(P )].

41 Elementima domene dodijelite proizvoljne oznake.

42

(i) M(∀) = {o1, o2, o3}(ii) M(=) = {ho1, o1i , ho2, o2i , ho3, o3i}(iii) M(Iza) = { o2 , o1 , ho3, o1i , o3, o2 }(iv) M(IsteV elicine) = {ho1, o1i , ho2, o2i , ho3, o3i , ho1, o2i , ho1, o3i , ho2, o1i , ho2, o3i , ho3, o1i , ho3, o2i}(v) M(Dodekaedar) = { o2 }(vi) M(Izmedju) = { o2 , o1, o3 , o2 , o3, o1 }

43

(i) Ne(ii) Ne(iii) Ne(iv) V(v) V(vi) Ne(vii) Ne(viii) Ne(ix) Ne(x) V T


(a) [2#] 8x8yR(x; y) ` 8xR(x; x),44

(b) [2#] 8x(P (x) ! :M(x));9x(S(x) ^M(x)) ` 9x(S(x) ^ :P (x)),45

(c) [2#] :9x(P (x) ! 8yP (y)) ` 9x(P (x) ! 8yP (y)). Nadopunite

44

45

301

dokaz!

46

(c*) Osvrcuci se na cinjenicu da smo u prethodnom dokazu pomocunegacije jedne recenice, tj. :9x(P (x) ! 8yP (y)) dokazalinjezinu afirmaciju, tj. 9x(P (x) ! 8yP (y)) što možemo reci ozadovoljivosti i valjanosti svake medu njima?47

46

47 ¬∃x(P (x) → ∀yP (y)) je nezadovoljiva recenica; ∃x(P (x) → ∀yP (y)) je valjana.Objašnjenje. *(¬∃x(P (x) → ∀yP (y)) je nezadovoljiva)* Pretpostavimo da {¬R} ` R.Trebamo dokazati da je ¬R nezadovoljiva recenica, a R valjana recenica. Pretpostavimo da je ¬Rzadovoljiva recenica. Po definiciji zadovoljivosti, tada postoji struktura prvog reda M takva daM ² ¬R. Po teoremu pouzdanosti, ako {¬R} ` R, onda {¬R} ² R. Buduci da lijeva stranavrijedi po pretpostavci, vrijedi {¬R} ² R, tj. da je R posljedica prvog reda od ¬R. Buduci da je¬R zadovoljiva, dodjelimo ime strukturi u kojoj je ta recenica istinita M1 ² ¬R. No po definicijiposljedice prvog reda, tada M1 ² R. No po definiciji zadovoljavanja nije moguce da bude slucajda i M1 ² ¬R i M1 ² R. Uspostavljena kontradikcija pokazuje da pod pretpostavkom


70. Intuitivno gledajuci, recenica ’Q predmeta koji zadovoljavaju uvjet Azadovoljava uvjet B’, ili Qx(A(x); B(x)) pokazuje da skup A (skuppredmeta koji zadovoljavaju A(x) u strukturi M ) i skup B (skup predmetakoji zadovoljavaju uvjet B(x) u strukturi M ) ostvaruju neki odnos Q48.(’jaj’ oznacava koliko clanova ima skup a, oznacava njegovu "kantorovskuvelicinu", njegov kardinalitet.)(a) Koji kvantifikatori odgovaraju sljedecim binarnim relacijama medu

skupovima? Svoje rješenje iskažite odgovarajucom recenicom u kojoj setraženi kvantifikator javlja. Na primjer, za A µ B upisali bismo ’Svi Asu B’, a za jA \Bj = 1 upisali bismo ’Tocno jedan A jest B’. Zadanesu sljedece relacije:

I. A \B = ;,II. A \B 6= ;,III.jA \Bj > jA¡Bj.49

(b) U ovom dijelu zadatka krenut cemo u spuprotnom smjeru. Odrediterelaciju koja odgovara kvantifikatoru koji se javlja u zadanimrecenicama!

I. Barem tri A su B.II. Svi osim jednog A su B.50

71. Nadopunite dokaz tvrdnje (*) s induktivnim korakom za slucaj konjunkcije.U dokazu se možete poslužiti sljedecom lemom. [Lema] Neka je T formalnokonzistentan i formalno potpun skup recenica i neka su R i S proizvoljnerecenice,

T `T (R ^ S) akko T `T R i T `T S.

[Tvrdnja] (*) Svaki formalno konzistentan, formalno potpun skup recenicaje it-zadovoljiv51. [Dokaz] Neka je T formalno konzistentan, formalnopotpun skup. Definirajmo dodjeljivanje h istinitosnih vrijednosti za atomarnerecenice na sljedeci nacin. Ako T `T A onda h(A) = >, a u protivnomslucaju, neka je h(A) = ?. Onda je funkcija h definirana za sve recenice,

{¬R} ` R ne može biti slucaj da je ¬R zadovoljivo. *(∃x(P (x) → ∀yP (y)) je valjana)Negacija nezadovoljive recenice je valjana recenica. Za svrhu vježbe, dokažite to.48 Zato je prirodni nacin za interpretiranje generaliziranog kvantifikatora onaj koji ga tretira kaobinarnu relaciju na ℘M(∀).49

(i) (ii) (iii)Neki A su B.(iv)Nijedan A nije B.(v)Vecina A je B.

50

(i) (ii) (iii)jA \Bj = 3

(iv)jA¡Bj = 1 Â \B 6= ;51 It-zadovoljiv znaci zadovoljiv pod dodjeljivanjem istinitosnih vrijednosti.

303

bile one atomarne ili složene. Naša tvrdnja tada glasi:

za svaku isf-u S, h(S) = > akko T `T S

Za dokazati ovu tvrdnju, moramo se poslužiti indukcijom. Osnovni korak:Tvrdnja vrijedi za sve atomarne recenice zbog nacina kako smo ovdjedefinirali h (tj. istinitost se poklapa s dokazivošcu) i zbog definicije funkcijeh (tj. njezina vrijednost se podudara s vrijednošcu za h kod atomarnihrecenica)... [Nastavite!]52

72. Dokažite pouzdanost pravila = Elim nastavljajuci donji dokaz! [Dokaz]Pretpostavimo da n-ti korak derivira recenicu P (b) putem primjene pravila= Elim nad recenicama P (a) i a = b koje se javljaju u koracima i i j. Nekasu A1; :::; An.pretpostavke na snazi u koraku n. Pravila dokazivanja jamceda se pretpostavke za korake i i j nalaze medu pretpostavkama A1; :::; An.Po induktivnoj hipotezi koraci i i j posljedice su prvoga reda pretpostavkina snazi u tim koracima. Moramo pokazati da je tada i P (b) posljedicaprvoga reda pretpostavki A1; :::; An.. Za tu svrhu pretpostavimo da jeM proizvoljna struktura prvoga reda u kojoj je svaka recenica A1; :::; An

istinita. Po induktivnoj hipotezi, (i) M ² P (a) i (ii) M ² a = b. Po definicijizadovoljavanja, iz (i) slijedi da ....[Nastavite!]53

52 Induktivni korak: ako tvrdnja vrijedi za R i S, onda ona vrijedi i za recenice koje nastaju naosnovi pravila tvorbe, a u ovom posebnom slucaju - za konjunkciju: (R ∧ S). Trebamo potvrditida h(R ∧ S) = > akko T `T (R ∧ S). Za ’samo ako’ dio, pretpostavimo h(R ∧ S) = > Ondapo definiciji za h: h(R) = > i h(S) = >. Po hipotezi indukcije, vrijedi i T `T R i T `T S.No tada po lemi, T `T (R ∧ S), a upravo smo to htjeli dokazati. U suprotnom ’ako’ smjeru,pretpostavimo T `T (R ∧ S). Tada po lemi T `T R i T `T S. Po hipotezi indukcije (istinitosti dokazivost se poklapaju), tada vrijedi h(R) = > i h(S) = >. A po definiciji funkcije h,prethodno povlaci h(R ∧ S) = > A to smo i htjeli dokazati.53 Pretpostavimo da n-ti korak derivira recenicu P (b) putem primjene pravila = Elim nadrecenicama P (a) i a = b koje se javljaju u koracima i i j. Neka su A1, ..., An.pretpostavkena snazi u koraku n. Pravila dokazivanja jamce da se pretpostavke za korake i i j nalazemedu pretpostavkama A1, ..., An Po induktivnoj hipotezi koraci i i j posljedice su prvogareda pretpostavki na snazi u tim koracima. Moramo pokazati da je P (b) posljedica prvogareda pretpostavki A1, ..., An.. Za tu svrhu pretpostavimo da je M proizvoljna strukturaprvoga reda u kojoj je svaka recenica A1, ..., An istinita. Po induktivnoj hipotezi, M ² P (a)

i M ² a = b. Po definiciji zadovoljavanja, iz (i) slijedi da [[a]]Mg; ∈ M(P ), a iz (ii) slijedi

da [[a]]Mg; , [[b]]Mg;

∈ M(=). Po definiciji strukture prvoga reda, za svaku M vrijedi

M(=) = {hx, xi | x ∈M(∀)}. Iz prethodnoga slijedi da [[a]]Mg; = [[b]]Mg; , pa zato ponerazlucivosti identicnog, [[b]]Mg; ∈M(P ). Po definiciji zadovoljavanja, tada vriijedi M ² P (b).Generalizirajuci dobivamo da svaka struktura prvoga reda u kojoj su istinite sve pretpostavke kojesu na snazi u koracima u kojima se javljaju recenice P (a) i a = b jest struktura u kojoj je istinitarecenica P (b).


27.1 Literatura za pripremu ispita

27.1.1 Obavezna literaturaBarwise, Jon i Etchemendy, John (2000) Language, Proof and Logic. CSLI Pub-lications. Center for the study of Language and Information Stanford University.Seven Bridges Press. New York¢London.

Nagel, Ernest i Newman, James R. (2001) Gödelov dokaz. Zagreb: KruzakNovija filozofija matematike. (1987) priredio Zvonimir Šikic. Beograd :

Nolit

27.1.2 Dopunska i izborna literaturaBoolos, George S. i Jeffrey, Richard C. (1989) Computability and Logic. Cam-bridge University Press.

L.T.F. Gamut [J. van Benthem, J. Groenendijk, D. de Jongh, M. Stokof, H.Verkuyl] (1991) Logic, Language and Meaning. Volume II: Intensional Logicand Logical Grammar. The University of Chicago Press. Chicago-London.

Gödel, Kurt. O formalno neodlucivim stavcima Principia Mathematica isrodnih sustava (u Nagel, Ernest i Newman, James R. (2001))

Jeffrey, Richard. Formal Logic: its Scope and Limits. (1989) McGraw-HillBook CompanyHistorija logike. (1970) uredio A. N. Prior. Zagreb: NaprijedKovac, Srecko. Uvod u elementarnu logiku (skripta). (2002) Zagreb: Institut

za filozofiju (http://filist.fizg.hr/~skovac/page3.html)Kovac, Srecko. Nacrt modalne logike (skripta). (2004) Zagreb: Institut za

filozofiju (http://filist.fizg.hr/~skovac/Modalnahttp.pdf)Quine, Willard Van Orman. Methods of Logic. (1978) London: Routledge &

Kegan PaulŠaric, Ljiljana. Kvantifikacija u hrvatskome jeziku.(2002) Zagreb: Institut za

hrvtaski jezik i jezikoslovljeŠvob, Goran. Frege: pojmovno pismo. (1992) Zagreb: NaprijedVukovic, Mladen.Matematicka logika I. (2000) Zagreb: PMF – Matematicki

odjelWittgenstein, Ludwig (1987) Tractatus Logico-Philosophicus. Sarajevo: V.Masleša

Documents

Simbolicka logika