Simetrias da

Natureza

Mudança e permanência na Física

O mundo mecânico newtoniano

Leis de conservação

Simetrias na natureza

Relação simetrias - conservação

Princípio da ação mínima

O Grande Esquema Newtoniano

1 Especifique as forças no sistema;

2 Utilize as leis do movimento: 3 Posição e velocidade em função do tempo

F ma

SucessoSistema solarBalística

etc.

Revolução Industrial

Como gerar forças?

Mover máquinas, mercadorias, pessoas, efetivamente?

Conceito de Energia

Motor a vapor J. Watts (início sec. XVIII)

Perfuração de um canhão

Geração de calorRumford (final sec. XVII)

Sim!

E se nem todas as forças fossem conhecidas quantitativamente?Alguma previsão sobre o sistema poderia ser feita?

As leis de conservação podem ser utilizadas para se obter informação sobre o sistema.

Leis de Conservação

Leis de conservação: uma analogia

28 blocos 26 blocos, 2 sob a cama

24 blocos cofrinho 200 g 600 gcada bloco 100 g : 4 blocos

8 blocos3 sob a cama, 2 no cofrinhonível: 40 cm 55 cmcada bloco 1cm: 15 blocos

Leis de conservação: uma analogia

(massa do cofrinho) - 200g

g100

altura da água) - 40 cm

1cm

(

CONSTANTE

blocos à vista blocos sob a cama+ +

+

=

Lei de conservação

� Alguma quantidade mensurável que se mantêm constante;

� Não explicita como o sistema funciona ou o que ocasiona as mudanças;

� Bastante útil para previsões: do conhecido para o desconhecido;

� Geralmente não se trata de algo tangível, mas sim de algo mais abstrato;

� O sistema em questão pode mudar de várias formas, mas algumas propriedades permanecem constantes!

Conservação do momentum

vMp mv

O momentum total de dois objetos que interagem é conservado.

Sinuca

A B

A BA B

Energia

h

Energia Cinética

vm E mvC 1

22

Energia Potencial

hE mghP

Conservação da Energia

h

EC + EP = CTE0mgh

12

2 0mv v

v gh2 2

mghmv 221

Montanha russa

En. Potencial Gravitacional

• Fonte de energia: rodas d’água, represas

• Renovável

• Fonte última de energia de uma hidroelétrica é o Sol

Conservação do momentum e energia

v v

v 2vv

Conservação do momentum e energia

v v 3vv

Duas Bolas

M m

v

v

v

v

3v

v

v gh2 2

H h9

Energia Térmica

Muitas Formas De Energia

movimento calor

potencial nuclear

química CONSTANTE

+

+ +

+ ... =

+

Julius Mayer

Momentum Angular

= (distância das massas ao eixo) x (vel. de rotação)

L I

IIL

Filosofia grega

conhecer a natureza do Universo pelo pensamento lógico

religião judaico-cristã

Deus transcendente que criou o Universo impondo leis

Ciência ocidental

As duas fontes

O melhor dos mundos

Tudo que é supérfluo desgosta a Deus e à Natureza. Tudo que desgosta a Deus e à Natureza é ruim.Dante:

A natureza não faz nada em vão: e o mais é vão se o menos basta, pois a Natureza ama a simplicidade e não se embaraça com causas supérfluas.

Newton:

O nosso mundo foi criado como o melhor dos mundos possíveisLeibnitz:

Se acontece uma mudança na Natureza, a quantidade de ação necessária para a realizar deve ser a menor possível.

Maupertuis:

Princípio da Mínima Ação

O movimento se dá de forma que a ação seja minimizada.

Podemos obter as equações de movimento de um princípio mais fundamental?

ar

água

Lei de Snell

Minimização a la Fermat

1

2

),0( 1y

),( 2yL

xA

B

2

2

1

1

v

s

v

sT

2

22

2

1

21

2 )(

v

yxL

v

yxT

0 dx

dT 2

2

1

1

v

sen

v

sen

O princípio da ação mínima

y

t

A

B

Lagrangiana PC EEL

Py EmvL 221

Ação LdtSL

t

A trajetória “real” produz a menor

ação!

mgyEP

Equações de Euler-Lagrange

Problema: achar a trajetória y(t) tal que a ação seja mínima!

Nova técnica matemática: cálculo das variações.

y

L

v

L

dt

d

y

y

y

mvv

L

mgy

L

mgmay As leis básicas da Mecânica podem ser obtidas pelo Princípio da Ação Mínima

elegante prático

poderoso

Simetrias

O sistema continua o mesmo após uma operação de simetria

Propriedade fascinante: naturezaarte

A beleza interna da natureza: sua lógica, racionalidade e economia!

Se materializa nas suas leis e simetrias....

Simetrias da Natureza

d

translação espacial

Simetrias da Natureza

translação temporal

Simetrias da Natureza

rotação

Norte Leste

Leis de Conservação e Simetrias

Abordagem lagrangiana: transparece a relação entre simetrias e leis de conservação.

y

L

v

L

dt

d

y

0

y

L

Se L não depende de uma variável y:2

21

ymvL

.ctev

L

y

.ctemvy O momentum se conserva!

y

L

v

L

dt

d

y

dt

dv

v

L

dt

dy

y

L

dt

dL y

y

Leis de Conservação e Simetrias

Se a Lagrangiana não depende explicitamente do tempo:

dt

dv

v

Lv

v

L

dt

d

dt

dL y

yy

y

y

y v

Lv

dt

d

dt

dL

0

Lv

Lv

dt

d

yy L

v

LvE

yy

Conservação da Energia

Lv

LvE

yy

Py EmvL 221

yy

mvv

L

Pyy EmvmvE 2212

Py EmvE 221

Se a Lagrangiana não depende explicitamente do tempo, ou seja, é invariante sob translações

temporais, então a energia é conservada!

Teorema de Noether

À cada simetria corresponde uma lei de conservação

Simetria Conservação

trans. espacial momentum

trans. temporal energia

rotação momentum angular

Emmy NoetherNo campo da álgebra, onde os matemáticos mais capazes es- tiveram ocupados por séculos, ela descobriu métodos que tor- naram-se muito importantes... Matemática pura é, nesta for- ma, a poesia das idéias lógicas... Einstein

Antes de seu teorema o princípio de conservação de energia estava en-volto em mistério... A sua formula-ção matemática simples e profunda fez muito para dismistificar a Física. F. Gursey

Movimento

Mudança e Permanência

Movimento

Leis de conservação

Simetrias da Natureza

Mínima ação